एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों d₁ और d₂ के बाद अंतिम विक्रय मूल्य सूत्र SP = MP × (1 - d₁{100}) × (1 - d₂{100}) द्वारा निर्धारित किया जाता है। दिया गया अंकित मूल्य MP = 1000 और छूट की दरें d₁ = 12 और d₂ = 8 हैं, गणना इस प्रकार है:

SP = 1000 × (1 - ¹²⁄₁₀₀) × (1 - ⁸⁄₁₀₀) SP = 1000 × 0.88 × 0.92 SP = 880 × 0.92 SP = 809.6

809.6 को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 810 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दान की राशि घटाने के बाद साझेदारों के बीच साझा किया जाने वाला लाभ उनके निवेश अनुपात के समानुपाती होता है। माना कुल लाभ P है। चूंकि 15% दान में जाता है, इसलिए वितरण योग्य लाभ P का 85% है, जो कि 0.85P है।

वितरण योग्य लाभ को A और B के बीच 7:5 के अनुपात में साझा किया जाता है। लाभ में A का हिस्सा निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है: A का हिस्सा = (A का निवेश अनुपात)/(अनुपातों का योग) × वितरण योग्य लाभ

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 5950 = ⁷⁄₇₊₅ × 0.85P 5950 = ⁷⁄₁₂ × ⁸⁵⁄₁₀₀ × P

P का मान ज्ञात करने के लिए: P = (5950 × 12 × 100)/(7 × 85) P = (850 × 1200)/(85) P = 10 × 1200 P = 12000

गणना दर्शाती है कि 85% वितरण योग्य लाभ में से A को अपने हिस्से के रूप में 5,950 रुपये प्राप्त करने के लिए, व्यवसाय का कुल लाभ 12,000 रुपये होना चाहिए।

व्याख्या

छह बोतलों का कुल क्रय मूल्य (CP) ₹100 है। इस लेनदेन पर 20% का लाभ प्राप्त करने के लिए, सभी छह बोतलों का कुल विक्रय मूल्य (SP) सूत्र SPₜₒₜₐₗ = CPₜₒₜₐₗ × (1 + (Profit%)/(100)) द्वारा निर्धारित किया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें SPₜₒₜₐₗ = 100 × ¹²⁰⁄₁₀₀ = 120 प्राप्त होता है। एक बोतल का विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, कुल विक्रय मूल्य को इकाइयों की संख्या से विभाजित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप SPᵤₙᵢₜ = ¹²⁰⁄₆ = 20 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करें: tan 45° = 1, cos 30° = √3/2, sec 30° = (2)/(√(3)), और cot 60° = (1)/(√(3))।

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: ⁴⁄₃(1)² + 3(√3/2)² - 2((2)/(√(3)))² - ¾((1)/(√(3)))²

वर्गों का मान निकालने पर: ⁴⁄₃(1) + 3(¾) - 2(⁴⁄₃) - ¾(⅓) = ⁴⁄₃ + ⁹⁄₄ - ⁸⁄₃ - ¼

आसान गणना के लिए समान हर वाले पदों को एक साथ समूहबद्ध करने पर: (⁴⁄₃ - ⁸⁄₃) + (⁹⁄₄ - ¼) = -⁴⁄₃ + ⁸⁄₄ = -⁴⁄₃ + 2 = (-4 + 6)/(3) = ⅔

व्याख्या

मान लीजिए कि x उन वर्षों की संख्या है जिसके बाद मीनू की आयु उसकी पुत्री की आयु की दोगुनी हो जाएगी। वर्तमान में, मीनू की आयु 38 वर्ष है और उसकी पुत्री की आयु 8 वर्ष है। x वर्षों के बाद, मीनू की आयु 38 + x होगी और उसकी पुत्री की आयु 8 + x होगी। हम इस शर्त के आधार पर एक रैखिक समीकरण बना सकते हैं कि मीनू की आयु उसकी पुत्री की आयु की दोगुनी होगी:

38 + x = 2(8 + x)

दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर: 38 + x = 16 + 2x

x का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: 38 - 16 = 2x - x 22 = x

22 वर्षों के बाद, मीनू की आयु 60 वर्ष होगी और उसकी पुत्री की आयु 30 वर्ष होगी, जो इस शर्त को पूरा करती है कि माँ की आयु पुत्री की आयु की दोगुनी है।

व्याख्या

किसी वस्तु की औसत गति को तय की गई कुल दूरी और लिए गए कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। सूत्र का उपयोग करने पर:

औसत गति = (कुल दूरी)/(कुल समय)

सबसे पहले, ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी की गणना करें: कुल दूरी = 700 किमी + 1012 किमी = 1712 किमी

इसके बाद, लिए गए कुल समय की गणना करें: कुल समय = 5 घंटे + 11 घंटे = 16 घंटे

किमी/घंटा में औसत गति है: औसत गति (किमी/घंटा) = ¹⁷¹²⁄₁₆ = 107 किमी/घंटा

गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलने के लिए, परिवर्तन कारक ⁵⁄₁₈ से गुणा करें: औसत गति (मीटर/सेकंड) = 107 × ⁵⁄₁₈ = ⁵³⁵⁄₁₈ मीटर/सेकंड

अनुचित भिन्न ⁵³⁵⁄₁₈ को मिश्रित भिन्न में बदलना: 535 ÷ 18 = 29, शेषफल 13 के साथ ⁵³⁵⁄₁₈ = 29 ¹³⁄₁₈ मीटर/सेकंड

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य R, S और T द्वारा व्यक्तिगत रूप से लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 4, 6 और 18 का LCM 36 है। इसलिए, मान लीजिए कि कुल कार्य 36 इकाई है।

प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) की गणना इस प्रकार की जाती है: R की कार्यक्षमता = 36 / 4 = 9 इकाई/दिन S की कार्यक्षमता = 36 / 6 = 6 इकाई/दिन T की कार्यक्षमता = 36 / 18 = 2 इकाई/दिन

एक साथ कार्य करते हुए R, S और T की संयुक्त कार्यक्षमता उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं का योग है: संयुक्त कार्यक्षमता = 9 + 6 + 2 = 17 इकाई/दिन

एक साथ कार्य पूरा करने में लगा कुल समय है: समय = (कुल कार्य)/(संयुक्त कार्यक्षमता) = ³⁶⁄₁₇

भाग करने पर: 36 ÷ 17 ≈ 2.1176...

इस परिणाम को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 2.12 प्राप्त होता है।

व्याख्या

समकोण △ ABC में, भुजाएँ पाइथागोरस प्रमेय AB² + AC² = BC² का उपयोग करके निर्धारित की जाती हैं। दिया गया है AC = 5 सेमी और कर्ण BC = 9 सेमी, तीसरी भुजा AB = √(9² - 5²) = √(81 - 25) = √(56) सेमी है। समकोण △ PQR में, PR = 3 सेमी और कर्ण QR = 8 सेमी के साथ, तीसरी भुजा PQ = √(8² - 3²) = √(64 - 9) = √(55) सेमी है। दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी सभी संगत भुजाएँ बराबर हों, और वे समरूप होते हैं यदि उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों। इन त्रिभुजों के लिए, भुजाओं की लंबाई {5, √(56), 9} और {3, √(55), 8} है। संगत भुजाओं के बीच कोई समानता नहीं है, और अनुपात 5/3, √(56)/√(55), और 9/8 सभी भिन्न हैं। चूंकि त्रिभुजों में सर्वांगसमता और समरूपता दोनों का अभाव है, इसलिए वे किसी भी ज्यामितीय गुण में समान नहीं हैं, जिसे △ ABC ≠ △ PQR के रूप में व्यक्त किया जाता है।

व्याख्या

सबसे पहले, हरों का परिमेयकरण करके p और q के व्यंजकों को सरल कीजिए। p के लिए, अंश और हर दोनों को संयुग्मी √2 + 1 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: p = (√2 + 1)²{(√2 - 1)(√2 + 1)} = 2 + 1 + 2√2{2 - 1} = 3 + 2√2 इसी प्रकार, q के लिए, संयुग्मी √2 - 1 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: q = (√2 - 1)²{(√2 + 1)(√2 - 1)} = 2 + 1 - 2√2{2 - 1} = 3 - 2√2 इन मानों से, योगफल और गुणनफल की गणना कीजिए: p + q = (3 + 2√2) + (3 - 2√2) = 6 pq = (3 + 2√2)(3 - 2√2) = 3² - (2√2)² = 9 - 8 = 1 अभीष्ट व्यंजक (p²)/(q) + (q²)/(p) = (p³ + q³)/(pq) है। चूंकि pq = 1 है, इसलिए व्यंजक सरल होकर p³ + q³ हो जाता है। बीजगणितीय सर्वसमिका p³ + q³ = (p + q)³ - 3pq(p + q) का उपयोग करते हुए, परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर: p³ + q³ = 6³ - 3(1)(6) = 216 - 18 = 198

व्याख्या

कोण 120° इकाई वृत्त (unit circle) के द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, जहाँ कोसाइन (cosine) फलन ऋणात्मक होता है। संपूरक कोण सर्वसमिका cos(180° - θ) = -cos θ का उपयोग करके, हम θ = 60° रखकर इस व्यंजक को पुनः लिख सकते हैं। इससे cos 120° = cos(180° - 60°) = -cos 60° प्राप्त होता है। चूंकि cos 60° का मानक त्रिकोणमितीय मान 0.5 है, इसलिए cos 120° का मान -0.5 है। वैकल्पिक रूप से, θ = 30° के साथ सर्वसमिका cos(90° + θ) = -sin θ को लागू करने पर cos(90° + 30°) = -sin 30° प्राप्त होता है, जो -0.5 के भी बराबर है।

व्याख्या

एक शंकु के आयतन को V_cone = ⅓ π r² h₁ और एक बेलन के आयतन को V_cylinder = π r² h₂ के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूंकि त्रिज्याएँ समान हैं और आयतन भी समान हैं, इसलिए हम दोनों सूत्रों को बराबर रखते हैं:

⅓ π r² h₁ = π r² h₂

चूंकि π r² दोनों पक्षों में उभयनिष्ठ (common) है और गैर-शून्य है, इसलिए इसे काटा जा सकता है:

⅓ h₁ = h₂

उनकी ऊंचाइयों h₁ : h₂ का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

h₁/h₂ = 3/1

यह गणना दर्शाती है कि समान त्रिज्या होने पर समान आयतन बनाए रखने के लिए शंकु की ऊंचाई, बेलन की ऊंचाई की तीन गुनी होनी चाहिए।

व्याख्या

चार महीनों के दौरान उपयोग की गई खाद्य सामग्री C की औसत मात्रा ज्ञात करने के लिए, हम मार्च, अप्रैल, मई और जून में उपभोग की गई मात्राओं का योग करते हैं और कुल योग को महीनों की संख्या से विभाजित करते हैं।

औसत = (C की कुल मात्रा)/(महीनों की संख्या)

तालिका के आधार पर, खाद्य सामग्री C की मात्रा मार्च में 280 किग्रा, अप्रैल में 295 किग्रा, मई में 280 किग्रा और जून में 315 किग्रा है।

कुल मात्रा = 280 + 295 + 280 + 315 = 1170 किग्रा

औसत = ¹¹⁷⁰⁄₄ = 292.5 किग्रा

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c का चतुर्थानुपाती x, अनुपात a:b = c:x द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिससे सूत्र x = (b × c)/(a) प्राप्त होता है। दी गई संख्याएँ 144, 192, और 216 हैं, इन्हें सूत्र में रखने पर:

x = (192 × 216)/(144)

पहले दो पदों 144:192 के अनुपात को दोनों को 48 से विभाजित करके सरल किया जा सकता है, जिससे 3:4 प्राप्त होता है। चूंकि यही अनुपात अगले युग्म पर भी लागू होना चाहिए, इसलिए हमारे पास 216:x = 3:4 है। 216 को 3 से विभाजित करने पर 72 प्राप्त होता है, और इस इकाई मान को 4 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

x = 72 × 4 = 288

व्याख्या

BODMAS नियम लागू करते हुए, सबसे पहले कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को हल करें। मिश्रित भिन्नों को 2³⁄₁₀ = ²³⁄₁₀ और 2⅗ = ²⁶⁄₁₀ के रूप में परिवर्तित किया जाता है, जिससे इनका योग ²³⁺²⁶⁄₁₀ = ⁴⁹⁄₁₀ प्राप्त होता है। इसके बाद, 'का' (of) संक्रिया को हल करें: ⁴⁹⁄₁₀ का ³⁄₇ = ³⁄₇ × ⁴⁹⁄₁₀ = (3 × 7)/(10) = ²¹⁄₁₀।

अब व्यंजक सरल होकर ⁷⁄₁₀ ÷ ²¹⁄₁₀ + ⅕ ÷ ⁷⁄₅ - ²⁄₇ हो जाता है। व्युत्क्रमों (reciprocals) से गुणा करके भाग की संक्रियाओं को आगे हल करें: ⁷⁄₁₀ × ¹⁰⁄₂₁ = ⅓ और ⅕ × ⁵⁄₇ = ⅐। इन्हें वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर ⅓ + ⅐ - ²⁄₇ प्राप्त होता है। हर (denominator) 7 वाले पदों को मिलाने पर ⅓ - ⅐ प्राप्त होता है। अंत में, उभयनिष्ठ हर 21 का उपयोग करने पर, गणना (7 - 3)/(21) = ⁴⁄₂₁ है।

व्याख्या

tan 15° का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक कोणों A = 45° और B = 30° को प्रतिस्थापित करके सर्वसमिका tan (A - B) = (tan A - tan B)/(1 + tan A tan B) का उपयोग करते हैं। यह देखते हुए कि tan 45° = 1 और tan 30° = (1)/(√(3)) है, सूत्र इस प्रकार हो जाता है:

tan 15° = tan (45° - 30°) = (1 - 1)/(√(3)){1 + (1)((1)/(√(3)))}

जटिल भिन्न को समाप्त करने के लिए अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

tan 15° = √3 - 1{√3 + 1}

व्यंजक का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें, जो कि √3 - 1 है:

tan 15° = (√3 - 1)²{(√3 + 1)(√3 - 1)}

अंश में द्विपद के वर्ग (a - b)² = a² + b² - 2ab और हर में वर्गों के अंतर (a + b)(a - b) = a² - b² को लागू करने पर:

tan 15° = 3 + 1 - 2√3{3 - 1} = 4 - 2√3{2}

अंश से 2 को उभयनिष्ठ लेने और भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है:

tan 15° = 2 - √3

व्याख्या

आवश्यक कुल समय ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले सुरेश और अनिल की व्यक्तिगत टाइपिंग दर निर्धारित करते हैं। सुरेश की दर 40 / 5 = 8 पृष्ठ प्रति घंटा है। अनिल की दर 32 / 6 = 16/3 पृष्ठ प्रति घंटा है। चूंकि वे दो अलग-अलग कंप्यूटरों पर एक साथ काम कर रहे हैं, इसलिए उनके काम की संयुक्त दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग है।

संयुक्त दर = 8 + ¹⁶⁄₃ = (24 + 16)/(3) = ⁴⁰⁄₃ पृष्ठ प्रति घंटा।

110 पृष्ठों के असाइनमेंट को टाइप करने के लिए आवश्यक समय की गणना सूत्र समय = (कुल कार्य)/(संयुक्त दर) का उपयोग करके की जाती है।

समय = 110 ÷ ⁴⁰⁄₃ = 110 × ³⁄₄₀ = ³³⁄₄ = 8.25 घंटे।

0.25 घंटे को मिनटों में बदलने पर, हमें 0.25 × 60 = 15 मिनट प्राप्त होते हैं। इसलिए, आवश्यक कुल समय 8 घंटे और 15 मिनट है।

व्याख्या

चूंकि पुलिसकर्मी और चोर एक ही समय पर दौड़ना शुरू करते हैं और पीछा तब समाप्त होता है जब पुलिसकर्मी चोर को पकड़ लेता है, इसलिए दोनों के लिए यात्रा का समय स्थिर (समान) रहता है। जब समय स्थिर होता है, तो तय की गई दूरी चाल के सीधे आनुपातिक (समानुपाती) होती है।

पुलिसकर्मी और चोर की चाल का अनुपात = Vₚ : Vₜ = 32 : 25

पुलिसकर्मी और चोर द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात = Dₚ : Dₜ = 32 : 25

पुलिसकर्मी और चोर द्वारा तय की गई दूरी का अंतर उनके बीच की प्रारंभिक दूरी के बराबर होना चाहिए। दूरी की इकाइयों में अंतर = 32 - 25 = 7 इकाइयाँ

दिया गया है कि प्रारंभिक दूरी का अंतर 210 मीटर है: 7 इकाइयाँ = 210 मीटर 1 इकाई = ²¹⁰⁄₇ = 30 मीटर

पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा तय की गई दूरी 25 इकाइयों के संगत है: Dₜ = 25 × 30 = 750 मीटर

व्याख्या

तय की गई कुल दूरी यात्रा के प्रत्येक खंड में तय की गई दूरियों का योग है, जिसकी गणना सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करके की जाती है। साइकिल चलाने वाले खंड के लिए, D₁ = 8.5 × 4 = 34 किमी। ऑटो वाले खंड के लिए, D₂ = 20 × 1.5 = 30 किमी। पैदल चलने वाले खंड के लिए, D₃ = 4 × y = 4y किमी। कुल दूरी 34 + 30 + 4y = 64 + 4y है।

यात्रा का कुल समय व्यक्तिगत अवधियों का योग है: T = 4 + 1.5 + y = 5.5 + y। औसत गति को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। यह देखते हुए कि औसत गति 10 किमी/घंटा है, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं:

10 = (64 + 4y)/(5.5 + y)

दोनों पक्षों को (5.5 + y) से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 10(5.5 + y) = 64 + 4y 55 + 10y = 64 + 4y

y का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 10y - 4y = 64 - 55 6y = 9 y = ⁹⁄₆ = 1.5

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल की गणना सूत्र A = (θ)/(360°) × π r² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ θ केंद्रीय कोण है और r त्रिज्या है। दिया गया क्षेत्रफल A = 1848 मीटर², केंद्रीय कोण θ = 270°, और π = ²²⁄₇ है, हम इन मानों को सूत्र में रख सकते हैं:

1848 = ²⁷⁰⁄₃₆₀ × ²²⁄₇ × r²

सबसे पहले, वृत्त के भाग को दर्शाने वाले भिन्न को सरल करें: ²⁷⁰⁄₃₆₀ = ¾

अब, इसे वापस समीकरण में रखें: 1848 = ¾ × ²²⁄₇ × r² 1848 = ⁶⁶⁄₂₈ × r²

r² का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: r² = (1848 × 28)/(66)

1848 को 66 से विभाजित करने पर 28 प्राप्त होता है। इसलिए: r² = 28 × 28 r = √(28²) r = 28 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 60 इकाइयाँ (units) है। चूंकि 1 लड़का कार्य को 20 दिनों में पूरा कर सकता है, इसलिए एक लड़के की कार्यक्षमता E_B = 60 / 20 = 3 इकाइयाँ/दिन है। चूंकि 2 महिलाएँ कार्य को 30 दिनों में पूरा कर सकती हैं, इसलिए 2 महिलाओं की कार्यक्षमता 60 / 30 = 2 इकाइयाँ/दिन है, जिससे 1 महिला की कार्यक्षमता E_W = 1 इकाई/दिन हो जाती है।

एक महिला और एक लड़के की संयुक्त कार्यक्षमता E_W + E_B = 1 + 3 = 4 इकाइयाँ/दिन है। उनके द्वारा कार्य पूरा करने में लिया गया समय 60 / 4 = 15 दिन है। प्रश्न के अनुसार, एक पुरुष और एक महिला इस कार्य को इसके आधे समय में पूरा करते हैं, जो कि 15 / 2 = 7.5 दिन है।

इसलिए, एक पुरुष और एक महिला की संयुक्त कार्यक्षमता 60 / 7.5 = 8 इकाइयाँ/दिन है। महिला की कार्यक्षमता को घटाने पर, एक पुरुष की कार्यक्षमता E_M = 8 - 1 = 7 इकाइयाँ/दिन है। 4 पुरुषों की कुल कार्यक्षमता 4 × 7 = 28 इकाइयाँ/दिन है। 4 पुरुषों द्वारा कार्य को पूरा करने में लिया गया समय 60 / 28 = 15 / 7 है, जो लगभग 2.14 दिन है।

व्याख्या

कोई संख्या 18 से विभाज्य तब होती है जब वह 2 और 9 दोनों से एक साथ विभाज्य हो। 11-अंकीय संख्या 7823326867X के 2 से विभाज्य होने के लिए, अंतिम अंक X एक सम संख्या होनी चाहिए। संख्या के 9 से विभाज्य होने के लिए, इसके अंकों का योग 9 का एक गुणज होना चाहिए।

अंकों का योग 7 + 8 + 2 + 3 + 3 + 2 + 6 + 8 + 6 + 7 + X = 52 + X है। इस योग को 9 से विभाज्य बनाने के लिए, हम 52 से बड़े या उसके बराबर 9 के सबसे छोटे गुणज को देखते हैं, जो कि 54 (9 × 6 = 54) है। समीकरण 52 + X = 54 रखने पर X = 2 प्राप्त होता है। चूंकि 2 एक सम संख्या है, इसलिए यह 2 से विभाज्यता की शर्त को भी पूरा करता है, जिससे पूरी संख्या 18 से विभाज्य हो जाती है।

व्याख्या

कार्य-तुल्यता सूत्र व्यक्तियों की संख्या M, दिनों D, प्रतिदिन घंटों H और किए गए कार्य W को इस प्रकार संबंधित करता है: (M₁ · D₁ · H₁)/(W₁) = (M₂ · D₂ · H₂)/(W₂)।

पहले परिदृश्य के लिए, मानदंड M₁ = N + 18, D₁ = 20, H₁ = 7.5, और W₁ = 48 हैं। दूसरे परिदृश्य के लिए, शेष कार्य 100 - 48 = 52% है, और मानदंड M₂ = N + 12, D₂ = 30, H₂ = 6.5, और W₂ = 52 हैं।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: ((N + 18) · 20 · 7.5)/(48) = ((N + 12) · 30 · 6.5)/(52)

स्थिरांकों को सरल करने पर: ((N + 18) · 150)/(48) = ((N + 12) · 195)/(52)

भिन्नों को उनके महत्तम समापवर्तक (पहले भिन्न के लिए 6 और दूसरे के लिए 13) द्वारा सरल करने पर: (N + 18) · ²⁵⁄₈ = (N + 12) · ¹⁵⁄₄

हरों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 8 से गुणा करने पर: 25(N + 18) = 2 · 15(N + 12) 25(N + 18) = 30(N + 12)

दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर: 5(N + 18) = 6(N + 12) 5N + 90 = 6N + 72 90 - 72 = 6N - 5N N = 18

व्याख्या

किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय किए गए कार्य की मात्रा के सीधे समानुपाती होता है। यदि मोहित 24 दिनों में कार्य का 2/3 भाग पूरा करता है, तो पूरे कार्य (1 इकाई) को पूरा करने के लिए आवश्यक समय 24 × 3/2 = 36 दिन है। कार्य के 1/9 भाग के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम कुल समय को आवश्यक भिन्न से गुणा करते हैं: 36 × 1/9 = 4 दिन। इसे सीधे अनुपात (W₁)/(T₁) = (W₂)/(T₂) का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है, जहाँ (2/3)/(24) = (1/9)/(T₂) है। T₂ के लिए हल करने पर, T₂ = (1/9 × 24)/(2/3) = 24/9 × 3/2 = 8/3 × 3/2 = 4 दिन प्राप्त होता है।

व्याख्या

x⁶ - (1)/(x⁶) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका x⁶ - (1)/(x⁶) = (x³ + (1)/(x³))(x³ - (1)/(x³)) का उपयोग करते हैं।

सबसे पहले, दिए गए x + ¹⁄ₓ = 2√2 से संक्षिप्त सूत्र k³ - 3k का उपयोग करके x³ + (1)/(x³) की गणना करें: x³ + (1)/(x³) = (2√2)³ - 3(2√2) = 16√2 - 6√2 = 10√2

इसके बाद, सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = (x + ¹⁄ₓ)² - 4 का उपयोग करके x - ¹⁄ₓ ज्ञात करें: (x - ¹⁄ₓ)² = (2√2)² - 4 = 8 - 4 = 4 चूंकि x > 1 दिया गया है, इसलिए x - ¹⁄ₓ = √4 = 2 होगा।

अब, x - ¹⁄ₓ = 2 से सूत्र m³ + 3m का उपयोग करके x³ - (1)/(x³) की गणना करें: x³ - (1)/(x³) = (2)³ + 3(2) = 8 + 6 = 14

अंत में, व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए दोनों परिणामों को गुणा करें: x⁶ - (1)/(x⁶) = (10√2) × 14 = 140√2

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दिए गए समीकरण से cot x का मान ज्ञात करते हैं। इससे शुरू करते हुए:

(sin x - cos x)/(sin x + cos x) = ⅖

तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर, हमें प्राप्त होता है: 5(sin x - cos x) = 2(sin x + cos x) 5sin x - 5cos x = 2sin x + 2cos x 3sin x = 7cos x

दोनों पक्षों को 3sin x से विभाजित करने पर, हमें cot x का मान प्राप्त होता है: (cos x)/(sin x) = ³⁄₇ ⟹ cot x = ³⁄₇

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर cot² x = ⁹⁄₄₉ प्राप्त होता है। अब, हम इसे वांछित व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:

(1 + cot² x)/(1 - cot² x) = (1 + 9)/(49){1 - ⁹⁄₄₉}

अंश और हर को सरल करने पर: (49 + 9)/(49){(49 - 9)/(49)} = ⁵⁸⁄₄₀

भिन्न को सरल करने पर: ⁵⁸⁄₄₀ = ²⁹⁄₂₀ = 1.45

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय रूप (a² + b² - ab)/(a³ + b³) का अनुसरण करता है जहाँ a = 432 और b = 247 है। दो घनों के योग के बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, हर को a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इस सर्वसमिका को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(a² - ab + b²)/((a + b)(a² - ab + b²))

पद (a² - ab + b²) अंश और हर दोनों में मौजूद है, जिससे वे एक-दूसरे से कट जाते हैं। इससे संपूर्ण व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

(1)/(a + b)

सरलीकृत सूत्र में a और b के संख्यात्मक मानों को पुनः प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(1)/(432 + 247) = ¹⁄₆₇₉

व्याख्या

चाल v को सूत्र v = ᵈ⁄ₜ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ d दूरी है और t समय है। पहले दिन, संबंध v = ˣ⁄ₜ के रूप में स्थापित होता है। दूसरे दिन, नई चाल vₙₑ_w की गणना नई दूरी 2.5x और नए समय 0.75t का उपयोग करके की जाती है:

vₙₑ_w = (2.5x)/(0.75t)

समीकरण में प्रारंभिक संबंध v = ˣ⁄ₜ को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

vₙₑ_w = (2.5)/(0.75) v

अंश और हर दोनों को 100 से गुणा करके संख्यात्मक गुणांक को सरल करने पर प्राप्त होता है:

vₙₑ_w = ²⁵⁰⁄₇₅ v = ¹⁰⁄₃ v

व्याख्या

एक दौड़ में हराने वाली दूरी (beating distance) को उस दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जो धीमे धावक को उस सटीक क्षण में तय करनी होती है जब विजेता फिनिश लाइन (अंतिम रेखा) को पार करता है। इसे ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले धीमे धावक, मोहन की गति निर्धारित करते हैं।

मोहन की गति v = (कुल दूरी)/(मोहन द्वारा लिया गया समय) = ¹¹⁷⁰⁄₉₀ = 13 मीटर/सेकंड।

रमन 65 सेकंड में अंतिम बिंदु पर पहुँचता है। समय के इस विशिष्ट बिंदु पर, मोहन अभी भी ट्रैक पर है। मोहन को दौड़ पूरी करने के लिए शेष समय उनके समाप्त करने के समय का अंतर है: समय का अंतर = 90 - 65 = 25 सेकंड।

वह दूरी जिससे रमन, मोहन को हराता है, वह दूरी है जो मोहन इस शेष समय अंतराल के दौरान तय करता है: हराने की दूरी = मोहन की गति × समय का अंतर हराने की दूरी = 13 × 25 = 325 मीटर।

व्याख्या

माना कुल कार्य A और B द्वारा लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 6 इकाई है। A की कार्यक्षमता 6 / 3 = 2 इकाई प्रति घंटा है, और B की कार्यक्षमता 6 / 6 = 1 इकाई प्रति घंटा है। बारी-बारी से कार्य करते हुए, वे प्रत्येक 2 घंटे में 2 + 1 = 3 इकाई कार्य पूरा करते हैं। 6 इकाई के कुल कार्य को पूरा करने के लिए, आवश्यक 2-घंटे के चक्रों की संख्या 6 / 3 = 2 है। अतः, लिया गया कुल समय 2 × 2 = 4 घंटे है।

व्याख्या

प्रतिच्छेदी छेदक रेखा प्रमेय (बिंदु की घात) के अनुसार, जब किसी बाहरी बिंदु P से एक वृत्त पर दो छेदक रेखाएँ खींची जाती हैं, तो संपूर्ण छेदक खंड की लंबाई और उसके बाहरी भाग की लंबाई का गुणनफल दोनों छेदक रेखाओं के लिए समान होता है। यह संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है: PA · PB = PC · PD

दिया गया है कि पहला छेदक खंड PA = 200 मिमी और जीवा की लंबाई AB = 120 मिमी है, तो बाहरी खंड PB की लंबाई है: PB = PA - AB = 200 - 120 = 80 मिमी

दूसरी छेदक रेखा के लिए, बाहरी बिंदु से दूर वाले प्रतिच्छेदन बिंदु तक की लंबाई PC = 160 मिमी दी गई है। मान लीजिए कि PD इस छेदक रेखा के बाहरी खंड की लंबाई को दर्शाता है। प्रमेय में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 200 · 80 = 160 · PD 16000 = 160 · PD PD = 100 मिमी

जीवा CD की लंबाई, छेदक खंड की कुल लंबाई PC और उसके बाहरी भाग PD के बीच का अंतर है: CD = PC - PD = 160 - 100 = 60 मिमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) का उपयोग करते हुए, हम a = sin θ और b = cos θ प्रतिस्थापित करते हैं। यह व्यंजक सरल होकर 2(sin² θ + cos² θ) हो जाता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, θ के किसी भी मान के लिए sin² θ + cos² θ = 1 होता है। इस सर्वसमिका को सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर 2(1) = 2 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, दोनों वर्गों का विस्तार करने पर (sin² θ + 2 sin θ cos θ + cos² θ) + (sin² θ - 2 sin θ cos θ + cos² θ) प्राप्त होता है। गुणनफल वाले पद 2 sin θ cos θ और -2 sin θ cos θ एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे 2 sin² θ + 2 cos² θ बचता है, जो सरल होकर 2(sin² θ + cos² θ) = 2 हो जाता है।

व्याख्या

कुल लाभ प्रतिशत की गणना करने के लिए, हम सबसे पहले बेची गई मात्रा का वास्तविक क्रय मूल्य निर्धारित करते हैं। पंसारी ₹50 प्रति 1000 ग्राम की दर से चीनी खरीदता है, इसलिए 1 ग्राम का क्रय मूल्य ₹0.05 है। चूंकि वह 1000 ग्राम के स्थान पर 900 ग्राम देता है, इसलिए बेची गई मात्रा के लिए उसका वास्तविक क्रय मूल्य (CP) 900 × 0.05 = ₹45 है।

पंसारी इस 900 ग्राम मात्रा को ₹48 में बेचता है। इसलिए, विक्रय मूल्य (SP) ₹48 है। अर्जित लाभ = SP - CP = 48 - 45 = ₹3 है। लाभ प्रतिशत की गणना वास्तविक क्रय मूल्य पर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ % = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

लाभ % = ³⁄₄₅ × 100 = ¹⁄₁₅ × 100 = 6.666...%

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, अनुमानित लाभ प्रतिशत 6.7% है।

व्याख्या

कोई संख्या 36 से विभाज्य होती है यदि वह 4 और 9 दोनों के विभाज्यता नियमों को संतुष्ट करती है, क्योंकि 4 और 9, 36 के सह-अभाज्य गुणनखंड हैं। 4 से विभाज्य होने के लिए, संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य होनी चाहिए। 55512 में, अंतिम दो अंक 12 हैं, जो 4 से विभाज्य हैं (12 = 4 × 3)। 9 से विभाज्य होने के लिए, संख्या के अंकों का योग 9 का एक गुणज होना चाहिए। 55512 के लिए, अंकों का योग 5 + 5 + 5 + 1 + 2 = 18 है। चूंकि 18, 9 से विभाज्य है (18 = 9 × 2), इसलिए यह संख्या दोनों मानदंडों को पूरा करती है। अतः, 55512, 36 से विभाज्य है।

व्याख्या

एक त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई सूत्र l = (θ)/(360°) × π d द्वारा दी जाती है, जहाँ θ केंद्रीय कोण है और d वृत्त का व्यास है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ θ = 108°, d = 7 सेमी, और π = ²²⁄₇:

l = ¹⁰⁸⁄₃₆₀ × ²²⁄₇ × 7

l = ¹⁰⁸⁄₃₆₀ × 22

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 36 से विभाजित करके भिन्न ¹⁰⁸⁄₃₆₀ को सरल करने पर:

(108 ÷ 36)/(360 ÷ 36) = ³⁄₁₀

अब, इसे 22 से गुणा करें:

l = ³⁄₁₀ × 22 = ⁶⁶⁄₁₀ = 6.6 सेमी

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय अवधि है।

दिया गया है: P = 6,000, R = 8%, और T = 21 महीने। हम सबसे पहले समय को 12 से विभाजित करके वर्ष में बदलते हैं, जिससे T = ²¹⁄₁₂ वर्ष प्राप्त होता है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: SI = (6000 × 8 × 21)/(100 × 12)

गणना को सरल करने पर: SI = 60 × 8 × ⁷⁄₄ SI = 60 × 2 × 7 SI = 120 × 7 = 840

व्याख्या

अनुक्रमानुपाती संबंध को समीकरण A = k(B + 18) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ k आनुपातिकता स्थिरांक है। दिए गए प्रारंभिक मानों का उपयोग करने पर, 108 = k(36 + 18), जो सरल होकर 108 = 54k हो जाता है। दोनों पक्षों को 54 से विभाजित करने पर k = 2 प्राप्त होता है।

जब B = 68 हो, तो A का मान ज्ञात करने के लिए, स्थिरांक k और B के नए मान को वापस अनुक्रमानुपाती सूत्र में रखें:

A = 2(68 + 18) A = 2(86) A = 172

व्याख्या

एक शंक्वाकार तंबू का आयतन V, सूत्र V = ⅓ π r² h द्वारा दिया जाता है। दी गई त्रिज्या r = 7 m और ऊर्ध्वाधर ऊंचाई h = 24 m रखने पर, और π = ²²⁄₇ लेने पर, गणना V = ⅓ × ²²⁄₇ × 7² × 24 है। इसे सरल करने पर, हर (denominator) में मौजूद 7, r² पद के एक 7 को काट देता है, और 24 को 3 से विभाजित करने पर 8 प्राप्त होता है। इससे V = 22 × 7 × 8 प्राप्त होता है, जिसकी गणना करने पर 1232 m³ आता है। चूंकि चावल की प्रत्येक बोरी 2 m³ स्थान घेरती है, इसलिए तंबू में समा सकने वाली पूरी बोरियों की संख्या 1232 / 2 = 616 है।

व्याख्या

औसत गति कुल दूरी और कुल समय का अनुपात होती है। सबसे पहले, सूत्र t₁ = (d₁)/(s₁) = ²⁴⁄₄₈ = 0.5 घंटे का उपयोग करके पहले खंड के लिए लिया गया समय ज्ञात कीजिए। इसके बाद, d₂ = s₂ × t₂ = 80 × 1.5 = 120 किमी का उपयोग करके दूसरे खंड में तय की गई दूरी की गणना कीजिए। पूरी यात्रा के लिए कुल दूरी 24 + 120 = 144 किमी है, और लिया गया कुल समय 0.5 + 1.5 = 2 घंटे है। इन मानों को औसत गति के सूत्र में रखने पर, हमें ¹⁴⁴⁄₂ = 72 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (cos A)/(1 - sin A) + (cos A)/(1 + sin A) = 4 है। cos A को उभयनिष्ठ (common) लेने पर और कोष्ठक के भीतर के पदों को एक समान हर (common denominator) लेकर सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: cos A ( (1 + sin A + 1 - sin A)/((1 - sin A)(1 + sin A)) ) = 4 सर्वसमिका (1 - sin A)(1 + sin A) = 1 - sin² A = cos² A का उपयोग करने पर, समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: cos A ( (2)/(cos² A) ) = 4 (2)/(cos A) = 4 cos A = ²⁄₄ = ½ अंतराल 0° < A < 90° में, कोसाइन (cosine) फलन का मान ½ तब होता है जब A = 60° होता है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच के संबंध को सीधे अनुपात सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है: (MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)

चूंकि क्रय मूल्य ₹9,000 है, लाभ प्रतिशत 10 है, और छूट प्रतिशत 10 है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: (MP)/(9000) = (100 + 10)/(100 - 10) (MP)/(9000) = ¹¹⁰⁄₉₀

दाहिनी ओर के भिन्न को सरल करने पर: (MP)/(9000) = ¹¹⁄₉

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, क्रय मूल्य को इस अनुपात से गुणा करें: MP = 9000 × ¹¹⁄₉ MP = 1000 × 11 MP = 11,000

वैकल्पिक रूप से, विक्रय मूल्य (SP) की गणना क्रय मूल्य में 10% लाभ जोड़कर की जाती है: 9000 + 9000 का 10% = 9900। चूंकि यह SP अंकित मूल्य (MP) पर 10% की छूट के बाद के मूल्य को दर्शाता है, इसलिए MP का 90% = 9900। MP के लिए हल करने पर 9900 / 0.9 = 11,000 प्राप्त होता है।

व्याख्या

3 के विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 3 से विभाज्य तभी होती है जब उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। संख्या 34783 के लिए, अंकों का योग 3 + 4 + 7 + 8 + 3 = 25 है। चूंकि 25, 3 से विभाज्य नहीं है (25 = 3 × 8 + 1), इसलिए संख्या 34783, 3 से विभाज्य नहीं है।

व्याख्या

जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से एक बिंदु P पर स्पर्श करते हैं, तो उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा AB के खंड द्वारा स्पर्श बिंदु P पर अंतरित कोण हमेशा 90° होता है। इसे P पर एक उभयनिष्ठ अंतः स्पर्श रेखा खींचकर दर्शाया जा सकता है जो AB को एक बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती है। चूंकि किसी बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है, इसलिए MA = MP और MB = MP होता है। इससे प्राप्त होता है कि MA = MB = MP, जिसका अर्थ है कि M, AB का मध्य-बिंदु है और △ APB का परिकेंद्र है। चूंकि माध्यिका MP, भुजा AB की लंबाई की आधी है, इसलिए △ APB एक समकोण त्रिभुज होना चाहिए जिसमें ∠ APB = 90° हो।

△ APB में, सभी अंतः कोणों का योग 180° होता है। दिए गए मान ∠ PAB = 65° और व्युत्पन्न गुण ∠ APB = 90° का उपयोग करके, हम तीसरे कोण की गणना निम्नानुसार करते हैं: ∠ ABP = 180° - (∠ APB + ∠ PAB) ∠ ABP = 180° - (90° + 65°) ∠ ABP = 180° - 155° = 25°

व्याख्या

विपरीत दिशाओं में गतिमान दो व्यक्तियों के लिए एक वृत्ताकार पथ पर मिलने के अलग-अलग बिंदुओं की संख्या उनकी गतियों के सरलीकृत अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है। मान लीजिए कि गतियाँ v₁ और v₂ हैं। हम अनुपात v₁ : v₂ को x : y के रूप में सरल करते हैं ताकि x और y सह-अभाज्य (co-prime) पूर्णांक हों।

दिया गया है कि v₁ = 20 मी/से और v₂ = 30 मी/से, अनुपात 20 : 30 = 2 : 3 है। यहाँ, x = 2 और y = 3 है। विपरीत दिशाओं में गति के लिए, मिलने के अलग-अलग बिंदुओं की संख्या की गणना x + y के रूप में की जाती है। सरलीकृत मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 + 3 = 5 प्राप्त होता है।

इसे सापेक्ष गति और समय के माध्यम से भी समझा जा सकता है। दोनों व्यक्तियों की सापेक्ष गति v₁ + v₂ = 20 + 30 = 50 मी/से है। प्रत्येक मिलन में लगने वाला समय पथ की लंबाई को सापेक्ष गति से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 100 / 50 = 2 सेकंड। दोनों व्यक्तियों के एक साथ प्रारंभिक बिंदु पर वापस लौटने के लिए आवश्यक समय उनके चक्कर लगाने के समय (lap times) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) होता है। चक्कर लगाने का समय 100 / 20 = 5 सेकंड और 100 / 30 = 10/3 सेकंड है। 5 और 10/3 का LCM 10 सेकंड है। 10 सेकंड के इस चक्र के भीतर, वे 10 / 2 = 5 बार मिलते हैं। चूंकि वे 10 सेकंड के चक्र के अंत में प्रारंभिक बिंदु पर वापस लौटते हैं, इसलिए ये 5 मिलन बिंदु ही एकमात्र ऐसे अलग-अलग स्थान हैं जहाँ वे पैटर्न दोहराए जाने से पहले एक-दूसरे को पार करते हैं।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca)) है।

(ab + bc + ca) का मान ज्ञात करने के लिए, हम त्रिपद के वर्ग की सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों a + b + c = 12 और a² + b² + c² = 50 को प्रतिस्थापित करने पर:

12² = 50 + 2(ab + bc + ca) 144 = 50 + 2(ab + bc + ca) 144 - 50 = 2(ab + bc + ca) 94 = 2(ab + bc + ca) ab + bc + ca = 47

अब, इन मानों को त्रिघात सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 12 × (50 - 47) a³ + b³ + c³ - 3abc = 12 × 3 a³ + b³ + c³ - 3abc = 36

व्याख्या

साड़ी का अंकित मूल्य (MP), ₹500 के क्रय मूल्य (CP) पर 16% लाभ जोड़कर निकाला जाता है। सूत्र MP = CP × (1 + (लाभ%)/(100)) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: MP = 500 × (1 + ¹⁶⁄₁₀₀) = 500 × 1.16 = 580।

विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP) पर x% की छूट देने के बाद प्राप्त होता है। इनके बीच का संबंध SP = MP × (1 - ˣ⁄₁₀₀) है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 493 = 580 × (1 - ˣ⁄₁₀₀)। दोनों पक्षों को 580 से विभाजित करने पर 1 - ˣ⁄₁₀₀ = ⁴⁹³⁄₅₈₀ = 0.85 प्राप्त होता है। x के लिए हल करने पर ˣ⁄₁₀₀ = 1 - 0.85 = 0.15 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 15।

व्याख्या

किसी भी समूह का कुल वजन इस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: कुल वजन = छात्रों की संख्या × औसत वजन।

प्रारंभ में, 32 छात्रों का कुल वजन 32 × 18.5 = 592 किग्रा है।

4 छात्रों के समूह छोड़ने के बाद, 28 छात्र बचते हैं (32 - 4 = 28)। इन 28 छात्रों का नया कुल वजन 28 × 15.5 = 434 किग्रा है।

समूह छोड़ने वाले 4 छात्रों का संयुक्त वजन प्रारंभिक कुल वजन और शेष कुल वजन के बीच का अंतर है: 592 - 434 = 158 किग्रा।

समूह छोड़ने वाले 4 छात्रों का औसत वजन ज्ञात करने के लिए, उनके कुल वजन को छात्रों की संख्या से विभाजित करें: ¹⁵⁸⁄₄ = 39.5 किग्रा।

व्याख्या

व्यंजक tan² θ + tan⁴ θ को tan² θ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालकर सरल किया जा सकता है, जिससे tan² θ (1 + tan² θ) प्राप्त होता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + tan² θ = sec² θ का उपयोग करके, हम कोष्ठक वाले पद के स्थान पर sec² θ और प्रारंभिक tan² θ के स्थान पर (sec² θ - 1) प्रतिस्थापित कर सकते हैं। यह व्यंजक निम्न बन जाता है:

(sec² θ - 1) sec² θ = sec⁴ θ - sec² θ

दिया गया है कि sec θ = ⁴⁄₃, हम वर्ग और चतुर्थ-घात के मानों की गणना करते हैं: sec² θ = (⁴⁄₃)² = ¹⁶⁄₉ sec⁴ θ = (¹⁶⁄₉)² = ²⁵⁶⁄₈₁

इन मानों को व्युत्पन्न सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: ²⁵⁶⁄₈₁ - ¹⁶⁄₉ = ²⁵⁶⁄₈₁ - ¹⁴⁴⁄₈₁ = ¹¹²⁄₈₁

व्याख्या

कोष्ठकों के भीतर की संक्रियाओं को पहले हल करने के लिए BODMAS नियम लागू करके व्यंजक को सरल किया जाता है।

अंश में पहला समूह (12 + 5 - 48/16 + 71) है। भाग का मूल्यांकन करने पर 12 + 5 - 3 + 71 प्राप्त होता है, जिसका योग 85 होता है।

दूसरा समूह (72/36 + 6 × 7)/11 है। आंतरिक पदों का मूल्यांकन करने पर (2 + 42)/11 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 44/11 = 4 हो जाता है।

तीसरा समूह [(51 + 4 - 13) + (13 - 12 × 7)] है। आंतरिक कोष्ठक का पहला सेट 55 - 13 = 42 देता है। दूसरा सेट 13 - 84 = -71 देता है। इन्हें आपस में जोड़ने पर 42 + (-71) = -29 प्राप्त होता है।

अब, इन भागों को अंश की संरचना में संयोजित करने पर: 85 + (4 × -29) प्राप्त होता है। पहले गुणा करने पर 85 - 116 प्राप्त होता है, जो -31 के बराबर है।

इस अंश को दिए गए हर के ऊपर रखने पर (-31)/232 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सर्वसमिका cot (A - B) = (cot A cot B + 1)/(cot B - cot A) का उपयोग करके cot 15° का मान ज्ञात करने के लिए, हम A = 45° और B = 30° प्रतिस्थापित करते हैं, क्योंकि 45° - 30° = 15° है। मानक त्रिकोणमितीय मानों cot 45° = 1 और cot 30° = √3 का उपयोग करने पर, सूत्र से प्राप्त होता है:

cot 15° = cot (45° - 30°) = (cot 45° cot 30° + 1)/(cot 30° - cot 45°)

cot 15° = (1)(√3) + 1{√3 - 1} = √3 + 1{√3 - 1}

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को संयुग्मी √3 + 1 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं:

cot 15° = (√3 + 1)(√3 + 1){(√3 - 1)(√3 + 1)}

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (a + b)² = a² + 2ab + b² और (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करने पर:

cot 15° = 3 + 2√3 + 1{3 - 1} = 4 + 2√3{2}

अंश के पदों को हर से विभाजित करने पर अंतिम मान प्राप्त होता है:

cot 15° = 2 + √3

व्याख्या

α से स्वतंत्र संबंध ज्ञात करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² α - tan² α = 1 का उपयोग करते हैं।

पहले दिए गए समीकरण, P cos α = 3 से, हम cos α = (3)/(P) लिख सकते हैं। चूंकि sec α = (1)/(cos α) है, इसलिए sec α = (P)/(3) प्राप्त होता है।

दूसरे दिए गए समीकरण, 4 tan α = Q से, हम tan α = (Q)/(4) लिख सकते हैं।

इन मानों को त्रिकोणमितीय सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

((P)/(3))² - ((Q)/(4))² = 1

पदों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है:

(P²)/(9) - (Q²)/(16) = 1

यह समीकरण P और Q के बीच के उस संबंध को दर्शाता है जो α से स्वतंत्र है।