एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) यूक्लिडीय ज्यामिति (Euclidean geometry) का एक मूलभूत सिद्धांत है, जो यह बताता है कि किसी भी त्रिभुज के लिए, किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए। गणितीय रूप से, यदि a, b, और c किसी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को दर्शाते हैं, तो a + b > c, a + c > b, और b + c > a सभी शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए। यह गुण इस तथ्य से प्राप्त होता है कि किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी एक सीधी रेखा होती है। यदि दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा के बराबर या उससे कम हो, तो तीनों शीर्ष या तो एक ही सीधी रेखा पर स्थित होंगे या रेखाखंड आपस में जुड़ने के लिए पर्याप्त लंबे नहीं होंगे, जिससे एक बंद तीन-भुजाओं वाले बहुभुज का निर्माण नहीं हो पाएगा।

व्याख्या

तारा 10 दिनों में काम का 10/15 या 2/3 भाग पूरा करती है, जिससे 1/3 काम शेष रह जाता है। चूंकि सारा पूरे काम को 18 दिनों में पूरा कर सकती है, इसलिए वह शेष काम को पूरा करने के लिए 18 का 1/3 भाग, यानी 6 दिन का समय लेगी।

व्याख्या

दिया गया है कि x + 1/x = 6, सर्वसमिका (x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 का उपयोग करने पर, हमें (x - 1/x)² = 36 - 4 = 32 प्राप्त होता है। चूंकि x > 1 है, इसलिए x - 1/x = √32 = 4·√2 है। x² - 1/x² का मान (x + 1/x)(x - 1/x) = 6 · 4·√2 = 24·√2 है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के तृतीय समानुपाती c की गणना सूत्र c = b²/a का उपयोग करके की जाती है। a = 7 और b = 63 प्रतिस्थापित करने पर, हमें c = (63 × 63) / 7 = 9 × 63 = 567 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल कार्य 40 पुरुषों और 30 दिनों का गुणनफल है, जो 1200 पुरुष-दिनों के बराबर है। यदि 10 पुरुष समूह छोड़ देते हैं, तो शेष 30 पुरुषों को कार्य पूरा करने में 1200 को 30 से विभाजित करने पर 40 दिन लगेंगे।

व्याख्या

जब M वस्तुओं का क्रय मूल्य (CP), N वस्तुओं के विक्रय मूल्य (SP) के बराबर होता है, तो लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित मानक संबंध का उपयोग करके की जाती है:

लाभ % = (M - N)/(N) × 100

इस प्रश्न में, 28 संतरों का क्रय मूल्य (M = 28), 24 संतरों के विक्रय मूल्य (N = 24) के बराबर है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

लाभ % = (28 - 24)/(24) × 100

लाभ % = ⁴⁄₂₄ × 100 = ⅙ × 100

लाभ % = ¹⁰⁰⁄₆ = ⁵⁰⁄₃ = 16⅔%

व्याख्या

समान दिशा में चल रहे व्यक्ति के सापेक्ष ट्रेन की सापेक्ष गति उनकी गतियों का अंतर है: 125 किमी/घंटा - 17 किमी/घंटा = 108 किमी/घंटा। इसे मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, हम 5/18 से गुणा करते हैं: 108 * (5/18) = 30 मीटर/सेकंड। ट्रेन द्वारा व्यक्ति को पार करने में लिया गया समय, दूरी (ट्रेन की लंबाई) को सापेक्ष गति से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 252 मीटर / 30 मीटर/सेकंड = 8.4 सेकंड।

व्याख्या

दिया गया है कि tan⁴ θ + tan² θ = 1, हम इसका गुणनखंड tan² θ(tan² θ + 1) = 1 के रूप में कर सकते हैं, जो सरल होकर tan² θ * sec² θ = 1 हो जाता है। चूंकि tan² θ = sin² θ / cos² θ और sec² θ = 1 / cos² θ है, हमें sin² θ / cos⁴ θ = 1, या sin² θ = cos⁴ θ प्राप्त होता है। व्यंजक 11(cos⁴ θ + cos² θ) में cos⁴ θ = sin² θ प्रतिस्थापित करने पर हमें 11(sin² θ + cos² θ) = 11(1) = 11 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 2 + 2 cos(x) = 4 cos²(x/2) का उपयोग करने पर, सबसे आंतरिक वर्गमूल इस प्रकार सरल होता है: √(2 + 2 cos 8θ) = 2 cos 4θ। दूसरे वर्गमूल के लिए इस प्रक्रिया को दोहराने पर √(2 + 2 cos 4θ) = 2 cos 2θ प्राप्त होता है, और सबसे बाहरी वर्गमूल के लिए √(2 + 2 cos 2θ) = 2 cos θ प्राप्त होता है।

व्याख्या

बचत की गणना मूल संबंध बचत = आय - व्यय का उपयोग करके की जाती है।

अविनाश के लिए, मासिक बचत है: 50,000 - 18,000 = 32,000

राधा के लिए, मासिक बचत है: 60,000 - 24,000 = 36,000

प्रश्न में राधा की बचत का अविनाश की बचत से अनुपात पूछा गया है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: राधा की बचत : अविनाश की बचत = 36,000 : 32,000

अनुपात को सरल बनाने के लिए, सबसे पहले दोनों पदों को 1,000 से विभाजित करके 36 : 32 प्राप्त करें। फिर, दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक से विभाजित करें, जो कि 4 है: ³⁶⁄₄ : ³²⁄₄ = 9 : 8

यह परिणाम उनकी संबंधित बचत के बीच के अनुपात के सबसे सरल पूर्णांक रूप को दर्शाता है।

व्याख्या

जब दो व्यक्ति, A और B, किसी कार्य को क्रमशः x और y घंटों में पूरा कर सकते हैं, तो दोनों द्वारा एक साथ मिलकर कार्य करने में लिया गया कुल समय T, सूत्र T = (x × y)/(x + y) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। यह इस तथ्य से प्राप्त होता है कि उनकी संयुक्त कार्य दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग है, ¹⁄ₓ + (1)/(y) = (x + y)/(xy)।

दिया गया है: A द्वारा लिया गया समय, x = 8 घंटे B द्वारा लिया गया समय, y = 12 घंटे

इन मानों को सूत्र में रखने पर: T = (8 × 12)/(8 + 12) T = ⁹⁶⁄₂₀ T = 4.8 घंटे

वैकल्पिक रूप से, लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) विधि का उपयोग करके, मान लीजिए कि कुल कार्य 8 और 12 का LCM है, जो कि 24 इकाई है। A की कार्यक्षमता 24 / 8 = 3 इकाई प्रति घंटा है, और B की कार्यक्षमता 24 / 12 = 2 इकाई प्रति घंटा है। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 3 + 2 = 5 इकाई प्रति घंटा है। एक साथ कार्य को पूरा करने में लिया गया समय 24 / 5 = 4.8 घंटे है।

व्याख्या

उनके मिलने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले रोहित की गति को मीटर/सेकंड में बदलें: 5.4 किमी/घंटा = 5.4 * (5/18) = 1.5 मीटर/सेकंड। चूंकि वे विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है: 2.85 मीटर/सेकंड + 1.5 मीटर/सेकंड = 4.35 मीटर/सेकंड। मिलने में लगने वाला समय कुल दूरी को सापेक्ष गति से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 600 मीटर / 4.35 मीटर/सेकंड = 137.93 सेकंड, जो एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर लगभग 2.3 मिनट है।

व्याख्या

32 और 69 के बीच की अभाज्य संख्याएँ 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 और 67 हैं। इन आठ संख्याओं का योग 408 है, और उनका औसत 408 को 8 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 51 के बराबर है।

व्याख्या

चूंकि 7 cot P = 24 है, इसलिए cot P = 24/7 होगा। एक समकोण त्रिभुज में, इसका अर्थ है कि आधार 24 है और लंब 7 है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, कर्ण √(24² + 7²) = 25 है, इसलिए sin P = लंब/कर्ण = 7/25 होगा।

व्याख्या

राम, रोहन और रोहित की दैनिक कार्यक्षमता क्रमशः 10, 6 और 5 इकाई है (कुल कार्य 150 इकाई)। रोहन और रोहित 2 दिनों में 22 इकाई कार्य पूरा करते हैं, जिससे 128 इकाई कार्य शेष बचता है जिसे राम और रोहन 8 दिनों में पूरा करते हैं (128 को 16 से विभाजित करने पर)। कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय 2 और 8 है, जो 10 दिनों के बराबर है।

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, BODMAS नियम लागू किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है: कोष्ठक (Brackets), घातांक (Orders), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction)।

सबसे आंतरिक कोष्ठक का मान पहले निकाला जाता है: 11 × 9 = 99

इसके बाद, मझले कोष्ठक (curly braces) के भीतर के व्यंजक को हल किया जाता है। कोष्ठक के भीतर संक्रियाओं को लागू करने पर: 121 × 81 ÷ 99 = 121 × ⁸¹⁄₉₉

उभयनिष्ठ गुणनखंड 9 द्वारा भिन्न ⁸¹⁄₉₉ को सरल करने पर ⁹⁄₁₁ प्राप्त होता है। गणना इस प्रकार हो जाती है: 121 × ⁹⁄₁₁ = 11 × 9 = 99

फिर, बड़े कोष्ठक (square brackets) को सरल करें। बाएं से दाएं भाग और गुणा की संक्रिया करने के नियम का पालन करते हुए: 144 ÷ 198 × 99 = ¹⁴⁴⁄₁₉₈ × 99

चूंकि 198 ठीक 99 का दोगुना है, इसलिए यह सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: ¹⁴⁴⁄₂ = 72

अंत में, कोष्ठक के भीतर के सरलीकृत मान को बाहरी गुणांक से गुणा करें: 2.5 × 72 = 180

व्याख्या

व्यक्तियों की कुल आयु उनकी औसत आयु और व्यक्तियों की संख्या का गुणनफल होती है। पिता और माता के लिए, उनकी आयु का योग 40 × 2 = 80 वर्ष है। पिता, माता और पुत्री वाले पूरे परिवार के लिए, उनकी आयु का योग 30 × 3 = 90 वर्ष है।

पुत्री की आयु, परिवार के तीनों सदस्यों की कुल आयु और माता-पिता की संयुक्त आयु के बीच का अंतर है: पुत्री की आयु = (तीनों की आयु का योग) - (माता-पिता की आयु का योग) पुत्री की आयु = 90 - 80 = 10 वर्ष।

व्याख्या

वास्तविक लाभ प्रतिशत की गणना दुकानदार द्वारा वहन किए गए वास्तविक क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य के अनुपात पर विचार करके की जा सकती है। मान लीजिए कि प्रति इकाई वजन का क्रय मूल्य 1 है। 100 इकाइयों के मानक वजन के लिए, क्रय मूल्य 100 है। दुकानदार इसे 15% लाभ पर बेचता है, इसलिए विक्रय मूल्य (SP) = 100 × 1.15 = 115 है।

हालाँकि, दुकानदार एक ऐसे वजन का उपयोग करता है जो मानक वजन से 20% कम है। इस प्रकार, दिया गया वास्तविक वजन 100 × (1 - 0.20) = 80 इकाई है। इस लेनदेन के लिए दुकानदार के लिए प्रभावी क्रय मूल्य (CP) इन 80 इकाइयों की लागत है, जो कि 80 है।

वास्तविक लाभ प्रतिशत निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है: लाभ % = (SP - वास्तविक CP)/(वास्तविक CP) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = (115 - 80)/(80) × 100 लाभ % = ³⁵⁄₈₀ × 100 लाभ % = ³⁵⁰⁄₈ = 43.75%

व्याख्या

8 से विभाज्यता का नियम यह कहता है कि कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हों। संख्या 148109326 के लिए, अंतिम तीन अंक 326 हैं।

घटाई जाने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम शेषफल ज्ञात करने हेतु अंतिम तीन अंकों को 8 से विभाजित करते हैं: 326 ÷ 8 = 40, शेषफल 6 के साथ (8 × 40 = 320; 326 - 320 = 6)।

शेषफल उस अतिरिक्त मान को दर्शाता है जो संख्या को 8 से पूर्णतः विभाज्य होने से रोकता है। मूल संख्या में से इस शेषफल 6 को घटाने पर एक ऐसा मान प्राप्त होगा जिसके अंतिम तीन अंक 320 होंगे, जो कि 8 से पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (a + b)² + (a - b)² के रूप में है। मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) का उपयोग करते हुए, हम सूत्र में a = 3x और b = 5 प्रतिस्थापित करते हैं।

इसे विस्तारित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2((3x)² + 5²) 2(9x² + 25)

व्याख्या

एक शंकु में, तिर्यक ऊँचाई l, त्रिज्या r, और ऊँचाई h के बीच का संबंध पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दिया गया है: l² = r² + h²। दिया गया है कि h = r और तिर्यक ऊँचाई l = 5 सेमी है, हम इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

5² = r² + r² 25 = 2r² r² = ²⁵⁄₂

वर्गमूल लेने पर, r = (5)/(√(2)) सेमी। चूंकि ऊँचाई h, त्रिज्या r के बराबर है, इसलिए हमारे पास h = (5)/(√(2)) सेमी भी है।

एक शंकु का आयतन V, सूत्र V = ⅓π r² h का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

V = ⅓ × π × ²⁵⁄₂ × (5)/(√(2)) V = (125π)/(6√(2)) सेमी³

व्याख्या

3 मिनट के बाद पुलिसकर्मी और चोर के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम सापेक्ष गति की अवधारणा का उपयोग करते हैं। चूंकि दोनों एक ही दिशा में गति कर रहे हैं, इसलिए सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर है: सापेक्ष गति = 9 किमी/घंटा - 8 किमी/घंटा = 1 किमी/घंटा

मिनटों की अवधि में मीटर में दूरी की गणना करने के लिए, हम सापेक्ष गति को मीटर प्रति मिनट में बदलते हैं: 1 किमी/घंटा = (1000 मीटर)/(60 मिनट) = ⁵⁰⁄₃ मीटर/मिनट

3 मिनट में तय की गई सापेक्ष दूरी (वह मात्रा जिससे उनके बीच का अंतर कम होता है) सापेक्ष गति और समय का गुणनफल है: कम हुई दूरी = ⁵⁰⁄₃ मीटर/मिनट × 3 मिनट = 50 मीटर

प्रारंभ में, चोर पुलिसकर्मी से 300 मीटर आगे था। 3 मिनट के बाद, पुलिसकर्मी ने उस अंतर को 50 मीटर कम कर दिया है। इसलिए, उनके बीच बची हुई दूरी है: शेष दूरी = 300 मीटर - 50 मीटर = 250 मीटर

व्याख्या

sin t cos t का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण sin t + cos t = ⅘ के दोनों पक्षों का वर्ग कीजिए। बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करने पर, हमें sin² t + cos² t + 2 sin t cos t = ¹⁶⁄₂₅ प्राप्त होता है। चूंकि मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार sin² t + cos² t = 1 होता है, इसलिए समीकरण 1 + 2 sin t cos t = ¹⁶⁄₂₅ हो जाता है। दोनों पक्षों से 1 घटाने पर 2 sin t cos t = ¹⁶⁄₂₅ - 1 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 2 sin t cos t = (- 9)/(25) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर sin t cos t = (- 9)/(50) प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक y + 2x - [y - (y - x + y) - (x + y) + y] - 2y को सरल करने के लिए, सबसे पहले सबसे आंतरिक कोष्ठक के भीतर के पदों को सरल करें। पद (y - x + y) सरल होकर (2y - x) हो जाता है।

इसे वापस वर्गाकार कोष्ठक में प्रतिस्थापित करें: [y - (2y - x) - (x + y) + y]

अब, कोष्ठक के भीतर के सभी पदों के लिए चिह्नों का विस्तार करें: [y - 2y + x - x - y + y]

आगे सरल करने के लिए कोष्ठक के भीतर समान पदों को समूहित करें: (y - 2y - y + y) + (x - x) = -y + 0 = -y

अब, कोष्ठक के सरलीकृत मान को वापस मुख्य व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: y + 2x - [-y] - 2y

चिह्नों को सरल करें और शेष पदों को संयोजित करें: y + 2x + y - 2y (y + y - 2y) + 2x = 0 + 2x = 2x

व्याख्या

पूरा किए जाने वाले कुल कार्य को A, B और C द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर निर्धारित किया जाता है। 16, 24 और 36 का LCM 144 इकाई (units) के रूप में परिकलित किया जाता है।

प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता, जो प्रति दिन पूरे किए गए कार्य की मात्रा को दर्शाती है, कुल कार्य को उनके द्वारा लिए गए संबंधित समय से विभाजित करके प्राप्त की जाती है: A की कार्यक्षमता = 144 / 16 = 9 इकाई प्रति दिन B की कार्यक्षमता = 144 / 24 = 6 इकाई प्रति दिन C की कार्यक्षमता = 144 / 36 = 4 इकाई प्रति दिन

एक साथ कार्य करने पर, उनकी संयुक्त कार्यक्षमता उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं का योग होती है: संयुक्त कार्यक्षमता = 9 + 6 + 4 = 19 इकाई प्रति दिन

A, B और C को एक साथ कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय, कुल कार्य को उनकी संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: समय = ¹⁴⁴⁄₁₉ दिन

इसे एक मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम 144 को 19 से विभाजित करते हैं, जिससे भागफल 7 और शेषफल 11 प्राप्त होता है: 144 = (19 × 7) + 11 इस प्रकार, लिया गया समय 7 ¹¹⁄₁₉ दिन है, जिसे विकल्पों में 7 11 19 के रूप में दर्शाया गया है।

व्याख्या

अर्जित कुल साधारण ब्याज तीनों अलग-अलग जमा राशियों से प्राप्त ब्याजों का योग है। साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करने पर, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है, समीकरण इस प्रकार है:

1620 = (500 × R × 3)/(100) + (650 × R × 5)/(100) + (1250 × R × 7)/(100)

उभयनिष्ठ पद (R)/(100) को बाहर निकालने पर:

1620 = (R)/(100) × [ (500 × 3) + (650 × 5) + (1250 × 7) ]

1620 = (R)/(100) × [ 1500 + 3250 + 8750 ]

1620 = (R)/(100) × 13500

1620 = 135 × R

R = ¹⁶²⁰⁄₁₃₅

1620 को 135 से विभाजित करने पर R = 12 प्राप्त होता है। इसलिए, प्रति वर्ष ब्याज की दर 12% है।

व्याख्या

कार्य को पूरा करने में कर्मचारियों द्वारा लिए गए समय के आधार पर, हम कुल कार्य का एक मान मानकर उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमता निर्धारित कर सकते हैं। माना कुल कार्य 20, 12 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है।

रक्षित की कार्यक्षमता = 60 / 20 = 3 इकाई प्रति घंटा। अजय की कार्यक्षमता = 60 / 12 = 5 इकाई प्रति घंटा। एक साथ काम करने पर रक्षित, अजय और सतीश की संयुक्त कार्यक्षमता = 60 / 5 = 12 इकाई प्रति घंटा।

सतीश की कार्यक्षमता उनकी संयुक्त कार्यक्षमता में से रक्षित और अजय की व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं को घटाकर ज्ञात की जा सकती है: सतीश की कार्यक्षमता = 12 - (3 + 5) = 4 इकाई प्रति घंटा।

सतीश द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, कुल कार्य को उसकी कार्यक्षमता से विभाजित करें: समय = 60 / 4 = 15 घंटे।

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। चूँकि △ ABC ∼ △ DEF है, हम निम्नलिखित संबंध लागू कर सकते हैं:

(△ ABC का परिमाप)/(△ DEF का परिमाप) = (AB)/(DE)

दिया गया है कि △ ABC का परिमाप 40 सेमी है, △ DEF का परिमाप 12 सेमी है, और भुजा DE की लंबाई 6 सेमी है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

⁴⁰⁄₁₂ = (AB)/(6)

AB का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

AB = (40 × 6)/(12)

AB = ²⁴⁰⁄₁₂

AB = 20 सेमी

व्याख्या

एक वृत्ताकार ट्रैक पर सुजाता और अंजली के पहली बार मिलने का समय ज्ञात करने के लिए, हम विपरीत दिशाओं में सापेक्ष चाल की अवधारणा का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, हम दोनों चालों को मीटर प्रति सेकंड (m/sec) में बदलते हैं। सुजाता की चाल 2.85 किमी/घंटा = 2.85 × ⁵⁄₁₈ = (14.25)/(18) = 0.79166... मीटर/सेकंड है, जिसे ¹⁹⁄₂₄ मीटर/सेकंड लिखा जा सकता है। अंजली की चाल 1.5 मीटर/सेकंड दी गई है, जो कि ³⁄₂ मीटर/सेकंड है।

जब दो वस्तुएं विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष चाल उनकी व्यक्तिगत चालों का योग होती है। सापेक्ष चाल vᵣₑₗ = ¹⁹⁄₂₄ + ³⁄₂ = (19 + 36)/(24) = ⁵⁵⁄₂₄ मीटर/सेकंड।

पहली बार मिलने में लिया गया समय वृत्ताकार पथ की दूरी को सापेक्ष चाल से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: समय t = (दूरी)/(vᵣₑₗ) = (693)/(55){24} = (693 × 24)/(55) सेकंड।

समय को मिनटों में बदलने के लिए, हम परिणाम को 60 से विभाजित करते हैं: मिनटों में समय = (693 × 24)/(55 × 60) = (693 × 2)/(55 × 5) = (63 × 11 × 2)/(5 × 11 × 5) = ¹²⁶⁄₂₅ = 5.04 मिनट।

व्याख्या

व्यंजक sec²θ + cos²θ = 1 एक मान्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिका नहीं है। पाइथागोरस सर्वसमिकाओं के अनुसार, कोसाइन (cosine) से संबंधित संबंध sin²θ + cos²θ = 1 है। चूंकि sec θ, cos θ का व्युत्क्रम (reciprocal) है, इसलिए दिए गए सूत्र का अर्थ 1/cos²θ + cos²θ = 1 होगा। यदि हम x = cos²θ मान लें, तो समीकरण 1/x + x = 1 हो जाता है, जिसे सरल करने पर x² - x + 1 = 0 प्राप्त होता है। इस द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है क्योंकि इसका विविक्तकर (discriminant) D = (-1)² - 4(1)(1) = -3 शून्य से कम है। इसके अतिरिक्त, चूंकि |sec θ| ≥ 1 और |cos θ| ≤ 1 है, इसलिए θ के किसी भी वास्तविक मान के लिए (जहाँ sec θ परिभाषित है) उनके वर्गों का योग sec²θ + cos²θ हमेशा 2 से अधिक या उसके बराबर होता है, क्योंकि एक धनात्मक संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग x + 1/x, x > 0 के लिए कम से कम 2 होता है।

व्याख्या

कुल कार्य स्थिर है और इसे दोनों स्थितियों के लिए पुरुष-दिनों और महिला-दिनों को बराबर करके व्यक्त किया जा सकता है। मान लीजिए कि M और W क्रमशः एक पुरुष और एक महिला की दैनिक कार्यक्षमता को दर्शाते हैं।

(15M + 25W) × 9.6 = 16W × 27

सरल करने के लिए, 9.6 को ⁴⁸⁄₅ के रूप में व्यक्त करें: (15M + 25W) × ⁴⁸⁄₅ = 432W 15M + 25W = (432 × 5)/(48)W 15M + 25W = 9 × 5W 15M + 25W = 45W 15M = 20W 3M = 4W ⟹ M = ⁴⁄₃W

महिलाओं की कार्यक्षमता के संदर्भ में कुल कार्य 16W × 27 = 432W इकाई है। 16 पुरुषों की दैनिक कार्यक्षमता है: 16M = 16 × ⁴⁄₃W = ⁶⁴⁄₃W इकाई प्रति दिन।

16 पुरुषों को कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या है: समय = (कुल कार्य)/(16 पुरुषों की कार्यक्षमता) = (432W)/(64){3W} समय = (432 × 3)/(64) समय = (27 × 3)/(4) = ⁸¹⁄₄ समय = 20.25 दिन

व्याख्या

एक वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = π r² का उपयोग करके निकाला जाता है। दिया गया क्षेत्रफल 616 सेमी² है, त्रिज्या ज्ञात करने के लिए हम मान प्रतिस्थापित करते हैं: 616 = ²²⁄₇ × r²। r² के लिए हल करने पर r² = (616 × 7)/(22) = 28 × 7 = 196 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि त्रिज्या r = 14 सेमी है।

वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। जीवा XY = 10 सेमी के लिए, केंद्र से जीवा के मध्य बिंदु तक की दूरी एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ त्रिज्या कर्ण है और जीवा की आधी लंबाई आधार है। मान लीजिए d लंबवत दूरी को दर्शाता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, r² = d² + ((XY)/(2))²। मानों को प्रतिस्थापित करने पर 14² = d² + 5² के परिणामस्वरूप 196 = d² + 25 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 25 घटाने पर d² = 171 प्राप्त होता है, इसलिए d = √(171) सेमी।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक sin² 25° + sin² 65° है। पूरक कोण सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करके, पद sin 65° को निम्नानुसार लिखा जा सकता है: sin 65° = sin(90° - 25°) = cos 25°

इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin² 25° + cos² 25°

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 के अनुसार, समान कोण के sin और cos के वर्गों का योग हमेशा 1 के बराबर होता है। यहाँ, θ = 25° के साथ, व्यंजक सीधे सरल होकर 1 हो जाता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = (a + b)² - 4ab का उपयोग करते हुए, माना a = x² और b = (1)/(x²⁾ है। दिए गए मान x² + (1)/(x²⁾ = 7 को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(x² - (1)/(x²⁾)² = (x² + (1)/(x²⁾)² - 4(x²)((1)/(x²⁾)

(x² - (1)/(x²⁾)² = 7² - 4 = 49 - 4 = 45

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x² - (1)/(x²⁾ = ± √(45) = ± 3√5 प्राप्त होता है।

सही चिह्न निर्धारित करने के लिए, स्थिति 0 < x < 1 पर विचार करें। जब x का मान 0 और 1 के बीच होता है, तो उसका वर्ग x² भी 0 और 1 के बीच होता है, जिससे x² < 1 हो जाता है। इसके विपरीत, व्युत्क्रम (1)/(x²⁾ का मान 1 से अधिक होगा। एक छोटी संख्या से बड़ी संख्या को घटाने पर ऋणात्मक मान प्राप्त होता है। इसलिए, x² - (1)/(x²⁾ = - 3√5।

व्याख्या

किसी वस्तु का विक्रय मूल्य तब अधिकतम होता है जब दी जाने वाली कुल प्रभावी छूट न्यूनतम हो। a% और b% की किन्हीं दो क्रमिक छूटों के लिए, प्रभावी छूट D सूत्र D = a + b - ᵃᵇ⁄₁₀₀ द्वारा दी जाती है।

इस प्रश्न में, प्रत्येक योजना में छूट प्रतिशत का योग 30 है (योजना i: 15+15=30, योजना ii: 25+5=30, योजना iii: 20+10=30, और योजना iv: 30)। उन योजनाओं में न्यूनतम प्रभावी छूट खोजने के लिए जहाँ a+b स्थिर है, हम उस योजना को देखते हैं जहाँ गुणनफल ab सबसे बड़ा है, क्योंकि यह योग में से सबसे अधिक मूल्य घटाता है।

योजना i के लिए प्रभावी छूट की गणना: D = 15 + 15 - (15 × 15)/(100) = 30 - 2.25 = 27.75%

अन्य योजनाओं के लिए प्रभावी छूट की गणना: योजना ii: 25 + 5 - (25 × 5)/(100) = 30 - 1.25 = 28.75% योजना iii: 20 + 10 - (20 × 10)/(100) = 30 - 2 = 28% योजना iv: 30 - 0 = 30%

इन मूल्यों की तुलना करने पर, 27.75% न्यूनतम प्रभावी छूट है। कम छूट के परिणामस्वरूप खरीदार के लिए अंतिम मूल्य अधिक होता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र A = ½ × आधार × ऊंचाई का उपयोग करके की जाती है। दो त्रिभुजों की तुलना करते समय, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके आधारों और ऊंचाइयों के अनुपातों के गुणनफल के बराबर होता है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

A₁{A₂} = b₁ × h₁{b₂ × h₂}

यह देखते हुए कि क्षेत्रफलों का अनुपात A₁{A₂} ⁵⁄₃ है और ऊंचाइयों का अनुपात h₁{h₂} ⁵⁄₇ है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

⁵⁄₃ = b₁{b₂} × ⁵⁄₇

आधारों के अनुपात b₁{b₂} को अलग करने के लिए, हम दोनों पक्षों को ऊंचाई के अनुपात के व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करते हैं:

b₁{b₂} = ⁵⁄₃ × ⁷⁄₅

अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 को निरस्त करने पर, गणना सरल होकर निम्न हो जाती है:

b₁{b₂} = ⁷⁄₃

इसलिए, दोनों त्रिभुजों के आधारों का अनुपात 7:3 है।

व्याख्या

किन्हीं दो संख्याओं a और b के लिए, संख्याओं का गुणनफल उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) के गुणनफल के बराबर होता है। इसे सूत्र a × b = LCM × HCF द्वारा व्यक्त किया जाता है। यह देखते हुए कि LCM 12 है और HCF 2 है, दोनों संख्याओं का गुणनफल 12 × 2 = 24 है। दो संख्याओं a और b के मध्यानुपाती को उनके गुणनफल के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो कि √(a × b) द्वारा दिया जाता है। ऊपर गणना किए गए गुणनफल को प्रतिस्थापित करने पर, मध्यानुपाती √(24) है। इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें √(4 × 6) प्राप्त होता है, जो 2√6 के बराबर है।

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार, a, b और c भुजाओं वाले किसी भी त्रिभुज के लिए, तीसरी भुजा की लंबाई को |a - b| < c < a + b संबंध को संतुष्ट करना चाहिए। इसका अर्थ यह है कि तीसरी भुजा का मान निश्चित रूप से अन्य दो भुजाओं के अंतर से अधिक और अन्य दो भुजाओं के योग से कम होना चाहिए।

दी गई दो भुजाओं की लंबाई 30 सेमी और 42 सेमी है, मान लीजिए a = 30 और b = 42 है। तीसरी भुजा x के लिए इन मानों को असमिका (inequality) में रखने पर: |42 - 30| < x < 42 + 30 12 < x < 72

मान 12 और 72 उन सीमाओं को दर्शाते हैं जहाँ त्रिभुज एक सीधी रेखा में सिकुड़ जाएगा (एक अपभ्रष्ट त्रिभुज)। एक गैर-शून्य क्षेत्रफल वाले वैध त्रिभुज के अस्तित्व के लिए, x का मान निश्चित रूप से इन दोनों मानों के बीच होना चाहिए।

व्याख्या

5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99,999 है। 88 से पूर्णतः विभाज्य 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम शेषफल ज्ञात करने के लिए 99,999 को 88 से भाग देते हैं।

99,999 = 1136 × 88 + 31

प्राप्त शेषफल 31 है। इस शेषफल को 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या से घटाने पर, हमें 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या प्राप्त होती है जो 88 का गुणज है।

99,999 - 31 = 99,968

सत्यापन 8 और 11 के विभाज्यता नियमों का उपयोग करके भी किया जा सकता है, क्योंकि 88 = 8 × 11 है। 99,968 के लिए, अंतिम तीन अंक (968), 8 से विभाज्य हैं (968 ÷ 8 = 121)। 11 से विभाज्यता के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग (9 + 9 + 8 = 26) और सम स्थानों पर अंकों के योग (9 + 6 = 15) के बीच का अंतर 26 - 15 = 11 है। चूंकि 11, 11 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 99,968, 88 से विभाज्य है।

व्याख्या

जब a + ¹⁄ₐ = 7 हो, तो a⁵ + (1)/(a⁵) का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका a⁵ + (1)/(a⁵) = (a² + (1)/(a²))(a³ + (1)/(a³)) - (a + ¹⁄ₐ) का उपयोग करते हैं।

सर्वप्रथम, वर्ग घटक की गणना करें: a² + (1)/(a²) = (a + ¹⁄ₐ)² - 2 = 7² - 2 = 47

इसके बाद, घन घटक की गणना करें: a³ + (1)/(a³) = (a + ¹⁄ₐ)³ - 3(a + ¹⁄ₐ) = 7³ - 3(7) = 343 - 21 = 322

अंत में, इन परिणामों को पांचवीं घात की सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: a⁵ + (1)/(a⁵) = (47 × 322) - 7 a⁵ + (1)/(a⁵) = 15134 - 7 = 15127

47 और 322 का गुणनफल 15134 है, और इसमें से मूल योग 7 घटाने पर परिणाम 15127 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक cos 47° sec 133° + sin 44° csc 136° है। हम द्वितीय चतुर्थांश (second quadrant) में संपूरक कोणों (supplementary angles) के लिए न्यूनीकरण सूत्रों (reduction formulas) का उपयोग करते हैं।

पहले पद के लिए, sec 133° = sec(180° - 47°)। चूंकि sec(180° - θ) = -sec θ होता है, इसलिए sec 133° = -sec 47° होगा। इसे cos 47° से गुणा करने पर cos 47° (-sec 47°) = -(cos 47° · (1)/(cos 47°)) = -1 प्राप्त होता है।

दूसरे पद के लिए, csc 136° = csc(180° - 44°)। चूंकि csc(180° - θ) = csc θ होता है, इसलिए csc 136° = csc 44° होगा। इसे sin 44° से गुणा करने पर sin 44° csc 44° = sin 44° · (1)/(sin 44°) = 1 प्राप्त होता है।

दोनों पदों का योग -1 + 1 = 0 है।

व्याख्या

वह समय ज्ञात करने के लिए जब तीनों धावक पहली बार मिलेंगे, हम किन्हीं दो अलग-अलग युग्मों (जोड़ों) के मिलने में लगने वाले समय की गणना करते हैं और फिर उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं।

एक वृत्ताकार पथ पर दो धावकों के मिलने में लगने वाला समय सूत्र T = L / Vᵣₑₗ द्वारा दिया जाता है, जहाँ L पथ की लंबाई है और Vᵣₑₗ उनकी सापेक्ष गति है। जब वे एक ही दिशा में दौड़ते हैं, तो Vᵣₑₗ उनकी गतियों का अंतर होता है; जब वे विपरीत दिशाओं में दौड़ते हैं, तो यह उनकी गतियों का योग होता है।

A और B (एक ही दिशा) के लिए, मिलने का समय tₐ_b = 1200 / (4 - 2) = 1200 / 2 = 600 सेकंड। B और C (विपरीत दिशा) के लिए, मिलने का समय t_b_c = 1200 / (4 + 6) = 1200 / 10 = 120 सेकंड।

वह समय जब तीनों मिलेंगे, LCM(tₐ_b, t_b_c) = LCM(600, 120) = 600 सेकंड है। इसे मिनटों में बदलने के लिए, हम 60 से विभाजित करते हैं: 600 / 60 = 10 मिनट।

व्याख्या

साधारण ब्याज के मामले में, प्रत्येक वर्ष अर्जित ब्याज समान रहता है। ग्यारह वर्षों और सात वर्षों के अंत में प्राप्त मिश्रधनों के बीच का अंतर उन चार वर्षों में संचित ब्याज को दर्शाता है।

4 वर्षों का ब्याज = 18,906 - 14,522 = 4,384 1 वर्ष का ब्याज = (4,384)/(4) = 1,096

प्रारंभिक निवेश की गई राशि (मूलधन) सात वर्षों के अंत में प्राप्त मिश्रधन में से सात वर्षों के कुल ब्याज को घटाकर ज्ञात की जाती है। 7 वर्षों का ब्याज = 1,096 × 7 = 7,672 निवेश की गई राशि = 14,522 - 7,672 = 6,850

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A, सूत्र A = (√3/4) s² द्वारा दिया जाता है, जहाँ s भुजा की लंबाई है। चूँकि क्षेत्रफल, भुजा की लंबाई के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होता है, इसलिए जब भुजा में x% की वृद्धि होती है, तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + x + (x · x)/(100) का उपयोग करके की जा सकती है।

यह दिया गया है कि भुजा में 34% की वृद्धि होती है, हम सूत्र में x = 34 प्रतिस्थापित करते हैं:

शुद्ध वृद्धि = 34 + 34 + (34 × 34)/(100) शुद्ध वृद्धि = 68 + ¹¹⁵⁶⁄₁₀₀ शुद्ध वृद्धि = 68 + 11.56 = 79.56%

वैकल्पिक रूप से, यदि मूल भुजा 1 है, तो नई भुजा 1.34 होगी। क्षेत्रफल भुजा के वर्ग के समानुपाती होता है, इसलिए नया क्षेत्रफल 1.34² = 1.7956 के समानुपाती होगा। यह 0.7956 या 79.56% की वृद्धि को दर्शाता है।

व्याख्या

दी गई श्रेणी 3 + 3² + 3³ + … + 3⁸ एक गुणोत्तर श्रेणी (GP) है, जहाँ प्रथम पद a = 3, सार्व अनुपात r = 3, और पदों की संख्या n = 8 है।

एक GP के प्रथम n पदों का योगफल सूत्र Sₙ = a(rⁿ - 1){r - 1} द्वारा दिया जाता है।

सूत्र में मान रखने पर: S₈ = 3(3⁸ - 1){3 - 1}

सर्वप्रथम, 3⁸ की गणना करें: 3⁴ = 81 3⁸ = 81 × 81 = 6561

अब, इसे पुनः योगफल के सूत्र में रखने पर: S₈ = (3(6561 - 1))/(2) S₈ = (3 × 6560)/(2) S₈ = 3 × 3280 S₈ = 9840

व्याख्या

कुल कार्य को 30, 40 और 50 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में माना जा सकता है, जो कि 600 इकाई है।

A की कार्यक्षमता = 600 / 30 = 20 इकाई/दिन है। B की कार्यक्षमता = 600 / 40 = 15 इकाई/दिन है। C की कार्यक्षमता = 600 / 50 = 12 इकाई/दिन है।

चूंकि वे A से शुरू करते हुए बारी-बारी से कार्य करते हैं, इसलिए एक चक्र में 3 दिन शामिल हैं (पहले दिन A, दूसरे दिन B और तीसरे दिन C)। एक 3-दिवसीय चक्र में किया गया कुल कार्य = 20 + 15 + 12 = 47 इकाई है।

पूर्ण चक्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, कुल कार्य को प्रति चक्र कार्य से विभाजित करें: 600 / 47 = शेषफल के साथ 12 चक्र। 12 चक्रों (36 दिनों) में किया गया कार्य = 12 × 47 = 564 इकाई है। शेष कार्य = 600 - 564 = 36 इकाई है।

37वें दिन, A कार्य करता है और 20 इकाई पूरी करता है। शेष कार्य = 36 - 20 = 16 इकाई है। 38वें दिन, B कार्य करता है और 15 इकाई पूरी करता है। शेष कार्य = 16 - 15 = 1 इकाई है।

39वें दिन, C की बारी है। C की कार्यक्षमता 12 इकाई/दिन है, इसलिए शेष 1 इकाई को पूरा करने में C द्वारा लिया गया समय = 1 / 12 दिन है।

लिया गया कुल समय = 36 + 1 + 1 + ¹⁄₁₂ = 38 ¹⁄₁₂ दिन है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक ही दिशा में गति करती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है। यहाँ, चोर के सापेक्ष सिपाही की सापेक्ष गति 8 किमी/घंटा - 6 किमी/घंटा = 2 किमी/घंटा है। उनके बीच की प्रारंभिक दूरी 200 मीटर है। चूँकि चोर के पकड़े जाने तक दोनों समान समय t के लिए दौड़ते हैं, इसलिए तय की गई दूरी उनकी गति के सीधे आनुपातिक होती है (d ∝ v)। सिपाही की गति और चोर की गति का अनुपात 8 : 6 है, जिसे सरल करने पर 4 : 3 प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, उनके द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात भी 4 : 3 होगा। मान लीजिए कि सिपाही द्वारा तय की गई दूरी 4x है और चोर द्वारा तय की गई दूरी 3x है। इन दूरियों का अंतर प्रारंभिक दूरी (200 मीटर) के बराबर होना चाहिए। इस प्रकार, 4x - 3x = 200 मीटर, जिससे x = 200 मीटर प्राप्त होता है। पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा तय की गई दूरी 3x = 3 × 200 = 600 मीटर है।

व्याख्या

लाल, नीले और हरे पेनों का अनुपात 7:4:9 दिया गया है। लाल पेनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले व्यक्तिगत घटकों को जोड़कर अनुपात में कुल भागों की संख्या की गणना करते हैं: 7 + 4 + 9 = 20 भाग। चूंकि बैग में पेनों की कुल संख्या 320 है, इसलिए एक भाग का मान कुल पेनों को भागों की कुल संख्या से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है: 320 / 20 = 16। लाल पेनों की संख्या को अनुपात के 7 भागों द्वारा दर्शाया गया है। इस प्रकार, लाल पेनों की कुल संख्या 7 × 16 = 112 है।

व्याख्या

कुल कार्य की गणना रवि और सुधा द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में की जाती है। 40 और 60 का LCM 120 इकाई (units) है। रवि की कार्यक्षमता 120 / 40 = 3 इकाई प्रति दिन है, और सुधा की कार्यक्षमता 120 / 60 = 2 इकाई प्रति दिन है।

चूंकि वे सुधा से शुरू करते हुए बारी-बारी से कार्य करते हैं, इसलिए एक 2-दिवसीय चक्र में किया गया कार्य उनकी कार्यक्षमताओं का योग है। पहले दिन सुधा 2 इकाई कार्य करती है और दूसरे दिन रवि 3 इकाई कार्य करता है, जिससे प्रत्येक 2 दिनों में कुल 5 इकाई कार्य होता है। 120 इकाई कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक चक्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल कार्य को प्रति चक्र किए गए कार्य से विभाजित करते हैं: 120 / 5 = 24 चक्र। चूंकि प्रत्येक चक्र में 2 दिन होते हैं, इसलिए कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय 24 × 2 = 48 दिन है।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले एक वृत्त के केंद्र पर कोण θ अंतरित करने वाले चाप की लंबाई L को सूत्र L = (θ)/(360) × 2π r द्वारा दिया जाता है। दिया गया है कि L = 23.1 सेमी, θ = 18°, और π = ²²⁄₇, हम त्रिज्या r को निम्नानुसार ज्ञात कर सकते हैं:

23.1 = ¹⁸⁄₃₆₀ × 2 × ²²⁄₇ × r 23.1 = ¹⁄₂० × ⁴⁴⁄₇ × r 23.1 = ¹¹⁄₃₅ × r r = (23.1 × 35)/(11) = 2.1 × 35 = 73.5 सेमी

वृत्त का क्षेत्रफल A सूत्र A = π r² द्वारा निर्धारित किया जाता है। π और r के मान प्रतिस्थापित करने पर:

A = ²²⁄₇ × (73.5)² A = ²²⁄₇ × 73.5 × 73.5 A = 22 × 10.5 × 73.5 A = 231 × 73.5 A = 16978.50 सेमी²