एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

जब A, B, और C एक साथ मिलकर कार्य करते हैं, तो लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, हम कार्य-दर सूत्र का उपयोग करते हैं जहाँ संयुक्त दर व्यक्तिगत दरों का योग होती है: 1/T = 1/T_A + 1/T_B + 1/T_C। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, संयुक्त दर 1/6 + 1/9 + 1/11 है। 6, 9, और 11 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 198 है, जिसे हम कार्य की कुल इकाइयों के रूप में उपयोग करते हैं।

व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं की गणना कुल कार्य को प्रत्येक व्यक्ति के समय से विभाजित करके की जाती है: A प्रतिदिन 198 / 6 = 33 इकाइयाँ बनाता है, B प्रतिदिन 198 / 9 = 22 इकाइयाँ बनाता है, और C प्रतिदिन 198 / 11 = 18 इकाइयाँ बनाता है। एक साथ कार्य करने वाले तीनों की कुल कार्यक्षमता 33 + 22 + 18 = 73 इकाइयाँ प्रतिदिन है।

कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय कुल कार्य को कुल कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: T = 198 / 73। 198 को 73 से विभाजित करने पर भागफल 2 और शेषफल 52 प्राप्त होता है। इसे मिश्रित भिन्न 2 ⁵²⁄₇₃ के रूप में लिखा जा सकता है। इस परिणाम का दिए गए विकल्पों से मिलान करें जहाँ मिश्रित भिन्न को 2 52 73 के रूप में दर्शाया गया है।

व्याख्या

सम-विच्छेद मूल्य (breakeven price) शब्द का तात्पर्य है कि मिश्रण का विक्रय मूल्य उसके व्यक्तिगत घटकों की भारित औसत लागत (weighted average cost) के बराबर है। घटकों की लागत और मिश्रण के बीच का संबंध भारित औसत सूत्र M = (n₁ c₁ + n₂ c₂)/(n₁ + n₂) द्वारा दिया गया है, जहाँ M माध्य मूल्य (mean price) है, n₁ और n₂ मिश्रण अनुपात में इकाइयाँ हैं, और c₁ और c₂ व्यक्तिगत रंगों की प्रति इकाई मूल्य हैं।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 650 = (2 × 500 + 3 × c₂)/(2 + 3) 650 × 5 = 1000 + 3c₂ 3250 = 1000 + 3c₂ 2250 = 3c₂ c₂ = ²²⁵⁰⁄₃ = 750

व्याख्या

माना पेंटिंग का क्रय मूल्य CP है। जब पेंटिंग को 1,300 रुपये में बेचा जाता है, तो होने वाली हानि CP - 1300 है। जब इसे 1,498 रुपये में बेचा जाता है, तो प्राप्त लाभ 1498 - CP है। प्रश्न के अनुसार, लाभ हानि से 25% अधिक है, जिसका अर्थ है लाभ = हानि + 0.25 × हानि = 1.25 × हानि।

समीकरण में मान रखने पर: 1498 - CP = 1.25 × (CP - 1300) 1498 - CP = ⁵⁄₄ × (CP - 1300) भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर: 4 × (1498 - CP) = 5 × (CP - 1300) 5992 - 4CP = 5CP - 6500 5992 + 6500 = 9CP 12492 = 9CP CP = ¹²⁴⁹²⁄₉ = 1388

पेंटिंग का क्रय मूल्य 1,388 रुपये है। 25% का लाभ प्राप्त करने के लिए, विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 125% होना चाहिए: विक्रय मूल्य = 1388 × 1.25 विक्रय मूल्य = 1388 × ⁵⁄₄ विक्रय मूल्य = 347 × 5 = 1735

व्याख्या

क्रमिक छूट के शुद्ध प्रभाव की गणना क्रमिक छूट सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके या अंतिम गुणक की गणना करके की जा सकती है।

क्रमिक छूट सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पहले 15% और 20% की पहली दो छूटों को संयोजित करते हैं: पहले दो के लिए शुद्ध छूट = 15 + 20 - (15 × 20)/(100) = 35 - 3 = 32%

अब, हम इस 32% के परिणाम को 25% की तीसरी छूट के साथ संयोजित करते हैं: कुल शुद्ध छूट = 32 + 25 - (32 × 25)/(100) = 57 - ⁸⁰⁰⁄₁₀₀ = 57 - 8 = 49%

वैकल्पिक रूप से, मान लीजिए कि प्रारंभिक मूल्य 100 है। 15% छूट के बाद मूल्य = 100 × 0.85 = 85 20% छूट के बाद मूल्य = 85 × 0.80 = 68 25% छूट के बाद मूल्य = 68 × 0.75 = 51 अंतिम मूल्य मूल मूल्य का 51% है, जिसका अर्थ है कि कुल छूट 100% - 51% = 49% है।

व्याख्या

एक टैंक को भरने के लिए एक साथ काम करने वाले दो पाइपों द्वारा लिया गया समय सूत्र T = (xy)/(x + y) का उपयोग करके निकाला जाता है, जहाँ x और y प्रत्येक पाइप द्वारा लिया गया व्यक्तिगत समय है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ x = 18 घंटे और y = 24 घंटे है:

T = (18 × 24)/(18 + 24)

T = ⁴³²⁄₄₂

भिन्न को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक से विभाजित करें, जो कि 6 है:

T = ⁷²⁄₇

इस विषम भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने पर:

72 ÷ 7 = 10, जिसमें शेषफल 2 है।

इस प्रकार, लिया गया समय 10²⁄₇ घंटे है।

व्याख्या

55 लीटर के प्रारंभिक मिश्रण में, फलों के रस और पानी का अनुपात 4:1 है। मिश्रण में कुल भाग 4 + 1 = 5 हैं। एक भाग का आयतन 55 / 5 = 11 लीटर के रूप में परिकलित किया जाता है। इस प्रकार, फलों के रस की मात्रा 4 × 11 = 44 लीटर है और पानी की मात्रा 1 × 11 = 11 लीटर है।

जब मिश्रण में पानी मिलाया जाता है, तो फलों के रस की मात्रा 44 लीटर पर स्थिर रहती है। रस और पानी का आवश्यक नया अनुपात 2:1 है। इस नए अनुपात में, 2 भाग रस के 44 लीटर को दर्शाते हैं। इसलिए, नए मिश्रण में पानी का 1 भाग 44 / 2 = 22 लीटर होना चाहिए। चूंकि पानी की प्रारंभिक मात्रा 11 लीटर थी, इसलिए मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा 22 - 11 = 11 लीटर है।

व्याख्या

एक बेलनाकार फ्लास्क का आयतन V, सूत्र V = π r² h द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊंचाई है।

दिया गया व्यास 12 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = ¹²⁄₂ = 6 सेमी।

ऊंचाई h = 21 सेमी दी गई है।

π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर, गणना इस प्रकार है:

V = ²²⁄₇ × 6² × 21

V = ²²⁄₇ × 36 × 21

गणना को सरल बनाने के लिए, 21 को 7 से विभाजित करें:

V = 22 × 36 × 3

V = 22 × 108

V = 2376 सेमी³

व्याख्या

पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लिया गया समय और चोर के दौड़ने का समय बराबर है। चूंकि समय स्थिर है, इसलिए दूरी, चाल के सीधे समानुपाती होती है। पुलिसकर्मी और चोर की चाल का अनुपात 10:8 है, जो सरल होकर 5:4 हो जाता है। परिणामस्वरूप, पुलिसकर्मी और चोर द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात भी 5:4 है। तय की गई दूरी में अंतर 1250 मीटर के शुरुआती अंतर को दर्शाता है, जो कि 1.25 किमी है। अनुपात के संदर्भ में, अंतर 5 - 4 = 1 इकाई है। इसलिए, 1 इकाई 1.25 किमी के बराबर है। चोर द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, हम चोर के अनुपात वाले भाग को इस मान से गुणा करते हैं: 4 × 1.25 = 5 किमी।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, sec² θ - tan² θ = 1 होता है। इसे (sec θ + tan θ)(sec θ - tan θ) = 1 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। दिया गया है कि sec θ + tan θ = 5, संयुग्मी (conjugate) ज्ञात करने के लिए हम इस मान को प्रतिस्थापित कर सकते हैं: sec θ - tan θ = ⅕

sec θ ज्ञात करने के लिए, हम दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं: (sec θ + tan θ) + (sec θ - tan θ) = 5 + ⅕ 2 sec θ = 5 + ⅕

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: sec θ = ½(5 + ⅕)

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है। चूंकि जीवा की कुल लंबाई 14 सेमी है, इसलिए जीवा के मध्य बिंदु से उसके एक छोर की दूरी 7 सेमी है। केंद्र से यह लंबवत दूरी, जीवा की आधी लंबाई और वृत्त की त्रिज्या मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

माना त्रिज्या r है, लंबवत दूरी d = 24 सेमी है, और आधी जीवा की लंबाई l = 7 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

r² = d² + l² r² = 24² + 7² r² = 576 + 49 r² = 625 r = √(625) = 25 सेमी

यह गणना मानक पाइथागोरियन त्रिक (7, 24, 25) का अनुसरण करती है, जहाँ कर्ण वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है।

व्याख्या

धारा के अनुकूल लगने वाला समय t_d = 15 मिनट है। यह धारा के प्रतिकूल लगने वाले समय tᵤ से 25% कम दिया गया है, जिसका अर्थ है t_d = 0.75 × tᵤ। t_d का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है 15 = 0.75 × tᵤ, जिससे tᵤ = 20 मिनट प्राप्त होता है।

किमी/घंटा में गति ज्ञात करने के लिए, हम समय को घंटों में बदलते हैं: t_d = 15/60 = 1/4 घंटा और tᵤ = 20/60 = 1/3 घंटा। धारा के अनुकूल गति v_d = दूरी / t_d = 16 / (1/4) = 64 किमी/घंटा है। धारा के प्रतिकूल गति vᵤ = दूरी / tᵤ = 16 / (1/3) = 48 किमी/घंटा है।

शांत जल में व्यक्ति की गति u, धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल गतियों का औसत है: u = v_d + vᵤ{2} = (64 + 48)/(2) = ¹¹²⁄₂ = 56 किमी/घंटा। एक घंटे में, व्यक्ति शांत जल में 56 किमी नाव चला सकता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है। चूंकि दोनों मामलों में मूलधन (P) और दर (R) समान हैं, इसलिए ब्याज में अंतर समय (T) में अंतर के कारण उत्पन्न होता है।

मान लीजिए मूलधन P है। दोनों अवधियों में साधारण ब्याज का अंतर इस प्रकार दिया गया है: (P × 4 × 11)/(100) - (P × 4 × 6)/(100) = 7500

उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालने पर: (P × 4)/(100) × (11 - 6) = 7500 (P × 4 × 5)/(100) = 7500 (20P)/(100) = 7500 (P)/(5) = 7500 P = 7500 × 5 P = 37500

वैकल्पिक रूप से, ब्याज में अंतर, समयावधि के अंतर के ब्याज के अनुरूप है। समय का अंतर 5 वर्ष है। 4% वार्षिक की दर से, कुल ब्याज का अंतर मूलधन का 20% है। चूंकि मूलधन का 20% ₹7,500 के बराबर है, इसलिए कुल मूलधन (100%) 7500 × 5 = 37500 है।

व्याख्या

सूची मूल्य (अंकित मूल्य) की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: विक्रय मूल्य = सूची मूल्य × (1 - (छूट%)/(100))। यह देखते हुए कि विक्रय मूल्य ₹54,000 है और छूट 20% है, समीकरण इस प्रकार बनता है: 54,000 = सूची मूल्य × (1 - 0.20)। इसे सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: 54,000 = सूची मूल्य × 0.80।

सूची मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम विक्रय मूल्य को शेष प्रतिशत से विभाजित करते हैं: सूची मूल्य = (54,000)/(0.8) = (540,000)/(8)। विभाजन करने पर, 540,000 ÷ 8 बराबर 67,500 होता है। चूंकि 20% की छूट का तात्पर्य है कि वस्तु को उसके मूल मूल्य के 80% पर बेचा गया था, इसलिए 54,000 × ⁵⁄₄ की गणना करने पर भी 67,500 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक x⁴ - (1)/(x⁴) को वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का उपयोग करके (x² - (1)/(x²))(x² + (1)/(x²)) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। हमें दिया गया है कि x² - (1)/(x²) = 4√2। x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय संबंध (a + b)² = (a - b)² + 4ab का उपयोग करते हैं।

माना a = x² और b = (1)/(x²)। सर्वसमिका में मान प्रतिस्थापित करने पर (x² + (1)/(x²))² = (x² - (1)/(x²))² + 4(x²)((1)/(x²)) प्राप्त होता है। यह सरल होकर (x² + (1)/(x²))² = (4√2)² + 4 हो जाता है। वर्ग की गणना करने पर, हमें 32 + 4 = 36 प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर, x² + (1)/(x²) = √(36) = 6।

अंत में, दोनों घटकों को आपस में गुणा करने पर, x⁴ - (1)/(x⁴) = (4√2)(6) = 24√2।

व्याख्या

किसी व्यक्ति द्वारा एक दिन में किया गया कार्य, पूरे कार्य को पूरा करने में लगने वाले कुल समय का व्युत्क्रम (reciprocal) होता है। इसलिए, P, Q और R के लिए दैनिक कार्य दर क्रमशः ⅑, ¹⁄₁₂ और ¹⁄₁₈ हैं।

एक साथ काम करते हुए तीनों द्वारा एक दिन में पूरे किए गए कुल कार्य को ज्ञात करने के लिए, हम उनकी व्यक्तिगत दरों का योग करते हैं:

कुल दैनिक कार्य = ⅑ + ¹⁄₁₂ + ¹⁄₁₈

9, 12 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 36 है। भिन्नों को एक समान हर (denominator) में बदलने पर:

कुल दैनिक कार्य = ⁴⁄₃₆ + ³⁄₃₆ + ²⁄₃₆ कुल दैनिक कार्य = (4 + 3 + 2)/(36) कुल दैनिक कार्य = ⁹⁄₃₆

भिन्न ⁹⁄₃₆ को सरल करने पर ¼ प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य दी गई समयावधियों: 12, 15 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है।

राम और रमेश की दैनिक कार्यक्षमता = 60 / 12 = 5 इकाई है। रमेश और सोमेश की दैनिक कार्यक्षमता = 60 / 15 = 4 इकाई है। सोमेश और राम की दैनिक कार्यक्षमता = 60 / 10 = 6 इकाई है।

इन कार्यक्षमताओं को जोड़ने पर, हमें राम, रमेश और सोमेश की संयुक्त कार्यक्षमता का दोगुना प्राप्त होता है: 2 × (राम + रमेश + सोमेश) = 5 + 4 + 6 = 15 इकाई प्रति दिन।

एक साथ कार्य करने पर राम, रमेश और सोमेश की संयुक्त कार्यक्षमता = 15 / 2 = 7.5 इकाई प्रति दिन है।

तीनों द्वारा मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया समय = कुल कार्य / संयुक्त कार्यक्षमता = 60 / 7.5 = 8 दिन।

व्याख्या

माना पहले व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी d है और लिया गया समय t है। चाल के सूत्र s = ᵈ⁄ₜ का उपयोग करने पर, पहले व्यक्ति की चाल s₁ = ᵈ⁄ₜ है।

दूसरा व्यक्ति दूरी का 25% भाग तय करता है, जो कि ᵈ⁄₄ है, पहले व्यक्ति द्वारा लिए गए समय के तिगुने समय में, जो कि 3t है। दूसरे व्यक्ति की चाल की गणना इस प्रकार की जाती है: s₂ = (दूरी)/(समय) = (d)/(4){3t} = ᵈ⁄₁₂ₜ।

पहले व्यक्ति की चाल का दूसरे व्यक्ति की चाल से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम s₁ को s₂ से विभाजित करते हैं:

अनुपात = (s₁)/(s₂) = (d)/(t){ᵈ⁄₁₂ₜ}

व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करके व्यंजक को सरल करने पर:

अनुपात = ᵈ⁄ₜ × (12t)/(d) = 12

इससे 12:1 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल लाभ या हानि प्रतिशत घोषित हानि और वजन में विसंगति के संयुक्त प्रभाव से निर्धारित होता है। माना प्रति इकाई वजन का क्रय मूल्य C है। विक्रेता 25 ग्राम को 15% की हानि पर बेचने का दावा करता है। इस मात्रा का विक्रय मूल्य 25 × C × (1 - 0.15) = 21.25C है।

हालांकि, विक्रेता वस्तु का केवल 20 ग्राम ही प्रदान करता है। बेची गई मात्रा के लिए विक्रेता की वास्तविक लागत 20 × C = 20C है। कुल लाभ या हानि ज्ञात करने के लिए, वास्तविक विक्रय मूल्य की तुलना वास्तविक क्रय मूल्य से करें: लाभ = विक्रय मूल्य - वास्तविक लागत = 21.25C - 20C = 1.25C

लाभ प्रतिशत की गणना विक्रेता द्वारा वहन की गई वास्तविक लागत पर की जाती है: लाभ % = (लाभ)/(वास्तविक लागत) × 100 = (1.25C)/(20C) × 100 लाभ % = (1.25)/(20) × 100 = 0.0625 × 100 = 6.25%

गुणक विधि (multiplier method) का उपयोग करने पर, मूल्य कारक 0.85 है (जो 15% हानि को दर्शाता है) और वजन कारक ²⁵⁄₂₀ = 1.25 है (जो वास्तविक वजन और गलत वजन के अनुपात को दर्शाता है)। प्रभावी गुणक 0.85 × 1.25 = 1.0625 है। 1 से अधिक का गुणक लाभ को दर्शाता है, विशेष रूप से (1.0625 - 1) × 100 = 6.25%।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, एक शीर्षलंब किसी शीर्ष से सम्मुख भुजा तक की लंबवत दूरी होती है। एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है क्योंकि यह 90° के कोण के सम्मुख होती है। जब भुजा BC पर शीर्षलंब AL खींचा जाता है, तो यह एक समकोण त्रिभुज ALB बनाता है जहाँ AB कर्ण है। इसलिए, AL < AB। इसी प्रकार, भुजा AC पर खींचा गया शीर्षलंब BM एक समकोण त्रिभुज BMC बनाता है जहाँ BC कर्ण है, जिसका अर्थ है BM < BC। अंत में, भुजा AB पर खींचा गया शीर्षलंब CN एक समकोण त्रिभुज CNA बनाता है जहाँ AC कर्ण है, जिसका अर्थ है CN < AC। इन तीनों व्यक्तिगत असमानताओं को जोड़ने पर, हमें AL + BM + CN < AB + BC + CA प्राप्त होता है।

व्याख्या

चूंकि भरत कार्य शुरू करता है और वे ठीक 8 दिनों तक बारी-बारी से कार्य करते हैं, इसलिए भरत और अजय प्रत्येक ठीक 4 दिनों तक कार्य करते हैं। अजय अकेले कार्य को 32 दिनों में पूरा कर सकता है, इसलिए उसकी दैनिक कार्यक्षमता प्रति दिन कार्य का 1/32 भाग है। 4 दिनों में, अजय कुल कार्य का 4 × ¹⁄₃₂ = ⅛ भाग पूरा करता है।

शेष कार्य, 1 - ⅛ = ⅞, भरत द्वारा अपने 4 कार्य दिवसों में पूरा किया गया था। इसलिए, भरत की कार्य दर प्रति दिन कार्य का (7/8)/(4) = ⁷⁄₃₂ भाग है। भरत द्वारा उसी कार्य के 7 गुना कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम कुल आवश्यक कार्य को भरत की कार्यक्षमता से विभाजित करते हैं:

समय = (7 × कार्य)/(भरत की कार्य दर) = (7)/(7){32} = 7 × ³²⁄₇ = 32 दिन

व्याख्या

दिया गया है कि 3x = sec A और 3/x = tan A, दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर 9x² = sec² A और 9/x² = tan² A प्राप्त होता है। पहले समीकरण में से दूसरे को घटाने पर 9(x² - 1/x²) = sec² A - tan² A प्राप्त होता है। चूंकि sec² A - tan² A = 1 है, इसलिए 9(x² - 1/x²) = 1, जिसका अर्थ है कि x² - 1/x² = 1/9 है।

व्याख्या

किसी वृत्त की सबसे बड़ी जीवा उसका व्यास होती है। अंतर्लिखित कोण प्रमेय (inscribed angle theorem) के अनुसार, किसी वृत्त के केंद्र पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। चूंकि एक व्यास वृत्त को दो अर्धवृत्तों में विभाजित करता है, इसलिए यह केंद्र पर 180° का एक ऋजु कोण (straight angle) अंतरित करता है। परिणामस्वरूप, परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा अंतरित कोण, केंद्रीय कोण का आधा होता है, जो कि (180°)/(2) = 90° है। इस ज्यामितीय सिद्धांत को थेल्स के प्रमेय (Thales's Theorem) के रूप में भी जाना जाता है, जिसके अनुसार अर्धवृत्त में अंतर्लिखित कोई भी त्रिभुज, जिसका एक पक्ष व्यास हो, एक समकोण त्रिभुज होना चाहिए।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक दो घनों के अंतर के बीजगणितीय सर्वसमिका का अनुसरण करता है: (a³ - b³)/(a² + ab + b²) = a - b

a = 120 और b = 100 मान रखने पर, व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: (|a³ - b³|)/(|a² + ab + b²|)

चूंकि a > b है, इसलिए अंश और हर दोनों धनात्मक हैं, जिससे सर्वसमिका का उपयोग करके व्यंजक को सीधे सरल किया जा सकता है: ((a - b)(a² + ab + b²))/(a² + ab + b²) = a - b

मान प्रतिस्थापित करने पर: 120 - 100 = 20

व्याख्या

कुल समय ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले 20, 30 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर कुल कार्य निर्धारित करते हैं, जो कि 60 इकाई है। इसके आधार पर, व्यक्तिगत दक्षता (प्रतिदिन का कार्य) इस प्रकार है: A की दक्षता = 60 / 20 = 3 इकाई/दिन B की दक्षता = 60 / 30 = 2 इकाई/दिन C की दक्षता = 60 / 60 = 1 इकाई/दिन

कार्य तीन दिनों के चक्र का अनुसरण करता है: पहला दिन: A अकेले कार्य करता है, जिससे 3 इकाई कार्य पूरा होता है। दूसरा दिन: A अकेले कार्य करता है, जिससे 3 इकाई कार्य पूरा होता है। तीसरा दिन: A, B और C मिलकर कार्य करते हैं, जिससे 3 + 2 + 1 = 6 इकाई कार्य पूरा होता है।

एक 3-दिवसीय चक्र में पूरा किया गया कुल कार्य = 3 + 3 + 6 = 12 इकाई। 60 इकाई के कुल कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक चक्रों की संख्या = 60 / 12 = 5 चक्र। लिया गया कुल समय = 5 × 3 = 15 दिन।

व्याख्या

आय, व्यय और बचत के बीच का संबंध सूत्र आय = व्यय + बचत द्वारा दिया गया है। 5:3 के अनुपात के अनुसार, यदि व्यय 5x है, तो बचत 3x है, और कुल प्रारंभिक आय 5x + 3x = 8x है।

प्रश्न के अनुसार प्रारंभिक बचत ₹4,500 है। इसे अनुपात के बचत वाले भाग के बराबर रखने पर, हमें प्राप्त होता है: 3x = 4500 x = 1500

प्रारंभिक आय 8x = 8 × 1500 = 12000 है।

आय में 25% की वृद्धि होती है। नई आय की गणना प्रारंभिक आय में वृद्धि जोड़कर की जाती है: नई आय = प्रारंभिक आय × (1 + ²⁵⁄₁₀₀) नई आय = 12000 × 1.25 = 15000

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca)) है। दिए गए मानों का उपयोग करके इसे हल करने के लिए, हम सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) का उपयोग करके पद (ab + bc + ca) को पुनः लिख सकते हैं, जिससे ab + bc + ca = ((a + b + c)² - (a² + b² + c²))/(2) प्राप्त होता है।

इसे प्राथमिक सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर दिए गए पदों के बीच एक सीधा संबंध प्राप्त होता है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)/(2) [3(a² + b² + c²) - (a + b + c)²]

दिए गए मानों a + b + c = 14 और a³ + b³ + c³ - 3abc = 98 को रखने पर: 98 = ¹⁴⁄₂ [3(a² + b² + c²) - 14²] 98 = 7 [3(a² + b² + c²) - 196] 14 = 3(a² + b² + c²) - 196 210 = 3(a² + b² + c²) a² + b² + c² = ²¹⁰⁄₃ = 70

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, बिंदु D भुजा BC पर स्थित है। दी गई लंबाइयाँ BC = 16 सेमी और BD = 11 सेमी हैं, रेखाखंड CD की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है: CD = BC - BD = 16 - 11 = 5 सेमी।

त्रिभुज ABC और त्रिभुज DAC पर विचार कीजिए। प्रश्न के अनुसार ∠ BAC = ∠ ADC है। इसके अतिरिक्त, दोनों त्रिभुजों में शीर्ष C पर एक उभयनिष्ठ कोण है, इसलिए ∠ BCA = ∠ ACD है। AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार, त्रिभुज ABC, त्रिभुज DAC के समरूप है (△ ABC ∼ △ DAC)।

समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं की लंबाइयों का अनुपात बराबर होता है। विशेष रूप से, दिए गए समान कोणों के सम्मुख भुजा का उभयनिष्ठ कोण के सम्मुख भुजा से अनुपात सुसंगत होना चाहिए: (BC)/(AC) = (AC)/(DC)

तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर, हमें निम्नलिखित संबंध प्राप्त होता है: AC² = BC × DC

समीकरण में ज्ञात मानों को रखने पर: AC² = 16 × 5 AC² = 80 AC = √(80) AC = √(16 × 5) AC = 4√5 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि संख्या के अंक बनाने वाली छह क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ n, n+1, n+2, n+3, n+4, और n+5 हैं। 3 के विभाज्यता नियम के अनुसार, कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

इन छह अंकों का योग ज्ञात करने के लिए, हम समांतर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हैं या बस उन्हें जोड़ते हैं: S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) S = 6n + 15

हम 3 को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेकर इस व्यंजक का गुणनखंड कर सकते हैं: S = 3(2n + 5)

चूंकि अंकों का योग S, 3 और एक पूर्णांक (2n + 5) के गुणनफल के रूप में दर्शाया गया है, इसलिए किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए यह योग हमेशा 3 का एक गुणज होता है। यह क्रमागत अंकों के सभी संभावित समूहों के लिए सत्य है जैसे कि {1, 2, 3, 4, 5, 6} जहाँ योग 21 है, {2, 3, 4, 5, 6, 7} जहाँ योग 27 है, {3, 4, 5, 6, 7, 8} जहाँ योग 33 है, और {4, 5, 6, 7, 8, 9} जहाँ योग 39 है। चूँकि अंकों का योग हमेशा 3 से विभाज्य होता है, इसलिए वह 6-अंकीय संख्या स्वयं भी हमेशा 3 से विभाज्य होगी।

व्याख्या

कुल कार्य बेनी, चेतन और डेविड द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(24, 36, 48) = 144 इकाई है। तीनों श्रमिकों की कार्यक्षमता इस प्रकार है: बेनी: 144 / 24 = 6 इकाई/दिन चेतन: 144 / 36 = 4 इकाई/दिन डेविड: 144 / 48 = 3 इकाई/दिन

माना कि कुल कार्य T दिनों में पूरा हुआ। चूंकि डेविड ने पूरी अवधि के लिए कार्य किया, बेनी ने कार्य पूरा होने से 4 दिन पहले कार्य छोड़ दिया, और चेतन ने कार्य पूरा होने से 10 दिन पहले कार्य छोड़ दिया, इसलिए किया गया कुल कार्य उनके व्यक्तिगत योगदान का योग है: 6(T - 4) + 4(T - 10) + 3(T) = 144

समीकरण को सरल करने पर: 6T - 24 + 4T - 40 + 3T = 144 13T - 64 = 144 13T = 208 T = 208 / 13 = 16 दिन

व्याख्या

चूंकि पुलिस और चोर एक ही समय पर चलना शुरू करते हैं और पीछा तब समाप्त होता है जब पुलिस चोर को पकड़ लेती है, इसलिए दोनों के लिए यात्रा का समय समान है। जब समय स्थिर (constant) होता है, तो तय की गई दूरी गति के सीधे समानुपाती होती है (d ∝ v)।

पुलिस की गति (vₚ) और चोर की गति (vₜ) का अनुपात 11:6 है। परिणामस्वरूप, उनके द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात भी 11:6 है। माना पुलिस द्वारा तय की गई दूरी 11x है और चोर द्वारा तय की गई दूरी 6x है। इन दूरियों के बीच का अंतर उनके बीच की प्रारंभिक दूरी के बराबर होना चाहिए:

11x - 6x = 1150 मीटर 5x = 1150 मीटर x = ¹¹⁵⁰⁄₅ = 230 मीटर

पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा तय की गई दूरी 6x के संगत (correspond) है: dₜ = 6 × 230 = 1380 मीटर

व्याख्या

sec² θ + cos² θ का मान ज्ञात करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करें। माना a = sec θ और b = cos θ है। चूंकि सीकेंट (secant) और कोसाइन (cosine) एक-दूसरे के व्युत्क्रम फलन हैं, इसलिए उनका गुणनफल ab = sec θ · cos θ = 1 होगा।

दिए गए समीकरण sec θ + cos θ = 32 का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है: (sec θ + cos θ)² = 32² sec² θ + cos² θ + 2(sec θ cos θ) = 1024

समीकरण में सर्वसमिका sec θ cos θ = 1 का मान रखने पर: sec² θ + cos² θ + 2(1) = 1024 sec² θ + cos² θ = 1024 - 2 sec² θ + cos² θ = 1022

व्याख्या

इस व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके हल किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को भाग, गुणा और फिर जोड़ के रूप में निर्धारित करता है। सबसे पहले, मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों (improper fractions) में बदलें जहाँ 1 ¾ = ⁷⁄₄, 1 ⁵⁄₇ = ¹²⁄₇, और 2 ³⁄₇ = ¹⁷⁄₇। इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर ⁷⁄₄ + ¹²⁄₇ ÷ ¹⁷⁄₇ × ¹⁷⁄₇ प्राप्त होता है।

संक्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए, पहले भाग करें: ¹²⁄₇ ÷ ¹⁷⁄₇ = ¹²⁄₇ × ⁷⁄₁₇ = ¹²⁄₁₇। इसके बाद, गुणा करें: ¹²⁄₁₇ × ¹⁷⁄₇ = ¹²⁄₇। अंत में, ⁷⁄₄ और ¹²⁄₇ के लिए एक समान हर (common denominator) ज्ञात करके जोड़ की संक्रिया करें। 4 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 28 है, इसलिए योग ⁴⁹⁄₂₈ + ⁴⁸⁄₂₈ = ⁹⁷⁄₂₈ हो जाता है। इस विषम भिन्न को वापस मिश्रित भिन्न में बदलने पर, 97 ÷ 28 करने पर भागफल 3 और शेषफल 13 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 3 ¹³⁄₂₈ प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो राशियों a और b का तृतीयानुपाती c, संबंध a:b = b:c द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिससे सूत्र c = (b²)/(a) प्राप्त होता है। इस प्रश्न में, हमें a = 3x², b = 4xy, और तृतीयानुपाती c = 48 दिया गया है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: 48 = ((4xy)²)/(3x²) 48 = (16x² y²)/(3x²)

अंश और हर में x² के पद एक-दूसरे से कट जाते हैं, जिससे समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: 48 = (16y²)/(3)

y² का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 3 से गुणा करें और 16 से विभाजित करें: y² = (48 × 3)/(16) y² = 3 × 3 y² = 9

धनात्मक मान ज्ञात करने के लिए वर्गमूल लेने पर: y = √9 = 3

व्याख्या

दो वृत्तों की प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई सूत्र L = √(d² - (R - r)²) द्वारा दी जाती है, जहाँ d दोनों वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, R बड़े वृत्त की त्रिज्या है, और r छोटे वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए मान d = 32 सेमी, R = 22 सेमी, और r = 18 सेमी हैं।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: L = √(32² - (22 - 18)²) L = √(1024 - 4²) L = √(1024 - 16) L = √(1008)

विकल्पों से मिलान करने के लिए √(1008) को सरल करने पर, हम वर्ग गुणनखंडों को देखते हैं। 1008 को 4 × 252 के रूप में गुणनखंडित करने पर, हमें प्राप्त होता है: L = √(4 × 252) L = 2√(252) सेमी

व्याख्या

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दी गई तालिका के आधार पर वर्ष 2019 और 2020 के दौरान Clipkart और Tomato में शामिल होने वाले डिलीवरी पार्टनर्स की कुल संख्या की गणना करते हैं।

Clipkart के लिए, शामिल होने वाले डिलीवरी पार्टनर्स की संख्या 2019 में 5.6 हजार और 2020 में 6.4 हजार थी। Clipkart के कुल पार्टनर्स = 5.6 + 6.4 = 12.0 हजार

Tomato के लिए, शामिल होने वाले डिलीवरी पार्टनर्स की संख्या 2019 में 2.7 हजार और 2020 में 3.3 हजार थी। Tomato के कुल पार्टनर्स = 2.7 + 3.3 = 6.0 हजार

Clipkart में शामिल होने वाले डिलीवरी पार्टनर्स की संख्या का Tomato में शामिल होने वाले डिलीवरी पार्टनर्स की संख्या से अनुपात है: अनुपात = (12.0)/(6.0) = ²⁄₁

यह 2:1 के अनुपात को दर्शाता है।

व्याख्या

फर्श और समतल छत के क्षेत्रफलों का योग 2 × (L × W) है, जबकि चारों दीवारों का क्षेत्रफल पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र 2 × H × (L + W) द्वारा दर्शाया जाता है। दी गई शर्त के आधार पर इन दोनों व्यंजकों को बराबर रखने पर:

2LW = 2H(L + W)

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर संबंध सरल हो जाता है:

H = (LW)/(L + W)

दिए गए आयामों L = 21 मीटर और W = 14 मीटर को समीकरण में रखने पर:

H = (21 × 14)/(21 + 14) H = ²⁹⁴⁄₃₅

अंश और हर दोनों को उभयनिष्ठ गुणनखंड 7 से भाग देने पर:

H = ⁴²⁄₅ = 8.4 मीटर

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² A - tan² A = 1 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है (sec A + tan A)(sec A - tan A) = 1। दिया गया है कि sec A + tan A = 5, इसलिए sec A - tan A = 1/5 होगा।

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: (sec A + tan A) + (sec A - tan A) = 5 + 1/5 2 sec A = 26/5 sec A = 13/5

पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: (sec A + tan A) - (sec A - tan A) = 5 - 1/5 2 tan A = 24/5 tan A = 12/5

चूंकि sin A = (tan A)/(sec A) है, इसलिए ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: sin A = (12/5)/(13/5) = 12/13

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य A, B और C द्वारा लिए गए व्यक्तिगत दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(12, 15, 20) = 60 इकाई है।

प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता है: A की कार्यक्षमता = ⁶⁰⁄₁₂ = 5 इकाई/दिन B की कार्यक्षमता = ⁶⁰⁄₁₅ = 4 इकाई/दिन C की कार्यक्षमता = ⁶⁰⁄₂₀ = 3 इकाई/दिन

एक साथ कार्य करते हुए A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता 5 + 4 + 3 = 12 इकाई/दिन है। 4 दिनों की अवधि में, पूरा किया गया कार्य 12 × 4 = 48 इकाई है।

शेष कार्य कुल कार्य और पूरे किए गए कार्य के बीच का अंतर है: 60 - 48 = 12 इकाई। शेष कार्य का भिन्न ज्ञात करने के लिए, हम शेष इकाइयों को कुल इकाइयों से विभाजित करते हैं: ¹²⁄₆₀ = ⅕।

व्याख्या

x⁵ + (1)/(x⁵) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दिए गए समीकरण x⁴ + (1)/(x⁴) = 254 से x की कम घातों (lower powers) के मान प्राप्त करते हैं। बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) a² + b² = (a+b)² - 2ab का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं: (x² + (1)/(x²))² = x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 = 254 + 2 = 256 वर्गमूल लेने पर (चूंकि x > 0), हमें प्राप्त होता है: x² + (1)/(x²) = 16.

x + ¹⁄ₓ ज्ञात करने के लिए इस प्रक्रिया को दोहराने पर: (x + ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) + 2 = 16 + 2 = 18 इस प्रकार, x + ¹⁄ₓ = √(18) = 3√2.

इसके बाद, हम सर्वसमिका a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) का उपयोग करके x³ + (1)/(x³) की गणना करते हैं: x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) = (3√2)³ - 3(3√2) x³ + (1)/(x³) = 54√2 - 9√2 = 45√2

x⁵ + (1)/(x⁵) का मान निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: x⁵ + (1)/(x⁵) = (x² + (1)/(x²))(x³ + (1)/(x³)) - (x + ¹⁄ₓ) परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x⁵ + (1)/(x⁵) = (16)(45√2) - 3√2 x⁵ + (1)/(x⁵) = 720√2 - 3√2 = 717√2

व्याख्या

16% की हानि से 20% के लाभ में परिवर्तन, वस्तु के क्रय मूल्य (CP) के सापेक्ष उसके मूल्य में कुल 16% + 20% = 36% के परिवर्तन को दर्शाता है। यह कुल प्रतिशत परिवर्तन विक्रय मूल्य में हुई वृद्धि के बराबर है, जो कि ₹324 दी गई है।

इस संबंध का उपयोग करके: CP का 36% = 324

हम क्रय मूल्य ज्ञात कर सकते हैं: CP = ³²⁴⁄₃₆ × 100

324 को 36 से विभाजित करने पर 9 प्राप्त होता है। इसलिए: CP = 9 × 100 = 900

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का उपयोग करके, हम a = sin α और b = cos α मानकर अंश का विस्तार कर सकते हैं।

sin³ α + cos³ α = (sin α + cos α)(sin² α - sin α cos α + cos² α)

इस विस्तार को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

((sin α + cos α)(sin² α - sin α cos α + cos² α))/(sin α + cos α)

अंश और हर से पद (sin α + cos α) निरस्त हो जाता है, जिससे बचता है:

sin² α - sin α cos α + cos² α

पाइथागोरस सर्वसमिका sin² α + cos² α = 1 को लागू करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:

1 - sin α cos α

व्याख्या

व्यंजक a³ - b³ - 3a²b + 3ab² सर्वसमिका (a - b)³ का मानक बीजगणितीय विस्तार है। पदों को a³ - 3a²b + 3ab² - b³ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर, यह द्विपद विस्तार सूत्र से पूरी तरह मेल खाता है।

दिए गए मान a = 17 और b = 13 के लिए, इस सर्वसमिका में इन मानों को प्रतिस्थापित करके व्यंजक के मान की गणना की जाती है: (a - b)³ = (17 - 13)³ (a - b)³ = 4³ 4 × 4 × 4 = 64

व्याख्या

व्यंजक 18 ÷ 3 का 2 × 5 + 72 ÷ 18 का 2 × 3 - 4 ÷ 8 × 2 को सरल करने के लिए, हम BODMAS नियम का पालन करते हैं, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), योग (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्धारित करता है।

सबसे पहले, हम 'का' (of) संक्रियाओं की गणना करते हैं: 3 का 2 = 3 × 2 = 6 18 का 2 = 18 × 2 = 36

इन मानों को वापस व्यंजक में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: 18 ÷ 6 × 5 + 72 ÷ 36 × 3 - 4 ÷ 8 × 2

इसके बाद, हम बाएं से दाएं भाग की संक्रियाएं करते हैं: 18 ÷ 6 = 3 72 ÷ 36 = 2 4 ÷ 8 = 0.5

अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: 3 × 5 + 2 × 3 - 0.5 × 2

फिर, हम गुणा की संक्रियाएं करते हैं: 3 × 5 = 15 2 × 3 = 6 0.5 × 2 = 1

अब व्यंजक है: 15 + 6 - 1

अंत में, योग और घटाव करने पर: 21 - 1 = 20

व्याख्या

माना ज्ञानेंद्र और अरविंद की वर्तमान आयु क्रमशः 6x और 5x है। प्रश्न के अनुसार, उनकी वर्तमान आयु का योग 6x + 5x = 55 है, जिसे सरल करने पर 11x = 55 प्राप्त होता है। x का मान ज्ञात करने पर x = 5 प्राप्त होता है। इस प्रकार, ज्ञानेंद्र की वर्तमान आयु 6 × 5 = 30 वर्ष है और अरविंद की वर्तमान आयु 5 × 5 = 25 वर्ष है। अब से सात वर्ष बाद उनकी आयु ज्ञात करने के लिए, हम उनकी वर्तमान आयु में से प्रत्येक में 7 जोड़ते हैं, जिससे ज्ञानेंद्र की आयु 37 वर्ष और अरविंद की आयु 32 वर्ष हो जाती है। इसलिए, सात वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 37 : 32 होगा।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, एक कोण ठीक 90° होता है। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, शेष दो न्यूनकोणों का योग 180° - 90° = 90° होना चाहिए।

माना सबसे छोटे कोण का माप x है। प्रश्न के अनुसार, दूसरा न्यूनकोण सबसे छोटे कोण से 30° अधिक है, इसलिए इसका माप x + 30° है। इन दोनों कोणों के योग के लिए समीकरण बनाने पर:

x + (x + 30°) = 90° 2x + 30° = 90° 2x = 60° x = 30°

त्रिभुज के तीनों कोण 30°, 60° और 90° हैं। सबसे छोटा कोण 30° है।

व्याख्या

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो, और वह 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। ऐसी संख्याएँ ज्ञात करने के लिए जो 3 से विभाज्य हों लेकिन 9 से विभाज्य न हों, हम उन मामलों को देखते हैं जहाँ अंकों का योग S, S ∈ {3, 6, 12, 15, 21, 24, 30, 33, …} को संतुष्ट करता है लेकिन S ∉ {9, 18, 27, 36, …} है।

5826 के लिए: योग = 5 + 8 + 2 + 6 = 21. चूँकि 21, 3 से विभाज्य है लेकिन 9 से नहीं, इसलिए यह संख्या इस शर्त को पूरा करती है। 5964 के लिए: योग = 5 + 9 + 6 + 4 = 24. चूँकि 24, 3 से विभाज्य है लेकिन 9 से नहीं, इसलिए यह संख्या इस शर्त को पूरा करती है। 6039 के लिए: योग = 6 + 0 + 3 + 9 = 18. चूँकि 18, 9 से विभाज्य है, इसलिए यह संख्या इस शर्त को पूरा नहीं करती है। 6336 के लिए: योग = 6 + 3 + 3 + 6 = 18. चूँकि 18, 9 से विभाज्य है, इसलिए यह संख्या इस शर्त को पूरा नहीं करती है। 6489 के लिए: योग = 6 + 4 + 8 + 9 = 27. चूँकि 27, 9 से विभाज्य है, इसलिए यह संख्या इस शर्त को पूरा नहीं करती है। 6564 के लिए: योग = 6 + 5 + 6 + 4 = 21. चूँकि 21, 3 से विभाज्य है लेकिन 9 से नहीं, इसलिए यह संख्या इस शर्त को पूरा करती है। 6867 के लिए: योग = 6 + 8 + 6 + 7 = 27. चूँकि 27, 9 से विभाज्य है, इसलिए यह संख्या इस शर्त को पूरा नहीं करती है। 6960 के लिए: योग = 6 + 9 + 6 + 0 = 21. चूँकि 21, 3 से विभाज्य है लेकिन 9 से नहीं, इसलिए यह संख्या इस शर्त को पूरा करती है।

इस मानदंड को पूरा करने वाली संख्याएँ 5826, 5964, 6564 और 6960 हैं, जो कुल मिलाकर 4 संख्याएँ हैं।

व्याख्या

समीकरणों a + b = 32 और a³ + b³ = 9728 को हल करने पर दोनों प्राकृतिक संख्याएँ प्राप्त होती हैं, जिससे संख्याएँ 20 और 12 प्राप्त होती हैं। उनके घनों की गणना करने पर क्रमशः 8000 और 1728 प्राप्त होता है, और उनका धनात्मक अंतर 8000 - 1728 = 6272 है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के परिमाप की गणना उसकी चाप की लंबाई और उसे घेरने वाली दोनों त्रिज्याओं की लंबाई के योग के रूप में की जाती है। परिमाप P का सूत्र P = 2r + l है, जहाँ r त्रिज्या है और l चाप की लंबाई है।

केन्द्रीय कोण θ के लिए चाप की लंबाई l इस प्रकार दी गई है: l = (θ)/(360°) × 2π r। दी गई त्रिज्या r = 4 सेमी, कोण θ = 45°, और π = ²²⁄₇ है, चाप की लंबाई की गणना निम्नानुसार की जाती है:

l = ⁴⁵⁄₃₆₀ × 2 × ²²⁄₇ × 4

l = ⅛ × 8 × ²²⁄₇

l = ²²⁄₇ सेमी

परिमाप सूत्र में r और l के मान प्रतिस्थापित करने पर:

P = 2(4) + ²²⁄₇

P = 8 + ²²⁄₇

P = (56 + 22)/(7)

P = ⁷⁸⁄₇ सेमी

व्याख्या

कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 हो या 11 का गुणज हो। 11638 के लिए, (1 + 6 + 8) - (1 + 3) = 15 - 4 = 11, जो कि 11 से विभाज्य है। अन्य संख्याओं में से कोई भी इस नियम को संतुष्ट नहीं करती है।

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र CSA = π d h द्वारा दिया जाता है, जहाँ d व्यास है और h ऊंचाई है। दिया गया है h = 56 सेमी और CSA = 1408 सेमी², π = ²²⁄₇ का उपयोग करके इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

1408 = ²²⁄₇ × d × 56

1408 = 22 × d × 8

1408 = 176 × d

d = ¹⁴⁰⁸⁄₁₇₆ = 8 सेमी

व्यास को सेंटीमीटर से मीटर में बदलने के लिए, 100 से भाग दें:

d = ⁸⁄₁₀₀ = 0.08 मीटर