एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

अभीष्ट प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले वर्ष 2012 से 2016 तक की पांच वर्षों की अवधि में दिल्ली और महाराष्ट्र से चयनित उम्मीदवारों की कुल संख्या की गणना करें।

दिल्ली से चयनित कुल उम्मीदवार: Total_Dₑₗₕᵢ = 94 + 48 + 90 + 70 + 82 = 384

महाराष्ट्र से चयनित कुल उम्मीदवार: Total_Mₐₕₐᵣₐₛₕₜᵣₐ = 85 + 70 + 84 + 60 + 65 = 364

दिल्ली से चयनित उम्मीदवारों की तुलना में महाराष्ट्र से चयनित उम्मीदवारों के प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत = ( Total_Mₐₕₐᵣₐₛₕₜᵣₐ / Total_Dₑₗₕᵢ ) × 100

सूत्र में मान रखने पर: प्रतिशत = ( ³⁶⁴⁄₃₈₄ ) × 100 प्रतिशत = ( ⁹¹⁄₉₆ ) × 100 ≈ 0.947916... × 100 = 94.7916...%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, प्रतिशत लगभग 94.79% है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए व्यंजक में कोण (π)/(6) रेडियन (या 30°) के लिए मानक त्रिकोणमितीय मान प्रतिस्थापित करते हैं।

tan (π)/(6) का मान (1)/(√(3)) है। sec (π)/(6) का मान cos (π)/(6) का व्युत्क्रम है, जो कि (1)/(√(3)){2} = (2)/(√(3)) है।

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = tan (π)/(6) + sec (π)/(6) x = (1)/(√(3)) + (2)/(√(3))

चूंकि हर समान हैं, इसलिए हम अंशों को जोड़ते हैं: x = (1 + 2)/(√(3)) x = (3)/(√(3))

3 को √3 से विभाजित करके (या परिमेयकरण करके) भिन्न को सरल करने पर: x = √3 · √3{√3} x = √3

व्याख्या

एक शंकु के संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल) की गणना सूत्र A = π r(l + r) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l तिर्यक ऊंचाई है।

तिर्यक ऊंचाई l को त्रिज्या r और ऊर्ध्वाधर ऊंचाई h के साथ पाइथागोरस संबंध द्वारा l = √(r² + h²) के रूप में निर्धारित किया जाता है।

दिया गया है r = 6 सेमी और h = 8 सेमी, तिर्यक ऊंचाई l = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √(100) = 10 सेमी है।

इन मानों को संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर: A = π × 6 × (10 + 6) A = π × 6 × 16 A = 96π

सन्निकटन π ≈ 22/7 का उपयोग करने पर: A = 96 × ²²⁄₇ = ²¹¹²⁄₇ ≈ 301.7142 सेमी²

व्याख्या

किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय, कार्य दर के व्युत्क्रमानुपाती होता है। चूंकि 15 पुरुष कार्य को 25 दिनों में पूरा करते हैं, इसलिए उनकी संयुक्त दर प्रति दिन कार्य का 1/25 भाग है। इसी प्रकार, 25 महिलाएँ उसी कार्य को 40 दिनों में पूरा करती हैं, इसलिए उनकी संयुक्त दर प्रति दिन कार्य का 1/40 भाग है।

जब सभी 15 पुरुष और 25 महिलाएँ मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर इन दरों का योग होती है: संयुक्त दर = ¹⁄₂₅ + ¹⁄₄₀

25 और 40 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 200 है, का उपयोग करने पर गणना इस प्रकार है: संयुक्त दर = ⁸⁄₂₀₀ + ⁵⁄₂₀₀ = ¹³⁄₂₀₀

कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल दिनों की संख्या संयुक्त दैनिक दर का व्युत्क्रम (reciprocal) है: कुल दिन = ²⁰⁰⁄₁₃ दिन

इसे मिश्रित भिन्न में बदलने के लिए, हम 200 को 13 से विभाजित करते हैं: 200 = (13 × 15) + 5 कुल दिन = 15 ⁵⁄₁₃ दिन

व्याख्या

y का मान संयुक्त कर दर के लिए भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

संयुक्त दर = (R₁ I₁ + R₂ I₂)/(I₁ + I₂)

जहाँ I₁ = 90,000 और R₁ = 30% सुहानी की आय और कर की दर को दर्शाते हैं, तथा I₂ = y और R₂ = 40% रीतिका की आय और कर की दर को दर्शाते हैं। दी गई संयुक्त दर 37% को प्रतिस्थापित करने पर:

37 = (30 × 90,000 + 40 × y)/(90,000 + y)

37(90,000 + y) = 30(90,000) + 40y

37 × 90,000 + 37y = 30 × 90,000 + 40y

y का मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

37 × 90,000 - 30 × 90,000 = 40y - 37y

(37 - 30) × 90,000 = 3y

7 × 90,000 = 3y

y = (6,30,000)/(3)

y = 2,10,000

व्याख्या

अंश x⁴ - 2x² + 1 बीजगणितीय सर्वसमिका a² - 2ab + b² = (a - b)² का अनुसरण करता है, जहाँ a = x² और b = 1 है। इसलिए, अंश को (x² - 1)² के रूप में लिखा जा सकता है। आंतरिक पद पर वर्गों के अंतर की सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) को लागू करने पर, अंश ((x - 1)(x + 1))² हो जाता है, जो सरल होकर (x - 1)²(x + 1)² हो जाता है।

हर x² - 2x + 1 एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है जो (x - 1)² के समतुल्य है।

इन रूपों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: ((x - 1)²(x + 1)²)/((x - 1)²) = (x + 1)²

सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके (x + 1)² का विस्तार करने पर x² + 2x + 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है कि x - ¹⁄ₓ = √6. x⁸ - (1)/(x⁸) का मान ज्ञात करने के लिए, हम वर्गों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) का उपयोग करते हैं: a² - b² = (a+b)(a-b)। लक्षित व्यंजक का विस्तार करने पर प्राप्त होता है: x⁸ - (1)/(x⁸) = (x⁴ + (1)/(x⁴))(x⁴ - (1)/(x⁴)) = (x⁴ + (1)/(x⁴))(x² + (1)/(x²))(x² - (1)/(x²)) x⁸ - (1)/(x⁸) = (x⁴ + (1)/(x⁴))(x² + (1)/(x²))(x + ¹⁄ₓ)(x - ¹⁄ₓ)

सबसे पहले, दिए गए समीकरण का वर्ग करके x² + (1)/(x²) ज्ञात कीजिए: (x - ¹⁄ₓ)² = (√6)² ⟹ x² + (1)/(x²) - 2 = 6 ⟹ x² + (1)/(x²) = 8

इसके बाद, x² के परिणाम का वर्ग करके x⁴ + (1)/(x⁴) ज्ञात कीजिए: (x² + (1)/(x²))² = 8² ⟹ x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 = 64 ⟹ x⁴ + (1)/(x⁴) = 62

अब, सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = (x - ¹⁄ₓ)² + 4 का उपयोग करके x + ¹⁄ₓ ज्ञात कीजिए: (x + ¹⁄ₓ)² = (√6)² + 4 = 10 ⟹ x + ¹⁄ₓ = √(10) (चूंकि x > 1 है, इसलिए मान धनात्मक है)

विस्तारित व्यंजक में सभी मान प्रतिस्थापित करने पर: x⁸ - (1)/(x⁸) = 62 × 8 × √(10) × √6 x⁸ - (1)/(x⁸) = 496 × √(60) = 496 × √(4 × 15) = 496 × 2√(15) x⁸ - (1)/(x⁸) = 992√(15)

व्याख्या

d₁%, d₂%, और d₃% की तीन क्रमिक छूटों के लिए समतुल्य एकल छूट की गणना अंकित मूल्य के अंतिम गुणक को ज्ञात करके की जा सकती है। 100 के प्रारंभिक मूल्य के लिए, 12% की छूट के बाद मूल्य 100 × (1 - 0.12) = 88 होगा। इस परिणाम पर 20% की छूट लागू करने पर 88 × (1 - 0.20) = 88 × 0.8 = 70.4 प्राप्त होता है। अंत में, 25% की छूट लागू करने पर 70.4 × (1 - 0.25) = 70.4 × 0.75 = 52.8 प्राप्त होता है। कुल छूट प्रारंभिक मूल्य और अंतिम मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 100 - 52.8 = 47.2% है।

वैकल्पिक रूप से, क्रमिक छूट के सूत्र a + b - ᵃᵇ⁄₁₀₀ का उपयोग करते हुए, 12% और 20% का संयुक्त प्रभाव 12 + 20 - (12 × 20)/(100) = 32 - 2.4 = 29.6% है। इस परिणाम को 25% की तीसरी छूट के साथ मिलाने पर 29.6 + 25 - (29.6 × 25)/(100) = 54.6 - 7.4 = 47.2% प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है कि sin θ = ⅘, यहाँ लंब p = 4 और कर्ण h = 5 है। पाइथागोरस प्रमेय h² = p² + b² का उपयोग करने पर, आधार b की गणना इस प्रकार की जाती है: b = √(5² - 4²) = √(25 - 16) = √9 = 3।

त्रिकोणमितीय अनुपातों को tan θ = (p)/(b) और cot θ = ᵇ⁄ₚ के रूप में परिभाषित किया जाता है। p और b के मान रखने पर: tan θ = ⁴⁄₃ cot θ = ¾

व्यंजक tan θ - cot θ को एक समान हर ज्ञात करके हल किया जाता है: tan θ - cot θ = ⁴⁄₃ - ¾ tan θ - cot θ = (4 × 4 - 3 × 3)/(12) tan θ - cot θ = (16 - 9)/(12) = ⁷⁄₁₂

व्याख्या

मान लीजिए राम के लिए क्रय मूल्य x है। राम सूटकेस को मोहन को 20% लाभ पर बेचता है, इसलिए राम के लिए विक्रय मूल्य, जो मोहन के लिए क्रय मूल्य बन जाता है, x × (1 + ²⁰⁄₁₀₀) = 1.2x है। मोहन फिर सूटकेस को श्याम को 40% लाभ पर बेचता है। इसलिए, श्याम द्वारा भुगतान किया गया मूल्य 1.2x × (1 + ⁴⁰⁄₁₀₀) = 1.2x × 1.4 = 1.68x है।

प्रश्न के अनुसार, श्याम ₹1,430 का भुगतान करता है। हम रैखिक समीकरण 1.68x = 1430 बना सकते हैं। प्रारंभिक मूल्य x ज्ञात करने के लिए, हम कुल भुगतान को संचयी लाभ गुणक से विभाजित करते हैं: x = (1430)/(1.68)। इसे एक सरल भिन्न में बदलने पर, x = ¹⁴³⁰⁰⁰⁄₁₆₈ प्राप्त होता है। 143000 को 168 से विभाजित करने पर लगभग 851.1904 प्राप्त होता है। दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, राम द्वारा सूटकेस खरीदने का मूल्य ₹851.19 है।

व्याख्या

p² - q² का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए दोनों समीकरणों का वर्ग करते हैं: p² = (a cot θ + b csc θ)² = a² cot² θ + b² csc² θ + 2ab cot θ csc θ q² = (b cot θ + a csc θ)² = b² cot² θ + a² csc² θ + 2ab cot θ csc θ

p² में से q² को घटाने पर: p² - q² = (a² cot² θ + b² csc² θ + 2ab cot θ csc θ) - (b² cot² θ + a² csc² θ + 2ab cot θ csc θ) p² - q² = a² cot² θ + b² csc² θ - b² cot² θ - a² csc² θ

उभयनिष्ठ गुणांकों a² और b² वाले पदों को समूहित करने पर: p² - q² = b² (csc² θ - cot² θ) - a² (csc² θ - cot² θ) p² - q² = (b² - a²) (csc² θ - cot² θ)

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc² θ - cot² θ = 1 का उपयोग करने पर: p² - q² = (b² - a²)(1) = b² - a²

व्याख्या

एक त्रिपद के वर्ग के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca है।

दिए गए व्यंजक में इस विस्तार को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (a + b + c)² - a² - b² - c² = (a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca) - a² - b² - c²

पद a², b², और c² आपस में घट जाते हैं, जिससे बचता है: 2ab + 2bc + 2ca

उभयनिष्ठ गुणांक 2 को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालने पर अंतिम सरलीकृत रूप प्राप्त होता है: 2(ab + bc + ca)

व्याख्या

गणित में परीक्षा के लिए अधिकतम अंक 50 हैं। उच्च अध्ययन के लिए पात्र होने के लिए, एक छात्र को कम से कम 60% अंक प्राप्त करने होंगे।

अर्हता अंक की गणना इस प्रकार की जाती है: अर्हता अंक = 50 का 60% = ⁶⁰⁄₁₀₀ × 50 = 30

तालिका छात्रों के अंकों के आधार पर उनका संचयी वर्गीकरण प्रदान करती है। उच्च अध्ययन के लिए पात्र छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम गणित वाली पंक्ति और '30 और उससे अधिक' अंक दर्शाने वाले कॉलम को देखते हैं। तालिका के अनुसार, गणित में 30 और उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या 33 है। ये वे छात्र हैं जिन्होंने 60% पात्रता सीमा को पूरा किया है।

व्याख्या

माना अंकित मूल्य MP और क्रय मूल्य CP है। 15% की छूट के बाद विक्रय मूल्य ₹29,750 है। सूत्र SP = MP × (1 - d%) का उपयोग करके, हम अंकित मूल्य ज्ञात करते हैं: MP = 29750 / 0.85 = 35000

यदि कोई छूट नहीं दी जाती है, तो अंकित मूल्य ही विक्रय मूल्य बन जाता है। प्रश्न के अनुसार, इस मूल्य पर बेचने से 12% का लाभ होता है। संबंध CP = SP / (1 + g%) का उपयोग करके: CP = 35000 / 1.12 CP = 31250

गणना 35000 / 1.12 को दोनों पदों को 7 से विभाजित करके सरल किया जा सकता है, जिससे 5000 / 0.16 प्राप्त होता है, और आगे सरल करने पर परिणाम 31250 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना कुल टाइपिंग कार्य 10 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 30 इकाई है। प्रतिमा की कार्यक्षमता की गणना 30 / 10 = 3 इकाई प्रति घंटे के रूप में की जाती है, और दीक्षा की कार्यक्षमता 30 / 15 = 2 इकाई प्रति घंटे है। प्रतिमा अकेले 4 घंटे तक टाइप करती है, जिससे 3 × 4 = 12 इकाई कार्य पूरा होता है। किया जाने वाला शेष कार्य 30 - 12 = 18 इकाई है। दीक्षा इस शेष कार्य को अपनी गति से पूरा करती है, इसलिए उसके द्वारा लिया गया समय शेष इकाइयों को उसकी कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 18 / 2 = 9 घंटे है।

व्याख्या

एक घन में छह समान वर्गाकार फलक होते हैं। एक वर्गाकार फलक का परिमाप P, सूत्र P = 4s द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ s घन की भुजा की लंबाई को दर्शाता है। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

4s = 40 s = ⁴⁰⁄₄ = 10 सेमी

एक घन के आयतन V की गणना सूत्र V = s³ का उपयोग करके की जाती है। ऊपर प्राप्त की गई भुजा की लंबाई का उपयोग करने पर:

V = 10³ = 1000 सेमी³

व्याख्या

वर्ष 2014 और 2012 में सभी कंपनियों में नियुक्त छात्रों के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दी गई तालिका से प्रत्येक वर्ष के लिए कुल नियुक्तियों (placements) की गणना करें।

वर्ष 2014 में कुल नियुक्तियां (2014 के लिए पहली प्रविष्टि का उपयोग करते हुए): 19.3 + 13.4 + 13.4 + 11.8 + 7.8 = 65.7 हजार छात्र।

वर्ष 2012 में कुल नियुक्तियां: 12.6 + 9.8 + 10.4 + 14.9 + 9.8 = 57.5 हजार छात्र।

हजारों में अंतर की गणना इस प्रकार की जाती है: 65.7 - 57.5 = 8.2 हजार।

इस मान को छात्रों की कुल संख्या में बदलने के लिए, 1000 से गुणा करें: 8.2 × 1000 = 8200।

व्याख्या

मिश्रण के मूल्य की गणना भारित औसत (weighted average) सूत्र M = P₁ × R₁ + P₂ × R₂{R₁ + R₂} का उपयोग करके की जाती है, जहाँ M माध्य मूल्य (mean price) है, P घटकों के मूल्यों को दर्शाता है, और R उनके संबंधित अनुपातों को दर्शाता है। दिए गए मानों M = 50, P₁ = 45, R₁ = 3, और R₂ = 2 को सूत्र में रखने पर:

50 = 45 × 3 + P₂ × 2{3 + 2}

250 = 135 + 2P₂

115 = 2P₂

P₂ = 57.5

व्याख्या

त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई क्रमशः 16, 30 और 34 इकाई है। त्रिभुज के प्रकार को निर्धारित करने के लिए, हम पाइथागोरस संबंध a² + b² = c² की जाँच करते हैं। भुजाओं के वर्गों की गणना करने पर, हम पाते हैं कि 16² + 30² = 256 + 900 = 1156, जो कि 34² = 1156 के बराबर है। चूंकि दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी भुजा के वर्ग के बराबर है, इसलिए यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण 34 इकाई है।

किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए, परिवृत्त का केंद्र कर्ण के मध्य-बिंदु पर स्थित होता है, जिसका अर्थ है कि परिवृत्त की त्रिज्या R कर्ण की लंबाई की ठीक आधी होती है:

R = (कर्ण)/(2) = ³⁴⁄₂ = 17 इकाई।

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि कोई संख्या 132 से विभाज्य है या नहीं, उसे 132 के गुणनखंडों, जो कि 3, 4 और 11 हैं, से एक साथ विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि 132 = 3 × 4 × 11 है।

कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो। यह 3 से विभाज्य होती है यदि इसके अंकों का योग 3 का गुणज हो। यह 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज हो।

दिए गए समूह पर इन नियमों को लागू करने पर: 660: 4 से विभाज्य है (60, 15 × 4 है), 3 से विभाज्य है (6+6+0=12), और 11 से विभाज्य है (6-6+0=0)। 924: 4 से विभाज्य है (24, 6 × 4 है), 3 से विभाज्य है (9+2+4=15), और 11 से विभाज्य है (9-2+4=11)। 1452: 4 से विभाज्य है (52, 13 × 4 है), 3 से विभाज्य है (1+4+5+2=12), और 11 से विभाज्य है ((1+5)-(4+2)=0)। 1980: 4 से विभाज्य है (80, 20 × 4 है), 3 से विभाज्य है (1+9+8+0=18), और 11 से विभाज्य है ((1+8)-(9+0)=0)।

शेष संख्याएँ इन मानदंडों को पूरा नहीं करती हैं: 754, 4 या 3 से विभाज्य नहीं है; 1526, 4 या 3 से विभाज्य नहीं है; 2045, 4, 3 या 11 से विभाज्य नहीं है; और 2170, 4 या 3 से विभाज्य नहीं है। कुल 4 संख्याएँ हैं जो सभी शर्तों को पूरा करती हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि मतदाता सूची में दर्ज व्यक्तियों की कुल संख्या x है। डाले गए मतों की संख्या कुल मतदाता सूची का 90% है, जो कि 0.9x है। इन डाले गए मतों में से 15% को अवैध घोषित कर दिया गया था, जिसका अर्थ है कि शेष 85% वैध मत थे। इस प्रकार, वैध मतों की कुल संख्या 0.85 × 0.9x है।

जीता ने इन वैध मतों के 60% मत प्राप्त किए। यह देखते हुए कि जीता के कुल वैध मतों की संख्या 91,800 थी, हम इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त कर सकते हैं: 0.60 × 0.85 × 0.90 × x = 91,800

सबसे पहले, प्रतिशतों के संयुक्त गुणनफल की गणना करें: 0.60 × 0.85 × 0.90 = 0.459

अब, x का मान ज्ञात करने के लिए इस मान को वापस समीकरण में रखें: 0.459x = 91,800 x = (91,800)/(0.459) x = 2,00,000

यह गणना दर्शाती है कि मतदान प्रतिशत, मतों की वैधता और उम्मीदवार द्वारा प्राप्त विशिष्ट हिस्से को ध्यान में रखते हुए, मतदाता सूची में दर्ज व्यक्तियों की कुल संख्या 2,00,000 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि एक पुरुष की कार्यक्षमता M और एक लड़के की कार्यक्षमता B है। चूंकि कुल कार्य स्थिर रहता है, इसलिए हम सूत्र W = (n₁M + n₂B) × D₁ = (n₃M + n₄B) × D₂ का उपयोग करते हैं।

(12M + 16B) × 5 = (13M + 24B) × 4 60M + 80B = 52M + 96B 60M - 52M = 96B - 80B 8M = 16B ⟹ M = 2B

यह संबंध दर्शाता है कि एक पुरुष की कार्यक्षमता दो लड़कों की कार्यक्षमता के बराबर है। लड़कों की इकाई के रूप में कुल कार्य ज्ञात करने के लिए, हम पहले समीकरण में M = 2B प्रतिस्थापित करते हैं: W = (12 × 2B + 16B) × 5 = (24B + 16B) × 5 = 40B × 5 = 200B

लक्षित समूह, जिसमें 29 पुरुष और 22 लड़के शामिल हैं, की संयुक्त कार्यक्षमता की गणना इस प्रकार की जाती है: कार्यक्षमता = 29(2B) + 22B = 58B + 22B = 80B

कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय कुल कार्य को कुल कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: समय = (200B)/(80B) = ²⁰⁄₈ = 2.5 दिन

व्याख्या

दिए गए अनुपात 2 : 3 : 5 के आधार पर, मान लीजिए कि 50 पैसे, 25 पैसे और 20 पैसे के सिक्कों की संख्या क्रमशः 2x, 3x और 5x है। रुपये में सिक्कों का कुल मूल्य, सिक्कों की संख्या और रुपये में उनके संबंधित मूल्यों के गुणनफल का योग है: कुल मूल्य = (2x × 0.50) + (3x × 0.25) + (5x × 0.20) 550 = 1x + 0.75x + 1x 550 = 2.75x

x के लिए हल करने पर: x = (550)/(2.75) = 200

50 पैसे के सिक्कों द्वारा योगदान की गई राशि 1x = 1 × 200 = 200 रुपये है। 20 पैसे के सिक्कों द्वारा योगदान की गई राशि 1x = 1 × 200 = 200 रुपये है। 50 पैसे और 20 पैसे के सिक्कों द्वारा योगदान की गई राशियों के बीच का अंतर 200 - 200 = 0 है।

व्याख्या

दो वृत्तों के बीच सरल उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (DCT) की लंबाई की गणना सूत्र L = √(d² - (r₁ - r₂)²) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ d केंद्रों के बीच की दूरी है और r₁, r₂ वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

दिया गया है कि केंद्रों के बीच की दूरी d = 26 सेमी, पहली त्रिज्या r₁ = 16 सेमी, और दूसरी त्रिज्या r₂ = 8 सेमी है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

L = √(26² - (16 - 8)²) L = √(26² - 8²)

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करने पर:

L = √((26 - 8)(26 + 8)) L = √(18 × 34) L = √(612)

इसे विकल्पों में दिए गए रूप में व्यक्त करने के लिए, हम 612 में से एक पूर्ण वर्ग बाहर निकालते हैं:

L = √(4 × 153) L = 2√(153)

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल की गणना सूत्र A = (θ)/(360°) × π r² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या है और θ डिग्री में केंद्रीय कोण है। दिया गया है r = 5 सेमी और θ = 60°, गणना इस प्रकार है:

A = ⁶⁰⁄₃₆₀ × π × 5² A = ⅙ × π × 25 A = (25π)/(6)

π ≈ 3.14159 रखने पर: A ≈ (25 × 3.14159)/(6) A ≈ (78.53975)/(6) ≈ 13.0899 सेमी²

दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 13.1 सेमी² है।

व्याख्या

इस व्यंजक को योग पर गुणन के वितरण गुणधर्म (distributive property) का उपयोग करके सरल किया जा सकता है, जिसे सूत्र a × b + a × c = a × (b + c) द्वारा परिभाषित किया गया है। दिए गए व्यंजक (- 25) × 8 + (- 25) × 2 में, माना a = -25, b = 8, और c = 2 है। सूत्र लागू करने पर:

(-25) × (8 + 2)

सबसे पहले कोष्ठक के अंदर योग करने पर:

(-25) × 10 = -250

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके गुणनफल की गणना कुशलतापूर्वक की जा सकती है। यह ध्यान देते हुए कि 277 और 323, संख्या 300 से समान दूरी पर हैं, इस व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

277 × 323 = (300 - 23)(300 + 23)

सर्वसमिका का उपयोग करने पर:

300² - 23² = 90000 - 529 = 89471

यह दृष्टिकोण लंबी गुणा को दस की घात में से एक ज्ञात वर्ग के घटाव से प्रतिस्थापित करके गणना को सरल बनाता है।

व्याख्या

तृतीय चतुर्थांश में, sine और cosine फलन ऋणात्मक होते हैं, जबकि tangent फलन धनात्मक होता है। मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² x + cos² x = 1 का उपयोग करते हुए, sin x ज्ञात करने के लिए हम cos x = - ½ प्रतिस्थापित करते हैं:

sin² x = 1 - (- ½)² = 1 - ¼ = ¾

चूंकि x तृतीय चतुर्थांश में स्थित है, इसलिए sin x ऋणात्मक होना चाहिए, अतः sin x = - √3{2}। tangent फलन को sine और cosine के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:

tan x = (sin x)/(cos x) = -{√3{2}}{-½} = √3

वैकल्पिक रूप से, संदर्भ कोण पर विचार करने पर, cos θ = ½, 60° के कोण के संगत है। तृतीय चतुर्थांश में, कोण 180° + 60° = 240° है। tan 240° का मान tan(180° + 60°) के बराबर होता है, जो सरल होकर tan 60° = √3 हो जाता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी ऋण पर भुगतान किया गया कुल ब्याज, जहाँ दर वार्षिक रूप से बदलती है, प्रत्येक वर्ष के लिए व्यक्तिगत ब्याज राशियों को जोड़कर निकाला जाता है। चूंकि मूलधन P पूरी अवधि के दौरान स्थिर रहता है, इसलिए कुल ब्याज को P × (Σ r)/(100) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ Σ r वार्षिक ब्याज दरों का योग है।

चार लगातार वर्षों के लिए ब्याज दरें 5%, 5.5%, 6% और 6.5% हैं। इन दरों को आपस में जोड़ने पर कुल अवधि के लिए संचयी ब्याज प्रतिशत प्राप्त होता है: 5% + 5.5% + 6% + 6.5% = 23%

यह देखते हुए कि 4 वर्ष बाद भुगतान किया गया कुल ब्याज ₹4,600 है, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं: (P × 23)/(100) = 4600

मूलधन P के लिए हल करने पर: P = (4600 × 100)/(23) P = 200 × 100 P = 20,000

व्याख्या

cos 75° का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक कोणों A = 45° और B = 30° को चुनकर कोसाइन योग सूत्र cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B का उपयोग करते हैं। ज्ञात त्रिकोणमितीय मानों cos 45° = (1)/(√(2)), cos 30° = √3{2}, sin 45° = (1)/(√(2)), और sin 30° = ½ को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

cos 75° = cos(45° + 30°) = cos 45° cos 30° - sin 45° sin 30°

cos 75° = ((1)/(√(2))) (√3{2}) - ((1)/(√(2))) (½)

cos 75° = √3{2√2} - (1)/(2√(2)) = √3 - 1{2√2}

हर का परिमेयकरण करने और दिए गए प्रारूप से मिलाने के लिए, अंश और हर दोनों को √2 से गुणा करें:

cos 75° = (√3 - 1) · √2{2√2 · √2} = √6 - √2{4}

व्याख्या

कांस्टेबल द्वारा चोर को पकड़ने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम सापेक्ष गति की अवधारणा का उपयोग करते हैं क्योंकि दोनों व्यक्ति एक ही दिशा में गति कर रहे हैं। सोमेश के सापेक्ष राम की सापेक्ष गति दोनों की व्यक्तिगत गतियों का अंतर है: सापेक्ष गति = 50 मीटर/मिनट - 30 मीटर/मिनट = 20 मीटर/मिनट

उनके बीच की प्रारंभिक दूरी 225 मीटर है। इस दूरी को पाटने के लिए आवश्यक समय की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: समय (T) = (प्रारंभिक दूरी)/(सापेक्ष गति) T = ²²⁵⁄₂₀ मिनट T = 11.25 मिनट

दशमलव भाग को सेकंड में बदलने के लिए, हम भिन्नात्मक भाग को 60 से गुणा करते हैं: 0.25 × 60 = 15 सेकंड

लिया गया कुल समय 11 मिनट 15 सेकंड है।

व्याख्या

इस लेनदेन में, मेज का क्रय मूल्य (CP) ₹3,000 है और विक्रय मूल्य (SP) ₹3,200 है। चूंकि विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य से अधिक है (SP > CP), इसलिए इस लेनदेन में लाभ होता है। लाभ की राशि की गणना सूत्र लाभ = SP - CP का उपयोग करके की जाती है। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर लाभ = 3200 - 3000 = 200 प्राप्त होता है। यह ₹200 के लाभ को दर्शाता है।

व्याख्या

दो व्यक्तियों द्वारा मिलकर किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय की गणना संयुक्त कार्य सूत्र T = (xy)/(x + y) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ x और y प्रत्येक व्यक्ति द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिए गए समय को दर्शाते हैं।

दिया गया है: सार्थक द्वारा लिया गया समय x = 12 दिन मोहन द्वारा लिया गया समय y = 15 दिन

इन मानों को सूत्र में रखने पर: T = (12 × 15)/(12 + 15) T = ¹⁸⁰⁄₂₇

इसे सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक से विभाजित करें, जो कि 9 है: T = ²⁰⁄₃ T = 6.666...

परिणाम को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें 6.67 दिन प्राप्त होते हैं। वैकल्पिक रूप से, कार्यक्षमता विधि का उपयोग करते हुए, यदि हम मान लें कि कुल कार्य 12 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) (60 इकाई) है, तो सार्थक की कार्यक्षमता 5 इकाई/दिन है और मोहन की कार्यक्षमता 4 इकाई/दिन है। वे दोनों मिलकर प्रतिदिन 9 इकाई कार्य पूरा करते हैं, इसलिए लिया गया समय 60 / 9 = 6.67 दिन है।

व्याख्या

x⁵ + (1)/(x⁵) का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: x⁵ + (1)/(x⁵) = (x² + (1)/(x²))(x³ + (1)/(x³)) - (x + ¹⁄ₓ)

दिया गया है कि x + ¹⁄ₓ = -6, हम पहले वर्ग और घन ज्ञात करते हैं। किसी भी मान k = x + ¹⁄ₓ के लिए, वर्गों का योग k² - 2 द्वारा दिया जाता है: x² + (1)/(x²) = (-6)² - 2 = 36 - 2 = 34

घनों का योग सूत्र k³ - 3k द्वारा दिया जाता है: x³ + (1)/(x³) = (-6)³ - 3(-6) = -216 + 18 = -198

अब, इन परिकलित मानों को मुख्य सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: x⁵ + (1)/(x⁵) = (34)(-198) - (-6)

गुणा करने पर: 34 × (-198) = 34 × (-200 + 2) = -6800 + 68 = -6732

अंत में, व्यंजक को पूर्ण करें: -6732 - (-6) = -6732 + 6 = -6726

व्याख्या

पुरुषों (M) और महिलाओं (W) की कार्यक्षमता के बीच संबंध कुल कार्य को बराबर करके ज्ञात किया जाता है: (15M + 21W) × 56 = (12M + 24W) × 64 8 से विभाजित करने और पदों का विस्तार करने पर: 7(15M + 21W) = 8(12M + 24W) 105M + 147W = 96M + 192W 9M = 45W ⟹ M = 5W एक महिला की कार्यक्षमता को 1 इकाई/दिन और एक पुरुष की कार्यक्षमता को 5 इकाई/दिन मानने पर, कुल कार्य है: (15 × 5 + 21 × 1) × 56 = 96 × 56 = 5376 इकाई 18 पुरुषों और 24 महिलाओं की संयुक्त कार्यक्षमता है: 18(5) + 24(1) = 90 + 24 = 114 इकाई/दिन कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय है: ⁵³⁷⁶⁄₁₁₄ = ⁸⁹⁶⁄₁₉ = 47 ³⁄₁₉ दिन

व्याख्या

मान लीजिए कि मूल भाज्य D है और मूल भाजक d है। चूंकि मूल भागफल 25 है और शेषफल 0 है, इसलिए संबंध D = 25d है।

प्रांजल एक नए भाज्य D' का उपयोग करता है जो D से 10% अधिक है, इसलिए D' = 1.1D। वह एक नए भाजक d' का उपयोग करता है जो d से 25% अधिक है, इसलिए d' = 1.25d। प्रांजल द्वारा प्राप्त भागफल Q' है:

Q' = (D')/(d')

D' और d' के मान प्रतिस्थापित करने पर:

Q' = (1.1D)/(1.25d)

चूंकि (D)/(d) = 25 है, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

Q' = (1.1)/(1.25) × 25

Q' = (1.1 × 25)/(1.25)

Q' = 1.1 × 20

Q' = 22

व्याख्या

माना क्रय मूल्य CP है और प्रारंभिक विक्रय मूल्य SP है। मूल लाभ को P = SP - CP के रूप में परिभाषित किया गया है। प्रश्न के अनुसार, जब विक्रय मूल्य को दोगुना करके 2SP कर दिया जाता है, तो नया लाभ 4P हो जाता है। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया गया है:

2SP - CP = 4(SP - CP)

SP और CP के बीच संबंध को हल करने पर: 2SP - CP = 4SP - 4CP 4CP - CP = 4SP - 2SP 3CP = 2SP (SP)/(CP) = ³⁄₂ = 1.5

मूल लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = ((SP)/(CP) - 1) × 100 लाभ % = (1.5 - 1) × 100 लाभ % = 0.5 × 100 = 50%

व्याख्या

इमारत, जमीन और दृष्टि रेखा द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, इमारत की ऊंचाई लंब (P) के रूप में कार्य करती है और इमारत के आधार से व्यक्ति की दूरी आधार (B) के रूप में कार्य करती है। जमीन और इमारत के शीर्ष की दृष्टि रेखा के बीच का कोण उन्नयन कोण, θ = 30° है।

लंब, आधार और उन्नयन कोण के बीच त्रिकोणमितीय संबंध को स्पर्शज्या (tangent) फलन द्वारा परिभाषित किया जाता है:

tan(θ) = (P)/(B)

दिए गए मानों P = 1000 मीटर और θ = 30° को सूत्र में रखने पर:

tan(30°) = (1000)/(B)

हम जानते हैं कि tan(30°) का मान (1)/(√(3)) होता है। इस मान को समीकरण में रखने पर:

(1)/(√(3)) = (1000)/(B)

दूरी B को ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

B = 1000 × √3

3 के वर्गमूल के लिए मानक गणितीय सन्निकटन का उपयोग करने पर, जहाँ √3 ≈ 1.732:

B = 1000 × 1.732 = 1732

व्याख्या

एक विशिष्ट समयावधि में एक साथ काम करने वाले दो व्यक्तियों द्वारा किया गया कुल कार्य उसी समयावधि के दौरान प्रत्येक व्यक्ति द्वारा स्वतंत्र रूप से पूरे किए गए कार्य का योग होता है। A, 7 दिनों में कार्य का 20% पूरा कर सकता है, और B, 7 दिनों में कार्य का 25% पूरा कर सकता है। जब वे 7 दिनों के लिए एक साथ काम करते हैं, तो उनके व्यक्तिगत योगदान जुड़ जाते हैं:

पूरा किया गया कुल प्रतिशत = A द्वारा किया गया प्रतिशत + B द्वारा किया गया प्रतिशत

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर:

कुल प्रतिशत = 20% + 25% = 45%

चूंकि उनके व्यक्तिगत कार्य की समय-सीमा उनके संयुक्त कार्य की समय-सीमा (7 दिन) से मेल खाती है, इसलिए कार्य पर हुई कुल प्रगति का पता लगाने के लिए हम केवल प्रतिशतों को जोड़ते हैं।

व्याख्या

अंश sin⁴θ + cos⁴θ को बीजगणितीय सर्वसमिका a² + b² = (a + b)² - 2ab का उपयोग करके विस्तारित किया गया है। a = sin²θ और b = cos²θ प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक (sin²θ + cos²θ)² - 2sin²²θ हो जाता है। मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करने पर, अंश सरल होकर 1² - 2sin²²θ हो जाता है, जो कि हर 1 - 2sin²²θ के बिल्कुल बराबर है। इन समान पदों को विभाजित करने पर 1 प्राप्त होता है। इसे किसी विशिष्ट मान जैसे कि θ = 0° को प्रतिस्थापित करके भी तुरंत सत्यापित किया जा सकता है, जिससे (0⁴ + 1⁴)/(1 - 0) = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण (X - 5Y)/(X + 5Y) = ⁷⁄₁₃ है। वज्र-गुणन (cross-multiplication) के नियम को लागू करके, हम X और Y के अनुपात को हल कर सकते हैं:

13(X - 5Y) = 7(X + 5Y)

समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:

13X - 65Y = 7X + 35Y

चरों (variables) को अलग करने के लिए, X वाले पदों को एक पक्ष में और Y वाले पदों को दूसरे पक्ष में समूहित करें:

13X - 7X = 35Y + 65Y

6X = 100Y

(X)/(Y) का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 6Y से विभाजित करें:

(X)/(Y) = ¹⁰⁰⁄₆

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर:

(X)/(Y) = ⁵⁰⁄₃

वैकल्पिक रूप से, योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) के नियम का उपयोग करते हुए, यदि (a-b)/(a+b) = (c)/(d) है, तो (a)/(b) = (d+c)/(d-c) होगा। इसे (X)/(5Y) = ¹³⁺⁷⁄₁₃₋₇ पर लागू करने से (X)/(5Y) = ²⁰⁄₆ = ¹⁰⁄₃ प्राप्त होता है। 5 से गुणा करने पर (X)/(Y) = ⁵⁰⁄₃ प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रत्येक खिलाड़ी का औसत स्कोर सूत्र औसत = (स्कोर₁ + स्कोर₂ + स्कोर₃)/(3) द्वारा निर्धारित किया जाता है। चूंकि सभी प्रतिभागियों के लिए प्रयासों की संख्या स्थिर है, इसलिए उच्चतम औसत स्कोर, स्कोर के उच्चतम कुल योग के अनुरूप है। प्रीति के स्कोर 74.30, 75.00 और 77.50 हैं। उसका कुल स्कोर 74.30 + 75.00 + 77.50 = 226.80 है, और उसका औसत स्कोर (226.80)/(3) = 75.60 है। यह औसत सभी खिलाड़ियों में सबसे अधिक है क्योंकि उसके व्यक्तिगत स्कोर टूर्नामेंट में किसी भी अन्य प्रतिस्पर्धी द्वारा प्राप्त किए गए स्कोर से लगातार अधिक हैं।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका x² + (1)/(x²) = (x + ¹⁄ₓ)² - 2 का उपयोग करते हुए, हम दिए गए मान x + ¹⁄ₓ = 10 को प्रतिस्थापित करते हैं: x² + (1)/(x²) = 10² - 2 = 100 - 2 = 98

x⁴ + (1)/(x⁴) का मान ज्ञात करने के लिए, हम x² को आधार चर मानकर सर्वसमिका को पुनः लागू करते हैं: x⁴ + (1)/(x⁴) = (x² + (1)/(x²))² - 2 x⁴ + (1)/(x⁴) = 98² - 2

98 के वर्ग की गणना सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करके आसानी से की जा सकती है: 98² = (100 - 2)² = 10000 - 400 + 4 = 9604

इस मान को पुनः समीकरण में रखने पर: x⁴ + (1)/(x⁴) = 9604 - 2 = 9602

व्याख्या

शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र: a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ a प्रतिशत मूल्य वृद्धि को दर्शाता है और b प्रतिशत छूट को दर्शाता है।

20% की मूल्य वृद्धि (a = 20) और 15% की छूट (b = -15) दिए जाने पर:

शुद्ध प्रतिशत = 20 - 15 + (20 × (-15))/(100) शुद्ध प्रतिशत = 5 - ³⁰⁰⁄₁₀₀ शुद्ध प्रतिशत = 5 - 3 = 2%

चूंकि परिणाम धनात्मक है, इसलिए यह 2% लाभ को दर्शाता है। वैकल्पिक रूप से, यदि हम मान लें कि क्रय मूल्य 100 है, तो अंकित मूल्य 120 (क्रय मूल्य से 20% अधिक) होगा। अंकित मूल्य पर 15% की छूट = 0.15 × 120 = 18 होगी। अंकित मूल्य में से इस छूट को घटाने पर विक्रय मूल्य 120 - 18 = 102 प्राप्त होता है। विक्रय मूल्य 102 की तुलना क्रय मूल्य 100 से करने पर 2% का लाभ प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि छह-अंकीय संख्या N है। चूंकि N, 33 से विभाज्य है, इसे किसी पूर्णांक k के लिए N = 33k के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। 54 जोड़ने पर बनने वाली नई संख्या N + 54 है। N का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

M = 33k + 54

हम व्यंजक के दोनों पदों में से 3 को उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं क्योंकि 33 = 3 × 11 और 54 = 3 × 18 है:

M = 3(11k + 18)

चूंकि 11k + 18 एक पूर्णांक है, इसलिए व्यंजक 3(11k + 18) संख्या 3 के एक गुणज को दर्शाता है। यह इस गणितीय सिद्धांत का अनुसरण करता है कि यदि दो संख्याएँ एक ही भाजक से विभाज्य हैं, तो उनका योग भी उसी भाजक से विभाज्य होगा। चूंकि मूल संख्या N, 33 का एक गुणज है (और इस प्रकार 3 का भी एक गुणज है) और 54 भी 3 का एक गुणज है, इसलिए उनका योग भी 3 से विभाज्य होना चाहिए।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल की गणना सूत्र A = (θ)/(360°) × π r² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ θ केंद्रीय कोण है और r त्रिज्या है। दी गई त्रिज्या r = 10 सेमी, कोण θ = 60°, और π = 3.14 है, गणना इस प्रकार है:

A = ⁶⁰⁄₃₆₀ × 3.14 × (10)²

A = ⅙ × 3.14 × 100

A = ³¹⁴⁄₆

A = 52.333... सेमी²

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 52.33 सेमी² है।

व्याख्या

एक गोले का आयतन सूत्र V = ⁴⁄₃π r³ द्वारा दिया जाता है। चूंकि त्रिज्या r, व्यास d की आधी होती है, इसलिए इस सूत्र को व्यास के संदर्भ में V = (π)/(6) d³ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। जब एक बड़े गोले को पिघलाकर छोटे गोलों में ढाला जाता है, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है। इस प्रकार, मूल गेंद के व्यास का घन, तीनों छोटी गेंदों के व्यासों के घनों के योग के बराबर होता है।

मान लीजिए कि मूल गेंद का व्यास d है, और तीन छोटी गेंदों के व्यास d₁, d₂, और d₃ हैं। इनके बीच का संबंध इस प्रकार है:

d³ = d₁³ + d₂³ + d₃³

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर:

3³ = (1.5)³ + 2³ + d₃³ 27 = 3.375 + 8 + d₃³ 27 = 11.375 + d₃³

d₃³ का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:

d₃³ = 27 - 11.375 d₃³ = 15.625

तीसरी गेंद का व्यास ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:

d₃ = ³√(15.625) = 2.5 सेमी

व्याख्या

कुल दूरी यात्रा के दोनों भागों में तय की गई दूरियों का योग है। सूत्र दूरी = चाल × समय का उपयोग करते हुए, और समय को मिनट से घंटे में बदलने के लिए 60 से भाग देने पर:

पहले भाग के लिए: D₁ = 90 × (37.5)/(60) = 1.5 × 37.5 = 56.25 किमी भिन्न के रूप में, 56.25 = 56 ¼ = ²²⁵⁄₄ किमी।

दूसरे भाग के लिए: D₂ = 80 × ¹⁴⁄₆₀ = ⁴⁄₃ × 14 = ⁵⁶⁄₃ = 18 ⅔ किमी

कुल दूरी D = D₁ + D₂: D = ²²⁵⁄₄ + ⁵⁶⁄₃ = (225 × 3 + 56 × 4)/(12) = (675 + 224)/(12) = ⁸⁹⁹⁄₁₂

विषम भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलने पर: 899 ÷ 12 = 74, जिसमें शेषफल 11 है। इसलिए, कुल दूरी 74 ¹¹⁄₁₂ किमी है।

व्याख्या

माना सभी 20 छात्रों का औसत खर्च A है। प्रश्न के अनुसार, 20वें छात्र ने A + 19 खर्च किए। औसत खर्च की गणना 20वें छात्र द्वारा खर्च की गई अतिरिक्त राशि को शेष 19 छात्रों में समान रूप से वितरित करके की जाती है: A = 175 + (19 / 19) = 175 + 1 = 176 सभी 20 छात्रों द्वारा खर्च की गई कुल राशि, छात्रों की कुल संख्या और उनके औसत खर्च का गुणनफल है: कुल खर्च = 20 × 176 = 3520

व्याख्या

यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका a² - b²{a + b} के रूप में है। वर्गों के अंतर के सूत्र, a² - b² = (a + b)(a - b) का उपयोग करने पर, व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है:

a² - b²{a + b} = ((a + b)(a - b))/(a + b) = a - b

a = 3.35 और b = 1.25 प्रतिस्थापित करने पर:

3.35 - 1.25 = 2.1