एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल A, उसकी त्रिज्या r और चाप की लंबाई l से सूत्र A = ½ r l द्वारा संबंधित है। यह संबंध इस तथ्य से प्राप्त होता है कि क्षेत्रफल और चाप की लंबाई दोनों त्रिज्यखंड के केंद्रीय कोण के समानुपाती होते हैं। यह देखते हुए कि त्रिज्या r = 12 सेमी और क्षेत्रफल A = 32π सेमी² है, हम इन मानों को सीधे सूत्र में रख सकते हैं:

32π = ½ × 12 × l

32π = 6l

l ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करते हैं:

l = (32π)/(6)

अंश और हर दोनों को 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है:

l = ¹⁶⁄₃π सेमी

व्याख्या

एक जीवा को एक ऐसे सीधे रेखाखंड के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके दोनों अंत्य बिंदु वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं। व्यास एक विशिष्ट प्रकार की जीवा है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है और परिधि पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की अधिकतम संभव दूरी को दर्शाती है। इसलिए, व्यास एक वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है, जिसकी लंबाई 2r के बराबर होती है, जहाँ r त्रिज्या है। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिज्या वृत्त के केंद्र को परिधि पर स्थित एक बिंदु से जोड़ती है। चूंकि इसका एक अंत्य बिंदु (केंद्र) परिधि पर स्थित नहीं होता है, इसलिए त्रिज्या बिल्कुल भी जीवा नहीं है, जिससे यह दावा कि यह सबसे लंबी जीवा है, मौलिक रूप से गलत हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य A और B द्वारा लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(18, 12) = 36 इकाई है।

A की कार्यक्षमता कुल कार्य को लिए गए समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, जो कि 36 / 18 = 2 इकाई प्रति दिन है। इसी प्रकार, B की कार्यक्षमता 36 / 12 = 3 इकाई प्रति दिन है।

B ने 4 दिनों तक कार्य किया, जिससे कुल 3 × 4 = 12 इकाई कार्य पूरा हुआ। शेष कार्य कुल कार्य में से B द्वारा पूरे किए गए कार्य को घटाने पर प्राप्त होता है, जो कि 36 - 12 = 24 इकाई के बराबर है।

A शेष 24 इकाई कार्य को 2 इकाई प्रति दिन की कार्यक्षमता से पूरा करता है। इसलिए, शेष कार्य को पूरा करने में A द्वारा लिया गया समय 24 / 2 = 12 दिन है।

व्याख्या

अंतिम मुलाकात का समय ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दोनों धावकों की गति निर्धारित करते हैं। धावक A, 800 मीटर का एक चक्कर 200 सेकंड में पूरा करता है, इसलिए गति v_A = ⁸⁰⁰⁄₂₀₀ = 4 मीटर/सेकंड है। धावक B, एक चक्कर 250 सेकंड में पूरा करता है, इसलिए गति v_B = ⁸⁰⁰⁄₂₅₀ = 3.2 मीटर/सेकंड है।

तेज़ गति वाले व्यक्ति (धावक A) के लिए दौड़ तब समाप्त होती है जब वह 18 किमी (18000 मीटर) की कुल दूरी तय कर लेता है। धावक A द्वारा दौड़ पूरी करने में लिया गया समय T_finish = ¹⁸⁰⁰⁰⁄₄ = 4500 सेकंड है।

एक वृत्ताकार ट्रैक पर, एक ही बिंदु से शुरू करने वाले और एक ही दिशा में दौड़ने वाले दो व्यक्तियों की लगातार मुलाकातों के बीच का समय अंतराल t = (L)/(v_A - v_B) द्वारा दिया जाता है, जहाँ L ट्रैक की लंबाई है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें t = (800)/(4 - 3.2) = (800)/(0.8) = 1000 सेकंड प्राप्त होता है।

धावक 1000 सेकंड के अंतराल पर मिलते हैं, जिसका अर्थ है कि वे 1000, 2000, 3000 और 4000 सेकंड पर मिलते हैं। चूंकि तेज़ धावक 4500 सेकंड पर दौड़ पूरी कर लेता है, इसलिए इस समय के बाद कोई और मुलाकात नहीं हो सकती है। धावक A के दौड़ पूरी करने से पहले अंतिम मुलाकात 4000 सेकंड पर होती है।

व्याख्या

व्यंजक 27x³ - 58x² y + 31xy² - 8y³ का मान ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक पद में अलग-अलग x = -5 और y = -7 का मान रखिए:

पहला पद: 27x³ = 27(-5)³ = 27(-125) = -3375

दूसरा पद: -58x² y = -58(-5)² (-7) = -58(25)(-7) = 58 × 175 = 10150

तीसरा पद: 31xy² = 31(-5)(-7)² = 31(-5)(49) = -155 × 49 = -7595

चौथा पद: -8y³ = -8(-7)³ = -8(-343) = 2744

अब, सभी परिकलित पदों का योग करें: -3375 + 10150 - 7595 + 2744 = (10150 + 2744) - (3375 + 7595) = 12894 - 10970 = 1924

व्याख्या

मान लीजिए कि दो प्राकृतिक संख्याएँ a और b हैं। दिया गया है कि (a - b)³ = 1728, जिससे हमें a - b = ³√(1728) = 12 प्राप्त होता है। गुणनफल ab = 108 दिया गया है। घनों का योग a³ + b³ ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का उपयोग करते हैं, जिसे ज्ञात मानों के संदर्भ में (a + b)((a - b)² + ab) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

हम सबसे पहले संबंध (a + b)² = (a - b)² + 4ab का उपयोग करके संख्याओं का योग ज्ञात करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (a + b)² = 12² + 4(108) = 144 + 432 = 576 प्राप्त होता है, जिससे a + b = √(576) = 24 प्राप्त होता है। अब, इन्हें घनों के योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ = 24 × (12² + 108) = 24 × (144 + 108) = 24 × 252 = 6048.

वैकल्पिक रूप से, संख्याओं को 18 और 6 के रूप में पहचाना जा सकता है, क्योंकि 18 - 6 = 12 और 18 × 6 = 108 है। उनके घनों के योग की सीधे गणना करने पर 18³ + 6³ = 5832 + 216 = 6048 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पुलिसकर्मी और चोर के बीच सापेक्ष गति 8 किमी/घंटा (40 किमी/घंटा - 32 किमी/घंटा) है। चोर को पकड़ने में लगा समय प्रारंभिक दूरी को सापेक्ष गति से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 0.4 किमी / 8 किमी/घंटा = 0.05 घंटे है। इसलिए, चोर द्वारा तय की गई दूरी 32 किमी/घंटा × 0.05 घंटे = 1.6 किमी, या 1600 मीटर है।

व्याख्या

दिया गया है (x - y)³ = 1728, जिससे हमें x - y = 12 प्राप्त होता है। सर्वसमिका x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y) और दिए गए गुणनफल xy = 108 का उपयोग करते हुए, हम गणना करते हैं x³ - y³ = 1728 + 3(108)(12) = 1728 + 3888 = 5616। वैकल्पिक रूप से, संख्याओं को 18 और 6 के रूप में पहचानकर (चूंकि 18 - 6 = 12 और 18 * 6 = 108), उनके घनों का अंतर 18³ - 6³ = 5832 - 216 = 5616 है।

व्याख्या

स्कूल A के लिए, जीव विज्ञान के छात्र 900 का 30% हैं, जो कि 270 है; इसे 7:8 के अनुपात में विभाजित करने पर 126 पुरुष और 144 महिलाएँ प्राप्त होती हैं। स्कूल D के लिए, जीव विज्ञान के छात्र 800 का 18% हैं, जो कि 144 है; इसे 5:7 के अनुपात में विभाजित करने पर 60 पुरुष और 84 महिलाएँ प्राप्त होती हैं। संयुक्त कुल योग 186 पुरुष और 228 महिलाएँ हैं, जिसे सरल करने पर अनुपात 31:38 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक शंक्वाकार तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र CSA = π r l द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l तिर्यक ऊंचाई है। त्रिज्या आधार के व्यास की आधी होती है, इसलिए r = 48/2 = 24 मीटर। तिर्यक ऊंचाई l को पाइथागोरस संबंध l = √(r² + h²) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। दी गई ऊंचाई h = 10 मीटर और त्रिज्या r = 24 मीटर का मान रखने पर, हमें l = √(24² + 10²) = √(576 + 100) = √(676) = 26 मीटर प्राप्त होता है। यह पाइथागोरस त्रिक (10, 24, 26) का अनुसरण करता है, जो कि (5, 12, 13) त्रिक का एक गुणज है। इन मानों को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर CSA = π × 24 × 26 प्राप्त होता है। गुणनफल की गणना करने पर, 24 × 26 = (25 - 1)(25 + 1) = 25² - 1 = 624। अतः, तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 624 π m² है।

व्याख्या

सर्वसमिका tan θ = (sin θ)/(cos θ) का उपयोग करके tangent पदों को sine और cosine में परिवर्तित करके व्यंजक को सरल किया जा सकता है। पद tan x + tan y को निम्नानुसार सरल किया जा सकता है:

tan x + tan y = (sin x)/(cos x) + (sin y)/(cos y) = (sin x cos y + cos x sin y)/(cos x cos y) = (sin(x + y))/(cos x cos y)

इसी प्रकार, हर (denominator) में घटाव के लिए:

tan x - tan y = (sin x)/(cos x) - (sin y)/(cos y) = (sin x cos y - cos x sin y)/(cos x cos y) = (sin(x - y))/(cos x cos y)

इन दोनों परिणामों को विभाजित करने पर, cos x cos y पद आपस में कट (cancel) जाते हैं:

(tan x + tan y)/(tan x - tan y) = (sin(x + y))/(sin(x - y))

इसे मूल व्यंजक के पहले भाग से गुणा करने पर:

((sin(x - y))/(sin(x + y))) ((sin(x + y))/(sin(x - y))) = 1

व्याख्या

यह व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका ((a + b)² - (a - b)²) / (ab) = 4ab / ab का अनुसरण करता है। a और b के मानों पर ध्यान दिए बिना, चरों को निरस्त करने पर अचर 4 बचता है।

व्याख्या

दो राशियों a और b का तृतीयानुपाती c, संबंध a : b = b : c द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिससे सूत्र c = b²/a प्राप्त होता है।

इस स्थिति में, पहली राशि a = x² - y² है और दूसरी राशि b = x - y है। इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, तृतीयानुपाती की गणना इस प्रकार की जाती है:

c = (x - y)² / (x² - y²)

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, x² - y² = (x - y)(x + y) का उपयोग करने पर, यह व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

c = ((x - y)(x - y)) / ((x - y)(x + y))

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ गुणनखंड (x - y) को निरस्त करने पर प्राप्त होता है:

c = (x - y)/(x + y)

व्याख्या

योजना A के लिए प्रभावी छूट, जो 10% और 15% की दो क्रमिक छूट प्रदान करती है, की गणना क्रमिक छूट सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। मानों को रखने पर, प्रभावी छूट 10 + 15 - (10 × 15)/(100) = 25 - 1.5 = 23.5% है।

योजना B के लिए, 'x खरीदें, y मुफ्त पाएं' योजना के लिए छूट प्रतिशत की गणना (y)/(x + y) × 100 के रूप में की जाती है। x = 5 और y = 2 के साथ, छूट (2)/(5 + 2) × 100 = ²⁄₇ × 100 है। यह देखते हुए कि ⅐ ≈ 14.28% है, ²⁄₇ का मान लगभग 28.57% है।

दोनों परिणामों की तुलना करने पर, योजना B 28.57% की छूट प्रदान करती है, जो योजना A द्वारा प्रदान की जाने वाली 23.5% की छूट से अधिक है।

व्याख्या

माना कुल कार्य 20 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है। A की कार्यक्षमता 60 / 20 = 3 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 60 / 15 = 4 इकाई प्रति दिन है। B ने कार्य छोड़ने से पहले 9 दिनों तक कार्य किया, जिससे उसने 9 × 4 = 36 इकाई कार्य पूरा किया। शेष कार्य की गणना 60 - 36 = 24 इकाई के रूप में की जाती है। चूंकि A अकेले इस शेष कार्य को 3 इकाई प्रति दिन की कार्यक्षमता से पूरा करता है, इसलिए A द्वारा लिया गया समय 24 / 3 = 8 दिन है।

व्याख्या

ट्रेनों द्वारा एक-दूसरे को पार करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम कुल दूरी (उनकी लंबाई का योग: 320 मीटर + 540 मीटर = 860 मीटर) की गणना करते हैं और इसे उनकी सापेक्ष चाल से विभाजित करते हैं। चूंकि ट्रेनें एक ही दिशा में चल रही हैं, इसलिए सापेक्ष चाल उनकी चालों का अंतर (144 किमी/घंटा - 108 किमी/घंटा = 36 किमी/घंटा) है, जिसे परिवर्तित करने पर यह 10 मीटर/सेकंड प्राप्त होती है। लिया गया समय = 860 मीटर / 10 मीटर/सेकंड = 86 सेकंड है।

व्याख्या

कुल कार्य पुरुषों की संख्या और आवश्यक कुल दिनों का गुणनफल है, जो कि 10 × 25 = 250 मानव-दिवस (man-days) है। पहले 12 दिनों में, 10 पुरुषों ने 10 × 12 = 120 मानव-दिवस कार्य पूरा किया। इसलिए, शेष कार्य 250 - 120 = 130 मानव-दिवस है। जब 3 और पुरुषों को काम पर लगाया जाता है, तो कुल कार्यबल 10 + 3 = 13 पुरुष हो जाता है। 13 पुरुषों के साथ शेष 130 मानव-दिवस कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय की गणना 130 / 13 = 10 दिन के रूप में की जाती है। इसे शेष कार्य के लिए संबंध M₁ D₁ = M₂ D₂ का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है, जहाँ M₁ = 10 पुरुष, D₁ = 13 दिन (यदि कोई पुरुष नहीं जोड़ा जाता तो शेष समय), M₂ = 13 पुरुष, और D₂ अज्ञात समय है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर 10 × 13 = 13 × D₂ प्राप्त होता है, जो सरल होकर D₂ = 10 दिन हो जाता है।

व्याख्या

जब मूलधन और ब्याज की दर स्थिर होती है, तो साधारण ब्याज समय के सीधे समानुपाती होता है। प्रश्न के अनुसार, T₁ = 5 वर्षों में अर्जित ब्याज मूलधन का 25% है। ब्याज को मूलधन के बराबर होने के लिए, इसे मूलधन के मूल्य के 100% तक पहुँचना होगा। चूंकि 100%, 25% का ठीक 4 गुना है, इसलिए उस ब्याज को संचित करने के लिए आवश्यक समय भी प्रारंभिक अवधि का 4 गुना होगा। इस प्रकार, आवश्यक समय 5 × 4 = 20 वर्ष है।

वैकल्पिक रूप से, साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके, हम पहले दर R ज्ञात कर सकते हैं। दिए गए मानों SI = 0.25P और T = 5 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 0.25P = (P × R × 5)/(100) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर R = 5% प्राप्त होता है। वह समय T ज्ञात करने के लिए जब ब्याज मूलधन के बराबर हो (SI = P), हम दर को वापस सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: P = (P × 5 × T)/(100)। दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर 1 = (5T)/(100) प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप T = 20 वर्ष आता है।

व्याख्या

इस व्यंजक को 4 की घात 12 (4¹²) को उभयनिष्ठ लेकर सरल किया जा सकता है: 4¹²(1 + 4 + 16 + 64) = 4¹²(85)। चूंकि 85, 5 और 17 के गुणनफल (5 × 17) के बराबर है, इसलिए संपूर्ण व्यंजक 17 से पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

व्यंजक (sin A + cos A) × cosec A को (sin A / sin A) + (cos A / sin A) के रूप में सरल किया जा सकता है, जो 1 + cot A के बराबर है। cot A = 12/5 का दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 + 12/5 = 17/5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रारंभिक बचत ₹12,000 (₹45,000 - ₹33,000) है। आय में वृद्धि ₹9,000 (₹45,000 का 20%) है और व्यय में वृद्धि ₹3,960 (₹33,000 का 12%) है, जिसके परिणामस्वरूप बचत में ₹5,040 (₹9,000 - ₹3,960) की वृद्धि होती है। बचत में प्रतिशत वृद्धि (5,040 / 12,000) × 100 = 42% है।

व्याख्या

कोई संख्या 24 से विभाज्य होती है यदि वह 3 और 8 दोनों से विभाज्य हो। संख्या 49512, 8 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंतिम तीन अंक (512) 8 से विभाज्य हैं, और यह 3 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग (4+9+5+1+2=21) 3 से विभाज्य है।

व्याख्या

मूल योग का आकलन 9 किग्रा कम किया गया था क्योंकि 77 किग्रा को भूलवश 68 किग्रा पढ़ लिया गया था। 9 किग्रा के इस अंतर को जोड़ने और इसे 20 व्यक्तियों में विभाजित करने पर औसत में 0.45 किग्रा की वृद्धि होती है, जिससे सही औसत 59.8 + 0.45 = 60.25 किग्रा हो जाता है।

व्याख्या

किसी बड़े त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है। चूँकि त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल 32 सेमी² है, इसलिए त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 32/4 = 8 सेमी² है।

व्याख्या

एक बड़े वृत्त की जीवा, जो एक छोटे सकेंद्रीय वृत्त की स्पर्शरेखा है, की लंबाई सूत्र 2√(R² - r²) द्वारा दी जाती है, जहाँ R और r क्रमशः बड़े और छोटे वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2√(15² - 13²) = 2√(225 - 169) = 2√56 = 2 × 2√14 = 4√14 सेमी।

व्याख्या

वस्तुओं की कुल कीमत ₹10,000 है। सबसे पहले, ₹500 की एकमुश्त छूट दी जाती है, जिससे कीमत घटकर ₹9,500 (10,000 - 500) हो जाती है। फिर, क्रेडिट कार्ड का उपयोग करने के लिए इस शेष राशि पर 7% की अतिरिक्त छूट दी जाती है। अतिरिक्त छूट ₹665 (9,500 का 7%) है, जिससे भुगतान की जाने वाली अंतिम राशि ₹8,835 (9,500 - 665) हो जाती है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर, 1 - cos A = 2 sin²(A/2) और 1 + cos A = 2 cos²(A/2) प्राप्त होता है। इन व्यंजकों को विभाजित करने पर (1 - cos A) / (1 + cos A) = tan²(A/2) प्राप्त होता है, इसलिए tan(A/2) = √((1 - cos A)/(1 + cos A)) है।

व्याख्या

एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले दो वृत्तों की प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई सूत्र 2√(r₁r₂) द्वारा दी जाती है। दी गई त्रिज्याओं (r₁ = 10 सेमी और r₂ = 5 सेमी) का मान रखने पर, गणना इस प्रकार है: 2√(10 × 5) = 2√50 = 2 × 5√2 = 10√2 सेमी।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल प्रमेय के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

क्षेत्रफल₁ / क्षेत्रफल₂ = (भुजा₁ / भुजा₂)²

संगत भुजाओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए, क्षेत्रफलों के अनुपात का वर्गमूल लें:

भुजा₁ / भुजा₂ = √(क्षेत्रफल₁ / क्षेत्रफल₂)

यह दिया गया है कि क्षेत्रफलों का अनुपात 196 : 625 है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

भुजाओं का अनुपात = √(¹⁹⁶⁄₆₂₅)

चूंकि 14² = 196 और 25² = 625 है, इसलिए अनुपात का वर्गमूल सरल होकर निम्न हो जाता है:

भुजाओं का अनुपात = ¹⁴⁄₂₅

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का उपयोग करके, हम इसे (sec θ + tan θ)(sec θ - tan θ) = 1 के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं। दिया गया है कि sec θ + tan θ = 5, हम संयुग्मी व्यंजक ज्ञात करने के लिए इस मान को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

5(sec θ - tan θ) = 1 ⟹ sec θ - tan θ = ⅕

tan θ को अलग करने के लिए, पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाइए:

(sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = 5 - ⅕

2 tan θ = (25 - 1)/(5) = ²⁴⁄₅

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

tan θ = ¹²⁄₅

व्याख्या

माना समान भुजाओं की लंबाई 3x और तीसरी भुजा की लंबाई 5x है। समान भुजाओं a और तीसरी भुजा b वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र A = ᵇ⁄₄√(4a² - b²) द्वारा दिया जाता है। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

30√(11) = ⁵ˣ⁄₄√(4(3x)² - (5x)²)

30√(11) = ⁵ˣ⁄₄√(36x² - 25x²)

30√(11) = ⁵ˣ⁄₄√(11x²)

30√(11) = 5x²√(11)/4

दोनों पक्षों से √(11) को काटने पर 30 = (5x²)/(4) प्राप्त होता है। 4 से गुणा करने और 5 से भाग देने पर x² = 24 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x = √(24) = 2√6 प्राप्त होता है। तीसरी भुजा की लंबाई 5x = 5 × 2√6 = 10√6 सेमी है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² के रूप में है। a = (1)/(sin θ) और b = (1)/(tan θ) प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

((1)/(sin θ))² - ((1)/(tan θ))²

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर, जहाँ (1)/(sin θ) = csc θ और (1)/(tan θ) = cot θ है, व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

csc² θ - cot² θ

मूलभूत पाइथागोरस सर्वसमिका 1 + cot² θ = csc² θ के अनुसार, यह निष्कर्ष निकलता है कि csc² θ - cot² θ = 1। इसलिए, संपूर्ण व्यंजक का मान 1 है।

व्याख्या

जब किसी वस्तु के लिए एक विक्रय मूल्य (SP₁) पर अर्जित प्रतिशत लाभ, दूसरे विक्रय मूल्य (SP₂) पर हुई प्रतिशत हानि के बराबर होता है, तो क्रय मूल्य (CP) दोनों विक्रय मूल्यों का अंकगणितीय माध्य (arithmetic mean) होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समान आधार पर समान प्रतिशत प्राप्त करने के लिए निरपेक्ष लाभ (SP₁ - CP) और निरपेक्ष हानि (CP - SP₂) बराबर होने चाहिए।

CP = (SP₁ + SP₂)/(2) = (2000 + 1200)/(2) = ³²⁰⁰⁄₂ = 1600

20% लाभ के लिए आवश्यक विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

नया SP = CP × (1 + (लाभ%)/(100))

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

नया SP = 1600 × (1 + ²⁰⁄₁₀₀) नया SP = 1600 × 1.2 = 1920

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या 24983, 7 से विभाज्य है, हम प्रत्यक्ष विभाजन करते हैं। 24983 को 7 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 24 ÷ 7 = 3, शेषफल 3 के साथ। अगला अंक, 9 नीचे लाने पर, हमें 39 प्राप्त होता है। 39 ÷ 7 = 5, शेषफल 4 के साथ। अगला अंक, 8 नीचे लाने पर, हमें 48 प्राप्त होता है। 48 ÷ 7 = 6, शेषफल 6 के साथ। अंतिम अंक, 3 नीचे लाने पर, हमें 63 प्राप्त होता है। 63 ÷ 7 = 9, शेषफल 0 के साथ। इस विभाजन से बिना किसी शेषफल के 3569 भागफल प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, 24983 को 7 के गुणकों में विभाजित किया जा सकता है: 24983 = 21000 + 3500 + 420 + 63। चूंकि 21000 (7 × 3000), 3500 (7 × 500), 420 (7 × 60), और 63 (7 × 9) सभी 7 से विभाज्य हैं, इसलिए उनका योग 24983 भी 7 से विभाज्य है।

व्याख्या

पहले और अंतिम पदों को समूहीकृत करके व्यंजक को सरल किया जा सकता है: sin 6x + sin 2x + 2sin 4x। पहले दो पदों पर योग-से-गुणनफल सूत्र (sum-to-product formula) sin A + sin B = 2sin((A+B)/(2))cos((A-B)/(2)) लागू करने पर, जहाँ A=6x और B=2x है:

sin 6x + sin 2x = 2sin(⁶ˣ⁺²ˣ⁄₂)cos(⁶ˣ⁻²ˣ⁄₂) = 2sin 4x cos 2x

इसे मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

2sin 4x cos 2x + 2sin 4x = 2sin 4x (cos 2x + 1)

द्वि-कोण सर्वसमिका (double-angle identity) cos 2x = 2cos² x - 1 का उपयोग करने पर, हम जानते हैं कि 1 + cos 2x = 2cos² x होता है। इस सर्वसमिका को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

2sin 4x (2cos² x) = 4cos² x sin 4x

व्याख्या

एक मध्यानुपात (mean proportion) a:b::b:c में, मध्य पदों का गुणनफल बाह्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे सूत्र b² = ac द्वारा व्यक्त किया जाता है। दिए गए अनुपात 405:y::y:125 में, हम इस संबंध को लागू करके y² = 405 × 125 प्राप्त करते हैं। गणना को सरल बनाने के लिए, हम संख्याओं का गुणनखंड कर सकते हैं: 405 = 81 × 5 और 125 = 25 × 5। इन गुणनखंडों को वापस समीकरण में रखने पर, हमें y² = 81 × 5 × 5 × 25 प्राप्त होता है, जो सरल होकर y² = 81 × 25 × 25 हो जाता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर y = √(81) × √(25²) = 9 × 25 प्राप्त होता है। गुणनफल की गणना करने पर y = 225 प्राप्त होता है। चूंकि y > 0 दिया गया है, इसलिए मान 225 के रूप में सत्यापित होता है।

व्याख्या

पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लगने वाला समय उनके बीच की प्रारंभिक दूरी और उनकी सापेक्ष चाल द्वारा निर्धारित होता है। चूंकि दोनों एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं, इसलिए सापेक्ष चाल पुलिसकर्मी की चाल और चोर की चाल के बीच का अंतर है।

सापेक्ष चाल = 10 किमी/घंटा - 8 किमी/घंटा = 2 किमी/घंटा।

समय की गणना को मिनटों में सरल बनाने के लिए, सापेक्ष चाल को 60 से विभाजित करके किलोमीटर प्रति मिनट में बदला जा सकता है। सापेक्ष चाल = ²⁄₆₀ किमी/मिनट = ¹⁄₃₀ किमी/मिनट।

पुलिसकर्मी और चोर के बीच की प्रारंभिक दूरी 600 मीटर है, जो कि 0.6 किमी है। सूत्र समय = (दूरी)/(सापेक्ष चाल) का उपयोग करने पर:

समय = (0.6) / (1/30)

समय = 0.6 × 30 = 18 मिनट।

व्याख्या

किसी संख्या के 36 से विभाज्य होने के लिए, उसे 4 और 9 दोनों से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि 36 = 4 × 9 है और ये गुणनखंड सह-अभाज्य हैं। 4 से विभाज्यता के नियम के अनुसार संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए। संख्या 29412 में, अंतिम दो अंक 12 हैं, जो 4 से विभाज्य हैं (12 = 4 × 3)। 9 से विभाज्यता के नियम के अनुसार संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए। संख्या 29412 के लिए, अंकों का योग 2 + 9 + 4 + 1 + 2 = 18 है। चूंकि 18, 9 से विभाज्य है (18 = 9 × 2), इसलिए संख्या 29412, 36 से विभाज्यता की दोनों शर्तों को पूरा करती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 15 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है। अमर की कार्यक्षमता 60 / 15 = 4 इकाई प्रति दिन है, और प्रेम की कार्यक्षमता 60 / 12 = 5 इकाई प्रति दिन है। चूँकि वे अमर से शुरू करते हुए वैकल्पिक दिनों में कार्य करते हैं, वे प्रत्येक 2 दिनों में 4 + 5 = 9 इकाई कार्य पूरा करते हैं। ऐसे 6 चक्रों में (जो 12 दिनों के बराबर है), पूरा किया गया कार्य 9 × 6 = 54 इकाई है। शेष कार्य 60 - 54 = 6 इकाई है। 13वें दिन, अमर की बारी है, और वह 4 इकाई कार्य पूरा करता है। 13वें दिन के बाद शेष कार्य 6 - 4 = 2 इकाई है। 14वें दिन, प्रेम की बारी है। प्रेम एक पूरे दिन में 5 इकाई कार्य पूरा कर सकता है, इसलिए वह शेष 2 इकाई कार्य को दिन के 2 / 5 भाग में पूरा करेगा। इस प्रकार, कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय 12 + 1 + ⅖ = 13 ⅖ दिन है।

व्याख्या

कुल कार्य 4 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 36 इकाई है। A की कार्यक्षमता 36 / 4 = 9 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 36 / 9 = 4 इकाई प्रति दिन है। वे B से शुरू करते हुए बारी-बारी से कार्य करते हैं, इसलिए पहले दो दिनों में (एक चक्र), किया गया कुल कार्य 4 + 9 = 13 इकाई है। दो चक्रों में, जो कि 4 दिनों के बराबर है, पूरा किया गया कार्य 13 × 2 = 26 इकाई है। इससे 36 - 26 = 10 इकाई कार्य शेष बचता है। 5वें दिन, B कार्य करता है और 4 इकाई कार्य पूरा करता है, जिससे 10 - 4 = 6 इकाई कार्य शेष बचता है। छठे दिन, कार्य करने की बारी A की है। चूंकि A की कार्यक्षमता 9 इकाई प्रति दिन है, इसलिए A को शेष 6 इकाई कार्य पूरा करने में 6 / 9 = 2/3 दिन का समय लगेगा। कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय 5 + 2/3 = 5 ⅔ दिन है।

व्याख्या

मिश्रण के मूल्य की गणना भारित औसत सूत्र Pₘ = (n₁P₁ + n₂P₂)/(n₁ + n₂) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ n₁ और n₂ मात्राओं (या अनुपातों) को दर्शाते हैं और P₁ और P₂ उनके संबंधित मूल्यों को दर्शाते हैं।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: Pₘ = (7 × 100 + 20 × 150)/(7 + 20) Pₘ = (700 + 3000)/(27) Pₘ = ³⁷⁰⁰⁄₂₇

भाग करने पर: 3700 ÷ 27 ≈ 137.037

निकटतम रुपये तक पूर्णांकित करने पर, मिश्रण का मूल्य ₹137 है।

व्याख्या

व्यंजक x⁵ - (1)/(x⁵) को (x² + (1)/(x²)) और (x³ - (1)/(x³)) के गुणनफल से प्राप्त किया जा सकता है। इस गुणनफल का विस्तार करने पर, हमें (x² + (1)/(x²))(x³ - (1)/(x³)) = x⁵ - ¹⁄ₓ + x - (1)/(x⁵) प्राप्त होता है, जो सरल होकर x⁵ - (1)/(x⁵) = (x² + (1)/(x²))(x³ - (1)/(x³)) - (x - ¹⁄ₓ) हो जाता है।

दिया गया है कि x - ¹⁄ₓ = -6, हम आवश्यक घटकों की गणना करते हैं। दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (x - ¹⁄ₓ)² = (-6)² प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप x² + (1)/(x²) - 2 = 36 होता है। इस प्रकार, x² + (1)/(x²) = 38।

इसके बाद, हम सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)³ = x³ - (1)/(x³) - 3(x - ¹⁄ₓ) का उपयोग करके x³ - (1)/(x³) की गणना करते हैं। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (-6)³ = x³ - (1)/(x³) - 3(-6) प्राप्त होता है, जो सरल होकर -216 = x³ - (1)/(x³) + 18 हो जाता है। इसलिए, x³ - (1)/(x³) = -216 - 18 = -234।

अंत में, इन मानों को प्रारंभिक सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: x⁵ - (1)/(x⁵) = (38)(-234) - (-6)। गुणन करने पर, 38 × -234 = -8892। अंतिम पद जोड़ने पर, हमें -8892 + 6 = -8886 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए पुरुष श्रमिकों की संख्या M है और महिला श्रमिकों की संख्या F है। दी गई शर्त के अनुसार, पुरुषों की संख्या का 48% महिलाओं की संख्या के दो-तिहाई के बराबर है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

⁴⁸⁄₁₀₀ M = ⅔ F

सबसे पहले, प्रतिशत भिन्न ⁴⁸⁄₁₀₀ के अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करके सरल करें, जिससे ¹²⁄₂₅ प्राप्त होता है। समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

¹²⁄₂₅ M = ⅔ F

पुरुषों और महिलाओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए, (M)/(F) का मान निकालने हेतु समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

(M)/(F) = ⅔ × ²⁵⁄₁₂

व्यंजक को सरल करने पर, हम हर में स्थित 12 को अंश में स्थित 2 से विभाजित करते हैं:

(M)/(F) = ⅓ × ²⁵⁄₆ = ²⁵⁄₁₈

कारखाने में पुरुषों की संख्या और महिलाओं की संख्या का अनुपात 25:18 है।

व्याख्या

(a - b)² + (b - c)² + (c - a)² का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले व्यंजक का विस्तार करते हैं: (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ca + a²) = 2(a² + b² + c²) - 2(ab + bc + ca)

हम इस सर्वसमिका (identity) का उपयोग करके 2(ab + bc + ca) का मान ज्ञात कर सकते हैं: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों a + b + c = 19 और a² + b² + c² = 155 को प्रतिस्थापित करने पर: 19² = 155 + 2(ab + bc + ca) 361 = 155 + 2(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) = 361 - 155 = 206

अब, विस्तारित लक्षित व्यंजक में a² + b² + c² = 155 और 2(ab + bc + ca) = 206 प्रतिस्थापित करने पर: (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 2(155) - 206 = 310 - 206 = 104

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों d₁ और d₂ के लिए, प्रभावी एकल छूट दर की गणना सूत्र d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100 का उपयोग करके की जाती है। इसे 30% और 5% की क्रमिक छूटों पर लागू करने पर, प्रभावी छूट 30 + 5 - (30 × 5)/(100) = 35 - 1.5 = 33.5% है।

35% की एकल छूट और 33.5% की प्रभावी क्रमिक छूट के बीच प्रतिशत का अंतर 35% - 33.5% = 1.5% है। ₹3,600 की मूल राशि पर इस अंतर का मान ज्ञात करने के लिए, हम 3,600 का 1.5% ज्ञात करते हैं: अंतर = (1.5)/(100) × 3600 = 1.5 × 36 = 54।

व्याख्या

माना कुल कार्य 20 इकाई है। चूंकि राजा और रॉकी मिलकर कार्य को 5 दिनों में पूरा कर सकते हैं, इसलिए उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 20 / 5 = 4 इकाई प्रति दिन है। वे 2 दिनों तक मिलकर कार्य करते हैं, जिससे 4 × 2 = 8 इकाई कार्य पूरा होता है। शेष कार्य 20 - 8 = 12 इकाई है। राजा इस शेष कार्य को 4 दिनों में पूरा करता है, जिसका अर्थ है कि राजा की कार्यक्षमता 12 / 4 = 3 इकाई प्रति दिन है। रॉकी की कार्यक्षमता ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त कार्यक्षमता में से राजा की कार्यक्षमता को घटाते हैं: 4 - 3 = 1 इकाई प्रति दिन। रॉकी द्वारा अकेले कुल कार्य को पूरा करने में लिया गया समय कुल कार्य को उसकी कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 20 / 1 = 20 दिन है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 एक कोण के साइन (sine) और कोसाइन (cosine) को संबंधित करती है। सर्वसमिका में दिए गए मान sin A = -3/5 को प्रतिस्थापित करने पर (-3/5)² + cos² A = 1 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 9/25 + cos² A = 1 हो जाता है। कोसाइन वर्ग (cosine squared) के लिए हल करने पर cos² A = 1 - 9/25 = 16/25 प्राप्त होता है।

वर्गमूल लेने पर, हमें cos A = ± 4/5 प्राप्त होता है। चूंकि कोण A तृतीय चतुर्थांश (III quadrant) में स्थित है, जहाँ कोसाइन फलन ऋणात्मक होता है, इसलिए cos A = -4/5 होगा। सीकेंट (secant) फलन को कोसाइन फलन के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है, इसलिए sec A = 1 / cos A होता है। cos A का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें sec A = 1 / (-4/5) = -5/4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि A ने कितने समय तक कार्य किया, हम सबसे पहले A और B की कार्यक्षमता निर्धारित करते हैं। माना कुल कार्य 10 इकाई है, जो उनके व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने के समय, 5 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। A की कार्यक्षमता 10 / 5 = 2 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 10 / 10 = 1 इकाई प्रति दिन है। प्रश्न के अनुसार, A के जाने के बाद B ने शेष कार्य को 8 दिनों में पूरा किया, जिसका अर्थ है कि B ने अकेले 8 दिन × 1 इकाई/दिन = 8 इकाई कार्य किया। A के जाने से पहले A और B द्वारा मिलकर किया गया कार्य, कुल कार्य में से केवल B द्वारा किए गए कार्य को घटाने पर प्राप्त होता है, जो कि 10 - 8 = 2 इकाई है। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 2 + 1 = 3 इकाई प्रति दिन है। उनके द्वारा एक साथ कार्य करने का समय, उनके द्वारा मिलकर किए गए कार्य को उनकी संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 2 / 3 दिन है। अतः, A ने 2/3 दिनों के बाद कार्य छोड़ दिया।

व्याख्या

धारा के अनुकूल नाविक की गति की गणना कुल दूरी को लिए गए समय से विभाजित करके की जाती है, v_d = 144 / 9 = 16 किमी/घंटा। इसी प्रकार, धारा के प्रतिकूल नाविक की गति vᵤ = 144 / 12 = 12 किमी/घंटा है।

नाव और धारा की समस्याओं में, धारा की गति s को धारा के अनुकूल गति और धारा के प्रतिकूल गति के बीच के अंतर के आधे के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे सूत्र s = (v_d - vᵤ) / 2 द्वारा दर्शाया जाता है। इस सूत्र में मान रखने पर s = (16 - 12) / 2 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 4 / 2 = 2 किमी/घंटा हो जाता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप P = 3a द्वारा दिया जाता है, जहाँ a प्रत्येक भुजा की लंबाई है। दिया गया परिमाप 48 सेमी है, हम भुजा की लंबाई इस प्रकार ज्ञात करते हैं: a = ⁴⁸⁄₃ = 16 सेमी

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: A = √3/4 a²

सूत्र में a = 16 सेमी का मान रखने पर: A = √3/4 × (16)² A = √3/4 × 256 A = 64√3 सेमी²