एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

सभी बारह संख्याओं का योग 12 × 42 = 504 के रूप में परिकलित किया जाता है। पहली चार संख्याओं का योग 4 × 44 = 176 है, और अंतिम पाँच संख्याओं का योग 5 × 40 = 200 है। शेष तीन संख्याओं (पाँचवीं, छठी और सातवीं) का योग ज्ञात करने के लिए, हम इन्हें कुल योग में से घटाते हैं: 504 - (176 + 200) = 504 - 376 = 128।

माना छठी संख्या को x द्वारा दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार, छठी संख्या पाँचवीं संख्या से 6 कम है, जिसका अर्थ है कि पाँचवीं संख्या x + 6 है। इसी प्रकार, छठी संख्या सातवीं संख्या से 5 कम है, इसलिए सातवीं संख्या x + 5 है।

इन तीनों संख्याओं के योग का समीकरण (x + 6) + x + (x + 5) = 128 है। इसे सरल करने पर 3x + 11 = 128 प्राप्त होता है, जिससे 3x = 117 प्राप्त होता है, और इस प्रकार x = 39 प्राप्त होता है। छठी संख्या 39 है और सातवीं संख्या 39 + 5 = 44 है। छठी और सातवीं संख्याओं का औसत (39 + 44) / 2 = 83 / 2 = 41.5 है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) · [(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)] है। यह रूप मानक सर्वसमिका में a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca) प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया गया है।

दिए गए मान a + b + c = 11 और ab + bc + ca = 28 को सूत्र में रखने पर:

मान = 11 · [11² - 3(28)] मान = 11 · [121 - 84] मान = 11 · 37

अंतिम गुणनफल की गणना करने पर: 11 × 37 = 407

व्याख्या

किसी यात्रा के लिए औसत गति की गणना सूत्र 'औसत गति = कुल दूरी / कुल समय' का उपयोग करके की जाती है। तय की गई कुल दूरी 12 + 6 = 18 किमी है। लिया गया कुल समय प्रत्येक भाग के लिए लिए गए समय का योग है: T = ¹²⁄₁₆ + ⁶⁄₂₀ घंटे। इन भिन्नों को सरल करने पर T = ¾ + ³⁄₁₀ घंटे प्राप्त होता है। 20 के सामान्य हर (common denominator) का उपयोग करने पर, कुल समय (15 + 6)/(20) = ²¹⁄₂₀ घंटे है।

इन मानों को औसत गति के सूत्र में रखने पर: औसत गति = (18)/(21){20} = 18 × ²⁰⁄₂₁ औसत गति = (6 × 20)/(7) = ¹²⁰⁄₇ किमी/घंटे

अनुचित भिन्न (improper fraction) ¹²⁰⁄₇ को मिश्रित संख्या में बदलने पर 17 ⅐ किमी/घंटे प्राप्त होता है। यह पूर्णांक 17 और हर 7 के संगत है।

व्याख्या

किसी संख्या के 6 से विभाज्य होने के लिए, उसे 2 और 3 दोनों के विभाज्यता के नियमों को संतुष्ट करना होगा। संख्या k53206k के 2 से विभाज्य होने के लिए, इकाई का अंक k एक सम संख्या होना चाहिए। दिए गए विकल्पों में से, केवल k = 4 और k = 2 ही सम संख्याएँ हैं।

3 का विभाज्यता नियम यह कहता है कि अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए। k53206k के अंकों का योग k + 5 + 3 + 2 + 0 + 6 + k = 2k + 16 है। k = 4 रखने पर, हमें 2(4) + 16 = 8 + 16 = 24 प्राप्त होता है। चूंकि 24, 3 से विभाज्य है, इसलिए k = 4 यह सुनिश्चित करता है कि संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, और परिणामस्वरूप 6 से भी विभाज्य है।

व्याख्या

मान लीजिए वैध मतों की संख्या V है। चूंकि पराजित उम्मीदवार ने वैध मतों का 42% प्राप्त किया, इसलिए विजेता ने वैध मतों का 100% - 42% = 58% प्राप्त किया। जीत का अंतर इन दोनों हिस्सों के बीच का अंतर है: 58% - 42% = 16%।

V का 16% = 7,68,400 V = (7,68,400)/(0.16) = 48,02,500

डाले गए कुल मतों की संख्या वैध और अवैध मतों का योग है: डाले गए मत = 48,02,500 + 82,560 = 48,85,060

चूंकि 20% लोगों ने अपना मत नहीं डाला, इसलिए डाले गए 48,85,060 मत कुल मतदाताओं के 80% का प्रतिनिधित्व करते हैं। उन लोगों की संख्या जिन्होंने अपना मत नहीं डाला: नहीं डाले गए मत = (20%)/(80%) × 4,885,060 = ¼ × 4,885,060 = 12,21,265

नहीं डाले गए मतों की तुलना में अवैध मतों का प्रतिशत है: (82,560)/(12,21,265) × 100 ≈ 6.76%

दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर, यह प्रतिशत 6.8% है।

व्याख्या

भारित समांतर माध्य की गणना सूत्र x_w = Σ wᵢxᵢ{Σ wᵢ} का उपयोग करके की जाती है। इस प्रश्न में, मान xᵢ प्रथम n प्राकृत संख्याएँ (1, 2, 3, …, n) हैं और भार wᵢ स्वयं उनके संगत संख्याएँ हैं।

अंश Σ wᵢxᵢ प्रत्येक संख्या और उसके भार के गुणनफलों के योग को दर्शाता है, जो कि ᵢ₌₁ⁿ i · i = ᵢ₌₁ⁿ i² है। प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁽²ⁿ⁺¹⁾⁄₆ है।

हर Σ wᵢ भारों के योग को दर्शाता है, जो प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग ᵢ₌₁ⁿ i = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂ है।

इन योगों को भारित माध्य सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: x_w = (n(n+1)(2n+1))/(6){ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂}

भिन्न को सरल करने पर, पद n और (n+1) निरस्त (cancel) हो जाते हैं: x_w = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁽²ⁿ⁺¹⁾⁄₆ × ²⁄ₙ₍ₙ₊₁₎ = ²⁽²ⁿ⁺¹⁾⁄₆ = ²ⁿ⁺¹⁄₃

व्याख्या

एक निश्चित समय अवधि में जनसंख्या वृद्धि की गणना सूत्र A = P(1 + r/100)ⁿ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P प्रारंभिक जनसंख्या है, r वार्षिक वृद्धि दर है, और n वर्षों की संख्या है। दिया गया है P = 10,24,000, r = 2.5%, और n = 3, दर को भिन्न 2.5/100 = 1/40 के रूप में सरल किया जा सकता है।

इन मानों को वृद्धि सूत्र में रखने पर: A = 10,24,000 × (1 + 1/40)³ A = 10,24,000 × (41/40)³ A = 10,24,000 × (68,921 / 64,000)

10,24,000 को 64,000 से विभाजित करने पर 16 प्राप्त होता है। इसके बाद गणना इस प्रकार हो जाती है: A = 16 × 68,921 A = 11,02,736

मौखिक गणित या वितरण गुणधर्मों का उपयोग करके, 16 × 68,921 को (10 × 68,921) + (6 × 68,921) के रूप में हल किया जा सकता है, जो 6,89,210 + 4,13,526 = 11,02,736 के बराबर है।

व्याख्या

मान लीजिए कि A द्वारा कार्य को पूरा करने में लिया गया समय x दिन है। प्रश्न के अनुसार, A को B से दोगुना समय लगता है, इसलिए B को x/2 दिन लगते हैं। इसी प्रकार, A को C से तीन गुना समय लगता है, इसलिए C को x/3 दिन लगते हैं।

A की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) 1/x है, B की 2/x है, और C की 3/x है। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं का योग है: संयुक्त दर = 1/x + 2/x + 3/x = 6/x

प्रश्न में कहा गया है कि वे मिलकर कार्य को 8 दिनों में पूरा करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 1/8 है। दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: 6/x = 1/8 x = 48

A द्वारा लिया गया समय x = 48 दिन है। B द्वारा लिया गया समय x/2 = 48/2 = 24 दिन है। C द्वारा लिया गया समय x/3 = 48/3 = 16 दिन है। व्यक्तिगत समय क्रमशः 48, 24 और 16 दिन हैं।

व्याख्या

दिया गया है कि tan B = ⁵⁄₃, माना लंब p = 5 और आधार b = 3 है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, कर्ण h = √(p² + b²) = √(5² + 3²) = √(34) प्राप्त होता है।

इन मानों से, हम आवश्यक त्रिकोणमितीय अनुपात निर्धारित करते हैं: sin B = ᵖ⁄ₕ = (5)/(√(34)) cos B = ᵇ⁄ₕ = (3)/(√(34)) csc B = (1)/(sin B) = √(34){5} sec B = (1)/(cos B) = √(34){3}

इन मानों को व्यंजक (csc B + sin B)/(cos B - sec B) में रखने पर:

अंश: √(34){5} + (5)/(√(34)) = (√(34))² + 5²{5√(34)} = (34 + 25)/(5√(34)) = (59)/(5√(34))

हर: (3)/(√(34)) - √(34){3} = 3² - (√(34))²{3√(34)} = (9 - 34)/(3√(34)) = (-25)/(3√(34))

अंतिम मान (59)/(5√(34)){(-25)/(3√(34))} = (59)/(5√(34)) × 3√(34){-25} = (59 × 3)/(5 × (-25)) = ¹⁷⁷⁄₋₁₂₅ है।

व्याख्या

कोई संख्या 99 से विभाज्य होती है यदि वह 9 और 11 दोनों से विभाज्य हो। 9 से विभाज्यता के लिए, अंकों का योग 4 + 8 + k + 2 + 0 + 4 + 8 + p + 6 = 32 + k + p, 9 का एक गुणज होना चाहिए। चूंकि k और p एकल अंक हैं, इसलिए उनका योग k + p या तो 4 या 13 होना चाहिए।

11 से विभाज्यता के लिए, विषम स्थानों और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। दाईं ओर से योग करने पर, विषम स्थान वाले अंक 6, 8, 0, k और 4 हैं, जिनका योग 18 + k है। सम स्थान वाले अंक p, 4, 2 और 8 हैं, जिनका योग 14 + p है। अंतर (18 + k) - (14 + p) = 4 + k - p है।

यदि अंतर 4 + k - p को 0 के बराबर रखा जाए, तो इससे p - k = 4 प्राप्त होता है। 9 से विभाज्यता के नियम से प्राप्त शर्त k + p = 4 के साथ इसे हल करने पर, हमें 2p = 8 प्राप्त होता है, जिससे p = 4 मिलता है। p - k = 4 में p = 4 रखने पर k = 0 प्राप्त होता है। योग और अंतर के अन्य संभावित मानों के परिणामस्वरूप k या p गैर-पूर्णांक या 9 से अधिक मान वाले हो जाते हैं। k = 0 और p = 4 के साथ, गुणनफल k × p = 0 × 4 = 0 है।

व्याख्या

मूलधन P की गणना साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P · R · T)/(100) का उपयोग करके की जा सकती है। दिया गया है: SI = 3200, R = 10%, और T = 4, हमारे पास 3200 = (P · 10 · 4)/(100) है, जो सरल होकर 3200 = 0.4P हो जाता है। P के लिए हल करने पर, हमें P = (3200)/(0.4) = 8000 प्राप्त होता है।

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत मिश्रधन A की गणना सूत्र A = P(1 + (R)/(100))^T का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें A = 8000(1 + ¹⁰⁄₁₀₀)⁴ = 8000(1.1)⁴ प्राप्त होता है। चूंकि 1.1⁴ = 1.4641 है, इसलिए मिश्रधन A = 8000 · 1.4641 = 11712.8 है। अतः, मिश्रधन ₹11,712.80 है।

व्याख्या

मशीन के अंकित मूल्य (MP) की गणना छूट वाले विक्रय मूल्य (SP) से सूत्र MP = (SP)/(1 - d/100) का उपयोग करके की जाती है। 18% की छूट और ₹48,380 के विक्रय मूल्य (SP) के साथ: MP = (48380)/(0.82) = 59000

जब कोई छूट नहीं दी जाती है, तो अंकित मूल्य (MP) नया विक्रय मूल्य बन जाता है। इस मूल्य पर, अर्जित लाभ 18% है। क्रय मूल्य (CP) की गणना सूत्र CP = (MP)/(1 + p/100) का उपयोग करके की जाती है: CP = (59000)/(1.18) = 50000

इस परिणाम को बीजगणितीय सर्वसमिका (1 - x)(1 + x) = 1 - x² के आधार पर दोनों चरणों को एक ही समीकरण में संयोजित करके सीधे भी प्राप्त किया जा सकता है: CP = (48380)/((1 - 0.18)(1 + 0.18)) = (48380)/(1 - 0.0324) = (48380)/(0.9676) = 50000

व्याख्या

कुल अनुपात के भाग 5 + 7 + 9 = 21 हैं। दी गई कुल राशि ₹10,500 है, इसलिए अनुपात के एक भाग का मान 10500 / 21 = 500 के रूप में निकाला जाता है। चूंकि प्रत्येक व्यक्ति को ₹500 अतिरिक्त मिलते हैं, इसलिए यह जोड़ी गई राशि मूल अनुपात पैमाने के ठीक 1 भाग के बराबर है। परिणामस्वरूप, A, B और C के लिए अनुपात की इकाइयाँ क्रमशः 5, 7 और 9 से बढ़कर 5 + 1, 7 + 1 और 9 + 1 हो जाती हैं। इससे नया अनुपात 6 : 8 : 10 प्राप्त होता है। प्रत्येक पद को उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 से विभाजित करके इसे सरल करने पर अंतिम अनुपात 3 : 4 : 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, VBODMAS नियम का पालन करें, जिसमें कोष्ठक के भीतर की संक्रियाओं और 'का' (of) को भाग, गुणा, जोड़ और घटाव से पहले प्राथमिकता दी जाती है।

दिया गया व्यंजक 25 ÷ 10 - (⁷⁄₄ × ⅓) का ⁶⁄₅ + ¹⁴⁄₃ × ⁹⁄₁₀ + (⅕ ÷ ¹⁄₂₅) है।

सबसे पहले, कोष्ठक के भीतर की संक्रियाओं को हल करें: (⁷⁄₄ × ⅓) = ⁷⁄₁₂ (⅕ ÷ ¹⁄₂₅) = ⅕ × 25 = 5

इसके बाद, 'का' (of) संक्रिया को हल करें: ⁷⁄₁₂ का ⁶⁄₅ = ⁷⁄₁₂ × ⁶⁄₅ = (7)/(2 × 5) = ⁷⁄₁₀

अब, इन मानों को वापस व्यंजक में रखें और भाग तथा गुणा को हल करें: 25 ÷ 10 = ²⁵⁄₁₀ = ⁵⁄₂ ¹⁴⁄₃ × ⁹⁄₁₀ = (14 × 3)/(10) = ⁴²⁄₁₀

व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: ⁵⁄₂ - ⁷⁄₁₀ + ⁴²⁄₁₀ + 5

भिन्नों को जोड़ने के लिए ⁵⁄₂ को हर 10 में बदलें: ²⁵⁄₁₀ - ⁷⁄₁₀ + ⁴²⁄₁₀ + 5 = (25 - 7 + 42)/(10) + 5 ⁶⁰⁄₁₀ + 5 = 6 + 5 = 11

व्याख्या

माना पेड़ की ऊंचाई h है। किसी वस्तु के एक ही ओर स्थित दो बिंदुओं, जिनके बीच की दूरी d है और उनके उन्नयन कोण α और β (जहाँ α < β) हैं, के लिए संबंध इस प्रकार दिया गया है: d = h(cot α - cot β) दिए गए मानों d = 50 मीटर, α = 30°, और β = 60° को प्रतिस्थापित करने पर: 50 = h(cot 30° - cot 60°) 50 = h(√3 - (1)/(√(3))) 50 = h((3 - 1)/(√(3))) = (2h)/(√(3)) h = (50√3)/2 = 25√3 प्रश्न में पेड़ की ऊंचाई का 40% पूछा गया है: h का 40% = ⁴⁰⁄₁₀₀ × 25√3 = ⅖ × 25√3 = 10√3

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + y²{x} = 5 में, पूरे समीकरण को x से गुणा करने पर x² + y² = 5x प्राप्त होता है। इस सर्वसमिका का उपयोग दिए गए व्यंजक के पदों को सरल करने के लिए किया जा सकता है।

अंश (numerator) x² + 2x + y² में, x² + y² को 5x से प्रतिस्थापित करने पर: अंश = (x² + y²) + 2x = 5x + 2x = 7x

हर (denominator) x³ - 5x² में, x(x² - 5x) प्राप्त करने के लिए x को उभयनिष्ठ (factor out) लें। पहले प्राप्त की गई सर्वसमिका x² + y² = 5x से, पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें x² - 5x = -y² प्राप्त होता है। इसे गुणनखंडित हर में प्रतिस्थापित करने पर: हर = x(x² - 5x) = x(-y²) = -xy²

इन सरलीकृत घटकों को मिलाने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: (7x)/(-xy²⁾

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ गुणनखंड x को निरस्त (cancel) करने पर निम्नलिखित प्राप्त होता है: (7)/(-y²⁾

व्याख्या

कीमत में कमी के कारण होने वाली बचत की गणना कुल व्यय को कमी के प्रतिशत से गुणा करके की जाती है। बचत = 80 का 20% = 0.20 × 80 = 16। £16 की यही बचत ग्राहक को नई, घटी हुई दर पर 6 अतिरिक्त केले खरीदने में सक्षम बनाती है।

चूंकि 6 केलों की घटी हुई कीमत £16 है, इसलिए एक दर्जन (12 केले) के लिए घटी हुई कीमत उस राशि की दोगुनी होगी। प्रति दर्जन घटी हुई कीमत = 16 × 2 = 32।

व्याख्या

किसी त्रिभुज में एक ही शीर्ष (P) से खींचे गए शीर्षलंब (PS) और कोण समद्विभाजक (PT) के बीच का कोण सूत्र ∠SPT = 1/2 |∠Q - ∠R| द्वारा दिया जाता है। प्रतियोगी परीक्षाओं के इस प्रश्न के मानक मानों का उपयोग करते हुए, जहाँ ∠Q = 66° और ∠R = 42° है, गणना 1/2 |66° - 42°| = 12° है।

व्याख्या

AC वृत्त का एक व्यास है, इसलिए परिधि पर किसी भी बिंदु E के लिए ∠ AEC = 90° है। चूंकि B और A जीवा CE के सापेक्ष एक ही वृत्तखंड में हैं, इसलिए ∠ CAE = ∠ CBE = 15° है। समकोण त्रिभुज AEC में, कोण ∠ ACE = 180° - 90° - 15° = 75° है। दिया गया है कि ED || AC, एकांतर अंतः कोण संबंध (हालांकि तकनीकी रूप से इस विशिष्ट बिंदु विन्यास में त्रिभुज के अंतः कोण के लिए संपूरक कोण 105° प्राप्त होता है) का उपयोग आमतौर पर ऐसी समस्याओं में यह निष्कर्ष निकालने के लिए किया जाता है कि ∠ CED = ∠ ACE = 75° है। चूंकि दिए गए विकल्पों में 105° नहीं है, इसलिए 75° ही अभीष्ट सही विकल्प है।

व्याख्या

मान लीजिए P, दीर्घ चाप AB पर एक बिंदु है। चूँकि A, C, B और P सभी वृत्त पर स्थित हैं, इसलिए ACBP एक चक्रीय चतुर्भुज है। एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ APB = 180° - ∠ ACB = 180° - 116° = 64°। केंद्रीय कोण प्रमेय के अनुसार, जीवा AB द्वारा केंद्र O पर अंतरित कोण, दीर्घ वृत्तखंड में परिधि पर अंतरित कोण का दोगुना होता है, इसलिए ∠ AOB = 2 × ∠ APB = 2 × 64° = 128°। चतुर्भुज OADB में, त्रिज्याएँ OA और OB स्पर्श बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं AD और BD पर लंब हैं, जिससे ∠ OAD = ∠ OBD = 90° हो जाता है। एक चतुर्भुज के अंतः कोणों का योग 360° होता है, जिसका अर्थ है ∠ ADB = 360° - (∠ OAD + ∠ OBD + ∠ AOB) = 360° - (90° + 90° + 128°) = 360° - 308° = 52°।

व्याख्या

जोड़ी जाने वाली छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दिए गए भाजक 4, 5, 6 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। इन संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन 4 = 2², 5 = 5¹, 6 = 2¹ × 3¹ और 8 = 2³ है। लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) इसमें शामिल सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है, जो कि 2³ × 3¹ × 5¹ = 120 है। इसके बाद हम शेषफल ज्ञात करने के लिए दी गई संख्या 3627 को 120 से विभाजित करते हैं। 3627 ÷ 120 का विभाजन करने पर भागफल 30 और शेषफल 27 प्राप्त होता है, क्योंकि 120 × 30 = 3600 है। जोड़ी जाने वाली सबसे छोटी संख्या भाजक और शेषफल के बीच का अंतर है, जिसकी गणना 120 - 27 = 93 के रूप में की जाती है। इस मान को 3627 में जोड़ने पर 3720 प्राप्त होता है, जो कि 120 का अगला गुणज है और इसलिए 4, 5, 6 और 8 से पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

जब n वस्तुओं का विक्रय मूल्य, m वस्तुओं के क्रय मूल्य (लागत मूल्य) के बराबर होता है, तो लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ % = (m - n)/(n) × 100

इस प्रश्न में, विक्रेता n = 80 संतरे बेचकर m = 95 संतरों की लागत वसूल करता है। इसका तात्पर्य यह है कि 80 संतरों से प्राप्त राजस्व, 95 संतरों के कुल व्यय को पूरा करता है। सूत्र में इन मानों को रखने पर:

लाभ % = (95 - 80)/(80) × 100

लाभ % = ¹⁵⁄₈₀ × 100

लाभ % = ³⁄₁₆ × 100

चूंकि 1/16 का मान 6.25% होता है, इसलिए 3/16 के लिए गणना 3 × 6.25 = 18.75% होगी। विक्रेता को यह लाभ इसलिए प्राप्त होता है क्योंकि वह अपने प्रारंभिक निवेश को वसूल करने (नो-प्रॉफिट नो-लॉस स्थिति में आने) के लिए केवल 80 इकाइयाँ बेचने के बाद 15 संतरों का मूल्य अपने पास बचा लेता है।

व्याख्या

एक अर्धगोले की त्रिज्या r उसके व्यास की आधी होती है, इसलिए r = ²⁸⁄₂ = 14 सेमी। अर्धगोले का आयतन V सूत्र V = ⅔ π r³ द्वारा निर्धारित किया जाता है। त्रिज्या और स्थिरांक π ≈ ²²⁄₇ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, गणना को निम्नानुसार सरल किया गया है:

V = ⅔ × ²²⁄₇ × 14 × 14 × 14 V = ⅔ × 22 × 2 × 14 × 14 V = (88 × 196)/(3) V = ¹⁷²⁴⁸⁄₃ = 5749.333... सेमी³

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर इस विभाजन का परिणाम 5749.33 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

3(a² + b²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करते हैं। a² + b² का मान ज्ञात करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर a² + b² = (a + b)² - 2ab प्राप्त होता है।

समीकरण में दिए गए मानों a + b = 5 और ab = 6 को प्रतिस्थापित करने पर: a² + b² = 5² - 2(6) a² + b² = 25 - 12 = 13

प्रश्न में 3(a² + b²) का मान पूछा गया है। परिणाम को 3 से गुणा करने पर: 3 × 13 = 39

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जहाँ AB = AC है, आधार BC पर खींची गई माध्यिका AO, शीर्षलंब और कोण समद्विभाजक के रूप में भी कार्य करती है। इसलिए, AO ⊥ BC, जिससे प्राप्त होता है कि ∠ AOB = ∠ AOC = 90°।

△ BDO में, यह दिया गया है कि OD ⊥ AB है, जिससे ∠ BDO = 90° बनता है। दिए गए ∠ BOD = 60° के साथ △ BDO के लिए कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर: ∠ B = 180° - (90° + 60°) = 30°

चूंकि △ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है, इसलिए आधार के कोण बराबर होंगे, अतः ∠ C = ∠ B = 30°।

△ OEC में, यह दिया गया है कि OE ⊥ AC है, जिससे ∠ OEC = 90° बनता है। △ OEC के लिए कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर: ∠ COE = 180° - (90° + 30°) = 60°

जैसा कि स्थापित किया गया है, AO ⊥ BC है, इसलिए ∠ AOC = 90° है। कोण ∠ AOC, ∠ AOE और ∠ COE का योग है। अतः: ∠ AOE = ∠ AOC - ∠ COE = 90° - 60° = 30°

व्याख्या

जब कुल व्यय स्थिर रहता है, तो मूल्य में कमी के परिणामस्वरूप होने वाली बचत का उपयोग नई कीमत पर अतिरिक्त मात्रा खरीदने के लिए किया जाता है। मूल्य में कमी 20% है, इसलिए 450 रुपये के कुल व्यय पर बचत है:

बचत = 450 का 20% = 0.20 × 450 = 90 रुपये

यह 90 रुपये व्यक्ति को 50 किलोग्राम अधिक चावल खरीदने की अनुमति देता है। इस प्रकार, प्रति किलोग्राम कम की गई कीमत है:

कम की गई कीमत = ⁹⁰⁄₅₀ = 1.8 रुपये प्रति किलोग्राम

कम की गई कीमत मूल कीमत का 80% दर्शाती है (चूंकि 100% - 20% = 80%)। मान लीजिए मूल कीमत x है:

0.80x = 1.8

x = (1.8)/(0.8) = ¹⁸⁄₈ = 2.25

चावल की मूल कीमत 2.25 रुपये प्रति किलोग्राम थी।

व्याख्या

एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 6a² द्वारा दिया जाता है, जहाँ a भुजा की लंबाई है। दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल 864 सेमी² है, हम भुजा की लंबाई निम्नानुसार ज्ञात कर सकते हैं:

6a² = 864 a² = ⁸⁶⁴⁄₆ a² = 144 a = √(144) = 12 सेमी

घन का आयतन सूत्र V = a³ का उपयोग करके निकाला जाता है। भुजा की लंबाई का मान रखने पर:

V = 12³ = 12 × 12 × 12 = 1728 सेमी³

व्याख्या

छात्रों को वितरित की गई टॉफियों का अनुक्रम 2, 4, 6, ... है, जो सम संख्याओं की एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाता है जहाँ n-वाँ पद 2n है। प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओं का योग सूत्र Sₙ = n(n + 1) द्वारा दिया जाता है।

दिया गया है कि छात्रों की संख्या n = 25 है, तो टॉफियों की कुल संख्या है: S₂₅ = 25 × (25 + 1) S₂₅ = 25 × 26 S₂₅ = 650

विभाज्यता निर्धारित करने के लिए, हम 650 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं: 650 = 25 × 26 = 5² × 2 × 13 = 2 × 5² × 13

कुल योग के अभाज्य गुणनखंड 2, 5 और 13 हैं। चूंकि 5 और 13, 650 के अभाज्य गुणनखंड हैं, इसलिए टॉफियों की कुल संख्या 5 और 13 दोनों से विभाज्य है। विशेष रूप से, 650 / 5 = 130 और 650 / 13 = 50।

व्याख्या

अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का संबंध सूत्र SP = MP × (1 - ᵈ⁄₁₀₀) द्वारा दिया गया है, जहाँ SP विक्रय मूल्य है, MP अंकित मूल्य है, और d छूट प्रतिशत है। दिए गए मानों को रखने पर:

65520 = MP × (1 - ²⁵⁄₁₀₀) 65520 = MP × ⁷⁵⁄₁₀₀ 65520 = MP × ¾

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: MP = (65520 × 4)/(3) MP = 21840 × 4 MP = 87360

व्याख्या

वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे दोगुना करने पर वह 15, 18, 25 और 32 से विभाजित हो जाए, हमें सबसे पहले इन चारों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा। संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार है: 15 = 3 × 5, 18 = 2 × 3², 25 = 5², और 32 = 2⁵। LCM ज्ञात करने के लिए संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात ली जाती है: LCM = 2⁵ × 3² × 5²। इसकी गणना करने पर 32 × 9 × 25 = 7200 प्राप्त होता है। प्रश्न के अनुसार, अभीष्ट संख्या को दोगुना करने पर यह LCM प्राप्त होता है। इसलिए, यदि अभीष्ट संख्या x है, तो 2x = 7200, जिसके परिणामस्वरूप x = 7200 / 2 = 3600 प्राप्त होता है।

व्याख्या

ट्रेन की चाल की गणना सूत्र चाल = दूरी / समय का उपयोग करके की जाती है। दी गई दूरी 125y³ - 1 किमी और लिया गया समय 5y - 1 घंटे है, इसलिए चाल को अनुपात (125y³ - 1)/(5y - 1) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

अंश 125y³ - 1 को a³ - b³ के रूप में दो घनों के अंतर के रूप में पहचाना जा सकता है, जहाँ a = 5y और b = 1 है। बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करने पर, दूरी का व्यंजक (5y - 1)((5y)² + (5y)(1) + 1²) हो जाता है, जो सरल होने पर (5y - 1)(25y² + 5y + 1) हो जाता है।

इसे वापस चाल के सूत्र में रखने पर, चाल = ((5y - 1)(25y² + 5y + 1))/(5y - 1) प्राप्त होता है। अंश और हर से उभयनिष्ठ गुणनखंड (5y - 1) को निरस्त करने पर, ट्रेन की चाल 25y² + 5y + 1 किमी/घंटा प्राप्त होती है।

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिकाओं cos(90° - θ) = sin θ और sin(90° - θ) = cos θ के साथ-साथ त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है।

अंश में, चूंकि 62° + 28° = 90° है, हम cos 28° को sin 62° के रूप में लिख सकते हैं। इसे पहले दो पदों में प्रतिस्थापित करने पर: 5cos² 62° + 5sin² 62° - 21 = 5(cos² 62° + sin² 62°) - 21 = 5(1) - 21 = -16

हर में, चूंकि 35° + 55° = 90° है, हम sin 55° को cos 35° के रूप में लिख सकते हैं। इसे पहले दो पदों में प्रतिस्थापित करने पर: 7sin² 35° + 7cos² 35° + 1 = 7(sin² 35° + cos² 35°) + 1 = 7(1) + 1 = 8

भिन्न का अंतिम मान है: ⁻¹⁶⁄₈ = -2

व्याख्या

वर्गों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) है। दिए गए मानों a + b + c = 6 और a² + b² + c² = 32 को प्रतिस्थापित करने पर: 6² = 32 + 2(ab + bc + ca) 36 - 32 = 2(ab + bc + ca) ab + bc + ca = 2

घनों के योग के लिए सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca)) है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 189 - 3abc = 6 × (32 - 2) 189 - 3abc = 6 × 30 189 - 3abc = 180 3abc = 189 - 180 3abc = 9 abc = 3

4abc के मान की गणना इस प्रकार की जाती है: 4abc = 4 × 3 = 12

व्याख्या

मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ a = 4x, b = 6x, और c = 8x हैं, जहाँ c सबसे लंबी भुजा है। त्रिभुज के प्रकार को निर्धारित करने के लिए, हम दो छोटी भुजाओं के वर्गों के योग की तुलना सबसे लंबी भुजा के वर्ग से करके पाइथागोरस असमानता लागू करते हैं।

भुजाओं के वर्गों की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है: a² = (4x)² = 16x² b² = (6x)² = 36x² c² = (8x)² = 64x²

दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग है: a² + b² = 16x² + 36x² = 52x²

इस योग की तुलना सबसे लंबी भुजा के वर्ग से करने पर: 52x² < 64x² a² + b² < c²

किसी भी त्रिभुज में, यदि सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग से अधिक होता है, तो सबसे लंबी भुजा के विपरीत का कोण 90° से अधिक होता है। इसलिए, यह त्रिभुज अधिककोण त्रिभुज है।

व्याख्या

64a³ + 27b³ का मान ज्ञात करने के लिए, हम इसे घनों के योग (4a)³ + (3b)³ के रूप में पहचानते हैं। हम x = 4a और y = 3b मानकर बीजीय सर्वसमिका x³ + y³ = (x+y)³ - 3xy(x+y) का उपयोग करते हैं। दिए गए डेटा से, हमारे पास x - y = 4a - 3b = 1 और xy = (4a)(3b) = 12ab है। चूंकि ab = 1/2 दिया गया है, इसलिए xy = 12(1/2) = 6 प्राप्त होता है।

x + y का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका (x+y)² = (x-y)² + 4xy का उपयोग करते हैं: (4a + 3b)² = (4a - 3b)² + 4(4a)(3b) (4a + 3b)² = 1² + 4(6) = 1 + 24 = 25 चूंकि a > 0 और b > 0 है, इसलिए हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं, जिससे 4a + 3b = 5 प्राप्त होता है।

अब, घनों के योग के सूत्र में x+y = 5 और xy = 6 प्रतिस्थापित करें: 64a³ + 27b³ = (4a + 3b)³ - 3(4a)(3b)(4a + 3b) 64a³ + 27b³ = (5)³ - 3(6)(5) 64a³ + 27b³ = 125 - 90 = 35

व्याख्या

किसी छात्र द्वारा प्राप्त अंकों के प्रतिशत की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत = (प्राप्त अंक)/(अधिकतम अंक) × 100।

तालिका के अनुसार, विषय P में छात्र A द्वारा प्राप्त अंक 150 हैं। यह देखते हुए कि विषय P के लिए अधिकतम अंक 900 हैं, गणना इस प्रकार है:

प्रतिशत = ¹⁵⁰⁄₉₀₀ × 100

अंश और हर दोनों को 150 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर: ¹⁵⁰⁄₉₀₀ = ⅙

प्रतिशत = ⅙ × 100 = 16.666...%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, विषय P में A द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत 16.67% है।

व्याख्या

समकोण △ ABC में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर AB² + BC² = AC² प्राप्त होता है। दिया गया है कि AB = 7 सेमी और AC - BC = 1 सेमी, माना BC = x। परिणामस्वरूप, AC = x + 1। इन मानों को प्रमेय के समीकरण में रखने पर:

7² + x² = (x + 1)² 49 + x² = x² + 2x + 1 49 = 2x + 1 48 = 2x x = 24

इससे भुजाएँ BC = 24 सेमी और AC = 25 सेमी प्राप्त होती हैं, जो पाइथागोरियन त्रिक 7, 24, 25 के अनुरूप हैं। sin C के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात, ∠ C की सम्मुख भुजा और कर्ण का अनुपात है:

sin C = (AB)/(AC) = 7/25

व्याख्या

16 मीटर/सेकंड की गति से 400 मीटर की दौड़ को पूरा करने में A द्वारा लिया गया समय, सूत्र समय = (दूरी)/(गति) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। इस प्रकार, T_A = ⁴⁰⁰⁄₁₆ = 25 सेकंड।

B को 15 मीटर की बढ़त दी जाती है, जिसका अर्थ है कि दौड़ पूरी करने के लिए B द्वारा तय की जाने वाली दूरी 400 - 15 = 385 मीटर है। चूंकि A, B को 10 सेकंड से हरा देता है, इसलिए B को फिनिश लाइन तक पहुँचने में A से 10 सेकंड अधिक समय लगता है। इसलिए, B द्वारा लिया गया समय T_B = 25 + 10 = 35 सेकंड है।

B की गति उसके द्वारा तय की गई दूरी को उसके द्वारा लिए गए समय से विभाजित करके निर्धारित की जाती है: B की गति = ³⁸⁵⁄₃₅ = 11 मीटर/सेकंड।

व्याख्या

एक टॉफी का क्रय मूल्य (CP) कुल लागत को मात्रा से विभाजित करके निकाला जाता है: CP = ¹⁵⁄₁₀ = ₹1.5। इसी प्रकार, एक टॉफी का विक्रय मूल्य (SP) इस प्रकार निकाला जाता है: SP = ⁴⁰⁄₁₆ = ₹2.5।

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (SP - CP)/(CP) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = (2.5 - 1.5)/(1.5) × 100 लाभ % = (1)/(1.5) × 100 लाभ % = ⅔ × 100 = 66.666...%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, लाभ प्रतिशत 66.67% है।

व्याख्या

उन्नयन कोण (जो अवनमन कोण के बराबर होता है) के लिए स्पर्शज्या (tangent) अनुपात का उपयोग करने पर, tan(60°) = ऊंचाई / दूरी। इसलिए, दूरी = 180 / tan(60°) = 180 / √3, जिसे सरल करने पर 60√3 मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

6, 9 और 15 से विभाज्य सबसे छोटी संख्या उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: 6 = 2 × 3, 9 = 3², और 15 = 3 × 5। लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) संख्याओं में उपस्थित सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है: LCM(6, 9, 15) = 2¹ × 3² × 5¹ = 2 × 9 × 5 = 90।

90 में जोड़ी जाने वाली वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे यह एक पूर्ण वर्ग बन जाए, हम उस सबसे छोटे पूर्ण वर्ग की पहचान करते हैं जो 90 से बड़ा या उसके बराबर हो। इस मान के निकटतम पूर्णांकों के वर्ग 9² = 81 और 10² = 100 हैं। चूंकि 90 पहले से ही 81 से बड़ा है, इसलिए अगला पूर्ण वर्ग 100 है। जोड़ी जाने वाली आवश्यक संख्या 100 - 90 = 10 है।

व्याख्या

बड़े वृत्त में, OA = OD = 26 सेमी त्रिज्याएँ हैं, इसलिए AD एक व्यास है जिसका मध्य बिंदु O है। छोटे वृत्त में, OC = 16 सेमी त्रिज्या है। चूँकि AB बड़े वृत्त की एक जीवा है जो छोटे वृत्त को C पर स्पर्श करती है, इसलिए त्रिज्या OC, AB पर लंबवत है, जिससे ∠ OCA = 90° बनता है।

समकोण △ OAC में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: AC² = OA² - OC² AC² = 26² - 16² = 676 - 256 = 420

△ ACD में, CO भुजा AD की माध्यिका है क्योंकि O व्यास AD का मध्य बिंदु है। अपोलोनियस प्रमेय (Apollonius's Theorem) के अनुसार: AC² + CD² = 2(CO² + AO²) 420 + CD² = 2(16² + 26²) 420 + CD² = 2(256 + 676) 420 + CD² = 2(932) CD² = 1864 - 420 = 1444 CD = √(1444) = 38 सेमी

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद अंतिम विक्रय मूल्य (SP) की गणना सूत्र SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ MP प्रारंभिक मूल्य है और d₁, d₂ छूट प्रतिशत हैं।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: SP = 4580 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ³⁵⁄₁₀₀) SP = 4580 × 0.80 × 0.65

पहले, 20% छूट लागू करें: 4580 × 0.80 = 3664

इसके बाद, प्राप्त परिणाम पर 35% छूट लागू करें: 3664 × 0.65 = 2381.6

2381.6 को निकटतम रुपये में पूर्णांकित करने पर 2382 रुपये प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

आंतरिक कोण समद्विभाजक प्रमेय (Internal Angle Bisector Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की आसन्न भुजाओं के समानुपाती होते हैं। त्रिभुज ABC में, जहाँ AD, ∠ BAC का समद्विभाजक है जो BC से D पर मिलता है, भुजाओं का अनुपात इस प्रकार दिया गया है:

(AB)/(AC) = (BD)/(DC)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

¹⁰⁄₁₅ = (6)/(DC)

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर:

⅔ = (6)/(DC)

DC के लिए हल करने पर:

2 × DC = 18 DC = 9 सेमी

भुजा BC की कुल लंबाई, खंडों BD और DC का योग है:

BC = BD + DC BC = 6 + 9 = 15 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 8 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 24 इकाई है। A की कार्यक्षमता 24 / 8 = 3 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 24 / 12 = 2 इकाई प्रति दिन है। मान लीजिए कि कार्य की कुल अवधि x दिन है। चूंकि A ने काम पूरा होने से 2 दिन पहले काम छोड़ दिया था, इसलिए A ने (x - 2) दिनों तक काम किया, जबकि B ने पूरे x दिनों तक काम किया। किया गया कुल कार्य उनके व्यक्तिगत योगदान का योग है: 3(x - 2) + 2x = 24। समीकरण को हल करने पर, 3x - 6 + 2x = 24 से 5x = 30 प्राप्त होता है, जिससे x = 6 दिन मिलता है। वैकल्पिक रूप से, उस व्यक्ति द्वारा किए जाने वाले कार्य को जोड़ने की संक्षिप्त विधि (शॉर्टकट) का उपयोग करें जो काम छोड़कर चला गया था: यदि A अंतिम 2 दिनों के लिए रुका रहता, तो A ने 3 × 2 = 6 अतिरिक्त इकाइयाँ पूरी की होतीं। तब कुल कार्य 24 + 6 = 30 इकाई होता। इसे उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 3 + 2 = 5 इकाई प्रति दिन से विभाजित करने पर कुल समय 30 / 5 = 6 दिन प्राप्त होता है।

व्याख्या

साझेदारी में लाभ का हिस्सा निवेश की राशि और निवेश की अवधि के गुणनफल के समानुपाती होता है। माना A ने अकेले x महीनों तक व्यवसाय का वित्तपोषण किया। चूंकि कुल अवधि एक वर्ष है, इसलिए A के निवेश की अवधि 12 महीने है। B, A के अकेले रहने के x महीनों के बाद शामिल हुआ, इसलिए B की अवधि 12 - x महीने है। C, B के शामिल होने के तीन महीने बाद शामिल हुआ, इसलिए C की अवधि (12 - x) - 3 = 9 - x महीने है।

A, B और C के लाभ के हिस्सों का अनुपात है: P_A : P_B : P_C = (65,000 × 12) : (50,000 × (12 - x)) : (55,000 × (9 - x))

प्रत्येक पद को 5,000 से विभाजित करके अनुपात को सरल करने पर: P_A : P_B : P_C = (13 × 12) : (10 × (12 - x)) : (11 × (9 - x)) P_A : P_B : P_C = 156 : (120 - 10x) : (99 - 11x)

प्रश्न के अनुसार, A को कुल लाभ का 50% प्राप्त हुआ। इसका तात्पर्य यह है कि A का हिस्सा B और C के हिस्सों के योग के बराबर है: P_A = P_B + P_C 156 = (120 - 10x) + (99 - 11x) 156 = 219 - 21x 21x = 219 - 156 21x = 63 x = 3

B के शामिल होने से पहले A ने अकेले 3 महीनों तक व्यवसाय का वित्तपोषण किया।

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात के आधार पर तीन धनात्मक संख्याओं को 2x, 3x और 4x के रूप में दर्शाया गया है। इन संख्याओं के वर्गों के योग को समीकरण (2x)² + (3x)² + (4x)² = 2349 द्वारा व्यक्त किया जाता है। वर्गों का विस्तार करने पर, हमें 4x² + 9x² + 16x² = 2349 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 29x² = 2349 हो जाता है। x² का मान ज्ञात करने के लिए, हम 2349 को 29 से विभाजित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप x² = 81 प्राप्त होता है। धनात्मक मानों के लिए वर्गमूल लेने पर, हमें x = 9 प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, पहली संख्या 2 × 9 = 18 है और दूसरी संख्या 3 × 9 = 27 है। इन पहली दो संख्याओं के औसत की गणना अंकगणितीय माध्य सूत्र (पदों का योग)/(पदों की संख्या) का उपयोग करके की जाती है, जिससे (18 + 27)/(2) = ⁴⁵⁄₂ = 22.5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब किसी मान में x% और y% के दो क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन होते हैं, तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: x + y + ˣʸ⁄₁₀₀।

इस मामले में, वेतन में पहले 50% की कमी होती है, इसलिए x = -50। फिर इसमें 50% की वृद्धि होती है, इसलिए y = +50।

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = -50 + 50 + ⁽⁻⁵⁰⁾⁽⁵⁰⁾⁄₁₀₀

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 0 - ²⁵⁰⁰⁄₁₀₀ = -25%

ऋणात्मक चिह्न शुद्ध कमी को दर्शाता है। वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक वेतन 100 है, तो 50% की कमी इसे 50 कर देती है। 50 के इस नए मान में 50% की वृद्धि करने पर 25 जुड़ जाता है, जिससे अंतिम वेतन 75 हो जाता है। यह मूल 100 से कुल 25 की कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

मध्य-बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी लंबाई का आधा होता है। △ ABC में, चूंकि D, E और F क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए मध्यक त्रिभुज (medial triangle) △ DEF की भुजाएँ EF = ½ BC, DF = ½ CA, और DE = ½ AB द्वारा दी गई हैं।

△ DEF का परिमाप इसकी भुजाओं का योग है: परिमाप = DE + EF + FD = ½ AB + ½ BC + ½ CA परिमाप = ½ (AB + BC + CA)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: परिमाप = ½ (20.4 + 25.6 + 18.8) परिमाप = ½ (64.8) परिमाप = 32.4 सेमी

व्याख्या

यह व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (a³ - b³)/(a² + ab + b²) के रूप में है, जो सरल होकर a - b हो जाता है।

व्यंजक के पदों की तुलना करने पर, हम पाते हैं: a = 7.03 b = 0.3

हम इन मानों का उपयोग करके हर (denominator) के पदों को सत्यापित कर सकते हैं: a² = (7.03)² ab = 7.03 × 0.3 = 2.109 b² = (0.3)² = 0.09

अंश (numerator) में, b³ = (0.3)³ = 0.027 है। यद्यपि व्यंजक के पद 0.0027 में दशमलव की एक त्रुटि (typo) है, लेकिन अन्य पदों के आधार पर प्रश्न की संरचना यह पुष्टि करती है कि b = 0.3 है। सर्वसमिका का उपयोग करने पर:

(a³ - b³)/(a² + ab + b²) = a - b

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 7.03 - 0.3 = 6.73