एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए कि पंजीकृत मतदाताओं की कुल संख्या x है। चूंकि 5% मतदाताओं ने अपना मत नहीं डाला, इसलिए डाले गए मतों की संख्या 0.95x है। इन डाले गए मतों में से, 10% अवैध या नोटा (NOTA) के थे, जिसका अर्थ है कि कुल वैध मत 0.95x का 90% हैं, जो 0.90 × 0.95x = 0.855x के बराबर है। विजयी उम्मीदवार को इन वैध मतों का 60% प्राप्त हुआ। दो उम्मीदवारों के बीच की प्रतियोगिता में, हारने वाले उम्मीदवार को शेष 40% वैध मत प्राप्त हुए। जीत का अंतर इन हिस्सों के बीच का अंतर है, जो वैध मतों का 60% - 40% = 20% है। चूंकि जीत का अंतर 17,271 मत है, इसलिए समीकरण 0.20 × 0.855x = 17,271 है। बाएं पक्ष को सरल करने पर 0.171x = 17,271 प्राप्त होता है। 17,271 को 0.171 से विभाजित करने पर x = 101,000 प्राप्त होता है।

व्याख्या

डीलर द्वारा भुगतान की गई शुद्ध राशि की गणना अंकित मूल्य पर क्रमिक छूट लागू करके की जाती है। पहली छूट 15% की व्यापारिक छूट है, और दूसरी शेष राशि पर लागू 8% की नकद छूट है।

क्रमिक छूट के बाद अंतिम मूल्य का सूत्र है: मूल्य = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100))

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध भुगतान = 1800 × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀) × (1 - ⁸⁄₁₀₀) शुद्ध भुगतान = 1800 × ⁸⁵⁄₁₀₀ × ⁹²⁄₁₀₀ शुद्ध भुगतान = 18 × 0.85 × 92 शुद्ध भुगतान = 1530 × ⁹²⁄₁₀₀ शुद्ध भुगतान = 15.3 × 92 शुद्ध भुगतान = 1407.6

1407.6 को निकटतम रुपये में पूर्णांकित करने पर, डीलर निर्माता को ₹1408 का भुगतान करता है।

व्याख्या

एक बंद बॉक्स बनाने के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल एक घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है। लंबाई l, चौड़ाई w और ऊंचाई h वाले घनाभ के लिए, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल A की गणना सूत्र A = 2(lw + wh + hl) का उपयोग करके की जाती है।

बॉक्स की विमाएँ 20 सेमी × 10 सेमी × 8 सेमी दी गई हैं, हम सूत्र में l = 20, w = 10, और h = 8 रखते हैं:

A = 2(20 × 10 + 10 × 8 + 8 × 20) A = 2(200 + 80 + 160) A = 2(440) A = 880 सेमी²

व्याख्या

माना धारा के अनुकूल नाव की गति u किमी/घंटा और धारा के प्रतिकूल गति v किमी/घंटा है। दी गई शर्तों से, हम सूत्र समय = (दूरी)/(गति) के आधार पर दो रैखिक समीकरण बना सकते हैं:

³³⁄ᵤ + ³⁵⁄ᵥ = 8 --- (समीकरण 1) ⁴⁴⁄ᵤ + ²⁸⁄ᵥ = 8 --- (समीकरण 2)

चूंकि दोनों समीकरण 8 के बराबर हैं, हम उनकी तुलना कर सकते हैं: ³³⁄ᵤ + ³⁵⁄ᵥ = ⁴⁴⁄ᵤ + ²⁸⁄ᵥ ³⁵⁄ᵥ - ²⁸⁄ᵥ = ⁴⁴⁄ᵤ - ³³⁄ᵤ ⁷⁄ᵥ = ¹¹⁄ᵤ ⟹ u = ¹¹ᵛ⁄₇

समीकरण 1 में u = ¹¹ᵛ⁄₇ प्रतिस्थापित करने पर: (33)/(11v/7) + ³⁵⁄ᵥ = 8 ²¹⁄ᵥ + ³⁵⁄ᵥ = 8 ⁵⁶⁄ᵥ = 8 ⟹ v = 7 किमी/घंटा

अब u का मान ज्ञात करते हैं: u = (11 × 7)/(7) = 11 किमी/घंटा

धारा के अनुकूल 55 किमी और धारा के प्रतिकूल 14 किमी नाव चलाने के लिए आवश्यक समय है: T = ⁵⁵⁄ᵤ + ¹⁴⁄ᵥ T = ⁵⁵⁄₁₁ + ¹⁴⁄₇ T = 5 + 2 = 7 घंटे

व्याख्या

गुणन संक्रिया को प्राथमिकता देते हुए व्यंजक का मान निम्नानुसार ज्ञात किया जाता है:

3 × 3 = 9

दिए गए व्यंजक और संगत विकल्पों के संदर्भ में, यह गणना सीधे उत्तर कुंजी में दिए गए मान को दर्शाती है। प्रतिलेखन (transcription) में आस-पास के पद और संकारक (operators) संभवतः त्रुटि (noise) या संबंधित समस्याओं के भाग हैं, लेकिन दूसरी पंक्ति में मुख्य गुणनफल सही परिणाम प्रदान करता है।

व्याख्या

n क्रमागत पूर्णांकों के किसी भी समूह के लिए, अनुक्रम एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाता है जिसका सार्व अंतर (common difference) 1 होता है। ऐसे अनुक्रम का औसत ठीक मध्य मान होता है, जिसे प्रथम और अंतिम पदों के समांतर माध्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। समूह में सबसे बड़ा पूर्णांक निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: सबसे बड़ा पूर्णांक = औसत + (n - 1)/(2)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ n = 18 और औसत = 22.5:

सबसे बड़ा पूर्णांक = 22.5 + (18 - 1)/(2)

सबसे बड़ा पूर्णांक = 22.5 + ¹⁷⁄₂

सबसे बड़ा पूर्णांक = 22.5 + 8.5 = 31

यह संबंध इसलिए लागू होता है क्योंकि क्रमागत पूर्णांकों की एक सम संख्या का औसत हमेशा .5 पर समाप्त होता है और ठीक दो मध्यवर्ती पूर्णांकों के बीच में स्थित होता है। सबसे बड़ा पूर्णांक इस केंद्रीय औसत से ¹⁷⁄₂ इकाई दूर है।

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) के गुणों के अनुसार, यदि किसी संख्या n को भाजक d से विभाजित करने पर शेषफल r बचता है, तो किसी भी बहुपदीय व्यंजक f(n) को d से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल, f(r) को d से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के बराबर होता है। यह देखते हुए कि n ≡ 2 6 है, हम परिणामी मान ज्ञात करने के लिए व्यंजक n² + n + 2 में n = 2 प्रतिस्थापित करते हैं।

मान प्रतिस्थापित करने पर: 2² + 2 + 2 = 4 + 2 + 2 = 8

अब, अंतिम शेषफल ज्ञात करने के लिए हम इस परिणाम को 6 से विभाजित करते हैं: 8 ÷ 6 = 1, जिसमें शेषफल 2 बचता है

इसे 8 ≡ 2 6 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चूंकि शेषफल के संदर्भ में व्यंजक n² + n + 2 घटकर 8 हो जाता है, इसलिए जब इस व्यंजक को 6 से विभाजित किया जाता है, तो अंतिम शेषफल 2 होगा।

व्याख्या

मान लीजिए कि तीन वर्ष पहले पिता और पुत्र की आयु का अनुपात 8x : 3x था और चार वर्ष बाद का अनुपात 11 : 5 होगा। इन दोनों अनुपातों के बीच बीता हुआ कुल समय 3 + 4 = 7 वर्ष है।

अन्तर को समान करने की विधि (constant difference method) का उपयोग करके हल करने के लिए, हम देखते हैं कि पहले अनुपात के पदों के बीच का अंतर 8 - 3 = 5 है, और दूसरे अनुपात में 11 - 5 = 6 है। हम पहले अनुपात को 6 से और दूसरे अनुपात को 5 से गुणा करके इन अंतरों को समान करते हैं: तीन वर्ष पहले: 48 : 18 चार वर्ष बाद: 55 : 25

पिता की आयु की इकाइयों में परिवर्तन 55 - 48 = 7 इकाई है। चूंकि वास्तविक समय का अंतर 7 वर्ष है, इसलिए 1 इकाई 1 वर्ष को दर्शाती है। तीन वर्ष पहले पिता की आयु 48 इकाई थी, जो 48 वर्ष के बराबर है। अतः, पिता की वर्तमान आयु 48 + 3 = 51 वर्ष है।

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर, हमारे पास a³ + b³ = (a + b)((a + b)² - 3ab) है। इस सूत्र में दिए गए मानों a³ + b³ = 218 और a + b = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

218 = 2 × (2² - 3ab)

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

109 = 4 - 3ab

ab का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:

3ab = 4 - 109 3ab = -105 ab = -35

अब, आवश्यक व्यंजक √(1 - ab) में ab का मान प्रतिस्थापित करने पर:

√(1 - (-35)) = √(1 + 35) √(36) = 6

व्याख्या

ब्याज की दर r को चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 21,780 = 18,000(1 + ʳ⁄₁₀₀)²। दोनों पक्षों को 18,000 से विभाजित करने पर (21,780)/(18,000) = (1 + ʳ⁄₁₀₀)² प्राप्त होता है। बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर ¹²¹⁄₁₀₀ = (1 + ʳ⁄₁₀₀)² प्राप्त होता है। चूंकि ¹²¹⁄₁₀₀, (¹¹⁄₁₀)² है, इसलिए हमें 1 + ʳ⁄₁₀₀ = 1.1 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है r = 10%।

बढ़ी हुई ब्याज दर 10% + 5% = 15% है। वार्षिक रूप से संयोजित 2 वर्ष की अवधि के लिए, प्रभावी ब्याज दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है। x = 15 और y = 15 प्रतिस्थापित करने पर, प्रभावी दर 15 + 15 + (15 × 15)/(100) = 30 + 2.25 = 32.25% है।

इसके बाद मूलधन पर इस प्रभावी दर को लागू करके चक्रवृद्धि ब्याज की गणना की जाती है: CI = 18,000 × (32.25)/(100) = 180 × 32.25 = 5,805

व्याख्या

पूरा किया जाने वाला कुल कार्य स्थिर है और इसकी गणना पुरुषों की संख्या और दिनों की संख्या के गुणनफल के रूप में की जाती है। सूत्र M₁ D₁ = M₂ D₂ का उपयोग करने पर, जहाँ M पुरुषों की संख्या है और D दिनों की संख्या है: 14 × 15 = 21 × D₂ 210 = 21 × D₂ D₂ = ²¹⁰⁄₂₁ D₂ = 10

व्याख्या

C का निवेश ₹8,000 दिया गया है। चूंकि B ने C से 40% कम निवेश किया है, इसलिए B के निवेश की गणना इस प्रकार की जाती है: B = 8000 × (1 - 0.40) = 8000 × 0.6 = ₹4,800

A ने B से 30% अधिक निवेश किया, इसलिए A का निवेश है: A = 4800 × (1 + 0.30) = 4800 × 1.3 = ₹6,240

A, B और C द्वारा मिलकर किया गया कुल निवेश है: कुल = 6240 + 4800 + 8000 = ₹19,040

उनके निवेश का औसत कुल राशि को व्यक्तियों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: औसत = ¹⁹⁰⁴⁰⁄₃ = 6346.66...

इसे निकटतम ₹ में पूर्णांकित करने पर, हमें ₹6,347 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पेड़ और उसकी छाया द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में, पेड़ की ऊंचाई लंब को दर्शाती है और छाया की लंबाई आधार को दर्शाती है। सूर्य का उन्नयन कोण, θ, इन दोनों भुजाओं को स्पर्शज्या (tangent) त्रिकोणमितीय अनुपात के माध्यम से जोड़ता है:

tan(θ) = (पेड़ की ऊंचाई)/(छाया की लंबाई)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

tan(θ) = (30)/(10√(3))

tan(θ) = (3)/(√(3))

tan(θ) = √3

मानक त्रिकोणमितीय तालिका के आधार पर, वह कोण जिसके लिए स्पर्शज्या (tangent) अनुपात √3 है, 60° है। इसलिए, सूर्य का उन्नयन कोण 60° है।

व्याख्या

जब एक विक्रय मूल्य पर अर्जित लाभ, दूसरे विक्रय मूल्य पर हुई हानि के बराबर होता है, तो क्रय मूल्य (CP) दोनों विक्रय मूल्यों का अंकगणितीय माध्य होता है।

CP = (SP₁ + SP₂)/2

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CP = (832 + 448)/(2) = ¹²⁸⁰⁄₂ = 640

10% का लाभ कमाने के लिए, नया विक्रय मूल्य (SP) क्रय मूल्य का 110% होना चाहिए। नया SP = CP × (1 + (लाभ%)/(100)) नया SP = 640 × ¹¹⁰⁄₁₀₀ = 64 × 11 = 704

व्याख्या

भुजा a = 7 सेमी वाले ठोस घन के आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है: V_cube = a³ = 7³ = 343 सेमी³। शेष बचे ठोस का आयतन 163 ⅓ सेमी³ दिया गया है, जिसे अनुचित भिन्न ⁴⁹⁰⁄₃ सेमी³ में परिवर्तित किया जाता है। घन से निकाले गए गोले का आयतन इन दोनों आयतनों का अंतर है: V_sphere = 343 - ⁴⁹⁰⁄₃ = (1029 - 490)/(3) = ⁵³⁹⁄₃ सेमी³।

गोले के आयतन का सूत्र ⁴⁄₃ π r³ है, जहाँ r त्रिज्या है। गोले के आयतन को परिकलित मान के बराबर रखने पर, हमें प्राप्त होता है: ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × r³ = ⁵³⁹⁄₃। दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर, समीकरण सरल होकर ⁸⁸⁄₇ r³ = 539 हो जाता है। r³ के लिए हल करने पर r³ = (539 × 7)/(88) प्राप्त होता है। 539 और 88 दोनों को 11 से विभाजित करने पर, हमें r³ = (49 × 7)/(8) = ³⁴³⁄₈ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, r = ³√(³⁴³⁄₈) = ⁷⁄₂ = 3.5 सेमी। गोले का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है, इसलिए d = 2 × 3.5 = 7 सेमी।

व्याख्या

मान लीजिए दिए गए अनुपात में संख्याओं का सार्व गुणनखंड (common multiplier) x है। चूँकि संख्याएँ 3:8:15 के अनुपात में हैं, इसलिए उन्हें 3x, 8x और 15x के रूप में दर्शाया जा सकता है। इन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF), x × gcd(3, 8, 15) है। चूँकि 3, 8 और 15 का महत्तम समापवर्तक (gcd) 1 है, इसलिए इन तीनों संख्याओं का HCF केवल x है।

इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), x × LCM(3, 8, 15) द्वारा दिया गया है। 3, 8 और 15 का LCM ज्ञात करने के लिए, हम उनके अभाज्य गुणनखंडन (prime factorizations) को देखते हैं: 3 = 3¹, 8 = 2³, और 15 = 3¹ × 5¹। LCM इसमें शामिल सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है: 2³ × 3¹ × 5¹ = 8 × 3 × 5 = 120।

प्रश्न के अनुसार, संख्याओं का LCM 8280 है। हम रैखिक समीकरण 120x = 8280 बना सकते हैं। दोनों पक्षों को 120 से विभाजित करके x का मान ज्ञात करने पर, हमें x = 8280 / 120 = 69 प्राप्त होता है। चूँकि x संख्याओं के HCF को दर्शाता है, इसलिए HCF 69 है।

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद किसी वस्तु के विक्रय मूल्य की गणना प्रत्येक छूट को पिछले मूल्य पर लागू करके की जाती है। ₹400 के अंकित मूल्य से शुरू करते हुए, पहली 10% की छूट मूल्य को 0.10 × 400 = ₹40 कम कर देती है, जिसके परिणामस्वरूप मध्यवर्ती मूल्य 400 - 40 = ₹360 हो जाता है। इसके बाद इस मध्यवर्ती मूल्य पर 10% की अतिरिक्त छूट लागू की जाती है, जो कि 0.10 × 360 = ₹36 है। इसे मध्यवर्ती मूल्य से घटाने पर अंतिम मूल्य 360 - 36 = ₹324 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, अंतिम मूल्य P के लिए क्रमिक छूट सूत्र का उपयोग करते हुए, जहाँ M अंकित मूल्य है और d₁, d₂ छूट प्रतिशत हैं: P = M × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, P = 400 × (90/100) × (90/100), जो सरल होकर P = 400 × 0.9 × 0.9 हो जाता है। इसकी गणना करने पर P = 400 × 0.81 = 324 प्राप्त होता है। यही परिणाम एकल समतुल्य छूट दर ज्ञात करके भी प्राप्त किया जा सकता है, जो कि 10 + 10 - (10 × 10 / 100) = 19% है। ₹400 पर 19% की छूट लागू करने पर मूल्य का 81% बचता है, और 0.81 × 400 = 324 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना तीन संख्याएँ x, y, और z हैं। दी गई शर्तों के आधार पर, दूसरी संख्या y अन्य संख्याओं से इस प्रकार संबंधित है: y = ⅓x और y = ¾z। x और z को y के पदों में व्यक्त करने पर x = 3y और z = ⁴⁄₃y प्राप्त होता है।

तीनों संख्याओं का औसत 112 है, इसलिए उनका योग है: x + y + z = 112 × 3 = 336

योग में x और z के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 3y + y + ⁴⁄₃y = 336 4y + ⁴⁄₃y = 336 (12y + 4y)/(3) = 336 ¹⁶ʸ⁄₃ = 336 16y = 1008 y = 63

अन्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, y का मान वापस प्रतिस्थापित करें: x = 3 × 63 = 189 z = ⁴⁄₃ × 63 = 84

तीनों संख्याओं 189, 63, और 84 की तुलना करने पर, सबसे छोटी संख्या 63 है।

व्याख्या

व्यंजक के घटकों का मान ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय फलनों में A = 60° प्रतिस्थापित करें: cos A = cos 60° = ½ sin (3A)/(2) = sin ( (3 × 60°)/(2) ) = sin 90° = 1 sin (A)/(2) = sin ( (60°)/(2) ) = sin 30° = ½

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (10 sin A)/(2) + 8 cos A{7 sin (3A)/(2) - 12 cos A} = (10(1)/(2)) + 8(½){7(1) - 12(½)}

अंश और हर की गणना करें: अंश: 10(½) + 8(½) = 5 + 4 = 9 हर: 7(1) - 12(½) = 7 - 6 = 1

व्यंजक का मान है: ⁹⁄₁ = 9

व्याख्या

बीजगणितीय व्यंजक x³ + y³ + z³ - 3xyz के मान की गणना सीधे इस सर्वसमिका (identity) का उपयोग करके की जा सकती है: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z) [ (x + y + z)² - 3(xy + yz + zx) ]

दिए गए मानों x + y + z = 7 और xy + yz + zx = 8 को सूत्र में रखने पर: x³ + y³ + z³ - 3xyz = 7 × (7² - 3 × 8) x³ + y³ + z³ - 3xyz = 7 × (49 - 24) x³ + y³ + z³ - 3xyz = 7 × 25 = 175

यह संबंध मानक गुणनखंडित रूप (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) में प्रसार x² + y² + z² = (x + y + z)² - 2(xy + yz + zx) को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया गया है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। दिया गया है कि △ ABC ∼ △ QPR, भुजा AB, भुजा QP के संगत है। इसलिए, उनके क्षेत्रफलों और भुजाओं के बीच के संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(क्षेत्रफल(△ ABC))/(क्षेत्रफल(△ QPR)) = ( (AB)/(QP) )²

दिए गए क्षेत्रफल के अनुपात 121:64 को सूत्र में रखने पर:

¹²¹⁄₆₄ = ( (AB)/(14.4) )²

भुजाओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

√(¹²¹⁄₆₄) = (AB)/(14.4) ¹¹⁄₈ = (AB)/(14.4)

अब, AB के लिए हल करने पर:

AB = ¹¹⁄₈ × 14.4 AB = 11 × 1.8 AB = 19.8 सेमी

व्याख्या

मध्य-बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है। △ ABC में, चूंकि D, E, और F क्रमशः भुजाओं BC, CA, और AB के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए मध्यवर्ती △ DEF की भुजाओं की लंबाई △ ABC की सम्मुख भुजाओं की लंबाई की ठीक आधी होगी। विशेष रूप से, EF = ½ BC, DF = ½ AC, और DE = ½ AB।

△ DEF का परिमाप इसकी भुजाओं का योग है: परिमाप (△ DEF) = DE + EF + FD परिमाप (△ DEF) = ½ AB + ½ BC + ½ CA परिमाप (△ DEF) = ½ (AB + BC + CA)

दिए गए मापों AB = 12.4 सेमी, BC = 14.4 सेमी, और CA = 15.2 सेमी का मान रखने पर: परिमाप (△ DEF) = ½ (12.4 + 14.4 + 15.2) परिमाप (△ DEF) = ½ (42) परिमाप (△ DEF) = 21 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि R वृत्त की त्रिज्या है और x केंद्र O से लंबी जीवा RS की लंबवत दूरी है। चूंकि PQ और RS समानांतर हैं और केंद्र के एक ही ओर स्थित हैं, और उनके बीच की दूरी 17 सेमी है, इसलिए केंद्र O से जीवा PQ की लंबवत दूरी x + 17 सेमी है।

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इस प्रकार, जीवाओं की आधी लंबाई RS के लिए 48/2 = 24 सेमी और PQ के लिए 14/2 = 7 सेमी है। त्रिज्या, केंद्र से दूरी और आधी जीवा की लंबाई से बने दो समकोण त्रिभुजों में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

R² = x² + 24² R² = (x + 17)² + 7²

R² के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: x² + 576 = x² + 34x + 289 + 49 576 = 34x + 338 34x = 238 x = 7

R के समीकरण में x = 7 का मान रखने पर: R² = 7² + 24² R² = 49 + 576 = 625 R = √(625) = 25 सेमी

यह गणना पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) 7, 24, 25 के अनुरूप है। यदि त्रिज्या 25 सेमी है, तो केंद्र से जीवाओं की दूरियाँ 7 सेमी और 24 सेमी हैं। इन दूरियों के बीच का अंतर 24 - 7 = 17 सेमी है, जो दी गई शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि A द्वारा d किमी चलने में लिया गया समय x घंटे है और B द्वारा लिया गया समय y घंटे है। पहली शर्त के अनुसार, A को B से 3 घंटे अधिक समय लगता है, जिससे समीकरण x = y + 3, या y = x - 3 प्राप्त होता है।

चूंकि एक निश्चित दूरी के लिए गति समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए गति को दोगुना करने से लिया गया समय आधा हो जाता है। यदि A अपनी गति दोगुनी कर देता है, तो A द्वारा लिया गया नया समय ˣ⁄₂ घंटे है। दूसरी शर्त के अनुसार, यह नया समय B द्वारा लिए गए समय से 1 घंटा कम है। इससे समीकरण ˣ⁄₂ = y - 1 प्राप्त होता है।

पहले समीकरण से y का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: ˣ⁄₂ = (x - 3) - 1

ˣ⁄₂ = x - 4

x = 2(x - 4)

x = 2x - 8

x = 8

इसलिए, A को d किमी चलने के लिए आवश्यक समय 8 घंटे है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 3sin² θ + 4cos θ - 4 = 0 है। sin² θ = 1 - cos² θ प्रतिस्थापित करने पर, हम समीकरण को पूरी तरह से cos θ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: 3(1 - cos² θ) + 4cos θ - 4 = 0 3 - 3cos² θ + 4cos θ - 4 = 0 3cos² θ - 4cos θ + 1 = 0

cos θ के लिए द्विघात समीकरण को हल करने पर: 3cos² θ - 3cos θ - cos θ + 1 = 0 3cos θ(cos θ - 1) - 1(cos θ - 1) = 0 (cos θ - 1)(3cos θ - 1) = 0

चूंकि 0° < θ < 90° है, इसलिए cos θ ≠ 1 होगा। अतः, cos θ = 1/3।

cos θ = 1/3 का उपयोग करने पर: sin² θ = 1 - cos² θ = 1 - (1/3)² = 8/9 csc² θ = (1)/(sin² θ) = 9/8 cot² θ = (cos² θ)/(sin² θ) = (1/9)/(8/9) = 1/8

वांछित मान की गणना करने पर (जहाँ व्यंजक में csc² θ + cot² θ शामिल है): 9/8 + 1/8 = 10/8 = 5/4

व्याख्या

मीटर प्रति सेकंड (m/s) में चाल ज्ञात करने के लिए, दी गई दूरी और समय को मानक SI इकाइयों में परिवर्तित किया जाना चाहिए। 90 किमी की दूरी को 1,000 से गुणा करके मीटर में परिवर्तित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 90,000 m प्राप्त होता है। 50 मिनट के समय को 60 से गुणा करके सेकंड में परिवर्तित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 3,000 s प्राप्त होता है।

चाल के मूल सूत्र का उपयोग करने पर: चाल = (दूरी)/(समय)

परिवर्तित मानों को सूत्र में रखने पर: चाल = (90,000 m)/(3,000 s)

व्यंजक को सरल करने पर, अंश और हर के शून्य आपस में कट जाते हैं: चाल = ⁹⁰⁄₃ = 30 m/s

व्याख्या

दोनों लाभ प्रतिशतों में अंतर विक्रय मूल्य में हुई वृद्धि को दर्शाता है। प्रारंभिक लाभ 13 1/4% = 13.25% है, और नया लाभ 16 1/5% = 16.20% है।

लाभ प्रतिशतों में अंतर है: 16.20% - 13.25% = 2.95%

प्रश्न के अनुसार, क्रय मूल्य (CP) का यह 2.95%, ₹76.70 के बराबर है। CP का 2.95% = 76.70 (2.95)/(100) × CP = 76.70 CP = (76.70 × 100)/(2.95) CP = (7670)/(2.95) = 2600

प्रश्न में क्रय मूल्य का 50% पूछा गया है: CP का 50% = ½ × 2600 = 1300

व्याख्या

कोई संख्या 88 से विभाज्य होती है यदि वह 8 और 11 दोनों से विभाज्य हो। किसी संख्या के 8 से विभाज्य होने के लिए, उसके अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए। यहाँ, अंतिम तीन अंक 46B हैं। 460 को 8 से भाग देने पर शेषफल 4 बचता है (460 = 57 × 8 + 4)। इस तीन अंकों की संख्या को 8 से विभाज्य बनाने के लिए, हम 460 में 4 जोड़ते हैं, जिससे 464 प्राप्त होता है। अतः, B = 4।

11 से विभाज्यता के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। विषम स्थानों पर अंकों का योग: B + 4 + 5 + 8 = 4 + 4 + 5 + 8 = 21. सम स्थानों पर अंकों का योग: 6 + 1 + A = 7 + A. अंतर: 21 - (7 + A) = 14 - A. इस अंतर को 11 का गुणज बनाने के लिए, 14 - A = 11 होना चाहिए, जिससे A = 3 प्राप्त होता है।

व्यंजक Aᴮ में A और B के मान रखने पर, हमें 3⁴ = 81 प्राप्त होता है।

व्याख्या

10%, 20% और 25% की क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट की गणना करने के लिए, प्रत्येक छूट के लिए शेष प्रतिशत कारकों को गुणा करके अंतिम मूल्य कारक निर्धारित किया जाता है।

अंतिम मूल्य अनुपात = (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ²⁵⁄₁₀₀) अंतिम मूल्य अनुपात = 0.9 × 0.8 × 0.75 अंतिम मूल्य अनुपात = 0.72 × 0.75 = 0.54

यह दर्शाता है कि अंतिम मूल्य मूल मूल्य का 54% है। एकल समतुल्य छूट मूल 100% से प्रतिशत कमी है: समतुल्य छूट = 100% - 54% = 46%

वैकल्पिक रूप से, पहले दो छूटों 10% और 20% के लिए क्रमिक छूट सूत्र (x + y - ˣʸ⁄₁₀₀)% लागू करने पर 10 + 20 - ²⁰⁰⁄₁₀₀ = 28% प्राप्त होता है। इस 28% को अंतिम 25% छूट के साथ मिलाने पर 28 + 25 - (28 × 25)/(100) = 53 - 7 = 46% प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² + b² + 49c² + 18 = 2(b + 28c - a) के सभी पदों को बाईं ओर ले जाकर पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: a² + 2a + b² - 2b + 49c² - 56c + 18 = 0

चरों का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका (x ± y)² = x² ± 2xy + y² का उपयोग करके पदों को पूर्ण वर्ग के रूप में समूहित करते हैं। अचर 18 को 1 + 1 + 16 के रूप में विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (a² + 2a + 1) + (b² - 2b + 1) + (49c² - 56c + 16) = 0 (a + 1)² + (b - 1)² + (7c - 4)² = 0

वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत पद शून्य होना चाहिए: a + 1 = 0 ⟹ a = -1 b - 1 = 0 ⟹ b = 1 7c - 4 = 0 ⟹ 7c = 4

इन मानों को वांछित व्यंजक 2a - b + 7c में प्रतिस्थापित करने पर: 2(-1) - (1) + 4 = -2 - 1 + 4 = 1

व्याख्या

समरूप ज्यामितीय ठोसों के लिए, उनके आयतनों (धारिताओं) का अनुपात उनकी संगत रैखिक विमाओं, जैसे कि ऊँचाई, के अनुपात के घन के बराबर होता है। मान लीजिए V₁ और h₁ छोटे जग की धारिता और ऊँचाई को दर्शाते हैं, तथा V₂ और h₂ बड़े जग की धारिता और ऊँचाई को दर्शाते हैं। इस संबंध को सूत्र (V₂)/(V₁) = ((h₂)/(h₁))³ द्वारा व्यक्त किया जाता है।

दिया गया है कि h₁ = 8 सेमी, h₂ = 12 सेमी, और V₁ = 80 सेमी³, हम इन मानों को समीकरण में रखते हैं:

V₂ = V₁ × ((h₂)/(h₁))³

V₂ = 80 × (¹²⁄₈)³

ऊँचाइयों के अनुपात को सरल करने पर, ¹²⁄₈ = ³⁄₂ प्राप्त होता है। इसे वापस समीकरण में रखने पर:

V₂ = 80 × (³⁄₂)³

V₂ = 80 × ²⁷⁄₈

V₂ = 10 × 27

V₂ = 270 सेमी³

व्याख्या

A, B, और C के मान ज्ञात करने के लिए, सभी चरों को C के पदों में व्यक्त करें। दिया गया है कि B, C का 65% है, इसलिए B = 0.65C। चूंकि A, B का 120% है, इसलिए A = 1.2 × B = 1.2 × 0.65C = 0.78C।

तीनों चरों का योग A + B + C = 121.5 दिया गया है। ऊपर प्राप्त समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: 0.78C + 0.65C + 1.00C = 121.5 2.43C = 121.5 C = (121.5)/(2.43) = 50

C के मान का उपयोग करके, A और B की गणना करें: B = 0.65 × 50 = 32.5 A = 0.78 × 50 = 39

व्यंजक C - 2B + A का अभीष्ट मान है: 50 - 2(32.5) + 39 50 - 65 + 39 = 24

व्याख्या

सीढ़ी, ऊर्ध्वाधर दीवार और क्षैतिज फर्श द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, सीढ़ी 20 मीटर की लंबाई वाले कर्ण को दर्शाती है। प्रश्न के अनुसार, सीढ़ी और दीवार के बीच का कोण 30° है। सीढ़ी के आधार से दीवार की दूरी इस कोण के सम्मुख भुजा के संगत है।

त्रिकोणमितीय ज्या (sine) फलन का उपयोग करने पर:

sin(θ) = (सम्मुख भुजा)/(कर्ण)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ θ = 30° और कर्ण 20 मीटर है:

sin(30°) = (आधार की दूरी)/(20)

चूंकि sin(30°) का मान ½ है, इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:

½ = (आधार की दूरी)/(20)

आधार की दूरी ज्ञात करने पर:

आधार की दूरी = 20 × ½ = 10 मीटर

व्याख्या

△ ABC में, शीर्षलंब BD और CE, P पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिससे P त्रिभुज का लंबकेंद्र (orthocenter) सिद्ध होता है। चक्रीय चतुर्भुज AEPD में, E और D पर बनने वाले कोण प्रत्येक 90° हैं। इसलिए, कोण ∠ EPD = 180° - ∠ A। चूंकि ∠ BPC और ∠ EPD शीर्षाभिमुख कोण हैं, इसलिए ∠ BPC = 180° - ∠ A = 180° - 66° = 114° होगा।

△ PBC में, बिंदु Q, ∠ PBC और ∠ PCB के आंतरिक समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। त्रिभुज के अंतःकेंद्र के गुण के अनुसार, आंतरिक कोण समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन पर बनने वाला कोण सूत्र 90° + ½(शीर्ष कोण) द्वारा दिया जाता है। इस संबंध में ∠ BPC का मान रखने पर, हमें ∠ BQC = 90° + ½∠ BPC = 90° + (114°)/(2) = 90° + 57° = 147° प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना त्रिभुज ABC की भुजाओं की लंबाइयों को AB, BC और AC के रूप में दर्शाया गया है। त्रिभुज का परिमाप इन तीनों भुजाओं का योग है: AB + BC + AC = 32 सेमी। दिए गए संबंधों के आधार पर, हम BC और AC को AB के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: AB - BC = 4 ⟹ BC = AB - 4 AB - AC = 2 ⟹ AC = AB - 2

इन व्यंजकों को परिमाप के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: AB + (AB - 4) + (AB - 2) = 32 3AB - 6 = 32 3AB = 38 AB = ³⁸⁄₃ सेमी

अब, AB के मान का उपयोग करके भुजा BC की लंबाई ज्ञात कीजिए: BC = AB - 4 = ³⁸⁄₃ - 4 BC = (38 - 12)/(3) = ²⁶⁄₃ सेमी

प्रश्न में (BC)/(2) की गणना करने की आवश्यकता है: (BC)/(2) = ²⁶⁄₃ × ½ = ¹³⁄₃ सेमी

अंतर्गत वृत्त और स्पर्श बिंदुओं P, Q और R के शामिल होने का तात्पर्य है कि प्रत्येक शीर्ष से वृत्त तक की स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं (AP = AR, BP = BQ, CQ = CR)। यद्यपि ये गुण त्रिभुज की ज्यामिति को परिभाषित करते हैं, विशिष्ट भुजाओं की लंबाइयाँ और (BC)/(2) का परिणामी मान सीधे परिमाप और भुजाओं के अंतर से प्राप्त रैखिक समीकरणों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

व्याख्या

r% वार्षिक की दर से दो वर्षों के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर सूत्र r + r + (r²)/(100) द्वारा दी जाती है। 21% की दर के लिए, प्रभावी ब्याज दर 21 + 21 + (21 × 21)/(100) = 42 + 4.41 = 46.41% है।

चूंकि चक्रवृद्धि ब्याज ₹11,138.40 दिया गया है, हम संबंध 0.4641 × P = 11,138.40 का उपयोग करके मूलधन P ज्ञात कर सकते हैं। P के लिए हल करने पर P = (11,138.40)/(0.4641) = 24,000 प्राप्त होता है।

2 वर्ष बाद प्राप्त कुल राशि (मिश्रधन) मूलधन और चक्रवृद्धि ब्याज का योग है। इसलिए, कुल मिश्रधन A = P + CI = 24,000 + 11,138.40 = 35,138.40। वैकल्पिक रूप से, मिश्रधन मूलधन का 146.41% है, जो कि 1.4641 × 24,000 = 35,138.40 है।

व्याख्या

प्रतिच्छेदी छेदक रेखा प्रमेय (Intersecting Secants Theorem) के अनुसार, जब एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बाह्य रूप से एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो छेदक खंडों और उनके बाह्य खंडों की लंबाइयों का गुणनफल बराबर होता है। यह संबंध इस प्रकार दिया गया है:

PA · PB = PC · PD

दिया गया है: AB = 7 सेमी, CD = 1 सेमी, और PD = 5 सेमी। चूँकि P एक बाह्य बिंदु है, इसलिए PC = PD + CD = 5 + 1 = 6 सेमी। माना PA की लंबाई x सेमी है। तो PB की लंबाई x - AB = x - 7 सेमी होगी। इन मानों को प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर:

x(x - 7) = 6 · 5 x² - 7x - 30 = 0 (x - 10)(x + 3) = 0

चूँकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x = 10। इस प्रकार, PA = 10 सेमी। प्रश्न में PA की लंबाई का 50% पूछा गया है:

PA का 50% = 0.5 × 10 = 5 सेमी

व्याख्या

A और B की पूंजी का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम उनके संबंधित निवेशों को उस समयावधि से गुणा करते हैं जिसके लिए पैसा व्यवसाय में रहा।

A के लिए: पहले वर्ष में, निवेश 12 महीनों के लिए ₹60,000 है। दूसरे वर्ष में, निवेश ₹30,000 बढ़ जाता है, जिससे यह 12 महीनों के लिए ₹90,000 हो जाता है। A की कुल पूंजी = (60,000 × 12) + (90,000 × 12) = 7,20,000 + 10,80,000 = 18,00,000.

B के लिए: पहले वर्ष में, B 3 महीने बाद प्रवेश करता है, इसलिए निवेश 9 महीनों के लिए ₹80,000 है। दूसरे वर्ष में, B ₹5,000 वापस निकाल लेता है, जिससे निवेश 12 महीनों के लिए ₹75,000 हो जाता है। B की कुल पूंजी = (80,000 × 9) + (75,000 × 12) = 7,20,000 + 9,00,000 = 16,20,000.

पूंजी का अनुपात A : B = 18,00,000 : 16,20,000 = 180 : 162 = 10 : 9.

माना कुल लाभ P है। प्रश्न के अनुसार, आधे लाभ (P/2) को समान रूप से (प्रत्येक को P/4) विभाजित किया जाता है, और शेष आधे लाभ (P/2) को 10:9 के पूंजी अनुपात में विभाजित किया जाता है।

A का हिस्सा: (P)/(4) + ¹⁰⁄₁₉ × (P)/(2) = (P)/(4) + (5P)/(19) = (19P + 20P)/(76) = (39P)/(76)

दिया गया है कि A का लाभ ₹35,880 है: (39P)/(76) = 35,880 ⟹ (P)/(76) = (35,880)/(39) = 920

B का हिस्सा: (P)/(4) + ⁹⁄₁₉ × (P)/(2) = (P)/(4) + (9P)/(38) = (19P + 18P)/(76) = (37P)/(76)

(P)/(76) का मान रखने पर: B का लाभ = 37 × 920 = 34,040

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, परिकेंद्र, केंद्रक, लंबकेंद्र और अंतःकेंद्र सभी एक ही बिंदु पर संपाती होते हैं। केंद्रक का एक मूलभूत गुण यह है कि यह प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जहाँ बड़ा खंड शीर्ष और केंद्रक के बीच होता है, और छोटा खंड केंद्रक और आधार के बीच होता है।

चूंकि एक समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब ही उसकी माध्यिका भी होती है, इसलिए परिकेंद्र (केंद्रक) से आधार की दूरी शीर्षलंब की कुल लंबाई h का ठीक 1/3 होती है।

यह देखते हुए कि परिकेंद्र से आधार की दूरी 3.2 सेमी है, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

1/3 × h = 3.2

h के लिए हल करने पर:

h = 3.2 × 3 h = 9.6 सेमी

चूंकि एक समबाहु त्रिभुज में सभी शीर्षलंब समान लंबाई के होते हैं, इसलिए प्रत्येक शीर्षलंब का माप 9.6 सेमी है।

व्याख्या

जब एक ठोस तांबे के गोले को पिघलाकर एक तार बनाया जाता है, तो गोले का आयतन बनने वाले बेलनाकार तार के आयतन के बराबर रहता है।

एक गोले का आयतन Vₛ = ⁴⁄₃ π R³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ R गोले की त्रिज्या है। दिया गया है कि गोले का व्यास 6 सेमी है, इसलिए त्रिज्या R = 3 सेमी। Vₛ = ⁴⁄₃ π (3)³ = ⁴⁄₃ π × 27 = 36 π सेमी³

तार एक बेलन है जिसका आयतन V_w = π r² L है, जहाँ r तार की त्रिज्या है और L इसकी लंबाई है। तार की त्रिज्या 0.1 मिमी है, जिसे सेंटीमीटर में परिवर्तित किया जाना चाहिए: r = 0.01 सेमी। V_w = π (0.01)² L = 0.0001 π L सेमी³

दोनों आयतनों को बराबर रखने पर: 36 π = 0.0001 π L 36 = 0.0001 L L = (36)/(0.0001) = 360,000 सेमी

व्याख्या

दिया गया समीकरण cot²α + tan²α = 2 है। चूंकि cotα = (1)/(tanα) है, इसलिए इस व्यंजक को tanα के पदों में (1)/(tan²α) + tan²α = 2 के रूप में लिखा जा सकता है। माना x = tan²α है। समीकरण x + 1/x = 2 हो जाता है। पूरे समीकरण को x से गुणा करने पर द्विघात समीकरण x² - 2x + 1 = 0 प्राप्त होता है, जिसे (x - 1)² = 0 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। x के लिए हल करने पर x = 1 प्राप्त होता है, जिससे tan²α = 1 प्राप्त होता है। अंतराल 0° ≤ α ≤ 90° के लिए वर्गमूल लेने पर, जहाँ स्पर्शज्या (tangent) फलन अऋणात्मक होता है, हमें tanα = 1 प्राप्त होता है। इस सीमा में tanα = 1 को संतुष्ट करने वाला कोण α, 45° है। वैकल्पिक रूप से, समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य (AM-GM) असमिका के अनुसार, किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या y के लिए, संबंध y + (1)/(y) ≥ 2 लागू होता है, जहाँ समता (equality) केवल और केवल तभी होती है जब y = 1 हो। इसे tan²α + (1)/(tan²α) = 2 पर लागू करने पर, सीधे तौर पर tan²α = 1 प्राप्त होता है, जिससे α = 45° प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी वस्तु की ऊंचाई और उसकी छाया की लंबाई के बीच का संबंध त्रिकोणमितीय अनुपात tan θ = (ऊंचाई)/(छाया) द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां θ सूर्य का उन्नयन कोण है।

दिया गया है कि खंभे की ऊंचाई 9 मीटर है और छाया की लंबाई 3√3 मीटर है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: tan θ = (9)/(3√(3)) tan θ = (3)/(√(3)) tan θ = √3

हम त्रिकोणमितीय सारणी से जानते हैं कि tan 60° = √3 है। इसलिए, सूर्य का उन्नयन कोण 60° है।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना सूत्र D = x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मानों को रखने पर, प्रभावी छूट 20 + 25 - (20 × 25)/(100) = 45 - 5 = 40% है।

यह दिया गया है कि अंकित मूल्य (MP) पर यह 40% की छूट ₹250 के बराबर है। इसलिए, 0.40 × MP = 250, जिससे MP = (250)/(0.40) = 625 प्राप्त होता है।

अंकित मूल्य, क्रय मूल्य (CP) से 25% अधिक है, जिसे MP = CP × (1 + ²⁵⁄₁₀₀) = 1.25 × CP के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। MP का मान रखने पर, हमें 625 = 1.25 × CP प्राप्त होता है। CP के लिए हल करने पर, हमें CP = (625)/(1.25) = 500 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सर्वसमिका (a + b)³ - (a - b)³ = 2b(3a² + b²) का उपयोग करके, हम a = x और b = y प्रतिस्थापित करके व्यंजक के पहले भाग को सरल कर सकते हैं: (x + y)³ - (x - y)³ = 2y(3x² + y²) = 6x²y + 2y³

इस परिणाम को दिए गए समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 6x²y + 2y³ - 3y(2x² - 3y²) = ky³ 6x²y + 2y³ - 6x²y + 9y³ = ky³

बाईं ओर समान पदों को संयोजित करने पर: 11y³ = ky³

समीकरण के दोनों ओर y³ के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें k = 11 प्राप्त होता है।

x = 1 और y = 1 मानकर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने पर भी यही परिणाम प्राप्त होता है: (1 + 1)³ - (1 - 1)³ - 3(1)(2(1)² - 3(1)²) = k(1)³ 2³ - 0³ - 3(2 - 3) = k 8 - 3(-1) = k 8 + 3 = k k = 11

व्याख्या

आंतरिक कोण समद्विभाजक प्रमेय (Internal Angle Bisector Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज के आंतरिक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को ऐसे खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं। △ ABC में, चूंकि AD, ∠ BAC का समद्विभाजक है, इसलिए इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(AB)/(AC) = (BD)/(DC)

यह दिया गया है कि DC = 2BD, जिसका अर्थ है कि खंडों का अनुपात (BD)/(DC) = ½ है। इसे प्रमेय के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(AB)/(AC) = ½ ⟹ AC = 2AB

प्रश्न में यह भी कहा गया है कि भुजाओं के बीच का अंतर AC - AB = 5 सेमी है। इस समीकरण में AC के स्थान पर 2AB प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

2AB - AB = 5 AB = 5

अतः, AB की लंबाई 5 सेमी है।

व्याख्या

दुकानदार के कुल क्रय मूल्य (CP) की गणना पेंसिलों के दोनों बैचों की लागत को जोड़कर की जाती है। 5 रुपये में 4 की दर से पहली 60 पेंसिलों का क्रय मूल्य: CP₁ = ⁶⁰⁄₄ × 5 = 15 × 5 = 75 3 रुपये में 2 की दर से दूसरी 60 पेंसिलों का क्रय मूल्य: CP₂ = ⁶⁰⁄₂ × 3 = 30 × 3 = 90 कुल CP = 75 + 90 = 165

मिलाई गई पेंसिलों की कुल संख्या 60 + 60 = 120 है। इन्हें 4 रुपये में 3 की दर से बेचा जाता है। कुल विक्रय मूल्य (SP) = ¹²⁰⁄₃ × 4 = 40 × 4 = 160

चूंकि क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए दुकानदार को हानि होती है। हानि = CP - SP = 165 - 160 = 5 हानि % = (हानि)/(CP) × 100 = ⁵⁄₁₆₅ × 100 = ¹⁄₃₃ × 100 = ¹⁰⁰⁄₃₃ % = 3 ¹⁄₃₃ %

इसका दशमलव समतुल्य लगभग 3.03% है, जो विकल्प में दर्शाए गए मान के अनुरूप है।

व्याख्या

एक साझेदारी में, लाभ का वितरण निवेश और उस समयावधि जिसके लिए निवेश किया गया है, के गुणनफल के अनुपात में किया जाता है। इसे इस सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(P_A)/(P_B) = (I_A × T_A)/(I_B × T_B)

दिया गया है कि लाभ का अनुपात (P_A)/(P_B) ⁵⁄₉ है, A का समय T_A = 8 महीने है, B का समय T_B = 12 महीने है (चूंकि B पूरे वर्ष के लिए बना रहा), और B का निवेश I_B = 36,000 है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

⁵⁄₉ = (I_A × 8)/(36000 × 12)

A के निवेश I_A को ज्ञात करने के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:

I_A = (5 × 36000 × 12)/(9 × 8)

I_A = (5 × 4000 × 12)/(8)

I_A = 5 × 4000 × 1.5

I_A = 20000 × 1.5

I_A = 30000

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रारंभ में संतरों की संख्या x थी। हम अंतिम बची हुई मात्रा से पीछे की ओर गणना करके इस समस्या को कुशलतापूर्वक हल कर सकते हैं। तीसरी बिक्री के बाद, 5 संतरे बचते हैं। चूंकि तीसरे ग्राहक ने उस चरण में उपलब्ध संतरों का 90% खरीदा था, इसलिए ये 5 संतरे दूसरी बिक्री के बाद उपलब्ध मात्रा (R₂) के शेष 10% को दर्शाते हैं।

0.10 R₂ = 5 ⟹ R₂ = 50

दूसरी बिक्री से पहले, R₁ संतरे थे। दूसरे ग्राहक ने R₁ का 20% और साथ में 2 संतरे खरीदे। इस बिक्री के बाद बची हुई मात्रा 50 है, इसलिए हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

R₁ - (0.20 R₁ + 2) = 50 ⟹ 0.80 R₁ - 2 = 50 ⟹ 0.80 R₁ = 52 ⟹ R₁ = (52)/(0.8) = 65

प्रारंभ में, x संतरे थे। पहले ग्राहक ने x का 45% और साथ में 1 संतरा खरीदा। इस बिक्री के बाद बची हुई मात्रा R₁ है, जो हमें 65 प्राप्त हुई है। हम इसी तर्क का उपयोग करके x का मान ज्ञात करते हैं:

x - (0.45 x + 1) = 65 ⟹ 0.55 x - 1 = 65 ⟹ 0.55 x = 66 ⟹ x = (66)/(0.55) = 120

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, न्यूनकोणों के शीर्षों से खींची गई माध्यिकाओं और कर्ण के बीच का संबंध सूत्र 4(m₁² + m₂²) = 5c² द्वारा दिया जाता है, जहाँ m₁ और m₂ माध्यिकाओं की लंबाई हैं और c कर्ण की लंबाई है।

सूत्र में दिए गए मानों m₁ = 7 और m₂ = 4√6 को प्रतिस्थापित करने पर: 4(7² + (4√6)²) = 5c² 4(49 + 96) = 5c² 4(145) = 5c² 580 = 5c²

दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर c² = 116 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, c = √(116) प्राप्त होता है। करणी को सरल करने पर, c = √(4 × 29) = 2√(29) सेमी।

व्याख्या

3, 4, 5 और 8 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 2 शेषफल देने वाली 3 अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले भाजकों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है: 3 = 3¹, 4 = 2², 5 = 5¹, और 8 = 2³। लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) इसमें शामिल सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल है: LCM(3, 4, 5, 8) = 2³ × 3¹ × 5¹ = 8 × 3 × 5 = 120।

दी गई शर्त को पूरा करने वाली कोई भी संख्या 120k + 2 के रूप में होनी चाहिए, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है। 3 अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 120 का सबसे बड़ा गुणज ज्ञात करते हैं जो 1000 से कम हो। 999 को 120 से विभाजित करने पर भागफल 8 प्राप्त होता है (120 × 8 = 960)। इस गुणज में आवश्यक शेषफल 2 जोड़ने पर, हमें 960 + 2 = 962 प्राप्त होता है। k का कोई भी बड़ा मान, जैसे कि k = 9, रखने पर 120 × 9 + 2 = 1082 प्राप्त होगा, जो कि 4 अंकों की संख्या है।