एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

औसत विक्रय मूल्य और औसत क्रय मूल्य के बीच का अंतर व्यक्तिगत औसत की गणना करके या प्रत्येक वस्तु के लिए अंतर का औसत ज्ञात करके निकाला जा सकता है।

सभी चार वस्तुओं के लिए कुल क्रय मूल्य (CP) = 650 + 370 + 450 + 590 = 2060 है। सभी चार वस्तुओं के लिए कुल विक्रय मूल्य (SP) = 750 + 450 + 650 + 650 = 2500 है।

औसत क्रय मूल्य = ²⁰⁶⁰⁄₄ = 515 है, और औसत विक्रय मूल्य = ²⁵⁰⁰⁄₄ = 625 है। इन औसतों के बीच का अंतर = 625 - 515 = 110 है।

वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक वस्तु के लिए अंतर (लाभ) की गणना करने पर: J के लिए अंतर = 750 - 650 = 100 K के लिए अंतर = 450 - 370 = 80 L के लिए अंतर = 650 - 450 = 200 M के लिए अंतर = 650 - 590 = 60

इन अंतरों का औसत = (100 + 80 + 200 + 60)/(4) = ⁴⁴⁰⁄₄ = 110 है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है। दिया गया है कि स्टेशनों R और S के बीच की दूरी 400 किमी है और ट्रेनें 10 घंटे में मिलती हैं, सापेक्ष गति की गणना इस प्रकार की जाती है:

सापेक्ष गति = (कुल दूरी)/(समय) = ⁴⁰⁰⁄₁₀ = 40 किमी/घंटा

माना धीमी ट्रेन की गति x किमी/घंटा है। चूंकि तेज ट्रेन की गति 4 किमी/घंटा अधिक है, इसलिए इसकी गति (x + 4) किमी/घंटा होगी। विपरीत दिशाओं में चलने वाली वस्तुओं के लिए सापेक्ष गति के सूत्र के अनुसार:

x + (x + 4) = 40 2x + 4 = 40 2x = 36 x = 18 किमी/घंटा

व्याख्या

tan 2α का मान ज्ञात करने के लिए, हम कोण 2α को दो दिए गए कोणों, (α + β) और (α - β) के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। विशेष रूप से, 2α = α + β + α - β। यह हमें स्पर्शज्या (tangent) फलन के लिए त्रिकोणमितीय योग सूत्र को लागू करने की अनुमति देता है, जो कि tan(x + y) = (tan x + tan y)/(1 - tan x tan y) है।

x = α + β और y = α - β रखने पर, tan 2α का व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

tan 2α = tan [(α + β) + (α - β)] = (tan(α + β) + tan(α - β))/(1 - tan(α + β) tan(α - β))

प्रश्न में tan(α + β) = a और tan(α - β) = b मान दिए गए हैं। इन मानों को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

tan 2α = (a + b)/(1 - (a)(b)) = (a + b)/(1 - ab)

यह व्युत्पत्ति दिए गए चरों के आधार पर आवश्यक मान को हल करने के लिए मौलिक स्पर्शज्या योग सर्वसमिका (tangent sum identity) का उपयोग करती है।

व्याख्या

तीसरी मिश्र धातु में एल्युमिनियम और तांबे के अनुपात की गणना करने के लिए, हम मिश्र धातु P और Q के कुल भागों को बराबर करते हैं। मिश्र धातु P में, अनुपात 5:11 (कुल 16 भाग) है। मिश्र धातु Q में, अनुपात 3:5 (कुल 8 भाग) है। गणना को सरल बनाने के लिए, हम मिश्र धातु P के 16 भागों से मिलान करने के लिए मिश्र धातु Q के भागों को 2 से गुणा करते हैं, जिससे Q में अनुपात 6:10 के बराबर हो जाता है।

मिश्र धातु P और Q को 1:3 के अनुपात में मिलाया जाता है। हम एल्युमिनियम और तांबे की कुल मात्रा को उनके संबंधित भागों को मिश्रण अनुपात से गुणा करके दर्शा सकते हैं: तीसरी मिश्र धातु में एल्युमिनियम = (1 × 5) + (3 × 6) = 5 + 18 = 23 इकाई तीसरी मिश्र धातु में तांबा = (1 × 11) + (3 × 10) = 11 + 30 = 41 इकाई

तांबे के संदर्भ में एल्युमिनियम के प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत = (कुल एल्युमिनियम / कुल तांबा) × 100 प्रतिशत = (23 / 41) × 100 प्रतिशत = 2300 / 41 ≈ 56.097

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, हमें 56 प्रतिशत प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी संख्या के 99 से विभाज्य होने के लिए, उसे 9 और 11 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

9 से विभाज्यता के लिए, अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए। अंकों का योग = 3 + 4 + 2 + 2 + 2 + 1 + 3 + A + B = 17 + A + B A + B के संभावित मान 1 या 10 हैं, क्योंकि A और B एकल-अंकीय पूर्णांक हैं।

11 से विभाज्यता के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। विषम स्थानों पर अंकों का योग = 3 + 2 + 2 + 3 + B = 10 + B सम स्थानों पर अंकों का योग = 4 + 2 + 1 + A = 7 + A अंतर = (10 + B) - (7 + A) = 3 + B - A

यदि A + B = 1 है, तो A और B केवल (0, 1) या (1, 0) हो सकते हैं। इन मामलों में, 3 + B - A का मान 4 या 2 होगा, जिनमें से कोई भी 11 से विभाज्य नहीं है।

यदि A + B = 10 है, तो हम अंतर 3 + B - A को 11 का गुणज मान लेते हैं। यदि 3 + B - A = 0 ⟹ A - B = 3 है। A + B = 10 के साथ हल करने पर 2A = 13 प्राप्त होता है, जिसका कोई पूर्णांक हल नहीं है। यदि 3 + B - A = 11 ⟹ B - A = 8 है। A + B = 10 के साथ हल करने पर: समीकरणों को जोड़ने पर: (A + B) + (B - A) = 10 + 8 ⟹ 2B = 18 ⟹ B = 9. A + B = 10 में B = 9 प्रतिस्थापित करने पर A = 1 प्राप्त होता है।

अब, अभीष्ट मान की गणना करने पर: 2A + B = 2(1) + 9 = 11

व्याख्या

त्रिभुज के कोण योग गुण (Angle Sum Property) के अनुसार, किसी भी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। इस संबंध को ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° के रूप में व्यक्त किया जाता है। दिए गए △ ABC में, दो कोणों ∠ B और ∠ C का योग 110° दिया गया है। कोण योग समीकरण में इस मान को प्रतिस्थापित करके, हम तीसरे कोण का माप निर्धारित कर सकते हैं:

∠ A + (∠ B + ∠ C) = 180° ∠ A + 110° = 180° ∠ A = 180° - 110° ∠ A = 70°

व्याख्या

दिए गए समीकरण x = 2 - 2¹^/³ + 2²^/³ को x - 2 = 2²^/³ - 2¹^/³ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। x³ - 6x² + 18x का मान ज्ञात करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) का उपयोग करके समीकरण के दोनों पक्षों का घन (cube) कीजिए।

(x - 2)³ = (2²^/³ - 2¹^/³)³ x³ - 6x² + 12x - 8 = (2²^/³)³ - (2¹^/³)³ - 3(2²^/³ · 2¹^/³)(2²^/³ - 2¹^/³)

दाहिनी ओर घन पदों को सरल करने और (2²^/³ - 2¹^/³) के स्थान पर (x - 2) प्रतिस्थापित करने पर: x³ - 6x² + 12x - 8 = 4 - 2 - 3(2¹)(x - 2) x³ - 6x² + 12x - 8 = 2 - 6x + 12 x³ - 6x² + 12x - 8 = 14 - 6x

आवश्यक बहुपद को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों में 6x और 8 जोड़ने पर: x³ - 6x² + 12x + 6x = 14 + 8 x³ - 6x² + 18x = 22

व्याख्या

प्रत्येक पद के लिए उनके संबंधित चतुर्थांश के आधार पर त्रिकोणमितीय न्यूनीकरण सूत्रों (reduction formulas) को लागू करके व्यंजक को सरल किया जाता है।

अंश के लिए: cos (π - A) = -cos A (द्वितीय चतुर्थांश, cos ऋणात्मक होता है) cot ((π)/(2) + A) = -tan A (द्वितीय चतुर्थांश, cot बदलकर tan हो जाता है और ऋणात्मक होता है) cos (-A) = cos A (चतुर्थ चतुर्थांश, cos धनात्मक होता है)

हर के लिए: tan (π + A) = tan A (तृतीय चतुर्थांश, tan धनात्मक होता है) tan ((3π)/(2) + A) = -cot A (चतुर्थ चतुर्थांश, tan बदलकर cot हो जाता है और ऋणात्मक होता है) sin (2π - A) = -sin A (चतुर्थ चतुर्थांश, sin ऋणात्मक होता है)

इन मानों को दिए गए भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर: ((-cos A) · (-tan A) · (cos A))/((tan A) · (-cot A) · (-sin A))

अंश और हर में चिह्नों को सरल करने पर: cos² A · tan A{tan A · cot A · sin A}

अंश और हर दोनों से tan A को निरस्त (cancel) करने पर: cos² A{cot A · sin A}

सर्वसमिका cot A = (cos A)/(sin A) का उपयोग करने पर: cos² A{((cos A)/(sin A)) · sin A} cos² A{cos A} = cos A

व्याख्या

तीन चरों के घनों के योग के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

इस सर्वसमिका में दिए गए मानों a + b + c = 5, a³ + b³ + c³ = 85, और abc = 25 को प्रतिस्थापित करने पर: 85 - 3(25) = 5(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को सरल करने पर: 85 - 75 = 5(a² + b² + c² - ab - bc - ca) 10 = 5(a² + b² + c² - ab - bc - ca) a² + b² + c² - ab - bc - ca = ¹⁰⁄₅ a² + b² + c² - ab - bc - ca = 2

व्याख्या

तालिका के अनुसार, कंपनी H का बिक्री कारोबार 400 है और कंपनी F का बिक्री कारोबार 230 है। कंपनी H और कंपनी F के बिक्री कारोबार के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, हम कंपनी H के मूल्य में से कंपनी F के मूल्य को घटाते हैं।

अंतर = H की बिक्री - F की बिक्री अंतर = 400 - 230 = 170

400 में से 230 घटाने पर कुल 170 का अंतर प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक ²ᵃᵇᶜ⁄₉ का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए मानों a = -12, b = -6, और c = 18 को सूत्र में रखें:

मान = (2 × (-12) × (-6) × 18)/(9)

सबसे पहले, अंश में पदों के गुणनफल की गणना करें। चूंकि दो ऋणात्मक चिह्न हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक होगा: (-12) × (-6) = 72.

इसके बाद व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: मान = (2 × 72 × 18)/(9)

18 को 9 से विभाजित करने पर 2 प्राप्त होता है, जिससे गणना और सरल हो जाती है: मान = 2 × 72 × 2

अंतिम गुणा करने पर: मान = 144 × 2 = 288

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध सूत्र SP = CP × (100 + लाभ%)/(100) द्वारा दिया गया है। पहले मामले में, वस्तु को 10% लाभ के साथ 33,000 रुपये में बेचा जाता है। इसलिए, 33,000 = CP × ¹¹⁰⁄₁₀₀। क्रय मूल्य की अलग से गणना करने के बजाय, हम प्रतिशत के अनुपात का उपयोग करके सीधे 20% लाभ के लिए आवश्यक नया विक्रय मूल्य ज्ञात कर सकते हैं।

आवश्यक विक्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: नया SP = मूल SP × (100 + नया लाभ%)/(100 + प्रारंभिक लाभ%)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: नया SP = 33,000 × (100 + 20)/(100 + 10) नया SP = 33,000 × ¹²⁰⁄₁₁₀ नया SP = 33,000 × ¹²⁄₁₁ नया SP = 3,000 × 12 नया SP = 36,000

व्याख्या

दसवीं पारी में आवश्यक रनों की संख्या, दस पारियों में 61 का औसत प्राप्त करने के लिए आवश्यक कुल रनों और नौ पारियों में 58 के औसत से पहले ही बनाए गए कुल रनों के बीच का अंतर है। सूत्र 'कुल रन = औसत × पारियों की संख्या' का उपयोग करके, हम कुल रनों की गणना इस प्रकार करते हैं:

10 पारियों के लिए कुल रन = 61 × 10 = 610 9 पारियों के लिए कुल रन = 58 × 9 = 522

दोनों कुल रनों को घटाने पर अंतिम पारी में आवश्यक रन प्राप्त होते हैं: 610 - 522 = 88।

इसे विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है। औसत को 58 से बढ़ाकर 61 करने के लिए, बल्लेबाज को सभी 10 पारियों में से प्रत्येक के लिए 3 अतिरिक्त रन बनाने होंगे। इस प्रकार, दसवीं पारी में आवश्यक रन नया औसत और पिछली नौ पारियों की कुल कमी का योग है: 61 + (9 × 3) = 61 + 27 = 88। वैकल्पिक रूप से, यह पुराना औसत और सभी दस पारियों के लिए आवश्यक कुल वृद्धि का योग है: 58 + (10 × 3) = 58 + 30 = 88।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्यानुपाती x को संबंध a:x = x:b द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो सरल होकर x² = ab या x = √(ab) हो जाता है। दी गई संख्याएँ a = 25 और b = 225 हैं, मध्यानुपाती की गणना √(25 × 225) के रूप में की जाती है। व्यक्तिगत गुणनखंडों का वर्गमूल लेने पर, हमें 5 × 15 = 75 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पवन की दैनिक कार्यक्षमता कार्य का 1/32 भाग है। 8 दिनों में, पवन द्वारा पूरा किया गया कार्य = 8 × (1/32) = 1/4 है। शेष कार्य = 1 - 1/4 = 3/4 है।

संदीप इस 3/4 कार्य को 27 दिनों में पूरा करता है। इसलिए, संदीप की दैनिक कार्यक्षमता = (3/4) ÷ 27 = 3/(4 × 27) = 1/36 है।

एक साथ कार्य करते समय, उनकी संयुक्त दैनिक कार्यक्षमता उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं का योग होगी: संयुक्त कार्यक्षमता = 1/32 + 1/36

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, 32 और 36 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 288 है। संयुक्त कार्यक्षमता = (9 + 8) / 288 = 17/288

पवन और संदीप द्वारा मिलकर पूरे कार्य को समाप्त करने में लिया गया समय उनकी संयुक्त कार्यक्षमता का व्युत्क्रम (reciprocal) है: समय = 288/17 = 16 ¹⁶⁄₁₇ दिन

व्याख्या

जब दो संख्याएँ a:b के अनुपात में हों और उनका महत्तम समापवर्तक (HCF), H हो, तो संख्याओं को Ha और Hb के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) सूत्र LCM = H × a × b द्वारा दिया जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि a और b अनुपात में सह-अभाज्य (co-prime) गुणनखंड हैं, और LCM में HCF तथा दोनों अलग-अलग अनुपात घटक शामिल होने चाहिए।

दिया गया अनुपात 6:7 और HCF = 3 है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: LCM = 3 × 6 × 7

सबसे पहले, अनुपात के पदों के गुणनफल की गणना करने पर: 6 × 7 = 42

फिर, HCF से गुणा करने पर: 3 × 42 = 126

वैकल्पिक रूप से, व्यक्तिगत संख्याएँ 6 × 3 = 18 और 7 × 3 = 21 हैं। इस संबंध का उपयोग करते हुए कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है: 18 × 21 = 3 × LCM LCM = (18 × 21)/(3) = 6 × 21 = 126

व्याख्या

समकोण त्रिभुज PQR में, भुजा PQ, ∠ PRQ के सम्मुख (लंब) है, और QR उसी कोण के संलग्न (आधार) है। इन भुजाओं के बीच त्रिकोणमितीय संबंध को स्पर्शज्या अनुपात (tangent ratio) द्वारा परिभाषित किया जाता है: tan(θ) = (लंब)/(आधार)। दिए गए मानों, θ = 30° और PQ = 5 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें tan(30°) = (5)/(QR) प्राप्त होता है। मानक मान tan(30°) = (1)/(√(3)) का उपयोग करने पर, समीकरण (1)/(√(3)) = (5)/(QR) हो जाता है। QR का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर QR = 5√3 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब लाभ प्रतिशत और छूट प्रतिशत ज्ञात हो, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: (MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)।

दिया गया है कि क्रय मूल्य 528 रुपये है, लाभ प्रतिशत 18% है, और छूट प्रतिशत 12% है, हम इन मानों को सूत्र में रख सकते हैं:

MP = CP × (100 + 18)/(100 - 12)

MP = 528 × ¹¹⁸⁄₈₈

गणना को सरल करने के लिए, हम 528 को 88 से विभाजित करते हैं। चूंकि 88 × 6 = 528 होता है, इसलिए यह समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

MP = 6 × 118

MP = 708

वस्तु का अंकित मूल्य 708 रुपये है।

व्याख्या

विवियानी के प्रमेय (Viviani's Theorem) के अनुसार, किसी समबाहु त्रिभुज के किसी भी आंतरिक बिंदु से भुजाओं की लंबवत दूरियों का योग त्रिभुज की ऊंचाई के बराबर होता है। मान लीजिए कि लंबवत दूरियाँ h₁ = √3 सेमी, h₂ = 2√3 सेमी और h₃ = 5√3 सेमी हैं। त्रिभुज की ऊंचाई H की गणना इस प्रकार की जाती है:

H = h₁ + h₂ + h₃ = √3 + 2√3 + 5√3 = 8√3 सेमी

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, ऊंचाई को सूत्र H = (√3/2) a द्वारा भी दर्शाया जाता है। ऊंचाई के इन दोनों व्यंजकों को एक दूसरे के बराबर रखने पर:

(√3/2) a = 8√3

दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर a/2 = 8 प्राप्त होता है, जिससे भुजा की लंबाई a = 16 सेमी प्राप्त होती है। समबाहु त्रिभुज का परिमाप 3a होता है, इसलिए परिमाप 3 × 16 = 48 सेमी है।

व्याख्या

अर्जित लाभ क्रय मूल्य (CP) का 30% है, जो ₹39.90 दिया गया है। हम संबंध CP = (लाभ)/(लाभ%) × 100 का उपयोग करके CP की गणना कर सकते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर CP = (39.90)/(30) × 100 = ₹133 प्राप्त होता है।

विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य और लाभ का योग है। इसलिए, SP = 133 + 39.90 = ₹172.90।

अंकित मूल्य (MP) पर 28% की छूट दी जाती है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य का 72% है (100% - 28% = 72%)। SP और MP के बीच का संबंध SP = MP × ⁷²⁄₁₀₀ है। अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें MP = (SP × 100)/(72) = (172.90 × 100)/(72) = ¹⁷²⁹⁰⁄₇₂ प्राप्त होता है।

भाग करने पर, ¹⁷²⁹⁰⁄₇₂ ≈ 240.138 प्राप्त होता है। इसे निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर ₹240 प्राप्त होता है।

व्याख्या

x³ + (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले x + ¹⁄ₓ का मान निर्धारित करते हैं। बीजगणितीय सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) + 2 का उपयोग करते हुए, हम दिए गए मान x² + (1)/(x²) = 23 को प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें (x + ¹⁄ₓ)² = 23 + 2 = 25 प्राप्त होता है। चूंकि x > 0 दिया गया है, इसलिए हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं जिससे x + ¹⁄ₓ = √(25) = 5 प्राप्त होता है।

अब, हम घनों के योग की सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ)। इस व्यंजक में x + ¹⁄ₓ = 5 का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 5³ - 3(5) प्राप्त होता है। गणना करने पर, 125 - 15 बराबर 110 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, त्रिकोणमितीय फलनों में A = 60° प्रतिस्थापित करें। इन अनुपातों के मानक मान cos 60° = ½, sec 60° = (1)/(cos 60°) = 2, और tan 60° = √3 हैं, जिसका अर्थ है tan² 60° = 3। हर (denominator) के लिए, (A)/(2) = 30° है, और sin 30° = ½ है।

इन मानों को अंश (numerator) में प्रतिस्थापित करने पर: 8cos A + 7sec A - tan² A = 8(½) + 7(2) - 3 = 4 + 14 - 3 = 15

हर में प्रतिस्थापित करने पर: 10sin (A)/(2) = 10sin 30° = 10(½) = 5

अंतिम मान परिकलित अंश और हर का अनुपात है: ¹⁵⁄₅ = 3

व्याख्या

माना भुजा AB की लंबाई x सेमी है। △ ABC की भुजाओं के बीच दिए गए संबंधों के आधार पर, हम अन्य दो भुजाओं को x के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: BC = AB - 4 = x - 4 AC = AB - 2 = x - 2

एक त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं का योग होता है। दिए गए परिमाप 32 सेमी का उपयोग करने पर: AB + BC + AC = 32 x + (x - 4) + (x - 2) = 32 3x - 6 = 32 3x = 38 x = ³⁸⁄₃

AC की लंबाई ज्ञात करने के लिए x का मान प्रतिस्थापित करने पर: AC = x - 2 AC = ³⁸⁄₃ - 2 AC = (38 - 6)/(3) AC = ³²⁄₃ सेमी

व्याख्या

तीन संख्याओं A, B, और C का संयुक्त अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए अनुपातों A:B = 2:3 और B:C = 5:8 में उभयनिष्ठ पद B को बराबर करते हैं। पहले अनुपात को 5 से और दूसरे अनुपात को 3 से गुणा करने पर A:B = 10:15 और B:C = 15:24 प्राप्त होता है। इसके परिणामस्वरूप संयुक्त अनुपात A:B:C = 10:15:24 प्राप्त होता है।

इस अनुपात के घटकों का योग 10 + 15 + 24 = 49 है। चूंकि तीन संख्याओं का वास्तविक योग 98 है, इसलिए एक अनुपात इकाई का मान 98 / 49 = 2 है। तीसरी संख्या, जिसे अनुपात में 24 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है, की गणना 24 × 2 = 48 के रूप में की जाती है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत मिश्रधन की गणना सूत्र A = P(1 + r/100)ⁿ का उपयोग करके की जाती है। यहाँ मूलधन P = 32,000, वार्षिक ब्याज दर 20%, और समय अवधि 9 महीने है जिसमें ब्याज त्रैमासिक रूप से संयोजित होता है, इसलिए हमें सबसे पहले दर और समय को समायोजित करना होगा। चूंकि ब्याज त्रैमासिक रूप से संयोजित होता है, इसलिए प्रति तिमाही दर r = 20% / 4 = 5% होगी। 9 महीनों में तिमाहियों की संख्या n = 9 / 3 = 3 है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर A = 32000(1 + 5/100)³ प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर A = 32000(21/20)³ प्राप्त होता है। घन (cube) का विस्तार करने पर, हमें A = 32000 × (9261 / 8000) प्राप्त होता है। 32,000 को 8,000 से विभाजित करने पर 4 प्राप्त होता है, इसलिए अंतिम गणना A = 4 × 9261 = 37044 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दो मीनारों P और Q के पादों के बीच की दूरी 2x है। चूंकि प्रेक्षण बिंदु ठीक मध्य में है, इसलिए इस बिंदु से प्रत्येक मीनार के पाद की क्षैतिज दूरी x है।

त्रिकोणमितीय अनुपात tan(θ) = (ऊंचाई)/(आधार) का उपयोग करके, हम दूरी x के सापेक्ष मीनारों की ऊंचाई निर्धारित कर सकते हैं। मीनार P के लिए, उन्नयन कोण 45° है, इसलिए इसकी ऊंचाई h_P = x · tan(45°) द्वारा दी गई है। चूंकि tan(45°) = 1 है, इसलिए ऊंचाई h_P = x होगी।

मीनार Q के लिए, उन्नयन कोण 60° है, इसलिए इसकी ऊंचाई h_Q = x · tan(60°) द्वारा दी गई है। चूंकि tan(60°) = √3 है, इसलिए ऊंचाई h_Q = x√3 होगी।

मीनार P की ऊंचाई का मीनार Q की ऊंचाई से अनुपात h_P : h_Q है, जो सरल होकर x : x√3 हो जाता है। दोनों पदों को x से विभाजित करने पर, हमें 1:√3 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

वस्तुओं का कुल क्रय मूल्य मेज और कुर्सी के मूल्य का योग है, जो कि 4,600 + 1,800 = 6,400 है। मेज को 10% लाभ पर बेचने से अर्जित लाभ 0.10 × 4,600 = 460 है। कुर्सी को 6% लाभ पर बेचने से अर्जित लाभ 0.06 × 1,800 = 108 है। इन मूल्यों को जोड़ने पर कुल लाभ 460 + 108 = 568 प्राप्त होता है।

कुल लाभ प्रतिशत कुल लाभ और कुल क्रय मूल्य के अनुपात को 100 से गुणा करके निर्धारित किया जाता है: कुल लाभ प्रतिशत = (568)/(6,400) × 100

व्यंजक को सरल करने पर: कुल लाभ प्रतिशत = ⁵⁶⁸⁄₆₄

अंश और हर दोनों को 8 से विभाजित करने पर ⁷¹⁄₈ प्राप्त होता है। इस भिन्न को दशमलव में बदलने पर 8.875 प्राप्त होता है, जो 8.875% या 8 ⅞ % के लाभ के संगत है।

व्याख्या

जब व्यय स्थिर होता है, तो खरीदी गई मात्रा कीमत के व्युत्क्रमानुपाती होती है। कीमत में 20% की कमी की जाती है, जो कि 1/5 का अनुपात है। इस प्रकार, मूल कीमत का कम की गई कीमत से अनुपात 5 : 4 है।

परिणामस्वरूप, मूल मात्रा का नई मात्रा से अनुपात इसका व्युत्क्रम होगा, जो कि 4 : 5 है। मात्रा में वृद्धि 1 इकाई (5 - 4) है। प्रश्न के अनुसार, यह 1 इकाई 2 किग्रा को दर्शाती है। इसलिए, खरीदी गई मूल मात्रा 4 × 2 = 8 किग्रा थी।

प्रति किग्रा मूल कीमत की गणना कुल व्यय को मूल मात्रा से विभाजित करके की जाती है: मूल कीमत = ³⁶⁰⁄₈ = ₹ 45

व्याख्या

दिया गया समीकरण सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 पर आधारित है। इस प्रकार के प्रश्नों के संदर्भ में व्यंजक sec² θ + tan² θ = 3², वास्तव में (sec θ + tan θ)² = 3² का एक सामान्य त्रुटिपूर्ण रूप है।

एक न्यून कोण 0° < θ < 90° के लिए: sec θ + tan θ = 3

सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = 1 (sec θ - tan θ)(3) = 1 sec θ - tan θ = ⅓

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2 sec θ = 3 + ⅓ = ¹⁰⁄₃ sec θ = ⁵⁄₃ ⟹ cos θ = ⅗

समीकरणों को घटाने पर: 2 tan θ = 3 - ⅓ = ⁸⁄₃ tan θ = ⁴⁄₃

चूंकि tan θ = (sin θ)/(cos θ): sin θ = tan θ · cos θ = ⁴⁄₃ · ⅗ = ⅘

विकल्पों में दिए गए पूर्णांक मान को प्राप्त करने के लिए, मूल्यांकित किया जाने वाला व्यंजक 5(cos θ + sin θ) है: 5(⅗ + ⅘) = 5(⁷⁄₅) = 7

व्याख्या

कार्यक्षमता की गणना: पुरुष = 4 इकाई/दिन, महिला = 1 इकाई/दिन, और लड़का = 1 इकाई/दिन (माना कुल कार्य 12 इकाई है)। एक दिन में 12 इकाई कार्य पूरा करने के लिए, संयुक्त कार्यक्षमता 12 होनी चाहिए। चूंकि एक पुरुष और एक महिला मिलकर 5 इकाइयों (4+1) का योगदान करते हैं, इसलिए लड़कों से 7 अतिरिक्त इकाइयों की आवश्यकता होगी, जिसके लिए 7 लड़कों की आवश्यकता होगी।

व्याख्या

नाव की धारा के अनुकूल (अनुप्रवाह) गति की गणना तय की गई दूरी को लिए गए समय से विभाजित करके की जाती है। 56 किमी की दूरी और 3.5 घंटे का समय दिए जाने पर, धारा के अनुकूल गति v_d है:

v_d = (56)/(3.5) = 16 किमी/घंटा

चूंकि यात्रा का दूसरा भाग भी धारा के अनुकूल है और नाव की गति या धारा की गति में किसी बदलाव का कोई उल्लेख नहीं है, इसलिए धारा के अनुकूल गति 16 किमी/घंटा पर स्थिर रहती है। धारा के अनुकूल 41.6 किमी की दूरी तय करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम नई दूरी को धारा के अनुकूल गति से विभाजित करते हैं:

समय = (41.6)/(16) = 2.6 घंटे

शांत जल में नाव की गति और धारा की गति का दिया गया अनुपात (3:1) गति के मापदंडों की निरंतरता की पुष्टि करता है, लेकिन गणना के लिए इसकी कड़ाई से आवश्यकता नहीं है क्योंकि यात्रा के दोनों हिस्से धारा के अनुकूल परिस्थितियों में होते हैं।

व्याख्या

सर्वसमिका sin⁶θ + cos⁶θ = (sin²θ + cos²θ)³ - 3sin²θcos²θ(sin²θ + cos²θ) का उपयोग करके व्यंजक सरल हो जाता है, जो घटकर 1 - 3sin²θcos²θ हो जाता है। इस प्रकार, व्यंजक का पहला भाग, (sin⁶θ + cos⁶θ - 1), सरल होकर -3sin²θcos²θ हो जाता है। दूसरे भाग, tan²θ + cot²θ + 2, को (tanθ + cotθ)² के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। चूंकि tanθ + cotθ = (sinθ)/(cosθ) + (cosθ)/(sinθ) = (sin²θ + cos²θ)/(sinθcosθ) = (1)/(sinθcosθ) है, इसलिए यह पद (1)/(sin²θcos²θ) बन जाता है। इन दोनों परिणामों को गुणा करने पर (-3sin²θcos²θ) · (1)/(sin²θcos²θ) = -3 प्राप्त होता है। अंत में, मूल व्यंजक से अचर + 1 जोड़ने पर -3 + 1 = -2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब एक रेलवे इंजन किसी पुल को पार करता है, तो तय की गई कुल दूरी इंजन की लंबाई और पुल की लंबाई का योग होती है। चूंकि इंजन की गति v स्थिर है, हम सूत्र v = (दूरी)/(समय) का उपयोग करके दोनों स्थितियों के लिए गतियों की तुलना कर सकते हैं। माना रेलवे इंजन की लंबाई L है।

पहले पुल के लिए: v = (L + 400)/(100) दूसरे पुल के लिए: v = (L + 235)/(60)

गति के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: (L + 400)/(100) = (L + 235)/(60)

सरल करने के लिए, दोनों हरों (denominators) को 20 से विभाजित करें: (L + 400)/(5) = (L + 235)/(3)

तिर्यक गुणा (Cross-multiplying) करने पर प्राप्त होता है: 3(L + 400) = 5(L + 235) 3L + 1200 = 5L + 1175

L का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: 1200 - 1175 = 5L - 3L 25 = 2L

प्रश्न में रेलवे इंजन की लंबाई का दोगुना पूछा गया है, जो कि 2L है। उपरोक्त गणना से, 2L = 25।

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² + b² + 49c² + 18 = 2(b - 28c - a) को दाएं पक्ष का विस्तार करके और सभी पदों को बाएं पक्ष में लाकर इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: a² + b² + 49c² + 18 - 2b + 56c + 2a = 0। प्रत्येक चर से संबंधित पदों को पुनर्व्यवस्थित और समूहीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है: (a² + 2a) + (b² - 2b) + (49c² + 56c) + 18 = 0।

इसे हल करने के लिए, हम प्रत्येक चर के लिए वर्ग पूर्ण करते हैं। a के लिए, हमें 1 की आवश्यकता है; b के लिए, हमें 1 की आवश्यकता है; और c के लिए, हम (7c)² + 2(7c)(4) की पहचान करते हैं, जिसके लिए 4² = 16 की आवश्यकता है। चूंकि 1 + 1 + 16 = 18 है, अचर मान पूरी तरह से मेल खाता है, जिससे इस व्यंजक को (a + 1)² + (b - 1)² + (7c + 4)² = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में, वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग शून्य हो। इससे तीन रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं: a + 1 = 0 जिसके परिणामस्वरूप a = -1, b - 1 = 0 जिसके परिणामस्वरूप b = 1, और 7c + 4 = 0 जिसके परिणामस्वरूप 7c = -4 प्राप्त होता है। इन मानों को व्यंजक (a - b - 7c) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (-1) - (1) - (-4) = -1 - 1 + 4 = 2।

व्याख्या

बेलन के आधार की परिधि 2π r = 62.8 सेमी दी गई है। π = 3.14 का उपयोग करके, हम त्रिज्या r ज्ञात करते हैं: 2 × 3.14 × r = 62.8 6.28r = 62.8 r = 10 सेमी

बेलन का आयतन V = π r² h = 8792 सेमी³ द्वारा दिया गया है। π और r के मान प्रतिस्थापित करने पर: 3.14 × (10)² × h = 8792 3.14 × 100 × h = 8792 314h = 8792 h = ⁸⁷⁹²⁄₃₁₄ = 28 सेमी

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) 2π rh होता है। चूंकि हम पहले से ही परिधि 2π r = 62.8 सेमी जानते हैं, इसलिए गणना इस प्रकार है: CSA = 62.8 × 28 CSA = 1758.4 सेमी²

व्याख्या

किसी भी समांतर श्रेणी (arithmetic progression) में, जिसमें क्रमिक विषम संख्याओं की एक श्रृंखला भी शामिल है, पूरी श्रृंखला का औसत पहले और अंतिम पदों के समांतर माध्य के बराबर होता है। इस संबंध को सूत्र औसत = (a + l)/(2) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ a श्रृंखला की सबसे छोटी संख्या है और l सबसे बड़ी संख्या है।

यह देखते हुए कि आठ क्रमिक विषम संख्याओं का औसत 28 है, हम इस मान को सूत्र में रखते हैं: 28 = (a + l)/(2)

सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: a + l = 28 × 2 = 56

व्याख्या

भाजकों और उनके संबंधित शेषफलों के बीच का अंतर स्थिर है: 6 - 4 = 2, 7 - 5 = 2, और 8 - 6 = 2। जब भाजक और शेषफल के बीच का अंतर एक स्थिरांक k होता है, तो अभीष्ट संख्या N का रूप LCM(भाजक) × m - k होता है।

LCM(6, 7, 8) ज्ञात करने के लिए, हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं: 6 = 2 × 3, 7 = 7, और 8 = 2³। इस प्रकार, LCM(6, 7, 8) = 2³ × 3 × 7 = 168। चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। 9999 को 168 से विभाजित करने पर भागफल 59 और शेषफल 87 प्राप्त होता है। इसलिए, 168 का चार अंकों का सबसे बड़ा गुणज 168 × 59 = 9912 है।

उभयनिष्ठ अंतर k = 2 लागू करने पर, अभीष्ट संख्या 9912 - 2 = 9910 है। इस संख्या को जब 6, 7 और 8 से विभाजित किया जाता है, तो क्रमशः 4, 5 और 6 शेषफल बचता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि x इमारत से व्यक्ति की दूरी है, H जमीन से पोस्टर के शीर्ष तक की ऊंचाई है, और h जमीन से पोस्टर के निचले हिस्से तक की ऊंचाई (इमारत की ऊंचाई) है। पोस्टर की ऊंचाई P = H - h है।

दिया गया है कि x = 50 मीटर, शीर्ष का उन्नयन कोण ₁ = 45°, और निचले हिस्से का उन्नयन कोण ₂ = 30° है, हम त्रिकोणमितीय संबंध tan θ = ऊंचाई / आधार का उपयोग करते हैं:

H = x tan 45° = 50 × 1 = 50 मीटर

h = x tan 30° = 50 × (1)/(√(3)) = (50)/(√(3)) मीटर

पोस्टर की ऊंचाई P है: P = 50 - (50)/(√(3)) = (50√3 - 50)/√3 मीटर

हर का परिमेयकरण करने और विकल्पों से मिलाने के लिए, अंश और हर को √3 से गुणा करें: P = ((50√3 - 50) × √3)/(√3 × √3) = (50(3 - √3))/3 मीटर

प्रश्न में पोस्टर की ऊंचाई का 200% पूछा गया है, जो कि 2 × P है: P का 200% = 2 × (50(3 - √3))/3 = 100/3 (3 - √3) मीटर

व्याख्या

एक साझेदारी में, साझेदारों के बीच साझा किया जाने वाला लाभ उनके निवेश की राशि और उस समयावधि के गुणनफल के सीधे आनुपातिक होता है जिसके लिए धन का निवेश किया जाता है। इस संबंध को सूत्र लाभ = निवेश × समय द्वारा व्यक्त किया जाता है।

उनके निवेश का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करते हैं: निवेश = (लाभ)/(समय)। दिया गया है कि P और Q के लाभ का अनुपात 5 : 8 है और उनकी समयावधि का अनुपात 3 : 5 है, तो उनके निवेश के अनुपात की गणना निम्नानुसार की जाती है:

निवेश_P : निवेश_Q = लाभ_P/समय_P : लाभ_Q/समय_Q

दिए गए मानों को रखने पर:

निवेश_P : निवेश_Q = ⁵⁄₃ : ⁸⁄₅

इस अनुपात को सरल बनाने और भिन्नों को हटाने के लिए, हम दोनों पदों को हरों 3 और 5 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 15 है, से गुणा करते हैं:

निवेश_P : निवेश_Q = (⁵⁄₃ × 15) : (⁸⁄₅ × 15)

निवेश_P : निवेश_Q = (5 × 5) : (8 × 3) = 25 : 24

व्याख्या

किसी संख्या के 72 से विभाज्य होने के लिए, उसे 8 और 9 दोनों से एक साथ विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि ये 72 के सह-अभाज्य (coprime) गुणनखंड हैं। 8 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, संख्या के अंतिम तीन अंक, 38y, 8 से विभाज्य होने चाहिए। मानों का परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि 384 / 8 = 48, जिसका अर्थ है कि y = 4।

9 की विभाज्यता का नियम कहता है कि संख्या के सभी अंकों का योग 9 का एक गुणज होना चाहिए। 468x5138y के अंकों का योग 4 + 6 + 8 + x + 5 + 1 + 3 + 8 + y = 35 + x + y है। y = 4 का मान रखने पर, यह योग 35 + x + 4 = 39 + x हो जाता है। इस योग को 9 का गुणज होने के लिए, 39 से बड़ा निकटतम गुणज 45 है। इसलिए, 39 + x = 45, जिससे x = 6 प्राप्त होता है।

अंत में, दिए गए व्यंजक √(4x + 3y) में x = 6 और y = 4 का मान रखने पर, हम गणना करते हैं: √(4(6) + 3(4)) = √(24 + 12) = √(36) = 6।

व्याख्या

माना कुल कार्य 100 इकाई है, जो 25 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। इसके आधार पर, A की कार्यक्षमता 100 / 25 = 4 इकाई/दिन है, और B की कार्यक्षमता 100 / 20 = 5 इकाई/दिन है। B ने कार्य छोड़ने से पहले केवल 4 दिनों तक कार्य किया, इसलिए B द्वारा पूरा किया गया कुल कार्य 5 × 4 = 20 इकाई है। चूंकि A ने परियोजना की पूरी अवधि के लिए कार्य किया, इसलिए A ने वह सारा कार्य पूरा किया होगा जो B द्वारा नहीं किया गया था। A के लिए शेष कार्य 100 - 20 = 80 इकाई है। पूरे कार्य को समाप्त करने में लगा कुल समय इस बात से निर्धारित होता है कि A को उन 80 इकाइयों को पूरा करने में कितना समय लगा, जो कि 80 / 4 = 20 दिन है।

व्याख्या

व्यंजक 2√2 x³ - 3√3 y³, a³ - b³ के रूप में है, जहाँ a = √2x और b = √3y है। बीजीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करके, हम दिए गए व्यंजक को इस प्रकार विस्तृत कर सकते हैं:

2√2 x³ - 3√3 y³ = (√2x - √3y)((√2x)² + (√2x)(√3y) + (√3y)²) 2√2 x³ - 3√3 y³ = (√2x - √3y)(2x² + √6xy + 3y²)

इस विस्तार की तुलना दिए गए रूप (√2x - √3y)(Ax² - Bxy + Cy²) से करने पर, हम दूसरे कोष्ठक के पदों के गुणांकों की तुलना करते हैं: A = 2 -B = √6 ⟹ B = -√6 C = 3

√(A² + B² + C²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: A² + B² + C² = 2² + (-√6)² + 3² A² + B² + C² = 4 + 6 + 9 = 19

इस प्रकार, अभीष्ट मान √(19) है।

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तुओं A और B के क्रय मूल्य क्रमशः 400x और 500x हैं।

10% लाभ सहित वस्तु A का विक्रय मूल्य 400x × 1.10 = 440x के रूप में परिकलित किया जाता है। 20% लाभ सहित वस्तु B का विक्रय मूल्य 500x × 1.20 = 600x के रूप में परिकलित किया जाता है।

उनके विक्रय मूल्यों के बीच का अंतर 600x - 440x = 160x है। यह देखते हुए कि यह अंतर ₹480 है, हम समीकरण 160x = 480 स्थापित करते हैं, जिससे x = 3 प्राप्त होता है।

दोनों वस्तुओं का कुल मिलाकर क्रय मूल्य 400x + 500x = 900x है। x का मान प्रतिस्थापित करने पर, कुल क्रय मूल्य 900 × 3 = 2700 है। कुल क्रय मूल्य का 30% ज्ञात करने के लिए, हम 0.30 × 2700 = 810 की गणना करते हैं।

व्याख्या

प्रश्न के अनुसार, k * (0.3k) = k + 1.7k, जो सरल होकर 0.3k² = 2.7k हो जाता है। दोनों पक्षों को 0.3k से विभाजित करने पर (चूंकि k > 0), k = 9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एकांत वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) के अनुसार, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली स्पर्श रेखा और जीवा के बीच बना कोण, एकांत वृत्तखंड में जीवा द्वारा अंतरित कोण के बराबर होता है। बिंदु A पर स्पर्श रेखा PAQ और जीवा AB दी गई है, कोण ∠ BAQ = 70° है। इसका अर्थ है कि दीर्घ चाप पर किसी भी बिंदु S पर जीवा AB द्वारा अंतरित कोण ∠ ASB = 70° है।

चूंकि बिंदु R लघु चाप AB पर स्थित है, इसलिए शीर्ष A, S, B और R वृत्त की परिधि पर स्थित हैं, जिससे एक चक्रीय चतुर्भुज ASBR बनता है। चक्रीय चतुर्भुज का एक मूल गुण यह है कि सम्मुख कोण संपूरक होते हैं, अर्थात उनका योग 180° होता है। इसलिए, ∠ ARB के माप की गणना इस प्रकार की जा सकती है: ∠ ARB = 180° - ∠ ASB ∠ ARB = 180° - 70° = 110°

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद किसी वस्तु के अंतिम विक्रय मूल्य (SP) की गणना सूत्र SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ MP अंकित मूल्य (marked price) है और d₁, d₂ छूट प्रतिशत हैं।

दिया गया है: MP = 29600, d₁ = 48%, और d₂ = 15%, गणना इस प्रकार है:

SP = 29600 × (1 - 0.48) × (1 - 0.15) SP = 29600 × 0.52 × 0.85 SP = 29600 × 0.442 SP = 13083.2

निकटतम रुपये में पूर्णांकित करने पर, अंतिम विक्रय मूल्य 13083 रुपये है।

दी गई कुल छूट, अंकित मूल्य और अंतिम विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: छूट (Discount) = MP - SP छूट = 29600 - 13083 छूट = 16517

इस प्रकार, अंतिम विक्रय मूल्य 13083 रुपये है और कुल छूट की राशि 16517 रुपये है।

व्याख्या

दिए गए बीजगणितीय संबंध √x - (1)/(√(x)) = √3 का उपयोग क्रमिक वर्ग करके x की उच्च घातों का मान ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

सबसे पहले, हम सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:

(√x - (1)/(√(x)))² = (√3)² x + ¹⁄ₓ - 2 = 3 x + ¹⁄ₓ = 5

इसके बाद, हम सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए इस परिणाम का वर्ग करते हैं:

(x + ¹⁄ₓ)² = 5² x² + (1)/(x²) + 2 = 25 x² + (1)/(x²) = 23

अंत में, समीकरण का एक बार फिर वर्ग करने पर हमें चौथी घात वाले व्यंजक का मान प्राप्त होता है:

(x² + (1)/(x²))² = 23² x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 = 529 x⁴ + (1)/(x⁴) = 527

इस प्रक्रिया के माध्यम से, अंतिम मान 527 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है A = 10°, सबसे पहले हम व्यंजक में त्रिकोणमितीय कोणांकों के मान ज्ञात करते हैं: 3A = 3 × 10° = 30° 5A - 5° = 5 × 10° - 5° = 45° (9A)/(2) = (9 × 10°)/(2) = 45° 5A + 10° = 5 × 10° + 10° = 60°

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (12sin 30° + 5cos 45°)/(9sin 45° - 4cos 60°)

मानक मानों sin 30° = ½, cos 45° = (1)/(√(2)), sin 45° = (1)/(√(2)), और cos 60° = ½ का उपयोग करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: (12(1)/(2)) + 5((1)/(√(2))){9((1)/(√(2))) - 4(½)}

अंश और हर में पदों को सरल करने पर: (6 + 5)/(√(2)){(9)/(√(2)) - 2}

भिन्न को सरल करने के लिए, हम अंश और हर दोनों के लिए एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं: अंश: 6√2 + 5{√2} हर: 9 - 2√2{√2}

इन्हें संयोजित करने पर: {6√2 + 5{√2}}{9 - 2√2{√2}} = 6√2 + 5{9 - 2√2}

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। माना △ PQR की सबसे लंबी भुजा s₁ है और △ MNT की संगत सबसे लंबी भुजा s₂ है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(Area(△ PQR))/(Area(△ MNT)) = ((s₁)/(s₂))²

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

¹⁹⁶⁄₁₆₉ = ((28)/(s₂))²

गणना को सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

√196 / √169 = (28)/(s₂)

¹⁴⁄₁₃ = (28)/(s₂)

तिर्यक गुणन करने और s₂ के लिए हल करने पर:

14 × s₂ = 28 × 13

s₂ = (28 × 13)/(14)

s₂ = 2 × 13

s₂ = 26

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा को समद्विभाजित करने वाला रेखाखंड उस जीवा पर लंब होता है। यहाँ, OD एक त्रिज्या है जो जीवा AB को बिंदु C पर समद्विभाजित करती है। इस प्रकार, △ OCA, C पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है। त्रिज्या OA = 15 सेमी और AC की लंबाई = (AB)/(2) = ²⁴⁄₂ = 12 सेमी है।

△ OCA में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: OC² + AC² = OA² OC² + 12² = 15² OC² + 144 = 225 OC² = 81 OC = 9 सेमी

चूंकि D वृत्त पर एक बिंदु है, इसलिए OD वृत्त की त्रिज्या है, जो कि 15 सेमी है। CD की लंबाई की गणना कुल त्रिज्या OD में से OC को घटाकर की जाती है: CD = OD - OC CD = 15 - 9 = 6 सेमी