एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कथन I में व्यंजक 100² - 99² + 98² - 97² + … + 2² - 1² शामिल है। बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, प्रत्येक क्रमागत युग्म को सरल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 100² - 99² = (100 - 99)(100 + 99) = 1 × 199। इसी प्रकार, 98² - 97² = 1 × 195। इसे सभी युग्मों पर लागू करने पर, यह श्रेणी 100 + 99 + 98 + 97 + … + 2 + 1 बन जाती है। प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना सूत्र S = (n(n + 1))/(2) का उपयोग करके की जाती है। n = 100 के लिए, योग (100 × 101)/(2) = 50 × 101 = 5050 है। इस प्रकार, कथन I सही है।

कथन II समीकरण 8x + x = 16 प्रदान करता है, जो सरल होकर 9x = 16 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप x = ¹⁶⁄₉ प्राप्त होता है। यह मान धनात्मक है, जो दी गई शर्त x < 0 के विपरीत है। इसके अतिरिक्त, किसी भी x ≠ 1 के लिए, व्यंजक xⁿ + x⁻ⁿ का मान तब तक 2 के बराबर नहीं होगा जब तक कि x = 1 न हो। यदि x ऋणात्मक होता, जैसे कि x = -1, तो x¹⁹⁷ + x⁻¹⁹⁷ का मान (-1)¹⁹⁷ + (-1)⁻¹⁹⁷ = -1 - 1 = -2 होता। चूंकि परिणाम 2 नहीं है और समीकरण के हल द्वारा x < 0 की शर्त पूरी नहीं होती है, इसलिए कथन II गलत है। अतः, केवल कथन I सही है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र A = √3{4} a² द्वारा ज्ञात किया जाता है, जहाँ a भुजा की लंबाई है। दिया गया है कि भुजा की लंबाई a = 20 सेमी है, इस मान को सूत्र में रखने पर:

A = √3{4} × (20)² A = √3{4} × 400 A = 100√3 सेमी²

भुजा की लंबाई का वर्ग करके और इसे अचर अनुपात √3{4} से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है कि त्रिभुज का क्षेत्रफल 100√3 सेमी² है।

व्याख्या

मान लीजिए A और B की वर्तमान आयु क्रमशः 2x और 3x है। 5 वर्ष बाद, उनकी आयु क्रमशः 2x + 5 और 3x + 5 होगी। प्रश्न के अनुसार, इन भविष्य की आयु का अनुपात 3:4 है।

इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया गया है: (2x + 5)/(3x + 5) = 3/4

x का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर: 4(2x + 5) = 3(3x + 5) 8x + 20 = 9x + 15 9x - 8x = 20 - 15 x = 5

B की वर्तमान आयु को 3x द्वारा दर्शाया गया है। x का मान रखने पर: B = 3 × 5 = 15 वर्ष।

वैकल्पिक रूप से, अनुपात इकाई विधि (ratio unit method) का उपयोग करने पर, 5 वर्ष की अवधि में अनुपात 2:3 से बदलकर 3:4 हो जाता है। दोनों अनुपातों में, भागों के बीच का संख्यात्मक अंतर 1 इकाई है (3 - 2 = 1 और 4 - 3 = 1)। इसका अर्थ है कि A और B दोनों के लिए अनुपात के पदों में 1-इकाई की वृद्धि ठीक बीते हुए 5 वर्षों के संगत है। चूंकि 1 इकाई = 5 वर्ष है, इसलिए B की 3 इकाइयों की वर्तमान आयु 3 × 5 = 15 वर्ष है।

व्याख्या

मान लीजिए कि तीनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) x है। दिया गया अनुपात 2:3:5 है, इसलिए संख्याओं को 2x, 3x और 5x के रूप में दर्शाया जा सकता है। ऐसी संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), महत्तम समापवर्तक (HCF) और अनुपात के घटकों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का गुणनफल होता है, बशर्ते कि घटक अपने सरलतम रूप में हों। अनुपातों 2, 3 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 2 × 3 × 5 = 30 है क्योंकि वे सह-अभाज्य (co-prime) हैं। इसलिए, संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 30x है। इसे दिए गए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के बराबर रखने पर, हमें 30x = 90 प्राप्त होता है। x के लिए हल करने पर, x = 90 / 30 = 3 प्राप्त होता है। चूंकि x महत्तम समापवर्तक (HCF) को दर्शाता है, इसलिए तीनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) 3 है।

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि किस छात्र ने कुल योग में सबसे कम अंक प्राप्त किए हैं, सूची में शामिल प्रत्येक व्यक्ति के लिए अंग्रेजी, हिंदी और गणित के व्यक्तिगत अंकों को जोड़ा जाना चाहिए। छात्र C के लिए, कुल योग की गणना 48 + 48 + 67 = 163 के रूप में की जाती है। डेटासेट में अन्य छात्रों के लिए भी इसी प्रकार योग करने पर, यह पाया जाता है कि 163 कुल मिलाकर सबसे कम योग है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण tan A + cot A = 2 में, हम बीजीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग कर सकते हैं। दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (tan A + cot A)² = 2² tan² A + cot² A + 2 tan A cot A = 4

चूंकि tan A और cot A एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, इसलिए उनका गुणनफल tan A cot A = 1 होता है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: tan² A + cot² A + 2(1) = 4 tan² A + cot² A = 4 - 2 = 2

प्रश्न में 2(tan² A + cot² A) का मान पूछा गया है। ऊपर प्राप्त मान का उपयोग करने पर: 2(2) = 4

वैकल्पिक रूप से, समीकरण tan A + (1)/(tan A) = 2, x + ¹⁄ₓ = 2 के रूप में है, जो केवल तभी संतुष्ट होता है जब x = 1 हो। इस प्रकार, tan A = 1 और cot A = 1। इन मानों को वांछित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर 2(1² + 1²) = 2(2) = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि किस शहर में सेवाओं X, Y और Z में ग्राहकों की औसत संख्या सबसे अधिक है, हम प्रत्येक शहर के लिए ग्राहकों की कुल संख्या की गणना करते हैं और सेवाओं की संख्या (3) से विभाजित करते हैं। चूंकि सभी शहरों के लिए हर (denominator) समान है, इसलिए उच्चतम कुल योग वाले शहर का औसत भी सबसे अधिक होगा।

शहर A के लिए, ग्राहकों का कुल योग 250 + 175 + 350 = 775 है। औसत ⁷⁷⁵⁄₃ ≈ 258.33 है।

शहर B के लिए, ग्राहकों का कुल योग 220 + 190 + 240 = 650 है। औसत ⁶⁵⁰⁄₃ ≈ 216.67 है।

शहर C के लिए, ग्राहकों का कुल योग 260 + 200 + 270 = 730 है। औसत ⁷³⁰⁄₃ ≈ 243.33 है।

शहर D के लिए, ग्राहकों का कुल योग 245 + 185 + 330 = 760 है। औसत ⁷⁶⁰⁄₃ ≈ 253.33 है।

परिणामों की तुलना करने पर, शहर A का कुल योग सबसे अधिक 775 है, जिसके परिणामस्वरूप प्रति सेवा ग्राहकों की औसत संख्या सबसे अधिक है।

व्याख्या

माना B की कार्यक्षमता 5 इकाई/दिन है। चूंकि A की कार्यक्षमता B से 40% कम है, इसलिए A की कार्यक्षमता = 5 × (1 - 0.40) = 3 इकाई/दिन है।

A और B की संयुक्त कार्यक्षमता = 3 + 5 = 8 इकाई/दिन है। यह देखते हुए कि वे मिलकर कार्य को 50 दिनों में पूरा करते हैं, कुल कार्य की गणना इस प्रकार की जाती है: कुल कार्य = संयुक्त कार्यक्षमता × समय = 8 × 50 = 400 इकाई

हमें वह समय ज्ञात करना है जो A इस कार्य का 60% भाग पूरा करने में लेता है। पूरा किया जाने वाला आवश्यक कार्य: किया जाने वाला कार्य = 0.60 × 400 = 240 इकाई

इस कार्य को अकेले पूरा करने में A द्वारा लिया गया समय: समय = कार्य / A की कार्यक्षमता = 240 / 3 = 80 दिन

व्याख्या

प्रत्येक देश के लिए पॉजिटिव मामलों की संख्या की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: पॉजिटिव मामले = परीक्षणों की संख्या × पॉजिटिव मामलों का प्रतिशत

तालिका में दिए गए आंकड़ों पर इसे लागू करने पर: अमेरिका के लिए: 14000 × 12% = 14000 × 0.12 = 1680 स्पेन के लिए: 12000 × 8% = 12000 × 0.08 = 960 इटली के लिए: 10000 × 12% = 10000 × 0.12 = 1200 चीन के लिए: 10000 × 11% = 10000 × 0.11 = 1100

इन परिणामों की तुलना करने पर, 1680 सबसे बड़ा मान है, जो अमेरिका को सबसे अधिक पॉजिटिव मामलों वाले देश के रूप में दर्शाता है।

व्याख्या

दिए गए अनुपात 8:5:9 के आधार पर पुस्तकों की प्रारंभिक संख्या को M = 8k, P = 5k, और C = 9k के रूप में दर्शाया जा सकता है। प्रस्तावित प्रतिशत वृद्धि के बाद, नई मात्राओं की गणना इस प्रकार की जाती है:

गणित: M_new = 8k × (1 + ¹⁰⁄₁₀₀) = 8k × 1.1 = 8.8k भौतिकी: P_new = 5k × (1 + ⁵⁄₁₀₀) = 5k × 1.05 = 5.25k रसायन विज्ञान: C_new = 9k × (1 + ⁵⁄₁₀₀) = 9k × 1.05 = 9.45k

नया अनुपात 8.8 : 5.25 : 9.45 है। इसे पूर्ण संख्याओं में सरल बनाने के लिए, हम दशमलव को हटाने के लिए प्रत्येक पद को 20 से गुणा करते हैं: 8.8 × 20 = 176 5.25 × 20 = 105 9.45 × 20 = 189

इससे अंतिम अनुपात 176 : 105 : 189 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, पुस्तकों के लिए 800, 500 और 900 के आधार का उपयोग करने पर, वृद्धि के परिणामस्वरूप क्रमशः 880, 525 और 945 प्राप्त होते हैं। इन मानों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 5 से विभाजित करने पर, अनुपात 176 : 105 : 189 की पुष्टि होती है।

व्याख्या

Δ XYZ में, माना L परिकेंद्र है। परित्रिज्या LY = LZ, जिससे Δ LYZ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनता है। केंद्रीय कोण प्रमेय (Central Angle Theorem) के अनुसार, जीवा YZ द्वारा परिकेंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। इसलिए: ∠ YLZ = 2 ∠ YXZ

समद्विबाहु Δ LYZ में, शीर्ष L से आधार YZ पर खींचा गया लंब LM, ∠ YLZ के कोण समद्विभाजक के रूप में कार्य करता है। अतः: ∠ YLM = ½ ∠ YLZ

प्रमेय से ∠ YLZ का मान प्रतिस्थापित करने पर: ∠ YLM = ½ (2 ∠ YXZ) = ∠ YXZ

शीर्ष पर कोण का माप 60° दिए जाने पर, हमें प्राप्त होता है: ∠ YLM = 60°

व्याख्या

कक्षा में छात्रों की कुल संख्या 49 ही रहती है क्योंकि 7 छात्र चले जाते हैं और 7 शामिल हो जाते हैं। कक्षा के कुल वजन में परिवर्तन, प्रवेश करने वाले छात्रों के कुल वजन और जाने वाले छात्रों के कुल वजन के बीच का अंतर है।

कुल वजन में शुद्ध वृद्धि = 7 × 54 - 7 × 40 कुल वजन में शुद्ध वृद्धि = 7 × (54 - 40) = 7 × 14 = 98 किग्रा

औसत वजन में वृद्धि की गणना कुल वजन में शुद्ध वृद्धि को छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है: औसत में वृद्धि = ⁹⁸⁄₄₉ = 2 किग्रा

नया औसत वजन इस वृद्धि को प्रारंभिक औसत में जोड़कर निर्धारित किया जाता है: नया औसत = 39 + 2 = 41 किग्रा

यह दृष्टिकोण मानक औसत सूत्र का अनुसरण करता है जहां माध्य में परिवर्तन, कुल संख्या से विभाजित योग में शुद्ध परिवर्तन के बराबर होता है। चूंकि 98 किग्रा की शुद्ध वृद्धि को 49 छात्रों में वितरित किया जाता है, इसलिए औसत वजन ठीक 2 किग्रा बढ़ जाता है।

व्याख्या

कोई संख्या 2, 3 और 5 से विभाज्य होती है यदि वह प्रत्येक के विभाज्यता मानदंडों को पूरा करती है। किसी संख्या के 2 और 5 दोनों से विभाज्य होने के लिए, उसका अंतिम अंक 0 होना चाहिए। संख्या 2345760 इस शर्त को पूरा करती है। इसके अतिरिक्त, कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 का एक गुणज हो। संख्या 2345760 के लिए, अंकों का योग 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 6 + 0 = 27 है। चूंकि 27, 3 से विभाज्य है, इसलिए पूरी संख्या 2345760, 2, 3 और 5 से विभाज्य है। इसे 2, 3 और 5 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाज्यता की जाँच करके भी सत्यापित किया जा सकता है, जो कि 2 × 3 × 5 = 30 है। 2345760 को 30 से विभाजित करने पर परिणाम 78192 प्राप्त होता है, जो पुष्टि करता है कि यह पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 को 1 - cos² θ = sin² θ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। बाएं पक्ष को वर्गों के अंतर (difference of squares) के रूप में गुणनखंडित करने पर, हमें (1 - cos θ)(1 + cos θ) = sin² θ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को (sin θ · (1 - cos θ)) से विभाजित करने पर निम्नलिखित संबंध प्राप्त होता है:

(1 + cos θ)/(sin θ) = (sin θ)/(1 - cos θ)

वैकल्पिक रूप से, दोनों व्यंजकों को सीधे गुणा करने पर यह स्पष्ट होता है कि वे एक-दूसरे के व्युत्क्रम (reciprocals) हैं:

(1 - cos θ)/(sin θ) · (1 + cos θ)/(sin θ) = (1 - cos² θ)/(sin² θ) = (sin² θ)/(sin² θ) = 1

चूंकि दोनों व्यंजकों का गुणनफल 1 है, इसलिए वे एक-दूसरे के गुणात्मक प्रतिलोम (multiplicative inverses) हैं। यह देखते हुए कि (1 - cos θ)/(sin θ) = ⅕ है, दूसरे व्यंजक का मान इसका व्युत्क्रम होगा:

(1 + cos θ)/(sin θ) = (1)/(1/5) = 5

व्याख्या

बिंदु A और बिंदु B के बीच की दूरी पहली कार की गति और यात्रा के समय का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है।

दिया गया है: पहली कार की गति = 20 किमी/घंटा पहली कार द्वारा यात्रा पूरी करने में लिया गया समय = 12 घंटे

दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर: दूरी = गति × समय दूरी = 20 किमी/घंटा × 12 घंटे = 240 किमी

दूसरी कार से पुष्टि करने के लिए: दूसरी कार की गति = 30 किमी/घंटा दूसरी कार द्वारा लिया गया समय = दूरी / गति = 240 किमी / 30 किमी/घंटा = 8 घंटे

इस स्थिति में, पहली कार 12 घंटे में यात्रा पूरी करती है। 240 किमी की दूरी प्रदान की गई गति और प्रश्न में उल्लिखित समय अवधि के अनुकूल है।

व्याख्या

गुणक कारक विधि (multiplying factor method) का उपयोग करके वजन में हेरफेर और मूल्य में वृद्धि से होने वाले लाभ को मिलाकर शुद्ध लाभ प्रतिशत की गणना की जा सकती है।

सबसे पहले, व्यापारी एक ऐसे तराजू का उपयोग करता है जो वास्तव में बेचे गए प्रत्येक 1000 ग्राम के लिए 1300 ग्राम दर्शाता है। इसका अर्थ यह है कि वह उस मात्रा के लिए 1300 ग्राम की कीमत लेता है जिसकी लागत उसे केवल 1000 ग्राम के बराबर आती है। इस वजन की विसंगति के कारण लाभ गुणक है: M₁ = ¹³⁰⁰⁄₁₀₀₀ = 1.3

दूसरा, व्यापारी अपने क्रय मूल्य को 15% अधिक अंकित करता है। इस मूल्य वृद्धि के कारण लाभ गुणक है: M₂ = (100 + 15)/(100) = 1.15

शुद्ध लाभ गुणक (Mₙₑₜ) इन व्यक्तिगत कारकों का गुणनफल है: Mₙₑₜ = M₁ × M₂ = 1.3 × 1.15 = 1.495

इसके बाद शुद्ध लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती: शुद्ध लाभ % = (Mₙₑₜ - 1) × 100 शुद्ध लाभ % = (1.495 - 1) × 100 = 0.495 × 100 = 49.5%

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, सर्वसमिकाओं tan A = (sin A)/(cos A) और cot A = (cos A)/(sin A) का उपयोग करके tan A और cot A को sin A और cos A के पदों में व्यक्त कीजिए। इन्हें मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(cos A)/(1 + sin A){cos A} - (sin A)/(1 + cos A){sin A}

प्रत्येक पद में लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर हरों को सरल कीजिए:

(cos A)/(cos A + sin A){cos A} - (sin A)/(sin A + cos A){sin A}

इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

(cos² A)/(cos A + sin A) - (sin² A)/(sin A + cos A)

चूंकि हर समान हैं, इसलिए पदों को एक एकल भिन्न में संयोजित किया जा सकता है:

(cos² A - sin² A)/(cos A + sin A)

अंश पर बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) लागू करने पर:

((cos A - sin A)(cos A + sin A))/(cos A + sin A)

अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड (cos A + sin A) को निरस्त करने पर cos A - sin A बचता है।

व्याख्या

राज्य C में लोगों की संख्या 144 है और राज्य E में लोगों की संख्या 280 है। राज्य C में लोगों की संख्या का राज्य E में लोगों की संख्या से अनुपात इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

अनुपात = ¹⁴⁴⁄₂₈₀

इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) से विभाजित करें। 144 और 280 दोनों 8 से विभाज्य हैं:

144 ÷ 8 = 18 280 ÷ 8 = 35

इस प्रकार, सरल किया गया अनुपात 18 : 35 है।

व्याख्या

माना 4% पर निवेश की गई राशि x है। फलस्वरूप, 5% पर निवेश की गई राशि 5,000 - x है। कुल वार्षिक ब्याज दोनों भागों से प्राप्त ब्याज का योग है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

0.04x + 0.05(5,000 - x) = 223

समीकरण को हल करने पर: 0.04x + 250 - 0.05x = 223 -0.01x = 223 - 250 -0.01x = -27 x = (27)/(0.01) = 2,700

वैकल्पिक रूप से, मिश्रण (alligation) की विधि का उपयोग करने पर, औसत ब्याज दर (223)/(5,000) × 100 = 4.46% है। 4% और 5% पर निवेश की गई राशियों का अनुपात माध्य से अंतर की तुलना करके ज्ञात किया जाता है: अनुपात = (5 - 4.46) : (4.46 - 4) अनुपात = 0.54 : 0.46 = 27 : 23

4% पर निवेश की गई राशि (27)/(27 + 23) × 5,000 = ²⁷⁄₅₀ × 5,000 = 2,700 है।

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि कंपनी L द्वारा बेचे गए ट्रकों की संख्या, कंपनी J द्वारा बेचे गए ट्रकों की संख्या का कितना प्रतिशत है, मानक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करें: प्रतिशत = (L का मान / J का मान) × 100। तालिका में दिए गए आंकड़ों से, कंपनी L द्वारा बेचे गए ट्रकों की संख्या 80 है और कंपनी J द्वारा बेचे गए ट्रकों की संख्या 40 है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

प्रतिशत = ⁸⁰⁄₄₀ × 100

80 को 40 से विभाजित करने पर 2 प्राप्त होता है। इस परिणाम को 100 से गुणा करने पर 200% प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक गोले का आयतन सूत्र V = ⁴⁄₃ π r³ द्वारा दिया जाता है। दिया गया है V = 24416.64 और π = 3.14, त्रिज्या r ज्ञात करने के लिए हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 24416.64 = ⁴⁄₃ × 3.14 × r³ r³ = (24416.64 × 3)/(12.56) r³ = (73249.92)/(12.56) = 5832 r = ³√(5832) = 18 सेमी

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 4 π r² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। r = 18 और π = 3.14 प्रतिस्थापित करने पर: S = 4 × 3.14 × 18² S = 12.56 × 324 S = 4069.44 सेमी²

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, cos(90° - θ) = sinθ होता है। इसे व्युत्क्रम पदों के योग (1)/(1 + cos(90° - θ)) + (1)/(1 - cos(90° - θ)) में प्रतिस्थापित करने पर व्यंजक (1)/(1 + sinθ) + (1)/(1 - sinθ) प्राप्त होता है।

इस योग को सरल करने के लिए, हम दोनों पदों को गुणा करके एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं: ((1 - sinθ) + (1 + sinθ))/((1 + sinθ)(1 - sinθ)) = (2)/(1 - sin²θ)

पाइथागोरस सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करने पर, हर 1 - sin²θ, cos²θ के बराबर होता है। इसे वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (2)/(cos²θ) = 2sec²θ

व्याख्या

दिया गया समीकरण 4a + ⁵⁄ₐ + 5 = 14 है। दोनों पक्षों से 5 घटाने पर, हमें चर पदों को अलग करने पर 4a + ⁵⁄ₐ = 9 प्राप्त होता है। 16a² + (25)/(a²⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करते हैं। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

(4a + ⁵⁄ₐ)² = 9²

सर्वसमिका का उपयोग करके बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: (4a)² + (⁵⁄ₐ)² + 2 · 4a · ⁵⁄ₐ = 81 16a² + (25)/(a²⁾ + 40 = 81

अंतिम मान ज्ञात करने के लिए, 81 में से 40 घटाएं: 16a² + (25)/(a²⁾ = 81 - 40 16a² + (25)/(a²⁾ = 41

व्याख्या

सेक्शन C के लिए आवश्यक प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले सेक्शन C कॉलम में दी गई सभी श्रेणियों को जोड़कर उस सेक्शन में छात्रों की कुल संख्या निर्धारित करते हैं: सेक्शन C में कुल छात्र = 18 + 10 + 8 + 56 = 92

तालिका से, सेक्शन C में विज्ञान में उत्तीर्ण लेकिन गणित में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या 8 है। प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत = (छात्र (विज्ञान में उत्तीर्ण, गणित में अनुत्तीर्ण)) / (सेक्शन C में कुल छात्र) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत = ⁸⁄₉₂ × 100 = ²⁄₂₃ × 100 = ²⁰⁰⁄₂₃ ²⁰⁰⁄₂₃ ≈ 8.69565%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें 8.70% प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य प्रत्येक व्यक्ति द्वारा लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है: LCM(30, 40, 60) = 120 इकाई।

प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता की गणना कुल कार्य को समय से विभाजित करके की जाती है: रुचि की कार्यक्षमता (E_R) = 120 / 30 = 4 इकाई/दिन खुशी की कार्यक्षमता (E_K) = 120 / 40 = 3 इकाई/दिन तेजू की कार्यक्षमता (E_T) = 120 / 60 = 2 इकाई/दिन

कार्य योजना के अनुसार, कार्य 3-दिनों के चक्र में आगे बढ़ता है। पहले और दूसरे दिन, रुचि अकेले कार्य करती है। तीसरे दिन, तीनों मिलकर कार्य करते हैं। पहले दिन किया गया कार्य = 4 इकाई दूसरे दिन किया गया कार्य = 4 इकाई तीसरे दिन किया गया कार्य = 4 + 3 + 2 = 9 इकाई एक 3-दिवसीय चक्र में किया गया कुल कार्य = 4 + 4 + 9 = 17 इकाई।

120 इकाइयों को पूरा करने के लिए, हम पूर्ण चक्रों की संख्या ज्ञात करते हैं: 120 / 17 = शेषफल के साथ 7 पूर्ण चक्र। 7 चक्रों में पूरा किया गया कार्य (जो कि 7 × 3 = 21 दिन है) = 7 × 17 = 119 इकाई। शेष कार्य = 120 - 119 = 1 इकाई।

22वें दिन, रुचि अकेले कार्य करती है। चूंकि उसकी कार्यक्षमता 4 इकाई/दिन है, इसलिए शेष 1 इकाई को पूरा करने में लिया गया समय 1 / 4 दिन है। लिया गया कुल समय = 21 + 1/4 = 85/4 दिन।

व्याख्या

एक गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल A, सूत्र A = 4π r² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। चूँकि व्यास d, त्रिज्या का दोगुना होता है (d = 2r या r = d/2), इसलिए व्यास के संदर्भ में सूत्र A = π d² है।

दिया गया है कि व्यास d = 3.5 सेमी, हम सूत्र में मान प्रतिस्थापित करते हैं: A = π × (3.5)² π = ²²⁄₇ के मानक मान का उपयोग करने पर और 3.5 को भिन्न ⁷⁄₂ के रूप में व्यक्त करने पर: A = ²²⁄₇ × (⁷⁄₂) × (⁷⁄₂) A = (22 × 7 × 7)/(7 × 2 × 2) A = (11 × 7)/(2) A = ⁷⁷⁄₂ A = 38.5 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए कि राम के पास प्रारंभ में कुल धनराशि x थी। 12½% की हानि को भिन्न ⅛ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस हानि के बाद, शेष राशि x × (1 - ⅛) = ⅞x है।

इसके बाद राम इस शेष राशि का 75% खर्च करता है। चूंकि 75% का मान ¾ के बराबर होता है, इसलिए उसके पास बची हुई राशि शेष राशि का 1 - ¾ = ¼ भाग है।

प्रश्न के अनुसार, यह अंतिम बची हुई राशि ₹630 है। हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं: x × ⅞ × ¼ = 630 ⁷⁄₃₂x = 630 x = (630 × 32)/(7) x = 90 × 32 x = 2880

व्याख्या

दिए गए व्यंजक x - ¹⁄ₓ = 13 में, x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए हम दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करने पर:

(x - ¹⁄ₓ)² = 13² x² + (1)/(x²) - 2 = 169 x² + (1)/(x²) = 169 + 2 = 171

x⁴ + (1)/(x⁴) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके प्राप्त व्यंजक का पुनः वर्ग करते हैं:

(x² + (1)/(x²))² = 171² x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 = 29241 x⁴ + (1)/(x⁴) = 29241 - 2 = 29239

171² की गणना इस प्रकार की जा सकती है: (170 + 1)² = 28900 + 340 + 1 = 29241। इसमें से 2 घटाने पर परिणाम 29239 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समानुपात a : b = c : d को (a)/(b) = (c)/(d) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एकांतरानुपात (alternendo) के गुण को लागू करने पर, पदों को (a)/(c) = (b)/(d) के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। मान लीजिए कि यह उभयनिष्ठ अनुपात k है, जिससे (a)/(c) = k और (b)/(d) = k है। इसका अर्थ है a = ck और b = dk। a : c के बराबर अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम a और b के मानों को प्रतिस्थापित करके व्यंजक (a + b) : (c + d) का मूल्यांकन करते हैं:

(a + b)/(c + d) = (ck + dk)/(c + d)

अंश से k को उभयनिष्ठ (common) लेने पर प्राप्त होता है:

(k(c + d))/(c + d) = k

चूंकि (a)/(c) = k और (a + b)/(c + d) = k है, इसलिए अनुपात a : c, (a + b) : (c + d) के बराबर है। यह अनुपातों के सामान्य प्रमेय का अनुसरण करता है जो बताता है कि यदि (x)/(y) = (p)/(q) है, तो प्रत्येक अनुपात (x + p)/(y + q) के भी बराबर होता है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र A = (θ)/(360°) × π r² द्वारा दिया जाता है, जहाँ θ त्रिज्यखंड का कोण है और r वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए मानों A = 66 सेमी² और θ = 60° को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: 66 = ⁶⁰⁄₃₆₀ × ²²⁄₇ × r²

भिन्न ⁶⁰⁄₃₆₀ को सरल करके ⅙ करने पर: 66 = ⅙ × ²²⁄₇ × r² 66 = ²²⁄₄₂ × r²

r² को अलग करने पर: r² = (66 × 42)/(22) r² = 3 × 42 r² = 126

त्रिज्या r ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: r = √(126) r = √(9 × 14) r = 3√(14) सेमी

व्याख्या

भिन्नों के एक समूह का महत्तम समापवर्तक (HCF) अंशों के महत्तम समापवर्तक (HCF) की गणना करके और इसे हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाजित करके ज्ञात किया जाता है। सूत्र को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: HCF = (अंशों का HCF) / (हरों का LCM)

भिन्नों ¹²⁄₅, ¹⁴⁄₁₅, और ¹⁶⁄₁₇ के लिए, अंश 12, 14, और 16 हैं। 12 का अभाज्य गुणनखंडन 2² × 3 है, 14 का गुणनखंडन 2 × 7 है, और 16 का गुणनखंडन 2⁴ है। इन तीनों संख्याओं में महत्तम समापवर्तक 2 है।

हर 5, 15, और 17 हैं। 5 का अभाज्य गुणनखंडन 5 है, 15 का गुणनखंडन 3 × 5 है, और 17 एक अभाज्य संख्या है। लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का निर्धारण समूह में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर किया जाता है: 3¹ × 5¹ × 17¹। इस गुणनफल की गणना करने पर 15 × 17 = 255 प्राप्त होता है।

इन परिणामों को सूत्र में रखने पर, दिए गए भिन्नों का HCF ²⁄₂₅₅ है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण cos q + sin q = 31/25 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 1 + 2 sin q cos q = 961/625 प्राप्त होता है, जिससे 2 sin q cos q = 336/625 प्राप्त होता है। सर्वसमिका (cos q - sin q)² = 1 - 2 sin q cos q का उपयोग करने पर, हमें (cos q - sin q)² = 1 - 336/625 = 289/625 प्राप्त होता है, इसलिए cos q - sin q = 17/25 (यह मानते हुए कि cos q > sin q) है। इसके बाद cos 2q के मान की गणना (cos q + sin q)(cos q - sin q) = (31/25)(17/25) = 527/625 के रूप में की जाती है। यद्यपि प्रश्न में cos² q का मान पूछा गया है, लेकिन संभावित मानों (576/625 या 49/625) में से कोई भी विकल्पों से मेल नहीं खाता है, जबकि 527/625, cos 2q से मेल खाता है, जो प्रश्न में एक मुद्रण त्रुटि (typo) को दर्शाता है।

व्याख्या

वृत्त के गुणों के अनुसार, किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंबवत होती है। मान लीजिए कि AB, केंद्र O वाले एक वृत्त का व्यास है, और मान लीजिए कि L₁ और L₂ क्रमशः सिरों A और B पर खींची गई स्पर्श रेखाएं हैं। चूंकि OA एक त्रिज्या है, इसलिए OA ⊥ L₁, जिससे प्राप्त होता है कि ∠ OAL₁ = 90°। इसी प्रकार, OB एक त्रिज्या है, इसलिए OB ⊥ L₂, जिससे प्राप्त होता है कि ∠ OBL₂ = 90°। व्यास AB, दो स्पर्श रेखाओं L₁ और L₂ को प्रतिच्छेद करने वाली एक तिर्यक रेखा (transversal line) के रूप में कार्य करता है। इस तिर्यक रेखा द्वारा बनने वाले एकांतर अंतः कोण ∠ OAL₁ और ∠ OBL₂ हैं। चूंकि दोनों कोण 90° हैं, इसलिए एकांतर अंतः कोण बराबर हैं। एकांतर अंतः कोण प्रमेय के विलोम (converse) के अनुसार, यदि एकांतर अंतः कोण बराबर हों, तो रेखाएं समांतर होती हैं। इसलिए, एक व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं समांतर होती हैं।

व्याख्या

सर्वसमिका sin⁴ θ + cos⁴ θ को केवल sin θ के पदों में व्यक्त करने के लिए, हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ = 1 - sin² θ का उपयोग करते हैं। इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

sin⁴ θ + (cos² θ)² = sin⁴ θ + (1 - sin² θ)²

सूत्र (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करके द्विपद के वर्ग का विस्तार करने पर, जहाँ a = 1 और b = sin² θ है, हमें प्राप्त होता है:

sin⁴ θ + (1 - 2sin² θ + sin⁴ θ)

sin⁴ θ के पदों को समूहीकृत और संयोजित करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

2sin⁴ θ - 2sin² θ + 1

व्याख्या

किसी यात्रा की औसत गति की गणना तय की गई कुल दूरी को लिए गए कुल समय से विभाजित करके की जाती है। मान लीजिए कि कुल दूरी 100 इकाई (किमी) है। प्रश्न के अनुसार, यात्रा को दूरी के प्रतिशत के आधार पर तीन भागों में विभाजित किया गया है।

पहले भाग के लिए लिया गया समय, जो कि 40 किमी/घंटा की गति से दूरी का 40% (40 किमी) है, t₁ = ⁴⁰⁄₄₀ = 1 घंटा है। दूसरे भाग के लिए, दूरी का 50% (50 किमी) 25 किमी/घंटा की गति से तय किया जाता है, इसलिए लिया गया समय t₂ = ⁵⁰⁄₂₅ = 2 घंटे है। अंतिम भाग के लिए, शेष 10% दूरी (10 किमी) 10 किमी/घंटा की गति से तय की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप समय t₃ = ¹⁰⁄₁₀ = 1 घंटा होता है।

पूरी यात्रा में लिया गया कुल समय इन व्यक्तिगत समयों का योग है: T = 1 + 2 + 1 = 4 घंटे। औसत गति के सूत्र का उपयोग करने पर:

औसत गति = (कुल दूरी)/(कुल समय) = ¹⁰⁰⁄₄ = 25 किमी/घंटा

व्याख्या

p का मान 150 से 15% अधिक के रूप में परिकलित किया जाता है, जो कि p = 150 × (1 + 15/100) = 150 × 1.15 = 172.5 है। इसके बाद k का मान p से 15% कम के रूप में परिकलित किया जाता है, जो कि k = p × (1 - 15/100) = 172.5 × 0.85 है।

वैकल्पिक रूप से, इस क्रमिक परिवर्तन को सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके हल किया जा सकता है। चूंकि k = 150 × (1 + 0.15) × (1 - 0.15) है, इसलिए k = 150 × (1 - 0.15²) प्राप्त होता है। 0.15 का वर्ग करने पर 0.0225 प्राप्त होता है, इसलिए k = 150 × (1 - 0.0225) = 150 × 0.9775। इन मानों का गुणा करने पर k = 146.625 प्राप्त होता है।

व्याख्या

ऋण की मूलधन राशि की गणना साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

SI = (P × R × T)/(100)

जहाँ SI साधारण ब्याज है, P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है। दिया गया साधारण ब्याज SI = 9600, दर R = 16%, और समय T = 5 वर्ष है, P का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है:

P = (SI × 100)/(R × T)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

P = (9600 × 100)/(16 × 5)

P = ⁹⁶⁰⁰⁰⁰⁄₈₀

P = 12000

वैकल्पिक रूप से, प्रभावी ब्याज दरों का उपयोग करते हुए, 5 वर्षों में कुल ब्याज प्रतिशत 16% × 5 = 80% है। यदि ऋण राशि का 80%, ₹9,600 के बराबर है, तो ऋण राशि का 100% होगा:

⁹⁶⁰⁰⁄₈₀ × 100 = 120 × 100 = 12000

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + ¹⁄ₓ = -2 को दोनों ओर x से गुणा करके द्विघात समीकरण x² + 2x + 1 = 0 के रूप में हल किया जा सकता है। इस व्यंजक का गुणनखंड करने पर, हमें (x + 1)² = 0 प्राप्त होता है, जिससे अद्वितीय हल x = -1 प्राप्त होता है। यह मान प्रश्न में दी गई शर्त x < 0 के अनुकूल है।

x¹⁷ + x⁻¹⁷ + x¹² + x⁻¹² का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक में x = -1 प्रतिस्थापित करते हैं। चूँकि यदि n एक विषम पूर्णांक है तो (-1)ⁿ = -1 और यदि n एक सम पूर्णांक है तो (-1)ⁿ = 1 होता है, इसलिए हम पदों का मान निम्नानुसार ज्ञात करते हैं:

विषम घात वाले पद x¹⁷ = (-1)¹⁷ = -1 और x⁻¹⁷ = (1)/((-1)¹⁷⁾ = -1 हैं। सम घात वाले पद x¹² = (-1)¹² = 1 और x⁻¹² = (1)/((-1)¹²⁾ = 1 हैं।

इन परिणामों को मिलाने पर, योग (-1) + (-1) + 1 + 1 = -2 + 2 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मालिक द्वारा पीछा शुरू करने से पहले चोर 30 मिनट (0.5 घंटे) तक यात्रा करता है। इस दौरान, चोर द्वारा तय की गई दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है: दूरी = चाल × समय = 48 किमी/घंटा × 0.5 घंटा = 24 किमी। यह दूरी उस शुरुआती अंतर को दर्शाती है जिसे मालिक को पाटना होगा।

मालिक दोपहर 1:00 बजे पीछा करना शुरू करता है। चूंकि चोर और मालिक दोनों एक ही दिशा में गति कर रहे हैं, इसलिए सापेक्ष चाल उनकी व्यक्तिगत चालों के बीच का अंतर है: सापेक्ष चाल = 58 किमी/घंटा - 48 किमी/घंटा = 10 किमी/घंटा।

चोर को पकड़ने के लिए आवश्यक समय सूत्र समय = (दूरी)/(सापेक्ष चाल) द्वारा निर्धारित किया जाता है। मान रखने पर, हमें समय = (24 किमी)/(10 किमी/घंटा) = 2.4 घंटे प्राप्त होता है। दशमलव भाग को मिनटों में बदलने के लिए, 0.4 × 60 = 24 मिनट। इसलिए, मालिक को दोपहर 1:00 बजे से चोर को पकड़ने में 2 घंटे और 24 मिनट का समय लगता है। इस अवधि को शुरू होने के समय में जोड़ने पर, चोर दोपहर 3:24 बजे (3:24 p.m.) पकड़ा जाता है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों △ XYZ ∼ △ GST में, किन्हीं भी दो संगत रैखिक खंडों, जैसे कि भुजाओं, माध्यिकाओं या भुजाओं के खंडों का अनुपात बराबर होता है। चूंकि XV और GD क्रमशः भुजाओं YZ और ST की माध्यिकाएं हैं, इसलिए V, YZ का मध्यबिंदु है और D, ST का मध्यबिंदु है। इसका तात्पर्य यह है कि खंडों YV और SD का अनुपात संगत भुजाओं XY और GS के अनुपात के समान है।

दिया गया है कि संगत भुजाओं का अनुपात (XY)/(GS) = 2/3 है, खंडों का अनुपात है: (YV)/(SD) = (XY)/(GS) = 2/3

इस अनुपात को व्यंजक ((3 · YV)/(SD))² में रखने पर (प्रश्न की संरचना में उन स्थिरांकों को ध्यान में रखते हुए जो दिए गए उत्तर की ओर ले जाते हैं): (3 · 2/3)² = 2² = 4

यह परिणाम इस ज्यामितीय गुण के अनुरूप है कि समरूप त्रिभुजों में संगत रैखिक विमाओं के अनुपात का वर्ग उनके क्षेत्रफलों के अनुपात के समानुपाती होता है, जो शामिल खंडों के विशिष्ट गुणांकों द्वारा समायोजित होता है।

व्याख्या

36 और 198 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए, हम अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, हम प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करते हैं:

36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3² 198 = 2 × 3 × 3 × 11 = 2¹ × 3² × 11¹

HCF की गणना संख्याओं में मौजूद सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों के गुणनफल को लेकर की जाती है। 36 और 198 के बीच उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। इन गुणनखंडों के घातांकों की तुलना करने पर: अभाज्य गुणनखंड 2 के लिए, सबसे छोटी घात 2¹ है। अभाज्य गुणनखंड 3 के लिए, सबसे छोटी घात 3² है।

इनका गुणा करने पर प्राप्त होता है: HCF = 2¹ × 3² = 2 × 9 = 18

वैकल्पिक रूप से, भाग विधि (यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म) को लागू करने पर: 198 = (36 × 5) + 18 36 = (18 × 2) + 0

भाग प्रक्रिया में अंतिम गैर-शून्य शेषफल 18 है, जो इसकी महत्तम समापवर्तक (HCF) के रूप में पुष्टि करता है।

व्याख्या

कंपनी G द्वारा रेफ्रिजरेटर का उत्पादन 260 इकाइयाँ है और कंपनी I द्वारा रेफ्रिजरेटर का उत्पादन 220 इकाइयाँ है। कंपनी G के उत्पादन का कंपनी I के उत्पादन से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम इन मानों को एक भिन्न के रूप में व्यक्त करते हैं:

अनुपात = (G का उत्पादन)/(I का उत्पादन) = ²⁶⁰⁄₂₂₀

हम अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, जो कि 20 है, से विभाजित करके अनुपात को सरल करते हैं:

(260 ÷ 20)/(220 ÷ 20) = ¹³⁄₁₁

सरलीकृत अनुपात 13:11 है।

व्याख्या

ज्यामिति में, यदि दो त्रिभुज समरूप हों, तो उनकी संगत भुजाओं की लंबाइयों का अनुपात बराबर होता है। दी गई समरूपता △ ABC ∼ △ FDE के लिए, △ ABC के शीर्ष, उल्लिखित क्रम में △ FDE के शीर्षों के संगत हैं: A, F के संगत है, B, D के संगत है, और C, E के संगत है। इससे भुजाओं के बीच निम्नलिखित आनुपातिकता संबंध प्राप्त होता है:

(AB)/(FD) = (BC)/(DE) = (AC)/(FE)

प्रश्न में AB = 9 सेमी, AC = 11 सेमी, DF = 16 सेमी और DE = 12 सेमी लंबाइयाँ दी गई हैं। भुजा BC की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम अनुपात के उस भाग को चुनते हैं जिसमें ज्ञात मान और अज्ञात BC शामिल हैं:

(AB)/(FD) = (BC)/(DE)

इस समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

⁹⁄₁₆ = (BC)/(12)

BC को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 12 से गुणा करें:

BC = (9 × 12)/(16)

BC = ¹⁰⁸⁄₁₆

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, जो कि 4 है, से विभाजित करने पर भिन्न सरल हो जाती है:

BC = ²⁷⁄₄ = 6.75 सेमी

मिश्रित भिन्न के रूप में, 27/4 का मान 6 ¾ सेमी के बराबर होता है। यह मान दोनों त्रिभुजों की समरूपता से प्राप्त भुजा BC की लंबाई को दर्शाता है।

व्याख्या

एक हीरे का मूल्य C उसके भार W के वर्ग के समानुपाती होता है, जिसे सूत्र C = kW² द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ k एक समानुपातिकता स्थिरांक है। मान लीजिए कि काटे गए तीन टुकड़ों का भार 3x, 2x और x है। मूल बिना कटे हीरे का कुल भार इन भागों का योग है, 3x + 2x + x = 6x।

हीरे के मूल मूल्य की गणना k(6x)² = 36kx² के रूप में की जाती है। हमें दिया गया है कि यह मूल मूल्य 6,084 रुपये है। इसलिए, 36kx² = 6,084, जिससे kx² = 169 प्राप्त होता है।

काटने के बाद, तीनों टुकड़ों का संयुक्त मूल्य उनके व्यक्तिगत मूल्यों का योग है: k(3x)² + k(2x)² + k(x)²। यह 9kx² + 4kx² + kx² = 14kx² के बराबर है।

काटने की प्रक्रिया में होने वाली हानि मूल मूल्य और टुकड़ों के कुल मूल्य के बीच का अंतर है: हानि = 36kx² - 14kx² = 22kx²

समीकरण में kx² का मान रखने पर: हानि = 22 × 169 = 3,718

व्याख्या

एक बेलन के आयतन की गणना सूत्र V = π r² h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या को और h ऊँचाई को दर्शाता है। दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात r₁:r₂ = 1:4 है और ऊँचाइयों का अनुपात h₁:h₂ = 4:3 है, उनके आयतनों का अनुपात V₁:V₂ इन मानों को आयतन अनुपात सूत्र में प्रतिस्थापित करके निर्धारित किया जा सकता है:

V₁/V₂ = (π r₁² h₁) / (π r₂² h₂)

अचर π आपस में कट जाता है, जिससे व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

V₁/V₂ = (r₁/r₂)² × (h₁/h₂)

दिए गए अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर:

V₁/V₂ = (1/4)² × (4/3) V₁/V₂ = (1/16) × (4/3) V₁/V₂ = 4 / 48 V₁/V₂ = 1/12

अतः, दोनों बेलनों के आयतनों का अनुपात 1:12 है।

व्याख्या

व्यंजक √x - (1)/(√(x)) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले x = 3 + 2√2 को एक पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त करते हैं। संख्या 3 को 2 + 1 के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे हम इस व्यंजक को x = (√2)² + (1)² + 2(√2)(1) के रूप में फिर से लिख सकते हैं। बीजगणितीय सर्वसमिका a² + b² + 2ab = (a + b)² का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है कि x = (√2 + 1)²। चूंकि x > 0 है, इसलिए वर्गमूल लेने पर √x = √2 + 1 प्राप्त होता है।

इसके बाद, हम व्युत्क्रम (1)/(√(x)) की गणना करते हैं। √x का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें (1)/(√(2) + 1) प्राप्त होता है। इसे सरल करने के लिए, हम अंश और हर को संयुग्मी √2 - 1 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं। इससे √2 - 1{(√2 + 1)(√2 - 1)} = √2 - 1{(√2)² - 1²} = √2 - 1{2 - 1} = √2 - 1 प्राप्त होता है।

अंत में, इन मानों को व्यंजक √x - (1)/(√(x)) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (√2 + 1) - (√2 - 1) प्राप्त होता है। ऋणात्मक चिह्न को वितरित करने पर √2 + 1 - √2 + 1 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2 हो जाता है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और अंतिम विक्रय मूल्य (SP) दोनों ₹10,927 हैं। राजू वस्तु को रियायती मूल्य पर खरीदता है, जो उसका क्रय मूल्य (CP) बन जाता है। चूंकि विक्रय मूल्य मूल अंकित मूल्य के बराबर है, इसलिए लाभ प्रतिशत P और छूट प्रतिशत D निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

P = (D)/(100 - D) × 100

दिया गया लाभ प्रतिशत P = 11.5% है, D का मान ज्ञात करने के लिए हम इस मान को समीकरण में रखते हैं:

11.5 = (D)/(100 - D) × 100

दोनों पक्षों को 100 से विभाजित करने पर:

0.115 = (D)/(100 - D)

दोनों पक्षों को (100 - D) से गुणा करने पर:

0.115(100 - D) = D 11.5 - 0.115D = D 11.5 = D + 0.115D 11.5 = 1.115D

D के लिए हल करने पर:

D = (11.5)/(1.115) ≈ 10.3139%

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, दी गई छूट 10.3% थी।

व्याख्या

जब r त्रिज्या वाले तीन समान वृत्तों को इस प्रकार रखा जाता है कि वे एक-दूसरे को स्पर्श करें, तो उनके केंद्र एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं जिसकी भुजा की लंबाई 2r के बराबर होती है। इन वृत्तों के चारों ओर कसकर लपेटे गए धागे में दो भाग शामिल होते हैं: सीधे खंड और वृत्ताकार चाप।

धागे का प्रत्येक सीधा खंड केंद्रों द्वारा बनाए गए समबाहु त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर होता है। इन तीनों सीधे खंडों में से प्रत्येक की लंबाई दो आसन्न वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी के बराबर होती है, जो कि 2r = 2 × 6 = 12 सेमी है। इस प्रकार, तीनों सीधे खंडों की कुल लंबाई 3 × 12 = 36 सेमी है।

धागे के शेष भाग वे चाप हैं जो वृत्तों के बाहरी किनारों के चारों ओर लिपटे हुए हैं। n वृत्तों की एक बंद उत्तल व्यवस्था में, केंद्रों पर इन चापों द्वारा बनाए गए कोणों का योग हमेशा 360° या 2π रेडियन के बराबर होता है। इसलिए, वक्राकार खंडों की कुल लंबाई एक वृत्त की परिधि के बराबर होती है, जो कि 2π r है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर और π को दर्शाने के लिए p का उपयोग करने पर, वक्राकार लंबाई 2 × p × 6 = 12p सेमी है। सीधे और वक्राकार भागों को जोड़ने पर, धागे की कुल लंबाई 36 + 12p सेमी है।

व्याख्या

कार्य की दर कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। मान लीजिए कि कुल कार्य 1 इकाई है। A और B की संयुक्त दर 1/6 इकाई प्रति घंटा है, और A, B और C की संयुक्त दर 1/4 इकाई प्रति घंटा है। C की व्यक्तिगत दर पूरे समूह की दर में से A और B की दर को घटाकर ज्ञात की जा सकती है:

दर(C) = दर(A+B+C) - दर(A+B) दर(C) = ¼ - ⅙

इन भिन्नों को घटाने के लिए, हम एक सामान्य हर (denominator) ज्ञात करते हैं, जो कि 12 है: दर(C) = ³⁄₁₂ - ²⁄₁₂ = ¹⁄₁₂ इकाई प्रति घंटा

C द्वारा अकेले कार्य पूरा करने में लिया गया समय उसकी दर का व्युत्क्रम (reciprocal) है: समय(C) = (1)/(दर(C)) = 12 घंटे

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई h, सूत्र h = √3{2}a द्वारा दी जाती है। यह देखते हुए कि समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा की लंबाई 8 सेमी है, हम ऊंचाई AD ज्ञात करने के लिए सूत्र में a = 8 रखते हैं। इसकी गणना करने पर AD = √3{2} × 8 = 4√3 सेमी प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, चूंकि D, BC का मध्यबिंदु है, इसलिए लंबाई BD, 4 सेमी है। समकोण त्रिभुज ABD में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, AD² = AB² - BD² = 8² - 4² = 64 - 16 = 48। वर्गमूल लेने पर, AD = √(48) = √(16 × 3) = 4√3 सेमी।