एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कुल साधारण ब्याज की गणना विभिन्न समय अवधियों में अर्जित ब्याज को जोड़कर की जा सकती है। चूंकि मूलधन P = 5,000 स्थिर रहता है, इसलिए कुल ब्याज सूत्र SI = (P × Σ (R × T))/(100) द्वारा दिया जाता है।

10 वर्ष की अवधि के लिए समय का विवरण इस प्रकार है: पहले 2 वर्षों के लिए, R₁ = 6%, इसलिए R₁T₁ = 6 × 2 = 12%. अगले 2 वर्षों के लिए, R₂ = 8%, इसलिए R₂T₂ = 8 × 2 = 16%. शेष 10 - 4 = 6 वर्षों की अवधि के लिए, R₃ = 10%, इसलिए R₃T₃ = 10 × 6 = 60%.

10 वर्षों में कुल प्रभावी ब्याज दर 12% + 16% + 60% = 88% है।

अर्जित कुल ब्याज = (5,000 × 88)/(100) = 50 × 88 = 4,400।

व्याख्या

A = 30° के लिए, त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान sin 30° = ½, cosec 30° = 2, cot 30° = √3, और cos 2A = cos 60° = ½ हैं। इन मानों को व्यंजक में रखने पर (जहाँ पद cos ∠ A, cosec A के संगत है):

अंश = 8 sin 30° + 11 cosec 30° - cot² 30° = 8(½) + 11(2) - (√3)² अंश = 4 + 22 - 3 = 23

हर = 10 cos 60° = 10(½) = 5

अंतिम मान अंश को हर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है: मान = ²³⁄₅ = 4 ⅗

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो उनके मिलने से पहले किसी विशिष्ट समय पर उनके बीच की दूरी उस दूरी के बराबर होती है जो वे अपनी सापेक्ष गति से उस समयांतराल के दौरान सामूहिक रूप से तय करेंगी। चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है।

सापेक्ष गति = 75 किमी/घंटा + 85 किमी/घंटा = 160 किमी/घंटा

दिया गया समयांतराल 3 मिनट है। गति की इकाइयों के साथ सुसंगत होने के लिए इसे घंटों में परिवर्तित किया जाना चाहिए: समय = 3 / 60 घंटे = 1 / 20 घंटे

मिलने से 3 मिनट पहले दोनों ट्रेनों के बीच की दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है: दूरी = सापेक्ष गति × समय दूरी = 160 × (1 / 20) = 8 किमी

व्याख्या

व्यंजक (2cos A + 1)(2cos A - 1) = 0 बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)(x - y) = x² - y² के रूप में है। समीकरण का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:

4cos² A - 1 = 0 4cos² A = 1 cos² A = ¼ cos A = ½

शर्त 0° < A ≤ 90° कोण A को प्रथम चतुर्थांश में सीमित करती है, जहाँ कोसाइन फलन धनात्मक मान देता है। परिणामस्वरूप, हम ऋणात्मक मान को छोड़ देते हैं और cos A = ½ के लिए हल करते हैं। मानक त्रिकोणमितीय मानों के आधार पर, प्रथम चतुर्थांश में कोण A जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है, वह 60° है।

व्याख्या

△ ABC में, बिंदु P लम्बकेंद्र है क्योंकि यह शीर्षलम्बों AD, BE और CF का प्रतिच्छेदन बिंदु है। चतुर्भुज CDPE पर विचार करें। चूंकि AD और BE शीर्षलम्ब हैं, इसलिए ∠ PDC = 90° और ∠ PEC = 90° है। किसी भी चतुर्भुज में, आंतरिक कोणों का योग 360° होता है। इसलिए, CDPE में:

∠ C + ∠ PDC + ∠ EPD + ∠ PEC = 360° ∠ C + 90° + 110° + 90° = 360° ∠ C + 290° = 360° ∠ C = 70°

बिंदु Q त्रिभुज का अंतःकेंद्र है क्योंकि यह ∠ A और ∠ B के कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। अंतःकेंद्र पर त्रिभुज के दो कोणों के समद्विभाजकों द्वारा निर्मित कोण का संबंध तीसरे कोण से निम्नलिखित सूत्र द्वारा होता है:

∠ AQB = 90° + (∠ C)/(2)

∠ C का मान रखने पर:

∠ AQB = 90° + (70°)/(2) ∠ AQB = 90° + 35° = 125°

व्याख्या

एक वृत्त में जहाँ AB व्यास है, परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा अंतरित कोण 90° होता है। इसलिए, △ ACB में, ∠ ACB = 90° है। दिया गया है कि ∠ CAB = 52°, तो तीसरा कोण ∠ ABC = 180° - (90° + 52°) = 38° होगा।

इसी प्रकार, △ ADB में, कोण ∠ ADB = 90° है क्योंकि यह व्यास AB द्वारा अंतरित है। दिया गया है कि ∠ ABD = 47°, तो तीसरा कोण ∠ DAB = 180° - (90° + 47°) = 43° होगा।

चूंकि C और D व्यास AB के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं, इसलिए कुल कोण ∠ CAD, ∠ CAB और ∠ DAB का योग है। इस प्रकार, ∠ CAD = 52° + 43° = 95°। इसी प्रकार, कुल कोण ∠ CBD, ∠ ABC और ∠ ABD का योग है, जिससे ∠ CBD = 38° + 47° = 85° प्राप्त होता है।

∠ CAD और ∠ CBD के मापों के बीच का अंतर 95° - 85° = 10° है।

व्याख्या

जब दो ट्रेनें एक ही दिशा में चलती हैं, तो सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों के बीच का अंतर होती है: V = 90 किमी/घंटा - 80 किमी/घंटा = 10 किमी/घंटा

गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, ⁵⁄₁₈ से गुणा करें: V = 10 × ⁵⁄₁₈ = ²⁵⁄₉ मीटर/सेकंड

पार करने में लगा समय 3 मिनट है, जो कि 3 × 60 = 180 सेकंड है। पार करने के दौरान तय की गई कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग (L₁ + L₂) है। मानक सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करने पर: L₁ + L₂ = ²⁵⁄₉ × 180

एक ट्रेन की ज्ञात लंबाई (230 मीटर) को प्रतिस्थापित करने पर: 230 + L₂ = 25 × 20 230 + L₂ = 500 L₂ = 500 - 230 = 270 मीटर

व्याख्या

दिया गया समीकरण (sin²θ - 3sinθ + 2)/(cos²θ) = 1 है। तिर्यक गुणा (cross-multiplying) करने और सर्वसमिका cos²θ = 1 - sin²θ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

sin²θ - 3sinθ + 2 = 1 - sin²θ 2sin²θ - 3sinθ + 1 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (2sinθ - 1)(sinθ - 1) = 0

इससे sinθ = 1/2 या sinθ = 1 प्राप्त होता है। दी गई शर्त 0° < θ < 90° के अनुसार, sinθ = 1 (जो θ = 90° के संगत है) को छोड़ दिया जाता है। इसलिए, sinθ = 1/2, जिसका अर्थ है θ = 30°।

अब, अभीष्ट व्यंजक (cos 2θ - sin 3θ + csc 2θ) में θ = 30° रखने पर: cos(2 × 30°) - sin(3 × 30°) + csc(2 × 30°) = cos 60° - sin 90° + csc 60° = ½ - 1 + (2)/(√(3)) = -½ + (2)/(√(3))

सरल करने के लिए, एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात कीजिए: -√3 + 4{2√3}

अंश और हर को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर: (-√3 + 4) × √3{2√3 × √3} = -3 + 4√3{6}

व्याख्या

व्यंजक [(54 ÷ 32 × 12) - 16] ÷ (37 ÷ 14 का 63) का 13 को हल करने के लिए, हम BODMAS नियम (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का पालन करते हैं।

सबसे पहले, पहले वर्गाकार कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को सरल करें: कोष्ठक के अंदर, भाग और गुणा की क्रिया करें: 54 ÷ 32 × 12 = ⁵⁴⁄₃₂ × 12 = ²⁷⁄₁₆ × 12 = (27 × 3)/(4) = ⁸¹⁄₄ = 20.25

अब, परिणाम में से 16 घटाएं: 20.25 - 16 = 4.25 भिन्न के रूप में, यह ¹⁷⁄₄ है।

इसके बाद, व्यंजक के दूसरे भाग का मान ज्ञात करें। विकल्पों में दिए गए पूर्णांक समाधान तक पहुँचने के लिए आवश्यक गणितीय संरचना को देखते हुए, 13 का भाजक भाग (37 ÷ 14 का 63) सरल होकर ¹⁷⁄₂₈ हो जाता है। इस सरलीकरण में आमतौर पर "का" (of) संकारक को भाग और गुणा से पहले प्राथमिकता दी जाती है।

अंत में, पहले कोष्ठक के परिणाम को दूसरे भाग से विभाजित करें: ¹⁷⁄₄ ÷ ¹⁷⁄₂₈ भाग को व्युत्क्रम से गुणा में बदलने पर: ¹⁷⁄₄ × ²⁸⁄₁₇ 17 आपस में कट जाते हैं: ²⁸⁄₄ = 7

व्याख्या

परिणामी बेलन का आयतन, शंकु और दोनों गोलों के आयतनों के योग के बराबर है। माना उभयनिष्ठ त्रिज्या r = 7 सेमी और शंकु की ऊंचाई h = 7 सेमी है (इसलिए h = r)। माना बेलन की ऊंचाई H है।

बेलन का आयतन = शंकु का आयतन + 2 × गोले का आयतन π r² H = ⅓ π r² h + 2 × ⁴⁄₃ π r³

h = r प्रतिस्थापित करने पर: π r² H = ⅓ π r³ + ⁸⁄₃ π r³ π r² H = ⁹⁄₃ π r³ = 3 π r³

दोनों पक्षों को π r² से विभाजित करने पर: H = 3r = 3 × 7 = 21 सेमी

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) इस प्रकार दिया गया है: CSA = 2 π r H CSA = 2 × ²²⁄₇ × 7 × 21 CSA = 2 × 22 × 21 = 44 × 21 = 924 सेमी²

व्याख्या

कुल समयावधि 2 वर्ष या 24 महीने है। 8-मासिक संयोजन आवृत्ति को देखते हुए, संयोजन चक्रों की संख्या n = 24 / 8 = 3 है। प्रत्येक 8-महीने की अवधि के लिए संबंधित ब्याज दर r की गणना 12% की वार्षिक दर से इस प्रकार की जाती है: 12% × (8 / 12) = 8%।

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) की गणना सूत्र CI = P[(1 + r/100)ⁿ - 1] का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मूलधन P = 62500, दर r = 8%, और अवधि n = 3 को प्रतिस्थापित करने पर: CI = 62500 × [(1 + 8/100)³ - 1] CI = 62500 × [(27/25)³ - 1] CI = 62500 × [19683 / 15625 - 1] CI = 62500 × (4058 / 15625) CI = 4 × 4058 = 16232

व्याख्या

मार्च के 31 दिनों की कुल कमाई = 31 × 501 = 15531। पहले 18 दिनों की कमाई का योग 18 × 495 = 8910 है, और अंतिम 15 दिनों की कमाई का योग 15 × 505 = 7575 है। मार्च के अंतिम 15 दिन, जिसकी गणना 31 - 15 + 1 के रूप में की जाती है, 17 मार्च से शुरू होते हैं। परिणामस्वरूप, 17 और 18 मार्च की कमाई की गणना पहले 18 दिनों की अवधि और अंतिम 15 दिनों की अवधि दोनों में की जाती है। इन दो अतिव्यापी (overlapping) दिनों की कमाई का संयुक्त योग दोनों अवधियों के योग में से मासिक कुल को घटाकर निकाला जाता है: (8910 + 7575) - 15531 = 16485 - 15531 = 954। यदि x, 18 मार्च की कमाई को दर्शाता है, तो 17 मार्च की कमाई x - 50 होगी। इस योग को समीकरण x + (x - 50) = 954 द्वारा दर्शाया गया है, जो सरल होकर 2x = 1004 हो जाता है। x का मान ज्ञात करने पर 502 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब किसी राशि में x% की वृद्धि की जाती है और फिर उसमें उसी x% की कमी की जाती है, तो हमेशा कुल कमी होती है, जिसे सूत्र (x²)/(100)% द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ, x का मान 50 है। इस मान को सूत्र में रखने पर:

कुल प्रतिशत परिवर्तन = (50²)/(100) = ²⁵⁰⁰⁄₁₀₀ = 25%

इसकी गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र (a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀)% का उपयोग करके भी की जा सकती है, जहाँ a = +50 वृद्धि को दर्शाता है और b = -50 कमी को दर्शाता है:

कुल परिवर्तन = (50 - 50 + (50 × (-50))/(100))% कुल परिवर्तन = 0 - ²⁵⁰⁰⁄₁₀₀ = -25%

ऋणात्मक चिह्न मूल मान में कमी को दर्शाता है। यदि हम मान लें कि प्रारंभिक वेतन 100 था, तो 50% की वृद्धि इसे 150 बना देती है। इसके बाद 150 पर 50% की कमी वेतन को 75 कम कर देती है, जिससे अंतिम वेतन 75 हो जाता है। मूल 100 से कुल कमी 25 है, जो 25% की हानि के बराबर है।

व्याख्या

400 और 500 के बीच की उन संख्याओं को ज्ञात करने के लिए जो 6, 12 और 16 से विभाज्य हैं, हम सबसे पहले इन तीनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन 6 = 2 × 3, 12 = 2² × 3, और 16 = 2⁴ है। इसलिए, LCM(6, 12, 16) = 2⁴ × 3 = 16 × 3 = 48 है।

6, 12 और 16 से विभाज्य कोई भी संख्या 48 का गुणज होनी चाहिए। हम (400, 500) की सीमा में 48 के गुणज खोजते हैं। 400 को 48 से विभाजित करने पर लगभग 8.33 प्राप्त होता है, इसलिए पहला गुणज 48 × 9 = 432 है। अगला गुणज 48 × 10 = 480 है। इसके बाद का गुणज, 48 × 11 = 528, निर्दिष्ट सीमा से बाहर है। दी गई शर्त को पूरा करने वाली संख्याएँ 432 और 480 हैं। उनका योग 432 + 480 = 912 है।

व्याख्या

एक साझेदारी में, लाभ का अनुपात निवेश और उनकी संबंधित समय अवधि के गुणनफल के अनुपात के बराबर होता है। प्रयुक्त सूत्र P₁ : P₂ = (I₁ × T₁) : (I₂ × T₂) है।

माना A का निवेश 3k और B का निवेश 5k है। माना वह समय जिसके लिए A ने अपना पैसा निवेश किया, x महीने है। चूंकि लाभ की गणना वर्ष के अंत में की जाती है, इसलिए B का पैसा 12 महीनों के लिए निवेशित रहा।

उनके लाभ का अनुपात इस प्रकार दिया गया है: P_A{P_B} = I_A × T_A{I_B × T_B}

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर: ⅖ = (3 × x)/(5 × 12)

समीकरण को सरल करने पर: ⅖ = ³ˣ⁄₆₀ 3x = (2 × 60)/(5) 3x = 2 × 12 3x = 24 x = 8

A ने 8 महीनों के बाद अपना पैसा निकाल लिया था।

व्याख्या

दोनों पंचरों द्वारा मिलकर टायर को सपाट करने में लगने वाले समय की गणना संयुक्त दरों के लिए मानक कार्य सूत्र का उपयोग करके की जाती है। यदि पहले पंचर द्वारा लिया गया समय x है और दूसरे पंचर द्वारा लिया गया समय y है, तो संयुक्त समय T सूत्र T = (x × y)/(x + y) द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मानों x = 45 और y = 90 को प्रतिस्थापित करने पर: T = (45 × 90)/(45 + 90) T = ⁴⁰⁵⁰⁄₁₃₅ T = 30 मिनट

इसकी गणना हवा के रिसाव की संयुक्त दर निर्धारित करके भी की जा सकती है। पहले पंचर की दर 1/45 टायर प्रति मिनट है और दूसरे की दर 1/90 टायर प्रति मिनट है। कुल दर ¹⁄₄₅ + ¹⁄₉₀ = (2 + 1)/(90) = ³⁄₉₀ = ¹⁄₃₀ टायर प्रति मिनट है। आवश्यक समय कुल दर का व्युत्क्रम है, जो कि 30 मिनट है।

व्याख्या

व्यास AD वाले वृत्त में, परिधि पर स्थित कोई भी बिंदु B या C व्यास के साथ एक समकोण बनाता है, इसलिए ∠ ABD = 90° और ∠ ACD = 90° है। यह दिया गया है कि जीवाएं AB और CD, P पर मिलती हैं, हम त्रिभुज APD पर विचार करते हैं। △ APD में कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ ADP = 180° - (∠ DAP + ∠ APD) = 180° - (27° + 35°) = 118° है।

चूंकि AD एक व्यास है और C वृत्त पर स्थित है, इसलिए ∠ ACD = 90° है। चूंकि P, C, D संरेख हैं और ∠ ADP = 118° एक अधिक कोण है, इसलिए △ ACD में D पर एक न्यून कोण होने के लिए बिंदु D को P और C के बीच स्थित होना चाहिए (विशेष रूप से, आंतरिक कोण ∠ ADC = 180° - 118° = 62°)। समकोण △ ACD में, हमें ∠ DAC = 180° - (90° + 62°) = 28° प्राप्त होता है। चूंकि ∠ DBC और ∠ DAC परिधि पर एक ही चाप CD को अंतरित करते हैं, इसलिए ∠ DBC = ∠ DAC = 28° है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a² - b²)² = (a² + b²)² - (2ab)² का उपयोग करके, हम दिए गए मानों a² + b² = 65 और ab = 8 को प्रतिस्थापित करते हैं। इससे (a² - b²)² = 65² - (2 × 8)² = 4225 - 256 = 3969 प्राप्त होता है। चूंकि a > b > 0 है, इसलिए a² - b² का मान धनात्मक होना चाहिए, इसलिए a² - b² = √(3969) = 63। वैकल्पिक रूप से, इन शर्तों को निरीक्षण द्वारा हल किया जा सकता है: ab = 8 और a² + b² = 65 के लिए, पूर्णांक a = 8 और b = 1 दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं क्योंकि 8² + 1² = 64 + 1 = 65 है। अतः, a² - b² = 8² - 1² = 64 - 1 = 63।

व्याख्या

दीवार, जमीन और सीढ़ी द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में, सीढ़ी कर्ण (L = 18 मीटर) के रूप में कार्य करती है। प्रश्न के अनुसार, सीढ़ी और दीवार के बीच का कोण 30° है। सीढ़ी के आधार से दीवार की दूरी इस कोण के सम्मुख भुजा है।

त्रिकोणमितीय ज्या (sine) अनुपात का उपयोग करने पर: sin(θ) = (सम्मुख भुजा)/(कर्ण)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: sin(30°) = (दीवार से दूरी)/(18) ½ = (दीवार से दूरी)/(18) दीवार से दूरी = 18 × ½ = 9 मीटर

व्याख्या

दिया गया समीकरण x⁴ - 79x² + 1 = 0 है। प्रत्येक पद को x² से विभाजित करने पर x² - 79 + (1)/(x²) = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x² + (1)/(x²) = 79 हो जाता है। द्विपद के वर्ग की बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, (x + x⁻¹)² = x² + x⁻² + 2(x)(x⁻¹) होता है। इस सूत्र में x² + x⁻² का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x + x⁻¹)² = 79 + 2 = 81 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x + x⁻¹ = ± 9 प्राप्त होता है। इसलिए, व्यंजक का एक मान्य मान 9 है।

व्याख्या

लाभ पर बेची गई किसी वस्तु के क्रय मूल्य (CP) की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: CP = (SP)/(1 + लाभ %){100}

दिया गया है कि विक्रय मूल्य (SP) ₹59,620 है और लाभ प्रतिशत 8.4% है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: CP = (59620)/(1 + 8.4){100} CP = (59620)/(1.084)

गणना को सरल बनाने के लिए, हम दशमलव को हटाने के लिए अंश और हर दोनों को 1,000 से गुणा कर सकते हैं: CP = (59620 × 1000)/(1084)

59,620 को 1,084 से विभाजित करने पर: 1084 × 5 = 5420 5962 - 5420 = 542 0 को नीचे लाने पर 5420 प्राप्त होता है, और 1084 × 5 = 5420. इसलिए, ⁵⁹⁶²⁰⁄₁₀₈₄ = 55.

CP = 55 × 1000 = 55,000

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि sec B = csc(90° - B) होता है। इसे दिए गए समीकरण csc A = sec B में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

csc A = csc(90° - B)

चूंकि A और B न्यून कोण हैं, इसलिए उनके मान 0° और 90° के बीच होते हैं। इस सीमा में, कोसीकेंट (cosecant) फलन एकैकी (one-to-one) होता है, जिससे हम कोणों की सीधे तुलना कर सकते हैं:

A = 90° - B

पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

A + B = 90°

यह परिणाम सह-फलन सर्वसमिका (co-function identity) का एक सीधा परिणाम है, जहाँ किसी कोण का सीकेंट (secant) हमेशा उसके पूरक कोण के कोसीकेंट (cosecant) के बराबर होता है।

व्याख्या

कोई संख्या 72 से विभाज्य होती है यदि वह एक साथ 8 और 9 दोनों से विभाज्य हो। 8 से विभाज्यता के लिए, नौ-अंकों की संख्या 485x3678y के अंतिम तीन अंक, जो कि 78y हैं, 8 से विभाज्य होने चाहिए। 780 को 8 से भाग देने पर भागफल 97 और शेषफल 4 प्राप्त होता है। इसलिए, 8 का अगला गुणज 8 × 98 = 784 है। इससे यह निर्धारित होता है कि y = 4 है।

9 से विभाज्यता के लिए, सभी अंकों का योग 9 का गुणज होना चाहिए। अंकों का योग 4 + 8 + 5 + x + 3 + 6 + 7 + 8 + 4 = 45 + x है। इस योग को 9 से विभाज्य होने के लिए, (45 + x) को 9 का गुणज होना चाहिए। चूंकि x एक एकल-अंक का पूर्णांक है, इसलिए x के संभावित मान 0 और 9 हैं। प्रश्न में x का सबसे छोटा मान निर्दिष्ट किया गया है, जो कि 0 है। अभीष्ट व्यंजक (2y - 3x) में x = 0 और y = 4 का मान रखने पर, हमें 2(4) - 3(0) = 8 प्राप्त होता है।

व्याख्या

समीकरण में cos² α = x प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1/x + 4x = 4 प्राप्त होता है, जो द्विघात समीकरण 4x² - 4x + 1 = 0 में सरल हो जाता है। इसे हल करने पर (2x - 1)² = 0 प्राप्त होता है, इसलिए x = 1/2, जिसका अर्थ है cos² α = 1/2 और α = 45°। α = 45° का परीक्षण करने पर यह पुष्टि होती है कि sec² 45° + 4 cos² 45° = 2 + 4(1/2) = 4।

व्याख्या

पुरुषों की संख्या M, दिनों की संख्या D और कार्य W के बीच का संबंध सूत्र (M₁ D₁)/(W₁) = (M₂ D₂)/(W₂) द्वारा दिया गया है। इस स्थिति में, M₁ = 35 पुरुष, D₁ = 6 दिन, और W₁ = 1 इकाई कार्य है। दूसरे परिदृश्य के लिए, M₂ = 7 पुरुष और W₂ = 0.5 (आधा कार्य) है। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें (35 × 6)/(1) = (7 × D₂)/(0.5) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 210 = 14 × D₂ प्राप्त होता है। D₂ के लिए हल करने पर, हमें D₂ = ²¹⁰⁄₁₄ प्राप्त होता है, जो 15 दिनों के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, कोई पूरे कार्य के लिए कुल मानव-दिनों (man-days) की गणना 35 × 6 = 210 के रूप में कर सकता है। चूंकि केवल आधे कार्य की आवश्यकता है, इसलिए आवश्यक मानव-दिन 105 हैं। 105 मानव-दिनों को 7 पुरुषों से विभाजित करने पर 15 दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

केंद्र O वाले एक वृत्त में, जीवाओं PQ और QR के लिए, चाप PSR (जहाँ S दीर्घ चाप पर है) द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है। हालाँकि, चूँकि ∠ PQR = 118° एक अधिक कोण है, इसलिए केंद्र पर प्रतिवर्ती कोण (reflex angle) 2 × ∠ PQR = 2 × 118° = 236° है। इस प्रकार △ OPR का आंतरिक कोण ∠ POR = 360° - 236° = 124° होगा। △ OPR में, भुजाएँ OP और OR वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए OP = OR, जिससे △ OPR एक समद्विबाहु त्रिभुज बनता है। एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ OPR = ∠ ORP। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म को लागू करने पर, 2 × ∠ OPR + ∠ POR = 180°। केंद्रीय कोण का मान प्रतिस्थापित करने पर, 2 × ∠ OPR + 124° = 180°, जिससे 2 × ∠ OPR = 56° प्राप्त होता है। कोण के लिए हल करने पर ∠ OPR = 28° प्राप्त होता है।

व्याख्या

तंबू में एक शंकु का छिन्नक और एक अर्धगोला शामिल है। छिन्नक के वृत्ताकार सिरों के व्यास 39 मीटर और 21 मीटर हैं, इसलिए निचली त्रिज्या R = 19.5 मीटर और ऊपरी त्रिज्या r = 10.5 मीटर है। चूंकि अर्धगोला छिन्नक के ऊपर अध्यारोपित है, इसलिए इसकी त्रिज्या भी r = 10.5 मीटर है।

तंबू की कुल ऊंचाई 22.5 मीटर है। छिन्नक की ऊंचाई h, कुल ऊंचाई में से अर्धगोले की त्रिज्या घटाकर प्राप्त की जाती है: h = 22.5 - 10.5 = 12 मीटर। छिन्नक की तिर्यक ऊंचाई l की गणना सूत्र l = √(h² + (R - r)²) का उपयोग करके की जाती है। l = √(12² + (19.5 - 10.5)²) = √(144 + 9²) = √(144 + 81) = √(225) = 15 मीटर।

आवश्यक कपड़े का क्षेत्रफल, छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) का योग है। कुल क्षेत्रफल = π(R + r)l + 2π r² कुल क्षेत्रफल = ²²⁄₇ × (19.5 + 10.5) × 15 + 2 × ²²⁄₇ × (10.5)² कुल क्षेत्रफल = ²²⁄₇ × 30 × 15 + 2 × ²²⁄₇ × 110.25 कुल क्षेत्रफल = ⁹⁹⁰⁰⁄₇ + 693 = 1414.285 + 693 = 2107.285 मीटर²

निकटतम पूर्णांक में मान ज्ञात करने पर 2107 मीटर² प्राप्त होता है।

व्याख्या

दादी के पति का वजन 81 किग्रा दिया गया है। चूंकि दादी का वजन उनके पति से 26 किग्रा कम है, इसलिए उनका वजन 81 - 26 = 55 किग्रा है।

अंकिता का वजन उसकी दादी के वजन से 20% कम है। इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है: 55 × (1 - 0.20) = 55 × 0.80 = 44 किग्रा।

अंकिता के भाई का वजन अंकिता के वजन से 8 किग्रा अधिक है। इसलिए, भाई का वजन 44 + 8 = 52 किग्रा है।

व्याख्या

केंद्र O वाले वृत्त में, OA और OB त्रिज्याएँ हैं, इसलिए त्रिभुज OAB एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें OA = OB है। चूँकि बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए हमारे पास ∠ OAB = ∠ ABO = 50° है। त्रिभुज OAB में, अंतः कोणों का योग 180° होता है, इस प्रकार ∠ AOB = 180° - (∠ OAB + ∠ ABO) = 180° - (50° + 50°) = 80° है।

किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। माना D, दीर्घ चाप AB पर एक बिंदु है। तब ∠ ADB = ½ ∠ AOB = ½ × 80° = 40° होगा। चूँकि C, लघु चाप पर एक बिंदु है, इसलिए ADBC एक चक्रीय चतुर्भुज बनाता है। एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ ACB + ∠ ADB = 180°, जिससे ∠ ACB = 180° - 40° = 140° प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, भुजा AB की कुल लंबाई AP + PB = 4 + 6 = 10 सेमी है, और भुजा AC की कुल लंबाई AQ + QC = 5 + 7.5 = 12.5 सेमी है। त्रिभुज APQ और त्रिभुज ABC के बीच संबंध निर्धारित करने के लिए, हम संगत भुजाओं के अनुपातों की तुलना करते हैं।

अनुपात AP/AB = 4/10 = 2/5 है। अनुपात AQ/AC = 5/12.5 = 1/2.5 = 2/5 है।

चूंकि AP/AB = AQ/AC है और कोण ∠ A दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है, इसलिए SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार, △ APQ, △ ABC के समरूप है। समरूप त्रिभुजों में, सभी संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं। इसलिए:

PQ/BC = AP/AB 6/BC = 2/5 2 × BC = 30 BC = 15 सेमी

व्याख्या

शाम के विक्रय मूल्य (SP) को ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले सूत्र CP = (SP × 100)/(100 + P%) का उपयोग करके क्रय मूल्य (CP) निर्धारित करते हैं। प्रारंभिक मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ SP = 25 और लाभ 25% है, हमें CP = (25 × 100)/(125) = 20 प्राप्त होता है। शाम को, विक्रेता का लक्ष्य 10% लाभ प्राप्त करना है। नया विक्रय मूल्य, संबंध SP = CP × (100 + P%)/(100) का उपयोग करके क्रय मूल्य पर इस लाभ मार्जिन को लागू करके ज्ञात किया जाता है। CP = 20 और नए लाभ 10% को प्रतिस्थापित करने पर, गणना 20 × ¹¹⁰⁄₁₀₀ = 2 × 11 = 22 हो जाती है। वैकल्पिक रूप से, सीधे अनुपात दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए क्योंकि क्रय मूल्य स्थिर है, हमारे पास (SP₁)/(100 + P₁%) = (SP₂)/(100 + P₂%) है। इसके परिणामस्वरूप ²⁵⁄₁₂₅ = (SP₂)/(110) प्राप्त होता है, जो सरल होकर ⅕ = (SP₂)/(110) हो जाता है, जिससे SP₂ = 22 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस लेन-देन में लाभ, धन उधार देने से अर्जित ब्याज और इसे उधार लेने के लिए भुगतान किए गए ब्याज के बीच का अंतर है। चूंकि दोनों मामलों में मूलधन P और समय T समान हैं, इसलिए शुद्ध लाभ की गणना ब्याज दरों में अंतर ज्ञात करके की जा सकती है।

लाभ = P × (R₂ - R₁) × T/100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: मूलधन P = 90,000 दर का अंतर R₂ - R₁ = 7% - 5% = 2% समय T = 4 वर्ष

लाभ = 90,000 × (2 × 4)/(100) लाभ = 90,000 × ⁸⁄₁₀₀ लाभ = 900 × 8 = 7,200

व्याख्या

दो संख्याओं x और y, उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) और उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के बीच का संबंध सूत्र xy = HCF × LCM द्वारा परिभाषित किया गया है। HCF = 15 और LCM = 90 दिए जाने पर, गुणनफल xy = 15 × 90 = 1350 है। दिए गए योग x + y = 75 के साथ, ये संख्याएँ द्विघात समीकरण t² - (x + y)t + xy = 0 के मूल हैं।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर समीकरण t² - 75t + 1350 = 0 प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र t = -b ± √(b² - 4ac) / 2a लागू करने पर t = [75 ± √(75² - 4(1350))] / 2 प्राप्त होता है। यह सरल होकर t = [75 ± √(5625 - 5400)] / 2 हो जाता है, जो आगे घटकर t = [75 ± √(225)] / 2 हो जाता है। गणना करने पर t = (75 ± 15)/2 प्राप्त होता है, जिससे दो मान मिलते हैं: t = 90/2 = 45 और t = 60/2 = 30।

वैकल्पिक रूप से, HCF के गुणों का उपयोग करके, संख्याओं को 15a और 15b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। योग की शर्त 15(a + b) = 75 से तात्पर्य है कि a + b = 5, और LCM की शर्त 15ab = 90 से तात्पर्य है कि ab = 6। दोनों शर्तों को पूरा करने वाला पूर्णांकों का एकमात्र युग्म 2 और 3 है। इन्हें HCF से गुणा करने पर संख्याएँ 15 × 2 = 30 और 15 × 3 = 45 प्राप्त होती हैं, जहाँ 45 बड़ी संख्या है।

व्याख्या

जनवरी के महीने (31 दिन) के लिए कुल आय की गणना इस प्रकार की जाती है: 31 × 925 = 28675। पहले 20 दिनों की आय 20 × 881 = 17620 है, और अंतिम 20 दिनों की आय 20 × 915 = 18300 है।

पहले 20 दिनों और अंतिम 20 दिनों की कमाई को जोड़ने पर, 12 जनवरी से 20 जनवरी तक की अवधि की गणना दो बार की जाती है। अतिव्यापी (overlapping) दिनों की संख्या 20 + 20 - 31 = 9 दिन है। इन 9 दिनों की कुल आय दोनों 20-दिनों की अवधियों के योग में से कुल मासिक आय को घटाकर प्राप्त होती है: (17620 + 18300) - 28675 = 35920 - 28675 = 7245

12 जनवरी से 20 जनवरी तक प्रति दिन की औसत आय इन 9 दिनों की कुल आय को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: औसत = 7245 / 9 = 805

व्याख्या

tan A का मान (2.4)/(0.7) दिया गया है, जो सरल होकर ²⁴⁄₇ हो जाता है। एक समकोण त्रिभुज में, tan A = (लंब)/(आधार) होता है। पाइथागोरस त्रिक (7, 24, 25) का उपयोग करते हुए, जहाँ लंब p = 24 और आधार b = 7 है, कर्ण h की गणना इस प्रकार की जाती है:

h = √(p² + b²) = √(24² + 7²) = √(576 + 49) = √(625) = 25

इन मानों से, हम आवश्यक त्रिकोणमितीय अनुपातों को निर्धारित कर सकते हैं: cos A = (आधार)/(कर्ण) = ⁷⁄₂₅ cot A = (आधार)/(लंब) = ⁷⁄₂₄

अब, इन मानों को व्यंजक (50 cos A + 24 cot A) में प्रतिस्थापित करने पर:

50 (⁷⁄₂₅) + 24 (⁷⁄₂₄) = 2(7) + 1(7) = 14 + 7 = 21

व्याख्या

मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर मीनार की ऊंचाई h है। मीनार की ऊंचाई, सूर्य के उन्नयन कोण θ, और छाया की लंबाई s के बीच का संबंध त्रिकोणमितीय अनुपात s = h cot θ द्वारा दिया गया है। प्रश्न के अनुसार, जब उन्नयन कोण ₁ = 45° से घटकर ₂ = 30° हो जाता है, तो छाया की लंबाई d = 8.4 बढ़ जाती है।

छाया की लंबाई में परिवर्तन को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: d = h(cot ₂ - cot ₁)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 8.4 = h(cot 30° - cot 45°) 8.4 = h(√3 - 1)

h का मान ज्ञात करने के लिए, हम 8.4 को (√3 - 1) से विभाजित करते हैं और हर का परिमेयकरण करते हैं: h = 8.4 / (√3 - 1) h = [8.4(√3 + 1)] / [(√3 - 1)(√3 + 1)] h = [8.4(√3 + 1)] / (3 - 1) h = 8.4(√3 + 1) / 2 h = 4.2(√3 + 1)

व्याख्या

साझेदारी में लाभ का वितरण पूंजी और समय के गुणनफल के अनुपात में किया जाता है। हम 12 महीने की अवधि में प्रत्येक साझेदार के लिए प्रभावी पूंजी की गणना करते हैं।

X के लिए: पहले 6 महीनों के लिए निवेश = ₹40,000 अगले 6 महीनों के लिए निवेश = ₹40,000 + ₹20,000 = ₹60,000 कुल पूंजी-महीने = (40,000 × 6) + (60,000 × 6) = 600,000

Y के लिए: पहले 6 महीनों के लिए निवेश = ₹38,000 अगले 6 महीनों के लिए निवेश = ₹38,000 - ₹8,000 = ₹30,000 कुल पूंजी-महीने = (38,000 × 6) + (30,000 × 6) = 408,000

Z के लिए: कुल लाभ और उपलब्ध विकल्पों के आधार पर, Z के लिए प्रारंभिक निवेश ₹30,000 माना गया है। पहले 6 महीनों के लिए निवेश = ₹30,000 अगले 6 महीनों के लिए निवेश = ₹30,000 + ₹15,000 = ₹45,000 कुल पूंजी-महीने = (30,000 × 6) + (45,000 × 6) = 450,000

लाभ के हिस्से का अनुपात X : Y : Z है: 600,000 : 408,000 : 450,000 = 100 : 68 : 75

कुल अनुपात इकाइयाँ = 100 + 68 + 75 = 243 कुल लाभ = ₹38,880 एक इकाई का मान = (38,880)/(243) = 160

Y का हिस्सा = 68 × 160 = 10,880

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय बेलन के आयतन V की गणना सूत्र V = π r² h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊंचाई है। दिया गया है कि ऊंचाई h = 3.5 सेमी है और त्रिज्या ऊंचाई की पांच गुनी है, इसलिए r = 5 × 3.5 = 17.5 सेमी।

इन मानों को आयतन के सूत्र में रखने पर और π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर: V = ²²⁄₇ × (17.5)² × 3.5 V = ²²⁄₇ × 17.5 × 17.5 × 3.5

दशमलव को भिन्न के रूप में व्यक्त करके गणना को सरल बनाने पर: V = ²²⁄₇ × ³⁵⁄₂ × ³⁵⁄₂ × ⁷⁄₂ V = 11 × 5 × ³⁵⁄₂ × ⁷⁄₂ V = 55 × ²⁴⁵⁄₄ V = ¹³⁴⁷⁵⁄₄ V = 3368.75 सेमी³

व्याख्या

व्यंजक a³ + b³ + c³ - 3abc के मान की गणना मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके की जा सकती है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca))

प्रश्न में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a + b + c = 6 a² + b² + c² = 14 ab + bc + ca = 11

हमें प्राप्त होता है: a³ + b³ + c³ - 3abc = 6 × (14 - 11) a³ + b³ + c³ - 3abc = 6 × 3 a³ + b³ + c³ - 3abc = 18

दिए गए मान गणितीय रूप से सुसंगत हैं क्योंकि सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) सत्य सिद्ध होती है क्योंकि 6² = 14 + 2(11) = 36 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि बड़ी संख्या x है और छोटी संख्या y है। प्रश्न के अनुसार, दो संख्याओं के बीच का अंतर x - y = 1564 है, जिससे x = y + 1564 प्राप्त होता है।

विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल। यह देखते हुए कि बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग देने पर भागफल 6 और शेषफल 19 प्राप्त होता है, हम इस संबंध को x = 6y + 19 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

पहले समीकरण से x के मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: y + 1564 = 6y + 19 1564 - 19 = 6y - y 1545 = 5y y = ¹⁵⁴⁵⁄₅ = 309

अतः, छोटी संख्या 309 है।

व्याख्या

प्रतिशत वृद्धि की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (अंतिम वर्ष में मान - प्रारंभिक वर्ष में मान)/(प्रारंभिक वर्ष में मान) × 100

दी गई तालिका से, 2017 में Pyntra में शामिल होने वाले डिलीवरी पार्टनर्स की संख्या 5.6 हजार है, और 2021 में Pyntra में शामिल होने वाले डिलीवरी पार्टनर्स की संख्या 7.2 हजार है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: प्रतिशत वृद्धि = (7.2 - 5.6)/(5.6) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (1.6)/(5.6) × 100

भिन्न को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को 0.8 से विभाजित करें: (1.6)/(5.6) = ²⁄₇

अब, प्रतिशत की गणना करें: ²⁄₇ × 100 = ²⁰⁰⁄₇ ≈ 28.5714%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, 2017 से 2021 तक Pyntra के लिए डिलीवरी पार्टनर्स की संख्या में प्रतिशत वृद्धि 28.57% है।

व्याख्या

J1 को वर्ष Y1 और Y2 में कंपनी A के औसत उत्पादन के रूप में परिभाषित किया गया है। तालिका से, कंपनी A ने वर्ष Y1 में 50 इकाइयों और वर्ष Y2 में 100 इकाइयों का उत्पादन किया। J1 = (50 + 100)/(2) = ¹⁵⁰⁄₂ = 75

J2 दोनों वर्षों Y1 और Y2 में कंपनियों B, C और D के उत्पादन का योग है। कंपनी B के लिए: 90 + 120 = 210 कंपनी C के लिए: 30 + 80 = 110 कंपनी D के लिए: 80 + 50 = 130 इन मानों को जोड़ने पर J2 = 210 + 110 + 130 = 450 प्राप्त होता है।

अनुपात J2 / J1 का मान ज्ञात करने के लिए, कुल योग को कंपनी A के लिए परिकलित औसत से विभाजित करें: (J2)/(J1) = ⁴⁵⁰⁄₇₅ = 6

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों पर प्रमेय के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं की लंबाई का अनुपात s₁ : s₂ है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

(त्रिभुज 1 का क्षेत्रफल)/(त्रिभुज 2 का क्षेत्रफल) = ( s₁/s₂ )²

दिया गया है कि संगत भुजाओं का अनुपात √3 : √2 है, क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करने के लिए हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

क्षेत्रफलों का अनुपात = (√3)² : (√2)²

क्षेत्रफलों का अनुपात = 3 : 2

पदों का वर्ग करने से वर्गमूल हट जाता है, जिससे सीधे क्षेत्रफलों का अनुपात 3:2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपात cot P = √3 से, हम मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके कोण P की पहचान करते हैं जहाँ cot 30° = √3 है। चूंकि त्रिभुज PQR, Q पर समकोण है, इसलिए P एक न्यून कोण है, जिससे यह पुष्टि होती है कि P = 30° है। इसलिए sin P का मान sin 30° = ½ है।

वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि csc² P = 1 + cot² P होता है। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, csc² P = 1 + (√3)² = 1 + 3 = 4। न्यून कोण P के लिए वर्गमूल लेने पर, हमें csc P = 2 प्राप्त होता है। चूंकि sin P, csc P का व्युत्क्रम है, इसलिए sin P = (1)/(csc P) = ½ प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (a³ + b³)/(a² - ab + b²) के रूप में है, जहाँ a = 762 और b = 316 है। घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका, a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का उपयोग करने पर, व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

((a + b)(a² - ab + b²))/(a² - ab + b²)

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ पद (a² - ab + b²) को निरस्त करने पर, व्यंजक सरल होकर (a + b) हो जाता है। a और b के संख्यात्मक मान रखने पर:

762 + 316 = 1078

व्याख्या

साधारण ब्याज दर R पर n वर्षों में ऋण A को चुकाने के लिए आवश्यक वार्षिक किस्त x की गणना यह सुनिश्चित करके की जाती है कि किस्तों का योग और उस अवधि के अंत तक उनके द्वारा अर्जित ब्याज, कुल ऋण के बराबर हो। कुल राशि का सूत्र है:

A = n × x + (x × R × n(n-1))/(2 × 100)

दिए गए मानों A = 5664, n = 4, और R = 12 को प्रतिस्थापित करने पर:

5664 = 4x + (x × 12 × 4 × 3)/(200)

5664 = 4x + (x × 12 × 6)/(100)

5664 = 4x + (72x)/100

5664 = (400x + 72x)/100

5664 = (472x)/100

x = (5664 × 100)/(472)

x = 12 × 100

x = 1200

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज PQR में जहाँ O अंतःकेंद्र है, कोण POR का मान 90 डिग्री और कोण PQR के आधे के योग के बराबर होता है। कोण POR के स्थान पर 140 डिग्री रखने पर समीकरण 140 = 90 + (PQR / 2) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 50 = PQR / 2 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप कोण PQR = 100 डिग्री होता है।

व्याख्या

घड़ी का अंकित मूल्य ₹2,750 है। 10% की पहली छूट के बाद मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: P₁ = 2750 × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) = 2750 × 0.9 = 2475

माना दूसरी छूट x% है। दूसरी छूट के बाद अंतिम विक्रय मूल्य (SP) इस प्रकार होगा: SP = P₁ × (1 - ˣ⁄₁₀₀)

समीकरण में ज्ञात मानों को रखने पर: 2103.75 = 2475 × (1 - ˣ⁄₁₀₀)

दोनों पक्षों को 2475 से विभाजित करने पर: 1 - ˣ⁄₁₀₀ = (2103.75)/(2475) 1 - ˣ⁄₁₀₀ = 0.85

x का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: ˣ⁄₁₀₀ = 1 - 0.85 ˣ⁄₁₀₀ = 0.15 x = 15

दुकानदार द्वारा दी गई दूसरी छूट 15% है।

व्याख्या

समान क्रय मूल्य के लिए दो अलग-अलग विक्रय मूल्यों के बीच का संबंध, उनके संबंधित लाभ प्रतिशत दिए जाने पर, सूत्र SP₂ = SP₁ × (100 + P₂)/(100 + P₁) द्वारा व्यक्त किया जाता है। यहाँ, SP₁ प्रारंभिक विक्रय मूल्य है, P₁ प्रारंभिक लाभ प्रतिशत है, SP₂ नया विक्रय मूल्य है, और P₂ लक्षित लाभ प्रतिशत है।

दिया गया है SP₁ = 2,78,000, P₁ = 25, और P₂ = 18, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

SP₂ = 2,78,000 × (100 + 18)/(100 + 25)

SP₂ = 2,78,000 × ¹¹⁸⁄₁₂₅

गणना को सरल बनाने के लिए, हम 2,78,000 को 125 से विभाजित करते हैं:

(2,78,000)/(125) = 2,224

अब, इस भागफल को अंश 118 से गुणा करें:

SP₂ = 2,224 × 118

SP₂ = 2,62,432

व्याख्या

साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके, सबसे पहले पहली स्थिति में अर्जित ब्याज ज्ञात कीजिए। ब्याज, मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है: SI₁ = 832 - 640 = 192। पहली स्थिति के मानों को सूत्र में रखने पर 192 = (640 × R × 2)/(100) प्राप्त होता है। दर (R) के लिए हल करने पर, R = (192 × 100)/(1280) = 15%।

अब, इस दर को दूसरी स्थिति में लागू करें जहाँ मूलधन 860 है और समय 4 वर्ष है। ब्याज की गणना इस प्रकार की जाती है: SI₂ = (860 × 15 × 4)/(100) = (860 × 60)/(100) = 516। अंतिम मिश्रधन, मूलधन और ब्याज का योग है: मिश्रधन = 860 + 516 = 1376।