एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मूलधन P पर T वर्षों के लिए R% वार्षिक दर से साधारण ब्याज (SI) का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है। दिए गए मानों P = 30,000, R = 5, और T = 3 का उपयोग करने पर:

SI = (30,000 × 5 × 3)/(100) = 300 × 15 = 4,500

यह ज्ञात करने के लिए कि यह ब्याज 18,000 की मासिक आय का कितना प्रतिशत है, हम प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत = (SI)/(मासिक आय) × 100

प्रतिशत = (4,500)/(18,000) × 100

भिन्न (4,500)/(18,000) को सरल करने पर ¼ प्राप्त होता है। इसलिए:

प्रतिशत = ¼ × 100 = 25%

व्याख्या

मान लीजिए कि दो संख्याएँ 14x और 19x हैं, जहाँ x उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) को दर्शाता है। चूँकि अनुपात 14:19 अपने सरलतम रूप में है, इसलिए संख्याएँ 14 और 19 सह-अभाज्य (co-prime) हैं।

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), महत्तम समापवर्तक (HCF) और दो संख्याओं के अनुपात a:b के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: LCM = HCF × a × b।

चूँकि HCF 9 है और अनुपात के भाग 14 और 19 हैं, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

LCM = 9 × 14 × 19

सबसे पहले, अनुपात के भागों के गुणनफल की गणना करें: 14 × 19 = 266

फिर, HCF से गुणा करें: 266 × 9 = 2394

वैकल्पिक रूप से, संख्याएँ 14 × 9 = 126 और 19 × 9 = 171 हैं। 126 और 171 का LCM 2394 है।

व्याख्या

कंपनी K के सापेक्ष कंपनी J में सेल्समैन का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सूत्र प्रतिशत = (J में मान)/(K में मान) × 100 का उपयोग करें। दी गई तालिका के अनुसार, कंपनी J में सेल्समैन की संख्या 45 है और कंपनी K में सेल्समैन की संख्या 20 है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

प्रतिशत = ⁴⁵⁄₂₀ × 100

45 को 20 से विभाजित करने पर 2.25 प्राप्त होता है। इस परिणाम को 100 से गुणा करने पर 225 प्रतिशत प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि कंपनी J के कार्यबल का आकार कंपनी K के कार्यबल के आकार का 2.25 गुना है।

व्याख्या

एक घनाभ के आयतन की गणना सूत्र V = l × w × h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ l, w, h इसके किनारों की लंबाई हैं। दिए गए 6 सेमी, 7 सेमी और 8 सेमी किनारों वाले घनाभ का आयतन है: V_cuboid = 6 × 7 × 8 = 336 सेमी³

एक घन के आयतन की गणना सूत्र V = s³ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ s इसके किनारे की लंबाई है। 7 सेमी किनारे वाले दिए गए घन का आयतन है: V_cube = 7 × 7 × 7 = 343 सेमी³

चूंकि 343 सेमी³ > 336 सेमी³, इसलिए घन का आयतन घनाभ के आयतन से अधिक होगा।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। चूँकि △ ABC ∼ △ DEF है, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

(△ ABC का परिमाप)/(△ DEF का परिमाप) = (AB)/(DE)

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर:

³²⁄₁₂ = (AB)/(6)

AB का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

AB = (32 × 6)/(12)

AB = ³²⁄₂

AB = 16 सेमी

व्याख्या

एक घड़ी की घंटे वाली सुई 12 घंटे में 360° का एक पूरा चक्कर लगाती है। 1 घंटे में घंटे की सुई द्वारा बनाया गया कोण (360°)/(12) = 30° होता है। इसलिए, 4 घंटे में, तय किया गया कोण θ = 4 × 30° = 120° है।

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र A = (θ)/(360°) × π r² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। घंटे की सुई की लंबाई r = 6 सेमी और कोण θ = 120° दिया गया है, गणना इस प्रकार है:

A = (120°)/(360°) × π × (6)² A = ⅓ × π × 36 A = 12π

π ≈ ²²⁄₇ का उपयोग करने पर: A = 12 × ²²⁄₇ = ²⁶⁴⁄₇ ≈ 37.7142...

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 37.71 सेमी² है।

व्याख्या

मान लीजिए मेज का क्रय मूल्य T और कुर्सी का क्रय मूल्य C है। हमें दिया गया है T + C = 3,900।

कुल लाभ व्यक्तिगत लाभों का योग है: 0.08T + 0.16C = 540

सरल बनाने के लिए, पूरे समीकरण को 100 से गुणा करें: 8T + 16C = 54,000

समीकरण को 8 से भाग देने पर प्राप्त होता है: T + 2C = 6,750

इस परिणाम से पहले समीकरण (T + C = 3,900) को घटाएं: (T + 2C) - (T + C) = 6,750 - 3,900 C = 2,850

अब, T का मान ज्ञात करें: T = 3,900 - 2,850 = 1,050

मेज और कुर्सी के मूल मूल्यों के बीच का अंतर है: |2,850 - 1,050| = 1,800

व्याख्या

9 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 का गुणज हो। 4-अंकीय संख्या x67y के लिए, अंकों का योग x + 6 + 7 + y = x + y + 13 है। इस योग को 9 से विभाज्य बनाने के लिए, x + y + 13 को 9 का गुणज होना चाहिए, जैसे कि 18, 27, या 36।

योग को सबसे छोटे संभावित गुणज के बराबर रखने पर x + y + 13 = 18 प्राप्त होता है, जिससे x + y = 5 मिलता है। चूंकि x एक 4-अंकीय संख्या का पहला अंक है, इसलिए x कम से कम 1 होना चाहिए। यदि x = 5 और y = 0, या x = 1 और y = 4 है, तो यह शर्त पूरी होती है। अगला गुणज x + y + 13 = 27 होगा, जिससे x + y = 14 प्राप्त होता है। इसलिए, योग (x + y) का न्यूनतम मान 5 है।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: एकल समतुल्य छूट = (x + y - ˣʸ⁄₁₀₀) %

इस मामले में, पहली छूट x = 15 और दूसरी छूट y = 5 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर: एकल समतुल्य छूट = (15 + 5 - (15 × 5)/(100)) % एकल समतुल्य छूट = (20 - ⁷⁵⁄₁₀₀) % एकल समतुल्य छूट = 20 - 0.75 = 19.25%

यह परिणाम प्रारंभिक मूल्य को 100 मानकर भी प्राप्त किया जा सकता है। 15% की पहली छूट के बाद, मूल्य 85 हो जाता है। इसके बाद 85 पर 5% की दूसरी छूट लागू की जाती है, जो कि 0.05 × 85 = 4.25 है। दोनों छूटों के बाद अंतिम मूल्य 85 - 4.25 = 80.75 है। कुल छूट प्रारंभिक और अंतिम मूल्य के बीच का अंतर है: 100 - 80.75 = 19.25।

व्याख्या

पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम सापेक्ष चाल (relative speed) की अवधारणा का उपयोग करते हैं। चूंकि पुलिसकर्मी और चोर दोनों एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं, इसलिए सापेक्ष चाल उनकी व्यक्तिगत चालों का अंतर है।

पुलिसकर्मी की चाल 23 मीटर/सेकंड है और चोर की चाल 21 मीटर/सेकंड है। इसलिए, सापेक्ष चाल (vᵣₑₗ) है:

vᵣₑₗ = 23 मीटर/सेकंड - 21 मीटर/सेकंड = 2 मीटर/सेकंड

चोर को पकड़ने के लिए तय की जाने वाली प्रारंभिक दूरी 97 मीटर है। आवश्यक समय (t) की गणना प्रारंभिक दूरी को सापेक्ष चाल से विभाजित करके की जाती है:

t = (दूरी)/(सापेक्ष चाल) t = ⁹⁷⁄₂ = 48.5 सेकंड

व्याख्या

इस हल को बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = (a - b)² + 4ab का उपयोग करके प्राप्त किया गया है। a = cot x और b = tan x प्रतिस्थापित करने पर, हम इस तथ्य का उपयोग करके व्यंजक को सरल करते हैं कि cot x · tan x = 1 है। cot x - tan x = ³⁄₂ मान दिए जाने पर, यह सर्वसमिका इस प्रकार हो जाती है:

(cot x + tan x)² = (³⁄₂)² + 4(cot x · tan x)

(cot x + tan x)² = ⁹⁄₄ + 4(1)

(cot x + tan x)² = ⁹⁄₄ + ¹⁶⁄₄

(cot x + tan x)² = ²⁵⁄₄

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर cot x + tan x = √(²⁵⁄₄) = ⁵⁄₂ प्राप्त होता है। यह बीजगणितीय दृष्टिकोण पदों को एक ऐसे चर के रूप में मानकर, जिनका गुणनफल एक (unity) होता है, जटिल त्रिकोणमितीय रूपांतरणों की आवश्यकता को समाप्त करता है।

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि कंपनी A का बिक्री कारोबार, कंपनी C के बिक्री कारोबार का कितना प्रतिशत है, हम मानक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत = ((मान)/(संदर्भ मान)) × 100

इस मामले में, कंपनी A के लिए मान 120 है और कंपनी C के लिए संदर्भ मान 200 है। इन आंकड़ों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

प्रतिशत = (¹²⁰⁄₂₀₀) × 100

भिन्न को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

प्रतिशत = 0.6 × 100 = 60

गणना से पता चलता है कि कंपनी A का कारोबार, कंपनी C के कारोबार का ठीक 60 प्रतिशत है।

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई का उपयोग करके की जाती है। चूंकि आधार 28 सेमी और ऊंचाई 12 सेमी दी गई है, इसलिए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 28 × 12 = 336 वर्ग सेमी है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = ½ × आधार × शीर्षलंब द्वारा निर्धारित किया जाता है। चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज का आधार और क्षेत्रफल समान हैं, हम उनके क्षेत्रफल के समीकरणों को एक दूसरे के बराबर रख सकते हैं: 28 × 12 = ½ × 28 × शीर्षलंब। समीकरण के दोनों पक्षों को उभयनिष्ठ आधार 28 सेमी से विभाजित करने पर, हमें 12 = ½ × शीर्षलंब प्राप्त होता है। त्रिभुज के शीर्षलंब का मान ज्ञात करने पर, हमें शीर्षलंब = 12 × 2 = 24 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

सही आरोही क्रम निर्धारित करने के लिए, हम भिन्नों ¹⁄₁₁, ²⁄₉, ⅔, और ⅘ के मानों की तुलना करते हैं। इन भिन्नों को दशमलव रूप में बदलने से प्रत्यक्ष तुलना की जा सकती है:

¹⁄₁₁ ≈ 0.091 ²⁄₉ ≈ 0.222 ⅔ ≈ 0.667 ⅘ = 0.800

इन दशमलव मानों को सबसे छोटे से सबसे बड़े क्रम में व्यवस्थित करने पर 0.091 < 0.222 < 0.667 < 0.800 प्राप्त होता है। यह भिन्नों के आरोही क्रम की पुष्टि इस प्रकार करता है:

¹⁄₁₁ < ²⁄₉ < ⅔ < ⅘

विकल्प में दिए गए हरों (denominators) का क्रम 11, 9, 3, और 5, इन भिन्नों के सही ढंग से व्यवस्थित आरोही क्रम में उनके हरों के संगत है। वैकल्पिक रूप से, 495 के एक समान हर (common denominator) का उपयोग करने पर, भिन्न ⁴⁵⁄₄₉₅, ¹¹⁰⁄₄₉₅, ³³⁰⁄₄₉₅, और ³⁹⁶⁄₄₉₅ हो जाते हैं, जो अंशों (numerators) 45, 110, 330, और 396 के आधार पर समान आरोही क्रम प्रदान करते हैं।

व्याख्या

यात्रा की कुल दूरी D की गणना पूरी यात्रा की औसत गति और कुल समय का उपयोग करके की जाती है: D = औसत गति × कुल समय = 32 किमी/घंटा × 3 घंटे = 96 किमी

चूंकि छात्र 6 किमी पैदल चला था, इसलिए मेट्रो द्वारा तय की गई दूरी dₘ है: dₘ = 96 किमी - 6 किमी = 90 किमी

मेट्रो में लगा समय tₘ मेट्रो की औसत गति का उपयोग करके निकाला जाता है: tₘ = (मेट्रो की दूरी)/(मेट्रो की गति) = (90 किमी)/(60 किमी/घंटा) = 1.5 घंटे

पैदल चलने में लगा समय t_w कुल यात्रा समय में से मेट्रो के समय को घटाकर प्राप्त होता है: t_w = 3 घंटे - 1.5 घंटे = 1.5 घंटे

पैदल चलने की गति v_w पैदल चलने की दूरी को पैदल चलने के समय से विभाजित करके प्राप्त होती है: v_w = (6 किमी)/(1.5 घंटे) = 4 किमी/घंटा

व्याख्या

कार्यक्षमता, कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। मान लीजिए कि A, B और C की कार्यक्षमता को क्रमशः E_A, E_B और E_C द्वारा दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार, B को कार्य करने में A और C द्वारा मिलकर लिए गए समय से 3 गुना समय लगता है, जिसका अर्थ है कि A और C की संयुक्त कार्यक्षमता B की कार्यक्षमता की 3 गुना है। गणितीय रूप से, E_A + E_C = 3E_B।

तीनों व्यक्तियों की संयुक्त कार्यक्षमता E_A + E_B + E_C है। ऊपर प्राप्त संबंध को प्रतिस्थापित करने पर, कुल कार्यक्षमता 3E_B + E_B = 4E_B हो जाती है। चूंकि A, B और C मिलकर कार्य को 10 दिनों में पूरा कर सकते हैं, इसलिए उनकी संयुक्त कार्यक्षमता प्रति दिन कार्य का 1/10 भाग है।

कुल कार्यक्षमता के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें 4E_B = 1/10 प्राप्त होता है। B की कार्यक्षमता ज्ञात करने पर, E_B = 1/40 प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि B एक दिन में कार्य का 1/40 भाग पूरा करता है। अतः, B अकेले पूरे कार्य को पूरा करने में 1/E_B = 40 दिन का समय लेगा।

व्याख्या

किश्त योजना में ब्याज की दर ज्ञात करने के लिए, हम इस सिद्धांत का उपयोग करते हैं कि भुगतान किया गया कुल ब्याज, बकाया मासिक शेष राशि पर परिकलित ब्याज का योग होता है।

1 रुपये की 11 किश्तों के माध्यम से चुकाई गई कुल राशि है: कुल पुनर्भुगतान = 11 × 1 = 11 रुपये

10 रुपये के मूलधन पर भुगतान किया गया कुल ब्याज (SI) है: SI = 11 - 10 = 1 रुपया

पहले महीने के लिए मूलधन 10 रुपये है। चूंकि प्रत्येक महीने के अंत में 1 रुपये का भुगतान किया जाता है, इसलिए दूसरे महीने के लिए मूलधन 9 रुपये है, तीसरे महीने के लिए 8 रुपये है, और इसी तरह 10वें महीने तक जहाँ मूलधन 1 रुपया है। 11वें महीने में, शेष राशि तकनीकी रूप से चुका दी जाती है, लेकिन पिछले शेष पर ब्याज अर्जित हो चुका होता है। इन मासिक मूलधनों का योग (Σ P) है: Σ P = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55

साधारण ब्याज सूत्र SI = (Σ P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ प्रत्येक शेष राशि के लिए समय T, 1 महीना (1/12 वर्ष) है: 1 = (55 × R × 1)/(100 × 12) 1200 = 55 × R R = ¹²⁰⁰⁄₅₅ = ²⁴⁰⁄₁₁ R = 21 ⁹⁄₁₁%

प्रतियोगी परीक्षाओं में राउंडिंग या फ़ॉर्मेटिंग समस्याओं के कारण अक्सर 21 ⁹⁄₁₁% को 21 9/11% के रूप में या सरलीकृत रूप में 21.81% के रूप में दर्शाया जाता है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए, 21 9/11% विकल्प B से मेल खाता है।

व्याख्या

दो चरों के योग और अंतर के बीच का संबंध बीजीय सर्वसमिका (a + b)² = (a - b)² + 4ab द्वारा दर्शाया जाता है। समीकरण में दिए गए मान a - b = 8 और ab = 9 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (a + b)² = 8² + 4(9) प्राप्त होता है। वर्गों और गुणनफलों की गणना करने पर (a + b)² = 64 + 36 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (a + b)² = 100 हो जाता है। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर a + b = ± √(100) प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप मान ± 10 आता है।

व्याख्या

r त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से एक जीवा की लंबाई L और उसकी लंबवत दूरी d के बीच का संबंध पाइथागोरस प्रमेय से r² = d² + (L/2)² के रूप में प्राप्त होता है। दूरी के लिए इसे हल करने पर, हमें d = √(r² - (L/2)²) प्राप्त होता है। चूंकि किसी दिए गए वृत्त के लिए त्रिज्या r एक स्थिरांक है, इसलिए जीवा की लंबाई L में वृद्धि के परिणामस्वरूप पद (L/2)² का मान बढ़ जाता है। जब इस बड़े मान को r² में से घटाया जाता है, तो d² का परिणामी मान कम होना चाहिए। परिणामस्वरूप, जीवा की लंबाई बढ़ने पर केंद्र से लंबवत दूरी d घटती है। यह ज्यामितीय रूप से स्पष्ट है क्योंकि सबसे लंबी जीवा, जो कि व्यास है, केंद्र से होकर गुजरती है और इसकी लंबवत दूरी शून्य होती है, जबकि छोटी जीवाएँ केंद्र से अधिक दूरी पर स्थित होती हैं।

व्याख्या

अंतिम मूल्य की गणना जूसर मिक्सर मशीन के अंकित मूल्य पर क्रमिक छूट देकर की जाती है। जब कई छूट दी जाती हैं, तो प्रत्येक अगली छूट पिछले चरण से प्राप्त कम हुए मूल्य पर लागू होती है।

क्रमिक छूट के बाद अंतिम मूल्य के सूत्र का उपयोग करने पर: अंतिम मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: अंतिम मूल्य = 3000 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ⁵⁄₁₀₀) अंतिम मूल्य = 3000 × ⁸⁰⁄₁₀₀ × ⁹⁵⁄₁₀₀ अंतिम मूल्य = 3000 × 0.8 × 0.95 अंतिम मूल्य = 2400 × 0.95 अंतिम मूल्य = 2280

वैकल्पिक रूप से, ₹3,000 पर 20% की पहली छूट ₹600 के बराबर है, जिससे मूल्य घटकर ₹2,400 हो जाता है। इसके बाद इस कम हुई राशि पर 5% की अतिरिक्त नकद छूट की गणना की जाती है: ₹2,400 का 5% ₹120 है। इसे ₹2,400 में से घटाने पर ₹2,280 की अंतिम राशि प्राप्त होती है।

व्याख्या

व्यंजक csc 15° sec 15° को कोसीकेंट (cosec) और सीकेंट (sec) पदों को उनके व्युत्क्रम साइन (sine) और कोसाइन (cosine) रूपों में परिवर्तित करके सरल किया जा सकता है। इससे व्यंजक (1)/(sin 15° cos 15°) प्राप्त होता है। साइन के द्वि-कोण सर्वसमिका (double-angle identity) sin 2θ = 2 sin θ cos θ का उपयोग करके, हम हर (denominator) को पुन: लिख सकते हैं। भिन्न के अंश (numerator) और हर (denominator) दोनों को 2 से गुणा करने पर (2)/(2 sin 15° cos 15°) प्राप्त होता है। θ = 15° के साथ सर्वसमिका लागू करने पर, हर sin(2 × 15°) = sin 30° हो जाता है। चूंकि sin 30° का मान ½ है, इसलिए व्यंजक का मान (2)/(1/2) हो जाता है, जिसका परिणाम 4 आता है।

व्याख्या

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) उनके बीच के सबसे बड़े उभयनिष्ठ गुणनखंड को दर्शाता है। यदि HCF 17 है, तो दोनों संख्याओं को 17 × x और 17 × y के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ x और y सह-अभाज्य (co-prime) गुणनखंड हैं। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) HCF और इन विशिष्ट सह-अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल होता है, जिसे 17 × x × y के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह देखते हुए कि LCM के अन्य दो गुणनखंड 11 और 19 हैं, हम x = 11 और y = 19 मान लेते हैं। दोनों संख्याओं की गणना 17 × 11 = 187 और 17 × 19 = 323 के रूप में की जाती है। परिणामों की तुलना करने पर, दोनों संख्याओं में से छोटी संख्या 187 है।

व्याख्या

tan A और cot A को क्रमशः (sin A)/(cos A) और (cos A)/(sin A) में परिवर्तित करके व्यंजक को सरल किया जाता है। इन्हें मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(cos A)/(1 - sin A){cos A} + (sin A)/(1 - cos A){sin A}

यह सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

(cos² A)/(cos A - sin A) + (sin² A)/(sin A - cos A)

दोनों हरों को समान बनाने के लिए दूसरे हर से ऋणात्मक चिह्न (-) बाहर लेने पर:

(cos² A)/(cos A - sin A) - (sin² A)/(cos A - sin A) = (cos² A - sin² A)/(cos A - sin A)

अंश में बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करने पर:

((cos A - sin A)(cos A + sin A))/(cos A - sin A) = cos A + sin A

व्याख्या

इस प्रश्न को बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)((a + b)² - 3ab) का उपयोग करके हल किया जा सकता है। माना a = 2p और b = q।

दिए गए मानों 2p + q = 19 और 8p³ + q³ = 361 को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 361 = 19 × (19² - 3(2p)(q)) 361 = 19 × (361 - 6pq)

दोनों पक्षों को 19 से विभाजित करने पर: 19 = 361 - 6pq

6pq का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 6pq = 361 - 19 6pq = 342

pq का मान ज्ञात करने के लिए 6 से विभाजित करने पर: pq = ³⁴²⁄₆ = 57

व्याख्या

कथन I के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं कि यदि x + y + z = 0, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz। दिया गया है x = 12, y = -2, और z = -10, हम योग x + y + z = 12 + (-2) + (-10) = 0 पाते हैं। इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x³ + y³ + z³ = 3(12)(-2)(-10) = 3 × 12 × 20 = 720 प्राप्त होता है। इस प्रकार, कथन I सही है।

कथन II के लिए, हम सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करते हैं। पूरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर 4(x + y)² = 4x² + 4y² + 8xy प्राप्त होता है। हमें x + y = 48 और 4xy = 128 दिया गया है, जिसका अर्थ है 8xy = 256। इन मानों को विस्तारित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4(48)² = 4x² + 4y² + 256 प्राप्त होता है। 48² = 2304 की गणना करने पर, समीकरण 4(2304) = 4x² + 4y² + 256 हो जाता है, जो सरल होकर 9216 = 4x² + 4y² + 256 हो जाता है। दोनों पक्षों से 256 घटाने पर, हमें 4x² + 4y² = 9216 - 256 = 8960 प्राप्त होता है। इस प्रकार, कथन II भी सही है।

व्याख्या

एक आम का क्रय मूल्य (CP) कुल क्रय मूल्य को मात्रा से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है: CP = 90 / 9 = 10 रुपये। एक आम का विक्रय मूल्य (SP) कुल राजस्व को बेची गई मात्रा से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है: SP = 95 / 10 = 9.5 रुपये। चूंकि विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य से कम है, इसलिए इस लेनदेन में हानि होती है।

प्रति इकाई हानि की गणना इस प्रकार की जाती है: CP - SP = 10 - 9.5 = 0.5 रुपये। हानि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हानि को क्रय मूल्य से विभाजित किया जाता है और 100 से गुणा किया जाता है: हानि % = (0.5 / 10) × 100। इस गणना से 0.05 × 100 = 5% प्राप्त होता है।

व्याख्या

पिन abcd के अंक संबंधों b = 2a, c = 2b = 4a, और d = 2c = 8a को संतुष्ट करते हैं। चूंकि a, b, c, d गैर-शून्य एकल अंक हैं, इसलिए a का मान 1 होना चाहिए। यदि a का मान 2 या उससे अधिक होता, तो d का मान कम से कम 16 होता, जो कि एकल अंक के लिए संभव नहीं है। समीकरणों में a = 1 रखने पर b = 2, c = 4, और d = 8 प्राप्त होता है। इसलिए, चार अंकों का पिन 1248 है।

विभाज्यता निर्धारित करने के लिए, हम अभाज्य संख्याओं 2, 3 और 13 के साथ संख्या का परीक्षण करते हैं। संख्या 1248 सम है, इसलिए यह 2 से विभाज्य है। इसके अंकों का योग 1 + 2 + 4 + 8 = 15 है, और चूंकि 15, 3 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 1248, 3 से विभाज्य है। अंत में, 1248 को 13 से विभाजित करने पर 1248 = 13 × 96 प्राप्त होता है, जिससे पुष्टि होती है कि यह 13 से विभाज्य है। इस प्रकार, पिन 1248, 2, 3 और 13 से विभाज्य है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल की गणना सूत्र A = (θ)/(360) × π r² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या है और θ डिग्री में केंद्रीय कोण है। इस स्थिति में, रस्सी की लंबाई त्रिज्या r = 6 मीटर के रूप में कार्य करती है और केंद्रीय कोण θ = 70° है। सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें A = ⁷⁰⁄₃₆₀ × ²²⁄₇ × 6² प्राप्त होता है। व्यंजक को सरल करने पर, A = ⁷⁄₃₆ × ²²⁄₇ × 36। अंश में 36 का गुणनखंड हर में 36 से कट जाता है, और अंश में 7 हर में 7 से कट जाता है, जिसके परिणामस्वरूप A = 22 वर्ग मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

पेन के क्रय मूल्य (CP) की गणना सूत्र CP = (SP × 100)/(100 + लाभ %) का उपयोग करके की जाती है। प्रारंभिक विक्रय मूल्य 166.44 रुपये और 14% के लाभ का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: CP = (166.44 × 100)/(114) = ¹⁶⁶⁴⁴⁄₁₁₄ = 146 रुपये।

यदि पेन को 154.76 रुपये में बेचा जाता है, तो अर्जित लाभ इस नए विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: 154.76 - 146 = 8.76 रुपये। इसके बाद लाभ प्रतिशत की गणना (लाभ)/(CP) × 100 = (8.76)/(146) × 100 के रूप में की जाती है। यह सरल होकर ⁸⁷⁶⁄₁₄₆ = 6% हो जाता है। चूंकि विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए इसके परिणामस्वरूप 6% का लाभ होता है।

व्याख्या

व्यंजक x + 3(y + x - 2) - (x + y) को सरल करने के लिए, सबसे पहले कोष्ठक हटाने के लिए वितरण गुण (distributive property) लागू करें। पहले कोष्ठक के भीतर के पदों को 3 से गुणा करने और दूसरे कोष्ठक के पदों पर ऋणात्मक चिह्न को वितरित करने पर x + 3y + 3x - 6 - x - y प्राप्त होता है। इसके बाद, x, y और अचर (constant) के समान पदों को समूहित और संयोजित करें। x-पदों के लिए, x + 3x - x की गणना करें, जो सरल होकर 3x हो जाता है। y-पदों के लिए, 3y - y की गणना करें, जो सरल होकर 2y हो जाता है। अचर पद -6 है। इन घटकों को संयोजित करने पर सरल व्यंजक 3x + 2y - 6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रारंभिक 60 लीटर मिश्रण में, पानी की मात्रा 60 का 10% है, जो कि 6 लीटर है। इसलिए, मिश्रण में दूध की मात्रा 60 - 6 = 54 लीटर है।

जब मिश्रण में पानी मिलाया जाता है, तो दूध की मात्रा अपरिवर्तित रहती है। अंतिम मिश्रण में, पानी की मात्रा 25% होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि दूध शेष 75% होगा। मान लीजिए कि अंतिम मिश्रण की कुल मात्रा V है। दूध की अपरिवर्तित मात्रा का उपयोग करने पर: V का 75% = 54 ¾ × V = 54 V = (54 × 4)/(3) = 18 × 4 = 72 लीटर

मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा, अंतिम कुल मात्रा और प्रारंभिक कुल मात्रा के बीच का अंतर है: मिलाया गया पानी = 72 - 60 = 12 लीटर

व्याख्या

1026, 2268 और 2430 का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक या महत्तम समापवर्तक (GCD) ज्ञात करने के लिए, हम इस गुण का उपयोग करते हैं कि संख्याओं के एक समूह का GCD उन संख्याओं के बीच के अंतर को भी विभाजित करना चाहिए।

सबसे पहले, दी गई संख्याओं के बीच के अंतर की गणना करें: 2430 - 2268 = 162 2268 - 1026 = 1242

इसके बाद, यूक्लिडियन एल्गोरिथम (Euclidean algorithm) का उपयोग करके इन अंतरों का GCD ज्ञात करें: 1242 = 7 × 162 + 108 162 = 1 × 108 + 54 108 = 2 × 54 + 0 अंतरों 162 और 1242 का महत्तम समापवर्तक 54 है।

अंत में, सत्यापित करें कि 54 वास्तव में मूल संख्याओं का एक गुणनखंड है: 1026 = 54 × 19 2268 = 54 × 42 2430 = 54 × 45

चूंकि प्राप्त भागफल 19, 42 और 45 में 1 के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, इसलिए 54 पूरे समूह के लिए महत्तम समापवर्तक (HCF) है।

व्याख्या

एक घड़ी के घंटे की सुई 12 घंटे में एक पूर्ण चक्कर पूरा करती है, जो कि 2π रेडियन होता है। रात 9 बजे से सुबह 3 बजे तक बीता हुआ समय ठीक 6 घंटे है। इसलिए, घंटे की सुई द्वारा तय किया गया कोण θ एक पूर्ण चक्कर का ठीक आधा है, जिसकी गणना θ = ⁶⁄₁₂ × 2π = π रेडियन के रूप में की जाती है। सुई के सिरे द्वारा तय की गई दूरी चाप की लंबाई s है, जिसे सूत्र s = rθ द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ r त्रिज्या या घंटे की सुई की लंबाई है। दिया गया है r = 6 इंच, तो दूरी s = 6 × π = 6π इंच है।

व्याख्या

माना कि मतदाताओं की कुल संख्या 100% है। चूंकि 8% मतदाताओं ने अपने मत नहीं डाले, इसलिए डाले गए कुल मत कुल मतदाताओं का 92% हैं।

विजेता ने कुल मतों का 48% प्राप्त किया। यह देखते हुए कि डाले गए सभी मत वैध थे, हारने वाले उम्मीदवार को शेष डाले गए मत प्राप्त हुए: हारने वाले उम्मीदवार के मत = 92% - 48% = कुल मतों का 44%

जीत का अंतर विजेता और हारने वाले के मतों के बीच का अंतर है: जीत का अंतर = 48% - 44% = कुल मतों का 4%

हमें दिया गया है कि यह 4% का अंतर 1100 मतों के बराबर है। 4% = 1100 1% = ¹¹⁰⁰⁄₄ = 275 100% = 275 × 100 = 27500

व्याख्या

दिए गए समीकरण sin (A + B) = cos (A + B) में, दोनों पक्षों को cos (A + B) से विभाजित करने पर हमें tan (A + B) = 1 प्राप्त होता है। योग के tangent के त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(tan A + tan B)/(1 - tan A tan B) = 1

हर (denominator) का समीकरण के दाईं ओर वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:

tan A + tan B = 1 - tan A tan B

tan A को अलग करने के लिए, हम tan A वाले पदों को एक पक्ष में व्यवस्थित करते हैं:

tan A + tan A tan B = 1 - tan B

बाईं ओर tan A को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:

tan A (1 + tan B) = 1 - tan B

दोनों पक्षों को (1 + tan B) से विभाजित करने पर अंतिम व्यंजक प्राप्त होता है:

tan A = (1 - tan B)/(1 + tan B)

व्याख्या

संख्याओं के एक समूह का महत्तम समापवर्तक (HCF) उन संख्याओं में मौजूद सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों (common prime factors) की सबसे छोटी घातों (lowest powers) का गुणनफल होता है। 72, 108 और 2010 का HCF ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले प्रत्येक मान का अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) करते हैं।

72 का अभाज्य गुणनखंडन 2³ × 3² है। 108 का अभाज्य गुणनखंडन 2² × 3³ है। 2010 का अभाज्य गुणनखंडन 2 × 3 × 5 × 67 है।

अभाज्य गुणनखंडों का परीक्षण करने पर, हम देखते हैं कि 2 और 3 ही केवल ऐसे अभाज्य गुणनखंड हैं जो तीनों संख्याओं में उभयनिष्ठ (common) हैं। HCF की गणना करने के लिए, हम तीनों समूहों में इन उभयनिष्ठ गुणनखंडों में से प्रत्येक के लिए सबसे छोटा घातांक (smallest exponent) चुनते हैं।

अभाज्य गुणनखंड 2 के लिए, घातांक 3, 2 और 1 हैं। सबसे छोटी घात 2¹ है। अभाज्य गुणनखंड 3 के लिए, घातांक 2, 3 और 1 हैं। सबसे छोटी घात 3¹ है।

इन सबसे छोटी घातों का गुणनफल HCF देता है: 2¹ × 3¹ = 6। इसे भाग विधि (division method) का उपयोग करके भी सत्यापित किया जा सकता है, जिसके लिए पहले 72 और 108 का HCF ज्ञात किया जाता है, जो कि 36 है, और फिर 36 और 2010 का HCF ज्ञात किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण sec θ + cos θ = 2 है। चूंकि sec θ = (1)/(cos θ) है, इसलिए यह व्यंजक cos θ + (1)/(cos θ) = 2 के समतुल्य है। यह उस बीजगणितीय सर्वसमिका से मेल खाता है जहाँ x + ¹⁄ₓ = 2 का तात्पर्य x = 1 है, क्योंकि x² - 2x + 1 = (x - 1)² = 0 है। इसलिए, cos θ = 1 और sec θ = ¹⁄₁ = 1 है। 1 की कोई भी घात 1 के बराबर होती है, जिसका अर्थ है sec⁵⁵ θ = 1⁵⁵ = 1। इसे वांछित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें sec⁵⁵ θ + sec⁵⁵ θ = 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या, जिसे परित्रिज्या R के रूप में भी जाना जाता है, सूत्र R = (a)/(√(3)) द्वारा निर्धारित की जाती है, जहाँ a त्रिभुज की भुजा की लंबाई है। यह देखते हुए कि समबाहु त्रिभुज की भुजा 9 सेमी है, इस मान को सूत्र में रखने पर R = (9)/(√(3)) प्राप्त होता है। इस व्यंजक को सरल करने के लिए, हम 9 को √3 से विभाजित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 3√3 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

सभी 5 वर्षों में देश M द्वारा किए गए कुल विदेशी व्यापार को ज्ञात करने के लिए, हम वर्ष Y1 से Y5 तक देश M के लिए दिए गए व्यापार मूल्यों के योग की गणना करते हैं।

देश M द्वारा कुल व्यापार = Trade_Y₁ + Trade_Y₂ + Trade_Y₃ + Trade_Y₄ + Trade_Y₅

दिए गए मानों को रखने पर: कुल व्यापार = 125 + 185 + 275 + 255 + 170

आसान गणना के लिए पदों को समूहीकृत करने पर: (125 + 275) + (185 + 255) + 170 = 400 + 440 + 170 = 840 + 170 = 1010

व्याख्या

औसत गति को तय की गई कुल दूरी को लिए गए कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।

सबसे पहले, प्रत्येक खंड के लिए दूरी की गणना किलोमीटर में करें। पहले खंड के लिए, गति 18 मी/से है और समय 5 मिनट या 300 सेकंड है। दूरी d₁ = 18 × 300 = 5400 मीटर = 5.4 किमी। अगले दो खंडों की दूरियां d₂ = 7.5 किमी और d₃ = 12 किमी दी गई हैं।

कुल दूरी D = 5.4 + 7.5 + 12 = 24.9 किमी।

इसके बाद, कुल समय की गणना घंटों में करें। मिनटों में कुल समय 5 + 10 + 10 = 25 मिनट है। इसे घंटों में बदलने के लिए, 60 से विभाजित करें: T = ²⁵⁄₆₀ = ⁵⁄₁₂ घंटे।

औसत गति Vₐᵥ_g = (कुल दूरी)/(कुल समय) = (24.9)/(5/12) = 24.9 × ¹²⁄₅ = 24.9 × 2.4 = 59.76 किमी/घंटा।

59.76 को दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर 59.8 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

समीकरण ʳ⁄₁₃ + ¹³⁄ᵣ = 1, एक बीजगणितीय रूप x + ¹⁄ₓ = 1 है, जहाँ x = ʳ⁄₁₃ है।

x + ¹⁄ₓ = 1 को x से गुणा करने पर प्राप्त होता है: x² + 1 = x x² - x + 1 = 0

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर, (x + 1)(x² - x + 1) = x³ + 1। चूँकि x² - x + 1 = 0 है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि: x³ + 1 = 0 x³ = -1

x = ʳ⁄₁₃ का मान वापस सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: (ʳ⁄₁₃)³ = -1 r³{13³} = -1 r³ = -13³

13 का घन ज्ञात करने पर: 13³ = 13 × 13 × 13 = 169 × 13 = 2197

अतः: r³ = -2197

व्याख्या

ऋण अवधि के अंत में चुकाई जाने वाली कुल राशि (A), मूलधन और पूरी अवधि के साधारण ब्याज का योग है: A = P + (P × R × T)/(100) A = 2000 + (2000 × 5 × 3)/(100) = 2000 + 300 = 2300

साधारण ब्याज किश्त योजना में, समान वार्षिक किश्तों (x) का योग और प्रत्येक किश्त द्वारा अवधि के अंत तक अर्जित किया जाने वाला ब्याज, कुल राशि A के बराबर होना चाहिए। वार्षिक किश्त x का सूत्र है: A = nx + (R × x × n(n-1))/(200)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2300 = 3x + (5 × x × 3(3-1))/(200) 2300 = 3x + (5 × x × 6)/(200) 2300 = 3x + ³⁰ˣ⁄₂₀₀ 2300 = 3x + 0.15x 2300 = 3.15x

x का मान ज्ञात करने पर: x = (2300)/(3.15) ≈ 730.16

दिए गए विकल्पों में से, संख्यात्मक मान 73063 इस गणना से मेल खाता है (मूलधन में संभावित भिन्नता या मूल प्रश्न स्रोत में पूर्णांकन को ध्यान में रखते हुए)।

व्याख्या

कार्य पूरा होने का समय निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले कुल कार्य को व्यक्तिगत समय, 6 और 10 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में परिभाषित करें, जो कि 30 इकाई है। व्यक्ति A की कार्यक्षमता 30 / 6 = 5 इकाई प्रति घंटा है, और व्यक्ति B की कार्यक्षमता 30 / 10 = 3 इकाई प्रति घंटा है।

कार्य 2 घंटे के चक्रों में किया जाता है जहाँ A पहले घंटे काम करता है और B दूसरे घंटे काम करता है। एक 2 घंटे के चक्र में पूरा किया गया कार्य 5 + 3 = 8 इकाई है। 3 पूर्ण चक्रों में, जो कि 6 घंटे के बराबर है, पूरा किया गया कार्य 3 × 8 = 24 इकाई है।

शेष कार्य 30 - 24 = 6 इकाई है। 7वें घंटे में, A काम करता है और 5 इकाई पूरी करता है, जिससे 6 - 5 = 1 इकाई कार्य शेष रह जाता है। अगली अवधि में, B शेष 1 इकाई को पूरा करता है। चूँकि B की कार्यक्षमता 3 इकाई प्रति घंटा है, इसलिए लिया गया समय 1 / 3 घंटा है।

कार्य समाप्त करने की कुल अवधि 6 + 1 + 1/3 = 7 ⅓ घंटे है। इस अवधि को सुबह 8 बजे के प्रारंभ समय में जोड़ने का अर्थ है कि कार्य दोपहर 3:20 बजे (3:20 p.m.) समाप्त होगा। गणना की गई 7 ⅓ घंटे की अवधि विकल्प B के मान के अनुरूप है।

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके संगत शीर्षलंबों के अनुपात के वर्ग के समानुपाती होता है। मान लीजिए कि A₁ और A₂ दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को दर्शाते हैं, और h₁ और h₂ उनके संगत शीर्षलंबों को दर्शाते हैं। इस संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

(A₁)/(A₂) = ( (h₁)/(h₂) )²

दिए गए क्षेत्रफलों A₁ = 324 सेमी² और A₂ = 289 सेमी² को सूत्र में रखने पर:

³²⁴⁄₂₈₉ = ( (h₁)/(h₂) )²

शीर्षलंबों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं:

(h₁)/(h₂) = √(³²⁴⁄₂₈₉)

वर्गमूल की गणना करने पर, √(324) = 18 और √(289) = 17 प्राप्त होता है। इसके परिणामस्वरूप 18:17 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

हवाई जहाज की गति एक समकोण पथ का अनुसरण करती है, जहाँ पूर्व और उत्तर की ओर तय की गई दूरी एक समकोण त्रिभुज की दो लंबवत भुजाओं को दर्शाती है। प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति की दूरी इस त्रिभुज का कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, c² = a² + b², जहाँ a और b भुजाएँ हैं और c कर्ण है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: c = √(14² + 48²) c = √(196 + 2304) c = √(2500) c = 50 किमी

इसे सामान्य पाइथागोरियन त्रिक (7, 24, 25) की पहचान करके भी निर्धारित किया जा सकता है। चूँकि दी गई दूरियाँ (14 और 48) क्रमशः 7 और 24 के 2 गुना गुणज हैं, इसलिए विस्थापन 25 × 2 = 50 किमी है।

व्याख्या

रमेश द्वारा अंतिम विक्रय मूल्य की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। राम के लिए प्रारंभिक क्रय मूल्य 1,250 रुपये है। राम इसे रमेश को 18% के लाभ पर बेचता है, और रमेश इसे श्याम को 10% की हानि पर बेचता है।

रमेश का विक्रय मूल्य = 1250 × (1 + ¹⁸⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀)

रमेश का विक्रय मूल्य = 1250 × 1.18 × 0.9

सबसे पहले, गुणकों के गुणनफल की गणना करें: 1.18 × 0.9 = 1.062।

अब, प्रारंभिक लागत से गुणा करें: 1250 × 1.062 = 1327.50।

वैकल्पिक रूप से, राम का विक्रय मूल्य (रमेश का क्रय मूल्य) 1250 + 1250 का 18% = 1250 + 225 = 1475 है। इसके बाद रमेश इसे 10% की हानि पर बेचता है: 1475 - 1475 का 10% = 1475 - 147.50 = 1327.50।

व्याख्या

माना पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः 7x और 2x है। 10 वर्ष बाद, उनकी आयु क्रमशः 7x + 10 और 2x + 10 होगी। दी गई शर्त के अनुसार, 10 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 9:4 होगा। इसे समीकरण (7x + 10)/(2x + 10) = 9/4 द्वारा दर्शाया जा सकता है।

पदों का तिर्यक-गुणन (cross-multiplying) करने पर 4(7x + 10) = 9(2x + 10) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 28x + 40 = 18x + 90 प्राप्त होता है। पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें 10x = 50 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप x = 5 मिलता है। पिता की वर्तमान आयु 7x = 7 × 5 = 35 वर्ष है।

वैकल्पिक रूप से, इसे अनुपातों में 'स्थिर अंतर विधि' (constant difference method) का उपयोग करके हल किया जा सकता है। वर्तमान आयु के अनुपात इकाइयों के बीच का अंतर (7 - 2 = 5) और भविष्य की आयु के बीच का अंतर (9 - 4 = 5) समान है। इसलिए, अनुपात इकाइयों में वृद्धि सीधे बीते हुए वर्षों की संख्या के अनुरूप है। पिता का अनुपात 7 से बढ़कर 9 हो जाता है, जो कि 2 इकाइयों की वृद्धि है। चूंकि ये 2 इकाइयाँ 10 वर्षों को दर्शाती हैं, इसलिए 1 इकाई 5 वर्षों के बराबर है। इस प्रकार, पिता की वर्तमान आयु 7 × 5 = 35 वर्ष है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण tan²θ + tan⁴θ = 1 है। tan²θ को उभयनिष्ठ लेने पर, हमें tan²θ (1 + tan²θ) = 1 प्राप्त होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + tan²θ = sec²θ का उपयोग करने पर, यह व्यंजक सरल होकर tan²θ · sec²θ = 1 हो जाता है।

फलन को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के पदों में बदलने पर, हमें प्राप्त होता है: (sin²θ)/(cos²θ) · (1)/(cos²θ) = 1 (sin²θ)/(cos⁴θ) = 1 sin²θ = cos⁴θ

समीकरण में सर्वसमिका sin²θ = 1 - cos²θ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 - cos²θ = cos⁴θ cos²θ + cos⁴θ = 1

व्याख्या

अर्धगोले की त्रिज्या r उसके व्यास की आधी होती है, इसलिए r = (12.6)/(2) = 6.3 सेमी।

एक ठोस अर्धगोले का आयतन V निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

V = ⅔ π r³

दिए गए मानों π = ²²⁄₇ और r = 6.3 को प्रतिस्थापित करने पर:

V = ⅔ × ²²⁄₇ × (6.3)³

V = ⅔ × ²²⁄₇ × 6.3 × 6.3 × 6.3

गणना को सरल करने पर:

V = 2 × 22 × (6.3)/(7) × (6.3)/(3) × 6.3

V = 44 × 0.9 × 2.1 × 6.3

V = 39.6 × 13.23

V = 523.908 सेमी³

व्याख्या

कथन I में श्रृंखला 100² - 99² + 98² - 97² + … + 22² - 21² शामिल है। बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करते हुए, प्रत्येक क्रमागत युग्म को सरल बनाया जा सकता है क्योंकि अंतर (a - b) हमेशा 1 होता है: (100 - 99)(100 + 99) + (98 - 97)(98 + 97) + … + (22 - 21)(22 + 21) = 1(199) + 1(195) + … + 1(43) यह 21 से 100 तक के सभी पूर्णांकों के योग के बराबर है: योग = 100 + 99 + 98 + … + 22 + 21 समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression) के योग के सूत्र S = ⁿ⁄₂(a + l) का उपयोग करने पर, जहाँ a = 21, l = 100, और n = (100 - 21) + 1 = 80: S = ⁸⁰⁄₂(21 + 100) = 40 × 121 = 4840 अतः, कथन I सही है।

कथन II को पदों को समूहित करके और सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके सरल किया गया है: (K - (1)/(K))(K + (1)/(K)) = K² - (1)/(K²⁾ इस परिणाम को (K² + (1)/(K²⁾) से गुणा करने पर (K⁴ - (1)/(K⁴⁾) प्राप्त होता है। अब व्यंजक (K⁴ - (1)/(K⁴⁾)(K⁴ + (1)/(K⁴⁾)(K⁴ - (1)/(K⁴⁾) हो जाता है। पहले दो पदों का गुणनफल (K⁸ - (1)/(K⁸⁾) है। अंत में, अंतिम पद से गुणा करने पर (K⁸ - (1)/(K⁸⁾)(K⁴ - (1)/(K⁴⁾) प्राप्त होता है। यह K¹⁶ - (1)/(K¹⁶⁾ के बराबर नहीं है, जिसके लिए अंतिम गुणनफल (K⁸ - (1)/(K⁸⁾)(K⁸ + (1)/(K⁸⁾) होना आवश्यक था। अतः, कथन II गलत है।