एसएससी सीजीएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 6a² द्वारा दिया जाता है, जहाँ a घन की भुजा की लंबाई है। दिया गया है S = 13.5 m², हम a के लिए निम्नानुसार हल कर सकते हैं:

6a² = 13.5 a² = (13.5)/(6) a² = 2.25 a = √(2.25) = 1.5 m

एक घन के विकर्ण की लंबाई सूत्र d = a√3 द्वारा दी जाती है। a का मान रखने पर:

d = 1.5√3 m

व्याख्या

माना मूल धनात्मक भिन्न x है। जब x को उसके व्युत्क्रम 1/x से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मान में ¹⁷⁵⁄₄ % की कमी हो जाती है। हम पहले इस प्रतिशत को भिन्नात्मक कमी में बदलते हैं: ¹⁷⁵⁄₄ % = ¹⁷⁵⁄₄₀₀ = ⁷⁄₁₆

प्रतिशत कमी की गणना मान में परिवर्तन को मूल मान से विभाजित करके की जाती है। यह संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है: (x - 1)/(x){x} = ⁷⁄₁₆

बाईं ओर के व्यंजक को सरल करने पर: 1 - (1)/(x²) = ⁷⁄₁₆

(1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: (1)/(x²) = 1 - ⁷⁄₁₆ (1)/(x²) = ⁹⁄₁₆

धनात्मक भिन्न x के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: ¹⁄ₓ = ¾

मूल भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए परिणाम को व्युत्क्रम करने पर: x = ⁴⁄₃

व्याख्या

माना ∠ BCP = θ है। एकांत वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) के अनुसार, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण, एकांत वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है। इस प्रकार, ∠ BAC = θ। चूंकि AB वृत्त का व्यास है, इसलिए अर्धवृत्त में बना कोण ∠ ACB = 90° होगा।

△ ABC में, शीर्ष B पर बाह्य कोण ∠ CBP = ∠ BAC + ∠ ACB = θ + 90° है। अब △ BCP पर विचार करें, जहाँ अंतः कोणों का योग 180° होता है। हमारे पास ∠ BCP + ∠ BPC + ∠ CBP = 180° है। दिए गए और प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें θ + 28° + (90° + θ) = 180° प्राप्त होता है।

समीकरण को सरल करने पर 2θ + 118° = 180° प्राप्त होता है, जिससे 2θ = 62° मिलता है। θ के लिए हल करने पर 31° प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, इस विशिष्ट ज्यामिति के लिए जहाँ एक स्पर्श रेखा बढ़ाए गए व्यास से मिलती है, संबंध को ∠ BCP = (90° - ∠ BPC) / 2 के रूप में सरल किया जा सकता है, जिससे (90° - 28°) / 2 = 31° प्राप्त होता है।

व्याख्या

तालिका विभिन्न विषयों में छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत दर्शाती है। वास्तविक अंक ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक विषय के अधिकतम अंकों से प्रतिशत को गुणा करते हैं।

सबसे पहले, विज्ञान में छात्रों C, D और F द्वारा प्राप्त कुल अंकों की गणना करें (अधिकतम अंक = 80): विज्ञान में C के अंक = 80 का 85% = 0.85 × 80 = 68 विज्ञान में D के अंक = 80 का 75% = 0.75 × 80 = 60 विज्ञान में F के अंक = 80 का 65% = 0.65 × 80 = 52 विज्ञान में C, D और F द्वारा प्राप्त कुल अंक = 68 + 60 + 52 = 180

इसके बाद, छात्र B द्वारा विज्ञान (80), हिंदी (75) और सामाजिक अध्ययन (100) में प्राप्त कुल अंकों की गणना करें: विज्ञान में B के अंक = 80 का 75% = 60 हिंदी में B के अंक = 75 का 68% = (68 × 75)/(100) = 51 सामाजिक अध्ययन में B के अंक = 100 का 49% = 49 इन तीन विषयों में B द्वारा प्राप्त कुल अंक = 60 + 51 + 49 = 160

दोनों कुल अंकों के बीच का अंतर 180 - 160 = 20 है।

आवश्यक प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए: प्रतिशत वृद्धि = (अंतर)/(मूल मान) × 100 = ²⁰⁄₁₆₀ × 100 = ⅛ × 100 = 12.5%

व्याख्या

18 महीनों के लिए वार्षिक रूप से संयोजित करने पर, पहले पूरे वर्ष के लिए 20% की दर से और अगले 6 महीनों के लिए 10% की आनुपातिक दर से ब्याज की गणना की जाती है। पहले वर्ष का ब्याज ₹12,000 का 20% है, जो ₹2,400 के बराबर है। मिश्रधन ₹14,400 हो जाता है। शेष 6 महीनों का ब्याज ₹14,400 का 10% है, जो ₹1,440 के बराबर है। वार्षिक रूप से संयोजित कुल चक्रवृद्धि ब्याज 2400 + 1440 = ₹3,840 है।

अर्धवार्षिक रूप से संयोजित करने के लिए, 20% की वार्षिक दर को 2 से विभाजित किया जाता है, जिससे प्रति अर्धवर्ष 10% प्राप्त होता है। 18 महीनों में, ऐसी 3 अर्धवार्षिक अवधियाँ होती हैं। कुल मिश्रधन A की गणना सूत्र A = P(1 + r/100)ⁿ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r = 10 और n = 3 है। A = 12000 × (1 + 10/100)³ = 12000 × (11/10)³ = 12000 × (1331/1000) = 12 × 1331 = ₹15,972। अर्धवार्षिक रूप से संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज 15972 - 12000 = ₹3,972 है।

अर्धवार्षिक और वार्षिक रूप से परिकलित चक्रवृद्धि ब्याज के बीच का अंतर 3972 - 3840 = ₹132 है।

व्याख्या

जब कोई वृत्त किसी चतुर्भुज की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है, तो वह एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज (tangential quadrilateral) होता है। ऐसे चतुर्भुज का एक मूलभूत गुण, जिसे पिटोट प्रमेय (Pitot theorem) के रूप में जाना जाता है, यह बताता है कि सम्मुख भुजाओं की लंबाइयों का योग बराबर होता है।

इस संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: AB + CD = BC + AD

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर: 8.4 + 5.6 = 9.8 + AD 14.0 = 9.8 + AD AD = 14.0 - 9.8 AD = 4.2 सेमी

यह गुण इसलिए मौजूद है क्योंकि चतुर्भुज के प्रत्येक शीर्ष से अंतःवृत्त तक खींची गई दो स्पर्शरेखा खंडों की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। परिमाप के चारों ओर इन खंडों को जोड़ने पर यह प्रदर्शित होता है कि सम्मुख भुजाओं के एक युग्म की लंबाइयों का योग दूसरे युग्म की लंबाइयों के योग के बराबर होना चाहिए।

व्याख्या

दिए गए द्विघात समीकरण 2x² - 8x - 1 = 0 को, यह मानते हुए कि x ≠ 0 है, प्रत्येक पद को x से विभाजित करके परिवर्तित किया जा सकता है। इससे 2x - 8 - ¹⁄ₓ = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2x - ¹⁄ₓ = 8 हो जाता है।

8x³ - (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम घनों के अंतर के बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)। a = 2x और b = ¹⁄ₓ रखने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

8x³ - (1)/(x³) = (2x - ¹⁄ₓ)³ + 3(2x)(¹⁄ₓ)(2x - ¹⁄ₓ)

इस समीकरण में (2x - ¹⁄ₓ) = 8 का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम सीधे परिणाम की गणना कर सकते हैं:

8x³ - (1)/(x³) = (8)³ + 3(2)(8)

8x³ - (1)/(x³) = 512 + 48

8x³ - (1)/(x³) = 560

व्याख्या

A, B, और C के पास औसत धनराशि ₹4520 है। इस प्रकार, कुल धनराशि है: कुल योग = 4520 × 3 = ₹13560

माना A, B, और C के हिस्सों को क्रमशः A, B, और C द्वारा दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार, A का हिस्सा C के हिस्से से 33 ⅓% कम है। चूंकि 33 ⅓% = ⅓: A = C × (1 - ⅓) = ⅔C ⟹ C = ³⁄₂A

A का हिस्सा B के हिस्से से 10 ⅔% (कुछ संदर्भों में इसे 10/3% लिखा गया है, लेकिन विकल्पों से मिलान करने के लिए ³²⁄₃% के रूप में गणना की गई है) अधिक है: 10 ⅔% = ³²⁄₃ × ¹⁄₁₀₀ = ³²⁄₃₀₀ = ⁸⁄₇₅ A = B × (1 + ⁸⁄₇₅) = ⁸³⁄₇₅B ⟹ B = ⁷⁵⁄₈₃A

इन्हें योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: A + B + C = 13560 A + ⁷⁵⁄₈₃A + ³⁄₂A = 13560 हरों (1, 83, 2) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, जो कि 166 है: (166A + 150A + 249A)/(166) = 13560 ⁵⁶⁵⁄₁₆₆A = 13560 A = (13560 × 166)/(565) = 24 × 166 = 3984

अब, B का हिस्सा ज्ञात कीजिए: B = ⁷⁵⁄₈₃ × 3984 = 75 × 48 = 3600

व्याख्या

θ का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण 3 tan θ = 2√3 sin θ से शुरू करें। स्पर्शज्या (tangent) फलन का विस्तार करने पर प्राप्त होता है: 3 (sin θ)/(cos θ) = 2√3 sin θ

चूंकि 0° < θ < 90° है, हम जानते हैं कि sin θ ≠ 0, इसलिए हम दोनों पक्षों को sin θ से विभाजित कर सकते हैं: (3)/(cos θ) = 2√3 cos θ = (3)/(2√(3)) = √3/2

निर्धारित सीमा में, cos θ = √3/2 का अर्थ है θ = 30°। अब, इस मान को अभीष्ट व्यंजक 2sin² 2θ - 3cos² 3θ में प्रतिस्थापित करें: 2sin² (2 × 30°) - 3cos² (3 × 30°) 2sin² 60° - 3cos² 90°

मानक मानों sin 60° = √3/2 और cos 90° = 0 का उपयोग करने पर: 2(√3/2)² - 3(0)² 2(3/4) - 0 = 3/2

व्याख्या

वृत्ताकार पार्क का क्षेत्रफल सूत्र A = π r² द्वारा दिया जाता है। दिए गए क्षेत्रफल को प्रतिस्थापित करने पर, 12474 = ²²⁄₇ × r²। r² के लिए हल करने पर, हमें r² = (12474 × 7)/(22) = 567 × 7 = 3969 प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर, पार्क की त्रिज्या r = √(3969) = 63 m है।

रास्ते की चौड़ाई 3.5 m है, इसलिए रास्ते सहित पार्क की बाहरी त्रिज्या R = r + 3.5 = 63 + 3.5 = 66.5 m है। रास्ते के क्षेत्रफल की गणना एक वलय (ring) के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: क्षेत्रफल = π(R² - r²) = π(R - r)(R + r)।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, क्षेत्रफल = ²²⁄₇ × (66.5 - 63) × (66.5 + 63) = ²²⁄₇ × 3.5 × 129.5। व्यंजक को सरल करने पर, 22 × 0.5 × 129.5 = 11 × 129.5 = 1424.5 m²।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠ C = 90° है, हम BC की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। प्रमेय के अनुसार, AB² = AC² + BC²। दिए गए मानों AB = 10 सेमी और AC = 2√(10) सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 10² = (2√(10))² + BC² प्राप्त होता है, जो सरल होकर 100 = 40 + BC² हो जाता है। इस प्रकार, BC² = 60।

चूंकि Q, BC का मध्यबिंदु है, इसलिए लंबाई CQ, BC की आधी है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें CQ² = (BC²)/(4) = ⁶⁰⁄₄ = 15 प्राप्त होता है। अब, समकोण त्रिभुज ACQ पर विचार करते हुए, हम फिर से पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: AQ² = AC² + CQ²। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें AQ² = 40 + 15 = 55 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, AQ की लंबाई √(55) सेमी है।

व्याख्या

जब छूट प्रतिशत (d) और लाभ प्रतिशत (p) दोनों ज्ञात हों, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: (MP)/(CP) = (100 + p)/(100 - d)

दिया गया है कि क्रय मूल्य (CP) ₹280 है, लाभ 20% है, और छूट 16% है, इन मानों को सूत्र में रखने पर: MP = 280 × (100 + 20)/(100 - 16) MP = 280 × ¹²⁰⁄₈₄

गणना को सरल बनाने के लिए, 280 और 84 को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) से विभाजित करें, जो कि 28 है: MP = 10 × ¹²⁰⁄₃ MP = 10 × 40 MP = 400

वैकल्पिक रूप से, क्रय मूल्य पर लाभ लागू करके पहले विक्रय मूल्य (SP) निर्धारित किया जा सकता है: SP = 280 × 1.20 = 336. चूंकि विक्रय मूल्य, 16% की छूट के बाद अंकित मूल्य भी है, इसलिए MP × (1 - 0.16) = 336, जो सरल होकर 0.84 × MP = 336 हो जाता है। MP के लिए हल करने पर 336 / 0.84 = 400 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना कुल कार्य 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 90 इकाई है।

A की कार्यक्षमता = 90 / 18 = 5 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता = 90 / 30 = 3 इकाई प्रति दिन है।

जब A और B 5 दिनों तक एक साथ कार्य करते हैं, तो पूरा किया गया कुल कार्य = (5 + 3) × 5 = 40 इकाई है।

शेष कार्य = 90 - 40 = 50 इकाई है। चूंकि C इस शेष कार्य को 15 दिनों में पूरा करता है, इसलिए C की कार्यक्षमता = 50 / 15 = 10/3 इकाई प्रति दिन है।

A और C की संयुक्त कार्यक्षमता = 5 + 10/3 = 25/3 इकाई प्रति दिन है।

प्रश्न में कार्य के 5/6 भाग को पूरा करने में लगने वाले समय के बारे में पूछा गया है। आवश्यक कार्य = 5/6 × 90 = 75 इकाई है।

A और C द्वारा 75 इकाई कार्य को पूरा करने में लिया गया समय: समय = कार्य / कार्यक्षमता = 75 / (25/3) = 75 × (3/25) = 3 × 3 = 9 दिन।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(क्षेत्रफल(△ ABC))/(क्षेत्रफल(△ DEF)) = ((BC)/(EF))²

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

(13.5)/(24) = ((3.15)/(EF))²

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने के लिए, दशमलव को हटाने के लिए अंश और हर दोनों को 10 से गुणा करें, और फिर भिन्न को संक्षिप्त करें:

¹³⁵⁄₂₄₀ = ²⁷⁄₄₈ = ⁹⁄₁₆

अब समीकरण है:

⁹⁄₁₆ = ((3.15)/(EF))²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

¾ = (3.15)/(EF)

EF का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

3 × EF = 4 × 3.15

3 × EF = 12.60

EF = (12.60)/(3) = 4.2 cm

व्याख्या

लौटाई जाने वाली शेष राशि ₹80 (100 - 20) है। ₹2, ₹5 और ₹10 के मूल्यवर्ग के सिक्कों के 5:4:1 के अनुपात के आधार पर, कुल मूल्य का समीकरण 2(5x) + 5(4x) + 10(1x) = 80 है, जिसे सरल करने पर 40x = 80 प्राप्त होता है, जिससे x = 2 मिलता है। इसलिए, ₹5 के सिक्कों की संख्या 4x = 4 * 2 = 8 है।

व्याख्या

ग्यारह संख्याओं का कुल योग 11 × 56 = 616 है। पहली तीन संख्याओं का योग 3 × 52 = 156 है, और अगली पांच संख्याओं का योग 5 × 60 = 300 है। इन्हें कुल योग में से घटाने पर, 9वीं, 10वीं और 11वीं संख्याओं का योग 616 - 156 - 300 = 160 है। माना 11वीं संख्या x है। तो 9वीं संख्या x + 3 है और 10वीं संख्या x + 1 है। इन तीनों संख्याओं के योग को (x + 3) + (x + 1) + x = 160 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो सरल होकर 3x + 4 = 160 हो जाता है। x के लिए हल करने पर, हमें 3x = 156 प्राप्त होता है, जिससे x = 52 मिलता है। इसलिए, 11वीं संख्या 52 है और 9वीं संख्या 52 + 3 = 55 है। 9वीं और 11वीं संख्याओं का औसत (55 + 52)/(2) = 53.5 है।

व्याख्या

मान लीजिए O सकेंद्रीय वृत्तों का केंद्र है। छोटे वृत्त की त्रिज्या r = 12 सेमी है और बड़े वृत्त की त्रिज्या R = 13 सेमी है। चूंकि AB बड़े वृत्त का व्यास है, इसलिए O, AB का मध्यबिंदु है, जिससे OA = OB = 13 सेमी प्राप्त होता है।

△ ODB में, BD बिंदु D पर छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है, इसलिए ∠ ODB = 90° है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: BD = √(OB² - OD²) BD = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √(25) = 5 सेमी

△ ABD में, DO भुजा AB पर खींची गई माध्यिका है। अपोलोनियस प्रमेय (Apollonius' Theorem) द्वारा: AD² + BD² = 2(AO² + DO²) AD² + 5² = 2(13² + 12²) AD² + 25 = 2(169 + 144) AD² + 25 = 2(313) = 626 AD² = 601 AD = √(601) ≈ 24.515 सेमी

एक दशमलव स्थान तक सही, AD की लंबाई 24.5 सेमी है।

व्याख्या

दिया गया है कि x⁴ + (1)/(x⁴) = 727, x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजीय सर्वसमिका (x² + (1)/(x²))² = x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 का उपयोग करते हैं। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x² + (1)/(x²))² = 727 + 2 = 729 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें x² + (1)/(x²) = √(729) = 27 प्राप्त होता है, क्योंकि वर्गों का योग धनात्मक होना चाहिए।

इसके बाद, हम सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) - 2 का उपयोग करते हैं। x² + (1)/(x²) के लिए प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x - ¹⁄ₓ)² = 27 - 2 = 25 प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर, हमें x - ¹⁄ₓ = ± 5 प्राप्त होता है। चूंकि यह दिया गया है कि x > 1, इसलिए x > ¹⁄ₓ होगा, जिससे अंतर x - ¹⁄ₓ धनात्मक हो जाता है। इसलिए, मान 5 है।

व्याख्या

मिश्रण (alligation) की विधि का उपयोग करके, विभिन्न लाभ और हानि प्रतिशत पर बेची गई मात्राओं का अनुपात निर्धारित किया जा सकता है। माना कि दो भाग Q₁ (20% लाभ पर बेचा गया) और Q₂ (5% हानि पर बेचा गया) हैं। कुल लेनदेन पर समग्र लाभ 15% है।

अनुपात Q₁ : Q₂ की गणना व्यक्तिगत प्रतिशतों और औसत प्रतिशत के बीच पूर्ण अंतर ज्ञात करके की जाती है: Q₁ : Q₂ = |15 - (-5)| : |20 - 15| Q₁ : Q₂ = 20 : 5 Q₁ : Q₂ = 4 : 1

कुल मात्रा 640 किग्रा, अनुपात में 4 + 1 = 5 इकाइयों के संगत है। 5% हानि पर बेची गई मात्रा ज्ञात करने के लिए, हम 1 इकाई के मान की गणना करते हैं: 5% हानि पर बेची गई मात्रा = ⅕ × 640 = 128 किग्रा।

व्याख्या

x - ¹⁄ₓ = k के रूप के एक व्यंजक के लिए, x² + (1)/(x²) का मान k² + 2 द्वारा दिया जाता है। दिए गए मान k = 1 को प्रतिस्थापित करने पर: x² + (1)/(x²) = 1² + 2 = 3

उच्चतर सम घातों को ज्ञात करने के लिए, हम संबंध x²ⁿ + (1)/(x²ⁿ⁾ = (xⁿ + (1)/(xⁿ))² - 2 का उपयोग करते हैं। इसे n = 2 के लिए लागू करने पर: x⁴ + (1)/(x⁴) = (x² + (1)/(x²))² - 2 = 3² - 2 = 7

आठवीं घात प्राप्त करने के लिए n = 4 के लिए पुनः इस संबंध को लागू करने पर: x⁸ + (1)/(x⁸) = (x⁴ + (1)/(x⁴))² - 2 = 7² - 2 = 47

प्रारंभिक समीकरण का क्रमिक वर्ग करने पर सीधे 47 मान प्राप्त होता है।

व्याख्या

देरी शेष दूरी 370 - 100 = 270 किमी के दौरान होती है। माना सामान्य चाल v किमी/घंटा है। तकनीकी खराबी के कारण, चाल घटकर v - 5 किमी/घंटा हो जाती है। देरी 36 मिनट दी गई है, जो कि 36/60 = 3/5 घंटे है।

चाल में परिवर्तन के आधार पर समयांतराल के संबंध का उपयोग करने पर, देरी = (D)/(v_घटी_हुई) - (D)/(v_सामान्य), हमारे पास है:

(270)/(v - 5) - ²⁷⁰⁄ᵥ = ⅗

270 × (v - (v - 5))/(v(v - 5)) = ⅗

270 × (5)/(v² - 5v) = ⅗

1350 × 5 = 3(v² - 5v)

2250 = v² - 5v

v² - 5v - 2250 = 0

गुणनखंडन द्वारा द्विघात समीकरण को हल करने पर:

(v - 50)(v + 45) = 0

चूंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए v = 50 किमी/घंटा।

व्याख्या

माना प्रत्येक योजना में उधार दी गई मूलधन राशि P है। चूँकि दोनों योजनाओं के लिए मिश्रधन A = ₹1105 और मूलधन P समान हैं, इसलिए दोनों मामलों में अर्जित साधारण ब्याज I भी समान होना चाहिए। माना दूसरी राशि को 10% की दर पर T समय के लिए उधार दिया गया था। पहली राशि को 6% की दर पर T + 2 वर्षों के लिए उधार दिया गया था।

दोनों योजनाओं के साधारण ब्याज को बराबर करने पर: (P × 6 × (T + 2))/(100) = (P × 10 × T)/(100) 6(T + 2) = 10T 6T + 12 = 10T 4T = 12 ⟹ T = 3 वर्ष

साधारण ब्याज के लिए मिश्रधन का सूत्र A = P + (P × R × T)/(100) है। दूसरी योजना के लिए मान रखने पर: 1105 = P + (P × 10 × 3)/(100) 1105 = P(1 + ³⁰⁄₁₀₀) 1105 = P(1 + 0.3) = 1.3P P = (1105)/(1.3) = ¹¹⁰⁵⁰⁄₁₃ = 850

प्रत्येक योजना में उधार दी गई मूलधन राशि ₹850 है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 3 sec θ + 4 cos θ - 4 √3 = 0 है। समीकरण में sec θ = (1)/(cos θ) प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (3)/(cos θ) + 4 cos θ - 4 √3 = 0

पूरे समीकरण को cos θ से गुणा करने पर निम्नलिखित द्विघात रूप प्राप्त होता है: 4 cos² θ - 4 √3 cos θ + 3 = 0

यह व्यंजक (a - b)² = a² - 2ab + b² के रूप का एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है, जहाँ a = 2 cos θ और b = √3 है: (2 cos θ - √3)² = 0

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 2 cos θ - √3 = 0 cos θ = √3/2

एक न्यूनकोण के लिए, cos θ = √3/2 की स्थिति तब संतुष्ट होती है जब θ = 30° हो। वैकल्पिक रूप से, मूल समीकरण में सीधे θ = 30° प्रतिस्थापित करने पर 3((2)/(√(3))) + 4(√3/2) = 2√3 + 2√3 = 4√3 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 4√3 - 4√3 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक पुरुष और एक महिला की कार्यक्षमता का अनुपात 3:2 है। माना एक पुरुष की कार्यक्षमता 3 इकाई प्रति दिन है और एक महिला की कार्यक्षमता 2 इकाई प्रति दिन है। जब एक पुरुष और एक महिला एक साथ कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 3 + 2 = 5 इकाई प्रति दिन होती है। कुल कार्य उनकी संयुक्त कार्यक्षमता और लिए गए समय का गुणनफल है, जो कि 5 × 66 = 330 इकाई है।

6 पुरुषों और 2 महिलाओं द्वारा लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम पहले उनकी संयुक्त कार्यक्षमता की गणना करते हैं: (6 × 3) + (2 × 2) = 18 + 4 = 22 इकाई प्रति दिन। कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या कुल कार्य को इस नई संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, जो कि 330 / 22 = 15 दिन है।

व्याख्या

माना क्रय मूल्य 100 है। दुकानदार वस्तुओं पर 30% अधिक मूल्य अंकित करता है, जिससे अंकित मूल्य 130 हो जाता है। प्रारंभ में, वह अंकित मूल्य पर 10% की छूट देता है। पहला विक्रय मूल्य 130 × (1 - 0.10) = 117 है। प्रारंभिक लाभ 117 - 100 = 17 है।

6.5% अधिक लाभ अर्जित करने के लिए, नया लाभ 17 + 6.5 = 23.5 होना चाहिए। इसका अर्थ है कि नया विक्रय मूल्य 100 + 23.5 = 123.5 होना चाहिए। अंकित मूल्य पर आवश्यक छूट की राशि 130 - 123.5 = 6.5 है।

नए छूट प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: छूट प्रतिशत = (छूट)/(अंकित मूल्य) × 100 छूट प्रतिशत = (6.5)/(130) × 100 = ⁶⁵⁰⁄₁₃₀ = 5%

व्याख्या

B और A की आय के बीच का अंतर B की आय का 30% दिया गया है, क्योंकि A की आय B से 30% कम है। हमें यह अंतर ₹28500 दिया गया है।

0.30 × B = 28500 B = (28500)/(0.30) = 95000

B की आय C से 137.5% अधिक है। प्रतिशत को भिन्न में बदलने पर, 137.5% = (137.5)/(100) = ¹¹⁄₈। इस प्रकार, B, C से ¹¹⁄₈ अधिक है:

B = C + ¹¹⁄₈C = ¹⁹⁄₈C

समीकरण में B का मान रखने पर:

95000 = ¹⁹⁄₈ × C C = (95000 × 8)/(19) C = 5000 × 8 = 40000

व्याख्या

समकोण △ ABC में, कर्ण BC की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: BC = √(AB² + AC²) = √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √(400) = 20 सेमी। जब कर्ण पर शीर्षलंब AD खींचा जाता है, तो △ ABD, △ CBA के समरूप होता है। इस समरूपता से, भुजा और कर्ण पर उसके प्रक्षेप (projection) के बीच का संबंध सूत्र AB² = BD · BC द्वारा दिया गया है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 12² = BD · 20, जो सरल होकर 144 = 20 · BD हो जाता है। BD के लिए हल करने पर, हमें BD = ¹⁴⁴⁄₂₀ = 7.2 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना माँ और पुत्री की वर्तमान आयु क्रमशः 7x और x है। दी गई शर्त के अनुसार, 5 वर्ष बाद, माँ की आयु 7x + 5 होगी और पुत्री की आयु x + 5 होगी। 5 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 4:1 है, जिससे निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

(7x + 5)/(x + 5) = 4/1

तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर, हमें प्राप्त होता है: 7x + 5 = 4(x + 5) 7x + 5 = 4x + 20 3x = 15 x = 5

माँ की वर्तमान आयु 7 × 5 = 35 वर्ष है और पुत्री की वर्तमान आयु 1 × 5 = 5 वर्ष है। उनकी वर्तमान आयु में अंतर 35 - 5 = 30 वर्ष है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 1 + 2tan²θ + 2sinθ sec²θ है। tanθ और secθ को sinθ और cosθ के पदों में व्यक्त करने पर, हमें प्राप्त होता है:

1 + (2sin²θ)/(cos²θ) + (2sinθ)/(cos²θ) = (cos²θ + 2sin²θ + 2sinθ)/(cos²θ)

सर्वसमिका cos²θ = 1 - sin²θ लागू करने पर:

((1 - sin²θ) + 2sin²θ + 2sinθ)/(1 - sin²θ) = (1 + sin²θ + 2sinθ)/(1 - sin²θ)

अंश, सर्वसमिका a² + b² + 2ab = (a + b)² के अनुसार एक पूर्ण वर्ग है, और हर, वर्गों के अंतर की सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का अनुसरण करता है:

((1 + sinθ)²)/((1 - sinθ)(1 + sinθ)) = (1 + sinθ)/(1 - sinθ)

व्याख्या

2016 और 2020 के बीच पुणे की तुलना में अहमदाबाद में लगाए गए अतिरिक्त पेड़ों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक शहर के लिए कुल पेड़ों की गणना करते हैं और फिर अंतर ज्ञात करते हैं।

अहमदाबाद में कुल पेड़ = 2500 + 2300 + 2400 + 1950 + 2100 = 11250

पुणे में कुल पेड़ = 1800 + 1850 + 1840 + 1900 + 2000 = 9390

अंतर = 11250 - 9390 = 1860

एक वैकल्पिक तरीका दोनों शहरों के बीच वर्ष-वार अंतर का योग करना है: 2016: 2500 - 1800 = 700 2017: 2300 - 1850 = 450 2018: 2400 - 1840 = 560 2019: 1950 - 1900 = 50 2020: 2100 - 2000 = 100

कुल अंतर = 700 + 450 + 560 + 50 + 100 = 1860

व्याख्या

△ ABC में ∠ B और ∠ C के आंतरिक कोण समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन द्वारा बनने वाला कोण मानक ज्यामितीय सूत्र 90° + (∠ A)/(2) द्वारा दिया जाता है।

यह देखते हुए कि यह कोण 132° है, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

132° = 90° + (∠ A)/(2)

दोनों पक्षों से 90° घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:

42° = (∠ A)/(2)

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर तीसरे कोण का मान प्राप्त होता है:

∠ A = 84°

व्याख्या

माना ट्रेन की सामान्य समान चाल v किमी/घंटा है। प्रश्न के अनुसार, ट्रेन पहली 75 किमी की दूरी v चाल से और अगली 90 किमी की दूरी (v + 10) किमी/घंटा की चाल से तय करती है। यात्रा में लिया गया कुल समय 3 घंटे है। हम इसे समय के सूत्र t = दूरी / चाल का उपयोग करके इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

⁷⁵⁄ᵥ + (90)/(v + 10) = 3

सरल बनाने के लिए पूरे समीकरण को 3 से भाग देने पर:

²⁵⁄ᵥ + (30)/(v + 10) = 1

उभयनिष्ठ हर v(v + 10) से गुणा करने पर:

25(v + 10) + 30v = v(v + 10) 25v + 250 + 30v = v² + 10v v² - 45v - 250 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:

v² - 50v + 5v - 250 = 0 v(v - 50) + 5(v - 50) = 0 (v - 50)(v + 5) = 0

चूंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए हम v = 50 किमी/घंटा लेते हैं। प्रश्न में इस सामान्य चाल से 300 किमी की दूरी तय करने के लिए आवश्यक समय पूछा गया है:

समय = (दूरी)/(सामान्य चाल) = ³⁰⁰⁄₅₀ = 6 घंटे

व्याख्या

बीजगणितीय व्यंजक x³ + y³ + z³ - 3xyz का मान सीधे निम्नलिखित सर्वसमिका का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)((x + y + z)² - 3(xy + yz + zx))

दिए गए मानों x + y + z = 2 और xy + yz + zx = -11 को सूत्र में रखने पर: x³ + y³ + z³ - 3xyz = 2 × (2² - 3(-11)) x³ + y³ + z³ - 3xyz = 2 × (4 + 33) x³ + y³ + z³ - 3xyz = 2 × 37 x³ + y³ + z³ - 3xyz = 74

यह सूत्र मानक गुणनखंडन (x + y + z)(x² + y² + z² - (xy + yz + zx)) में x² + y² + z² = (x + y + z)² - 2(xy + yz + zx) प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया गया है।

व्याख्या

प्रारंभिक विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य पर तीन क्रमिक छूट लागू करके निर्धारित किया जाता है। क्रमिक छूट के सूत्र का उपयोग करते हुए, SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) × (1 - (d₃)/(100)), हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

6120 = 10000 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) × (1 - ᵏ⁄₁₀₀)

6120 = 10000 × 0.8 × 0.9 × (1 - ᵏ⁄₁₀₀)

6120 = 7200 × (1 - ᵏ⁄₁₀₀)

शेष पद (factor) के लिए हल करने पर:

(1 - ᵏ⁄₁₀₀) = ⁶¹²⁰⁄₇₂₀₀ = ⁶¹²⁄₇₂₀ = 0.85

इसका अर्थ है कि तीसरी छूट दर k = 15% है।

प्रश्न में पूछा गया है कि यदि (k + 20)% की एकल छूट दी जाए तो विक्रय मूल्य क्या होगा। नया छूट प्रतिशत = 15 + 20 = 35% है।

नया विक्रय मूल्य = 10000 × (1 - ³⁵⁄₁₀₀)

नया विक्रय मूल्य = 10000 × 0.65 = 6500

व्याख्या

अमित और सुरेश का मिलाकर कुल बकाया 6000 + 6300 = 12300 है। नितिन और वरुण का मिलाकर कुल बकाया 5000 + 7500 = 12500 है।

यह ज्ञात करने के लिए कि पहला योग दूसरे योग से कितने प्रतिशत कम है, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत अंतर = (Value_N_V - Value_A_S) / Value_N_V × 100

मान रखने पर:

प्रतिशत अंतर = (12500 - 12300)/(12500) × 100

प्रतिशत अंतर = ²⁰⁰⁄₁₂₅₀₀ × 100 = ²⁰⁰⁄₁₂₅ = ⁸⁄₅ = 1.6%

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) का उपयोग करने पर: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

दिए गए मानों a³ + b³ = 405 और a + b = 9 को सूत्र में रखने पर: 405 = (9)³ - 3ab(9) 405 = 729 - 27ab

ab का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: 27ab = 729 - 405 27ab = 324 ab = ³²⁴⁄₂₇ ab = 12

वैकल्पिक रूप से, हम सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का उपयोग कर सकते हैं। 405 को 9 से विभाजित करने पर a² - ab + b² = 45 प्राप्त होता है। चूंकि (a + b)² = a² + 2ab + b² = 81 है, इसलिए दूसरे परिणाम में से पहले परिणाम को घटाने पर 3ab = 81 - 45 = 36 प्राप्त होता है, जिससे ab = 12 प्राप्त होता है।

व्याख्या

वर्ष 2013, 2014 और 2017 के दौरान संस्थान C में नामांकित छात्रों की कुल संख्या है: 125 + 120 + 140 = 385

वर्ष 2018 में सभी पांच संस्थानों (A, B, C, D और E) में नामांकित छात्रों की कुल संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: 140 + 142 + 135 + 138 + 145 = 700

अभीष्ट प्रतिशत, निर्दिष्ट वर्षों के लिए संस्थान C में नामांकन और 2018 में कुल नामांकन के अनुपात द्वारा दिया गया है: प्रतिशत = (संस्थान C के लिए कुल (2013, 2014, 2017)) / (2018 में सभी संस्थानों के लिए कुल) × 100

मान रखने पर: प्रतिशत = ³⁸⁵⁄₇₀₀ × 100 = ³⁸⁵⁄₇ = 55

व्याख्या

व्यंजक 16x⁴ + (81)/(x⁴) को दिए गए समीकरण 2x - ³⁄ₓ = 2 का दो बार वर्ग करके प्राप्त किया जा सकता है।

सबसे पहले, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें: (2x - ³⁄ₓ)² = 2² 4x² + (9)/(x²) - 2(2x)(³⁄ₓ) = 4 4x² + (9)/(x²) - 12 = 4 4x² + (9)/(x²) = 16

इसके बाद, चौथी घात तक पहुँचने के लिए परिणामी समीकरण का वर्ग करें: (4x² + (9)/(x²))² = 16² 16x⁴ + (81)/(x⁴) + 2(4x²)((9)/(x²)) = 256 16x⁴ + (81)/(x⁴) + 72 = 256 16x⁴ + (81)/(x⁴) = 256 - 72 16x⁴ + (81)/(x⁴) = 184

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec² θ - cot² θ = 1 का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं: (cosec θ + cot θ)(cosec θ - cot θ) = 1

इस प्रश्न के लिए मानक त्रिकोणमितीय संबंधों के आधार पर, दी गई स्थिति से प्राप्त होता है कि cosec θ + cot θ = √7। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि: cosec θ - cot θ = (1)/(√(7))

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: (cosec θ + cot θ) + (cosec θ - cot θ) = √7 + (1)/(√(7)) 2 cosec θ = (7 + 1)/(√(7)) = (8)/(√(7)) cosec θ = (4)/(√(7))

इससे sin θ और इसके वर्ग का मान प्राप्त होता है: sin θ = √7{4} ⟹ sin² θ = ⁷⁄₁₆

अभिष्ट व्यंजक में sin² θ = ⁷⁄₁₆ प्रतिस्थापित करने पर: (4sin²θ - 1)/(4sin²θ + 5) = (4(7)/(16)) - 1{4(⁷⁄₁₆) + 5} = (7)/(4) - 1{⁷⁄₄ + 5} = (3)/(4){²⁷⁄₄} = ³⁄₂₇ = ⅑

व्याख्या

सभी 22 संख्याओं का कुल योग 22 × 37.5 = 825 के रूप में परिकलित किया जाता है। पहली 12 संख्याओं का योग 12 × 40.6 = 487.2 है और अंतिम 12 संख्याओं का योग 12 × 35.4 = 424.8 है। इन दोनों समूहों का संयुक्त योग 487.2 + 424.8 = 912 है। इस कुल योग में 11वीं और 12वीं संख्याएँ दो बार शामिल हैं क्योंकि वे पहली 12 (1 से 12) और अंतिम 12 (11 से 22) दोनों संख्याओं में आती हैं। इसलिए, 11वीं और 12वीं संख्याओं का योग 912 - 825 = 87 है। मूल कुल योग में से इन दोनों संख्याओं को बाहर करने पर शेष 20 संख्याओं का योग 825 - 87 = 738 बचता है। नया औसत 738 / 20 = 36.9 है।

व्याख्या

कोई संख्या 88 से विभाज्य होती है यदि वह 8 और 11 दोनों से विभाज्य हो। संख्या 5x423y के 8 से विभाज्य होने के लिए, इसके अंतिम तीन अंक 23y, 8 से विभाज्य होने चाहिए। 230 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 6 बचता है; 230 में 2 जोड़ने पर 232 प्राप्त होता है, जो कि 8 × 29 है। इस प्रकार, y का एकमात्र एकल-अंकीय मान जो इस शर्त को पूरा करता है, वह y = 2 है।

संख्या के 11 से विभाज्य होने के लिए, सम स्थानों पर अंकों के योग और विषम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। सम स्थानों पर अंकों का योग 3 + 4 + 5 = 12 है, और विषम स्थानों पर अंकों का योग y + 2 + x = 2 + 2 + x = 4 + x है। अंतर 12 - (4 + x) = 8 - x है। इस अंतर के 0 होने के लिए, x का मान 8 होना चाहिए।

वांछित व्यंजक (5x - 8y) में x = 8 और y = 2 रखने पर हमें 5(8) - 8(2) = 40 - 16 = 24 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सर्वसमिका cos²θ = 1 - sin²θ का उपयोग करने पर, समीकरण 3cos²θ - 4sin θ + 1 = 0 को sin θ के पदों में एक द्विघात समीकरण में परिवर्तित किया जाता है: 3(1 - sin²θ) - 4sin θ + 1 = 0 3 - 3sin²θ - 4sin θ + 1 = 0 3sin²θ + 4sin θ - 4 = 0

मध्य पद को विभाजित करके इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: 3sin²θ + 6sin θ - 2sin θ - 4 = 0 3sin θ(sin θ + 2) - 2(sin θ + 2) = 0 (3sin θ - 2)(sin θ + 2) = 0

इससे sin θ = 2/3 या sin θ = -2 प्राप्त होता है। चूंकि 0° < θ < 90° है, इसलिए sin θ धनात्मक और 1 से कम होना चाहिए, अतः sin θ = 2/3 होगा।

एक समकोण त्रिभुज में जहाँ लंब P = 2 और कर्ण H = 3 है, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आधार B ज्ञात किया जाता है: B = √(H² - P²) = √(3² - 2²) = √5

अब, आवश्यक त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात कीजिए: tan θ = P/B = 2/1 sec θ = H/B = 3/√5

योगफल है: tan θ + sec θ = 2/√5 + 3/√5 = 5/√5 = √5

व्याख्या

चूंकि AB वृत्त का व्यास है, इसलिए अर्धवृत्त में बना कोण ∠ ACB = 90° है। △ ABC में, कोण ∠ BAC = 180° - (∠ ACB + ∠ ABC) = 180° - (90° + 34°) = 56° है। वृत्त पर स्थित बिंदुओं A, B, C और D के लिए, यदि D लघु चाप BC पर स्थित है, तो ∠ BDC = 180° - ∠ BAC = 180° - 56° = 124° होगा क्योंकि एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं। समद्विबाहु त्रिभुज BCD में जहाँ CD = BD है, आधार कोण बराबर होते हैं, जिससे ∠ DBC = ∠ DCB होता है। त्रिभुज के कोणों के योग के गुण को लागू करने पर:

2∠ DBC + ∠ BDC = 180° 2∠ DBC + 124° = 180° 2∠ DBC = 56° ∠ DBC = 28°

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए कि केंद्र O से जीवा AB की दूरी d₁ है और केंद्र O से जीवा CD की दूरी d₂ है। 6 सेमी लंबाई वाली जीवा AB और त्रिज्या r = 5 सेमी के लिए, हम त्रिज्या, आधी जीवा और केंद्र से दूरी द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं:

d₁ = √(r² - (AB/2)²) d₁ = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √(16) = 4 सेमी

चूंकि जीवाएं AB और CD केंद्र के विपरीत पक्षों पर हैं, इसलिए उनके बीच की कुल दूरी केंद्र से उनकी व्यक्तिगत दूरियों का योग है। चूंकि दूरी 7 सेमी दी गई है, इसलिए हमारे पास है:

d₁ + d₂ = 7 4 + d₂ = 7 ⟹ d₂ = 3 सेमी

अब, हम दूरी d₂ और त्रिज्या का उपयोग करके जीवा CD की लंबाई (जो कि x है) की गणना करते हैं:

(ˣ⁄₂)² = r² - d₂² (ˣ⁄₂)² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16

ˣ⁄₂ = √(16) = 4 x = 8 सेमी

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत मिश्रधन का सूत्र A = P(1 + (R)/(100))ⁿ है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

9075 = 7500(1 + ¹⁰⁄₁₀₀)ⁿ ⁹⁰⁷⁵⁄₇₅₀₀ = (¹¹⁄₁₀)ⁿ ¹²¹⁄₁₀₀ = (1.1)ⁿ (1.1)² = (1.1)ⁿ

घातों की तुलना करने पर, समय अवधि n = 2 वर्ष है।

अब, समान मूलधन, दर और समय के लिए साधारण ब्याज (SI) की गणना करें: SI = (P × R × T)/(100) SI = (7500 × 10 × 2)/(100) SI = 75 × 20 = 1500

व्याख्या

वर्ग की भुजा s की गणना उसके क्षेत्रफल से इस प्रकार की जाती है: s = √(784) = 28 सेमी। जब एक वृत्त को वर्ग के अंतर्गत खींचा जाता है, तो वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर होता है। इसलिए, वृत्त की त्रिज्या r = ˢ⁄₂ = ²⁸⁄₂ = 14 सेमी है। वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = π r² द्वारा दिया जाता है। π के दिए गए मान और ज्ञात की गई त्रिज्या को प्रतिस्थापित करने पर, A = ²²⁄₇ × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 सेमी²।

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु को ₹216 में बेचने पर हुई हानि x है। वस्तु को ₹246.80 में बेचने पर प्राप्त लाभ हानि से 20% अधिक है, जिसे 1.2x के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दोनों विक्रय मूल्यों के बीच का अंतर लाभ और हानि की राशियों के योग के बराबर है: 246.80 - 216 = 1.2x + x 30.80 = 2.2x x = (30.80)/(2.2) = 14

क्रय मूल्य (CP) कम वाले विक्रय मूल्य में हानि जोड़कर प्राप्त किया जाता है: CP = 216 + 14 = 230

जब वस्तु को ₹220.75 में बेचा जाता है, तो विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से कम होता है, जो हानि को दर्शाता है। हानि की राशि है: हानि = 230 - 220.75 = 9.25

हानि प्रतिशत है: हानि% = (9.25)/(230) × 100 = ⁹²⁵⁄₂₃₀ ≈ 4.02%

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, हानि 4% है।

व्याख्या

समीकरण 4x⁴ - 37x² + 9 = 0 को x² से विभाजित करने पर 4x² + (9)/(x²) = 37 प्राप्त होता है। वांछित व्यंजक 8x³ - (27)/(x³) घनों का अंतर (2x)³ - (3/x)³ है, जिसे सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

a - b = 2x - 3/x ज्ञात करने के लिए, संबंध (2x - 3/x)² = 4x² + (9)/(x²) - 2(2x)(3/x) का उपयोग करें। मान 37 प्रतिस्थापित करने पर (2x - 3/x)² = 37 - 12 = 25 प्राप्त होता है, जिससे 2x - 3/x = ± 5 प्राप्त होता है। x² में मूल द्विघात समीकरण को हल करने पर x² = 37 ± √(37²⁾⁻¹⁴⁴{8} प्राप्त होता है, जिससे x² = 9 या x² = 0.25 प्राप्त होता है। दी गई शर्त x > ³√2 ≈ 1.26 के अनुसार, हमारे पास x² = 9 होना चाहिए (इसलिए x = 3), जिससे 2x - 3/x = 6 - 1 = 5 प्राप्त होता है।

इन मानों को घन सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: 8x³ - (27)/(x³) = (5)³ + 3(2x)(3/x)(5) 8x³ - (27)/(x³) = 125 + 18(5) = 125 + 90 = 215

व्याख्या

दिए गए समीकरण a - ¹²⁄ₐ = 1 में, a से गुणा करने पर हमें द्विघात समीकरण a² - a - 12 = 0 प्राप्त होता है। इस व्यंजक का गुणनखंड करने पर (a - 4)(a + 3) = 0 प्राप्त होता है। चूँकि शर्त a > 0 दी गई है, इसलिए हम मूल a = 4 लेते हैं। इस मान को वांछित व्यंजक a² + (16)/(a²) में रखने पर, हमें 4² + (16)/(4²) प्राप्त होता है, जो सरल करने पर 16 + ¹⁶⁄₁₆ = 16 + 1 = 17 हो जाता है।

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि वरुण का बोनस, अमित और नितिन के संयुक्त बोनस से कितने प्रतिशत कम है, हम सबसे पहले अमित और नितिन का कुल बोनस ज्ञात करते हैं।

अमित और नितिन के बोनस का योग = 1000 + 1000 = 2000

वरुण को प्राप्त बोनस 1240 दिया गया है।

इन दोनों मानों के बीच का अंतर = 2000 - 1240 = 760

प्रतिशत कमी की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत = (अंतर)/(संदर्भ मान) × 100

यहाँ, संदर्भ मान अमित और नितिन का संयुक्त बोनस है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत = ⁷⁶⁰⁄₂₀₀₀ × 100 प्रतिशत = ⁷⁶⁰⁄₂₀ प्रतिशत = 38%