एसएससी सीजीएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों △ ABC ∼ △ RPQ में, संगत भुजाओं की लम्बाइयों का अनुपात उनके क्षेत्रफलों के अनुपात के वर्गमूल के बराबर होता है। समरूपता संगतता के अनुसार:

1. A ↔ R
2. B ↔ P
3. C ↔ Q

इस प्रकार, भुजा AC, भुजा RQ के संगत है। दी गई जानकारी से, RQ = QR = 6 सेमी। क्षेत्रफलों का अनुपात (ar(△ ABC))/(ar(△ PQR)) = ¹⁶⁄₂₅ दिया गया है। संगत भुजाओं का अनुपात (AC)/(RQ) = √(¹⁶⁄₂₅) = ⅘ है। RQ का ज्ञात मान रखने पर: (AC)/(6) = ⅘ ⟹ AC = (6 × 4)/(5) = ²⁴⁄₅ = 4.8 सेमी।

व्याख्या

तीन अंकों की संख्याओं का योग (100a + 10b + c) + (100c + 10a + b) + (100b + 10c + a) है, जिसे सरल करने पर 111(a + b + c) प्राप्त होता है। चूंकि 111 = 3 x 37 है, इसलिए यह योग हमेशा 3, 37 और (a + b + c) से विभाज्य होगा, जिससे विकल्पों में से 31 ही एकमात्र ऐसी संख्या है जो इस योग को विभाजित नहीं करती है।

व्याख्या

पहला प्रस्ताव 25 प्रतिशत की एकमुश्त छूट प्रदान करता है, जबकि दूसरा प्रस्ताव 24.32 प्रतिशत (गणना: 14 + 12 - (14 * 12 / 100)) के समतुल्य क्रमिक छूट प्रदान करता है। दोनों प्रस्तावों के बीच का अंतर 10000 का 0.68 प्रतिशत है, जिससे पहला प्रस्ताव 68 रुपये से बेहतर हो जाता है।

व्याख्या

समीकरण tan θ + 3/tan θ - 2√3 = 0 को हल करने पर द्विघात समीकरण tan² θ - 2√3tan θ + 3 = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (tan θ - √3)² = 0 हो जाता है। इससे tan θ = √3 प्राप्त होता है, इसलिए 0° < θ < 90° के अंतराल के लिए θ = 60° होगा। व्यंजक cosec² θ + cos² θ में θ = 60° का मान रखने पर (2/1/√3)² + (1/2)² = 4/3 + 1/4 = 19/12 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस प्रश्न में एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण AFB का माप पूछा गया है, जहाँ भुजाओं AB और DC को बढ़ाने पर वे E पर मिलती हैं, और भुजाओं AD और BC को बढ़ाने पर वे F पर मिलती हैं। दिया गया है कि त्रिभुज ADE में, कोण ADE = 80 डिग्री और कोण AED = 50 डिग्री है, हम सबसे पहले तीसरा कोण ज्ञात करते हैं, कोण EAD = 180 - (80 + 50) = 50 डिग्री। चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, ये कोण शीर्ष D और A पर आंतरिक कोणों के संगत हैं, इसलिए कोण D = 80 डिग्री और कोण A = 50 डिग्री है। इसलिए विपरीत आंतरिक कोण क्रमशः कोण B = 180 - 80 = 100 डिग्री और कोण C = 180 - 50 = 130 डिग्री हैं। कोण AFB रेखाओं AD और BC के प्रतिच्छेदन से बनता है; त्रिभुज ABF का उपयोग करते हुए, जहाँ कोण FAB = 50 डिग्री है और B पर बाह्य कोण (कोण ABF) 80 डिग्री है (आंतरिक विपरीत कोण D के बराबर), हमें कोण AFB = 180 - (50 + 100) = 30 डिग्री प्राप्त होता है (या त्रिभुज FDC का उपयोग करके, 180 - (100 + 50) = 30 डिग्री)।

व्याख्या

B पर समकोण वाले एक त्रिभुज में, कोण A और C पूरक कोण हैं, जिसका अर्थ है A + C = 90°। पूरक कोणों के गुणों से, हमें प्राप्त होता है: sin C = sin(90° - A) = cos A और cos C = cos(90° - A) = sin A। दिए गए व्यंजक (sin A(cos C + cos A))/(cos C(sin C - sin A)) में इन संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(sin A(sin A + cos A))/(sin A(cos A - sin A))

अंश और हर में sin A के पद आपस में कट जाते हैं, जिससे बचता है:

(sin A + cos A)/(cos A - sin A)

इसे cot A के पदों में व्यक्त करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को sin A से विभाजित करते हैं:

(sin A)/(sin A) + (cos A)/(sin A){(cos A)/(sin A) - (sin A)/(sin A)} = (1 + cot A)/(cot A - 1)

दिया गया है कि cot A = 2, इस मान को सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(1 + 2)/(2 - 1) = ³⁄₁ = 3

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र (√3/4) × भुजा² द्वारा दिया जाता है। (√3/4) × भुजा² = 9√3 रखने पर, भुजा² = 36 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि भुजा की लंबाई 6 सेमी है।

व्याख्या

△ ABC में शीर्षलंब AD और परिवृत्त के व्यास AP के बीच के कोण का माप सूत्र ∠ DAP = |∠ B - ∠ C| द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों ∠ B = 68° और ∠ C = 52° को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠ DAP = |68° - 52°| = 16° प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, इसे ज्यामितीय गुणों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। △ ABD में, चूंकि AD ⊥ BC है, इसलिए ∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 68° = 22° है। चूंकि AP परिवृत्त का व्यास है, इसलिए परिधि पर अंतरित कोण ∠ ABP = 90° है। △ ABP में, ∠ BAP = 90° - ∠ BPA है। कोण ∠ BPA और ∠ BCA एक ही चाप AB द्वारा अंतरित हैं, इसलिए ∠ BPA = ∠ C = 52° है। इस प्रकार, ∠ BAP = 90° - 52° = 38° है। अंततः, ∠ DAP = ∠ BAP - ∠ BAD = 38° - 22° = 16° है।

व्याख्या

प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता को A के सापेक्ष व्यक्त किया जा सकता है। माना A की कार्यक्षमता 1 इकाई प्रति दिन है। चूंकि B, A से 25% अधिक कुशल है, इसलिए B की कार्यक्षमता 1.25 इकाई प्रति दिन है। C, B से 50% कम कुशल है, जिससे C की कार्यक्षमता 1.25 × 0.5 = 0.625 इकाई प्रति दिन हो जाती है।

एक साथ मिलकर कार्य करते हुए A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता है: 1 + 1.25 + 0.625 = 2.875 इकाई प्रति दिन

संबंध 'कुल कार्य = कार्यक्षमता × समय' का उपयोग करते हुए, और A के लिए समय 11½ दिन (या 11.5 दिन) लेने पर, कुल कार्य है: कार्य = 1 × 11.5 = 11.5 इकाई

इस कार्य को पूरा करने के लिए एक साथ मिलकर कार्य करते हुए A, B और C द्वारा लिया गया समय है: समय = (कुल कार्य)/(संयुक्त कार्यक्षमता) = (11.5)/(2.875)

भिन्नात्मक मानों 11.5 = ²³⁄₂ और 2.875 = ²³⁄₈ का उपयोग करने पर: समय = ²³⁄₂ ÷ ²³⁄₈ = ²³⁄₂ × ⁸⁄₂₃ = 4 दिन

व्याख्या

सभी 23 संख्याओं का योग 23 * 51 = 1173 है। 12वीं संख्या पहली 12 और अंतिम 12 दोनों में शामिल है, इसलिए इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है: (12 * 49 + 12 * 54) - 1173 = 1236 - 1173 = 63। 12वीं संख्या को हटाने पर शेष संख्याओं का योग 1173 - 63 = 1110 बचता है, और शेष 22 संख्याओं का नया औसत 1110 / 22 = 50.4545... है, जो लगभग 50.45 है।

व्याख्या

कुल अनुत्तीर्ण प्रतिशत लड़कों और लड़कियों की अनुत्तीर्ण दरों के भारित औसत (weighted average) की गणना करके निर्धारित किया जा सकता है। दिया गया है कि लड़कियां कुल छात्रों की संख्या का 35% हैं, तो लड़के शेष 65% हैं। चूंकि 80% लड़के उत्तीर्ण हुए, इसलिए लड़कों की अनुत्तीर्ण दर 100% - 80% = 20% है। इसी प्रकार, चूंकि 90% लड़कियां उत्तीर्ण हुईं, इसलिए उनकी अनुत्तीर्ण दर 100% - 90% = 10% है।

अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों के प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: कुल अनुत्तीर्ण प्रतिशत = (लड़कों का प्रतिशत × लड़कों की अनुत्तीर्ण दर) + (लड़कियों का प्रतिशत × लड़कियों की अनुत्तीर्ण दर) कुल अनुत्तीर्ण प्रतिशत = (0.65 × 20) + (0.35 × 10) कुल अनुत्तीर्ण प्रतिशत = 13 + 3.5 = 16.5

वैकल्पिक रूप से, छात्रों की कुल संख्या का उपयोग करके: लड़कियों की संख्या = 0.35 × 1400 = 490 लड़कों की संख्या = 1400 - 490 = 910 अनुत्तीर्ण लड़कियां = 490 का 10% = 49 अनुत्तीर्ण लड़के = 910 का 20% = 182 कुल अनुत्तीर्ण छात्र = 49 + 182 = 231 अनुत्तीर्ण छात्रों का प्रतिशत = ²³¹⁄₁₄₀₀ × 100 = 16.5

व्याख्या

समीकरण x + 1/x = 7 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें (x + 1/x)² = 7² प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x² + 2 + 1/x² = 49 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 2 घटाने पर x² + 1/x² = 47 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना भुजा AB की लंबाई x है। तो AC = 2x + 4 और BC = 3x - 4 होगा। चूंकि परिमाप 60 सेमी है, इसलिए x + (2x + 4) + (3x - 4) = 60, जिसे सरल करने पर 6x = 60 प्राप्त होता है, इसलिए x = 10। भुजाओं की लंबाई 10 सेमी, 24 सेमी और 26 सेमी है; ये एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं (10² + 24² = 26²), इसलिए क्षेत्रफल ½ * 10 * 24 = 120 वर्ग सेमी है।

व्याख्या

दिया गया है कि 2x + 3y + 1 = 0, हम इस बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं कि यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है। a = 2x, b = 3y, और c = 1 रखने पर, हमें (2x)³ + (3y)³ + (1)³ = 3(2x)(3y)(1) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 8x³ + 27y³ + 1 = 18xy हो जाता है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर 8x³ + 27y³ - 18xy = -1 प्राप्त होता है, और दोनों पक्षों में 8 जोड़ने पर 8x³ + 27y³ - 18xy + 8 = 7 प्राप्त होता है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के लिए मिश्रधन A, मूलधन P, दर R और समय n के बीच संबंध सूत्र A = P(1 + (R)/(100))ⁿ द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 11495 = 9500(1 + (R)/(100))² प्राप्त होता है। मिश्रधन को मूलधन से विभाजित करने पर (1 + (R)/(100))² = ¹¹⁴⁹⁵⁄₉₅₀₀ = ¹²¹⁄₁₀₀ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, 1 + (R)/(100) = ¹¹⁄₁₀ = 1.1 प्राप्त होता है। इससे (R)/(100) = 0.1 प्राप्त होता है, इसलिए मूल दर R 10 प्रतिशत वार्षिक है।

प्रश्न में समान राशि P = 9500 पर, समान समय T = 2 वर्ष के लिए और मूल दर से दोगुनी दर पर साधारण ब्याज ज्ञात करना आवश्यक है। नई दर R' = 2 × 10 = 20 प्रतिशत वार्षिक है। साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = (P × R' × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें SI = (9500 × 20 × 2)/(100) = 95 × 40 = 3800 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि चेतन के पास सिक्कों की संख्या C = 100 है। गौरव के पास चेतन से 40% अधिक सिक्के हैं, जिसका अर्थ है कि गौरव के पास G = 100 × (1 + 0.40) = 140 सिक्के हैं। अविनाश के पास गौरव से 20% कम सिक्के हैं, इसलिए अविनाश के पास A = 140 × (1 - 0.20) = 140 × 0.8 = 112 सिक्के हैं।

यह निर्धारित करने के लिए कि चेतन के सिक्के अविनाश के सिक्कों से कितने प्रतिशत कम हैं, अविनाश के कुल सिक्कों के सापेक्ष अंतर की गणना करें: अंतर = A - C = 112 - 100 = 12 प्रतिशत कमी = (A - C)/(A) × 100 = ¹²⁄₁₁₂ × 100

भिन्न को सरल करने पर: ¹²⁄₁₁₂ × 100 = ³⁄₂₈ × 100 = ³⁰⁰⁄₂₈ = ⁷⁵⁄₇ भाग करने पर: 75 ÷ 7 ≈ 10.714

एक दशमलव स्थान तक सही, प्रतिशत 10.7% है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x - ²⁄ₓ = 15 से x² + (4)/(x²⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करते हैं।

समीकरण x - ²⁄ₓ = 15 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x - ²⁄ₓ)² = 15²

बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर जहाँ a = x और b = ²⁄ₓ है: x² + (²⁄ₓ)² - 2 · x · ²⁄ₓ = 225

पदों को सरल करने पर: x² + (4)/(x²⁾ - 4 = 225

-4 को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करने पर: x² + (4)/(x²⁾ = 225 + 4 x² + (4)/(x²⁾ = 229

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम दिए गए मान 6724 का वर्गमूल ज्ञात करते हैं। हम सीमा की पहचान करके इसे निर्धारित कर सकते हैं: चूंकि 80² = 6400 और 90² = 8100 है, इसलिए 6724 का वर्गमूल 80 और 90 के बीच होना चाहिए।

चूंकि संख्या 6724 का अंतिम अंक 4 है, इसलिए इसके वर्गमूल का अंतिम अंक या तो 2 या 8 होना चाहिए, क्योंकि 2² = 4 और 8² = 64 होता है। हम 82 का परीक्षण करते हैं: 82² = (80 + 2)² 82² = 80² + 2(80)(2) + 2² 82² = 6400 + 320 + 4 = 6724

अतः, 6724 का वर्गमूल 82 है।

व्याख्या

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, तीनों संकायों में वर्ष 2014 में लड़कों की कुल संख्या और वर्ष 2020 में लड़कियों की कुल संख्या की गणना करें।

वर्ष 2014 में लड़कों की कुल संख्या उस वर्ष कला, विज्ञान और वाणिज्य में लड़कों की संख्या का योग है: कुल लड़के₂₀₁₄ = 42 + 42 + 32 = 116

वर्ष 2020 में लड़कियों की कुल संख्या उस वर्ष कला, विज्ञान और वाणिज्य में लड़कियों की संख्या का योग है: कुल लड़कियां₂₀₂₀ = 43 + 30 + 41 = 114

वर्ष 2014 में लड़कों की कुल संख्या का वर्ष 2020 में लड़कियों की कुल संख्या से अनुपात है: अनुपात = 116 : 114

दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), जो कि 2 है, से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है: अनुपात = ¹¹⁶⁄₂ : ¹¹⁴⁄₂ = 58 : 57

व्याख्या

दिए गए समीकरण sin² θ = 2sin θ - 1 को sin² θ - 2sin θ + 1 = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो कि पूर्ण वर्ग (sin θ - 1)² = 0 है। इसे हल करने पर sin θ = 1 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है θ = 90 डिग्री। इस मान को व्यंजक 1 + cos θ में रखने पर 1 + cos 90 = 1 + 0 = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता प्रमेय के अनुसार, दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों। दो त्रिभुजों के समरूप होने के लिए, समरूपता कथन में शीर्षों का क्रम समानुपाती भुजाओं के बीच सटीक संगति को दर्शाना चाहिए। दी गई समानुपातिकता (AB)/(DF) = (BC)/(DE) = (AC)/(EF) के आधार पर, हम अनुपातों में उभयनिष्ठ अक्षरों को देखकर संगत शीर्षों की पहचान कर सकते हैं।

युग्म (AB)/(DF) = (BC)/(DE) में, अंशों में शीर्ष B उभयनिष्ठ है और हरों में D उभयनिष्ठ है, जिसका अर्थ है B ↔ D। युग्म (BC)/(DE) = (AC)/(EF) में, अंशों में शीर्ष C उभयनिष्ठ है और हरों में E उभयनिष्ठ है, जिसका अर्थ है C ↔ E। युग्म (AB)/(DF) = (AC)/(EF) में, अंशों में शीर्ष A उभयनिष्ठ है और हरों में F उभयनिष्ठ है, जिसका अर्थ है A ↔ F। इन संगत शीर्षों को समान क्रम में व्यवस्थित करने पर, हमें समरूपता △ BCA ∼ △ DEF प्राप्त होती है। यह संकेतन अनुपातों को (BC)/(DE) = (CA)/(EF) = (BA)/(DF) के रूप में सही ढंग से संरेखित करता है, जो दी गई जानकारी से मेल खाता है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज OAP में, जहाँ OA त्रिज्या है और AP स्पर्श रेखा है, A पर कोण 90° है। दिया गया है कि OP = 2 OA, माना त्रिज्या OA, r है। तो OP = 2r होगा। △ OAP में, cos(∠ AOP) = (OA)/(OP) = (r)/(2r) = ½, जिससे प्राप्त होता है कि ∠ AOP = 60° है।

माना M वह बिंदु है जहाँ रेखा OP, जीवा AB को प्रतिच्छेद करती है। चूँकि केंद्र को बाहरी बिंदु P से जोड़ने वाली रेखा जीवा AB को लंबवत समद्विभाजित करती है, इसलिए M, AB का मध्यबिंदु है, अतः AM = 5 सेमी है। समकोण त्रिभुज OAM में, sin(∠ AOM) = (AM)/(OA)। चूँकि ∠ AOM = ∠ AOP = 60° है, हमें sin(60°) = (5)/(r) प्राप्त होता है, जिससे (√3)/(2) = (5)/(r) मिलता है, इसलिए r = (10)/(√3) सेमी है।

△ OAP में, स्पर्शज्या (tangent) अनुपात का उपयोग करने पर, tan(∠ AOP) = (AP)/(OA)। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, tan(60°) = (AP)/(r), जिसका अर्थ है √3 = (AP)/((10)/(√3))। AP के लिए हल करने पर, हमें AP = ((10)/(√3)) × √3 = 10 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना अनिल और कुमुद का प्रारंभिक मासिक वेतन क्रमशः 19x और 17x है। अनिल के लिए ₹2000 और कुमुद के लिए ₹1000 की वेतन वृद्धि के बाद, उनका नया वेतन क्रमशः 19x + 2000 और 17x + 1000 हो जाता है। दिया गया है कि नया अनुपात 8 : 7 है, इसलिए समीकरण है:

(19x + 2000)/(17x + 1000) = 8/7

तिर्यक गुणन (Cross-multiplying) करने पर: 7(19x + 2000) = 8(17x + 1000) 133x + 14000 = 136x + 8000 136x - 133x = 14000 - 8000 3x = 6000 x = 2000

कुमुद का वर्तमान वेतन 17x द्वारा दर्शाया गया है। x का मान रखने पर: 17 × 2000 = 34000

व्याख्या

व्यापारी A द्वारा दी जाने वाली एकल छूट 25% है। व्यापारी B के लिए, x% और y% की दो क्रमिक छूटों की प्रभावी छूट का सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ द्वारा दिया जाता है।

व्यापारी B के लिए मान रखने पर: प्रभावी छूट = 20 + 5 - (20 × 5)/(100) = 25 - ¹⁰⁰⁄₁₀₀ = 25 - 1 = 24%

व्यापारी A और व्यापारी B द्वारा दी जाने वाली छूट प्रतिशत का अंतर 25% - 24% = 1% है।

चूंकि व्यापारी A द्वारा दी गई छूट, व्यापारी B की तुलना में ₹320 अधिक है, इसलिए अंकित मूल्य का यह 1%, ₹320 के बराबर है।

माना अंकित मूल्य M है। M का 1% = 320 ¹⁄₁₀₀ × M = 320 M = 320 × 100 = 32000

वस्तु का अंकित मूल्य ₹32,000 है।

व्याख्या

माना एक पुरुष की कार्य दर m और एक महिला की कार्य दर w है। दिया गया संबंध 3w = 2m यह दर्शाता है कि एक महिला की कार्य दर w = ⅔m है। पूरा किया जाने वाला कुल कार्य 18 पुरुषों द्वारा 14 दिनों तक कार्य करने के रूप में परिभाषित है, जो कि 18m × 14 = 252m पुरुष-दिन है।

पहले चरण में, 5 पुरुषों और 6 महिलाओं का एक समूह 4 दिनों तक कार्य करता है। महिलाओं की क्षमता को पुरुषों के संदर्भ में व्यक्त करने पर, समूह की कार्यक्षमता 5m + 6(⅔m) = 5m + 4m = 9m है। इन पहले 4 दिनों के दौरान पूरा किया गया कार्य 9m × 4 = 36m है।

शेष कार्य 252m - 36m = 216m है। इस बिंदु पर, 3 और पुरुष समूह में शामिल हो जाते हैं, जिससे 8 पुरुषों और 6 महिलाओं का एक नया समूह बनता है। इस नए समूह की कार्यक्षमता 8m + 6(⅔m) = 8m + 4m = 12m है। शेष कार्य को पूरा करने में लगा समय 216m / 12m = 18 दिन है।

पूरी परियोजना को पूरा करने में लगा कुल समय प्रारंभिक 4 दिनों और अतिरिक्त 18 दिनों का योग है, जो कुल 22 दिन है।

व्याख्या

प्रथम n धनात्मक विषम संख्याओं का औसत सूत्र A = n द्वारा दिया जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रथम n विषम संख्याओं का योग n² होता है, और इसे n से विभाजित करने पर n प्राप्त होता है। प्रथम दस धनात्मक विषम संख्याओं (n = 10) के लिए, औसत 10 है।

प्रथम n धनात्मक सम संख्याओं का औसत सूत्र A = n + 1 द्वारा दिया जाता है। यह प्रथम n सम संख्याओं के योग से प्राप्त होता है, जो कि n(n + 1) होता है, और इसे n से विभाजित करने पर n + 1 प्राप्त होता है। प्रथम पंद्रह धनात्मक सम संख्याओं (n = 15) के लिए, औसत 15 + 1 = 16 है।

प्रथम दस धनात्मक विषम संख्याओं के औसत और प्रथम पंद्रह धनात्मक सम संख्याओं के औसत का गुणनफल 10 × 16 = 160 है।

व्याख्या

माना वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 100 है। 3.3% की हानि (यह ध्यान रखते हुए कि प्रश्न में 33% वास्तव में 3.3% की लिपिकीय त्रुटि है) के परिणामस्वरूप विक्रय मूल्य (SP) होगा: SP = 100 - 3.3 = 96.7

प्रश्न के अनुसार, यह विक्रय मूल्य अंकित मूल्य (MP) का चार-पांचवां भाग है: SP = ⅘ MP 96.7 = 0.8 × MP MP = (96.7)/(0.8) = 120.875

यदि दुकानदार वस्तु को अंकित मूल्य (MP) पर बेचता है, तो नया विक्रय मूल्य 120.875 होगा। लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ = MP - CP = 120.875 - 100 = 20.875

लाभ प्रतिशत है: लाभ % = (20.875)/(100) × 100 = 20.875%

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, लाभ प्रतिशत 21% है।

व्याख्या

किसी वृत्त के केंद्र पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण, परिधि के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। दिया गया है कि ∠ BOC = 84°, वृत्त पर बिंदु A पर चाप BC द्वारा अंतरित कोण ∠ BAC की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ BAC = ½ × ∠ BOC = (84°)/(2) = 42°।

चूंकि रेखाखंड AC को बिंदु D तक बढ़ाया गया है, इसलिए बिंदु A, C और D संरेख (collinear) हैं, जिससे ∠ BAD = ∠ BAC = 42° हो जाता है। त्रिभुज ABD में, अंतःकोणों का योग 180° होना चाहिए। इस त्रिभुज के कोण ∠ BAD, ∠ ADB और ∠ ABD हैं। हमें दिया गया है कि ∠ BDC (जो कि ∠ ADB के समान है) 40° है। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: ∠ ABD = 180° - (∠ BAD + ∠ ADB)। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, ∠ ABD = 180° - (42° + 40°) = 180° - 82° = 98°।

व्याख्या

व्यक्ति की गति 3 किमी/घंटा है, जिसे मीटर प्रति मिनट में 3 × ¹⁰⁰⁰⁄₆₀ = 50 मीटर/मिनट के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। 5 मिनट में मैदान को विकर्णतः पार करते समय उसके द्वारा तय की गई दूरी वर्गाकार मैदान के विकर्ण D की लंबाई को दर्शाती है। इसलिए, D = गति × समय = 50 × 5 = 250 मीटर।

एक वर्गाकार मैदान के क्षेत्रफल A की गणना उसके विकर्ण D की लंबाई का उपयोग करके सूत्र A = D²/2 द्वारा की जा सकती है। सूत्र में विकर्ण का मान रखने पर A = 250²/2 = ⁶²⁵⁰⁰⁄₂ = 31250 वर्ग मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण y = 2x + 1 को 2x - y + 1 = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं, जिसके अनुसार यदि a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है। a = 2x, b = -y, और c = 1 प्रतिस्थापित करने पर, a + b + c = 2x - y + 1 = 0 की स्थिति संतुष्ट होती है।

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर (2x)³ + (-y)³ + (1)³ = 3(2x)(-y)(1) प्राप्त होता है। इस व्यंजक को सरल करने पर 8x³ - y³ + 1 = -6xy प्राप्त होता है। अभीष्ट मान ज्ञात करने के लिए, हम xy वाले पद को बाईं ओर और अचर पद को दाईं ओर ले जाकर समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, जिससे 8x³ - y³ + 6xy = -1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना दोनों कारों की गति क्रमशः x किमी/घंटा और y किमी/घंटा है, जहाँ x > y।

जब वे एक ही दिशा में चलती हैं, तो सापेक्ष गति उनकी गतियों का अंतर होती है। दिया गया है कि वे 45 किमी की दूरी तय करके 4.5 घंटे में मिलती हैं: x - y = (45)/(4.5) = 10

जब वे एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो सापेक्ष गति उनकी गतियों का योग होती है। लिया गया समय 27 मिनट है, जो कि ²⁷⁄₆₀ = ⁹⁄₂₀ घंटे है। दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर: x + y = (45)/(9){20} = (45 × 20)/(9) = 100

तेज चलने वाली कार की गति (x) ज्ञात करने के लिए, दोनों समीकरणों को जोड़ें: (x - y) + (x + y) = 10 + 100 2x = 110 x = 55

तेज चलने वाली कार की गति 55 किमी/घंटा है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज PQR में, जिसका कोण Q समकोण है, जहाँ बिंदु M और N क्रमशः भुजाओं PQ और QR पर स्थित हैं, खंडों की लंबाई के बीच का संबंध इस प्रमेय द्वारा दिया गया है: PN² + MR² = PR² + MN²

यह शीर्ष Q के साथ बनने वाले चार समकोण त्रिभुजों पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने से प्राप्त होता है। △ PQN में, PN² = PQ² + QN²। △ MQR में, MR² = MQ² + QR²। इन्हें जोड़ने पर प्राप्त होता है: PN² + MR² = (PQ² + QR²) + (MQ² + QN²)

चूंकि PQ² + QR² = PR² (△ PQR से) और MQ² + QN² = MN² (△ MQN से) है, हम इन मानों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त करते हैं: PN² + MR² = PR² + MN²

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 9² + 7² = PR² + 3² 81 + 49 = PR² + 9 130 = PR² + 9 PR² = 121 PR = √(121) = 11 सेमी।

व्याख्या

11 की विभाज्यता का नियम कहता है कि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 11 का एक गुणज होना चाहिए, जिसमें शून्य भी शामिल है। संख्या 4a067b के लिए, हम विभिन्न स्थानों पर अंकों की पहचान करते हैं। विषम स्थानों पर अंकों का योग (दाईं ओर से) S₁ = b + 6 + a = a + b + 6 है। सम स्थानों पर अंकों का योग S₂ = 7 + 0 + 4 = 11 है।

विभाज्यता की शर्त S₁ - S₂ = 11k है, जहाँ k एक पूर्णांक है। योगों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (a + b + 6) - 11 = 11k प्राप्त होता है, जो सरल होकर (a + b) - 5 = 11k हो जाता है। चूंकि a और b, 0 से 9 तक के एकल अंक हैं, इसलिए योग (a + b) की सीमा 0 ≤ a + b ≤ 18 है।

k = 0 रखने पर a + b - 5 = 0 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप a + b = 5 होता है। k = 1 रखने पर a + b - 5 = 11 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप a + b = 16 होता है। k = 2 रखने पर a + b - 5 = 22 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप a + b = 27 होता है, जो दो अंकों के योग की संभावित सीमा से बाहर है। k = -1 रखने पर a + b - 5 = -11 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप a + b = -6 होता है, जो कि असंभव भी है।

(a + b) के संभावित मान 5 और 16 हैं। सभी संभावित मानों का योग 5 + 16 = 21 है।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों को प्रतिस्थापित करें: sin 60° = √3{2}, cos 30° = √3{2}, sin 45° = (1)/(√(2)), और sin 90° = 1।

व्यंजक इस प्रकार दिया गया है: sin² 60° + cos² 30° - sin² 45° - 3sin² 90°

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: = (√3{2})² + (√3{2})² - ((1)/(√(2)))² - 3(1)² = ¾ + ¾ - ½ - 3 = ⁶⁄₄ - ½ - 3 = ³⁄₂ - ½ - 3 = (3 - 1)/(2) - 3 = ²⁄₂ - 3 = 1 - 3 = -2

व्याख्या

दिया गया समीकरण x⁴ - 62x² + 1 = 0 है। पूरे समीकरण को x² से भाग देने पर, हमें x² - 62 + (1)/(x²⁾ = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x² + (1)/(x²⁾ = 62 हो जाता है।

x + ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²⁾ + 2 का उपयोग करते हैं। इस सर्वसमिका में x² + (1)/(x²⁾ के ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर (x + ¹⁄ₓ)² = 62 + 2 = 64 प्राप्त होता है। चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि x > 0, हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं जिससे x + ¹⁄ₓ = √(64) = 8 प्राप्त होता है।

व्यंजक x³ + x⁻³ वास्तव में x³ + (1)/(x³⁾ के समतुल्य है। घन सर्वसमिका x³ + (1)/(x³⁾ = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) का उपयोग करते हुए, हम (x + ¹⁄ₓ) के स्थान पर मान 8 प्रतिस्थापित करते हैं। इसके परिणामस्वरूप 8³ - 3(8) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 512 - 24 हो जाता है। अंतिम गणना से 488 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x⁸ - 34x⁴ + 1 = 0 में, हम पूरे व्यंजक को x⁴ से विभाजित करते हैं (चूंकि x > 0 है): x⁴ - 34 + (1)/(x⁴) = 0 x⁴ + (1)/(x⁴) = 34

x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका a² + b² = (a + b)² - 2ab का उपयोग करते हैं: (x² + (1)/(x²))² - 2 = 34 (x² + (1)/(x²))² = 36 x² + (1)/(x²) = 6

इसके बाद, हम सर्वसमिका a² + b² = (a - b)² + 2ab का उपयोग करके x - ¹⁄ₓ ज्ञात करते हैं: (x - ¹⁄ₓ)² + 2 = 6 (x - ¹⁄ₓ)² = 4 x - ¹⁄ₓ = 2

x³ - x⁻³ (जो कि x³ - (1)/(x³) है) का मान घनीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: x³ - (1)/(x³) = (x - ¹⁄ₓ)³ + 3(x)(¹⁄ₓ)(x - ¹⁄ₓ) x - ¹⁄ₓ = 2 प्रतिस्थापित करने पर: x³ - (1)/(x³) = 2³ + 3(2) x³ - (1)/(x³) = 8 + 6 = 14

व्याख्या

sinθ और cosθ का अनुपात ज्ञात करने के लिए समीकरण (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = ⁵⁄₁ पर योगान्तरानुपात नियम (Componendo and Dividendo rule) लागू करने पर: ((sinθ + cosθ) + (sinθ - cosθ))/((sinθ + cosθ) - (sinθ - cosθ)) = (5 + 1)/(5 - 1) (2sinθ)/(2cosθ) = ⁶⁄₄ ⟹ tanθ = ³⁄₂ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर tan²θ = ⁹⁄₄ प्राप्त होता है।

वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, अंश और हर दोनों को cos²θ से विभाजित करने पर: 4{sin²θ{cos²θ} + (3)/(cos²⁾^θ}{2cos²θ{cos²θ} + (2)/(cos²⁾^θ} = 4tan²θ + 3sec²θ{2 + 2sec²θ}

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ = 1 + tan²θ का उपयोग करने पर, व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है: 4tan²θ + 3(1 + tan²θ){2 + 2(1 + tan²θ)} = 7tan²θ + 3{2tan²θ + 4}

सरलीकृत सूत्र में tan²θ = ⁹⁄₄ प्रतिस्थापित करने पर: (7(9)/(4)) + 3{2(⁹⁄₄) + 4} = (63 + 12)/(4){(18 + 16)/(4)} = ⁷⁵⁄₃₄

व्याख्या

एक वृत्त में, एक ही चाप द्वारा परिधि पर बने कोण बराबर होते हैं। चूंकि ∠ BAC और ∠ BDC दोनों एक ही चाप BC द्वारा बने हैं, इसलिए ∠ BDC = ∠ BAC = 22° होगा। △ OCD में, भुजाएं OC और OD दोनों वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, जिससे △ OCD एक समद्विबाहु त्रिभुज बनता है जिसमें OC = OD है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं, इसलिए ∠ OCD = ∠ ODC = 22°। किसी भी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, △ OCD में, केंद्रीय कोण का माप इस प्रकार निकाला जाता है: ∠ COD = 180° - (∠ ODC + ∠ OCD) = 180° - (22° + 22°) = 136°।

व्याख्या

(a + b)ⁿ का द्विपद प्रसार सामान्य पद Tᵣ₊₁ = n{r} aⁿ⁻ʳ bʳ द्वारा दिया जाता है। व्यंजक (5 - x²{3})³ में, हमारे पास a = 5, b = -x²{3}, और n = 3 है। x² का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम उस पद की पहचान करते हैं जहाँ x की घात 2 है। सामान्य पद 3{r} (5)³⁻ʳ (-x²{3})ʳ है, जिसे सरल करने पर 3{r} (5)³⁻ʳ (-⅓)ʳ x²ʳ प्राप्त होता है।

x² प्राप्त करने के लिए, हम घात 2r = 2 रखते हैं, जिससे r = 1 प्राप्त होता है। सामान्य पद में r = 1 प्रतिस्थापित करने पर:

T₂ = 3{1} (5)³⁻¹ (-x²{3})¹ T₂ = 3 · 5² · (-x²{3}) T₂ = 3 · 25 · (-⅓) x² T₂ = -25x²

x² का गुणांक -25 है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP), लाभ प्रतिशत और छूट प्रतिशत के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: (MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ CP = ₹920, MP = ₹1472, लाभ% = 20, और छूट% = x:

¹⁴⁷²⁄₉₂₀ = (100 + 20)/(100 - x)

अंश और हर दोनों को 184 से विभाजित करके भिन्न ¹⁴⁷²⁄₉₂₀ को सरल करने पर ⁸⁄₅ प्राप्त होता है। समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

⁸⁄₅ = (120)/(100 - x)

तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर 8(100 - x) = 120 × 5 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 800 - 8x = 600 हो जाता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर 8x = 200 प्राप्त होता है, और x का मान ज्ञात करने पर x = 25 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कोष्ठक के भीतर के पदों के लिए एक सामान्य हर ज्ञात करके अंश को सरल करने पर ((sinθ cosθ + 1)/cosθ)² + ((cosθ sinθ + 1)/sinθ)² प्राप्त होता है, जिसका गुणनखंड करने पर (1 + sinθ cosθ)² * (1/cos²θ + 1/sin²θ) प्राप्त होता है। इसे और सरल करने पर (1 + sinθ cosθ)² * (1 / (sin²θ cos²θ)) प्राप्त होता है, जो (secθ cscθ + 1)² के बराबर है, जिससे अंश और हर का अनुपात 1 के बराबर हो जाता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABD में, जो B पर समकोण है, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: AB² + BD² = AD²। दिए गए मानों BD = 5 सेमी और AD = 13 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें AB² + 5² = 13² प्राप्त होता है। इसके परिणामस्वरूप AB² = 169 - 25 = 144 प्राप्त होता है, इसलिए AB = 12 सेमी।

बड़े समकोण त्रिभुज ABC में, हम फिर से पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: AB² + BC² = AC²। AB = 12 सेमी और AC = 37 सेमी प्रतिस्थापित करने पर, हमें 12² + BC² = 37² प्राप्त होता है। इससे 144 + BC² = 1369 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर BC² = 1225 प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर, हमें BC = 35 सेमी प्राप्त होता है।

चूंकि बिंदु D रेखाखंड BC पर स्थित है, इसलिए कुल लंबाई BC, BD और DC का योग है। इसलिए, BC = BD + DC। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर 35 = 5 + DC, हम DC = 30 सेमी की गणना करते हैं।

व्याख्या

कुल राशि A, B, C और D के अनुपात इकाइयों के योग के संगत है, जो कि 4 + 12 + 30 + 45 = 91 इकाइयाँ है। A और D के हिस्सों के बीच के अंतर को उनकी अनुपात इकाइयों के अंतर द्वारा दर्शाया गया है, जिसकी गणना 45 - 4 = 41 इकाइयों के रूप में की जाती है। प्रश्न के अनुसार, यह अंतर ₹5,535 है। इसलिए, एक इकाई का मान ⁵⁵³⁵⁄₄₁ = 135 है। कुल राशि ज्ञात करने के लिए, हम एक इकाई के मान को कुल इकाइयों की संख्या से गुणा करते हैं: 91 × 135 = 12285।

व्याख्या

माना नदी के प्रवाह की चाल v किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल मोटर बोट की चाल (20 + v) किमी/घंटा है और धारा के प्रतिकूल इसकी चाल (20 - v) किमी/घंटा है। पूरी यात्रा का कुल समय धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल यात्राओं में लगे समय का योग है।

सूत्र समय = दूरी / चाल का उपयोग करने पर, कुल समय T इस प्रकार दिया गया है: 150 / (20 + v) + 150 / (20 - v) = 16

दूरी को उभयनिष्ठ लेने और लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने पर: 150 [ (20 - v + 20 + v) / (20² - v²) ] = 16 150 [ 40 / (400 - v²) ] = 16 6000 / (400 - v²) = 16

समीकरण को सरल करने पर: 6000 / 16 = 400 - v² 375 = 400 - v² v² = 400 - 375 v² = 25 v = 5

नदी के प्रवाह की चाल 5 किमी/घंटा है।

व्याख्या

किसी संख्या के 72 से विभाज्य होने के लिए, उसे 8 और 9 दोनों से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि ये 72 के सह-अभाज्य (co-prime) गुणनखंड हैं। 8 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, संख्या 7698x138y के अंतिम तीन अंक, जो कि 38y हैं, 8 से विभाज्य होने चाहिए। 38y को 8 से विभाजित करने पर, हम पाते हैं कि 380 की श्रृंखला में केवल 384 ही ऐसी संख्या है जो 8 से विभाज्य है (चूंकि 384 = 8 × 48), जिससे y = 4 प्राप्त होता है।

9 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, संख्या के अंकों का योग 9 का एक गुणज होना चाहिए। अंकों का योग 7 + 6 + 9 + 8 + x + 1 + 3 + 8 + y है, जो सरल करने पर 42 + x + y हो जाता है। y = 4 का मान रखने पर, योग 42 + x + 4 = 46 + x हो जाता है। 46 + x को 9 से विभाज्य होने के लिए, 46 से बड़ा 9 का निकटतम गुणज 54 है। इसलिए, 46 + x = 54, जिससे x = 8 प्राप्त होता है।

अब, अभीष्ट व्यंजक में x और y के मान रखने पर: √(4x + y) = √(4(8) + 4) √(32 + 4) = √(36) = 6

व्याख्या

माना पाइप C की कार्यक्षमता 12 इकाई/घंटा है। चूंकि C, B से 12 गुना तेज़ है और A से 3 गुना तेज़ है, इसलिए B की कार्यक्षमता 1 इकाई/घंटा है और A की कार्यक्षमता 4 इकाई/घंटा है। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 17 इकाई/घंटा है, इसलिए टैंक की कुल क्षमता 17 इकाई/घंटा गुणा 4 घंटे है, जो 68 इकाई के बराबर है। इसलिए, अकेले पाइप A को 68 इकाई को 4 इकाई/घंटा से विभाजित करने पर 17 घंटे लगेंगे।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ BD कर्ण AC पर शीर्षलंब है, △ ADB और △ ABC के बीच समरूपता के गुण से ज्यामितीय संबंध AB² = AD × AC प्राप्त होता है।

चूंकि D रेखाखंड AC पर स्थित है, इसलिए AD की लंबाई AC में से CD को घटाकर प्राप्त की जाती है: AD = AC - CD = 9 - 3 = 6 सेमी

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: AB² = 6 × 9 AB² = 54 AB = √(54) AB = √(9 × 6) AB = 3√6 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि पहले लेनदेन में हुई हानि L है। प्रश्न के अनुसार, वस्तु को 490 में बेचने पर इस हानि के चार गुना के बराबर लाभ प्राप्त होता है, जो कि 4L है। चूंकि दोनों स्थितियों में क्रय मूल्य (CP) समान है, इसलिए संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: क्रय मूल्य (CP) = विक्रय मूल्य₁ + हानि = विक्रय मूल्य₂ - लाभ 455 + L = 490 - 4L पदों को व्यवस्थित करने पर: 5L = 490 - 455 = 35 L = 7 क्रय मूल्य की गणना करने पर: क्रय मूल्य (CP) = 455 + 7 = 462 25% लाभ प्राप्त करने के लिए आवश्यक विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम क्रय मूल्य को 125% से गुणा करते हैं: आवश्यक विक्रय मूल्य = 462 × 1.25 = 462 × ⁵⁄₄ आवश्यक विक्रय मूल्य = ²³¹⁰⁄₄ = 577.50

व्याख्या

1 से 50 तक की उन संख्याओं का औसत ज्ञात करने के लिए जो 2 या 5 की गुणज हैं, हम ऐसी संख्याओं का कुल योग और कुल संख्या निर्धारित करने के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) लागू करते हैं।

2 के गुणजों के लिए (2, 4, …, 50): पदों की संख्या n₂ = ⁵⁰⁄₂ = 25. योग S₂ = (n₂)/(2)(प्रथम + अंतिम) = ²⁵⁄₂(2 + 50) = 25 × 26 = 650.

5 के गुणजों के लिए (5, 10, …, 50): पदों की संख्या n₅ = ⁵⁰⁄₅ = 10. योग S₅ = ¹⁰⁄₂(5 + 50) = 5 × 55 = 275.

2 और 5 दोनों के गुणजों के लिए (10 के गुणज: 10, 20, …, 50): पदों की संख्या n₁₀ = ⁵⁰⁄₁₀ = 5. योग S₁₀ = ⁵⁄₂(10 + 50) = 5 × 30 = 150.

विशिष्ट संख्याओं की कुल संख्या n = n₂ + n₅ - n₁₀ = 25 + 10 - 5 = 30 है। विशिष्ट संख्याओं का कुल योग S = S₂ + S₅ - S₁₀ = 650 + 275 - 150 = 775 है।

औसत की गणना इस प्रकार की जाती है: औसत = (S)/(n) = ⁷⁷⁵⁄₃₀ = ¹⁵⁵⁄₆ = 25.833…

एक दशमलव स्थान तक सही, औसत 25.8 है।

व्याख्या

व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके सरल किया गया है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में स्थापित करता है।

पहले कोष्ठक वाले व्यंजक से शुरू करें: ¾ - ¼ ÷ ¼ का ⅖। संक्रियाओं के क्रम के अनुसार, भाग से पहले 'का' (of) संक्रिया की जाती है। इस प्रकार, ¼ का ⅖ = (1 × 2)/(4 × 5) = ⅒। इसके बाद व्यंजक घटकर ¾ - ¼ ÷ ⅒ हो जाता है। इसके बाद, भाग करें: ¼ ÷ ⅒ = ¼ × ¹⁰⁄₁ = ¹⁰⁄₄ = ⁵⁄₂। अंत में, घटाने पर प्राप्त होता है: ¾ - ⁵⁄₂ = (3 - 10)/(4) = -⁷⁄₄।

अब, दूसरे कोष्ठक वाले व्यंजक का मान ज्ञात करें: ¾ ÷ ⅔ का ⅗। यहाँ भी, भाग से पहले 'का' संक्रिया की जाएगी: ⅔ का ⅗ = (2 × 3)/(3 × 5) = ⅖। इसके बाद भाग की गणना इस प्रकार है: ¾ ÷ ⅖ = ¾ × ⁵⁄₂ = ¹⁵⁄₈।

अंतिम चरण पहले कोष्ठक के परिणाम को दूसरे कोष्ठक के परिणाम से विभाजित करना है: -⁷⁄₄ ÷ ¹⁵⁄₈ = -⁷⁄₄ × ⁸⁄₁₅। इन भिन्नों को गुणा करने पर -⁵⁶⁄₆₀ प्राप्त होता है। अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करके भिन्न को उसके सरलतम रूप में बदलने पर -¹⁴⁄₁₅ प्राप्त होता है, जो गणितीय रूप से ¹⁴⁄₋₁₅ के बराबर है।