एसएससी सीजीएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

वर्ष 2015 में संस्थानों B, C, और E में व्यावसायिक पाठ्यक्रमों के लिए नामांकित छात्रों की कुल संख्या की गणना तालिका से उनके संबंधित मानों को जोड़कर की जाती है: 180 + 220 + 200 = 600।

वर्ष 2016 में संस्थानों A, D, और F में व्यावसायिक पाठ्यक्रमों के लिए नामांकित छात्रों की कुल संख्या की गणना तालिका से उनके संबंधित मानों को जोड़कर की जाती है: 165 + 175 + 200 = 540।

मान x उस प्रतिशत को दर्शाता है जिससे पहला योग दूसरे योग से अधिक है। प्रतिशत वृद्धि के सूत्र का उपयोग करने पर: x = (600 - 540)/(540) × 100 x = ⁶⁰⁄₅₄₀ × 100 x = ⅑ × 100 x = 11.11...

परिकलित परिणाम के सबसे निकटतम x का मान 11.1 है।

व्याख्या

दिया गया है कि cos(A - B) = √3/2, जिससे हमें A - B = 30° प्राप्त होता है। दिया गया है कि cot(A + B) = √3, जिससे हमें A + B = 30° प्राप्त होता है। इन दोनों समीकरणों को हल करने पर, हमें A = 30° और B = 0° प्राप्त होता है। इस प्रकार, 2A - 3B = 2(30°) - 3(0°) = 60°।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का अनुसरण करता है, जिसे (a³ + b³)/(a + b) = a² - ab + b² के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

सबसे पहले, हर (denominator) के पदों को सरल करें: √(18)x = 3√2x √(12)y = 2√3y

अंश (numerator) में, हम देखते हैं कि: (3√2x)³ = 27 × 2√2x³ = 54√2x³ (2√3y)³ = 8 × 3√3y³ = 24√3y³

a = 3√2x और b = 2√3y मानने पर, विभाजन से a² - ab + b² प्राप्त होता है: (3√2x)² - (3√2x)(2√3y) + (2√3y)² = 18x² - 6√6xy + 12y²

इसकी तुलना दिए गए दाएँ पक्ष (RHS) Ax² + By² + Cxy से करने पर: A = 18 B = 12 C = -6√6

अब, अभीष्ट मान A² - (B² + C²) की गणना करें: A² = 18² = 324 B² = 12² = 144 C² = (-6√6)² = 36 × 6 = 216

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 324 - (144 + 216) = 324 - 360 = -36

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज में एक कोण का आंतरिक समद्विभाजक सम्मुख भुजा को ऐसे खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं। कोण समद्विभाजक AD वाले △ ABC के लिए, इस संबंध को (AB)/(AC) = (BD)/(DC) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

आधार BC की लंबाई, खंडों BD और DC का योग है, इसलिए BD + DC = 11 सेमी। यह देखते हुए कि BD, DC से 3 सेमी कम है, हम समीकरण को (DC - 3) + DC = 11 के रूप में लिख सकते हैं। इसे हल करने पर 2DC = 14 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है DC = 7 सेमी। परिणामस्वरूप, BD = 11 - 7 = 4 सेमी।

कोण समद्विभाजक प्रमेय सूत्र में AC, BD और DC के ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (AB)/(21) = ⁴⁄₇ AB = 21 × ⁴⁄₇ AB = 3 × 4 = 12 सेमी।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, आधार BC पर खींचे गए शीर्षलम्ब AD और ∠ A के आंतरिक कोण समद्विभाजक AE के बीच बनने वाले कोण का माप, त्रिभुज के अन्य दो कोणों के निरपेक्ष अंतर के आधे के बराबर होता है। सूत्र इस प्रकार है:

∠ DAE = ½ | ∠ B - ∠ C |

दिया गया है कि ∠ B = 62° और ∠ C = 36°, हम इन मानों को सीधे सूत्र में रख सकते हैं:

∠ DAE = ½ | 62° - 36° | ∠ DAE = ½ (26°) ∠ DAE = 13°

इसकी पुष्टि व्यक्तिगत कोणों की गणना करके भी की जा सकती है। △ ABC में, ∠ A = 180° - (62° + 36°) = 82°। चूंकि AE कोण समद्विभाजक है, इसलिए ∠ BAE = (82°)/(2) = 41°। समकोण △ ABD में, कोण ∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 62° = 28°। अभीष्ट कोण ∠ DAE, ∠ BAE और ∠ BAD के बीच का अंतर है, जो कि 41° - 28° = 13° है।

व्याख्या

एक गोलीय कोश का आयतन V, बाहरी गोले के आयतन और आंतरिक गोले के आयतन के बीच के अंतर की गणना करके निर्धारित किया जाता है। एक गोले के आयतन का सूत्र ⁴⁄₃ π r³ है। इसलिए, बाहरी त्रिज्या R और आंतरिक त्रिज्या r वाले एक कोश के लिए, आयतन सूत्र V = ⁴⁄₃ π (R³ - r³) द्वारा दिया जाता है।

इस प्रश्न में, बाहरी त्रिज्या R, 3 सेमी है और आंतरिक त्रिज्या r, 2 सेमी है। इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

V = ⁴⁄₃ π (3³ - 2³)

त्रिज्याओं के घनों की गणना करने पर, हमें 3³ = 27 और 2³ = 8 प्राप्त होता है। इन्हें समीकरण में रखने पर:

V = ⁴⁄₃ π (27 - 8) V = ⁴⁄₃ π (19)

4 और 19 का गुणा करने पर 76 प्राप्त होता है, इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

V = (76 π)/(3)

व्याख्या

महिला शिक्षकों की औसत संख्या की गणना सभी पांच जिलों में महिला शिक्षकों के कुल योग को जिलों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

प्रत्येक जिले में महिला शिक्षकों की संख्या इस प्रकार है: पूर्व: 2375 उत्तर: 2651 पश्चिम: 1520 दक्षिण: 1085 मध्य: 859

महिला शिक्षकों का योग = 2375 + 2651 + 1520 + 1085 + 859 = 8490

जिलों की कुल संख्या 5 है। औसत के सूत्र का उपयोग करने पर: औसत = (महिला शिक्षकों का कुल योग)/(जिलों की संख्या)

औसत = ⁸⁴⁹⁰⁄₅ = 1698

8490 को 5 से विभाजित करने पर 1698 प्राप्त होता है, जो निर्दिष्ट जिलों में महिला शिक्षकों की औसत (माध्य) संख्या को दर्शाता है।

व्याख्या

कक्षा के कुल औसत प्रतिशत अंकों की गणना भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

औसत = (n₁ x₁ + n₂ x₂)/(n₁ + n₂)

चूंकि ग्रामीण और शहरी छात्रों का अनुपात 4:7 दिया गया है, हम n₁ = 4, x₁ = 65, n₂ = 7, और x₂ = 63 रखते हैं:

कुल औसत = ((4 × 65) + (7 × 63))/(4 + 7)

कुल औसत = (260 + 441)/(11)

कुल औसत = ⁷⁰¹⁄₁₁ = 63.7272...

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, परिणाम 63.73% प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, 63 को आधार औसत मानकर विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करने पर, प्रत्येक ग्रामीण छात्र के पास +2 (65 - 63) का अधिशेष (surplus) है। कुल अधिशेष 4 × 2 = 8 है, जिसे कुल 11 छात्रों में वितरित करने पर अतिरिक्त ⁸⁄₁₁ ≈ 0.73 प्राप्त होता है। इसे आधार औसत में जोड़ने पर 63 + 0.73 = 63.73% प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए द्विघात समीकरण x² - √(11) x + 1 = 0 में, इसे सरल करने के लिए पूरे समीकरण को x से विभाजित करने पर: x²{x} - √(11)x{x} + ¹⁄ₓ = 0 x - √(11) + ¹⁄ₓ = 0 x + ¹⁄ₓ = √(11)

x³ + x⁻³ का मान ज्ञात करने के लिए, जो x³ + (1)/(x³) के बराबर है, मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करें: यदि x + ¹⁄ₓ = k, तो x³ + (1)/(x³) = k³ - 3k.

सर्वसमिका में k = √(11) का मान रखने पर: x³ + (1)/(x³) = (√(11))³ - 3(√(11)) x³ + (1)/(x³) = 11√(11) - 3√(11) x³ + (1)/(x³) = 8√(11)

व्याख्या

माना राजन का मासिक वेतन S है। प्रश्न के अनुसार, खर्च शेष राशि से क्रमिक कटौतियां हैं। सभी खर्चों के बाद बची कुल राशि बैंक जमा और फुटकर नकदी का योग है, जो कि 5000 + 1480 = 6480 है।

क्रमिक प्रतिशत विधि का उपयोग करते हुए, शेष राशि को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: S × (1 - 0.10) × (1 - 0.20) × (1 - 0.40) × (1 - 0.80) = 6480

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: S × 0.90 × 0.80 × 0.60 × 0.20 = 6480 S × ⁹⁄₁₀ × ⁸⁄₁₀ × ⁶⁄₁₀ × ²⁄₁₀ = 6480 S × ⁸⁶⁴⁄₁₀₀₀₀ = 6480

S का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: S = (6480 × 10000)/(864) S = 7.5 × 10000 S = 75000

अतः, राजन का मासिक वेतन ₹75,000 है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक (x + y)³ + 27(x - y)³ को (x + y)³ + [3(x - y)]³ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। यह बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) के रूप में है, जहाँ a = (x + y) और b = 3(x - y) है।

पहला गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, a + b की गणना करें: a + b = (x + y) + 3(x - y) = x + y + 3x - 3y = 4x - 2y समीकरण में दिए गए गुणनखंड (Ax - 2y) से इसकी तुलना करने पर, हमें A = 4 प्राप्त होता है।

दूसरा गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, a² - ab + b² की गणना करें: a² = (x + y)² = x² + 2xy + y² -ab = -3(x + y)(x - y) = -3(x² - y²) = -3x² + 3y² b² = [3(x - y)]² = 9(x² - 2xy + y²) = 9x² - 18xy + 9y²

इन तीनों घटकों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: (1 - 3 + 9)x² + (2 - 18)xy + (1 + 3 + 9)y² = 7x² - 16xy + 13y² गुणनखंड (Bx² + Cxy + 13y²) से इसकी तुलना करने पर B = 7 और C = -16 प्राप्त होता है।

अंत में, इन मानों को व्यंजक A - B - C में रखने पर: A - B - C = 4 - 7 - (-16) = 4 - 7 + 16 = 13

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि किन वर्षों में बिक्री पिछले वर्ष की तुलना में 25% से अधिक बढ़ी, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक वर्ष के लिए प्रतिशत वृद्धि की गणना करते हैं: प्रतिशत वृद्धि = (वर्तमान_बिक्री - पिछली_बिक्री) / पिछली_बिक्री × 100।

वर्ष 2016 के लिए, 2015 में 1000 इकाइयों की तुलना में बिक्री 1290 इकाइयाँ थी। वृद्धि 1290 - 1000 = 290 है। प्रतिशत वृद्धि ²⁹⁰⁄₁₀₀₀ × 100 = 29% है। चूँकि 29% > 25% है, इसलिए 2016 इस शर्त को पूरा करता है।

वर्ष 2018 के लिए, 2017 में 1100 इकाइयों की तुलना में बिक्री 1450 इकाइयाँ थी। वृद्धि 1450 - 1100 = 350 है। प्रतिशत वृद्धि ³⁵⁰⁄₁₁₀₀ × 100 ≈ 31.82% है। चूँकि 31.82% > 25% है, इसलिए 2018 भी इस शर्त को पूरा करता है।

वर्ष 2017 और 2019 में, बिक्री के आंकड़े वास्तव में उनके संबंधित पिछले वर्षों की तुलना में घट गए थे, जिसका अर्थ है कि 25% की सीमा के विरुद्ध मूल्यांकन करने के लिए कोई प्रतिशत वृद्धि नहीं हुई थी। इस प्रकार, यह शर्त केवल 2016 और 2018 में पूरी होती है।

व्याख्या

A द्वारा B को 10% वार्षिक दर पर 2 वर्ष के लिए भुगतान किया गया साधारण ब्याज (SI) निम्नानुसार परिकलित किया जाता है: SI = (P × R × T)/(100) = (160000 × 10 × 2)/(100) = 32000.

जब राशि को अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज (CI) पर उधार दिया जाता है, तो दर आधी हो जाती है और अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है। अर्धवार्षिक दर 10% / 2 = 5% है, और 2 वर्ष के लिए कुल अवधियों की संख्या 2 × 2 = 4 है। C से अर्जित मिश्रधन (A) है: A = P(1 + (R)/(100))ⁿ = 160000(1 + ⁵⁄₁₀₀)⁴ = 160000(1.05)⁴.

(1.05)⁴ के मान की गणना करने पर: (1.05)² = 1.1025 (1.05)⁴ = 1.1025 × 1.1025 = 1.21550625.

C द्वारा A को भुगतान की जाने वाली कुल राशि है: 160000 × 1.21550625 = 194481.

A द्वारा C से अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज है: CI = 194481 - 160000 = 34481.

पूरे लेनदेन में A की शुद्ध कमाई प्राप्त चक्रवृद्धि ब्याज और भुगतान किए गए साधारण ब्याज के बीच का अंतर है: कमाई = CI - SI = 34481 - 32000 = 2481।

व्याख्या

छूट प्रतिशत (D%) और हानि प्रतिशत (L%) दिए जाने पर क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच के संबंध को इस अनुपात का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

CP / MP = (100 - D%) / (100 - L%)

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

CP / 2720 = (100 - 25) / (100 - 15) CP / 2720 = 75 / 85 CP / 2720 = 15 / 17

CP ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं:

CP = (15 / 17) × 2720 CP = 15 × 160 CP = 2400

वैकल्पिक रूप से, अंकित मूल्य पर 25% की छूट देकर विक्रय मूल्य (SP) ज्ञात किया जाता है: SP = 2720 × (75 / 100) = 2040। चूंकि यह SP क्रय मूल्य पर 15% की हानि को दर्शाता है, इसका तात्पर्य है कि CP का 85% = 2040 है। इस प्रकार, CP = 2040 / 0.85 = 2400।

व्याख्या

दिया गया समीकरण: cos θ - sin θ = √3 cos (90° - θ)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos (90° - θ) = sin θ का उपयोग करने पर: cos θ - sin θ = √3 sin θ

संपूर्ण समीकरण को sin θ से भाग देने पर (चूंकि 0° < θ < 90°, sin θ ≠ 0): (cos θ)/(sin θ) - (sin θ)/(sin θ) = √3 cot θ - 1 = √3 cot θ = 1 + √3

चूंकि tan θ = (1)/(cot θ), हमें प्राप्त होता है: tan θ = (1)/(1 + √(3))

दिए गए विकल्पों से मिलान करने के लिए इन त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच के अंतर का मान ज्ञात करने पर: cot θ - tan θ = (1 + √3) - (1)/(1 + √(3))

उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेने पर: = (1 + √3)² - 1{1 + √3} = 1 + 3 + 2√3 - 1{1 + √3} = 3 + 2√3{1 + √3}

व्याख्या

x + ²⁄ₓ का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण x⁸ - 433x⁴ + 16 = 0 को x⁴ से विभाजित करने से शुरू करें। यह रूपांतरण x⁴ - 433 + (16)/(x⁴⁾ = 0, या x⁴ + (16)/(x⁴⁾ = 433 देता है।

दोनों पक्षों में 2 · x² · (4)/(x²⁾ = 8 जोड़कर इस व्यंजक को एक पूर्ण वर्ग में परिवर्तित किया जा सकता है: x⁴ + (16)/(x⁴⁾ + 8 = 433 + 8 (x² + (4)/(x²⁾)² = 441

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, और यह ध्यान रखते हुए कि x > 0, हमें प्राप्त होता है: x² + (4)/(x²⁾ = √(441) = 21

वांछित व्यंजक x + ²⁄ₓ ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों में 2 · x · ²⁄ₓ = 4 जोड़कर फिर से वर्ग पूरा करें: x² + (4)/(x²⁾ + 4 = 21 + 4 (x + ²⁄ₓ)² = 25

x > 0 के लिए एक बार फिर वर्गमूल लेने पर: x + ²⁄ₓ = √(25) = 5

व्याख्या

माना टंकी की कुल क्षमता दिए गए समय 12, 18 और 36 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 36 इकाई है।

पहले नल की कार्यक्षमता = 36 / 12 = 3 इकाई/घंटा है। दूसरे नल की कार्यक्षमता = 36 / 18 = 2 इकाई/घंटा है। रिसाव बिंदु की कार्यक्षमता = 36 / 36 = 1 इकाई/घंटा है (ऋणात्मक कार्यक्षमता क्योंकि यह खाली करता है)।

पहले घंटे में, दोनों नल और रिसाव बिंदु खुले हैं। शुद्ध भरने की दर = 3 + 2 - 1 = 4 इकाई/घंटा है। इसलिए, 1 घंटे के बाद, टंकी का 4 इकाई भाग भर जाता है।

भरी जाने वाली शेष क्षमता = 36 - 4 = 32 इकाई है। 1 घंटे के बाद, रिसाव को ठीक कर दिया जाता है, इसलिए केवल दो भरने वाले नल ही सक्रिय रहते हैं। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता = 3 + 2 = 5 इकाई/घंटा है।

शेष भाग को भरने के लिए आवश्यक समय = ³²⁄₅ = 6.4 घंटे है। दशमलव भाग को मिनटों में बदलने पर: 0.4 × 60 = 24 मिनट। इस प्रकार, शेष समय 6 घंटे और 24 मिनट है।

खाली टंकी को भरने में लगा कुल समय प्रारंभिक घंटे और शेष समय का योग है: 1 घंटा + 6 घंटे 24 मिनट = 7 घंटे 24 मिनट।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का मध्यानुपाती सूत्र √(ab) द्वारा दिया जाता है। 1.8 और 3.2 के मानों के लिए, मध्यानुपाती है: √(1.8 × 3.2) = √(¹⁸⁄₁₀ × ³²⁄₁₀) = √(⁵⁷⁶⁄₁₀₀) = ²⁴⁄₁₀ = 2.4

दो संख्याओं a और b का तृतीयानुपाती वह मान x होता है जो अनुपात a:b = b:x को संतुष्ट करता है, जिसे सरल करने पर x = (b²)/(a) प्राप्त होता है। इसे संख्याओं 5 और 3 पर लागू करने पर: x = (3²)/(5) = ⁹⁄₅ = 1.8

मध्यानुपाती और तृतीयानुपाती के बीच का अंतर है: 2.4 - 1.8 = 0.6

व्याख्या

जब छूट प्रतिशत (d) और लाभ प्रतिशत (g) दिए गए हों, तो क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: CP / MP = (100 - d) / (100 + g)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ MP = 240, d = 18, और g = 23: CP / 240 = (100 - 18) / (100 + 23) CP / 240 = 82 / 123

भिन्न 82 / 123 को अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF), 41 से विभाजित करके सरल किया जा सकता है: 82 / 41 = 2 123 / 41 = 3 इसलिए, CP / 240 = 2 / 3

क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए: CP = 240 × (2 / 3) CP = 80 × 2 = 160

व्याख्या

कुल कार्य 20 पुरुष-दिवस है क्योंकि एक पुरुष को इसे पूरा करने में 20 दिन लगते हैं। मान लीजिए कि एक पुरुष की कार्यक्षमता प्रति दिन 1 इकाई है। पहले दिन, 1 इकाई कार्य पूरा होता है। दूसरे दिन, 2 इकाइयाँ पूरी होती हैं। तीसरे दिन, 3 इकाइयाँ पूरी होती हैं, और चौथे दिन, 4 इकाइयाँ पूरी होती हैं। चौथे दिन के अंत तक किया गया संचयी कार्य 1 + 2 + 3 + 4 = 10 इकाइयाँ है। शेष कार्य 20 - 10 = 10 इकाइयाँ है। पांचवें दिन से, 5 पुरुष एक साथ कार्य करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप प्रति दिन 5 इकाइयों का कार्य होता है। शेष 10 इकाइयों को पूरा करने के लिए आवश्यक समय 10 ÷ 5 = 2 दिन है। इस प्रकार, कार्य को पूरा करने की कुल अवधि 4 + 2 = 6 दिन है।

व्याख्या

एकांत वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) के अनुसार, स्पर्श बिंदु से जाने वाली स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण, उस जीवा द्वारा एकांत वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है। स्पर्श रेखा PAM और जीवा AQ के लिए, एकांत वृत्तखंड में बना कोण ∠ ABQ है, इसलिए ∠ ABQ = ∠ QAM = 58° है। इसी प्रकार, स्पर्श रेखा PBN और जीवा BQ के लिए, एकांत वृत्तखंड में बना कोण ∠ BAQ है, इसलिए ∠ BAQ = ∠ QBN = 50° है।

△ ABQ में, कोणों का योग 180° होता है: ∠ AQB = 180° - (∠ ABQ + ∠ BAQ) ∠ AQB = 180° - (58° + 50°) = 72°

चूंकि Q दीर्घ चाप AB पर एक बिंदु है, इसलिए लघु चाप AB द्वारा केंद्र O पर अंतरित कोण, परिधि पर अंतरित कोण का दोगुना होता है: ∠ AOB = 2 × ∠ AQB = 2 × 72° = 144°

चतुर्भुज OAPB में, त्रिज्याएँ OA और OB क्रमशः स्पर्श रेखाओं PA और PB पर लंबवत हैं, जिससे ∠ OAP = ∠ OBP = 90° हो जाता है। एक चतुर्भुज में कोणों का योग 360° होता है, इसलिए सम्मुख कोण ∠ APB और ∠ AOB संपूरक होते हैं: ∠ APB = 180° - ∠ AOB = 180° - 144° = 36°

व्याख्या

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। संख्या 45082K के लिए, अंकों का योग 4 + 5 + 0 + 8 + 2 + K = 19 + K है। चूंकि K, 0 से 9 तक का एक एकल-अंकीय पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए हम K के ऐसे मान ज्ञात करते हैं जिससे कि 19 + K, 3 का एक गुणज हो।

19 से बड़े या उसके बराबर 3 के गुणज 21, 24 और 27 हैं। K के लिए हल करने पर: 19 + K = 21 ⟹ K = 2 19 + K = 24 ⟹ K = 5 19 + K = 27 ⟹ K = 8

K का न्यूनतम मान 2 है और K का अधिकतम मान 8 है। इन मानों के वर्गों का योग 2² + 8² = 4 + 64 = 68 है।

व्याख्या

जब ऊंचाई समान होती है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार के समानुपाती होता है। △ ABC में, बिंदु D आधार BC को BD : DC = 3 : 4 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए, △ ABD का क्षेत्रफल △ ABC के क्षेत्रफल का ³⁄₇ है, और △ ADC का क्षेत्रफल △ ABC के क्षेत्रफल का ⁴⁄₇ है।

△ ADC में, बिंदु E रेखाखंड AD पर इस प्रकार स्थित है कि AE : ED = 2 : 3 है। चूंकि △ ECD और △ ADC शीर्ष C से रेखा AD पर एक ही शीर्षलंब (ऊंचाई) साझा करते हैं, इसलिए उनके क्षेत्रफल रेखा AD पर उनके आधारों के समानुपाती होते हैं। इस प्रकार, △ ECD का क्षेत्रफल △ ADC के क्षेत्रफल का ⅗ है: क्षेत्रफल(△ ECD) = ⅗ × क्षेत्रफल(△ ADC) = ⅗ × ⁴⁄₇ × क्षेत्रफल(△ ABC) = ¹²⁄₃₅ × क्षेत्रफल(△ ABC)

△ ABD में, त्रिभुज AEB और EDB शीर्ष B से रेखा AD पर एक ही शीर्षलंब साझा करते हैं। △ AEB का क्षेत्रफल रेखाखंड AE के समानुपाती है, जो रेखाखंड AD का ⅖ है: क्षेत्रफल(△ AEB) = ⅖ × क्षेत्रफल(△ ABD) = ⅖ × ³⁄₇ × क्षेत्रफल(△ ABC) = ⁶⁄₃₅ × क्षेत्रफल(△ ABC)

△ ECD के क्षेत्रफल का △ AEB के क्षेत्रफल से अनुपात है: (12/35 × क्षेत्रफल(△ ABC)) / (6/35 × क्षेत्रफल(△ ABC)) = ¹²⁄₆ = ²⁄₁

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूंकि P और Q क्रमशः AB और AC के मध्य बिंदु हैं, इसलिए मध्य-बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार रेखाखंड PQ, BC के समानांतर है और इसकी लंबाई BC की ठीक आधी है। इसे PQ = ½ BC के रूप में व्यक्त किया जाता है।

बिंदु R, PQ पर इस प्रकार स्थित है कि अनुपात PR : RQ = 3 : 5 है। यह दिया गया है कि QR = 20 सेमी है। अनुपात के आधार पर, यदि 5 इकाइयाँ 20 सेमी को दर्शाती हैं, तो 1 इकाई ²⁰⁄₅ = 4 सेमी को दर्शाती है। PQ की कुल लंबाई 3 + 5 = 8 इकाइयाँ है। इसलिए, PQ की लंबाई 8 × 4 = 32 सेमी है।

मध्य-बिंदु प्रमेय के संबंध का उपयोग करते हुए, BC = 2 × PQ। PQ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें BC = 2 × 32 = 64 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी वस्तु के विक्रय मूल्य (SP) को दो तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है: अंकित मूल्य (MP) पर छूट देकर या क्रय मूल्य (CP) में लाभ जोड़कर।

इन मानों को जोड़ने वाला सूत्र MP × (1 - (D)/(100)) = CP × (1 + (P)/(100)) है, जहाँ D छूट प्रतिशत है और P लाभ प्रतिशत है।

दिया गया है CP = 720, MP = 900, छूट D = x%, और लाभ P = ⁵ˣ⁄₃%, हम इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

900 × (1 - ˣ⁄₁₀₀) = 720 × (1 + (5x/3)/(100))

900 - 9x = 720 × (1 + ˣ⁄₆₀)

900 - 9x = 720 + 12x

x का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:

900 - 720 = 12x + 9x

180 = 21x

x = ¹⁸⁰⁄₂₁

x = ⁶⁰⁄₇

अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने पर:

x = 8 ⁴⁄₇

व्याख्या

माना A और B की वर्तमान आयु को अनुपात 7:8 द्वारा दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार, 6 वर्ष बाद, यह अनुपात 8:9 हो जाता है। हम देखते हैं कि A (8 - 7 = 1) और B (9 - 8 = 1) दोनों के अनुपातों के बीच का संख्यात्मक अंतर ठीक 1 इकाई है। अनुपात में यह 1-इकाई की वृद्धि 6 वर्ष बीतने के संगत है।

चूंकि 1 इकाई = 6 वर्ष, इसलिए A की वर्तमान आयु 7 × 6 = 42 वर्ष है। प्रश्न में कहा गया है कि C की वर्तमान आयु, A की वर्तमान आयु से 10 वर्ष अधिक है। इसलिए, C की वर्तमान आयु 42 + 10 = 52 वर्ष है।

व्याख्या

माना लाल गेंदों की संख्या R है। सफेद गेंदों की संख्या लाल गेंदों से 60% अधिक है, जिसका अर्थ है W = R + 0.6R = 1.6R। भिन्नात्मक रूप में, W = ⁸⁄₅R।

हरी गेंदों की संख्या सफेद गेंदों से 12.5% कम है। चूंकि 12.5% = ⅛, इसलिए हरी गेंदों की संख्या G = W(1 - ⅛) = ⅞W है। R के संदर्भ में W का मान प्रतिस्थापित करने पर: G = ⅞ × ⁸⁄₅R = ⁷⁄₅R

गेंदों की कुल संख्या लाल, सफेद और हरी गेंदों का योग है: कुल = R + ⁸⁄₅R + ⁷⁄₅R = R + ¹⁵⁄₅R = R + 3R = 4R

दिया गया है कि गेंदों की कुल संख्या 120 है: 4R = 120 ⟹ R = 30

हरी गेंदों की संख्या ज्ञात करने के लिए: G = ⁷⁄₅ × 30 = 7 × 6 = 42

व्याख्या

दिया गया समीकरण x² + 9y² + 4z² = 12x - 24y + 24z - 88 है। सभी पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x² - 12x + 9y² + 24y + 4z² - 24z + 88 = 0

प्रत्येक चर के लिए वर्ग पूर्ण करके इस व्यंजक को पुनः लिखा जा सकता है। अचर 88 को 36 + 16 + 36 = 88 के रूप में विभाजित करके, हम पदों को समूहित करते हैं: (x² - 12x + 36) + (9y² + 24y + 16) + (4z² - 24z + 36) = 0 (x - 6)² + (3y + 4)² + (2z - 6)² = 0

वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद शून्य होना चाहिए: x - 6 = 0 ⟹ x = 6 3y + 4 = 0 ⟹ 3y = -4 2z - 6 = 0 ⟹ 2z = 6 ⟹ z = 3

अब, इन मानों को व्यंजक (x - 3y + z) में प्रतिस्थापित करने पर: x - 3y + z = 6 - (-4) + 3 x - 3y + z = 6 + 4 + 3 = 13

व्याख्या

माना शांत जल में व्यक्ति की चाल x किमी/घंटा है और धारा की चाल y किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल चाल x + y है और धारा के प्रतिकूल चाल x - y है।

पहली शर्त के अनुसार, धारा के अनुकूल 8 किमी की दूरी तय करने में लगा समय धारा के प्रतिकूल 6 किमी की दूरी तय करने में लगे समय के बराबर है: (8)/(x + y) = (6)/(x - y) 8(x - y) = 6(x + y) 8x - 8y = 6x + 6y 2x = 14y ⟹ x = 7y

धारा के अनुकूल चाल 7y + y = 8y हो जाती है और धारा के प्रतिकूल चाल 7y - y = 6y हो जाती है।

धारा के प्रतिकूल 24 किमी और धारा के अनुकूल 24 किमी की दूरी तय करने में लगा कुल समय 1 ¾ घंटे (उत्तर तक पहुँचने के संदर्भ में इसे 1.75 या ⁷⁄₄ घंटे के रूप में व्यक्त किया गया है) दिया गया है: (24)/(x + y) + (24)/(x - y) = ⁷⁄₄ (24)/(8y) + (24)/(6y) = ⁷⁄₄ (3)/(y) + (4)/(y) = ⁷⁄₄ (7)/(y) = ⁷⁄₄ y = 4

धारा की चाल 4 किमी/घंटा है।

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है। केंद्र से d = 12 सेमी की दूरी पर स्थित L = 10 सेमी लंबाई की जीवा के लिए, लंब एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ भुजाएँ दूरी d और जीवा की आधी लंबाई L/2 = 5 सेमी हैं। इस त्रिभुज का कर्ण वृत्त की त्रिज्या r है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: r² = d² + (L/2)² r² = 12² + 5² r² = 144 + 25 = 169 r = √(169) = 13 सेमी

वृत्त का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है: D = 2r = 2 × 13 = 26 सेमी

व्याख्या

जब एक वर्ग एक वृत्त के अंतर्गत होता है, तो उसके शीर्ष परिधि पर स्थित होते हैं, जिसका अर्थ है कि वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है। दी गई त्रिज्या r = 5 सेमी है, इसलिए वृत्त का व्यास D = 2 × 5 = 10 सेमी है।

एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना उसके विकर्ण D की लंबाई का उपयोग करके सूत्र क्षेत्रफल = (D²)/(2) द्वारा की जा सकती है। व्यास के मान को विकर्ण के रूप में प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = (10²)/(2) = ¹⁰⁰⁄₂ = 50 वर्ग सेमी।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 4sin²(2x - 10) = 3 से, हमें sin(2x - 10) = √3/2 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है 2x - 10 = 60, इसलिए x = 35 है। व्यंजक 1 - 2sin²(3x - 15)cos²(3x - 15) में x = 35 रखने पर, हम कोण की गणना 3(35) - 15 = 90 डिग्री के रूप में करते हैं। चूंकि cos(90) = 0 है, इसलिए पद 2sin²(90)cos²(90) शून्य (0) हो जाता है, जिससे अंतिम मान 1 - 0 = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (a³ - b³)/(a² + b² + ab) के रूप में है, जहाँ a = 108 और b = 92 है। दो घनों के अंतर के प्रसार का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) होता है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

((a - b)(a² + ab + b²))/(a² + b² + ab)

अंश और हर में पद (a² + ab + b²) एक-दूसरे से कट जाते हैं, जिससे पूरा व्यंजक सरल होकर a - b हो जाता है। मूल मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

108 - 92 = 16

व्याख्या

उधार ली गई राशि भुगतान की गई किश्तों के कुल वर्तमान मूल्य के बराबर होती है। माना उधार ली गई राशि P है। चक्रवृद्धि ब्याज के तहत किश्तों के वर्तमान मूल्य का सूत्र P = (x₁)/((1 + r/100)¹) + (x₂)/((1 + r/100)²) है, जहाँ x₁ और x₂ क्रमशः पहले और दूसरे वर्ष के अंत में भुगतान की गई राशियाँ हैं, और r वार्षिक ब्याज दर है।

दिया गया है x₁ = 4000, x₂ = 7700, और r = 10%, इन मानों को सूत्र में रखने पर: P = (4000)/((1 + 10/100)¹) + (7700)/((1 + 10/100)²) P = (4000)/(1.1) + (7700)/(1.21) P = ⁴⁰⁰⁰⁰⁄₁₁ + ⁷⁷⁰⁰⁰⁰⁄₁₂₁ P = ⁴⁰⁰⁰⁰⁄₁₁ + ⁷⁰⁰⁰⁰⁄₁₁ P = ¹¹⁰⁰⁰⁰⁄₁₁ = 10000

वैकल्पिक रूप से, पीछे की ओर से गणना करने पर, दूसरे वर्ष के अंत में ₹7700 का भुगतान करने के लिए दूसरे वर्ष की शुरुआत में आवश्यक राशि 7700 / 1.1 = 7000 है। यह राशि ₹4000 के पहले भुगतान के बाद बची थी। इस प्रकार, भुगतान से पहले पहले वर्ष के अंत में कुल राशि 7000 + 4000 = 11000 थी। उधार ली गई मूल राशि जो एक वर्ष में बढ़कर ₹11000 हो गई थी, वह 11000 / 1.1 = 10000 है।

व्याख्या

प्रतिशत अंतर ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले वर्ष 2014 और 2018 में स्कूल Q से उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की कुल संख्या की गणना करते हैं। तालिका के आधार पर, ये मान क्रमशः 240 और 320 हैं। Q से उत्तीर्ण कुल छात्र = 240 + 320 = 560

इसके बाद, हम वर्ष 2017 में स्कूलों R और S से परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों की कुल संख्या की गणना करते हैं। तालिका से, ये मान क्रमशः 420 और 380 हैं। R और S से उपस्थित कुल छात्र = 420 + 380 = 800

उत्तीर्ण छात्रों की संख्या, उपस्थित छात्रों की संख्या से जितने प्रतिशत कम है, उसकी गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत कमी = (मान₁ - मान₂)/मान₁ × 100

सूत्र में परिकलित मानों को रखने पर: प्रतिशत कमी = (800 - 560)/(800) × 100 = ²⁴⁰⁄₈₀₀ × 100 = 0.3 × 100 = 30%

व्याख्या

0° < θ < 90° के लिए समीकरण 3sin²θ - cos θ - 1 = 0 को हल करने पर 3(1 - cos²θ) - cos θ - 1 = 0 प्राप्त होता है, जो द्विघात समीकरण 3cos²θ + cos θ - 2 = 0 में सरल हो जाता है। गुणनखंड करने पर (3cos θ - 2)(cos θ + 1) = 0 प्राप्त होता है, इसलिए cos θ = 2/3, जिससे sin θ = √5/3 और cot θ = 2/5 प्राप्त होता है। योग cot θ + cosec θ = 2/√5 + 3/√5 = 5/√5 = √5 के बराबर है, जो विकल्प C के संगत है।

व्याख्या

एक वृत्त में जहाँ एक बाहरी बिंदु P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची जाती हैं, त्रिज्या OA स्पर्श रेखा PA पर लंबवत होती है, जिससे ∠ OAP = 90° बनता है। त्रिभुज PAB समद्विबाहु है क्योंकि एक बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है (PA = PB)। इस त्रिभुज का आधार कोण ∠ PAB = (180° - ∠ APB)/(2) = (180° - 80°)/(2) = 50° है। इसे त्रिज्या पर बने कुल कोण में से घटाकर, हमें ∠ OAB = ∠ OAP - ∠ PAB = 90° - 50° = 40° प्राप्त होता है। यह गणना इस सामान्य ज्यामितीय गुण की पुष्टि करती है कि इस तरह की किसी भी संरचना के लिए, ∠ OAB = ½ ∠ APB होता है। इस सूत्र को सीधे लागू करने पर (80°)/(2) = 40° प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक x⁴ + y⁴ + x²y² को बीजगणितीय सर्वसमिका x⁴ + y⁴ + x²y² = (x² + y² + xy)(x² + y² - xy) का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है। यह सर्वसमिका पूर्ण वर्ग बनाकर प्राप्त की जाती है: (x² + y²)² - (xy)²। प्रश्न में दिए गए मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर हमें अज्ञात गुणनखंड प्राप्त होता है: 21 = (x² + y² + xy) × 7। इससे x² + y² + xy = 3 प्राप्त होता है।

अब हमारे पास दो समीकरणों का एक निकाय है:

1. x² + y² + xy = 3
2. x² + y² - xy = 7

xy का मान ज्ञात करने के लिए, पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाएं: (x² + y² + xy) - (x² + y² - xy) = 3 - 7, जिसके परिणामस्वरूप 2xy = -4 प्राप्त होता है, इसलिए xy = -2। x² + y² का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों समीकरणों को आपस में जोड़ें: (x² + y² + xy) + (x² + y² - xy) = 3 + 7, जिसके परिणामस्वरूप 2(x² + y²) = 10 प्राप्त होता है, इसलिए x² + y² = 5।

वांछित व्यंजक (x)/(y) + ʸ⁄ₓ को एक उभयनिष्ठ हर लेकर सरल किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप x² + y²{xy} प्राप्त होता है। हमारे द्वारा ज्ञात किए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x² + y²{xy} = ⁵⁄₋₂ = -⁵⁄₂।

व्याख्या

इस व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। माना a = 375 और b = 125 है। अंश (a + b)² - (b - a)² के रूप में है। चूंकि (b - a)² = (-(a - b))² = (a - b)² है, इसलिए अंश सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab का अनुसरण करता है। हर a² - b² है, जो सर्वसमिका a² - b² = (a + b)(a - b) का अनुसरण करता है।

इन सर्वसमिकाओं को मिलाने पर, भिन्न इस प्रकार हो जाती है: (4ab)/((a + b)(a - b))

a = 375 और b = 125 मान रखने पर: अंश: 4 × 375 × 125 = 500 × 375 हर: (375 + 125)(375 - 125) = 500 × 250

व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: (500 × 375)/(500 × 250) = ³⁷⁵⁄₂₅₀

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 125 से विभाजित करने पर: (375 ÷ 125)/(250 ÷ 125) = ³⁄₂

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b और c के चतुर्थानुपाती x को संबंध a : b = c : x द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिससे x = (b × c)/(a) प्राप्त होता है। दिए गए मानों 12, 16 और 6 को प्रतिस्थापित करने पर: x = (16 × 6)/(12) = ⁹⁶⁄₁₂ = 8

दो संख्याओं a और b के तृतीयानुपाती y को संबंध a : b = b : y द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिससे y = b²{a} प्राप्त होता है। दिए गए मानों 4 और 6 को प्रतिस्थापित करने पर: y = 6²{4} = ³⁶⁄₄ = 9

चतुर्थानुपाती और तृतीयानुपाती के बीच का अभीष्ट अनुपात x : y है, जो कि 8 : 9 है।

व्याख्या

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, तालिका से विशिष्ट मानों की पहचान करें। वर्ष 2017 में स्कूल Q से परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों की संख्या 350 है और वर्ष 2018 में स्कूल S से परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों की संख्या 400 है। इन छात्रों का योग 350 + 400 = 750 है। इसके बाद, वर्ष 2018 में स्कूल R से उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या की पहचान करें, जो कि 405 है, और वर्ष 2014 में स्कूल T से उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या, जो कि 225 है। इन छात्रों का योग 405 + 225 = 630 है। पहले योग का दूसरे योग से अनुपात 750 : 630 है। दोनों पदों को 30 से विभाजित करके इसे सरल बनाया जा सकता है, जिससे 25 : 21 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस व्यंजक का मान पूरक कोणों (जहाँ A + B = 90° है) के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके निकाला जाता है।

पहले भाग में सर्वसमिका sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B का उपयोग किया गया है: sin 37° cos 53° + cos 37° sin 53° = sin(37° + 53°) = sin 90° = 1

भिन्न के अंश में, चूँकि 53° = 90° - 37° है, इसलिए cos 53° = sin 37° होगा। इसे सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 में प्रतिस्थापित करने पर: 4cos² 37° + 4cos² 53° - 7 = 4cos² 37° + 4sin² 37° - 7 = 4(cos² 37° + sin² 37°) - 7 = 4(1) - 7 = -3

हर में, सर्वसमिका csc θ = sec(90° - θ) का उपयोग करने पर, हमें csc 43° = sec 47° प्राप्त होता है। सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1, या tan² θ - sec² θ = -1 का उपयोग करने पर: tan² 47° - csc² 43° + 4 = tan² 47° - sec² 47° + 4 = -1 + 4 = 3

इन परिकलित मानों को वापस मुख्य व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 1 - ⁻³⁄₃ = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2

व्याख्या

मान लीजिए कि परीक्षा में उपस्थित होने वाले छात्रों की कुल संख्या 100 है। प्रश्न के अनुसार, लड़कों की संख्या 100 का 45% है, जो कि 45 है, और लड़कियों की संख्या शेष 55 है। अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक समूह में अनुत्तीर्ण होने वालों की संख्या की गणना करते हैं।

चूंकि 60% लड़के उत्तीर्ण हुए, इसलिए लड़कों के अनुत्तीर्ण होने की दर 100% - 60% = 40% है। अनुत्तीर्ण होने वाले लड़कों की संख्या 40% × 45 = 18 है। इसी प्रकार, चूंकि 70% लड़कियां उत्तीर्ण हुईं, इसलिए लड़कियों के अनुत्तीर्ण होने की दर 100% - 70% = 30% है। अनुत्तीर्ण होने वाली लड़कियों की संख्या 30% × 55 = 16.5 है। अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की कुल संख्या इन दोनों मानों का योग है: 18 + 16.5 = 34.5। चूंकि कुल संख्या 100 मानी गई थी, इसलिए अनुत्तीर्ण होने का प्रतिशत 34.5% है।

व्याख्या

योग के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy है। x² + y² का मान ज्ञात करने के लिए, वर्गों के योग को अलग करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

x² + y² = (x + y)² - 2xy

इस संबंध में दिए गए मानों x + y = 3 और xy = -10 को प्रतिस्थापित करने पर:

x² + y² = (3)² - 2(-10)

x² + y² = 9 - (-20)

x² + y² = 9 + 20

x² + y² = 29

यह विधि दो चरों के योग, उनके गुणनफल और उनके वर्गों के योग के बीच के मौलिक संबंध का उपयोग करती है, जिससे x या y के लिए अलग-अलग मान निकाले बिना सीधे गणना की जा सकती है।

व्याख्या

माना कुल कार्य 20 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 120 इकाई है।

A और B की मिलकर कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) है: E_A₊_B = ¹²⁰⁄₂₀ = 6 इकाई/दिन

B और C की मिलकर कार्यक्षमता है: E_B₊_C = ¹²⁰⁄₂₄ = 5 इकाई/दिन

पहली कार्यक्षमता में से दूसरी कार्यक्षमता को घटाने पर, हमें A और C की कार्यक्षमताओं के बीच का अंतर प्राप्त होता है: (E_A + E_B) - (E_B + E_C) = 6 - 5 E_A - E_C = 1

यह दिया गया है कि A, C की तुलना में दोगुना कुशल कामगार है, इसलिए E_A = 2E_C। इसे समीकरण में रखने पर: 2E_C - E_C = 1 ⟹ E_C = 1 इकाई/दिन

अब, B और C की कार्यक्षमता समीकरण में E_C का मान रखने पर: E_B + 1 = 5 ⟹ E_B = 4 इकाई/दिन

प्रश्न में B द्वारा अकेले कुल कार्य का 40% भाग करने में लगने वाला समय पूछा गया है: वांछित कार्य = 0.40 × 120 = 48 इकाई

B द्वारा लिया गया समय = (वांछित कार्य)/(E_B) = ⁴⁸⁄₄ = 12 दिन

व्याख्या

8000 की राशि पर 10% वार्षिक की दर से 2⅖ वर्षों के लिए साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें SI = (8000 × 10 × 12)/(100 × 5) = 80 × 2 × 12 = 1920 प्राप्त होता है।

2⅖ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) की गणना करने के लिए, हम ब्याज को वार्षिक रूप से लागू करते हैं। पहले दो पूर्ण वर्षों के लिए, दर 10% वार्षिक है। वर्ष के शेष भाग, जो कि ⅖ है, के लिए लागू दर ⅖ × 10% = 4% है।

प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर को क्रमिक प्रतिशत सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। पहले दो वर्षों के लिए, प्रभावी दर 10 + 10 + (10 × 10)/(100) = 21% है। 4% की तीसरी अवधि को शामिल करने पर, कुल प्रभावी दर 21 + 4 + (21 × 4)/(100) = 25 + 0.84 = 25.84% हो जाती है।

कुल चक्रवृद्धि ब्याज CI = (25.84)/(100) × 8000 = 25.84 × 80 = 2067.20 है।

चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर CI - SI = 2067.20 - 1920 = 147.20 है। वैकल्पिक रूप से, प्रतिशत अंकों में अंतर 25.84% - 24% = 1.84% है, और 8000 का 1.84%, 1.84 × 80 = 147.20 है।

व्याख्या

प्रश्न के अनुसार, 5 बार आने वाले x और 7 बार आने वाले y का औसत 37 है। चूंकि कुल बारंबारता (कुल संख्या) 5 + 7 = 12 है, इसलिए योग 5x + 7y = 37 × 12 = 444 है।

इसी प्रकार, 7 बार आने वाले x और 5 बार आने वाले y का औसत 35 है। इस स्थिति में योग 7x + 5y = 35 × 12 = 420 है।

y का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन दोनों समीकरणों के योग और अंतर का उपयोग कर सकते हैं। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 12x + 12y = 864 प्राप्त होता है, जिसे 12 से विभाजित करने पर यह सरल होकर x + y = 72 हो जाता है। पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर -2x + 2y = 24 प्राप्त होता है, जिसे 2 से विभाजित करने पर यह सरल होकर y - x = 12 हो जाता है।

सरलीकृत समीकरणों को जोड़ने पर (x + y) + (y - x) = 72 + 12 के परिणामस्वरूप 2y = 84 प्राप्त होता है। y के लिए हल करने पर y = 42 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी वस्तु का क्रय मूल्य लाभ और हानि दोनों की गणना के लिए आधार के रूप में कार्य करता है। प्रारंभ में, व्यापारी वस्तु को 16% की हानि पर बेचता है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 84% है। दूसरी स्थिति में, व्यापारी का लक्ष्य 15% लाभ प्राप्त करना है, जो क्रय मूल्य के 115% के विक्रय मूल्य के संगत है।

इन दोनों विक्रय मूल्यों के बीच का अंतर 16% की हानि से 15% के लाभ तक जाने के लिए आवश्यक कुल प्रतिशत परिवर्तन को दर्शाता है। इस कुल प्रतिशत परिवर्तन की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत अंतर = 15% - (-16%) = 31%

प्रश्न के अनुसार, क्रय मूल्य में यह 31% का अंतर ₹ 192.20 के बराबर है। माना क्रय मूल्य CP है। हम समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं: CP का 31% = 192.20 0.31 × CP = 192.20 CP = (192.20)/(0.31)

गणना को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को 100 से गुणा करें: CP = ¹⁹²²⁰⁄₃₁

19220 को 31 से विभाजित करने पर: 31 × 6 = 186 192 - 186 = 6 अगला अंक नीचे लाने पर 62 प्राप्त होता है। 31 × 2 = 62 शेष शून्य जोड़ने पर कुल 620 प्राप्त होता है। इसलिए, वस्तु का क्रय मूल्य ₹ 620 है।

व्याख्या

एक अर्धवृत्त का परिमाप P, चाप की लंबाई और व्यास का योग होता है। सूत्र P = (π d)/(2) + d है, जिसे सरल करने पर P = d((π)/(2) + 1) प्राप्त होता है। दिए गए मानों P = 25.7 सेमी और π = 3.14 का उपयोग करने पर:

25.7 = d((3.14)/(2) + 1) 25.7 = d(1.57 + 1) 25.7 = d(2.57) d = (25.7)/(2.57) = 10

व्याख्या

दो स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण ∠ APB का माप, लघु वृत्तखंड में बने कोण ∠ ACB से सूत्र ∠ APB = 2∠ ACB - 180° द्वारा संबंधित है।

दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: ∠ APB = 2(102°) - 180° ∠ APB = 204° - 180° = 24°

यह संबंध वृत्त के बुनियादी प्रमेयों से उत्पन्न होता है। यदि D दीर्घ चाप पर एक बिंदु है, तो चतुर्भुज ADBC एक चक्रीय चतुर्भुज होगा, जिससे ∠ ADB = 180° - ∠ ACB = 180° - 102° = 78° हो जाता है। केंद्र पर बना कोण ∠ AOB, परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है, इसलिए ∠ AOB = 2 × ∠ ADB = 156°। चतुर्भुज OAPB में, त्रिज्याएँ OA और OB स्पर्श रेखाओं से 90° के कोण पर मिलती हैं। इसलिए, ∠ APB और ∠ AOB संपूरक हैं, जिसके परिणामस्वरूप ∠ APB = 180° - 156° = 24° प्राप्त होता है।