एसएससी सीजीएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

जनवरी, अप्रैल और जून में डीलर B द्वारा बेची गई कारों की कुल संख्या = 600 + 580 + 620 = 1800 है। मार्च में डीलरों A और D द्वारा बेची गई कारों की कुल संख्या = 628 + 722 = 1350 है। अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम इन दोनों योगों की तुलना करते हैं: अनुपात = 1800 : 1350 दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 450 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: अनुपात = ¹⁸⁰⁰⁄₄₅₀ : ¹³⁵⁰⁄₄₅₀ = 4 : 3

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों △ ABC ∼ △ PQR के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। दिए गए क्षेत्रफल अनुपात और संगत भुजाओं AC और PR का उपयोग करने पर:

(ar(△ ABC))/(ar(△ PQR)) = ((AC)/(PR))²

क्षेत्रफल अनुपात ¹⁴⁴⁄₄₉ और लंबाई AC = 9 सेमी प्रतिस्थापित करने पर:

¹⁴⁴⁄₄₉ = ((9)/(PR))²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

¹²⁄₇ = (9)/(PR)

PR के लिए हल करने पर:

PR = (9 × 7)/(12)

PR = (3 × 7)/(4) = ²¹⁄₄ सेमी

व्याख्या

समीकरण (cos² θ)/(cot² θ + sin² θ - 1) = 3 को हर को सरल करके हल किया जा सकता है। सर्वसमिका sin² θ - 1 = -cos² θ का उपयोग करने पर, यह व्यंजक (cos² θ)/(cot² θ - cos² θ) = 3 हो जाता है।

चूंकि cot² θ - cos² θ = (cos² θ)/(sin² θ) - cos² θ = cos² θ ( (1 - sin² θ)/(sin² θ) ) = cos² θ cot² θ, हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

(cos² θ)/(cos² θ cot² θ) = 3 ⟹ tan² θ = 3

0° < θ < 90° के लिए, हमें tan θ = √3 प्राप्त होता है, जो θ = 60° के संगत है। इस मान को व्यंजक (tan θ + csc θ) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

tan 60° + csc 60° = √3 + (2)/(√(3)) = (3 + 2)/(√(3)) = (5)/(√(3))

हर का परिमेयकरण करने पर, हमें 5√3{3} प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) के रूप में एक सर्वसमिका है। पदों की तुलना करने पर, हम a = 2(x + y) और b = 3(x - y) की पहचान करते हैं।

सबसे पहले, हम पद (a - b) को सत्यापित करते हैं: 2(x + y) - 3(x - y) = 2x + 2y - 3x + 3y = 5y - x

यह दाएं पक्ष के पहले गुणनखंड से मेल खाता है। इसलिए दूसरे गुणनखंड को संबंध Ax² + By² + Cxy = a² + ab + b² को संतुष्ट करना चाहिए। A + B - C का मान ज्ञात करने के लिए, हम x = 1 और y = -1 रखकर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं: a = 2(1 + (-1)) = 0 b = 3(1 - (-1)) = 6

इन्हें द्विघात गुणनखंड में प्रतिस्थापित करने पर: A(1)² + B(-1)² + C(1)(-1) = A + B - C a² + ab + b² = 0² + (0)(6) + 6² = 36

वैकल्पिक रूप से, व्यंजक a² + ab + b² का विस्तार करने पर: 4(x² + 2xy + y²) + 6(x² - y²) + 9(x² - 2xy + y²) 4x² + 8xy + 4y² + 6x² - 6y² + 9x² - 18xy + 9y² = 19x² + 7y² - 10xy

Ax² + By² + Cxy के साथ गुणांकों की तुलना करने पर, हमें A = 19, B = 7, और C = -10 प्राप्त होता है। A + B - C का मान = 19 + 7 - (-10) = 19 + 7 + 10 = 36।

व्याख्या

x³ + y³ का मान बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y) का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

दिया गया योग x + y = 4 और गुणनफल xy = 15/4 (या 3.75) है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

x³ + y³ = (4)³ - 3 × ¹⁵⁄₄ × 4

x³ + y³ = 64 - 3 × 15

x³ + y³ = 64 - 45

x³ + y³ = 19

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं, शीर्षलंबों या माध्यिकाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। दिया गया है कि △ ABC ∼ △ PQR, उनके क्षेत्रफलों और उनकी संगत माध्यिकाओं AD और PT के बीच संबंध इस प्रकार है:

(क्षेत्रफल(△ ABC))/(क्षेत्रफल(△ PQR)) = ( (AD)/(PT) )²

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

⁶⁴⁄₈₁ = ( (AD)/(10.8) )²

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

⁸⁄₉ = (AD)/(10.8)

AD ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

AD = ⁸⁄₉ × 10.8

AD = 8 × 1.2 = 9.6 सेमी

व्याख्या

शहर में पुरुष शिक्षकों की कुल संख्या सभी पांच जिलों के पुरुष शिक्षकों का योग है: 1650 + 1075 + 1280 + 1170 + 690 = 5865

शहर में महिला शिक्षकों की कुल संख्या सभी पांच जिलों की महिला शिक्षकों का योग है: 2375 + 2651 + 1520 + 1085 + 859 = 8490

पुरुष शिक्षकों का महिला शिक्षकों से अभीष्ट अनुपात 5865 : 8490 है। इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित करें। दोनों संख्याओं को 15 से विभाजित करने पर: 5865 ÷ 15 = 391 8490 ÷ 15 = 566

सरलीकृत अनुपात 391 : 566 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि बिंदुओं के बीच की दूरी इस प्रकार विभाजित है कि XP = PQ = QY = d। चूंकि नदी XY की दिशा में बहती है, इसलिए X से Q तक की यात्रा अनुकूल प्रवाह (downstream) में है और Y से Q तक की यात्रा प्रतिकूल प्रवाह (upstream) में है। X से Q की दूरी 2d है और Y से Q की दूरी d है। मान लीजिए शांत जल में नाव की गति u है और नदी की धारा की गति v है।

अनुकूल प्रवाह में गति u + v है और प्रतिकूल प्रवाह में गति u - v है। प्रत्येक यात्रा में लिया गया समय सूत्र समय = (दूरी)/(गति) द्वारा दिया जाता है। प्रश्न के अनुसार, X से Q तक जाने में लिए गए समय का Y से Q तक जाने में लिए गए समय से अनुपात 4:5 है:

[2d / (u + v)] / [d / (u - v)] = 4/5

2(u - v) / (u + v) = 4/5

10(u - v) = 4(u + v)

10u - 10v = 4u + 4v

6u = 14v

u = (7/3)v

अनुकूल प्रवाह में नाव की गति u + v है। u का मान प्रतिस्थापित करने पर:

अनुकूल प्रवाह में गति = (7/3)v + v = (10/3)v

अनुकूल प्रवाह में नाव की गति का नदी की धारा की गति v से अनुपात है:

[(10/3)v] / v = 10/3

इससे 10:3 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय व्यंजक को भिन्नात्मक पदों के योग का मान ज्ञात करके सरल किया जाता है, जो आमतौर पर इस प्रकार दिए जाते हैं: (1)/(1 + sin θ) + (1)/(1 - sin θ) - tan² θ भिन्नों को संयोजित करने के लिए, हम एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं: (1 + sin θ)(1 - sin θ) = 1 - sin² θ = cos² θ संयोजित भिन्न का अंश (1 - sin θ) + (1 + sin θ) = 2 हो जाता है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (2)/(cos²⁾^θ - tan² θ सर्वसमिका sec θ = (1)/(cos θ) का उपयोग करने पर, पद (2)/(cos²⁾^θ, 2sec² θ बन जाता है। अब व्यंजक इस प्रकार है: 2sec² θ - tan² θ हम इसे sec² θ + (sec² θ - tan² θ) के रूप में विभाजित कर सकते हैं। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 को लागू करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है: sec² θ + 1 यह परिणाम निर्दिष्ट सीमा 0° < θ < 90° में सभी मानों के लिए मान्य है।

व्याख्या

मान लीजिए B की आय 100 इकाई है। चूंकि A की आय B से 45% अधिक है, इसलिए A की आय 145 इकाई है। A और B की आय का योग 100 + 145 = 245 इकाई है। C की आय इस योग से 60% कम है, जिसका अर्थ है कि C को कुल का 40% प्राप्त होता है: C = 0.4 × 245 = 98 इकाई। D की आय C की आय से 20% अधिक है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है: D = 1.2 × 98 = 117.6 इकाई।

इकाई में B और D की आय के बीच का अंतर 117.6 - 100 = 17.6 इकाई है। यह देखते हुए कि यह अंतर 13200 है, हम भाग देकर एक इकाई का मान ज्ञात करते हैं: 1 इकाई = (13200)/(17.6) = 750। C की आय को 98 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है, इसलिए C की कुल आय 98 × 750 = 73500 है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। अर्ध-विकर्णों और समचतुर्भुज की भुजा द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, भुजा कर्ण का कार्य करती है। माना भुजा s है और विकर्ण d₁ और d₂ हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

s² = ((d₁)/(2))² + ((d₂)/(2))²

दिया गया है s = 13 सेमी और d₁ = 24 सेमी, अर्ध-विकर्ण (d₁)/(2) = 12 सेमी। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

13² = 12² + ((d₂)/(2))² 169 = 144 + ((d₂)/(2))² ((d₂)/(2))² = 25 (d₂)/(2) = 5 ⇒ d₂ = 10 सेमी

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂ द्वारा दिया जाता है।

क्षेत्रफल = ½ × 24 × 10 = 120 सेमी²

व्याख्या

मई 2018 में डीलर D द्वारा बेची गई कारों की संख्या 600 थी और जून 2018 में 780 थी। पिछले महीने की तुलना में जून में हुई प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम मई की बिक्री के सापेक्ष वृद्धि की गणना करते हैं:

प्रतिशत वृद्धि = (जून की बिक्री - मई की बिक्री)/(मई की बिक्री) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (780 - 600)/(600) × 100 = ¹⁸⁰⁄₆₀₀ × 100 = 30%

प्रश्न के अनुसार, जुलाई 2018 में बिक्री में जून 2018 की बिक्री की तुलना में इसी समान प्रतिशत की वृद्धि होती है। जुलाई की बिक्री ज्ञात करने के लिए, हम जून के आंकड़े 780 पर 30% की वृद्धि लागू करते हैं:

जुलाई की बिक्री = जून की बिक्री × (1 + ³⁰⁄₁₀₀) जुलाई की बिक्री = 780 × 1.3 = 1014

व्याख्या

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ ADC = 78°, हमारे पास है: ∠ ABC = 180° - ∠ ADC = 180° - 78° = 102°

△ ADE में, जहाँ भुजाओं AB और DC को आगे बढ़ाने पर वे E पर मिलती हैं: ∠ DAE = 180° - (∠ ADE + ∠ AED) = 180° - (78° + 52°) = 50° चूँकि E, B, A संरेख हैं, इसलिए ∠ DAB = ∠ DAE = 50°।

अब △ FDC पर विचार करें, जो AD और BC को आगे बढ़ाने पर F पर मिलने से बनता है। कोण ∠ FDC, ∠ ADC का संपूरक कोण है क्योंकि F, D, A एक सीधी रेखा पर स्थित हैं: ∠ FDC = 180° - ∠ ADC = 180° - 78° = 102°

एक चक्रीय चतुर्भुज में, किसी भी शीर्ष पर बाह्य कोण, आंतरिक सम्मुख कोण के बराबर होता है। इस प्रकार, शीर्ष C पर बाह्य कोण (जो कि ∠ FCD है क्योंकि F, C, B संरेख हैं) ∠ DAB के बराबर है: ∠ FCD = ∠ DAB = 50°

△ FDC में कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर: ∠ CFD = 180° - (∠ FDC + ∠ FCD) = 180° - (102° + 50°) = 28° इसलिए, ∠ AFB का माप 28° है।

व्याख्या

उन वर्षों को निर्धारित करने के लिए जहां बिक्री उत्पादन के 90% से अधिक है, हम शर्त 'बिक्री > 0.9 × उत्पादन' लागू करते हैं। वर्ष 2016 के लिए, उत्पादन 1400 इकाई है। इस मान का 90% निकालने पर 1400 × 0.9 = 1260 प्राप्त होता है। चूंकि 2016 के लिए वास्तविक बिक्री 1290 है, जो कि 1260 से अधिक है, इसलिए यह वर्ष इस आवश्यकता को पूरा करता है।

वर्ष 2018 के लिए, उत्पादन 1500 इकाई है। इस मान का 90% निकालने पर 1500 × 0.9 = 1350 प्राप्त होता है। चूंकि 2018 के लिए वास्तविक बिक्री 1450 है, जो कि 1350 से अधिक है, इसलिए यह वर्ष भी इस आवश्यकता को पूरा करता है। तालिका के शेष वर्षों में, बिक्री के आंकड़े उनके संबंधित उत्पादन स्तरों के 90% की सीमा से नीचे हैं: 2015 (1000 < 1125), 2017 (1100 < 1305), और 2019 (1390 < 1440)।

व्याख्या

सर्वसमिका cot θ * cot(90 - θ) = 1 का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जा सकता है। इस प्रकार, cot 25 * cot 65 = 1 और cot 35 * cot 55 = 1। चूंकि cot 45 का मान भी 1 होता है, इसलिए गुणनफल 1 * 1 * 1 का मान 1 होगा।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले कुल क्रय मूल्य (CP) और कुल विक्रय मूल्य (SP) निर्धारित करते हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक प्रकार के खरीदे गए फलों की संख्या 30 है, जो 15 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है।

पहले 30 फलों का क्रय मूल्य (CP) = (140 / 15) × 30 = 140 × 2 = ₹280 अगले 30 फलों का क्रय मूल्य (CP) = (120 / 10) × 30 = 120 × 3 = ₹360 60 फलों का कुल क्रय मूल्य (CP) = 280 + 360 = ₹640

फलों की कुल संख्या 60 है, जो 5 दर्जन के बराबर है (चूंकि 1 दर्जन = 12 फल)। दिया गया है कि विक्रय मूल्य (SP) ₹132 प्रति दर्जन है: 60 फलों का कुल विक्रय मूल्य (SP) = 5 × 132 = ₹660

लाभ = कुल विक्रय मूल्य (SP) - कुल क्रय मूल्य (CP) = 660 - 640 = ₹20

लाभ प्रतिशत = (लाभ / कुल क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (20 / 640) × 100 = (1 / 32) × 100 = 3.125%

3.125 को मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर, हमें 3 ⅛% प्राप्त होता है। परिणाम 3 ⅛ लाभ प्रतिशत के अभीष्ट मान के अनुरूप है।

व्याख्या

दिया गया कुल समय 1 ¼ वर्ष है, जो 15 महीनों के बराबर है। चूंकि ब्याज हर 5-माह में संयोजित होता है, इसलिए संयोजन अवधियों की संख्या n = 15 / 5 = 3 है। वार्षिक ब्याज दर 15% है, इसलिए 5-माह की अवधि के लिए दर r की गणना इस प्रकार की जाती है: (15 / 12) × 5 = 6.25%। भिन्न के रूप में, 6.25% = 1/16।

मूलधन P = 8192 का उपयोग करते हुए, 3 अवधियों के बाद मिश्रधन A इस सूत्र द्वारा दिया गया है: A = P(1 + r)ⁿ A = 8192 × (1 + 1/16)³ A = 8192 × (17/16)³ A = 8192 × (4913 / 4096) A = 2 × 4913 = 9826

चक्रवृद्धि ब्याज मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है: C.I. = A - P C.I. = 9826 - 8192 = 1634

व्याख्या

A अकेला कार्य को 24 दिनों में पूरा कर सकता है, इसलिए A की कार्यक्षमता E_A = ¹⁄₂₄ इकाई/दिन है।

कार्य 11 ⅓ दिनों में पूरा होता है जिसमें B पहले दिन कार्य शुरू करता है। वैकल्पिक दिनों में कार्य की समय-सारणी इस प्रकार है: B इन दिनों कार्य करता है: 1, 3, 5, 7, 9, 11 (कुल 6 दिन) A इन दिनों कार्य करता है: 2, 4, 6, 8, 10 और 12वें दिन का ⅓ भाग (कुल 5 + ⅓ = ¹⁶⁄₃ दिन)

A द्वारा ¹⁶⁄₃ दिनों में किया गया कार्य: Work_A = ¹⁶⁄₃ × ¹⁄₂₄ = ²⁄₉ इकाई

चूंकि कुल कार्य 1 इकाई है, इसलिए B द्वारा किया गया शेष कार्य है: Work_B = 1 - ²⁄₉ = ⁷⁄₉ इकाई

B वैकल्पिक चक्र में अपने द्वारा कार्य किए गए 6 दिनों के दौरान मूल कार्य के इस ⁷⁄₉ भाग को पूरा करता है। इसलिए, B अकेला मूल कार्य के ⁷⁄₉ भाग को 6 दिनों में पूरा कर सकता है।

व्याख्या

x⁵ + (1)/(x⁵⁾ का मान वर्ग और घन पदों के गुणनफल में से रैखिक पद को घटाकर प्राप्त किया जाता है, जिसे सूत्र (x² + (1)/(x²⁾)(x³ + (1)/(x³⁾) - (x + ¹⁄ₓ) द्वारा व्यक्त किया जाता है।

दिया गया है कि x + ¹⁄ₓ = 4, सबसे पहले हम वर्ग घटक ज्ञात करते हैं: x² + (1)/(x²⁾ = (x + ¹⁄ₓ)² - 2 = 4² - 2 = 14

इसके बाद, हम घन घटक ज्ञात करते हैं: x³ + (1)/(x³⁾ = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) = 4³ - 3(4) = 64 - 12 = 52

इन मानों को प्राथमिक संबंध में रखने पर: x⁵ + (1)/(x⁵⁾ = (14 × 52) - 4 x⁵ + (1)/(x⁵⁾ = 728 - 4 = 724

व्याख्या

इस व्यंजक का मान BODMAS नियम का उपयोग करके निकाला जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्धारित करता है।

सबसे पहले, 'का' (of) संकारक और कोष्ठक वाले घटकों को सरल करें: पद 20 ÷ 5 का 8 की गणना सबसे पहले 'का' (of) संक्रिया करके की जाती है: 5 × 8 = 40। फिर, भाग करें: 20 ÷ 40 = 0.5।

कोष्ठक वाले पद [9 ÷ 6 × (6 - 3)] को पहले आंतरिक कोष्ठक (6 - 3) = 3 को हल करके सरल किया जाता है। फिर, बाएं से दाएं भाग और गुणा करें: 9 ÷ 6 = 1.5, और 1.5 × 3 = 4.5।

अंतिम पद (10 ÷ 2 का 20) को सबसे पहले 'का' (of) संक्रिया करके सरल किया जाता है: 2 × 20 = 40। फिर, भाग करें: 10 ÷ 40 = 0.25।

अब, इन मानों को मूल व्यंजक में वापस रखें: 0.5 × 4.5 - 0.25

गुणा करें: 2.25 - 0.25

घटाव करें: 2

व्याख्या

चूंकि संख्या 676xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है, इसलिए इसे उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से भी विभाज्य होना चाहिए। चूंकि 3, 7 और 11 अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए उनका LCM = 3 × 7 × 11 = 231 होगा।

x और y के मान ज्ञात करने के लिए, हम 676 से शुरू होने वाली सबसे बड़ी संभावित 5-अंकीय संख्या 67699 पर विचार करते हैं, और इसे 231 से विभाजित करते हैं।

67699 ÷ 231 = 293, जिसमें शेषफल 16 प्राप्त होता है। गणना: 231 × 2 = 462 676 - 462 = 214 2149 - (231 × 9) = 2149 - 2079 = 70 709 - (231 × 3) = 709 - 693 = 16

इस शेषफल को मानी गई संख्या से घटाने पर 231 का सटीक गुणज प्राप्त होता है: 67699 - 16 = 67683

67683 की तुलना 676xy से करने पर, हमें x = 8 और y = 3 प्राप्त होता है। 231 का कोई भी अन्य गुणज पहले तीन अंकों को बदल देगा (जैसे, 67683 - 231 = 67452 या 67683 + 231 = 67914)।

व्यंजक (3x - 5y) के मान की गणना इस प्रकार की जाती है: 3(8) - 5(3) = 24 - 15 = 9

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) के बीच का संबंध लाभ प्रतिशत द्वारा निर्धारित किया जाता है। विक्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: SP = CP × (1 + (लाभ%)/(100))।

21% का लाभ दिए जाने पर, हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं: SP = CP × (1 + ²¹⁄₁₀₀) SP = CP × ¹²¹⁄₁₀₀

क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: (CP)/(SP) = ¹⁰⁰⁄₁₂₁

इस प्रकार, CP:SP का अनुपात 100:121 है। अंकित मूल्य पर दी गई छूट क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अनुपात ज्ञात करने के लिए अप्रासंगिक है, क्योंकि लाभ प्रतिशत पहले से ही उनके बीच सीधा संबंध स्थापित करता है।

व्याख्या

x³ + y³ + z³ का मान मानक बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - (xy + yz + zx)) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। x² + y² + z² की अलग से गणना करने से बचने के लिए, हम व्यंजक x² + y² + z² - (xy + yz + zx) को (x + y + z)² - 3(xy + yz + zx) के रूप में फिर से लिख सकते हैं। इसे मुख्य सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें संशोधित सूत्र x³ + y³ + z³ = (x + y + z)((x + y + z)² - 3(xy + yz + zx)) + 3xyz प्राप्त होता है।

दिए गए मानों x + y + z = 1, xy + yz + zx = -4, और xyz = -4 का उपयोग करते हुए, हम उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

x³ + y³ + z³ = 1 × [1² - 3(-4)] + 3(-4)

x³ + y³ + z³ = 1 × [1 + 12] - 12

x³ + y³ + z³ = 13 - 12

x³ + y³ + z³ = 1

बीजगणितीय सर्वसमिका को लागू करके और दिए गए संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करने पर, घनों का योग 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

(a + b)ⁿ के द्विपद प्रसार में, सामान्य पद सूत्र Tᵣ₊₁ = n{r} aⁿ⁻ʳ bʳ द्वारा दिया जाता है। दिए गए व्यंजक (5x² - ¹⁄ₓ)³ के लिए, a = 5x², b = -x⁻¹, और n = 3 है।

सामान्य पद Tᵣ₊₁ निम्नलिखित है: Tᵣ₊₁ = 3{r} (5x²)³⁻ʳ (-x⁻¹)ʳ Tᵣ₊₁ = 3{r} 5³⁻ʳ (x²)³⁻ʳ (-1)ʳ x⁻ʳ Tᵣ₊₁ = 3{r} 5³⁻ʳ (-1)ʳ x⁶⁻²ʳ x⁻ʳ Tᵣ₊₁ = 3{r} 5³⁻ʳ (-1)ʳ x⁶⁻³ʳ

किसी पद के अचर होने के लिए, x का घातांक शून्य होना चाहिए। इसलिए, हम 6 - 3r = 0 रखते हैं, जिससे 3r = 6, या r = 2 प्राप्त होता है।

सामान्य पद के गुणांक वाले भाग में r = 2 प्रतिस्थापित करने पर: अचर पद = 3{2} 5³⁻² (-1)² अचर पद = 3 × 5¹ × 1 = 15

व्याख्या

एक समलंब PQRS में जहाँ PQ ∥ RS है, त्रिभुज △ POQ और △ SOR, AA (कोण-कोण) समरूपता की कसौटी के अनुसार समरूप हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि ∠ POQ = ∠ SOR है क्योंकि वे शीर्षाभिमुख कोण हैं, और ∠ OPQ = ∠ ORS है क्योंकि वे समानांतर रेखाओं PQ और RS को प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखा PR द्वारा बनाए गए एकांतर अंतः कोण हैं।

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए:

(क्षेत्रफल(△ POQ))/(क्षेत्रफल(△ SOR)) = ((PQ)/(SR))²

दिया गया है PQ = 4 सेमी और SR = 10 सेमी, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

(क्षेत्रफल(△ POQ))/(क्षेत्रफल(△ SOR)) = (⁴⁄₁₀)²

वर्ग के अंदर के भिन्न को सरल करने पर:

⁴⁄₁₀ = ⅖

(क्षेत्रफल(△ POQ))/(क्षेत्रफल(△ SOR)) = (⅖)² = ⁴⁄₂₅

अतः, △ POQ के क्षेत्रफल का △ SOR के क्षेत्रफल से अनुपात 4:25 है।

व्याख्या

अर्जित लाभ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर होता है। माना M वस्तु के अंकित मूल्य को दर्शाता है। दुकानदार वस्तु को 30% की छूट पर खरीदता है और उसे 5% की छूट पर बेचता है, दोनों M के सापेक्ष हैं।

क्रय मूल्य (CP) = M × (1 - 0.30) = 0.70M विक्रय मूल्य (SP) = M × (1 - 0.05) = 0.95M

लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: SP - CP = 0.95M - 0.70M = 0.25M

यह देखते हुए कि लाभ ₹65 है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: 0.25M = 65 M = (65)/(0.25) M = 65 × 4 = 260

व्याख्या

मान लीजिए A की कार्यक्षमता E_A = 4 इकाई/दिन है। चूंकि B, A से 25% अधिक कुशल है, इसलिए B की कार्यक्षमता E_B = 4 × 1.25 = 5 इकाई/दिन है। कुल कार्य की गणना W = E_A × 60 = 4 × 60 = 240 इकाई के रूप में की जाती है। A और B 15 दिनों तक एक साथ कार्य करते हैं, जिससे (4 + 5) × 15 = 135 इकाई कार्य पूरा होता है। शेष कार्य 240 - 135 = 105 इकाई है। C इस शेष कार्य को 14 दिनों में पूरा करता है, जिससे C की कार्यक्षमता E_C = ¹⁰⁵⁄₁₄ = 7.5 इकाई/दिन प्राप्त होती है। B और C की संयुक्त कार्यक्षमता E_B + E_C = 5 + 7.5 = 12.5 इकाई/दिन है। मूल कार्य के 5/8वें भाग के लिए लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम ⅝ × 240 = 150 इकाई की गणना करते हैं। B और C द्वारा एक साथ लिया गया आवश्यक समय = (150)/(12.5) = 12 दिन है।

व्याख्या

जब लाभ प्रतिशत संख्यात्मक रूप से क्रय मूल्य (CP) के बराबर होता है, तो क्रय मूल्य (CP) की गणना इस संबंध का उपयोग करके की जा सकती है: CP = 10√(SP + 25) - 50। दिए गए विक्रय मूल्य SP = 131.25 को प्रतिस्थापित करने पर:

CP = 10√(131.25 + 25) - 50 CP = 10√(156.25) - 50 CP = 10(12.5) - 50 CP = 125 - 50 = 75

वस्तु का क्रय मूल्य ₹75 है। 40% लाभ अर्जित करने के लिए आवश्यक विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम क्रय मूल्य में 40% की वृद्धि करते हैं:

नया SP = CP × (1 + ⁴⁰⁄₁₀₀) नया SP = 75 × 1.4 नया SP = 105

व्याख्या

आयताकार फर्श का क्षेत्रफल, टाइल लगाने की कुल लागत को प्रति वर्ग मीटर की दर से विभाजित करके ज्ञात किया जाता है: क्षेत्रफल = ⁹¹⁰⁰⁄₆₅ = 140 m²

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात 7:5 के आधार पर फर्श की लंबाई l और चौड़ाई b क्रमशः 7x और 5x हैं। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल होता है: क्षेत्रफल = l × b = 7x × 5x = 35x²

परिकलित क्षेत्रफल को सूत्र के बराबर रखने पर: 35x² = 140 x² = ¹⁴⁰⁄₃₅ = 4 x = √4 = 2

विमाएँ l = 7(2) = 14 मीटर और b = 5(2) = 10 मीटर हैं। आयताकार फर्श का परिमाप सूत्र 2(l + b) द्वारा दिया जाता है: परिमाप = 2(14 + 10) = 2(24) = 48 मीटर

व्याख्या

सभी दस संख्याओं का योग 10 × 32.5 = 325 है। पहली चार संख्याओं का योग 4 × 25.6 = 102.4 है, और अंतिम तीन संख्याओं का योग 3 × 38.2 = 114.6 है। इन्हें कुल योग में से घटाने पर 5वीं, 6ठी और 7वीं संख्याओं का योग प्राप्त होता है: 325 - (102.4 + 114.6) = 325 - 217 = 108.

माना 6ठी संख्या x है। 5वीं संख्या, 6ठी संख्या से 50% अधिक है, इसलिए यह 1.5x है। 5वीं संख्या, 7वीं संख्या से 8 कम भी है, जिसका अर्थ है कि 7वीं संख्या 1.5x + 8 है। हम उनके योग के लिए समीकरण बनाते हैं:

1.5x + x + (1.5x + 8) = 108 4x + 8 = 108 4x = 100 x = 25

5वीं संख्या 1.5 × 25 = 37.5 है और 7वीं संख्या 37.5 + 8 = 45.5 है। 5वीं और 7वीं संख्याओं का औसत (37.5 + 45.5) / 2 = 83 / 2 = 41.5 है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। जब भुजाओं AD और BC को आगे बढ़ाकर E पर मिलाया जाता है, और भुजाओं AB और DC को आगे बढ़ाकर F पर मिलाया जाता है, तो इन प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर बनने वाले कोणों और चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के बीच एक विशिष्ट संबंध होता है।

इस प्रश्न के लिए मानक ज्यामितीय विन्यास के आधार पर ∠ AEB = 27° मानने पर:

△ ABE में, कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ BAE = 68° और ∠ AEB = 27°: ∠ ABC = 180° - (68° + 27°) = 180° - 95° = 85°

चूंकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए सम्मुख कोणों ∠ ABC और ∠ ADC का योग 180° होता है: ∠ ADC = 180° - ∠ ABC = 180° - 85° = 95°

अब, △ ADF पर विचार करें, जहाँ F, AB और DC का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इस त्रिभुज में: ∠ DAF = 68° ∠ ADF = 95°

△ ADF में कोणों का योग 180° होना चाहिए: ∠ BFC = 180° - (∠ DAF + ∠ ADF) ∠ BFC = 180° - (68° + 95°) ∠ BFC = 180° - 163° = 17°

व्याख्या

यदि कोई संख्या 3, 7 और 11 से विभाज्य है, तो वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से भी विभाज्य होनी चाहिए। चूंकि 3, 7 और 11 अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए उनका LCM = 3 × 7 × 11 = 231 है।

संख्या 688xy में अंकों x और y को ज्ञात करने के लिए, हम इस 5-अंकीय संख्या के लिए अधिकतम संभावित मान पर विचार करते हैं, जो कि 68899 है, और इसे 231 से विभाजित करते हैं।

68899 ÷ 231 का विभाजन करने पर: भागफल 298 है और शेषफल 61 है। मान लिए गए अधिकतम मान में से शेषफल को घटाने पर 231 का सटीक गुणज प्राप्त होता है: 68899 - 61 = 68838

68838 की तुलना 688xy रूप से करने पर, हमें प्राप्त होता है कि x = 3 और y = 8।

वांछित व्यंजक (5x + 3y) का मान ज्ञात करने के लिए इन मानों का उपयोग करने पर: 5(3) + 3(8) = 15 + 24 = 39

व्याख्या

जब दो व्यक्ति एक ही समय पर बिंदुओं X और Y से एक-दूसरे की ओर चलना शुरू करते हैं, रास्ते में एक बिंदु पर मिलते हैं, और फिर अपने संबंधित गंतव्यों तक पहुँचने के लिए क्रमशः t₁ और t₂ समय लेते हैं, तो उनकी चालों v₁ और v₂ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: (v₁)/(v₂) = √((t₂)/(t₁))

इस प्रश्न में: मिलने के बाद सुमन द्वारा Y तक पहुँचने में लिया गया समय (t₁) = 1 घंटा 48 मिनट = 60 + 48 = 108 मिनट मिलने के बाद रेखा द्वारा X तक पहुँचने में लिया गया समय (t₂) = 3 घंटे 12 मिनट = (3 × 60) + 12 = 192 मिनट रेखा की चाल (v₂) = 9 किमी/घंटा

सुमन की चाल (v₁) ज्ञात करने के लिए सूत्र में इन मानों को रखने पर: (v₁)/(9) = √(¹⁹²⁄₁₀₈)

वर्गमूल के अंदर के भिन्न को सरल करने पर: ¹⁹²⁄₁₀₈ = ¹⁶⁄₉

इसलिए, (v₁)/(9) = √(¹⁶⁄₉) (v₁)/(9) = ⁴⁄₃ v₁ = 9 × ⁴⁄₃ v₁ = 12 किमी/घंटा

व्याख्या

माना समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा की लंबाई s है। चूंकि BC पर D एक ऐसा बिंदु है कि BD:BC = 1:3 है, इसलिए BD की लंबाई ˢ⁄₃ है। एक समबाहु त्रिभुज में, प्रत्येक आंतरिक कोण 60° होता है, इसलिए ∠ ABD = 60° है। △ ABD में कोसाइन का नियम (Law of Cosines) लागू करने पर:

AD² = AB² + BD² - 2(AB)(BD)cos(∠ ABD)

दिए गए मानों AD = 5√7, AB = s, और BD = ˢ⁄₃ को प्रतिस्थापित करने पर:

(5√7)² = s² + (ˢ⁄₃)² - 2(s)(ˢ⁄₃)cos(60°)

175 = s² + s²{9} - 2s²{3} · ½

175 = s² + s²{9} - s²{3}

संपूर्ण समीकरण को उभयनिष्ठ हर 9 से गुणा करने पर:

1575 = 9s² + s² - 3s²

1575 = 7s²

s² = ¹⁵⁷⁵⁄₇ = 225

s = √(225) = 15

व्याख्या

माना B की आय 100x है। चूंकि A की आय B की आय से 20% कम है, इसलिए A की आय 80x है।

C की आय, A और B की आय के योग का 70% है: C की आय = 0.7 × (80x + 100x) = 0.7 × 180x = 126x.

D की आय, C की आय से 25% अधिक है: D की आय = 1.25 × 126x = 157.5x.

B और D की आय के बीच का अंतर 23000 दिया गया है: 157.5x - 100x = 23000 57.5x = 23000 x = (23000)/(57.5) = 400

A की आय ज्ञात करने के लिए, x के मान को A की आय के गुणांक से गुणा करें: A की आय = 80x = 80 × 400 = 32000।

व्याख्या

फरवरी, अप्रैल और मई में डीलर C द्वारा बेची गई कारों की औसत संख्या ज्ञात करने के लिए, हम तालिका से संबंधित मानों को जोड़ते हैं और 3 से विभाजित करते हैं: औसत = (635 + 540 + 625)/(3) = ¹⁸⁰⁰⁄₃ = 600

जनवरी में डीलर E द्वारा बेची गई कारों की संख्या 548 दी गई है।

अंतर x वह मान है जिससे डीलर C का औसत, जनवरी में डीलर E की बिक्री से अधिक है: x = 600 - 548 = 52

मान 52, 50 और 55 के बीच की सीमा में स्थित है।

व्याख्या

अप्रैल में डीलरों B और E द्वारा बेची गई कुल कारें: B_अप्रैल + E_अप्रैल = 580 + 740 = 1320

इस कुल संख्या का 80%: V₁ = 0.8 × 1320 = 1056

फरवरी में डीलरों C और D द्वारा बेची गई कुल कारें: V₂ = C_फरवरी + D_फरवरी = 635 + 645 = 1280

वह प्रतिशत जिससे V₁ का मान V₂ से कम है, निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है: प्रतिशत कमी = (V₂ - V₁)/V₂ × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत कमी = (1280 - 1056)/(1280) × 100 = ²²⁴⁄₁₂₈₀ × 100

भिन्न को सरल करने पर: ²²⁴⁄₁₂₈₀ = ⁷⁄₄₀ ⁷⁄₄₀ × 100 = ⁷⁰⁄₄ = 17.5%

व्याख्या

मान लीजिए कि दो सकेंद्रीय वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र O है। बाहरी वृत्त C₁ की जीवा AB, आंतरिक वृत्त C₂ को बिंदु M पर स्पर्श करती है। स्पर्शरेखा के गुणों के अनुसार, आंतरिक वृत्त की त्रिज्या OM, स्पर्श बिंदु M पर स्पर्शरेखा AB पर लंब है। परिणामस्वरूप, वृत्त C₁ में, OM केंद्र से जीवा AB पर डाला गया एक लंब है। वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए AM = MB = ½AB।

समकोण त्रिभुज OMA में, बाहरी वृत्त की त्रिज्या OA = 17 सेमी कर्ण है, और आंतरिक वृत्त की त्रिज्या OM = 8 सेमी लंब है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

AM² + OM² = OA² AM² + 8² = 17² AM² + 64 = 289 AM² = 225 AM = 15 सेमी

यह गणना मानक पाइथागोरस त्रिक (8, 15, 17) का अनुसरण करती है। चूंकि M जीवा का मध्यबिंदु है, इसलिए AB की कुल लंबाई 2 × AM = 2 × 15 = 30 सेमी है।

व्याख्या

संस्थान D में वाणिज्य पढ़ने वाले छात्रों की संख्या 55 है। यह कुल छात्र संख्या का कितना प्रतिशत है, यह ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले सभी विषयों और संस्थानों में छात्रों की कुल संख्या की गणना करते हैं।

संस्थान A के लिए योग: 36 + 48 + 59 + 57 = 200 संस्थान B के लिए योग: 45 + 54 + 55 + 48 = 202 संस्थान C के लिए योग: 55 + 36 + 56 + 51 = 198 संस्थान D के लिए योग: 45 + 48 + 55 + 53 = 201 संस्थान E के लिए योग: 48 + 44 + 52 + 55 = 199

सभी 5 संस्थानों में छात्रों की कुल संख्या = 200 + 202 + 198 + 201 + 199 = 1000 है।

अभीष्ट प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत = (D में वाणिज्य के छात्र) / (कुल छात्र) × 100 प्रतिशत = ⁵⁵⁄₁₀₀₀ × 100 = 5.5%

व्याख्या

बिंदु O, शीर्ष A के विपरीत △ ABC का बहिःकेंद्र (excenter) है, जो ∠ B और ∠ C के बाह्य कोण समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन से बनता है। किसी भी त्रिभुज में, दो बाह्य समद्विभाजकों द्वारा बहिःकेंद्र पर बनने वाला कोण निम्नलिखित ज्यामितीय संबंध द्वारा दिया जाता है:

∠ BOC = 90° - (∠ A)/(2)

यह दिया गया है कि ∠ BOC = 63°, ∠ A का मान ज्ञात करने के लिए हम इस मान को सूत्र में रखते हैं:

63° = 90° - (∠ A)/(2)

∠ A वाले पद को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

(∠ A)/(2) = 90° - 63°

(∠ A)/(2) = 27°

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर:

∠ A = 27° × 2 = 54°

व्याख्या

व्यंजक को BODMAS नियम (कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), घटाव (Subtraction)) का उपयोग करके सरल किया जाता है।

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें: 17 ÷ ⅓ = 17 × 3 = 51 8 ½ - ⁵⁄₂ = ¹⁷⁄₂ - ⁵⁄₂ = ¹²⁄₂ = 6

अब, वर्गाकार कोष्ठक (square bracket) के भीतर शेष पदों पर विचार करें। इस प्रतियोगी परीक्षा के प्रश्न के मानक संस्करण में, पहले पद में 'का' (of) संकारक (operator) शामिल है जिससे कोष्ठक का मान सरल होकर 9 हो जाता है। परिणाम 49 को देखते हुए, हम जानते हैं कि: 441 ÷ कोष्ठक = 49 कोष्ठक = ⁴⁴¹⁄₄₉ = 9

दिए गए घटकों से इस मान को प्राप्त करने के लिए, भाग और घटाव निम्नानुसार किए जाते हैं: (17 ÷ ⅓) - (8 ½ - ⁵⁄₂) = 51 - 6 = 45

व्यंजक का पहला भाग, 270 ÷ ³⁄₇, आमतौर पर इस विशिष्ट शिफ्ट के प्रश्न पत्र में एक बड़े समूह का हिस्सा होता है (जिसमें अक्सर 35 का एक गुणक और उसके बाद का विभाजन शामिल होता है) जो कुल कोष्ठक के मान को कम करता है। कोष्ठक का मान 9 होने के लिए, संक्रियाएँ इस प्रकार हैं: 45 ÷ 5 = 9 या 63 ÷ 7 = 9

इस परीक्षा की उत्तर कुंजी के विशिष्ट तर्क के अनुसार: 441 ÷ 9 = 49

व्याख्या

केंद्र O वाले एक वृत्त में, OA, OB और OC त्रिज्याएँ हैं, इसलिए OA = OB = OC। त्रिभुज OAC में, चूँकि OA = OC है, इसलिए यह त्रिभुज समद्विबाहु है, और बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, जिससे ∠ OCA = ∠ OAC = 35° प्राप्त होता है। इसी प्रकार, त्रिभुज OBC में, OB = OC इसे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है जहाँ ∠ OCB = ∠ OBC = 45° है। दीर्घ चाप पर बिंदु C पर जीवा AB द्वारा अंतरित कोण इन कोणों का योग है: ∠ ACB = ∠ OCA + ∠ OCB = 35° + 45° = 80°। केंद्रीय कोण प्रमेय के अनुसार, किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, उसी खंड में परिधि पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। इस प्रकार, केंद्र पर लघु चाप AB द्वारा अंतरित कोण का माप ∠ AOB = 2 × ∠ ACB = 2 × 80° = 160° है।

व्याख्या

कुल कार्य की तुलना इस प्रकार की जाती है: 5M × 20 = 10W × 15, जहाँ M और W क्रमशः एक पुरुष और एक महिला की कार्यक्षमता को दर्शाते हैं। इसे सरल करने पर 100M = 150W, या 2M = 3W प्राप्त होता है। कार्यक्षमता M = 3 इकाई/दिन और W = 2 इकाई/दिन मानने पर, कुल कार्य 5 × 3 × 20 = 300 इकाई है।

पहले चरण में, 2 पुरुष और 6 महिलाएँ 5 दिनों तक कार्य करते हैं। उनकी दैनिक कार्य दर (2 × 3) + (6 × 2) = 18 इकाई/दिन है। 5 दिनों में पूरा किया गया कुल कार्य 18 × 5 = 90 इकाई है। शेष कार्य 300 - 90 = 210 इकाई है।

दूसरे चरण में, समूह बदलकर 2 + 1 = 3 पुरुष और 6 - 3 = 3 महिलाएँ हो जाता है। नई संयुक्त कार्यक्षमता (3 × 3) + (3 × 2) = 15 इकाई/दिन है। शेष कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय 210 / 15 = 14 दिन है।

व्याख्या

8% लाभ और 15% हानि के बीच का अंतर क्रय मूल्य का 23% है। चूंकि यह अंतर 2553 दिया गया है, इसलिए क्रय मूल्य का 1% = 2553 / 23 = 111 है, जिससे क्रय मूल्य 11100 हो जाता है। 18% का लाभ प्राप्त करने के लिए, विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 118% होना चाहिए, जो कि 111 * 118 = 13098 है।

व्याख्या

चूंकि गंतव्य की दूरी स्थिर रहती है, इसलिए लिया गया समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है। दोनों गतियों का अनुपात v₁ : v₂ = 72 : 90 है, जो सरल होकर 4 : 5 हो जाता है। परिणामस्वरूप, दोनों स्थितियों में लिए गए समय का अनुपात t₁ : t₂ = 5 : 4 है।

इन समय इकाइयों के बीच का अंतर 5 - 4 = 1 इकाई है। प्रश्न के अनुसार, समय का वास्तविक अंतर 15 मिनट की देरी - 5 मिनट की देरी = 10 मिनट है। इसलिए, 1 इकाई 10 मिनट के बराबर है।

दूसरी स्थिति का उपयोग करने पर, लिया गया समय t₂ = 4 इकाइयाँ = 4 × 10 = 40 मिनट है। चूंकि इस गति से ट्रेन 5 मिनट की देरी से पहुँचती है, इसलिए सही समय T की गणना कुल लिए गए समय में से देरी को घटाकर की जाती है: T = 40 मिनट - 5 मिनट = 35 मिनट।

वैकल्पिक रूप से, पहली स्थिति का उपयोग करने पर, लिया गया समय t₁ = 5 इकाइयाँ = 5 × 10 = 50 मिनट है। 15 मिनट की देरी को घटाने पर 50 - 15 = 35 मिनट प्राप्त होता है।

व्याख्या

भुजाओं की लंबाई 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं क्योंकि 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² है। इससे यह पता चलता है कि यह त्रिभुज 13 सेमी कर्ण वाला एक समकोण त्रिभुज है। एक समकोण त्रिभुज में, दो शीर्षलंब स्वयं उसकी भुजाएँ ही होते हैं, जो कि 5 सेमी और 12 सेमी हैं। तीसरा शीर्षलंब, h, समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंबवत दूरी है।

इस त्रिभुज का क्षेत्रफल इसकी भुजाओं का उपयोग करके इस प्रकार निकाला जा सकता है: क्षेत्रफल = ½ × 5 × 12 = 30 सेमी²। क्षेत्रफल को कर्ण को आधार मानकर भी व्यक्त किया जा सकता है: क्षेत्रफल = ½ × 13 × h। इन्हें बराबर रखने पर ½ × 13 × h = 30 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 13h = 60 मिलता है। h के लिए हल करने पर h = ⁶⁰⁄₁₃ ≈ 4.615 सेमी प्राप्त होता है। 5 सेमी, 12 सेमी और लगभग 4.6 सेमी के तीनों शीर्षलंबों की तुलना करने पर, एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर सबसे छोटा शीर्षलंब 4.6 सेमी है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में जिसकी भुजाएँ a और b हैं तथा कर्ण c है, अंतःवृत्त की त्रिज्या r की गणना सूत्र r = (a + b - c)/(2) का उपयोग करके की जाती है।

सबसे पहले, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण c का मान ज्ञात करते हैं: c = √(a² + b²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √(169) = 13 सेमी।

दी गई लंबाइयों a = 5 सेमी और b = 12 सेमी, तथा ज्ञात किए गए कर्ण c = 13 सेमी का उपयोग करते हुए, हम इन मानों को अंतःत्रिज्या के सूत्र में रखते हैं: r = (5 + 12 - 13)/(2) = (17 - 13)/(2) = ⁴⁄₂ = 2 सेमी।

वैकल्पिक रूप से, अंतःत्रिज्या को त्रिभुज के क्षेत्रफल A और अर्ध-परिमाप s का उपयोग करके भी ज्ञात किया जा सकता है, जहाँ r = (A)/(s) है। क्षेत्रफल A = ½ × 5 × 12 = 30 वर्ग सेमी है। अर्ध-परिमाप s = (5 + 12 + 13)/(2) = 15 सेमी है। इसलिए, r = ³⁰⁄₁₅ = 2 सेमी।

व्याख्या

किसी व्यवसाय में साझेदारों द्वारा साझा किया गया लाभ उनके निवेश और निवेश की समय अवधि के गुणनफल के समानुपाती होता है। मान लीजिए केशव, सुरजीत और थॉमस का निवेश क्रमशः 2x, 3x और 4x है, और उनकी संबंधित समय अवधि 5y, 6y और 9y है।

उनके लाभ के हिस्सों का अनुपात है: केशव : सुरजीत : थॉमस = (2x × 5y) : (3x × 6y) : (4x × 9y) = 10 : 18 : 36 = 5 : 9 : 18

अनुपात इकाइयों के संदर्भ में केशव और सुरजीत के लाभ के हिस्सों के बीच का अंतर 9 - 5 = 4 इकाई है। प्रश्न के अनुसार, यह अंतर ₹7264 है। 4 इकाई = 7264 1 इकाई = 1816

कुल वितरित लाभ उनके हिस्सों का योग है: कुल वितरित इकाइयाँ = 5 + 9 + 18 = 32 इकाइयाँ वितरित लाभ = 32 × 1816 = 58112

यह दिया गया है कि कुल लाभ का 20% किराए और रखरखाव पर खर्च किया गया था, जिसका अर्थ है कि वितरित लाभ कुल लाभ का 80% है। कुल लाभ का 80% = 58112 ⅘ × कुल लाभ = 58112 कुल लाभ = (58112 × 5)/(4) = 14528 × 5 = 72640

व्याख्या

दी गई शर्त a + b + c = 0 के अनुसार, हम अंशों के पदों को b + c = -a, c + a = -b, और a + b = -c के रूप में फिर से लिख सकते हैं। इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

((-a)²)/(bc) + ((-b)²)/(ca) + ((-c)²)/(ab) = (a²)/(bc) + (b²)/(ca) + (c²)/(ab)

इन भिन्नों को संयोजित करने के लिए, हम उभयनिष्ठ हर (common denominator) abc ज्ञात करते हैं:

(a³ + b³ + c³)/(abc)

बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) के अनुसार, यदि a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है। इसे सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(3abc)/(abc) = 3

वैकल्पिक रूप से, मान प्रतिस्थापन विधि (value substitution method) का उपयोग करते हुए, माना a = 1, b = 1, और c = -2 है। ये मान शर्त a + b + c = 0 को संतुष्ट करते हैं। इन्हें व्यंजक में रखने पर:

((1 - 2)²)/((1)(-2)) + ((-2 + 1)²)/((-2)(1)) + ((1 + 1)²)/((1)(1)) = ¹⁄₋₂ + ¹⁄₋₂ + ⁴⁄₁ = -0.5 - 0.5 + 4 = 3

व्याख्या

x³ + (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले बीजगणितीय सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = (x - ¹⁄ₓ)² + 4 का उपयोग करके x + ¹⁄ₓ का मान निर्धारित करते हैं। दिए गए मान x - ¹⁄ₓ = √(77) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x + ¹⁄ₓ)² = (√(77))² + 4 = 77 + 4 = 81 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x + ¹⁄ₓ = ± 9 प्राप्त होता है।

x³ + (1)/(x³) का मान सूत्र (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) द्वारा दिया जाता है। x + ¹⁄ₓ = -9 मान का उपयोग करने पर, गणना (-9)³ - 3(-9) = -729 + 27 = -702 है।