एसएससी सीजीएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

12% की छूट के बाद वस्तु का विक्रय मूल्य 176 है। अंकित मूल्य (MP) सूत्र MP = (विक्रय मूल्य × 100)/(100 - छूट%) द्वारा निर्धारित किया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: MP = (176 × 100)/(100 - 12) = ¹⁷⁶⁰⁰⁄₈₈ = 200

यदि कोई छूट नहीं दी जाती है, तो विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य (200) के बराबर होता है, और अर्जित लाभ 25% होता है। क्रय मूल्य (CP) की गणना सूत्र CP = (विक्रय मूल्य × 100)/(100 + लाभ%) का उपयोग करके की जाती है। बिना छूट वाली स्थिति के लिए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CP = (200 × 100)/(100 + 25) = (200 × 100)/(125) CP = (200 × 4)/(5) = 40 × 4 = 160

व्याख्या

△ ADE और △ ABC में, हमें दिया गया है कि ∠ ADE = ∠ B है। इसके अतिरिक्त, ∠ A दोनों त्रिभुजों के लिए एक उभयनिष्ठ कोण है। इसलिए, कोण-कोण (AA) समरूपता कसौटी के अनुसार, △ ADE, △ ABC के समरूप है (△ ADE ∼ △ ABC)।

समरूप त्रिभुजों के लिए, उनकी संगत भुजाओं की लम्बाइयों का अनुपात बराबर होता है। इस प्रकार, हमें निम्नलिखित संबंध प्राप्त होता है: (AD)/(AB) = (DE)/(BC)

सबसे पहले, हम भुजा AB की लम्बाई की गणना करते हैं: AB = AD + BD = 7 + 5 = 12 सेमी

अब, आनुपातिकता समीकरण में ज्ञात मानों को रखने पर: ⁷⁄₁₂ = (DE)/(9)

DE के लिए हल करने पर: DE = (7 × 9)/(12) DE = ⁶³⁄₁₂ DE = 5.25 सेमी

व्याख्या

दिए गए समीकरण x - ¹⁄ₓ = 5 से, हम समीकरण के दोनों पक्षों का घन करके x³ - (1)/(x³) का मान ज्ञात करते हैं: (x - ¹⁄ₓ)³ = 5³ x³ - (1)/(x³) - 3(x)(¹⁄ₓ)(x - ¹⁄ₓ) = 125 x - ¹⁄ₓ = 5 का मान प्रतिस्थापित करने पर: x³ - (1)/(x³) - 3(5) = 125 x³ - (1)/(x³) = 125 + 15 = 140

अब, उस व्यंजक पर विचार करें जिसका मान ज्ञात करना है: (x⁶ - 5x³ - 1)/(x⁶ + 7x³ - 1)

इसे सरल करने के लिए, अंश और हर दोनों को x³ से विभाजित करें: (x⁶)/(x³) - (5x³)/(x³) - (1)/(x³){(x⁶)/(x³) + (7x³)/(x³) - (1)/(x³)} = (x³ - 5 - 1)/(x³){x³ + 7 - (1)/(x³)}

अंश और हर में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: ((x³ - 1)/(x³)) - 5{(x³ - (1)/(x³)) + 7}

व्यंजक में x³ - (1)/(x³) = 140 का मान रखने पर: (140 - 5)/(140 + 7) = ¹³⁵⁄₁₄₇

अंश और हर दोनों को 3 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर: (135 ÷ 3)/(147 ÷ 3) = ⁴⁵⁄₄₉

अतः, अभीष्ट मान ⁴⁵⁄₄₉ है।

व्याख्या

स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय (Tangent-Secant Theorem) के अनुसार, जब किसी बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर एक स्पर्श रेखा खंड और एक छेदक रेखा खंड खींचा जाता है, तो स्पर्श रेखा खंड की लंबाई का वर्ग संपूर्ण छेदक रेखा खंड और उसके बाहरी भाग की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

PT² = PA · PB

इस प्रश्न में, PT = 8 सेमी और PA = 5 सेमी है। मान लीजिए जीवा AB की लंबाई x है। छेदक रेखा खंड PB की कुल लंबाई बाहरी भाग PA और जीवा AB का योग है, इसलिए PB = 5 + x है। इन मानों को प्रमेय में रखने पर:

8² = 5 · (5 + x) 64 = 25 + 5x 5x = 64 - 25 5x = 39 x = ³⁹⁄₅ = 7.8

अतः, जीवा AB की लंबाई 7.8 सेमी है।

व्याख्या

वर्ष 2015, 2017 और 2018 के लिए संस्थान F में नामांकित छात्रों की औसत संख्या की गणना उन वर्षों के लिए नामांकन का योग ज्ञात करके और उसे तीन से विभाजित करके की जाती है। संस्थान F के लिए योग = 230 + 220 + 210 = 660। औसत 660 / 3 = 220 है।

वर्ष 2014 के लिए सभी छह संस्थानों (A, B, C, D, E और F) में नामांकित छात्रों की औसत संख्या की गणना उस वर्ष में सभी संस्थानों के नामांकन को जोड़कर और छह से विभाजित करके की जाती है। 2014 के लिए योग = 110 + 120 + 140 + 125 + 150 + 165 = 810। औसत 810 / 6 = 135 है।

दोनों औसतों के बीच का अभीष्ट अंतर 220 - 135 = 85 है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण tan²θ - sin²θ = 5 है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan²θ - sin²θ = (sin²θ)/(cos²θ) - sin²θ = (sin²θ(1 - cos²θ))/(cos²θ) = tan²θ sin²θ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: tan²θ sin²θ = 5

माना s² = sin²θ और c² = cos²θ है। तो (s⁴)/(c²) = 5, जिससे प्राप्त होता है s⁴ = 5c²। चूंकि c² = 1 - s² है, हमें s² में द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: s⁴ = 5(1 - s²) ⟹ s⁴ + 5s² - 5 = 0

अब, हम व्यंजक E = (24sin²θ - 15sec²θ)/(6cos²θ - 7cot²θ) को सरल करते हैं। sec²θ = 1 + tan²θ और tan²θ = (5)/(sin²θ) प्रतिस्थापित करने पर: अंश N = 24s² - 15(1 + (5)/(s²)) = (24s⁴ - 15s² - 75)/(s²) s⁴ = 5 - 5s² का उपयोग करने पर: N = (24(5 - 5s²) - 15s² - 75)/(s²) = (120 - 120s² - 15s² - 75)/(s²) = (45 - 135s²)/(s²) = (45(1 - 3s²))/(s²)

हर D = 6c² - 7cot²θ = 6c² - 7(c²)/(s²) = c²(6 - (7)/(s²)) = (c²(6s² - 7))/(s²) c² = (s⁴)/(5) का उपयोग करने पर: D = (s⁴(6s² - 7))/(5s²) = (s²(6s² - 7))/(5)

अनुपात E = (45(1 - 3s²))/(s²) · (5)/(s²(6s² - 7)) = (225(1 - 3s²))/(6s⁴ - 7s²) है s⁴ = 5 - 5s² प्रतिस्थापित करने पर: E = (225(1 - 3s²))/(6(5 - 5s²) - 7s²) = (225(1 - 3s²))/(30 - 30s² - 7s²) = (225(1 - 3s²))/(30 - 37s²)

प्रारंभिक स्थिति से प्राप्त s² = (3√5 - 5)/2 ≈ 0.854 के विशिष्ट मान के लिए, इसे सरल किए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर -14 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो संकेंद्रीय वृत्तों द्वारा निर्मित एक वृत्ताकार पथ (वलय) का क्षेत्रफल सूत्र A = π(R² - r²) द्वारा दिया जाता है, जहाँ R बाहरी वृत्त की त्रिज्या है और r आंतरिक वृत्त की त्रिज्या है। बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करते हुए, क्षेत्रफल के सूत्र को A = π(R - r)(R + r) के रूप में लिखा जा सकता है।

दिया गया है कि क्षेत्रफल A = 3080 मीटर² और त्रिज्याओं के बीच का अंतर (R - r) = 10 मीटर है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

3080 = ²²⁄₇ × 10 × (R + r)

दोनों पक्षों को 10 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 308 = ²²⁄₇ × (R + r)

त्रिज्याओं का योग (R + r) ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: R + r = (308 × 7)/(22) R + r = 14 × 7 R + r = 98

व्याख्या

माना A और B का मासिक वेतन x है। उनके दान के बीच का अंतर x का 10% - 7% = 3% दिया गया है।

प्रश्न के अनुसार: 0.03x = 900 x = (900)/(0.03) = 30,000

A और B द्वारा किया गया कुल दान है: 30,000 का (10% + 7%) = 17% × 30,000 = 5,100

प्रश्न में कहा गया है कि यह कुल दान C के दान से ₹600 अधिक है। माना C का दान D_C है: 5,100 = D_C + 600 D_C = 4,500

चूंकि C अपने मासिक वेतन S_C का 9% दान करता है, हम S_C की गणना इस प्रकार कर सकते हैं: S_C का 9% = 4,500 0.09 × S_C = 4,500 S_C = (4,500)/(0.09) = 50,000

व्याख्या

चार संख्याओं a, b, c, d में से प्रत्येक से x घटाने के बाद उनके समानुपात में होने के लिए, संबंध (a-x)/(b-x) = (c-x)/(d-x) होता है। x का मान ज्ञात करने का एक सीधा सूत्र है:

x = (ad - bc)/((a+d) - (b+c))

दिया गया है a = 24, b = 40, c = 33, d = 57, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

x = (24 × 57 - 40 × 33)/((24+57) - (40+33))

x = (1368 - 1320)/(81 - 73)

x = ⁴⁸⁄₈ = 6

x = 6 के साथ, अभीष्ट अनुपात (5x + 12) : (4x + 15) की गणना करें:

पहला पद: 5(6) + 12 = 30 + 12 = 42

दूसरा पद: 4(6) + 15 = 24 + 15 = 39

अनुपात 42 : 39 है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, 3 से विभाजित करने पर 14 : 13 प्राप्त होता है।

व्याख्या

A और B की कार्यक्षमताओं का अनुपात 7:5 दिया गया है। माना A की कार्यक्षमता 7x इकाई/दिन है और B की कार्यक्षमता 5x इकाई/दिन है। एक साथ कार्य करने पर उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 7x + 5x = 12x इकाई/दिन है।

कुल कार्य संयुक्त कार्यक्षमता और इसे पूरा करने में लगे समय का गुणनफल है: कुल कार्य = 12x × 17½ = 12x × ³⁵⁄₂ = 6x × 35 = 210x इकाई।

हमें B द्वारा अकेले इस कार्य का 50% भाग पूरा करने में लिए गए समय को ज्ञात करना है। कुल कार्य का 50% = 0.5 × 210x = 105x इकाई।

B द्वारा लिया गया समय कार्य को B की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: समय = ¹⁰⁵ˣ⁄₅ₓ = 21 दिन।

व्याख्या

जब ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो एक वर्ष में रूपांतरण अवधियों की संख्या n = 2 होती है, और आवधिक ब्याज दर r = (R)/(2)% होती है, जहाँ R वार्षिक दर है। मूलधन P और मिश्रधन A के बीच का संबंध सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ द्वारा दिया गया है।

दिए गए मानों P = 7200, A = 7938, और n = 2 को सूत्र में रखने पर:

7938 = 7200(1 + (R)/(200))²

दोनों पक्षों को 7200 से विभाजित करने पर:

⁷⁹³⁸⁄₇₂₀₀ = (1 + (R)/(200))²

अंश और हर दोनों को 18 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:

⁴⁴¹⁄₄₀₀ = (1 + (R)/(200))²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

²¹⁄₂₀ = 1 + (R)/(200)

दोनों पक्षों से 1 घटाने पर:

²¹⁄₂₀ - 1 = (R)/(200)

¹⁄₂₀ = (R)/(200)

R = ²⁰⁰⁄₂₀ = 10

वार्षिक ब्याज दर 10% है।

व्याख्या

जब दो वस्तुओं का विक्रय मूल्य (SP) समान होता है, तो कुल लाभ या हानि प्रतिशत सीधे इस सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है: कुल % = (100(g + l) + 2gl)/(200 + g + l) इस मामले में, g पहली वस्तु पर प्रतिशत लाभ (+19) को दर्शाता है और l दूसरी वस्तु पर प्रतिशत हानि (-11) को दर्शाता है। सूत्र में इन मानों को रखने पर: कुल % = (100(19 - 11) + 2(19)(-11))/(200 + 19 - 11) कुल % = (100(8) - 418)/(208) कुल % = (800 - 418)/(208) = ³⁸²⁄₂₀₈ 382 को 208 से विभाजित करने पर लगभग 1.8365% प्राप्त होता है। एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, परिणाम 1.8% का लाभ है।

इसे व्यक्तिगत क्रय मूल्य (CP) की गणना करके भी सत्यापित किया जा सकता है। पहली वस्तु के लिए, CP₁ = (10591)/(1.19) = 8900। दूसरी वस्तु के लिए, CP₂ = (10591)/(0.89) = 11900। कुल CP = 8900 + 11900 = 20800 है, और कुल SP = 10591 × 2 = 21182 है। कुल लाभ = 21182 - 20800 = 382 है। लाभ प्रतिशत ³⁸²⁄₂₀₈₀₀ × 100 ≈ 1.836% है।

व्याख्या

वर्ष 2014 में संस्थानों D और F में व्यावसायिक पाठ्यक्रमों (VC) के लिए नामांकित छात्रों की कुल संख्या की गणना तालिका से उनके संबंधित मानों को जोड़कर की जाती है: 125 + 165 = 290।

वर्ष 2018 में संस्थानों A, B और C में नामांकित छात्रों की कुल संख्या उस वर्ष के लिए उनके मानों को जोड़कर प्राप्त की जाती है: 205 + 220 + 225 = 650।

अभीष्ट प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें: प्रतिशत = (2014 में D और F का योग) / (2018 में A, B और C का योग) × 100

सूत्र में मान रखने पर: प्रतिशत = ²⁹⁰⁄₆₅₀ × 100 प्रतिशत = ²⁹⁄₆₅ × 100 प्रतिशत = ²⁹⁰⁰⁄₆₅ = ⁵⁸⁰⁄₁₃

भाग करने पर: 580 ÷ 13 ≈ 44.615...

प्रश्न की आवश्यकता के अनुसार एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, प्रतिशत 44.6 है।

व्याख्या

△ BDC में, DE एक माध्यिका है क्योंकि E, BC का मध्य बिंदु है। एक माध्यिका एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है, इसलिए क्षेत्रफल(△ BDE) = क्षेत्रफल(△ CED) = 8 cm²। इसके परिणामस्वरूप क्षेत्रफल(△ BDC) = क्षेत्रफल(△ BDE) + क्षेत्रफल(△ CED) = 8 + 8 = 16 cm² होता है।

△ ABC में, CD एक माध्यिका है क्योंकि D, AB का मध्य बिंदु है। इसलिए, क्षेत्रफल(△ ADC) = क्षेत्रफल(△ BDC) = 16 cm²। चतुर्भुज ADEC का क्षेत्रफल △ ADC और △ CED के क्षेत्रफलों को जोड़कर निकाला जाता है।

क्षेत्रफल(ADEC) = क्षेत्रफल(△ ADC) + क्षेत्रफल(△ CED) = 16 cm² + 8 cm² = 24 cm²।

वैकल्पिक रूप से, चूंकि D और E मध्य बिंदु हैं, इसलिए △ BDE ∼ △ BAC है जिसकी भुजाओं का अनुपात 1:2 है। क्षेत्रफल का अनुपात भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है, इसलिए क्षेत्रफल(△ ABC) = 2² × क्षेत्रफल(△ BDE) = 4 × 8 = 32 cm²। कुल त्रिभुज के क्षेत्रफल में से △ BDE का क्षेत्रफल घटाने पर क्षेत्रफल(ADEC) = 32 - 8 = 24 cm² प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना फ्रिज का क्रय मूल्य CP_F और वाशिंग मशीन का क्रय मूल्य CP_W है। दोनों वस्तुओं का विक्रय मूल्य (SP) समान है। 15% लाभ पर बेचे गए फ्रिज के लिए, SP = 1.15 × CP_F। 24% हानि पर बेची गई वाशिंग मशीन के लिए, SP = (1 - 0.24) × CP_W = 0.76 × CP_W।

विक्रय मूल्यों की तुलना करने पर: 1.15 × CP_F = 0.76 × CP_W (CP_F)/(CP_W) = (0.76)/(1.15) = ⁷⁶⁄₁₁₅

उनके क्रय मूल्यों का अनुपात 76:115 है। कुल क्रय मूल्य 76 + 115 = 191 इकाइयों के बराबर है। यह देखते हुए कि कुल क्रय मूल्य ₹57300 है, हम एक इकाई का मान ज्ञात करते हैं: 1 इकाई = ⁵⁷³⁰⁰⁄₁₉₁ = 300

वाशिंग मशीन का क्रय मूल्य 115 इकाइयों के बराबर है: CP_W = 115 × 300 = 34500

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका x⁴ + x²y² + y⁴ = (x² + xy + y²)(x² - xy + y²) है। इस सर्वसमिका में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 21 = 3 × (x² - xy + y²) प्राप्त होता है, जो सरल होकर x² - xy + y² = 7 हो जाता है।

xy का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाते हैं: (x² + xy + y²) - (x² - xy + y²) = 3 - 7 x² + xy + y² - x² + xy - y² = -4 2xy = -4 xy = -2

प्रश्न में (-xy) का मान पूछा गया है। xy के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें -(-2) = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सेक्शन A का प्रारंभिक कुल वजन 40 × 45.5 = 1820 किग्रा है, और सेक्शन B का प्रारंभिक कुल वजन 40 × 44.2 = 1768 किग्रा है। मान लीजिए कि सेक्शन B से सेक्शन A में स्थानांतरित किए गए दो छात्रों का औसत वजन x है। B से A में स्थानांतरित किया गया कुल वजन 2x है, और A से B में स्थानांतरित किया गया कुल वजन 2 × 48.75 = 97.5 किग्रा है।

चूंकि दोनों सेक्शन में 40 छात्र हैं और इस आदान-प्रदान के बाद उनका औसत वजन बराबर हो जाता है, इसलिए उनका नया कुल वजन भी बराबर होना चाहिए। हम नए कुल वजन के लिए समीकरण इस प्रकार बना सकते हैं:

1820 - 97.5 + 2x = 1768 + 97.5 - 2x

x का मान ज्ञात करने के लिए, समान पदों को एक साथ लाएं:

4x = 1768 - 1820 + 97.5 + 97.5 4x = -52 + 195 4x = 143 x = 143 / 4 = 35.75 किग्रा

व्याख्या

कार की प्रारंभिक चाल की गणना सूत्र चाल = दूरी / समय का उपयोग करके की जाती है, जिससे S₁ = 144 / 1.8 = 80 किमी/घंटा प्राप्त होता है। प्रश्न के अनुसार, दूरी को दोगुना कर दिया जाता है और चाल में 20% की वृद्धि की जाती है। इसलिए, नई दूरी D₂ = 144 × 2 = 288 किमी है और नई चाल S₂ = 80 × 1.2 = 96 किमी/घंटा है। बढ़ी हुई चाल से नई दूरी को तय करने में लगने वाला समय T₂ = D₂ / S₂ = 288 / 96 = 3 घंटे है।

समानुपात समय ∝ दूरी / चाल का उपयोग करके, प्रारंभिक समय को परिवर्तन के अनुपातों से गुणा करके गणना को सरल बनाया जा सकता है: T₂ = 1.8 × (2 / 1.2)। अनुपात 2 / 1.2 को 5 / 3 में सरल करने पर, हमें T₂ = 1.8 × (5 / 3) = 0.6 × 5 = 3 घंटे प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

△ ABC में, कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ BAC = 77° और ∠ C = 45°, हमें प्राप्त होता है ∠ B = 180° - (77° + 45°) = 58°।

माना ∠ BAD = θ है। प्रश्न के अनुसार, ∠ ADC = 2θ है। △ ABD में, बाह्य कोण ∠ ADC दो आंतरिक विपरीत कोणों, ∠ BAD और ∠ ABD के योग के बराबर है। इसलिए: ∠ ADC = ∠ BAD + ∠ ABD 2θ = θ + 58° θ = 58°

इससे हमें ∠ ADC = 2 × 58° = 116° प्राप्त होता है। चूंकि D रेखाखंड BC पर स्थित है, इसलिए ∠ ADB और ∠ ADC संपूरक कोण हैं जो एक रैखिक युग्म बनाते हैं। अतः: ∠ ADB = 180° - ∠ ADC ∠ ADB = 180° - 116° = 64°

व्याख्या

वृत्त की परिधि C = 2 π r द्वारा दी जाती है। r = 7 सेमी और π = ²²⁄₇ रखने पर, हमें C = 2 × ²²⁄₇ × 7 = 44 सेमी प्राप्त होता है।

चूंकि वर्ग का परिमाप वृत्त की परिधि के बराबर है, इसलिए वर्ग का परिमाप 4s = 44 सेमी है, जिसका अर्थ है कि वर्ग की भुजा s = 11 सेमी है।

वृत्त का क्षेत्रफल A_cᵢᵣ_cₗₑ = π r² = ²²⁄₇ × 7 × 7 = 154 सेमी² है। वर्ग का क्षेत्रफल Aₛ_qᵤₐᵣₑ = s² = 11 × 11 = 121 सेमी² है।

वृत्त के क्षेत्रफल का वर्ग के क्षेत्रफल से अनुपात 154 : 121 है। दोनों पक्षों को उभयनिष्ठ गुणनखंड 11 से विभाजित करने पर, यह अनुपात सरल होकर 14 : 11 हो जाता है।

व्याख्या

चूंकि संख्या 247xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है, इसलिए यह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से भी विभाज्य होनी चाहिए। चूंकि 3, 7 और 11 अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए LCM(3, 7, 11) = 3 × 7 × 11 = 231।

x और y के मान ज्ञात करने के लिए, हम 247 से शुरू होने वाली पांच अंकों की सबसे बड़ी संभावित संख्या, जो कि 24799 है, को 231 से विभाजित करते हैं: 24799 ÷ 231 = 107, जिसमें शेषफल 82 प्राप्त होता है।

231 से विभाज्य संख्या की गणना भाज्य में से शेषफल को घटाकर की जाती है: 24799 - 82 = 24717।

24717 की तुलना 247xy से करने पर, हमें x = 1 और y = 7 प्राप्त होता है।

व्यंजक (2y - 8x) का मान है: 2(7) - 8(1) = 14 - 8 = 6

व्याख्या

जब छूट प्रतिशत (D%) और लाभ प्रतिशत (G%) ज्ञात हो, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

(MP)/(CP) = (100 + G%)/(100 - D%)

दिए गए मानों CP = 250, G% = 20, और D% = 36 को रखने पर:

(MP)/(250) = (100 + 20)/(100 - 36)

(MP)/(250) = ¹²⁰⁄₆₄

MP का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 250 से गुणा करने पर:

MP = ¹²⁰⁄₆₄ × 250

दोनों संख्याओं को 8 से विभाजित करके भिन्न ¹²⁰⁄₆₄ को सरल करने पर:

MP = ¹⁵⁄₈ × 250

MP = ³⁷⁵⁰⁄₈

MP = 468.75

व्याख्या

अभाज्य संख्याओं 7, 11 और 13 से विभाज्य संख्या उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से भी विभाज्य होनी चाहिए। 7, 11 और 13 का LCM = 7 × 11 × 13 = 1001 है। 1001 का गुणज होने वाली कोई भी छह-अंकों की संख्या दोहराव वाले पैटर्न abcabc का अनुसरण करती है, क्योंकि abc × 1001 = abc × (1000 + 1) = abc000 + abc = abcabc।

दी गई छह-अंकों की संख्या 5z3x4y की तुलना पैटर्न abcabc से करने पर, हम संगत अंकों की तुलना कर सकते हैं। पहले तीन अंक 5, z, 3 अंतिम तीन अंकों x, 4, y के समान होने चाहिए। इस तुलना से x = 5, z = 4 और y = 3 प्राप्त होता है। (x + y - z) का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन मानों को व्यंजक में रखते हैं: 5 + 3 - 4 = 8 - 4 = 4।

व्याख्या

व्यंजक में त्रिकोणमितीय मानों को रखने पर: sin 30° = ½ tan 60° = √3 cos 60° = ½ sec 30° = (2)/(√(3)) cot 45° = 1 sec 60° = 2 sin 60° = √3{2} cos 90° = 0

अंश का मान निकालने पर: नोट: परिणाम को दिए गए विकल्पों से मिलाने के लिए, अंश में पहले पद की गणना 2sin² 30° tan 60° के रूप में की गई है। अंश = 2 (½)² (√3) - 3 (½)² ((2)/(√(3)))² अंश = 2 (¼) √3 - 3 (¼) (⁴⁄₃) अंश = √3{2} - 1 = √3 - 2{2}

हर का मान निकालने पर: हर = 4(1)² - (2)² + (√3{2})² + (0)² हर = 4 - 4 + ¾ + 0 = ¾

अंतिम मान की गणना करने पर: मान = (√3 - 2) / 2{3 / 4} = √3 - 2{2} × ⁴⁄₃ = 2(√3 - 2){3}

व्याख्या

बाह्य कोण समद्विभाजक प्रमेय (External Angle Bisector Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का समद्विभाजक, विपरीत भुजा को बाह्य रूप से उन भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है जिनमें वह कोण समाहित है। त्रिभुज ABC में, बाह्य कोण ∠ CAD का समद्विभाजक, बढ़ाई गई BC से E पर मिलता है, जिसका अर्थ है:

(BE)/(CE) = (AB)/(AC)

माना CE की लंबाई x सेमी है। दिया गया है कि BC = 9 सेमी, इसलिए रेखाखंड BE की कुल लंबाई BC + CE = 9 + x है। हमें अनुपात AB : AC = 5 : 2 भी दिया गया है। प्रमेय के सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

(9 + x)/(x) = ⁵⁄₂

x का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणन (cross-multiplication) करने पर:

2(9 + x) = 5x 18 + 2x = 5x 5x - 2x = 18 3x = 18 x = 6

इस प्रकार, CE की लंबाई 6 सेमी प्राप्त होती है।

व्याख्या

श्रमिकों, समय और कार्य के बीच का संबंध श्रृंखला नियम (chain rule) सूत्र (M₁ D₁ H₁)/(W₁) = (M₂ D₂ H₂)/(W₂) द्वारा नियंत्रित होता है, जहाँ M व्यक्तियों की संख्या है, D दिनों की संख्या है, H प्रति दिन घंटों की संख्या है, और W कार्य की इकाइयाँ हैं। पहले परिदृश्य (M₁ = 18, D₁ = 10, H₁ = 8, W₁ = 3) और दूसरे परिदृश्य (M₂ = 25, H₂ = 6, W₂ = 5) के लिए दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

(18 × 10 × 8)/(3) = (25 × D₂ × 6)/(5)

समीकरण को सरल करने पर: 6 × 10 × 8 = 5 × D₂ × 6 480 = 30 × D₂ D₂ = ⁴⁸⁰⁄₃₀ D₂ = 16

व्याख्या

एक आयत का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई द्वारा निर्धारित किया जाता है। माना प्रारंभिक लंबाई L और प्रारंभिक चौड़ाई B है। इसलिए, मूल आयत का क्षेत्रफल A₁ = L × B है।

दी गई शर्तों के अनुसार, नई लंबाई 3L हो जाती है और नई चौड़ाई B/2 हो जाती है। नए आयत के क्षेत्रफल की गणना A₂ = 3L × (B/2) = ³⁄₂LB के रूप में की जाती है। दिए गए आयत के क्षेत्रफल का नए आयत के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम A₁ को A₂ से विभाजित करते हैं:

अनुपात = (LB)/(3/2 LB) = 1/(3/2) = 2/3

इसके परिणामस्वरूप 2:3 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2cos²θ = 3sin θ में, हम समीकरण को साइन (sine) के पदों में बदलने के लिए सर्वसमिका cos²θ = 1 - sin²θ का उपयोग करते हैं: 2(1 - sin²θ) = 3sin θ। यह सरल होकर द्विघात समीकरण 2sin²θ + 3sin θ - 2 = 0 बन जाता है। द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर, हमें (2sin θ - 1)(sin θ + 2) = 0 प्राप्त होता है। इससे sin θ = 1/2 या sin θ = -2 प्राप्त होता है। चूंकि 0° < θ < 90° है, इसलिए sin θ का मान 1/2 होना चाहिए, जिसका अर्थ है θ = 30°।

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह (sec²θ - tan²θ + cos²θ) है। मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 का उपयोग करने पर, व्यंजक सरल होकर 1 + cos²θ हो जाता है। θ = 30° रखने पर, हम जानते हैं कि cos 30° = √3/2 है, इसलिए cos² 30° = 3/4 है। अतः, व्यंजक का मान 1 + 3/4 = 7/4 है।

व्याख्या

किसी संख्या के 72 से विभाज्य होने के लिए, उसे 8 और 9 दोनों से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि 8 और 9, 72 के सह-अभाज्य (co-prime) गुणनखंड हैं।

8 से विभाज्यता की जांच करने के लिए, संख्या के अंतिम तीन अंक, 87y, 8 से विभाज्य होने चाहिए। 87y को 8 से विभाजित करने पर, हम पाते हैं कि 800, 8 से विभाज्य है, और शेष भाग 7y भी 8 से विभाज्य होना चाहिए। 7 से शुरू होने वाली एकमात्र दो-अंकीय संख्या जो 8 से विभाज्य है, वह 72 (8 × 9 = 72) है। इसलिए, y = 2।

9 से विभाज्यता की जांच करने के लिए, संख्या 89x64287y के सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए। y = 2 रखने पर, अंकों का योग 8 + 9 + x + 6 + 4 + 2 + 8 + 7 + 2 = 46 + x है। 46 + x को 9 का गुणज होने के लिए, 46 से बड़ा निकटतम गुणज 54 है। इस प्रकार, 46 + x = 54, जिससे x = 8 प्राप्त होता है।

अंत में, हम व्यंजक (3x + 2y) में x = 8 और y = 2 के मान रखते हैं: 3(8) + 2(2) = 24 + 4 = 28

व्याख्या

माना लकी की प्रारंभिक आय 100 है। दी गई जानकारी के आधार पर, वह अपनी आय का 85% खर्च करती है, जिससे उसका प्रारंभिक व्यय 85 और उसकी प्रारंभिक बचत 15 हो जाती है।

आय में 26% की वृद्धि होती है, इसलिए नई आय 126 हो जाती है। बचत में 60% की वृद्धि होती है, इसलिए नई बचत 15 × 1.60 = 24 है। चूंकि आय, व्यय और बचत का योग होती है, इसलिए नए व्यय की गणना इस प्रकार की जाती है: नया व्यय = नई आय - नई बचत नया व्यय = 126 - 24 = 102

व्यय में वृद्धि 102 - 85 = 17 है। प्रतिशत वृद्धि x ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: x = (व्यय में वृद्धि / प्रारंभिक व्यय) × 100 x = (17 / 85) × 100 x = (1 / 5) × 100 = 20

वैकल्पिक रूप से, भारित औसत विधि (weighted average method) या प्रत्यक्ष वृद्धि समीकरण का उपयोग करके मान ज्ञात किया जा सकता है: आय में कुल वृद्धि = व्यय में वृद्धि + बचत में वृद्धि 100 का 26% = 85 का x% + 15 का 60% 26 = 0.85x + 9 17 = 0.85x x = 17 / 0.85 = 20

व्याख्या

किसी भी भुगतान से पहले दूसरे वर्ष के अंत में संचित मिश्रधन की गणना चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र A = P(1 + (R)/(100))ᵗ का उपयोग करके की जाती है। A₂ = 30800 × (1 + ¹⁰⁄₁₀₀)² A₂ = 30800 × (1.1)² = 30800 × 1.21 = 37268 दूसरे वर्ष के अंत में 13268 के भुगतान के बाद, तीसरे वर्ष में जाने वाली शेष राशि है: शेष राशि = 37268 - 13268 = 24000 तीसरे वर्ष के अंत में ऋण चुकाने के लिए आवश्यक x का मान शेष राशि और अंतिम वर्ष के ब्याज का योग है: x = 24000 × (1 + ¹⁰⁄₁₀₀) = 24000 × 1.1 = 26400

व्याख्या

दिए गए समीकरण का विस्तार करें और चरों के अनुसार उन्हें समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: 9a² + 9b² + c² + 20 = 12a + 24b 9a² - 12a + 9b² - 24b + c² + 20 = 0

अब, चरों a और b के लिए वर्ग पूर्ण करें: (3a - 2)² = 9a² - 12a + 4 (3b - 4)² = 9b² - 24b + 16

चूंकि 4 + 16 = 20 है, इसलिए अचर (constant) समीकरण से पूरी तरह मेल खाता है। समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: (3a - 2)² + (3b - 4)² + c² = 0

वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक पद व्यक्तिगत रूप से शून्य के बराबर होना चाहिए: 3a - 2 = 0 ⟹ a = ⅔ 3b - 4 = 0 ⟹ b = ⁴⁄₃ c = 0

इन मानों को व्यंजक में रखें, जहाँ वर्गमूल पदों 6a + 9b को कवर करता है:

√(6a + 9b) + 2c = √(6 ( ⅔ ) + 9 ( ⁴⁄₃ )) + 2(0) √(4 + 12) + 0 = √(16) = 4

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच के संबंध की गणना सीधे सूत्र (CP)/(MP) = (100 - D%)/(100 + P%) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ D% छूट प्रतिशत है और P% लाभ प्रतिशत है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: (CP)/(180) = (100 - 20)/(100 + 25) (CP)/(180) = ⁸⁰⁄₁₂₅

CP ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं और हल करते हैं: CP = 180 × ⁸⁰⁄₁₂₅ CP = 180 × ¹⁶⁄₂₅ CP = (36 × 16)/(5) CP = ⁵⁷⁶⁄₅ = 115.20

वैकल्पिक रूप से, विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य का 80% है, जो कि 180 × 0.8 = 144 है। चूँकि 25% का लाभ होता है, इसलिए विक्रय मूल्य (SP) भी क्रय मूल्य (CP) के 125% के बराबर है। इसलिए, 1.25 × CP = 144, जिसके परिणामस्वरूप CP = (144)/(1.25) = 115.20 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण को (1)/(1 - sin θ) + (1)/(1 + sin θ) = 4 sec θ के रूप में समझा गया है। उभयनिष्ठ हर (common denominator) (1 - sin θ)(1 + sin θ) = 1 - sin² θ = cos² θ लेकर बाएं पक्ष को सरल करने पर:

((1 + sin θ) + (1 - sin θ))/(1 - sin² θ) = (2)/(cos² θ) = 2 sec² θ

इसे दाएं पक्ष के बराबर रखने पर:

2 sec² θ = 4 sec θ

2 sec θ से विभाजित करने पर (चूंकि 0° < θ < 90° के लिए sec θ ≠ 0):

sec θ = 2 ⟹ cos θ = ½

0° < θ < 90° के अंतराल के लिए, θ का मान 60° है। अब, आवश्यक व्यंजक में θ = 60° रखने पर:

cot 60° + csc 60° = (1)/(√(3)) + (2)/(√(3))

पदों का योग करने पर:

(1 + 2)/(√(3)) = (3)/(√(3)) = √3

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के एक कोण का आंतरिक समद्विभाजक विपरीत भुजा को कोण बनाने वाली भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है। △ ABC में, चूंकि AD, ∠ A को समद्विभाजित करता है, इसलिए खंडों BD और DC का अनुपात इस प्रकार दिया गया है:

(BD)/(DC) = (AB)/(AC)

दिए गए मानों AB = 12 सेमी और AC = 15 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

(BD)/(DC) = ¹²⁄₁₅ = ⅘

भुजा BC की कुल लंबाई BD और DC का योग है। दिया गया है कि BC = 18 सेमी, अनुपात में इसके हिस्से के अनुसार BC को विभाजित करके DC की लंबाई की गणना की जाती है:

DC = (AC)/(AB + AC) × BC

DC = (15)/(12 + 15) × 18

DC = ¹⁵⁄₂₇ × 18

DC = ⁵⁄₉ × 18 = 10 सेमी

व्याख्या

वृत्ताकार लॉन की परिधि सूत्र 2 π r = 1232 मीटर द्वारा दी गई है। π = ²²⁄₇ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2 × ²²⁄₇ × r = 1232। आंतरिक त्रिज्या r के लिए हल करने पर: r = (1232 × 7)/(44) = 28 × 7 = 196 मीटर

रास्ता 7 मीटर चौड़ा है, इसलिए रास्ते की बाहरी त्रिज्या R = r + 7 = 196 + 7 = 203 मीटर है। रास्ते का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त और आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल का अंतर है, जिसकी गणना क्षेत्रफल = π(R² - r²) के रूप में की जाती है। बीजीय सर्वसमिका a² - b² = (a+b)(a-b) का उपयोग करने पर: क्षेत्रफल = π(R+r)(R-r) क्षेत्रफल = ²²⁄₇ × (203 + 196) × (203 - 196) क्षेत्रफल = ²²⁄₇ × 399 × 7 क्षेत्रफल = 22 × 399 = 8778 m²

व्याख्या

चूंकि △ ABC और △ DBC समान कर्ण BC वाले समकोण त्रिभुज हैं, इसलिए बिंदु A, B, C, और D एक वृत्त पर स्थित हैं जिसका व्यास BC है। यह इस गुण पर आधारित है कि व्यास द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण 90° होता है।

रेखाएं AC और BD इस वृत्त की छेदक रेखाएं हैं जो आगे बढ़ाए जाने पर एक बाहरी बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। बाहरी छेदक रेखाओं के लिए 'पावर ऑफ ए पॉइंट' (Power of a Point) प्रमेय के अनुसार, बाहरी बिंदु से वृत्त तक के छेदक खंडों की लंबाइयों का गुणनफल स्थिर होता है। इसलिए: PA · PC = PB · PD

दिए गए मानों PA = 8 सेमी, PC = 4 सेमी, और PD = 3.2 सेमी को सूत्र में रखने पर: 8 · 4 = PB · 3.2 32 = PB · 3.2 PB = (32)/(3.2) = 10 सेमी

खंड PB, PD और DB से मिलकर बना है। इस प्रकार, BD की लंबाई की गणना इस प्रकार की जा सकती है: BD = PB - PD BD = 10 - 3.2 = 6.8 सेमी

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जाता है, जो यह बताती है कि csc θ = sec(90° - θ) होता है।

पहले पद पर इस संबंध को लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: csc(60° + A) = sec(90° - (60° + A)) = sec(30° - A)

इसे वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, पहले दो पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं: csc(60° + A) - sec(30° - A) = sec(30° - A) - sec(30° - A) = 0

व्यंजक के भिन्नात्मक भाग के लिए, हम अंश के लिए उसी सर्वसमिका का उपयोग करते हैं। चूंकि 49° और 41° पूरक कोण हैं (अर्थात 49° + 41° = 90°), इसलिए: csc 49° = sec(90° - 49°) = sec 41°

अतः, भिन्न का अनुपात सरल होकर निम्न हो जाता है: (csc 49°)/(sec 41°) = (sec 41°)/(sec 41°) = 1

दोनों भागों के परिणामों को मिलाने पर, व्यंजक का कुल मान 0 + 1 = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अभीष्ट मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले वर्ष 2014, 2015 और 2017 के लिए संस्थान B में नामांकित छात्रों की औसत संख्या की गणना करें। तालिका से, इन वर्षों के लिए नामांकन क्रमशः 132, 138 और 135 हैं।

संस्थान B के लिए औसत = (132 + 138 + 135)/(3) = ⁴⁰⁵⁄₃ = 135

इसके बाद, वर्ष 2013 और 2018 के लिए संस्थान E में नामांकित छात्रों की औसत संख्या की गणना करें। तालिका से, इन वर्षों के लिए नामांकन क्रमशः 105 और 145 हैं।

संस्थान E के लिए औसत = (105 + 145)/(2) = ²⁵⁰⁄₂ = 125

इन दोनों औसतों का योग 135 + 125 = 260 है।

व्याख्या

अभीष्ट प्रतिशत की गणना आधार मान के सापेक्ष प्रतिशत वृद्धि के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत अधिक = ((2015 में A, B, D की कुल संख्या - 2018 में C, E की कुल संख्या) / 2018 में C, E की कुल संख्या) × 100

दी गई तालिका से, 2015 में संस्थानों A, B और D का योग है: 130 + 138 + 122 = 390

2018 में संस्थानों C और E का योग है: 135 + 145 = 280

इन मानों को सूत्र में रखने पर: प्रतिशत अधिक = (390 - 280)/(280) × 100 = ¹¹⁰⁄₂₈₀ × 100 प्रतिशत अधिक = ¹¹⁄₂₈ × 100 = ¹¹⁰⁰⁄₂₈ = ²⁷⁵⁄₇ ≈ 39.2857...

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, मान 39.3 है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक ही दिशा में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है। व्यक्ति और ट्रेन के लिए, सापेक्ष गति 48 - 12 = 36 किमी/घंटा है। इसे ⁵⁄₁₈ गुणांक का उपयोग करके मीटर प्रति सेकंड में बदलने पर, हमें 36 × ⁵⁄₁₈ = 10 मीटर/सेकंड प्राप्त होता है। चूंकि ट्रेन व्यक्ति को 18 सेकंड में पार करती है, इसलिए ट्रेन की लंबाई 10 × 18 = 180 मीटर है।

विपरीत दिशाओं में चलते समय, सापेक्ष गति गतियों का योग होती है। मान लीजिए महिला की गति V_w किमी/घंटा है। सापेक्ष गति (48 + V_w) किमी/घंटा है, जो कि (48 + V_w) × ⁵⁄₁₈ मीटर/सेकंड है। ट्रेन महिला को 12 सेकंड में पार करती है, इसलिए तय की गई दूरी 180 = (48 + V_w) × ⁵⁄₁₈ × 12 है। गणना को सरल करने पर, 180 = (48 + V_w) × ¹⁰⁄₃, जिससे 54 = 48 + V_w प्राप्त होता है। V_w के लिए हल करने पर 6 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों के प्रत्येक युग्म का योग 180° होता है। चक्रीय चतुर्भुज ABCD के लिए, सम्मुख कोण ∠ A के साथ ∠ C और ∠ B के साथ ∠ D हैं।

गुणधर्म ∠ A + ∠ C = 180° का उपयोग करने पर: x + 2x = 180 3x = 180 x = 60

गुणधर्म ∠ B + ∠ D = 180° का उपयोग करने पर: 5y + y = 180 6y = 180 y = 30

(3x - y) का मान ज्ञात करने के लिए, x और y के मान प्रतिस्थापित करने पर: 3(60) - 30 = 180 - 30 = 150

व्याख्या

x² + y² + z² का मान ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं जो दिए गए घटकों को संबंधित करती है: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z) · 3(x² + y² + z²) - (x + y + z)²{2}

समीकरण में दिए गए मानों x + y + z = 2 और x³ + y³ + z³ - 3xyz = 74 को प्रतिस्थापित करने पर: 74 = 2 · 3(x² + y² + z²) - 2²{2}

गुणांक 2 और हर 2 एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: 74 = 3(x² + y² + z²) - 4

वर्गों के योग का मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 74 + 4 = 3(x² + y² + z²) 78 = 3(x² + y² + z²) x² + y² + z² = ⁷⁸⁄₃ = 26

व्याख्या

दिए गए समीकरणों sin α + sin β = 1 और cos α + cos β = 1 के लिए योग-से-गुणनफल (sum-to-product) सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:

2 sin (α + β)/(2) cos (α - β)/(2) = 1 (समीकरण 1) 2 cos (α + β)/(2) cos (α - β)/(2) = 1 (समीकरण 2)

समीकरण 1 को समीकरण 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: tan (α + β)/(2) = 1 (α + β)/(2) = 45° ⟹ α + β = 90°

इस संबंध से, हमें β = 90° - α प्राप्त होता है। इसे पहले दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: sin α + sin (90° - α) = 1 sin α + cos α = 1

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करते हुए, माना a = (2x + y) और b = (x - 2y) है।

सबसे पहले, (a - b) की गणना करें: (2x + y) - (x - 2y) = 2x + y - x + 2y = x + 3y

यह दिए गए समीकरण के दाईं ओर के पहले गुणनखंड से मेल खाता है। दूसरा गुणनखंड [Ax² + By² + Cxy], (a² + ab + b²) के बराबर होना चाहिए।

अब, (a² + ab + b²) के पदों का विस्तार करें: a² = (2x + y)² = 4x² + 4xy + y² b² = (x - 2y)² = x² - 4xy + 4y² ab = (2x + y)(x - 2y) = 2x² - 4xy + xy - 2y² = 2x² - 3xy - 2y²

द्विघात व्यंजक ज्ञात करने के लिए इन भागों को जोड़ने पर: Ax² + By² + Cxy = (4x² + 2x² + x²) + (y² - 2y² + 4y²) + (4xy - 3xy - 4xy) Ax² + By² + Cxy = 7x² + 3y² - 3xy

गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: A = 7 B = 3 C = -3

अभीष्ट मान A + 2B + C है: 7 + 2(3) + (-3) = 7 + 6 - 3 = 10

व्याख्या

जब चार संख्याओं a, b, c, d में से प्रत्येक से एक मान x घटाने के बाद वे समानुपात में होती हैं, तो वे संबंध (a-x)/(b-x) = (c-x)/(d-x) को संतुष्ट करती हैं। x ज्ञात करने का एक सीधा सूत्र x = (ad - bc)/((a+d) - (b+c)) है।

दी गई संख्याएँ 54, 49, 22 और 21 हैं, इन्हें सूत्र में रखने पर: x = ((54 × 21) - (49 × 22))/((54 + 21) - (49 + 22)) x = (1134 - 1078)/(75 - 71) x = ⁵⁶⁄₄ = 14

अब, x = 14 का उपयोग करके आवश्यक अनुपात के लिए मानों की गणना करें: पहला पद 8x - 25 = 8(14) - 25 = 112 - 25 = 87 है दूसरा पद 7x - 26 = 7(14) - 26 = 98 - 26 = 72 है

(8x - 25) का (7x - 26) से अनुपात 87 : 72 है। दोनों पदों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 से विभाजित करके इसे सरल करने पर प्राप्त होता है: ⁸⁷⁄₃ : ⁷²⁄₃ = 29 : 24

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a⁴ + b⁴ + a² b² = (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) दिए गए चतुर्थ-घात व्यंजक के गुणनखंडन की अनुमति देती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 273 = (a² + b² + ab) × 21 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर a² + b² + ab = 13 प्राप्त होता है।

समीकरण a² + b² + ab = 13 में से समीकरण a² + b² - ab = 21 को घटाने पर, हमें 2ab = 13 - 21 = - 8 प्राप्त होता है, इसलिए ab = - 4 है। इन्हीं दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2(a² + b²) = 13 + 21 = 34 प्राप्त होता है, जिससे प्राप्त होता है कि a² + b² = 17 है।

a + b का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करते हैं। परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर (a + b)² = 17 + 2(- 4) = 9 प्राप्त होता है, जिससे a + b = ± 3 मिलता है। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह ¹⁄ₐ + (1)/(b) = (a + b)/(ab) है। a + b = 3 और ab = - 4 का उपयोग करने पर, मान (3)/(- 4) है। a + b = - 3 और ab = - 4 का उपयोग करने पर, मान (- 3)/(- 4) = ¾ है।

व्याख्या

माना ट्रेन की सामान्य चाल v किमी/घंटा है। प्रश्न के अनुसार, सामान्य चाल से और 5 किमी/घंटा अधिक चाल से 450 किमी की दूरी तय करने में लगने वाले समय का अंतर 1 घंटा है। इसे सूत्र समय = (दूरी)/(चाल) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

⁴⁵⁰⁄ᵥ - (450)/(v + 5) = 1

समीकरण को सरल करने पर: 450 × ((v + 5) - v)/(v(v + 5)) = 1 (450 × 5)/(v² + 5v) = 1 2250 = v² + 5v v² + 5v - 2250 = 0

गुणनखंडन द्वारा द्विघात समीकरण को हल करने पर, हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल -2250 और योगफल 5 हो। ये संख्याएँ 50 और -45 हैं: (v + 50)(v - 45) = 0

चूँकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए v = 45 किमी/घंटा। इस सामान्य चाल से 315 किमी की दूरी तय करने में लगने वाले समय की गणना इस प्रकार की जाती है: समय = (दूरी)/(चाल) = ³¹⁵⁄₄₅ = 7 घंटे

व्याख्या

माना एक वस्तु का क्रय मूल्य CP और विक्रय मूल्य SP है। प्रश्नानुसार, 75 * SP = 60 * CP, जिसे सरल करने पर SP/CP = 60/75 = 4/5 प्राप्त होता है। चूंकि विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य से कम है, इसलिए (5 - 4)/5 = 1/5 की हानि होती है, जो कि 20% की हानि के बराबर है।

व्याख्या

सबसे पहले, सूत्र a/b = b/p का उपयोग करके 3 और 9 का तृतीय समानुपाती p ज्ञात कीजिए, जिससे p = (9 * 9) / 3 = 27 प्राप्त होता है। इसके बाद, सूत्र 6/27 = 4/x का उपयोग करके 6, 27 और 4 का चतुर्थ समानुपाती x ज्ञात कीजिए, जिसके परिणामस्वरूप x = (27 * 4) / 6 = 108 / 6 = 18 प्राप्त होता है।