एसएससी सीजीएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

ट्रेन सुबह 8 बजे से दोपहर 12 बजे के बीच स्टेशन A से B तक यात्रा करती है, जिसमें 4 घंटे का समय लगता है। कार सुबह 8:30 बजे से दोपहर 12 बजे के बीच स्टेशन B से A तक यात्रा करती है, जिसमें 3.5 घंटे या 7/2 घंटे का समय लगता है। माना A और B के बीच की दूरी D है।

ट्रेन की गति v_T = D/4 है और कार की गति v_C = D/(7/2) = 2D/7 है।

माना उनके मिलने का समय सुबह 8 बजे के t घंटे बाद है। इस समय तक, ट्रेन ने t घंटे तक यात्रा की है और कार ने (t - 0.5) घंटे तक यात्रा की है, क्योंकि यह सुबह 8:30 बजे शुरू हुई थी। मिलने के बिंदु पर ट्रेन और कार द्वारा तय की गई दूरियों का योग कुल दूरी D के बराबर है:

v_T · t + v_C · (t - 0.5) = D

गतियों का मान रखने पर: (D/4)t + (2D/7)(t - 0.5) = D

संपूर्ण समीकरण को D से विभाजित करने पर: t/4 + (2/7)(t - 0.5) = 1 t/4 + 2t/7 - 1/7 = 1 (7t + 8t)/28 = 1 + 1/7 15t/28 = 8/7 t = (8/7) · (28/15) = 32/15 घंटे

32/15 घंटे को घंटे और मिनट में बदलने पर: 32/15 = 2 घंटे और 2/15 घंटे 2/15 घंटे = (2/15) · 60 मिनट = 8 मिनट

मिलने का समय सुबह 8 बजे के 2 घंटे और 8 मिनट बाद है, जो कि सुबह 10:08 बजे है।

व्याख्या

△ ABF में, चूँकि DE ∥ AF है, हम आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) का उपयोग करके प्राप्त करते हैं कि (BD)/(DA) = (BE)/(EF)। माना EF = x है। दिए गए मान BE = 4 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (BD)/(DA) = 4/x प्राप्त होता है।

△ ABC में, चूँकि DF ∥ AC है, आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से हमें (BD)/(DA) = (BF)/(FC) प्राप्त होता है। रेखाखंड BF, BE और EF का योग है, इसलिए BF = 4 + x। दिया गया है कि CF = 3, इसलिए हमें (BD)/(DA) = (4 + x)/(3) प्राप्त होता है।

(BD)/(DA) के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: 4/x = (4 + x)/(3) 12 = x(4 + x) x² + 4x - 12 = 0 (x + 6)(x - 2) = 0

चूँकि लंबाई x का मान धनात्मक होना चाहिए, इसलिए x = 2। अतः, EF की लंबाई 2 सेमी है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य A और B द्वारा लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(15, 10) = 30 इकाई है।

A की कार्यक्षमता 30 / 15 = 2 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 30 / 10 = 3 इकाई प्रति दिन है। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 2 + 3 = 5 इकाई प्रति दिन है। पहले 4 दिनों में, वे 5 × 4 = 20 इकाई कार्य पूरा करते हैं।

शेष कार्य 30 - 20 = 10 इकाई है। यह शेष कार्य A और C द्वारा मिलकर 3 दिनों में पूरा किया जाता है। इसलिए, उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 10 / 3 इकाई प्रति दिन है। इसमें से A की कार्यक्षमता घटाने पर C की कार्यक्षमता प्राप्त होती है: E_C = ¹⁰⁄₃ - 2 = ⁴⁄₃ इकाई प्रति दिन।

प्रश्न में C द्वारा कुल कार्य का 40% पूरा करने में लगने वाला समय पूछा गया है। वांछित कार्य = 30 का 40% = 0.4 × 30 = 12 इकाई। C द्वारा लिया गया समय = (वांछित कार्य)/(C की कार्यक्षमता) = (12)/(4/3) = (12 × 3)/(4) = 9 दिन।

व्याख्या

सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sin θ और cos θ में बदलकर इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है।

सबसे पहले, पद (cot³ θ)/(csc² θ) को सरल करें: (cot³ θ)/(csc² θ) = (cos³ θ)/(sin³ θ) · sin² θ = (cos³ θ)/(sin θ)

इसके बाद, पद (tan³ θ)/(sec² θ) को सरल करें: (tan³ θ)/(sec² θ) = (sin³ θ)/(cos³ θ) · cos² θ = (sin³ θ)/(cos θ)

इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (cos³ θ)/(sin θ) + (sin³ θ)/(cos θ) + 2sin θ cos θ

सभी पदों के लिए उभयनिष्ठ हर sin θ cos θ लेने पर: (cos⁴ θ + sin⁴ θ + 2sin² θ cos² θ)/(sin θ cos θ)

अंश a² + b² + 2ab के रूप में है, जहाँ a = sin² θ और b = cos² θ: ((sin² θ + cos² θ)²)/(sin θ cos θ)

मूलभूत सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर: (1²)/(sin θ cos θ) = (1)/(sin θ) · (1)/(cos θ)

व्युत्क्रम सर्वसमिकाओं (1)/(sin θ) = csc θ और (1)/(cos θ) = sec θ को लागू करने पर: csc θ sec θ

व्याख्या

कोई संख्या 88 से विभाज्य तब होती है जब वह 8 और 11 दोनों से एक साथ विभाज्य हो, क्योंकि 8 और 11 सह-अभाज्य (coprime) हैं।

संख्या 7p5964q28 के 8 से विभाज्य होने के लिए, इसके अंतिम तीन अंक q28, 8 से विभाज्य होने चाहिए। q के संभावित एकल-अंकीय मानों की जाँच करने पर, हम पाते हैं कि 128, 328, 528, 728 और 928 सभी 8 से विभाज्य हैं। चूँकि प्रश्न में q के सबसे बड़े मान को निर्दिष्ट किया गया है, इसलिए हम q = 9 लेते हैं।

अब, संख्या 7p5964928 के 11 से विभाज्य होने के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। विषम स्थानों पर अंकों का योग (दाहिनी ओर से): 8 + 9 + 6 + 5 + 7 = 35 सम स्थानों पर अंकों का योग (दाहिनी ओर से): 2 + 4 + 9 + p = 15 + p अंतर: 35 - (15 + p) = 20 - p

20 - p के 11 का गुणज होने के लिए, जहाँ p एक एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्या है, एकमात्र संभावित मान 20 - p = 11 है, जिससे p = 9 प्राप्त होता है।

वांछित व्यंजक में p = 9 और q = 9 का मान रखने पर: p² - q = 9² - 9 = 81 - 9 = 72

व्याख्या

अधिकतम रोपे गए पेड़ों वाले वर्ष का पता लगाने के लिए, हम तालिका में दिए गए प्रत्येक वर्ष के लिए सभी चारों शहरों में पेड़ों की संख्या के योग की गणना करते हैं। 2016 के लिए कुल योग 1800 + 2500 + 1800 + 2000 = 8100 है। 2017 के लिए कुल योग 2500 + 2300 + 1850 + 1800 = 8450 है। 2018 के लिए कुल योग 2300 + 2400 + 1840 + 1760 = 8300 है। 2019 के लिए कुल योग 2440 + 1950 + 1900 + 1600 = 7890 है। 2020 के लिए कुल योग 2250 + 2100 + 2000 + 1750 = 8100 है। इन वार्षिक योगों की तुलना करने पर, मान 8450 सबसे अधिक है, जो वर्ष 2017 से संबंधित है।

व्याख्या

अरशद को कुल मतों का 35% प्राप्त हुआ। चमनी को प्रत्येक 35 मतों में से 14 मत मिले, जो प्रतिशत के रूप में ¹⁴⁄₃₅ × 100 = ⅖ × 100 = 40% है। चूंकि डाले गए सभी मत वैध थे और तीन उम्मीदवारों के बीच विभाजित थे, इसलिए जगजीत सिंह को प्राप्त मतों का प्रतिशत 100% - (35% + 40%) = 25% है।

तीनों उम्मीदवारों की तुलना करने पर, चमनी 40% मतों के साथ विजेता है और जगजीत सिंह को सबसे कम 25% मत प्राप्त हुए हैं। उनके मतों के हिस्से के बीच का अंतर 40% - 25% = 15% है। यह देखते हुए कि यह अंतर 4950 मतों के बराबर है, कुल मतों की संख्या V की गणना 'V का 15% = 4950' संबंध का उपयोग करके की जा सकती है।

V के लिए हल करने पर: V = (4950 × 100)/(15) V = 330 × 100 = 33000

व्याख्या

कोण ∠ ACD और ∠ ABD दोनों वृत्त की परिधि पर एक ही चाप AD द्वारा अंतरित हैं। इसलिए, ∠ ABD = ∠ ACD = 25° है। चूंकि AB एक व्यास है, इसलिए परिधि पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण एक समकोण होता है, जिसका अर्थ है कि ∠ ADB = 90° है।

त्रिभुज △ ABD में, अंतः कोणों का योग 180° होता है। इस प्रकार, हम ∠ DAB की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं: ∠ DAB = 180° - (∠ ADB + ∠ ABD) = 180° - (90° + 25°) = 65°

बिंदु A, D, E, और B वृत्त पर स्थित हैं। यह देखते हुए कि E लघु चाप BD पर है, शीर्ष A, D, E, और B इसी क्रम में एक चक्रीय चतुर्भुज बनाते हैं। किसी भी चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। कोण ∠ DAB और कोण ∠ BED चक्रीय चतुर्भुज ADEB में सम्मुख कोण हैं। परिणामस्वरूप: ∠ BED = 180° - ∠ DAB = 180° - 65° = 115°

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के लिए, एकल समतुल्य छूट की गणना सूत्र D = d₁ + d₂ - d₁ × d₂/100 का उपयोग करके की जाती है। इस स्थिति में, A, B और C के लिए छूटों का योग समान है: 20 + 20 = 40, 25 + 15 = 40, और 30 + 10 = 40। चूंकि योग स्थिर है, इसलिए अधिकतम छूट तब प्राप्त होती है जब गुणनफल d₁ × d₂ सबसे छोटा होता है।

गुणनफलों की तुलना करने पर: A के लिए, 20 × 20 = 400; B के लिए, 25 × 15 = 375; और C के लिए, 30 × 10 = 300। दुकानदार C अधिकतम छूट देता है क्योंकि तीनों में 300 सबसे छोटा गुणनफल है। C के लिए समतुल्य छूट प्रतिशत 30 + 10 - ³⁰⁰⁄₁₀₀ = 37% है। छूट की राशि अंकित मूल्य का 37% है: 4820 × ³⁷⁄₁₀₀ = 48.2 × 37 = 1783.40।

व्याख्या

सिक्कों की कुल संख्या 72 दी गई है, जो क्रमशः ₹1, ₹2, ₹5 और ₹10 के मूल्यवर्ग के लिए 10 : 5 : 2 : 1 के अनुपात में वितरित हैं। माना सिक्कों की संख्या के लिए सामान्य गुणक x है। अनुपातों का योग 10 + 5 + 2 + 1 = 18 है। चूंकि सिक्कों की कुल संख्या 72 है, इसलिए हमारे पास 18x = 72 है, जिससे x = 4 प्राप्त होता है।

गुल्लक में कुल राशि का मूल्य प्रत्येक मूल्यवर्ग और उसकी संबंधित संख्या के गुणनफलों का योग है। मूल्य V की गणना इस प्रकार की जाती है: V = (1 × 10x) + (2 × 5x) + (5 × 2x) + (10 × 1x) V = 10x + 10x + 10x + 10x = 40x

समीकरण में x = 4 का मान रखने पर: V = 40 × 4 = 160

प्रत्येक मूल्यवर्ग कुल राशि में ठीक ₹40 का योगदान देता है, जिसके परिणामस्वरूप कुल राशि ₹160 होती है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में, प्रत्येक वर्ष अर्जित ब्याज समान रहता है। 5 वर्ष और 3 वर्ष के बाद के मिश्रधनों के बीच का अंतर 2 वर्षों के साधारण ब्याज को दर्शाता है।

2 वर्षों का साधारण ब्याज = 16800 - 14880 = 1920 1 वर्ष का साधारण ब्याज = ¹⁹²⁰⁄₂ = 960 3 वर्षों का साधारण ब्याज = 960 × 3 = 2880

मूलधन (P) की गणना 3 वर्ष के बाद के मिश्रधन में से 3 वर्ष का ब्याज घटाकर की जा सकती है: P = 14880 - 2880 = 12000

अब, हमें उसी धनराशि पर 10% वार्षिक दर से 4 वर्षों का साधारण ब्याज ज्ञात करना है। सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करने पर: SI = (12000 × 10 × 4)/(100) = 120 × 40 = 4800

व्याख्या

किसी बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के गुण के अनुसार, स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। बिंदु A से, स्पर्श रेखाएं AB और AC बराबर हैं, इसलिए AB = AC = 11 सेमी। इसी प्रकार, बिंदु P से, रेखाखंड PB और PR वृत्त की स्पर्श रेखाएं हैं, जिसका अर्थ है PB = PR। बिंदु Q से, रेखाखंड QC और QR स्पर्श रेखाएं हैं, जिसका अर्थ है QC = QR। PB की लंबाई की गणना AB - AP = 11 - 7 = 4 सेमी के रूप में की जाती है। इसलिए, PR = 4 सेमी। QC की लंबाई की गणना AC - AQ = 11 - 9 = 2 सेमी के रूप में की जाती है। इसलिए, QR = 2 सेमी। रेखाखंड PQ की कुल लंबाई रेखाखंडों PR और RQ का योग है, जिससे PQ = PR + QR = 4 + 2 = 6 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

गेहूं के एक शंक्वाकार ढेर को ढकने के लिए आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) के बराबर होता है। दिया गया है कि त्रिज्या r = 4.2 मीटर और ऊंचाई h = 1.75 मीटर है, तिर्यक ऊंचाई l की गणना इस प्रकार की जाती है: √(4.2² + 1.75²) = √20.7025 = 4.55 मीटर। कैनवास का क्षेत्रफल πrl = (22/7) × 4.2 × 4.55 = 60.06 मीटर² है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2sin (3x - 15)° = 1 को सरल करने पर हमें sin (3x - 15)° = 1/2 प्राप्त होता है। चूंकि sin 30° = 1/2 है और प्रश्न में निर्दिष्ट है कि कोण प्रथम चतुर्थांश में है, इसलिए हम 3x - 15 = 30 रखते हैं। x के लिए हल करने पर, हमें 3x = 45 प्राप्त होता है, इसलिए x = 15।

अब, व्यंजक cos² (2x + 15)° + cot² (x + 15)° में x = 15 प्रतिस्थापित करने पर: cos² (2 × 15 + 15)° + cot² (15 + 15)° = cos² 45° + cot² 30°

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर, जहाँ cos 45° = 1/√2 और cot 30° = √3 है, गणना इस प्रकार होगी: (1/√2)² + (√3)² = 1/2 + 3 = 7/2

व्याख्या

लेनदेन का कुल क्रय मूल्य 10000 + 5000 = 15000 है। पूरे लेनदेन पर 10% का लाभ प्राप्त करने के लिए, लक्षित कुल लाभ 0.10 × 15000 = 1500 है।

कंप्यूटर टेबल को 8% पर बेचने से अर्जित लाभ 0.08 × 10000 = 800 है। कुल लक्ष्य को पूरा करने के लिए, सेंटर टेबल से आवश्यक लाभ 1500 - 800 = 700 है। सेंटर टेबल के लिए आवश्यक लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: ⁷⁰⁰⁄₅₀₀₀ × 100 = 14%।

इसे भारित औसत (weighted average) विधि का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है। कंप्यूटर टेबल और सेंटर टेबल के क्रय मूल्य का अनुपात 10000:5000 है, जो सरल होकर 2:1 हो जाता है। मान लीजिए कि सेंटर टेबल के लिए आवश्यक लाभ प्रतिशत x है। कुल लाभ के लिए समीकरण है: (2 × 8 + 1 × x)/(2 + 1) = 10 16 + x = 30 x = 14%

व्याख्या

△ ABC में, चूँकि DE ∥ AB है जहाँ D और E क्रमशः भुजाओं AC और BC पर स्थित बिंदु हैं, इसलिए AA समरूपता कसौटी के अनुसार △ CDE, △ CAB के समरूप है। आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय और समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार, भुजाओं के खंड आनुपातिक होते हैं। विशेष रूप से, एक भुजा पर समांतर रेखा से शीर्ष तक के खंड का उस भुजा की कुल लंबाई से अनुपात, दूसरी भुजा पर संगत अनुपात के बराबर होना चाहिए:

(AD)/(AC) = (BE)/(BC)

इस आनुपातिकता संबंध में दिए गए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:

(x - 3)/(2x) = (x - 2)/(2x + 3)

x का मान ज्ञात करने के लिए, पदों का तिर्यक-गुणन (cross-multiply) करें:

(x - 3)(2x + 3) = 2x(x - 2)

समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:

2x² + 3x - 6x - 9 = 2x² - 4x 2x² - 3x - 9 = 2x² - 4x

दोनों पक्षों से 2x² घटाने और सरल करने पर:

-3x - 9 = -4x 4x - 3x = 9 x = 9

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, एक वर्ष के अंत में प्राप्त मिश्रधन अगले वर्ष के लिए मूलधन के रूप में कार्य करता है। इसलिए, तीसरे वर्ष में अर्जित ब्याज, तीसरे वर्ष और दूसरे वर्ष के अंत में प्राप्त मिश्रधनों का अंतर है।

तीसरे वर्ष का ब्याज = 314928 - 291600 = 23328

वार्षिक ब्याज दर r की गणना इस प्रकार की जाती है: r = (A₃ - A₂)/A₂ × 100 = 23328/291600 × 100 = 8%

8% की समान दर पर 2 वर्षों के लिए ₹40000 के मूलधन पर साधारण ब्याज (SI) का सूत्र इस प्रकार है: SI = (P × r × t)/(100) SI = (40000 × 8 × 2)/(100) = 400 × 16 = 6400

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरणों sin ((2A + B)/2) = √3/2 और cos ((2A - B)/2) = √3/2 से, हम प्रथम चतुर्थांश में संगत कोणों की पहचान करते हैं। चूंकि sin 60° = √3/2 और cos 30° = √3/2 है, इसलिए हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं:

(2A + B)/2 = 60° ⟹ 2A + B = 120°

(2A - B)/2 = 30° ⟹ 2A - B = 60°

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर B विलुप्त हो जाता है: (2A + B) + (2A - B) = 120° + 60° 4A = 180° ⟹ A = 45°

पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर A विलुप्त हो जाता है: (2A + B) - (2A - B) = 120° - 60° 2B = 60° ⟹ B = 30°

अब, A - B का मान ज्ञात करते हैं: A - B = 45° - 30° = 15°

इसे व्यंजक sin [3(A - B)] में रखने पर: sin [3(15°)] = sin 45° = 1/√2

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: (CP)/(MP) = (100 - छूट%)/(100 + लाभ%)। 16% छूट और 8% लाभ के प्रारंभिक मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(CP)/(MP) = (100 - 16)/(100 + 8) = ⁸⁴⁄₁₀₈ = ⁷⁄₉

दूसरी स्थिति में, छूट को बदलकर 8% कर दिया जाता है। मान लीजिए नया लाभ x% है। इसी अनुपात का उपयोग करने पर:

⁷⁄₉ = (100 - 8)/(100 + x)

⁷⁄₉ = (92)/(100 + x)

700 + 7x = 828

7x = 128

x = ¹²⁸⁄₇ ≈ 18.2857

दशमलव के दो स्थानों तक सही, लाभ प्रतिशत 18.29% है।

व्याख्या

VBODMAS नियम का उपयोग करते हुए, हम सबसे पहले कोष्ठक के भीतर के पदों और 'का' (of) संक्रियाओं को हल करते हैं।

व्यंजक के पहले भाग में, 15 का 4 = 15 × 4 = 60। वर्गाकार कोष्ठक (square bracket) के अंदर, आंतरिक कोष्ठक सरल होकर 9 - 7 = 2 हो जाता है, जिससे कोष्ठक [4 ÷ 5 × 2] = ⅘ × 2 = ⁸⁄₅ हो जाता है। व्यंजक के दूसरे भाग में, पद 5 का 9 = 5 × 9 = 45, इसलिए कोष्ठक वाला पद (20 ÷ 5 का 9) बदलकर 20 ÷ 45 = ²⁰⁄₄₅ = ⁴⁄₉ हो जाता है।

अब, इन सरलीकृत मानों को मूल व्यंजक में वापस रखने पर प्राप्त होता है: 25 ÷ 60 × ⁸⁄₅ - ⁴⁄₉

इसके बाद, हम पहले भाग और फिर गुणा करते हैं: ²⁵⁄₆₀ × ⁸⁄₅ - ⁴⁄₉ ⁵⁄₁₂ × ⁸⁄₅ - ⁴⁄₉ ⁸⁄₁₂ - ⁴⁄₉ ⅔ - ⁴⁄₉

घटाव को पूरा करने के लिए, हम समान हर (common denominator) 9 का उपयोग करते हैं: ⁶⁄₉ - ⁴⁄₉ = ²⁄₉

व्याख्या

व्यंजक p³ - 8q³ को p³ - (2q)³ के रूप में देखा जा सकता है। घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) का उपयोग करते हुए, हम a = p और b = 2q रखते हैं।

इन मानों के साथ सर्वसमिका का विस्तार करने पर: p³ - (2q)³ = (p - 2q)³ + 3(p)(2q)(p - 2q) p³ - 8q³ = (p - 2q)³ + 6pq(p - 2q)

दिए गए मानों p - 2q = 3 और pq = 5 को समीकरण में रखने पर: p³ - 8q³ = (3)³ + 6(5)(3) p³ - 8q³ = 27 + 90 p³ - 8q³ = 117

व्याख्या

मान लीजिए धारा के प्रतिकूल गति u किमी/घंटा है और धारा के अनुकूल गति v किमी/घंटा है।

पहली शर्त के अनुसार, 27/u + 33/v = 6। दूसरी शर्त के अनुसार, 36/u + 22/v = 6।

चूंकि दोनों समीकरण 6 के बराबर हैं, इसलिए इनकी तुलना करने पर: 27/u + 33/v = 36/u + 22/v

36/u में से 27/u और 33/v में से 22/v घटाने पर, हमें 11/v = 9/u प्राप्त होता है, जिससे u = ⁹⁄₁₁v प्राप्त होता है।

u का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: 36/(9v/11) + 22/v = 6 44/v + 22/v = 6 66/v = 6 v = 11 किमी/घंटा

u = ⁹⁄₁₁v में v = 11 रखने पर u = 9 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

धारा के प्रतिकूल 36 किमी और धारा के अनुकूल 44 किमी जाने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम समय के सूत्र T = Dᵤ/u + D_d/v का उपयोग करते हैं:

T = 36/9 + 44/11 T = 4 + 4 = 8 घंटे

व्याख्या

माना वृत्त की त्रिज्या r है और केंद्र O है। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। जीवा CD = 18 सेमी के लिए, आधी लंबाई 9 सेमी है। जीवा AB = 12 सेमी के लिए, आधी लंबाई 6 सेमी है। माना O से जीवा CD की लंबवत दूरी x है। चूंकि AB, CD से छोटी है और दोनों व्यास के एक ही ओर हैं, इसलिए AB केंद्र से अधिक दूर है। उनके बीच की दूरी 3 सेमी है, इसलिए O से AB की लंबवत दूरी x + 3 है।

त्रिज्या, आधी-जीवाओं और केंद्र से लंबवत दूरियों द्वारा बनने वाले दो समकोण त्रिभुजों में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: r² = x² + 9² r² = (x + 3)² + 6²

r² के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: x² + 81 = (x + 3)² + 36 x² + 81 = x² + 6x + 9 + 36 81 = 6x + 45 6x = 36 x = 6

पहले समीकरण में x = 6 रखने पर: r² = 6² + 9² r² = 36 + 81 r² = 117 r = √(117) = √(9 × 13) = 3√(13) सेमी

व्याख्या

x³ - 8y³ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करते हैं। इस स्थिति में, माना a = x और b = 2y, जिससे यह व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: x³ - (2y)³ = (x - 2y)(x² + 2xy + 4y²)

हमें दिया गया है कि x - 2y = 5 और x² + 4y² = 53 है। पद 2xy का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले दिए गए समीकरण का वर्ग करते हैं: (x - 2y)² = 5² x² - 4xy + 4y² = 25 इस समीकरण में x² + 4y² = 53 प्रतिस्थापित करने पर: 53 - 4xy = 25 4xy = 53 - 25 = 28 xy = 7

अब, 2xy का आवश्यक मान ज्ञात कीजिए: 2xy = 2(7) = 14

सभी मानों को वापस त्रिघाती व्यंजक के गुणनखंडित रूप में प्रतिस्थापित करने पर: x³ - 8y³ = (x - 2y)(x² + 4y² + 2xy) x³ - 8y³ = 5(53 + 14) x³ - 8y³ = 5(67) x³ - 8y³ = 335

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में मानक त्रिकोणमितीय मान रखने पर। हम जानते हैं कि sin 30° = ½, cos 30° = √3{2}, sin 45° = (1)/(√(2)), और cos 45° = (1)/(√(2)) है।

व्यंजक का पहला भाग 4(sin⁴30° + cos⁴30°) है। मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: 4((½)⁴ + (√3{2})⁴) = 4(¹⁄₁₆ + ⁹⁄₁₆) = 4(¹⁰⁄₁₆) = ¹⁰⁄₄ = ⁵⁄₂।

व्यंजक का दूसरा भाग 3(sin²45° - 2cos²45°) है। मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: 3(((1)/(√(2)))² - 2((1)/(√(2)))²) = 3(½ - 2(½)) = 3(½ - 1) = 3(-½) = -³⁄₂।

पहले भाग में से दूसरे भाग को घटाने पर: ⁵⁄₂ - (-³⁄₂) = ⁵⁄₂ + ³⁄₂ = ⁸⁄₂ = 4।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 10 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 30 इकाई है। इसके आधार पर, समीर की कार्यक्षमता 30 / 10 = 3 इकाई प्रति दिन है, और पुनीत की कार्यक्षमता 30 / 15 = 2 इकाई प्रति दिन है।

कार्य की कुल अवधि 5 दिन थी। चूंकि समीर और पुनीत ने शुरू से लेकर अंत तक काम किया, इसलिए उनमें से प्रत्येक ने पूरे 5 दिनों तक काम किया। समीर द्वारा 5 दिनों में पूरा किया गया कार्य 3 × 5 = 15 इकाई है। पुनीत द्वारा 5 दिनों में पूरा किया गया कार्य 2 × 5 = 10 इकाई है। समीर और पुनीत ने मिलकर 30-इकाई के कार्य में से 15 + 10 = 25 इकाई कार्य पूरा किया।

शेष कार्य अशोक द्वारा उस अवधि के दौरान पूरा किया गया जब वह शामिल था। अशोक द्वारा किया गया कार्य 30 - 25 = 5 इकाई है। चूंकि ₹4500 का कुल भुगतान प्रत्येक व्यक्ति द्वारा किए गए कार्य के अनुपात में वितरित किया जाता है, इसलिए अशोक के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है: अशोक को भुगतान की गई राशि = ((अशोक द्वारा किया गया कार्य)/(कुल कार्य)) × कुल भुगतान अशोक को भुगतान की गई राशि = (⁵⁄₃₀) × 4500 = ⅙ × 4500 = 750

व्याख्या

△ ABC में, आइए EC के समानांतर एक रेखाखंड DG इस प्रकार खींचें कि G, भुजा AB पर स्थित हो।

△ AEC में, D, AC का मध्य-बिंदु है और DG ∥ EC है। मध्य-बिंदु प्रमेय (या आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम) द्वारा, G को AE का मध्य-बिंदु होना चाहिए। इसलिए, रेखाखंड AE दो बराबर भागों AG और GE में विभाजित होता है। AG = GE = (AE)/2 = 30/2 = 15 सेमी

△ BDG में, यह दिया गया है कि EC, BD को F पर समद्विभाजित करती है, जिसका अर्थ है कि F, BD का मध्य-बिंदु है। चूंकि FE रेखा EC का एक खंड है और हमने DG ∥ EC की रचना की है, इसलिए FE ∥ DG होगा। △ BDG पर मध्य-बिंदु प्रमेय लागू करने पर, चूंकि F, BD का मध्य-बिंदु है और FE ∥ DG है, E को BG का मध्य-बिंदु होना चाहिए। इसलिए, रेखाखंड BG दो बराबर भागों BE और EG में विभाजित होता है। BE = EG

चूंकि हम पहले ही GE = 15 सेमी की गणना कर चुके हैं, हमें प्राप्त होता है कि: BE = 15 सेमी

व्याख्या

केंद्र O वाले एक वृत्त में, किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। चूँकि ∠ ACB = 115° एक अधिक कोण है, इसलिए शीर्ष C लघु चाप पर स्थित है, और कोण ∠ ACB केंद्र O पर वृहत् कोण (reflex angle) अंतरित करता है।

वृहत् कोण ∠ AOB की गणना इस प्रकार की जाती है: वृहत् ∠ AOB = 2 × ∠ ACB = 2 × 115° = 230°

△ OAB के भीतर आंतरिक कोण ∠ AOB है: ∠ AOB = 360° - 230° = 130°

△ OAB में, रेखाखंड OA और OB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, जिसका अर्थ है OA = OB। इसलिए, △ OAB एक समद्विबाहु त्रिभुज है, और समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं, इसलिए ∠ OAB = ∠ OBA।

△ OAB में कोण योग गुणधर्म लागू करने पर: ∠ OAB + ∠ OBA + ∠ AOB = 180° 2 × ∠ OAB + 130° = 180° 2 × ∠ OAB = 50° ∠ OAB = 25°

व्याख्या

माना हानि पर बेची गई वस्तु का क्रय मूल्य CP₁ है और लाभ पर बेची गई वस्तु का क्रय मूल्य CP₂ है। चूंकि विक्रय मूल्य समान हैं, हम उनके संबंधित लाभ और हानि प्रतिशत के आधार पर विक्रय मूल्य के समीकरणों को बराबर रख सकते हैं।

पहली वस्तु को 20% हानि पर बेचा जाता है, इसलिए SP₁ = CP₁ का 80%। दूसरी वस्तु को 16% लाभ पर बेचा जाता है, इसलिए SP₂ = CP₂ का 116%। SP₁ = SP₂ रखने पर:

0.80 × CP₁ = 1.16 × CP₂

CP₁/CP₂ = (1.16)/(0.80) = ¹¹⁶⁄₈₀ = ²⁹⁄₂₀

क्रय मूल्यों का अनुपात CP₁ : CP₂ = 29 : 20 है। कुल क्रय मूल्य ₹490 दिया गया है। अनुपात के घटकों का उपयोग करते हुए, कुल भाग 29 + 20 = 49 हैं।

20% हानि पर बेची गई वस्तु का क्रय मूल्य (CP₁) इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:

CP₁ = ²⁹⁄₄₉ × 490 = 29 × 10 = 290

व्याख्या

माना प्रारंभिक संख्या x है। जब किसी संख्या में a% की वृद्धि की जाती है और फिर b% की कमी की जाती है, तो शुद्ध प्रभाव x × (1 + a/100) × (1 - b/100) होता है। संक्रियाओं के पहले समूह के अनुसार: x × (1 + 15/100) × (1 - 15/100) = 782 x × (115/100) × (85/100) = 782 x × (23/20) × (17/20) = 782 x × (391/400) = 782 x = (782 × 400) / 391 x = 2 × 400 = 800

दूसरे भाग के लिए, संख्या 800 में 25% की कमी की जाती है, 25% की वृद्धि की जाती है, और फिर 20% की कमी की जाती है। परिणामी संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: परिणाम = 800 × (1 - 25/100) × (1 + 25/100) × (1 - 20/100) परिणाम = 800 × (3/4) × (5/4) × (4/5)

भिन्नों को देखने पर, (5/4) × (4/5) = 1 प्राप्त होता है। गणना सरल होकर निम्न प्रकार हो जाती है: परिणाम = 800 × (3/4) × 1 परिणाम = 200 × 3 = 600

व्याख्या

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 का गुणज हो। संख्या 5306P2 के लिए, अंकों का योग 5 + 3 + 0 + 6 + P + 2 = 16 + P है।

16 + P को 3 से विभाज्य बनाने के लिए, एकल-अंकीय P के संभावित मान हैं: यदि 16 + P = 18, तो P = 2. यदि 16 + P = 21, तो P = 5. यदि 16 + P = 24, तो P = 8.

P का न्यूनतम मान 2 है और P का अधिकतम मान 8 है। उनके वर्गों के बीच के अंतर की गणना इस प्रकार की जाती है: 8² - 2² = 64 - 4 = 60

व्याख्या

वर्गाकार मैदान की भुजा की गणना इस प्रकार की जाती है: s = √(क्षेत्रफल) = √(1764) = 42 मीटर। प्रश्न के अनुसार, आयताकार पार्क की चौड़ाई b, वर्गाकार मैदान की भुजा की एक-तिहाई है, इसलिए b = ⅓ × 42 = 14 मीटर। पार्क की लंबाई l इसकी चौड़ाई की दोगुनी है, जिससे l = 2 × 14 = 28 मीटर प्राप्त होता है।

आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = l × b = 28 × 14 = 392 मीटर² है। ₹15 प्रति मीटर² की दर से पार्क को समतल करने की कुल लागत क्षेत्रफल को दर से गुणा करके प्राप्त की जाती है: 392 × 15 = 5880।

व्याख्या

हर (denominator) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin A cos B - cos A sin B = sin(A - B) का अनुसरण करता है। A = 60° और B = 30° प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin(60° - 30°) = sin 30° = 1/2 प्राप्त होता है।

अंश (numerator) के लिए, हम मानक मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: tan 30° = 1/√3, sin 90° = 1, cot 60° = 1/√3, sin 30° = 1/2, और cos 45° = 1/√2। व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: (1/3) + 1 + (1/3) + (1/4 × 1/2) = 1/3 + 1 + 1/3 + (1/4 × 1/2) = 2/3 + 1 + 1/8 = 5/3 + 1/8 = (40 + 3) / 24 = 43/24

संपूर्ण व्यंजक का मान अंश और हर का अनुपात है: (43/24)/(1/2) = ⁴³⁄₂₄ × 2 = ⁴³⁄₁₂

व्याख्या

△ ABC में, चूंकि DE ∥ BC है, इसलिए कोण-कोण (AA) समरूपता कसौटी के अनुसार △ ADE, △ ABC के समरूप है। समरूप त्रिभुजों के गुण के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

संबंध का उपयोग करने पर: (△ ADE का क्षेत्रफल)/(△ ABC का क्षेत्रफल) = (DE/BC)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (45)/(△ ABC का क्षेत्रफल) = (5/8)²

(45)/(△ ABC का क्षेत्रफल) = 25/64

△ ABC का क्षेत्रफल = (45 × 64)/25

△ ABC का क्षेत्रफल = (9 × 64)/5

△ ABC का क्षेत्रफल = 576/5 = 115.2 सेमी²

व्याख्या

किसी त्रिभुज के एक शीर्ष से उसके विपरीत बाह्यवृत्त (excircle) पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई त्रिभुज के अर्ध-परिमाप के बराबर होती है। △ ABC में, वृत्त आगे बढ़ाई गई भुजाओं AB और AC को क्रमशः P और Q पर स्पर्श करता है, और भुजा BC को किसी बिंदु R पर स्पर्श करता है। एक बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं के गुणों के अनुसार, AP = AQ, BP = BR, और CQ = CR।

△ ABC का परिमाप इसकी भुजाओं का योग है: परिमाप = AB + BC + CA परिमाप = AB + (BR + RC) + CA

समीकरण में BR = BP और RC = CQ प्रतिस्थापित करने पर: परिमाप = (AB + BP) + (AC + CQ) परिमाप = AP + AQ

चूंकि AP = AQ है, इसलिए परिमाप 2 × AQ के बराबर है। इसलिए, AQ की लंबाई अर्ध-परिमाप s है: AQ = (AB + BC + CA)/2 AQ = (5 + 6 + 7)/2 AQ = 18/2 = 9 सेमी।

व्याख्या

कार्य समतुल्यता सूत्र (M₁ × D₁ = M₂ × D₂) का उपयोग करते हुए, मान लीजिए कि M और W क्रमशः एक पुरुष और एक महिला की दैनिक कार्य क्षमता को दर्शाते हैं। दी गई शर्तें निम्नलिखित समीकरण प्रदान करती हैं: (2M + 7W) × 28 = (6M + 16W) × 11

पदों का विस्तार करने पर: 56M + 196W = 66M + 176W 10M = 20W 1M = 2W

यह कार्यक्षमता अनुपात दर्शाता है कि एक पुरुष दो महिलाओं के बराबर कार्य करता है। अब, पुरुष-दिनों के संदर्भ में कुल कार्य की गणना करने के लिए पहले समीकरण में W = M/2 प्रतिस्थापित करें: कुल कार्य = (2M + 7(M/2)) × 28 = (2M + 3.5M) × 28 = 5.5M × 28 = 154M

7 पुरुषों द्वारा इस कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या D ज्ञात करने के लिए: 7M × D = 154M D = 154 / 7 = 22

व्याख्या

त्रिभुज ABF में, चूंकि DE, AF के समानांतर है, इसलिए आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) को लागू करने पर अनुपात (BD)/(DA) = (BE)/(EF) प्राप्त होता है। दिए गए मानों BE = 4 सेमी और EF = 6 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (BD)/(DA) = 4/6 = 2/3 प्राप्त होता है।

त्रिभुज ABC में, चूंकि DF, AC के समानांतर है, इसलिए उसी प्रमेय के अनुसार (BD)/(DA) = (BF)/(FC) होता है। BF की लंबाई BE और EF का योग है, जो कि 4 + 6 = 10 सेमी है। समीकरण में ज्ञात अनुपात (BD)/(DA) = 2/3 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2/3 = (10)/(FC) प्राप्त होता है। FC के लिए हल करने पर, हमें FC = (10 × 3)/(2) = 15 सेमी प्राप्त होता है।

BC की कुल लंबाई की गणना खंडों BE, EF और FC को जोड़कर की जाती है। इस प्रकार, BC = 4 + 6 + 15 = 25 सेमी।

व्याख्या

इस व्यंजक का मूल्यांकन BODMAS नियम का उपयोग करके किया जाता है, जो संक्रियाओं (operations) के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्धारित करता है।

सबसे पहले, 'का' (of) संकारक (operator) और कोष्ठक से जुड़े पदों को सरल करें। 'का' (of) वाले पदों के लिए, 12 का 3 = 12 × 3 = 36 और 2 का 4 = 2 × 4 = 8। कोष्ठक के भीतर, संक्रिया 15 - 12 = 3 पहले की जाती है, उसके बाद भाग किया जाता है, जिससे 3 ÷ 9 = ⅓ प्राप्त होता है। इससे वर्गाकार कोष्ठक (square bracket) सरल होकर [5 - ⅓] = ¹⁴⁄₃ हो जाता है।

इसके बाद, कोष्ठक के परिणाम के बाद 'का' (of) संकारक लागू करें। 7³ के रूप में दर्शाए गए पद के लिए इच्छित मान का उपयोग करते हुए, हम ¹⁴⁄₃ का ³⁄₇ = ¹⁴⁄₃ × ³⁄₇ = 2 का मूल्यांकन करते हैं।

अब, इन सरलीकृत घटकों को वापस मुख्य व्यंजक में रखें: 32 ÷ 36 × 2 + 4 - 8 ÷ 8

बाएँ से दाएँ भाग और गुणा की संक्रियाएँ करें। भाग 32 ÷ 36 सरल होकर ⁸⁄₉ हो जाता है, और इसे 2 से गुणा करने पर ¹⁶⁄₉ प्राप्त होता है। पद 8 ÷ 8 सरल होकर 1 हो जाता है।

अंत में, जोड़ और घटाव को पूरा करें: ¹⁶⁄₉ + 4 - 1 = ¹⁶⁄₉ + 3

इन्हें जोड़ने के लिए, एक समान हर (denominator) का उपयोग करें: ¹⁶⁄₉ + ²⁷⁄₉ = ⁴³⁄₉ = 4 ⁷⁄₉

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए कोणों के लिए मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: cot 30° = √3 cos 30° = √3{2} csc 60° = (2)/(√(3)) tan 60° = √3

इन मानों को व्यंजक ¾cot²30° + cos²30° - 3csc²60° + tan²60° में प्रतिस्थापित करने पर:

= ¾(√3)² + (√3{2})² - 3((2)/(√(3)))² + (√3)²

= ¾(3) + ¾ - 3(⁴⁄₃) + 3

= ⁹⁄₄ + ¾ - 4 + 3

= ¹²⁄₄ - 1

= 3 - 1

= 2

व्याख्या

साधारण ब्याज की स्थिति में, मिश्रधन A का सूत्र A = P(1 + ʳᵗ⁄₁₀₀) है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 13650 = P(1 + (15 × 2)/(100)), जो सरल करने पर 13650 = P(1.3) हो जाता है। मूलधन (P) ज्ञात करने पर, P = (13650)/(1.3) = 10500।

चक्रवृद्धि ब्याज की स्थिति में, 1 वर्ष के लिए ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है। प्रत्येक छह महीने की अवधि के लिए प्रभावी दर R = (15%)/(2) = 7.5% है, और संयोजन अवधियों की संख्या n = 2 है। चक्रवृद्धि मिश्रधन का सूत्र A = P(1 + (R)/(100))ⁿ है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, A = 10500(1 + (7.5)/(100))² = 10500(1.075)²।

वर्ग पद की गणना करने पर, 1.075² = 1.155625। इसे मूलधन से गुणा करने पर, A = 10500 × 1.155625 = 12134.0625। निकटतम रुपये में पूर्णांकित करने पर, मिश्रधन 12134 है।

व्याख्या

∠ AQB का माप एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। यह प्रमेय बताता है कि वृत्त की स्पर्शरेखा और स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली जीवा के बीच का कोण, उस जीवा द्वारा एकांतर वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है।

दिए गए वृत्त में, PAX बिंदु A पर स्पर्शरेखा है और PBY बिंदु B पर स्पर्शरेखा है। जीवा AQ और स्पर्शरेखा PAX के लिए, कोण ∠ QAX = 59° दिया गया है। एकांतर वृत्तखंड प्रमेय के अनुसार, परिधि पर बिंदु B पर जीवा AQ द्वारा अंतरित कोण (जो कि ∠ ABQ है) ∠ QAX के बराबर है। इस प्रकार, ∠ ABQ = 59°।

इसी प्रकार, जीवा BQ और स्पर्शरेखा PBY के लिए, कोण ∠ QBY = 72° दिया गया है। इसी प्रमेय के अनुसार, परिधि पर बिंदु A पर जीवा BQ द्वारा अंतरित कोण (जो कि ∠ BAQ है) ∠ QBY के बराबर है। इस प्रकार, ∠ BAQ = 72°।

त्रिभुज ABQ में, अंतः कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ AQB के माप की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ AQB = 180° - (∠ BAQ + ∠ ABQ) ∠ AQB = 180° - (72° + 59°) ∠ AQB = 180° - 131° = 49°

व्याख्या

वस्तु का विक्रय मूल्य SP = 640 है। हानि इस विक्रय मूल्य के 15% के रूप में दी गई है, इसलिए हानि = 640 × ¹⁵⁄₁₀₀ = 96। वस्तु के क्रय मूल्य (CP) की गणना विक्रय मूल्य में हानि जोड़कर की जाती है: CP = 640 + 96 = 736। क्रय मूल्य पर 15% का लाभ प्राप्त करने के लिए, नया विक्रय मूल्य CP का 115% होना चाहिए। इसलिए, आवश्यक विक्रय मूल्य 736 × ¹¹⁵⁄₁₀₀ = 736 × 1.15 = 846.40 है।

व्याख्या

वर्ष 2015 में संस्थानों A, C और E में नामांकित छात्रों की कुल संख्या की गणना तालिका में संबंधित खानों (cells) के मानों को जोड़कर की जाती है: 150 (A) + 220 (C) + 200 (E) = 570

वर्ष 2017 में संस्थानों B और D में नामांकित छात्रों की कुल संख्या की गणना भी इसी प्रकार की जाती है: 200 (B) + 180 (D) = 380

वर्ष 2015 में A, C और E में कुल छात्रों का वर्ष 2017 में B और D में कुल छात्रों से अनुपात है: अनुपात = 570 : 380

अनुपात को सरल बनाने के लिए, दोनों पक्षों को 10 से विभाजित करने पर 57 : 38 प्राप्त होता है। 57 और 38 दोनों 19 के गुणज हैं। 19 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 57 / 19 = 3 38 / 19 = 2

सरलीकृत अनुपात 3 : 2 है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य (MP) में से छूट की राशि को घटाकर प्राप्त किया जाता है। 1500 का अंकित मूल्य और 20% की छूट दर दिए जाने पर, विक्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: SP = 1500 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) = 1500 × 0.8 = 1200 लाभ को विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य (CP) के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है। क्रय मूल्य 991 दिए जाने पर, लाभ इस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: लाभ = SP - CP = 1200 - 991 = 209

व्याख्या

दोनों गुणनखंडों का अलग-अलग मूल्यांकन करके व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है। सबसे पहले, वर्गमूल के अंदर के पद पर विचार करें: sec²θ + csc²θ = (1)/(cos²⁾^θ + (1)/(sin²⁾^θ = sin²θ + cos²θ{sin²θ cos²θ} = (1)/(sin²⁾^θᶜᵒˢ^^^²^θ वर्गमूल लेने पर (1)/(sinθ cosθ) प्राप्त होता है।

इसके बाद, दूसरे गुणनखंड को सरल करें। सर्वसमिका 1 - sin²θ = cos²θ का उपयोग करने पर, हर (denominator) इस प्रकार हो जाता है: 1 + cosθ - sin²θ = (1 - sin²θ) + cosθ = cos²θ + cosθ = cosθ(1 + cosθ) इसके बाद दूसरा गुणनखंड इस प्रकार सरल हो जाता है: (sinθ(1 + cosθ))/(cosθ(1 + cosθ)) = (sinθ)/(cosθ)

दोनों सरलीकृत गुणनखंडों को आपस में गुणा करने पर: ( (1)/(sinθ cosθ) ) ( (sinθ)/(cosθ) ) = (1)/(cos²⁾^θ = sec²θ

व्याख्या

दिए गए पदों से संबंधित बीजीय सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - (xy + yz + zx)) है। सबसे पहले, योग के वर्ग के सूत्र (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) का उपयोग करके xy + yz + zx का मान ज्ञात कीजिए। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 7² = 85 + 2(xy + yz + zx) प्राप्त होता है, जिससे 49 = 85 + 2(xy + yz + zx) मिलता है, जिसे सरल करने पर 2(xy + yz + zx) = -36 प्राप्त होता है, इसलिए xy + yz + zx = -18।

इसके बाद, इन मानों को त्रिघात सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: 913 - 3xyz = 7(85 - (-18))। इसके परिणामस्वरूप 913 - 3xyz = 7(103) प्राप्त होता है, जिससे 913 - 3xyz = 721 मिलता है। xyz का मान ज्ञात करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 3xyz = 913 - 721 = 192 प्राप्त होता है, इसलिए xyz = 64 है। अभीष्ट मान इस परिणाम का घनमूल है: ³√(xyz) = ³√(64) = 4।

व्याख्या

कोई संख्या 72 से विभाज्य होती है यदि वह 8 और 9 दोनों से विभाज्य हो। 8 से विभाज्यता के लिए, अंतिम तीन अंक 9y6, 8 से विभाज्य होने चाहिए। y के मानों का परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि 936 (y=3) और 976 (y=7), 8 के गुणज हैं।

9 से विभाज्यता के लिए, अंकों का योग 9+4+x+2+9+y+6 = 30+x+y, 9 का एक गुणज होना चाहिए। इसका अर्थ है कि 3+x+y, 9 से विभाज्य है।

यदि हम y=3 लेते हैं, तो 3+x+3 = 6+x प्राप्त होता है, जिससे योग को 9 बनाने के लिए x=3 प्राप्त होता है। इसे अस्वीकार कर दिया जाता है क्योंकि प्रश्न में कहा गया है कि x ≠ y है।

यदि हम y=7 लेते हैं, तो 3+x+7 = 10+x प्राप्त होता है। इसे 9 का गुणज बनाने के लिए, x का मान 8 होना चाहिए (चूंकि 10+8=18)। यह शर्त x ≠ y को संतुष्ट करता है।

x=8 और y=7 का उपयोग करके, (2x + 3y) के मान की गणना इस प्रकार की जाती है: 2(8) + 3(7) = 16 + 21 = 37

व्याख्या

n क्रमागत सम संख्याओं के एक समूह के लिए, औसत मध्य पद होता है। चूंकि यहाँ 8 संख्याएँ हैं, इसलिए 17 का औसत ठीक चौथे और पांचवें पदों के बीच स्थित है। 17 के दोनों ओर की सम संख्याएँ 16 और 18 हैं। इसलिए, आरोही क्रम में अनुक्रम 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 और 24 है।

इस अनुक्रम की अंतिम तीन संख्याएँ 20, 22 और 24 हैं। इन तीन संख्याओं के साथ 36 और 53 का औसत ज्ञात करने के लिए, हम इन पांच मानों के योग की गणना करते हैं: 20 + 22 + 24 + 36 + 53 = 155। औसत, योग को संख्याओं की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 155/5 = 31 है।

व्याख्या

संस्थान A और B में कंप्यूटर विज्ञान पढ़ने वाले छात्रों की कुल संख्या तालिका में उन विशिष्ट खानों के मानों को जोड़कर प्राप्त की जाती है: 57 + 48 = 105।

इसके बाद, संस्थान B और C में कला पढ़ने वाले छात्रों की कुल संख्या संबंधित मानों को जोड़कर प्राप्त की जाती है: 45 + 55 = 100।

यह निर्धारित करने के लिए कि पहला समूह दूसरे समूह से कितने प्रतिशत अधिक है, प्रतिशत वृद्धि का सूत्र लागू किया जाता है:

प्रतिशत अधिक = (कुल कंप्यूटर विज्ञान (A+B) - कुल कला (B+C))/(कुल कला (B+C)) × 100

सूत्र में मान रखने पर:

प्रतिशत अधिक = (105 - 100)/(100) × 100

प्रतिशत अधिक = ⁵⁄₁₀₀ × 100 = 5%

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² + c² + 17 = 2(a - 8b - 2b²) के सभी पदों को बाईं ओर लाकर इसे पुनः व्यवस्थित किया जा सकता है: a² - 2a + 4b² + 16b + c² + 17 = 0

चरों का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पूर्ण वर्गों के योग के रूप में व्यक्त करें: (a² - 2a + 1) + (4b² + 16b + 16) + c² = 0 (a - 1)² + (2b + 4)² + c² = 0

वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद स्वतंत्र रूप से शून्य के बराबर होना चाहिए: a - 1 = 0 ⟹ a = 1 2b + 4 = 0 ⟹ b = -2 c = 0

इन मानों को व्यंजक (a³ + b³ + c³) में रखने पर: 1³ + (-2)³ + 0³ = 1 - 8 + 0 = -7