एसएससी सीजीएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

चूंकि ∠ APB = 122° एक अधिक कोण है, इसलिए बिंदु P वृत्त के लघु चाप AB पर स्थित होना चाहिए। मान लीजिए Q दीर्घ चाप AB पर कोई बिंदु है। चक्रीय चतुर्भुज APBQ में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ AQB = 180° - ∠ APB = 180° - 122° = 58°।

किसी जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, उसके द्वारा दीर्घ चाप पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। इस प्रकार, केंद्रीय कोण ∠ AOB = 2 × ∠ AQB = 2 × 58° = 116° है। △ OAB में, भुजाएं OA और OB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, जिससे यह एक समद्विबाहु त्रिभुज बनता है जहाँ ∠ OAB = ∠ OBA है।

△ OAB में कोणों का योग 180° होता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠ OAB + ∠ OBA + ∠ AOB = 180° प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2 ∠ OAB + 116° = 180° हो जाता है। कोण के लिए हल करने पर, 2 ∠ OAB = 64°, जिससे ∠ OAB = 32° प्राप्त होता है।

व्याख्या

△ PQR में, दिया गया है कि EF ∥ QR, इसलिए AA समरूपता कसौटी के अनुसार △ PEF और △ PQR समरूप त्रिभुज हैं क्योंकि ∠ P उभयनिष्ठ है और संगत कोण होने के कारण ∠ PEF = ∠ PQR है। समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

भुजा PQ की लंबाई PE और EQ का योग है, इसलिए PQ = PE + EQ = 2 + 3 = 5 सेमी। बड़े त्रिभुज PQR और छोटे त्रिभुज PEF के बीच संगत भुजाओं का अनुपात (PQ)/(PE) = ⁵⁄₂ है।

क्षेत्रफलों के अनुपात की गणना इस प्रकार की जाती है:

(क्षेत्रफल(△ PQR))/(क्षेत्रफल(△ PEF)) = ((PQ)/(PE))² = (⁵⁄₂)² = ²⁵⁄₄

इसके परिणामस्वरूप अनुपात 25:4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि छात्रों की प्रारंभिक संख्या n है। 4 नए छात्रों में से प्रत्येक का वजन 60 किग्रा है, जो कि 55.5 किग्रा के प्रारंभिक औसत वजन से 4.5 किग्रा अधिक है (60 - 55.5 = 4.5)। परिणामस्वरूप, इन नए छात्रों द्वारा कक्षा में लाया गया कुल अतिरिक्त वजन 4 × 4.5 = 18 किग्रा है।

यह कुल अतिरिक्त वजन अब कक्षा में उपस्थित सभी छात्रों (n + 4) में वितरित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप औसत वजन में 360 ग्राम या 0.36 किग्रा की वृद्धि होती है। विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, कुल अतिरिक्त वजन सभी व्यक्तियों में कुल वृद्धि के बराबर होना चाहिए: कुल अतिरिक्त वजन = (छात्रों की कुल संख्या) × औसत में वृद्धि 18 = (n + 4) × 0.36

n का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: n + 4 = (18)/(0.36) n + 4 = ¹⁸⁰⁰⁄₃₆ n + 4 = 50 n = 46

प्रारंभ में कक्षा में छात्रों की संख्या 46 थी।

व्याख्या

त्रिभुजाकार भूखंड की भुजाएँ 12 मीटर, 35 मीटर और 37 मीटर हैं। चूंकि 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369 = 37² है, इसलिए यह त्रिभुज समकोण है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ½ × 12 × 35 = 210 वर्ग मीटर है।

मान लीजिए आयताकार मैदान की भुजाएँ 7x और 3x हैं। आयत का क्षेत्रफल 7x × 3x = 21x² है। चूंकि आयताकार मैदान का क्षेत्रफल त्रिभुजाकार भूखंड के क्षेत्रफल के बराबर है, इसलिए हमारे पास 21x² = 210 है, जिससे x² = 10 प्राप्त होता है, इसलिए x = √(10) है।

आयताकार मैदान का परिमाप 2(7x + 3x) = 2(10x) = 20x है। x का मान रखने पर, परिमाप 20√(10) मीटर है।

व्याख्या

दो प्रतिच्छेदी वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा उनकी उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक होती है। माना C₁ और C₂ क्रमशः r₁ = 15 सेमी और r₂ = 37 सेमी त्रिज्या वाले वृत्तों के केंद्र हैं। माना उभयनिष्ठ जीवा AB की लंबाई 24 सेमी है, और माना M जीवा और केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है। चूंकि C₁ C₂ जीवा AB को लंबवत समद्विभाजित करता है, इसलिए AM = ½ AB = ²⁴⁄₂ = 12 सेमी। समकोण त्रिभुज AMC₁ में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, पहले केंद्र से जीवा की दूरी C₁ M = √(r₁² - AM²) = √(15² - 12²) = √(225 - 144) = √(81) = 9 सेमी है। इसी प्रकार, समकोण त्रिभुज AMC₂ में, दूसरे केंद्र से जीवा की दूरी C₂ M = √(r₂² - AM²) = √(37² - 12²) = √(1369 - 144) = √(1225) = 35 सेमी है। केंद्रों के बीच की दूरी इन खंडों का योग है: C₁ C₂ = C₁ M + C₂ M = 9 + 35 = 44 सेमी।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका x³ - y³ = (x - y)((x - y)² + 3xy) का उपयोग करके, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 316 = 4(4² + 3xy)। इसे सरल करने पर 79 = 16 + 3xy प्राप्त होता है, जिससे 3xy = 63 या xy = 21 प्राप्त होता है।

अब हमारे पास समीकरणों का एक निकाय है: x - y = 4 और xy = 21। ऐसी दो संख्याएँ खोजने पर जिनका अंतर 4 और गुणनफल 21 है, हमें x = 7 और y = 3 प्राप्त होता है। हम सत्यापित करते हैं कि y > 0 और x³ - y³ = 7³ - 3³ = 343 - 27 = 316 है, जो प्रश्न के कथन से मेल खाता है।

x⁴ - y⁴ के मान की गणना 7⁴ - 3⁴ के रूप में की जाती है। घातों की गणना करने पर, हमें 2401 - 81 = 2320 प्राप्त होता है।

व्याख्या

7, 11 और 13 से पूर्णतः विभाज्य होने वाली संख्या उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से भी विभाज्य होनी चाहिए। चूंकि 7, 11 और 13 अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए उनका LCM 7 × 11 × 13 = 1001 है। तीन अंकों की संख्या abc को abcabc के रूप में दोहराकर बनाई गई कोई भी छह अंकों की संख्या हमेशा 1001 से विभाज्य होती है, क्योंकि abcabc = abc × 1000 + abc = abc × (1000 + 1) = abc × 1001।

दी गई छह अंकों की संख्या 823p2q है, इसलिए 1001 से विभाज्य होने के लिए इसे abcabc पैटर्न का पालन करना चाहिए। 823p2q की तुलना पैटर्न abcabc से करने पर, हमें a = 8, b = 2 और c = 3 प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि संख्या 823823 है। अंकों की तुलना करने पर, हमें p = 8 और q = 3 प्राप्त होता है। अभीष्ट मान p - q = 8 - 3 = 5 है।

व्याख्या

उत्पादन के सापेक्ष बिक्री का प्रतिशत सूत्र P = (बिक्री / उत्पादन) × 100 का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। वर्ष 2015 के लिए, गणना (1000 / 1250) × 100 = 80% है। वर्ष 2019 के लिए, गणना (1390 / 1600) × 100 = 86.875% है। ये दोनों प्रतिशत 80% या उससे अधिक लेकिन 90% से कम होने की शर्त को पूरा करते हैं।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और मानक मानों का उपयोग करके अंश और हर को अलग-अलग सरल करते हैं। अंश tan 13° tan 36° tan 45° tan 54° tan 77° है। सर्वसमिका tan θ · tan(90° - θ) = 1 का अनुप्रयोग करके, हम पूरक कोणों को समूहित कर सकते हैं। विशेष रूप से, tan 13° tan 77° = tan 13° cot 13° = 1 और tan 36° tan 54° = tan 36° cot 36° = 1। चूंकि tan 45° = 1 है, इसलिए अंश सरल होकर 1 · 1 · 1 = 1 हो जाता है।

हर के लिए, हम व्यंजक 2 sec² 60° (sin² 60° - 3 cos 60° + 2) में मानक मानों sec 60° = 2, sin 60° = √3/2 और cos 60° = ½ को प्रतिस्थापित करते हैं। इससे 2(2)² [ (√3/2)² - 3(½) + 2 ] प्राप्त होता है, जो सरल होकर 8 (¾ - ³⁄₂ + 2) हो जाता है। कोष्ठक के भीतर के पदों को संयोजित करने पर 8 ((3 - 6 + 8)/(4)) = 8 (⁵⁄₄) = 10 प्राप्त होता है। सरलीकृत अंश को सरलीकृत हर से विभाजित करने पर परिणाम ⅒ प्राप्त होता है।

व्याख्या

तालिका प्रत्येक छात्र द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत प्रदान करती है। गणित में छात्रों B, C, D और F के औसत अंक ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले इन चार छात्रों के औसत प्रतिशत की गणना करें।

औसत प्रतिशत = (92 + 80 + 74 + 84)/(4) = ³³⁰⁄₄ = 82.5%

गणित के लिए अधिकतम अंक 150 हैं। इसलिए, कुल अंकों पर औसत प्रतिशत लागू करके औसत अंकों की गणना की जाती है:

औसत अंक = 150 का 82.5% = (82.5)/(100) × 150 = 0.825 × 150 = 123.75

वैकल्पिक रूप से, B, C, D और F के व्यक्तिगत अंक क्रमशः 138 (150 का 92%), 120 (150 का 80%), 111 (150 का 74%) और 126 (150 का 84%) हैं। इन अंकों का योग 138 + 120 + 111 + 126 = 495 है। कुल अंकों को छात्रों की संख्या से विभाजित करने पर औसत ⁴⁹⁵⁄₄ = 123.75 प्राप्त होता है।

व्याख्या

8% की हानि और 4% के लाभ के बीच कुल प्रतिशत अंतर 12% है, क्योंकि ये क्रय मूल्य के विपरीत पक्षों पर विचलन को दर्शाते हैं। क्रय मूल्य (CP) का यह 12%, विक्रय मूल्य में ₹300 की वृद्धि के बराबर है।

क्रय मूल्य (CP) को 100% मानकर, 8% की हानि पर प्रारंभिक विक्रय मूल्य 92% है, और 4% के लाभ पर दूसरा विक्रय मूल्य 104% है। इन दोनों स्थितियों के बीच का अंतर 104% - 92% = 12% है।

क्रय मूल्य के सूत्र का उपयोग करने पर: क्रय मूल्य (CP) = (मूल्य में अंतर)/(कुल प्रतिशत परिवर्तन) × 100 CP = ³⁰⁰⁄₁₂ × 100 CP = 25 × 100 CP = 2500

यह प्रत्यक्ष गणना दर्शाती है कि ₹300 की वृद्धि के कारण हुआ 12% का परिवर्तन मूल क्रय मूल्य को दर्शाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दो संख्याएँ 2x और 3x हैं। पहली शर्त के आधार पर, जहाँ पहली संख्या में से 5 घटाया जाता है और दूसरी संख्या में 6 जोड़ा जाता है जिससे 5:12 का अनुपात प्राप्त होता है, हम समीकरण बनाते हैं:

(2x - 5)/(3x + 6) = 5/12

तिर्यक गुणन (Cross-multiplying) करने पर: 12(2x - 5) = 5(3x + 6) 24x - 60 = 15x + 30 9x = 90 x = 10

मूल संख्याएँ 2(10) = 20 और 3(10) = 30 हैं। यदि इनमें से प्रत्येक संख्या में 8 जोड़ा जाए, तो पहली संख्या 20 + 8 = 28 हो जाती है और दूसरी संख्या 30 + 8 = 38 हो जाती है। परिणामी अनुपात 28:38 है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), 2 से विभाजित करने पर, सरलीकृत अनुपात 14:19 प्राप्त होता है।

व्याख्या

नाव की धारा के प्रतिकूल गति की गणना दूरी को लिए गए समय से विभाजित करके की जाती है, जिससे 30 किमी / 3 घंटे = 10 किमी/घंटा प्राप्त होता है। इसी प्रकार, धारा के अनुकूल गति 30 किमी / 1 घंटा = 30 किमी/घंटा है।

शांत जल में नाव की गति, धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल गतियों का औसत होती है, जो कि (30 + 10)/(2) = 20 किमी/घंटा है। शांत जल में 60 किमी की दूरी तय करने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, दूरी को इस गति से विभाजित करें: 60 किमी / 20 किमी/घंटा = 3 घंटे।

व्याख्या

व्यंजक 8 ÷ 4 का 2 - 15 ÷ 2 का 5 - 6 ÷ 5 × (-7 + 5) का 2 को सरल करने के लिए, BODMAS नियम (कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), घटाव (Subtraction)) का पालन करें।

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें: (-7 + 5) = -2

अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: 8 ÷ 4 का 2 - 15 ÷ 2 का 5 - 6 ÷ 5 × (-2) का 2

इसके बाद, "का" (of) संक्रियाओं का मान ज्ञात करें, जिनकी प्राथमिकता भाग और गुणा से अधिक होती है: 4 का 2 = 4 × 2 = 8 2 का 5 = 2 × 5 = 10 (-2) का 2 = (-2) × 2 = -4

इन मानों को वापस व्यंजक में रखें: 8 ÷ 8 - 15 ÷ 10 - 6 ÷ 5 × (-4)

अब, भाग की संक्रियाएँ करें: 8 ÷ 8 = 1 15 ÷ 10 = 1.5 6 ÷ 5 = 1.2

अब व्यंजक इस प्रकार है: 1 - 1.5 - 1.2 × (-4)

इसके बाद, गुणा करें: 1.2 × (-4) = -4.8

इस परिणाम को प्रतिस्थापित करें: 1 - 1.5 - (-4.8) 1 - 1.5 + 4.8

अंत में, बाएं से दाएं जोड़ और घटाव को हल करें: -0.5 + 4.8 = 4.3

भिन्न के रूप में, 4.3 का मान ⁴³⁄₁₀ के बराबर होता है।

व्याख्या

उन जिलों को खोजने के लिए जहाँ महिला शिक्षकों की संख्या, पुरुष शिक्षकों की संख्या से 500 से अधिक है, हम प्रत्येक जिले के लिए महिला - पुरुष के अंतर की गणना करते हैं और इसकी तुलना 500 से करते हैं।

पूर्व जिले में, महिला शिक्षकों की संख्या 2375 है और पुरुष शिक्षकों की संख्या 1650 है। अंतर 2375 - 1650 = 725 है। चूँकि 725 > 500 है, इसलिए पूर्व जिला इस शर्त को पूरा करता है।

उत्तर जिले में, महिला शिक्षकों की संख्या 2651 है और पुरुष शिक्षकों की संख्या 1075 है। अंतर 2651 - 1075 = 1576 है। चूँकि 1576 > 500 है, इसलिए उत्तर जिला भी इस शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

अभीष्ट प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले तालिका में दिए गए अधिकतम अंकों के प्रतिशत के आधार पर निर्दिष्ट विषयों में छात्रों F और A द्वारा प्राप्त वास्तविक अंकों की गणना करें।

छात्र F द्वारा प्राप्त अंक: अंग्रेजी: 50 का 72% = 36 विज्ञान: 80 का 65% = 52 हिंदी: 75 का 60% = 45 छात्र F के कुल अंक = 36 + 52 + 45 = 133

छात्र A द्वारा प्राप्त अंक: अंग्रेजी: 50 का 70% = 35 गणित: 150 का 90% = 135 विज्ञान: 80 का 65% = 52 हिंदी: 75 का 64% = 48 छात्र A के कुल अंक = 35 + 135 + 52 + 48 = 270

अभीष्ट प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत = (F के कुल अंक)/(A के कुल अंक) × 100 प्रतिशत = ¹³³⁄₂₇₀ × 100 = ¹³³⁰⁄₂₇ ≈ 49.259%

दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर, हमें 49.3% प्राप्त होता है।

व्याख्या

ब्याज की दर 10% वार्षिक है, जो भिन्नात्मक रूप में 1/10 है। समान वार्षिक किस्तों में चुकाए गए ऋण के लिए, ऋण का वर्तमान मूल्य P सूत्र P = (I)/((1 + r)) + (I)/((1 + r)²) का उपयोग करके निकाला जाता है, जहाँ I किस्त है और r दर है।

अनुपात विधि का उपयोग करते हुए, 10% पर दो वर्षों के लिए मूलधन और किस्त के बीच का संबंध है: वर्ष 1: मूलधन 10 → किस्त 11 वर्ष 2: मूलधन 10² → किस्त 11² (अर्थात, 100 → 121)

चूंकि किस्तें समान हैं, इसलिए हम दोनों किस्तों को 121 इकाई बनाने के लिए पहले वर्ष के अनुपात को 11 से गुणा करते हैं। वर्ष 1: मूलधन 110 → किस्त 121 वर्ष 2: मूलधन 100 → किस्त 121

कुल मूलधन = 110 + 100 = 210 इकाई भुगतान की गई कुल राशि = 2 × 121 = 242 इकाई कुल ब्याज = 242 - 210 = 32 इकाई

दिया गया है कि प्रत्येक किस्त ₹6534 है: 121 इकाई = 6534 1 इकाई = ⁶⁵³⁴⁄₁₂₁ = 54

कुल ब्याज = 32 × 54 = 1728

व्याख्या

एक द्विपद व्यंजक (ax + b)ⁿ का प्रसार सूत्र ₖ₌₀ⁿ n{k} (ax)ⁿ⁻ᵏ (b)ᵏ द्वारा दिया जाता है। (3x - 4)³ के प्रसार में x का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम उस पद को देखते हैं जहाँ x की घात 1 है।

बीजगणितीय सर्वसमिका (A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³ का उपयोग करके, हम A = 3x और B = 4 प्रतिस्थापित कर सकते हैं। वह पद जिसमें x की घात एक है, 3AB² है।

इस विशिष्ट पद में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: पद = 3 × (3x) × (4)² पद = 3 × 3x × 16 पद = 9 × 16x पद = 144x

इस परिणाम की सामान्य रूप से तुलना करने पर, x से गुणा होने वाला संख्यात्मक गुणांक 144 है।

व्याख्या

एक समबाहु △ ABC में, भुजा की लंबाई s = 3√7 सेमी है और ∠ B सहित प्रत्येक आंतरिक कोण 60° है। चूंकि P, भुजा BC को BP : PC = 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है, इसलिए रेखाखंड BP की लंबाई ¹⁄₁₊₂ × BC = ⅓ × 3√7 = √7 सेमी है।

AP की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम △ ABP में कोसाइन नियम (Law of Cosines) लागू करते हैं:

AP² = AB² + BP² - 2(AB)(BP)cos(∠ B)

AB = 3√7, BP = √7, और cos(60°) = ½ मान रखने पर:

AP² = (3√7)² + (√7)² - 2(3√7)(√7)(½) AP² = (9 × 7) + 7 - (3 × 7) AP² = 63 + 7 - 21 AP² = 70 - 21 = 49

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें AP = √(49) = 7 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक sec⁴ θ (1 - sin⁴ θ) - 2 tan² θ है। बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, हम पद (1 - sin⁴ θ) को (1 - sin² θ)(1 + sin² θ) के रूप में फिर से लिखते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - sin² θ = cos² θ प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक sec⁴ θ · cos² θ (1 + sin² θ) - 2 tan² θ हो जाता है।

चूंकि sec⁴ θ · cos² θ = (1)/(cos⁴ θ) · cos² θ = sec² θ है, इसलिए व्यंजक सरल होकर sec² θ (1 + sin² θ) - 2 tan² θ हो जाता है। इसका विस्तार करने पर sec² θ + sec² θ sin² θ - 2 tan² θ प्राप्त होता है।

यह ध्यान रखते हुए कि sec² θ sin² θ = (1)/(cos² θ) · sin² θ = tan² θ है, हम व्यंजक को sec² θ + tan² θ - 2 tan² θ के रूप में फिर से लिख सकते हैं। यह और सरल होकर sec² θ - tan² θ हो जाता है। मूल सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 को लागू करने पर अंतिम परिणाम 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)((x + y + z)² - 3(xy + yz + zx)) का उपयोग करते हैं।

दिए गए मानों x + y + z = 3, xy + yz + zx = -12, और xyz = -16 को सर्वसमिका में रखने पर: x³ + y³ + z³ - 3(-16) = 3 × (3² - 3(-12)) x³ + y³ + z³ + 48 = 3 × (9 + 36) x³ + y³ + z³ + 48 = 3 × 45 x³ + y³ + z³ + 48 = 135 x³ + y³ + z³ = 135 - 48 = 87

प्रश्न में √(x³ + y³ + z³ + 13) का मान पूछा गया है। x³ + y³ + z³ के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करने पर: √(87 + 13) = √(100) = 10

व्याख्या

A की कार्य दर कार्य की एक इकाई को पूरा करने में लगने वाले कुल घंटों द्वारा निर्धारित की जाती है, जो कि 2 × 10 = 20 घंटे है। B की कार्य दर दी गई जानकारी से ज्ञात की जाती है कि कार्य की 5 इकाइयाँ 15 × 10 = 150 घंटों में पूरी होती हैं; इस प्रकार, B को कार्य की एक इकाई को पूरा करने में ¹⁵⁰⁄₅ = 30 घंटे लगते हैं।

जब वे मिलकर काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त प्रति घंटा दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग होती है: कुल दर (Rateₜₒₜₐₗ) = ¹⁄₂₀ + ¹⁄₃₀ = (3 + 2)/(60) = ⁵⁄₆₀ = ¹⁄₁₂ कार्य प्रति घंटा।

उनके द्वारा मिलकर कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय संयुक्त दर का व्युत्क्रम (reciprocal) है, जो कि 12 घंटे है। चूंकि प्रश्न में एक मानक कार्य दिवस को 10 घंटे के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए एक पूरे दिन से अधिक आवश्यक अतिरिक्त समय 12 - 10 = 2 घंटे है।

व्याख्या

कक्षा में लड़कियों की संख्या और लड़कों की संख्या का अनुपात 60:40 है, जो सरल होकर 3:2 हो जाता है। पूरी कक्षा के औसत अंक ज्ञात करने के लिए, हम इन अनुपातों के आधार पर भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

औसत = ((लड़कियों_का_अनुपात × लड़कियों_का_औसत) + (लड़कों_का_अनुपात × लड़कों_का_औसत)) / (लड़कियों_का_अनुपात + लड़कों_का_अनुपात)

दिए गए औसत अंकों को सूत्र में रखने पर:

औसत = ((3 × 70) + (2 × 63))/(3 + 2)

औसत = (210 + 126)/(5)

औसत = ³³⁶⁄₅ = 67.2

यह दृष्टिकोण 90 छात्रों की कुल जनसंख्या में उनके संबंधित अनुपात के अनुसार व्यक्तिगत समूह के औसतों को प्रभावी ढंग से संयोजित करता है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, एक ही चाप द्वारा परिधि पर बने कोण बराबर होते हैं। इसलिए, ∠ BAC = ∠ BDC क्योंकि दोनों कोण चाप BC द्वारा बने हैं।

∠ BDC ज्ञात करने के लिए, △ CED पर विचार करें। कोण ∠ BEC, शीर्ष E पर △ CED का बाह्य कोण है। बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का माप उसके दो सम्मुख अंतः कोणों के मापों के योग के बराबर होता है। इस त्रिभुज में, हमारे पास है:

∠ BEC = ∠ ECD + ∠ EDC

दिए गए मानों को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

138° = 35° + ∠ EDC

दोनों पक्षों से 35° घटाने पर ∠ EDC का माप प्राप्त होता है:

∠ EDC = 138° - 35° = 103°

चूंकि बिंदु B, E, और D विकर्ण पर संरेख हैं, इसलिए ∠ BDC वही है जो ∠ EDC है। इस प्रकार, ∠ BDC = 103° है। चूंकि हमने वृत्त के गुणों के कारण यह स्थापित किया है कि ∠ BAC = ∠ BDC है, इसलिए ∠ BAC का माप 103° है।

व्याख्या

केंद्र O वाले वृत्त में, AD व्यास है, इसलिए O, AD पर स्थित है। चूंकि OA और OC त्रिज्याएँ हैं, इसलिए △ OAC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ OA = OC है। कोण ∠ AOC, ∠ DOC का संपूरक कोण है, इसलिए ∠ AOC = 180° - ∠ DOC = 180° - 60° = 120°।

समद्विबाहु △ OAC के आधार कोण ∠ OAC = ∠ OCA = (180° - 120°) / 2 = 30° हैं। △ OBA में, बिंदु B, AC पर स्थित है, और हमें ∠ OBA = 60° दिया गया है। △ OBA में कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ AOB = 180° - (30° + 60°) = 90° है। समकोण △ OBA में त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर: AB = (OB)/(cos 60°) = (7)/(1/2) = 14 सेमी OA = OB tan 60° = 7√3 सेमी

चूंकि OA त्रिज्या r है, इसलिए △ OAC में जीवा AC की लंबाई की गणना ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करके की जा सकती है: (AC)/(sin ∠ AOC) = (OA)/(sin ∠ OCA) ⟹ (AC)/(sin 120°) = 7√3 / {sin 30°} AC = 7√3 × (√3/2) / {1/2} = 21 सेमी

चूंकि बिंदु B जीवा AC पर स्थित है, इसलिए BC की लंबाई कुल जीवा की लंबाई और खंड AB के बीच का अंतर है: BC = AC - AB = 21 - 14 = 7 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि दो संख्याएँ A = 5x और B = 8x हैं, जहाँ x एक सामान्य गुणक है। दोनों संख्याओं का योग A + B = 5x + 8x = 13x है। प्रश्न के अनुसार, प्रत्येक संख्या में 5 जोड़ने पर अनुपात बदलकर 2:3 हो जाता है, जिसे निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

(5x + 5)/(8x + 5) = 2/3

तिर्यक गुणन (cross-multiplication) करने पर, हमें प्राप्त होता है:

3(5x + 5) = 2(8x + 5) 15x + 15 = 16x + 10

x का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:

16x - 15x = 15 - 10 x = 5

संख्याओं के योग की गणना x के मान को योग के व्यंजक में प्रतिस्थापित करके की जाती है:

योग = 13x = 13 × 5 = 65

व्याख्या

मान लीजिए राधा की प्रारंभिक आय 100 है। चूंकि वह अपनी आय का 25% बचाती है, इसलिए उसकी प्रारंभिक बचत 25 है और उसका प्रारंभिक व्यय 100 - 25 = 75 है।

29% की वृद्धि के बाद नई आय 100 × 1.29 = 129 है। 20% की वृद्धि के बाद नया व्यय 75 × 1.20 = 90 है।

नई बचत की गणना इस प्रकार की जाती है: नई आय - नया व्यय: नई बचत = 129 - 90 = 39

बचत में वृद्धि 39 - 25 = 14 है। बचत में प्रतिशत वृद्धि की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि)/(प्रारंभिक मान) × 100 ¹⁴⁄₂₅ × 100 = 14 × 4 = 56%

व्याख्या

3 वर्षों का कुल ब्याज ₹5832 है, इसलिए 1 वर्ष का ब्याज 5832 / 3 = 1944 है। विचलन (deviation) की अवधारणा का उपयोग करते हुए, यदि ₹25600 की पूरी राशि को 7% वार्षिक दर पर निवेश किया गया होता, तो वार्षिक ब्याज 25600 × 7 / 100 = 1792 होता। वास्तविक वार्षिक ब्याज और इस परिकलित ब्याज के बीच का अंतर 1944 - 1792 = 152 है। यह अतिरिक्त राशि इसलिए प्राप्त होती है क्योंकि पूंजी का एक हिस्सा 7% के बजाय 9% पर निवेश किया गया था, जो कि अतिरिक्त 9% - 7% = 2% है। इसलिए, 9% पर निवेश की गई राशि का 2% ₹152 के बराबर है। माना कि 9% पर निवेश की गई राशि x है, तो हमारे पास 0.02x = 152 है। x के लिए हल करने पर x = 152 / 0.02 = 7600 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करने पर, ब्याज की औसत दर (1944 / 25600) × 100 = 243/32% है। भागों का अनुपात (9 - 243/32) : (243/32 - 7) है, जो सरल होकर 45 : 19 हो जाता है। 9% पर निवेश की गई राशि (19 / 64) × 25600 = 19 × 400 = 7600 है।

व्याख्या

तालिका में दिए गए मान संबंधित विषयों में प्रत्येक छात्र द्वारा प्राप्त अंकों के प्रतिशत को दर्शाते हैं। विषय B के लिए, अधिकतम अंक 80 हैं। मंजू, रेखा और अभि के औसत अंक ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले विषय B में उनके प्रतिशत अंकों का औसत ज्ञात करते हैं।

विषय B में मंजू, रेखा और अभि का औसत प्रतिशत = (85 + 75 + 65)/(3) = ²²⁵⁄₃ = 75%

एक बार औसत प्रतिशत ज्ञात हो जाने पर, इस प्रतिशत को विषय के कुल अंकों पर लागू करके औसत अंक की गणना की जा सकती है: औसत अंक = 80 का 75% = ⁷⁵⁄₁₀₀ × 80 = ¾ × 80 = 60

वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक छात्र के व्यक्तिगत अंकों की गणना करने पर: मंजू के अंक = 80 का 85% = 68 रेखा के अंक = 80 का 75% = 60 अभि के अंक = 80 का 65% = 52

अंकों का योग = 68 + 60 + 52 = 180 औसत अंक = ¹⁸⁰⁄₃ = 60

व्याख्या

आय, व्यय और बचत के बीच के संबंध को एलीगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जहाँ कुल आय में प्रतिशत वृद्धि, व्यय और बचत में प्रतिशत वृद्धि का भारित औसत (weighted average) होती है।

दिया गया है: व्यय में वृद्धि (E%) = 20% बचत में वृद्धि (S%) = 40% आय में कुल वृद्धि (I%) = 28%

व्यय (E) और बचत (S) का अनुपात इस प्रकार निर्धारित किया जाता है: E : S = (S% - I%) : (I% - E%) E : S = (40 - 28) : (28 - 20) = 12 : 8 = 3 : 2

कुल आय व्यय और बचत के हिस्सों का योग है, जो कि 3 + 2 = 5 इकाई है। राधा अपनी आय का X% बचाती है, जिसका अर्थ है कि X कुल आय के सापेक्ष बचत का प्रतिशत है: X = (बचत)/(आय) × 100 X = ⅖ × 100 = 40

व्याख्या

द्विपद के घन के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ का उपयोग करते हुए, a = 2 और b = 3x मानकर दाईं ओर के व्यंजक (2 - 3x)³ का विस्तार करने पर:

(2 - 3x)³ = (2)³ - 3(2)²(3x) + 3(2)(3x)² - (3x)³ (2 - 3x)³ = 8 - 36x + 54x² - 27x³

दिया गया समीकरण 8 + 2px² - 36x - 27x³ = (2 - 3x)³ है। समीकरण के दोनों पक्षों में x² के गुणांकों की तुलना करने पर:

2p = 54 p = 54 / 2 p = 27

व्याख्या

कुल समय ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दिए गए समय (12, 16, और 24) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर टैंक की क्षमता निर्धारित करते हैं, जो कि 48 इकाई है।

पाइपों की व्यक्तिगत दक्षता की गणना इस प्रकार की जाती है: A की दक्षता = 48 / 12 = 4 इकाई/घंटा B की दक्षता = 48 / 16 = 3 इकाई/घंटा C की दक्षता = 48 / 24 = -2 इकाई/घंटा (ऋणात्मक क्योंकि यह खाली करने वाला पाइप है)

पहले 4 घंटों के लिए, तीनों पाइप खुले हैं। उनकी संयुक्त दक्षता 4 + 3 - 2 = 5 इकाई/घंटा है। 4 घंटों में भरे गए टैंक का भाग 5 × 4 = 20 इकाई है।

भरी जाने वाली शेष क्षमता 48 - 20 = 28 इकाई है। चूंकि पाइप B बंद है, इसलिए केवल पाइप A और C काम करना जारी रखते हैं। उनकी संयुक्त दक्षता 4 - 2 = 2 इकाई/घंटा है। शेष 28 इकाइयों को भरने में लिया गया समय 28 / 2 = 14 घंटे है।

खाली टैंक को पूरी तरह से भरने के लिए आवश्यक कुल समय प्रारंभिक अवधि और शेष अवधि का योग है: 4 + 14 = 18 घंटे।

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c के चतुर्थानुपाती को उस मान x के रूप में परिभाषित किया जाता है जिससे a : b = c : x प्राप्त होता है, जिससे सूत्र x = (b × c)/(a) प्राप्त होता है। संख्याओं 12, 18, और 6 के लिए, चतुर्थानुपाती है: x = (18 × 6)/(12) = ¹⁰⁸⁄₁₂ = 9.

दो संख्याओं a और b के तृतीयानुपाती को उस मान y के रूप में परिभाषित किया जाता है जिससे a : b = b : y प्राप्त होता है, जिससे सूत्र y = (b²)/(a) प्राप्त होता है। संख्याओं 4 और k के लिए, तृतीयानुपाती है: y = (k²)/(4).

प्रश्न में दिए गए निर्देशानुसार चतुर्थानुपाती को तृतीयानुपाती के बराबर रखने पर: 9 = (k²)/(4) k² = 9 × 4 = 36 k = √(36) = 6.

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि वर्ष 2016 और 2019 को मिलाकर किस शहर में सबसे अधिक पेड़ रोपे गए थे, तालिका में दिए गए मानों का उपयोग करके प्रत्येक शहर के लिए योग की गणना करें।

चंडीगढ़ के लिए, कुल योग 1800 + 2440 = 4240 है। अहमदाबाद के लिए, कुल योग 2500 + 1950 = 4450 है। पुणे के लिए, कुल योग 1800 + 1900 = 3700 है। कोलकाता के लिए, कुल योग 2000 + 1600 = 3600 है।

इन कुल मानों की तुलना करने पर, अहमदाबाद में इन दो विशिष्ट वर्षों में रोपे गए पेड़ों की संख्या सबसे अधिक दर्ज की गई।

व्याख्या

जब छूट और लाभ प्रतिशत शामिल हों, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: (MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)

यह देखते हुए कि दुकानदार 10% की छूट देने के बाद 20% का लाभ कमाता है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: (MP)/(CP) = (100 + 20)/(100 - 10) = ¹²⁰⁄₉₀ = ⁴⁄₃

जब दुकानदार कोई छूट नहीं देता है, तो विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP) के बराबर होता है। इस स्थिति में लाभ प्रतिशत की गणना अंकित मूल्य की सीधे क्रय मूल्य से तुलना करके की जाती है: लाभ% = (MP - CP)/(CP) × 100 लाभ% = ((MP)/(CP) - 1) × 100

समीकरण में अनुपात (MP)/(CP) = ⁴⁄₃ रखने पर: लाभ% = (⁴⁄₃ - 1) × 100 लाभ% = ⅓ × 100 = 33.333...

दशमलव के दो स्थानों तक सही करने पर, लाभ प्रतिशत 33.33% है।

व्याख्या

चूंकि संख्या 593ab, 3, 7 और 11 से विभाज्य है, इसलिए इसे उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से भी विभाज्य होना चाहिए। चूंकि 3, 7 और 11 अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए उनका LCM = 3 × 7 × 11 = 231 होगा।

a और b के विशिष्ट मान ज्ञात करने के लिए, हम 5-अंकीय संख्या के अधिकतम संभावित मान पर विचार करते हैं, जो कि 59399 है, और इसे 231 से विभाजित करते हैं। भाग विधि का उपयोग करने पर, 59399 ÷ 231 करने पर भागफल 257 और शेषफल 32 प्राप्त होता है। 231 का वह सटीक गुणज ज्ञात करने के लिए जो 593ab के रूप में हो, हम अधिकतम मान में से शेषफल को घटाते हैं: 59399 - 32 = 59367

59367 की तुलना 593ab से करने पर, हमें a = 6 और b = 7 प्राप्त होता है।

अब, हम इन मानों को दिए गए व्यंजक (a² - b² + ab) में रखते हैं: 6² - 7² + (6 × 7) = 36 - 49 + 42 = -13 + 42 = 29

व्याख्या

किसी त्रिभुज में, आंतरिक कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु अंतःकेंद्र (incenter) होता है। दो शीर्षों द्वारा अंतःकेंद्र पर बनने वाला कोण, त्रिभुज के तीसरे आंतरिक कोण से सूत्र ∠ BOC = 90° + (∠ A)/(2) द्वारा संबंधित होता है।

दिए गए मान ∠ A = 50° को सूत्र में रखने पर: ∠ BOC = 90° + (50°)/(2) ∠ BOC = 90° + 25° ∠ BOC = 115°

यह सूत्र त्रिभुजों के कोण योग गुणधर्म (angle sum property) से प्राप्त होता है। △ ABC में, ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°, इसलिए ∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A। △ BOC में, आधार पर बनने वाले कोण मूल कोणों के आधे होते हैं, इसलिए ∠ BOC = 180° - (∠ B + ∠ C)/(2)। B और C के योग को प्रतिस्थापित करने पर 180° - (180° - ∠ A)/(2) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 90° + (∠ A)/(2) हो जाता है।

व्याख्या

अंकों में कुल वृद्धि गणित, कंप्यूटर विज्ञान और इतिहास में प्राप्त अतिरिक्त अंकों का योग है: कुल वृद्धि = 27 + 10 + 18 = 55

औसत प्राप्तांक में वृद्धि नए औसत और प्रारंभिक औसत के बीच का अंतर है: औसत में वृद्धि = 72.6 - 67.6 = 5.0

प्रश्न-पत्रों की संख्या n की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: n = (अंकों में कुल वृद्धि) / (औसत प्राप्तांक में वृद्धि)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: n = ⁵⁵⁄₅ = 11

व्याख्या

x³ + (125)/(8x³) का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दिए गए समीकरण 2x² - 7x + 5 = 0 के प्रत्येक पद को 2x से विभाजित करके इसे पुनर्व्यवस्थित करें। इससे x - ⁷⁄₂ + ⁵⁄₂ₓ = 0 प्राप्त होता है, जिसे x + ⁵⁄₂ₓ = ⁷⁄₂ के रूप में लिखा जा सकता है।

वांछित व्यंजक x³ + (125)/(8x³) , a³ + b³ के रूप में है, जहाँ a = x और b = ⁵⁄₂ₓ है। बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हुए, a और b के मान प्रतिस्थापित करें: x³ + (⁵⁄₂ₓ)³ = (x + ⁵⁄₂ₓ)³ - 3(x)(⁵⁄₂ₓ)(x + ⁵⁄₂ₓ)

सर्वसमिका में x + ⁵⁄₂ₓ = ⁷⁄₂ प्रतिस्थापित करें: x³ + (125)/(8x³) = (⁷⁄₂)³ - 3(⁵⁄₂)(⁷⁄₂) x³ + (125)/(8x³) = ³⁴³⁄₈ - ¹⁰⁵⁄₄ x³ + (125)/(8x³) = ³⁴³⁄₈ - ²¹⁰⁄₈ = ¹³³⁄₈

अनुचित भिन्न ¹³³⁄₈ को मिश्रित भिन्न में बदलने पर, हमें 16 ⅝ प्राप्त होता है क्योंकि 133 = (16 × 8) + 5 है। यह मान दिए गए उत्तर से मेल खाता है।

व्याख्या

इस व्यंजक को VBODMAS नियम का उपयोग करके हल किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्धारित करता है।

सबसे पहले, कोष्ठक वाले पद को हल करें: (9 - 13) = -4। इसके बाद, 'का' (of) संकारक का मान ज्ञात करें, जो भाग से पहले हल होता है: 21 का 4 = 21 × 4 = 84। इन मानों को वापस व्यंजक में रखें: 7 × 4 ÷ 84 - 5 ÷ 4 × (-4) + 2 - 2 ÷ 8।

अब, बाएं से दाएं भाग और गुणा की संक्रियाएँ करें। पद 7 × 4 ÷ 84 की गणना 7 × (4 ÷ 84) = 7 × ¹⁄₂₁ = ⅓ के रूप में की जाती है। पद 5 ÷ 4 × (-4) की गणना (⁵⁄₄) × (-4) = -5 के रूप में की जाती है। पद 2 ÷ 8 का मान ¼ है।

अब व्यंजक सरल होकर इस प्रकार हो जाता है: ⅓ - (-5) + 2 - ¼। अचरों (constants) और भिन्नों को मिलाने पर: ⅓ + 5 + 2 - ¼ = 7 + ⅓ - ¼। भिन्नों को घटाने के लिए, 12 का एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करें: 7 + ⁴⁄₁₂ - ³⁄₁₂ = 7 + ¹⁄₁₂। अंतिम परिणाम मिश्रित भिन्न 7 ¹⁄₁₂ है, जिसे विकल्प A में पूर्णांकों द्वारा दर्शाया गया है।

व्याख्या

आंतरिक कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की आसन्न भुजाओं के समानुपाती होते हैं। इसलिए, त्रिभुज ABC में, चूंकि AD, ∠ A का समद्विभाजक है, हमारे पास निम्नलिखित संबंध है:

(BD)/(DC) = (AB)/(AC)

दिए गए मानों AB = 5 सेमी और AC = 7.5 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

(BD)/(DC) = (5)/(7.5) = 2/3

चूंकि BC = BD + DC = 10 सेमी है, हम BD को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

BD = (2)/(2 + 3) × BC = 2/5 × 10 = 4 सेमी

मान लीजिए M, BC का मध्य-बिंदु है। शीर्ष B से मध्य-बिंदु की दूरी है:

BM = (BC)/(2) = 10/2 = 5 सेमी

बिंदु D और मध्य-बिंदु M के बीच की दूरी शीर्ष B से उनकी दूरियों का निरपेक्ष अंतर है:

DM = |BM - BD| = |5 - 4| = 1 सेमी

व्याख्या

माना केलों की कुल संख्या 100 है और प्रत्येक केले का क्रय मूल्य (CP) 1 है। इस प्रकार, कुल क्रय मूल्य (CP) = 100

कुल केलों का एक-पांचवां हिस्सा सड़ गया और फेंक दिया गया: सड़े हुए केले = 1/5 × 100 = 20 विक्रेता के पास बचे हुए केले = 100 - 20 = 80

विक्रेता अपने पास बचे हुए केलों के दो-पांचवें हिस्से को 15% लाभ पर बेचता है: 15% लाभ पर बेची गई मात्रा = 2/5 × 80 = 32 विक्रय मूल्य (SP₁) = 32 × 1.15 = 36.8

शेष केले 10% लाभ पर बेचे जाते हैं: शेष मात्रा = 80 - 32 = 48 विक्रय मूल्य (SP₂) = 48 × 1.10 = 52.8

कुल विक्रय मूल्य (SP) = 36.8 + 52.8 = 89.6

कुल हानि की गणना इस प्रकार की जाती है: हानि = कुल क्रय मूल्य (CP) - कुल विक्रय मूल्य (SP) = 100 - 89.6 = 10.4 हानि प्रतिशत = (हानि / कुल क्रय मूल्य) × 100 = (10.4 / 100) × 100 = 10.4%

व्याख्या

एक चतुर्भुज जिसके शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होते हैं, चक्रीय चतुर्भुज कहलाता है। चक्रीय चतुर्भुज का एक मूलभूत गुणधर्म यह है कि इसके सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

दिए गए चतुर्भुज ABCD के लिए, सम्मुख कोणों के युग्म (∠ A, ∠ C) और (∠ B, ∠ D) हैं। इसलिए, ∠ A + ∠ C = 180° और ∠ B + ∠ D = 180° हैं।

दिया गया है कि ∠ A = 3∠ C, इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर 3∠ C + ∠ C = 180° प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 4∠ C = 180° प्राप्त होता है। इस प्रकार, ∠ C = 45°।

इसी प्रकार, यह दिया गया है कि ∠ D = 2∠ B, या ∠ B = ½∠ D। इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर ½∠ D + ∠ D = 180° प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर ³⁄₂∠ D = 180° प्राप्त होता है। ∠ D के लिए हल करने पर ∠ D = (180° × 2)/(3) = 120° प्राप्त होता है।

∠ D और ∠ C के मापों के बीच का अंतर इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: 120° - 45° = 75°।

व्याख्या

9 वर्षों में अर्जित कुल साधारण ब्याज प्रत्येक विशिष्ट समय अंतराल में अर्जित ब्याज का योग है। संचयी ब्याज प्रतिशत की गणना निम्नानुसार की जाती है:

पहले 2 वर्षों के लिए 8% वार्षिक दर पर: 2 × 8 = 16% अगले 4 वर्षों के लिए 10% वार्षिक दर पर: 4 × 10 = 40% शेष 3 वर्षों की अवधि (9 - 2 - 4 = 3) के लिए 12% वार्षिक दर पर: 3 × 12 = 36%

इन प्रतिशतों को जोड़ने पर मूलधन P के प्रतिशत के रूप में कुल ब्याज प्राप्त होता है: कुल ब्याज प्रतिशत = 16% + 40% + 36% = 92%

यह देखते हुए कि कुल साधारण ब्याज 18358.60 है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: P का 92% = 18358.60 ⁹²⁄₁₀₀ × P = 18358.60 P = (18358.60 × 100)/(92) P = ¹⁸³⁵⁸⁶⁰⁄₉₂

1835860 को 92 से विभाजित करने पर 19955 प्राप्त होता है।

व्याख्या

वर्गाकार मैदान की भुजा s की गणना उसके क्षेत्रफल का वर्गमूल लेकर की जाती है। दिया गया क्षेत्रफल 1764 m² है, इसलिए s = √(1764) = 42 m।

आयताकार पार्क की चौड़ाई b, वर्गाकार मैदान की भुजा की एक-छठवां हिस्सा है, इसलिए b = ⁴²⁄₆ = 7 m। आयताकार पार्क की लंबाई l उसकी चौड़ाई की चार गुना है, जिससे l = 4 × 7 = 28 m प्राप्त होता है।

आयताकार पार्क का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल होता है: क्षेत्रफल = l × b = 28 × 7 = 196 m²

पार्क को समतल करने की कुल लागत की गणना पार्क के क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर समतल करने की दर से गुणा करके की जाती है: कुल लागत = 196 × 30 = 5880

व्याख्या

वृत्त की स्पर्श रेखाओं का गुण यह बताता है कि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। एक वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज ABCD के लिए, इसके शीर्ष बाहरी बिंदुओं के रूप में कार्य करते हैं।

शीर्ष A पर, स्पर्श रेखाएँ AP और AS हैं। दिया गया है AS = 6 सेमी, इसलिए AP = 6 सेमी। शीर्ष C पर, स्पर्श रेखाएँ CQ और CR हैं। दिया गया है CR = 5 सेमी, इसलिए CQ = 5 सेमी। भुजा BC, रेखाखंडों BQ और CQ का योग है, इसलिए BC = BQ + CQ। ज्ञात मानों को रखने पर, 12 = BQ + 5, जिसका अर्थ है BQ = 7 सेमी। शीर्ष B पर, स्पर्श रेखाएँ BP और BQ हैं। चूंकि BQ = 7 सेमी है, इसलिए BP = 7 सेमी। भुजा AB की लंबाई, रेखाखंडों AP और BP का योग है। AB = AP + BP = 6 + 7 = 13 सेमी।

व्याख्या

व्यंजक 25 cos² x + 9 sec² x का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य (AM-GM) असमिका का अनुप्रयोग करते हैं। यह असमिका बताती है कि किन्हीं भी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं A और B के लिए, संबंध (A+B)/(2) ≥ √(AB) लागू होता है, जिसे सरल करने पर A + B ≥ 2√(AB) प्राप्त होता है।

माना A = 25 cos² x और B = 9 sec² x है। चूंकि वास्तविक x के लिए (जहाँ परिभाषित हो) cos² x और sec² x हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं, हम इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

25 cos² x + 9 sec² x ≥ 2 √((25 cos² x) · (9 sec² x))

चूंकि sec x = (1)/(cos x) है, इसलिए गुणनफल cos² x · sec² x का मान 1 होता है। व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

25 cos² x + 9 sec² x ≥ 2 √(25 · 9 · 1)

25 cos² x + 9 sec² x ≥ 2 √(225)

25 cos² x + 9 sec² x ≥ 2 · 15

25 cos² x + 9 sec² x ≥ 30

समता (Equality) तब होती है जब A = B हो, जिसका अर्थ है 25 cos² x = 9 sec² x। इसके परिणामस्वरूप cos⁴ x = ⁹⁄₂₅, या cos² x = ⅗ प्राप्त होता है। चूंकि यह मान cos² x के वैध परास (0 और 1 के बीच) के भीतर है, इसलिए न्यूनतम मान प्राप्त किया जा सकता है और यह 30 के बराबर है।

व्याख्या

(x + ¹⁄ₓ) और (x - ¹⁄ₓ) के बीच का संबंध बीजगणितीय सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = (x + ¹⁄ₓ)² - 4 द्वारा दिया गया है। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

(x - ¹⁄ₓ)² = (¹⁷⁄₄)² - 4 (x - ¹⁄ₓ)² = ²⁸⁹⁄₁₆ - 4 (x - ¹⁄ₓ)² = (289 - 64)/(16) (x - ¹⁄ₓ)² = ²²⁵⁄₁₆

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x - ¹⁄ₓ = ± ¹⁵⁄₄ प्राप्त होता है। चूंकि शर्त x > 1 दी गई है, इसका तात्पर्य है कि x अपने व्युत्क्रम ¹⁄ₓ से बड़ा है, जिससे अंतर x - ¹⁄ₓ धनात्मक हो जाता है।

वैकल्पिक रूप से, अवलोकन द्वारा, x + ¹⁄ₓ = ¹⁷⁄₄ को 4 + ¼ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि x > 1 दिया गया है, हम x = 4 मान सकते हैं। इसे वांछित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4 - ¼ = ¹⁵⁄₄ प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में नाव की चाल u है और नदी की धारा की चाल v है। D दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच आने-जाने की यात्रा में लगने वाला समय T, अनुप्रवाह (downstream) और ऊर्ध्वप्रवाह (upstream) में लगने वाले समय का योग है: T = (D)/(u+v) + (D)/(u-v) = (D(u-v) + D(u+v))/(u² - v²) = (2uD)/(u² - v²)

जब शांत जल में नाव की चाल दोगुनी हो जाती है, तो नई चाल 2u हो जाती है। उसी आने-जाने की यात्रा के लिए लिया गया नया समय T' है: T' = (D)/(2u+v) + (D)/(2u-v) = (D(2u-v) + D(2u+v))/((2u)² - v²) = (4uD)/(4u² - v²)

यह देखते हुए कि नया समय मूल समय से 80/161 के गुणक से संबंधित है, हम अनुपातों की तुलना करते हैं: (T')/(T) = (4uD / (4u² - v²)) / (2uD / (u² - v²)) = 80/161 2(u² - v²) / (4u² - v²) = 80/161

u:v का अनुपात ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणा (cross-multiplying) करने पर: 161 × 2(u² - v²) = 80(4u² - v²) 322u² - 322v² = 320u² - 80v² 322u² - 320u² = 322v² - 80v² 2u² = 242v² u² = 121v²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: u/v = √(121) = 11/1

शांत जल में नाव की चाल का नदी की धारा की चाल से अनुपात 11:1 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण ¹⁄ₓ - (1)/(y) = ¹¹⁄₂₄ से, हमें (y - x)/(xy) = ¹¹⁄₂₄ प्राप्त होता है। दिया गया है कि x - y = 11, इसलिए y - x = -11 होगा। इसे भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर (-11)/(xy) = ¹¹⁄₂₄ प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर xy = -24 प्राप्त होता है।

वह व्यंजक जिसका मान ज्ञात करना है, x³ - y³ + x² y² है। हम बीजगणितीय सर्वसमिका x³ - y³ = (x - y)((x - y)² + 3xy) का उपयोग करके पहले भाग का विस्तार कर सकते हैं। x - y और xy के मान प्रतिस्थापित करने पर: x³ - y³ = 11 × (11² + 3(-24)) = 11 × (121 - 72) = 11 × 49 = 539

इसके बाद, हम व्यंजक के दूसरे भाग का मान ज्ञात करते हैं: x² y² = (xy)² = (-24)² = 576

इन परिणामों को मिलाने पर, अंतिम मान x³ - y³ + x² y² = 539 + 576 = 1115 है।