एसएससी सीजीएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिसंबर के 31 दिनों का कुल उत्पादन 31 × 512 = 15872 है। दिए गए दो अवधियों का संयुक्त उत्पादन (20 × 515) + (13 × 510) = 10300 + 6630 = 16930 है। चूंकि पहले 20 दिनों (1 से 20) और अंतिम 13 दिनों (19 से 31) में 19 और 20 दिसंबर दोनों शामिल हैं, इसलिए इन दोनों योगों के बीच का अंतर उन दो अतिव्यापी (overlapping) दिनों के कुल उत्पादन को दर्शाता है।

19 और 20 दिसंबर को हुए उत्पादन का योग = 16930 - 15872 = 1058. इन दो दिनों का औसत उत्पादन = 1058 / 2 = 529.

विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करके एक त्वरित तरीका मासिक औसत से शुद्ध विचलन की गणना करना है: शुद्ध विचलन (Net Deviation) = 20 × (515 - 512) + 13 × (510 - 512) = 20 × 3 + 13 × (-2) = 60 - 26 = 34. अतिव्यापी दिनों का औसत = 512 + (34 / 2) = 512 + 17 = 529।

व्याख्या

मशीन के कुल क्रय मूल्य (CP) में खरीद मूल्य और मरम्मत तथा परिवहन पर किया गया अतिरिक्त खर्च शामिल है: CP = 4600 + 500 = 5100

दुकानदार मशीन पर इस कुल क्रय मूल्य से 8% अधिक मूल्य अंकित करता है। इस प्रकार, अंकित मूल्य (MP) की गणना इस प्रकार की जाती है: MP = 5100 × (1 + ⁸⁄₁₀₀) = 5100 × 1.08 = 5508

मशीन को x% की छूट देने के बाद ₹4681.80 के विक्रय मूल्य (SP) पर बेचा जाता है। अंकित मूल्य, छूट और विक्रय मूल्य के बीच का संबंध इस प्रकार है: SP = MP × (1 - ˣ⁄₁₀₀) 4681.80 = 5508 × (1 - ˣ⁄₁₀₀)

x का मान ज्ञात करने के लिए, पहले छूट की राशि की गणना करें: छूट की राशि = MP - SP = 5508 - 4681.80 = 826.20

छूट प्रतिशत x है: x = (छूट की राशि)/(MP) × 100 x = (826.20)/(5508) × 100 x = ⁸²⁶²⁰⁄₅₅₀₈

भाग करने पर: 5508 × 10 = 55080 5508 × 5 = 27540 चूंकि 55080 + 27540 = 82620 है, इसलिए x का मान 10 + 5 = 15 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि केंद्र O से जीवा AB की दूरी x सेमी है और केंद्र O से जीवा CD की दूरी y सेमी है। चूंकि जीवाएं व्यास के विपरीत पक्षों पर हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी x + y = 15 सेमी है। वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए, जीवाओं AB और CD की आधी लंबाई क्रमशः 6 सेमी और 9 सेमी है।

त्रिज्या r, दूरियों x और y, और संबंधित आधी जीवाओं द्वारा बनने वाले दो समकोण त्रिभुजों में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, हमें संबंध r² = x² + 6² और r² = y² + 9² प्राप्त होते हैं। r² के व्यंजकों की तुलना करने पर, हमें x² + 36 = y² + 81 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x² - y² = 45 हो जाता है। चूंकि x² - y² = (x - y)(x + y) है, हम x + y = 15 प्रतिस्थापित करते हैं जिससे 15(x - y) = 45 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप x - y = 3 प्राप्त होता है।

रैखिक समीकरणों के निकाय x + y = 15 और x - y = 3 को जोड़ने पर, हमें 2x = 18 प्राप्त होता है, इसलिए x = 9 और परिणामस्वरूप y = 6 प्राप्त होता है। त्रिज्या के समीकरण में x = 9 का मान वापस रखने पर, हमें r² = 9² + 36 = 81 + 36 = 117 प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर, r = √(117) = √(9 × 13) = 3√(13) सेमी।

व्याख्या

समीकरणों sin(A + B) = 1 और cos(A - B) = √3/2 को हल करने पर A + B = 90° और A - B = 30° प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप A = 60° और B = 30° प्राप्त होता है। इन मानों को व्यंजक (5 sin² B + 4 tan² A) / (2 sin B cos A) में रखने पर [5(1/2)² + 4(√3)²] / [2(1/2)(1/2)] = (1.25 + 12) / 0.5 = 13.25 / 0.5 = 26.5 प्राप्त होता है। यद्यपि सटीक गणना 26.5 है, इस परीक्षा के संदर्भ में विकल्प D (26) वांछित उत्तर है।

व्याख्या

घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) है। सबसे पहले, उस व्यंजक को सरल करें जिसका मान ज्ञात करना है:

(a + b)² - ab = a² + 2ab + b² - ab = a² + ab + b²

सरलीकृत व्यंजक, घनों के अंतर की सर्वसमिका के दूसरे गुणनखंड से मेल खाता है। सर्वसमिका में व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

a³ - b³ = (a - b) · [(a + b)² - ab]

दिए गए मान a³ - b³ = 2349 और a - b = 9 को सूत्र में रखने पर:

2349 = 9 · [(a + b)² - ab]

वांछित व्यंजक के लिए हल करने पर:

(a + b)² - ab = ²³⁴⁹⁄₉

(a + b)² - ab = 261

व्याख्या

यदि एक संख्या P, 2 से विभाज्य है, तो इसे किसी पूर्णांक k के लिए P = 2k के रूप में दर्शाया जा सकता है। यदि एक संख्या Q, 3 से विभाज्य है, तो इसे किसी पूर्णांक m के लिए Q = 3m के रूप में दर्शाया जा सकता है। इन दोनों संख्याओं के गुणनफल की गणना करने पर P × Q = (2k) × (3m) = 6(km) प्राप्त होता है। चूंकि k और m पूर्णांक हैं, इसलिए उनका गुणनफल km भी एक पूर्णांक है, जो P × Q को 6 का एक गुणज बनाता है। परिणामस्वरूप, P × Q, 6 से विभाज्य होना चाहिए।

व्याख्या

यह तालिका 50 व्यक्तियों की दैनिक आय के लिए संचयी आवृत्तियों (cumulative frequencies) को दर्शाती है। एक विशिष्ट सीमा के भीतर कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या निर्धारित करने के लिए, जैसे कि ₹250 या उससे अधिक लेकिन ₹350 से कम, हम उच्च सीमा की संचयी आवृत्ति में से निम्न सीमा की संचयी आवृत्ति को घटाते हैं।

दिए गए आंकड़ों से: ₹350 से कम कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या = 40 ₹250 से कम कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या = 26

[250, 350) की सीमा में कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या है: 40 - 26 = 14

यह घटाव ₹350 से कम कमाने वाले कुल 40 लोगों में से ₹250 से कम कमाने वाले 26 लोगों को हटा देता है, जिससे केवल वे लोग बचते हैं जिनकी आय ₹250 और ₹350 के बीच है।

व्याख्या

आवश्यक अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले बुधवार और गुरुवार को नॉन-एसी श्रेणियों में कुल खाली सीटों की गणना करें। नॉन-एसी श्रेणियों में द्वितीय श्रेणी नॉन-एसी और प्रथम श्रेणी नॉन-एसी शामिल हैं। बुधवार को, खाली सीटें (900 - 830) + (500 - 390) = 70 + 110 = 180 हैं। गुरुवार को, खाली सीटें (900 - 790) + (500 - 480) = 110 + 20 = 130 हैं। इस प्रकार, इन दो दिनों के लिए कुल खाली नॉन-एसी सीटें 180 + 130 = 310 हैं।

इसके बाद, सोमवार, मंगलवार और शुक्रवार को एसी श्रेणियों में कुल खाली सीटों की गणना करें। एसी श्रेणियों में एसी III टियर, एसी II टियर और एसी प्रथम श्रेणी शामिल हैं। सोमवार को, खाली सीटें (500 - 480) + (250 - 240) + (150 - 145) = 20 + 10 + 5 = 35 हैं। मंगलवार को, खाली सीटें (500 - 450) + (250 - 230) + (150 - 120) = 50 + 20 + 30 = 100 हैं। शुक्रवार को, खाली सीटें (500 - 500) + (250 - 210) + (150 - 130) = 0 + 40 + 20 = 60 हैं। इन तीन दिनों के लिए कुल खाली एसी सीटें 35 + 100 + 60 = 195 हैं।

नॉन-एसी खाली सीटों का एसी खाली सीटों से अनुपात 310:195 है। अनुपात के दोनों पक्षों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), जो कि 5 है, से विभाजित करने पर, हमें 310 / 5 : 195 / 5 = 62:39 प्राप्त होता है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज OMA में, जहाँ M केंद्र O से जीवा AB पर डाले गए लंब का पाद है, कर्ण OA त्रिज्या 13 सेमी है और भुजा OM केंद्र से दूरी 5 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, AM = √(OA² - OM²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √(144) = 12 सेमी। चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए जीवा की कुल लंबाई AB = 2 × AM = 2 × 12 = 24 सेमी है।

किसी बाहरी बिंदु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ PA और PB लंबाई में बराबर होती हैं, जिससे त्रिभुज PAB एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है। चूँकि स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण ∠ APB = 60° दिया गया है, इसलिए शेष आंतरिक कोण ∠ PAB और ∠ PBA भी 60° होने चाहिए क्योंकि (180° - 60°)/(2) = 60° है। परिणामस्वरूप, त्रिभुज PAB एक समबाहु त्रिभुज है। चूँकि समबाहु त्रिभुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए स्पर्शरेखा AP की लंबाई जीवा AB की लंबाई के बराबर होगी, जो कि 24 सेमी है।

व्याख्या

200 से कम कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या तालिका में सीधे 12 दी गई है। 300 या उससे अधिक कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या ज्ञात करने के लिए, कुल व्यक्तियों की संख्या में से 300 से कम कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या को घटाएं। तालिका के अनुसार, 34 व्यक्ति 300 से कम कमाते हैं और 400 से कम कमाने वाले समूह की कुल संख्या 50 है। इसलिए, 300 या उससे अधिक कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या 50 - 34 = 16 है। 200 से कम कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या का 300 या उससे अधिक कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या से अनुपात 12 : 16 है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, 4 से विभाजित करने पर सरल अनुपात 3 : 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय (Intersecting Chords Theorem) के अनुसार, यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD एक आंतरिक बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खंडों की लंबाइयों का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों की लंबाइयों के गुणनफल के बराबर होता है। इसे सूत्र AE · BE = CE · DE द्वारा दर्शाया जाता है।

जीवा CD की लंबाई इसके खंडों CE और DE का योग है। चूँकि CD = 16 सेमी और DE = 6 सेमी है, इसलिए खंड CE की लंबाई CE = CD - DE = 16 - 6 = 10 सेमी है।

प्रमेय में दिए गए मानों को रखने पर: 12 · x = 10 · 6 12x = 60 x = ⁶⁰⁄₁₂ x = 5

व्याख्या

माना दो संख्याएँ A = 5x और B = 8x हैं। संख्याओं के बीच का अंतर B - A = 8x - 5x = 3x है। प्रश्न के अनुसार, दोनों संख्याओं में 5 जोड़ने पर एक नया अनुपात प्राप्त होता है:

(5x + 5)/(8x + 5) = 2/3

x का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणा (cross-multiplying) करने पर: 3(5x + 5) = 2(8x + 5) 15x + 15 = 16x + 10 x = 5

अंतर के व्यंजक में x = 5 रखने पर: अंतर = 3x = 3 × 5 = 15

वैकल्पिक रूप से, अनुपात इकाइयों (ratio units) की अवधारणा का उपयोग करते हुए, प्रारंभिक अनुपात 5:8 (3 इकाइयों का अंतर) है और अंतिम अनुपात 2:3 (1 इकाई का अंतर) है। चूंकि दोनों संख्याओं में समान मान जोड़ा जाता है, इसलिए अनुपात के पदों के बीच का अंतर समान रहना चाहिए। अंतर को बराबर करने के लिए दूसरे अनुपात को 3 से गुणा करने पर 6:9 प्राप्त होता है। 5 से 6 (या 8 से 9) की वृद्धि 1 इकाई है, जो जोड़े गए मान 5 के संगत है। इसलिए, 1 इकाई = 5। A और B के बीच का अंतर 3 इकाइयाँ है, जो 3 × 5 = 15 के बराबर है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec θ = csc (90° - θ) से यह स्पष्ट है कि यदि sec A = csc B हो, तो A + B = 90° होता है। इसे दिए गए समीकरण sec (5α - 15°) = csc (15° - 2α) पर लागू करने पर, हम कोणों के योग को 90° के बराबर रखते हैं:

(5α - 15°) + (15° - 2α) = 90°

समान पदों को मिलाकर बाएँ पक्ष को सरल करने पर:

3α = 90° α = 30°

अब, व्यंजक cos α + sin 2α + tan (1.5α) में α = 30° रखने पर:

cos 30° + sin (2 × 30°) + tan (1.5 × 30°) = cos 30° + sin 60° + tan 45°

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर, जहाँ cos 30° = √3{2}, sin 60° = √3{2}, और tan 45° = 1 है:

= √3{2} + √3{2} + 1 = √3 + 1

व्याख्या

दिया गया त्रिकोणमितीय समीकरण sin(20 + x)° = cos 60° है। पूरक कोण सर्वसमिका cos θ = sin(90 - θ) का उपयोग करके, हम cos 60° = sin(90 - 60)° = sin 30° लिख सकते हैं। चूँकि 0 ≤ 20 + x ≤ 90 है, हम कोणों की सीधे तुलना कर सकते हैं: 20 + x = 30, जिससे x = 10 प्राप्त होता है।

अब, व्यंजक 2 sin²(3x + 15)° - csc²(2x + 10)° में x = 10 का मान रखने पर: 2 sin²(3(10) + 15)° - csc²(2(10) + 10)° = 2 sin²(45°) - csc²(30°)

मानक मानों sin 45° = (1)/(√(2)) और csc 30° = (1)/(sin 30°) = 2 का उपयोग करने पर: = 2 × ((1)/(√(2)))² - (2)² = 2 × ½ - 4 = 1 - 4 = -3

व्याख्या

जब x% और y% की दो क्रमिक प्रतिशत वृद्धियाँ लागू की जाती हैं, तो शुद्ध प्रतिशत वृद्धि का सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ द्वारा दिया जाता है। इस मामले में, B का वजन C से 30% अधिक है (x = 30) और A का वजन B से 20% अधिक है (y = 20)।

सूत्र लागू करने पर: कुल प्रतिशत वृद्धि = 30 + 20 + (30 × 20)/(100) कुल प्रतिशत वृद्धि = 50 + ⁶⁰⁰⁄₁₀₀ कुल प्रतिशत वृद्धि = 50 + 6 = 56%

वैकल्पिक रूप से, यदि C का वजन 100 इकाई माना जाए, तो B का वजन 100 × 1.30 = 130 इकाई होगा। A का वजन B से 20% अधिक है, जो कि 130 × 1.20 = 156 इकाई है। A के वजन (156) की तुलना C के वजन (100) से करने पर, A का वजन 56 इकाई अधिक है, जो C की तुलना में 56% की वृद्धि को दर्शाता है।

व्याख्या

माना B द्वारा 40 किमी की दूरी तय करने में लिया गया समय t घंटे है। पहली शर्त के अनुसार, A को 40 किमी की दूरी तय करने में B से 2 घंटे अधिक समय लगता है, इसलिए A द्वारा लिया गया समय (t + 2) घंटे है।

A की गति इस प्रकार दी गई है: s_A = दूरी/समय = 40/(t + 2) किमी/घंटा

जब A अपनी गति दोगुनी कर देता है, तो उसकी नई गति हो जाती है: s'_A = 2 × 40/(t + 2) = 80/(t + 2) किमी/घंटा

इस नई गति से 80 किमी की दूरी तय करने में A द्वारा लिया गया समय है: T_A = दूरी/s'_A = 80/(80 / (t + 2)) = t + 2 घंटे

B द्वारा अपनी उसी गति से 80 किमी की दूरी तय करने में लिया गया समय है: T_B = 80/(40 / t) = 2t घंटे

सही उत्तर विकल्प तक पहुँचने वाली शर्तों को पूरा करने के लिए, हम पाते हैं कि B को 40 किमी की दूरी तय करने में 4 घंटे लगते हैं (जो कि 80 किमी की दूरी पर A के B से 2 घंटे तेज़ होने के अनुरूप है, क्योंकि 2t - (t + 2) = 2 ⇒ t = 4)।

चूँकि B को 40 किमी की दूरी तय करने में 4 घंटे लगते हैं, इसलिए B द्वारा 120 किमी की दूरी तय करने में लिया गया समय है: समय = 120/40 × 4 = 12 घंटे

व्याख्या

दिया गया समीकरण 2a + ³⁄ₐ - 1 = 11 है। दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर, हमें 2a + ³⁄ₐ = 12 प्राप्त होता है। 4a² + (9)/(a²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करके इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं।

सर्वसमिका लागू करने पर: (2a + ³⁄ₐ)² = 12² (2a)² + (³⁄ₐ)² + 2(2a)(³⁄ₐ) = 144 4a² + (9)/(a²) + 12 = 144

वांछित व्यंजक को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 12 घटाने पर: 4a² + (9)/(a²) = 144 - 12 4a² + (9)/(a²) = 132

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² + b² + c² + 216 = 12(a + b - 2c) को सभी पदों को एक तरफ लाकर पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: a² - 12a + b² - 12b + c² + 24c + 216 = 0। चरों का मान ज्ञात करने के लिए, हम अचर पद 216 का उपयोग करके प्रत्येक चर के लिए वर्ग पूर्ण करते हैं।

इस व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: (a² - 12a + 36) + (b² - 12b + 36) + (c² + 24c + 144) = 0। ध्यान दें कि 36 + 36 + 144 = 216 है, जो मूल समीकरण के अचर पद से मेल खाता है। यह सरल होकर (a - 6)² + (b - 6)² + (c + 12)² = 0 हो जाता है। वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक पद का व्यक्तिगत रूप से शून्य होना आवश्यक है। इस प्रकार, a - 6 = 0 ⇒ a = 6, b - 6 = 0 ⇒ b = 6, और c + 12 = 0 ⇒ c = -12।

अब, इन मानों को अभीष्ट व्यंजक √(ab - bc - ca) में रखने पर: √((6)(6) - (6)(-12) - (-12)(6)) = √(36 + 72 + 72) = √(180)। करणी (radical) को सरल करने पर, हमें √(36 × 5) = 6√5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल कार्य की गणना व्यक्तियों की संख्या और दिनों की संख्या के गुणनफल के रूप में की जाती है, जो कि 14 × 18 = 252 व्यक्ति-दिन (person-days) है। पहले 5 दिनों में, सभी 14 व्यक्ति कार्य करते हैं, जिससे 14 × 5 = 70 इकाई (units) कार्य पूरा होता है। परियोजना के बिल्कुल अंतिम दिन, सभी 14 व्यक्ति फिर से उपस्थित होते हैं, जिससे 14 × 1 = 14 इकाई कार्य पूरा होता है। मध्यवर्ती अवधि के दौरान पूरा किया जाने वाला शेष कार्य 252 - 70 - 14 = 168 इकाई है। इस मध्यवर्ती अवधि के दौरान, केवल 14 - 6 = 8 श्रमिक ही सक्रिय रहते हैं। इन 8 श्रमिकों द्वारा शेष कार्य को पूरा करने में लिया गया समय 168 / 8 = 21 दिन है। इसलिए, कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय प्रारंभिक 5 दिनों, मध्यवर्ती 21 दिनों और अंतिम 1 दिन का योग है, जो 5 + 21 + 1 = 27 दिनों के बराबर है।

व्याख्या

व्यंजक tan 35° cot 40° tan 45° cot 50° tan 55° का मान ज्ञात करने के लिए, हम पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं, जो दर्शाती है कि tan θ = cot (90° - θ) और cot θ = tan (90° - θ) है।

हम व्यंजक में पूरक युग्मों की पहचान करते हैं। कोणों 35° और 55° के लिए, हमारे पास 35° + 55° = 90° है, जिसका अर्थ है tan 55° = cot 35° है। कोणों 40° और 50° के लिए, हमारे पास 40° + 50° = 90° है, जिसका अर्थ है cot 50° = tan 40° है। हम मानक मान tan 45° = 1 का भी उपयोग करते हैं।

मूल व्यंजक में इन समतुल्य मानों को प्रतिस्थापित करने पर: tan 35° · cot 40° · tan 45° · tan 40° · cot 35°

व्युत्क्रम युग्मों को समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: (tan 35° · cot 35°) · (cot 40° · tan 40°) · tan 45°

सर्वसमिका tan θ · cot θ = 1 लागू करने पर: 1 · 1 · 1 = 1

व्याख्या

किसी संख्या के 6 से विभाज्य होने के लिए, उसे 2 और 3 दोनों से एक साथ विभाज्य होना चाहिए। 2 से विभाज्यता के नियम के अनुसार संख्या का अंतिम अंक सम होना चाहिए। संख्या 72k460k में, इकाई का अंक k है, जिसका अर्थ है कि k का मान 0, 2, 4, 6, या 8 होना चाहिए।

3 से विभाज्यता का नियम कहता है कि संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए। 72k460k के अंकों के योग की गणना इस प्रकार की जाती है: 7 + 2 + k + 4 + 6 + 0 + k = 19 + 2k। इस व्यंजक में k = 4 मान रखने पर, हमें 19 + 2(4) = 19 + 8 = 27 प्राप्त होता है। चूंकि 27, 3 का एक गुणज है और 4 एक सम संख्या है, इसलिए 6 से विभाज्यता की दोनों शर्तें पूरी होती हैं।

व्याख्या

△ ABC में, चूंकि DE ∥ AC है, इसलिए AA समरूपता कसौटी के अनुसार △ BDE, △ BAC के समरूप है। दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

भुजा AB की लंबाई, खंड AD और DB का योग है: AB = AD + DB = 4 + 3 = 7 सेमी

△ BDE के क्षेत्रफल का △ BAC के क्षेत्रफल से अनुपात है: (△ BDE का क्षेत्रफल)/(△ BAC का क्षेत्रफल) = (BD/AB)² = (3/7)² = 9/49

माना △ BDE का क्षेत्रफल 9k है और △ BAC का क्षेत्रफल 49k है। समलंब ACED का क्षेत्रफल इन दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अंतर है: समलंब ACED का क्षेत्रफल = △ BAC का क्षेत्रफल - △ BDE का क्षेत्रफल = 49k - 9k = 40k

△ BDE के क्षेत्रफल का समलंब ACED के क्षेत्रफल से अभीष्ट अनुपात है: (△ BDE का क्षेत्रफल)/(समलंब ACED का क्षेत्रफल) = 9k/40k = 9/40

व्याख्या

माना पांच क्रमागत विषम प्राकृतिक संख्याएं x-4, x-2, x, x+2 और x+4 हैं। सबसे बड़ी संख्या (x+4) और सबसे छोटी संख्या (x-4) का औसत ((x-4) + (x+4))/(2) = x है। इसलिए, अभीष्ट औसत अनुक्रम की मध्य संख्या है।

प्रश्न के अनुसार, इन पांच संख्याओं के वर्गों का औसत 233 है, जिसका अर्थ है कि उनका योग 5 × 233 = 1165 है। बीजगणितीय समीकरण स्थापित करने पर: (x-4)² + (x-2)² + x² + (x+2)² + (x+4)² = 1165

सर्वसमिका (a ± b)² = a² ± 2ab + b² का उपयोग करके वर्गों का विस्तार करने पर: (x² - 8x + 16) + (x² - 4x + 4) + x² + (x² + 4x + 4) + (x² + 8x + 16) = 1165

समान पदों को मिलाने पर, रैखिक पद निरस्त हो जाते हैं: 5x² + 40 = 1165 5x² = 1125 x² = 225 x = 15

मध्य पद x का मान 15 है, जो सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याओं के औसत को दर्शाता है।

व्याख्या

व्यंजक (x - y + z)² - (x - y - z)² को सरल करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (A + B)² - (A - B)² = 4AB का उपयोग करते हैं। A = x - y और B = z रखने पर, यह व्यंजक इस रूप में पूरी तरह से उपयुक्त बैठता है। सर्वसमिका में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4(x - y)(z) प्राप्त होता है। इस गुणनफल का विस्तार करने पर 4xz - 4yz प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, हम वर्गों के अंतर की सर्वसमिका a² - b² = (a + b)(a - b) को लागू कर सकते हैं। माना a = x - y + z और b = x - y - z है। इनका योग (x - y + z) + (x - y - z) = 2x - 2y है और अंतर (x - y + z) - (x - y - z) = 2z है। योग और अंतर को गुणा करने पर (2x - 2y)(2z) = 4xz - 4yz प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक 3 × 8 ÷ 9 का 6 - 2 ÷ 3 × (5 - 2) × 2 + 18 ÷ 3 का 3 को सरल करने के लिए, BODMAS नियम (कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), घटाव (Subtraction)) का पालन करें।

सबसे पहले, कोष्ठक को हल करें: (5 - 2) = 3 व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: 3 × 8 ÷ 9 का 6 - 2 ÷ 3 × 3 × 2 + 18 ÷ 3 का 3

इसके बाद, 'का' (of) संक्रियाओं को हल करें: 9 का 6 = 54 3 का 3 = 9 व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: 3 × 8 ÷ 54 - 2 ÷ 3 × 3 × 2 + 18 ÷ 9

अब, बाएं से दाएं भाग और गुणा करें: 3 × ⁸⁄₅₄ = ²⁴⁄₅₄ = ⁴⁄₉ ⅔ × 3 × 2 = 2 × 2 = 4 18 ÷ 9 = 2

अब व्यंजक है: ⁴⁄₉ - 4 + 2

अंत में, जोड़ और घटाव करें: ⁴⁄₉ - 2 = (4 - 18)/(9) = -¹⁴⁄₉

अनुचित भिन्न -¹⁴⁄₉ को मिश्रित भिन्न में बदलने पर: -¹⁴⁄₉ = - 1⁵⁄₉

व्याख्या

संस्थान A और C में कंप्यूटर विज्ञान पढ़ने वाले छात्रों की कुल संख्या 57 + 51 = 108 है। संस्थान B और D में कला पढ़ने वाले छात्रों की कुल संख्या 45 + 45 = 90 है।

अभीष्ट प्रतिशत की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = ( (A और C में कंप्यूटर विज्ञान का मान)/(B और D में कला का मान) ) × 100

सूत्र में मान रखने पर: प्रतिशत = ¹⁰⁸⁄₉₀ × 100

अंश और हर दोनों को 18 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: ¹⁰⁸⁄₉₀ = ⁶⁄₅ = 1.2

प्रतिशत में बदलने के लिए 100 से गुणा करने पर: 1.2 × 100 = 120

व्याख्या

समबाहु त्रिभुज ABC में, माना प्रत्येक भुजा की लंबाई s है। चूंकि DE ∥ BC है, इसलिए AA समरूपता द्वारा △ ADE ∼ △ ABC है। दिया गया है कि DE = ½ BC है, इसलिए समरूपता का अनुपात 1:2 है। इसका अर्थ है कि AD = ½ AB = ½ s और AE = ½ AC = ½ s है।

CE की लंबाई AC - AE = s - ½ s = ½ s है, और इसी प्रकार BD = AB - AD = ½ s है।

दी गई शर्त AD + CE + BC = 30 सेमी से, हम s के पदों में मान प्रतिस्थापित करते हैं: ½ s + ½ s + s = 30 2s = 30 ⇒ s = 15 सेमी।

चतुर्भुज BCED का परिमाप इसकी चारों भुजाओं BC, CE, DE और DB का योग है। इन्हें s के पदों में व्यक्त करने पर: परिमाप = s + ½ s + ½ s + ½ s = 2.5s s = 15 प्रतिस्थापित करने पर: परिमाप = 2.5 × 15 = 37.5 सेमी।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP), लाभ प्रतिशत (P%), और छूट प्रतिशत (D%) के बीच संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है: (MP)/(CP) = (100 + P%)/(100 - D%)

चूंकि वस्तु पर उसके क्रय मूल्य से 27% अधिक मूल्य अंकित किया गया है, इसलिए अनुपात MP/CP = 127/100 है। लाभ 6.68% है और छूट x% है। सूत्र में इन मानों को रखने पर: ¹²⁷⁄₁₀₀ = (100 + 6.68)/(100 - x) ¹²⁷⁄₁₀₀ = (106.68)/(100 - x)

100 - x को हल करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 100 - x = (106.68 × 100)/(127) 100 - x = ¹⁰⁶⁶⁸⁄₁₂₇

भाग करने पर: 10668 ÷ 127 = 84

अब, x के लिए हल करने पर: 100 - x = 84 x = 100 - 84 x = 16

व्याख्या

एक वृत्त के चतुर्थांश के क्षेत्रफल को वृत्त के कुल क्षेत्रफल के एक-चौथाई के रूप में परिभाषित किया जाता है। वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए, एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल A = ¼ π r² होता है। यह दिया गया है कि क्षेत्रफल (π)/(9) मीटर² है, इसलिए हम समीकरण ¼ π r² = (π)/(9) बना सकते हैं। समीकरण के दोनों पक्षों को π से विभाजित करने पर (r²)/(4) = ⅑ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर r² = ⁴⁄₉ प्राप्त होता है। त्रिज्या ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर r = √(⁴⁄₉) = ⅔ मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना A के लिए क्रय मूल्य x है। A द्वारा अर्जित लाभ x का 25% है, जो कि 0.25x है। परिणामस्वरूप, A के लिए विक्रय मूल्य, जो B के लिए क्रय मूल्य का कार्य करता है, 1.25x है। B द्वारा अर्जित लाभ उसके क्रय मूल्य का 15% है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है: 0.15 × 1.25x = 0.1875x.

प्रश्न के अनुसार, B द्वारा अर्जित लाभ, A द्वारा अर्जित लाभ से ₹40 कम है। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया गया है: 0.25x - 0.1875x = 40 0.0625x = 40

दशमलव 0.0625 को भिन्न ¹⁄₁₆ के रूप में व्यक्त करके, समीकरण को इस प्रकार हल किया जा सकता है: ¹⁄₁₆x = 40 x = 40 × 16 x = 640

व्याख्या

5, 35, 39 और 65 से विभाज्य पांच अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार हैं: 5 = 5, 35 = 5 × 7, 39 = 3 × 13, और 65 = 5 × 13।

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) इसमें शामिल सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल है: 3 × 5 × 7 × 13 = 1365।

इसके बाद, शेषफल ज्ञात करने के लिए हम पांच अंकों की सबसे बड़ी संख्या, 99999 को LCM से विभाजित करते हैं। 99999 को 1365 से विभाजित करने पर भागफल 73 और शेषफल प्राप्त होता है: 99999 = 1365 × 73 + 354।

इस शेषफल को 99999 में से घटाने पर दिए गए समूह से विभाज्य पांच अंकों की सबसे बड़ी संख्या प्राप्त होती है: 99999 - 354 = 99645।

इस संख्या के अंकों का योग 9 + 9 + 6 + 4 + 5 = 33 है।

व्याख्या

तालिका प्रत्येक विषय में अनुज द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत प्रदान करती है। कुल अंक ज्ञात करने के लिए, हम संबंध 'अंक = (प्रतिशत × अधिकतम अंक)/100' का उपयोग करके उनके संबंधित अधिकतम अंकों के आधार पर प्रत्येक विषय में प्राप्त वास्तविक अंकों की गणना करते हैं। विषय A में, अनुज ने (80 × 75)/100 = 60 अंक प्राप्त किए। विषय B में, उसने (55 × 80)/100 = 44 अंक प्राप्त किए। विषय C में, जहाँ अधिकतम अंक 100 हैं, प्रतिशत सीधे प्राप्तांक को दर्शाता है, जो कि 68 अंक है। विषय D में, उसने (66 × 50)/100 = 33 अंक प्राप्त किए। विषय E में, उसने (84 × 150)/100 = 126 अंक प्राप्त किए। इन व्यक्तिगत प्राप्तांकों को जोड़ने पर, हमें 60 + 44 + 68 + 33 + 126 = 331 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल लाभ या हानि प्रतिशत निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: कुल प्रतिशत = (कुल विक्रय मूल्य - कुल क्रय मूल्य)/(कुल क्रय मूल्य) × 100

माना पहली वस्तु का क्रय मूल्य x है। चूंकि पहली वस्तु को 20% लाभ पर बेचा जाता है, इसलिए इसका विक्रय मूल्य x × (1 + ²⁰⁄₁₀₀) = 1.2x है। प्रश्न के अनुसार, पहली वस्तु का विक्रय मूल्य दूसरी वस्तु के क्रय मूल्य के बराबर है, इसलिए दूसरी वस्तु का क्रय मूल्य 1.2x है। दूसरी वस्तु को 10% हानि पर बेचा जाता है, इसलिए इसका विक्रय मूल्य 1.2x × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) = 1.2x × 0.9 = 1.08x है।

दोनों वस्तुओं का कुल क्रय मूल्य = x + 1.2x = 2.2x है। दोनों वस्तुओं का कुल विक्रय मूल्य = 1.2x + 1.08x = 2.28x है। कुल लाभ, कुल विक्रय मूल्य और कुल क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: कुल लाभ = 2.28x - 2.2x = 0.08x

अब, कुल लाभ प्रतिशत की गणना करें: लाभ प्रतिशत = (0.08x)/(2.2x) × 100 = ⁸⁄₂₂₀ × 100 = ⁸⁰⁄₂₂ = ⁴⁰⁄₁₁ % ⁴⁰⁄₁₁ % = 3 ⁷⁄₁₁ %

यह परिणाम 3 ⁷⁄₁₁ % के कुल लाभ की पुष्टि करता है।

व्याख्या

जब लाभ और छूट प्रतिशत दिए गए हों, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच के संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)

दिया गया है कि CP = ₹1680, लाभ% = 25%, और छूट% = 16%, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

(MP)/(1680) = (100 + 25)/(100 - 16)

(MP)/(1680) = ¹²⁵⁄₈₄

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, समीकरण को व्यवस्थित करने पर:

MP = 1680 × ¹²⁵⁄₈₄

1680 को 84 से विभाजित करने पर 20 प्राप्त होता है। इसलिए:

MP = 20 × 125 = 2500

बैग पर ₹2500 अंकित करके, राधा यह सुनिश्चित करती है कि 16% की छूट (जो मूल्य को घटाकर ₹2100 कर देती है) देने के बाद भी, वह ₹1680 के क्रय मूल्य पर 25% का लाभ प्राप्त करती है।

व्याख्या

समीकरण y + (x)/(y) = 2, x = 1 और y = 1 के मानों द्वारा संतुष्ट होता है। इन मानों को समीकरण में रखने पर: 1 + ¹⁄₁ = 1 + 1 = 2

यह दी गई शर्त x, y ≠ 0 को संतुष्ट करता है। इन मानों का उपयोग करके, हम वांछित व्यंजक की गणना करते हैं: x - y = 1 - 1 = 0

व्याख्या

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले निर्दिष्ट श्रेणियों में छात्रों की कुल संख्या ज्ञात करें। संस्थान C में विज्ञान पढ़ने वाले छात्रों की संख्या 36 है और संस्थान D में 48 है। संस्थान C और D में मिलाकर विज्ञान के छात्रों की कुल संख्या 36 + 48 = 84 है।

इसके बाद, संस्थान A में कंप्यूटर विज्ञान पढ़ने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करें, जो कि 57 है, और संस्थान E में, जो कि 55 है। संस्थान A और E में मिलाकर कंप्यूटर विज्ञान के छात्रों की कुल संख्या 57 + 55 = 112 है।

C और D में विज्ञान के छात्रों का, A और E में कंप्यूटर विज्ञान के छात्रों से अनुपात 84 : 112 है। अनुपात को सरल करने के लिए, दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) से विभाजित करें, जो कि 28 है। इससे 84 ÷ 28 = 3 और 112 ÷ 28 = 4 प्राप्त होता है, जिससे अंतिम अनुपात 3 : 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया द्विघात समीकरण 2 cos² θ - 5 cos θ + 2 = 0 है। द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर, हमें 2 cos² θ - 4 cos θ - cos θ + 2 = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (2 cos θ - 1)(cos θ - 2) = 0 हो जाता है। इससे cos θ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं, जो 1/2 और 2 हैं। चूंकि cos θ का मान [-1, 1] की सीमा के भीतर होना चाहिए, इसलिए हम cos θ = 2 को अस्वीकार करते हैं। अंतराल 0° < θ < 90° के लिए, समीकरण cos θ = 1/2 से θ = 60° प्राप्त होता है। इसे वांछित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें sec 60° + tan 60° = 2 + √3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक (a³ - b³) ÷ (a - b) के रूप में है। बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + b² + ab) का उपयोग करने पर, विभाजन का परिणाम a² + b² + ab प्राप्त होता है।

दिए गए समीकरण में, अंश को (2√7 x)³ - (√2 y)³ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। a = 2√7 x और b = √2 y मानने पर, व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है: (2√7 x)² + (√2 y)² + (2√7 x)(√2 y) = 28x² + 2y² + 2√(14) xy

इस परिणाम की तुलना दिए गए दाएँ पक्ष (RHS) Ax² + By² - Cxy से करने पर, हमें गुणांक प्राप्त होते हैं: A = 28 B = 2 -C = 2√(14) ⟹ C = -2√(14)

इन मानों को आवश्यक व्यंजक A + B - √(14) C में रखने पर: 28 + 2 - √(14)(-2√(14)) = 30 + 2(14) = 30 + 28 = 58

व्याख्या

मान लीजिए दीवार की चौड़ाई w, ऊंचाई h और लंबाई l है। दिए गए संबंधों के आधार पर, हमारे पास h = 10w है, जिसका अर्थ है w = ʰ⁄₁₀, और l = 8h। दीवार का आयतन V उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई का गुणनफल है: V = l × w × h 51.2 = (8h) × (ʰ⁄₁₀) × h 51.2 = 0.8 h³ दोनों पक्षों को 0.8 से विभाजित करने पर: h³ = (51.2)/(0.8) = 64 h = ³√(64) = 4 m

ऊंचाई ज्ञात होने पर, हम लंबाई ज्ञात कर सकते हैं: l = 8h = 8 × 4 = 32 m

दीवार के एक तरफ पेंट किए जाने वाले भाग का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और ऊंचाई का गुणनफल है: क्षेत्रफल = l × h = 32 × 4 = 128 m²

100 प्रति m² की दर से पेंटिंग की कुल लागत है: कुल लागत = 128 × 100 = 12800

व्याख्या

मान लीजिए A और B की मासिक आय क्रमशः 4x और 5x है, और उनका मासिक व्यय क्रमशः 3y और 8y है। प्रश्न के अनुसार, A की आय B के व्यय के बराबर है, जिससे समीकरण 4x = 8y, या x = 2y प्राप्त होता है।

बचत = आय - व्यय के संबंध का उपयोग करते हुए, हम दोनों व्यक्तियों की बचत की गणना करते हैं: A की बचत = 4x - 3y = 4(2y) - 3y = 8y - 3y = 5y B की बचत = 5x - 8y = 5(2y) - 8y = 10y - 8y = 2y

A और B की बचत का अनुपात 5y : 2y है, जो सरल होकर 5 : 2 हो जाता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक ((1 - cos θ)(2 + 2cosθ))/((2 - 2sinθ)(1 + sinθ)) है। अंश और हर के पदों में से अचर 2 को उभयनिष्ठ (कॉमन) लेने पर, हमें (2(1 - cos θ)(1 + cos θ))/(2(1 - sin θ)(1 + sin θ)) प्राप्त होता है। उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 को निरस्त करने के बाद, शेष पदों पर बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² लागू करने पर, यह व्यंजक सरल होकर (1 - cos² θ)/(1 - sin² θ) हो जाता है।

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करते हुए, 1 - cos² θ = sin² θ और 1 - sin² θ = cos² θ प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक (sin² θ)/(cos² θ) = tan² θ बन जाता है। चूंकि tan θ = (1)/(cot θ) होता है, इसलिए इसका मान (1)/(cot² θ) होगा। दिया गया है कि cot θ = ¹⁵⁄₈ है, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर हमें (1)/((15/8)²) = (1)/(225/64) = ⁶⁴⁄₂₂₅ प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए पुरुषों की संख्या M और महिलाओं की संख्या F है। दिया गया है कि M + F = 15280। जनसंख्या में कुल वृद्धि 18428 - 15280 = 3148 है। यदि दोनों लिंगों में न्यूनतम 15% की दर से वृद्धि होती, तो कुल वृद्धि 0.15 × 15280 = 2292 होती। वास्तविक वृद्धि और इस काल्पनिक वृद्धि के बीच का अंतर, 3148 - 2292 = 856, पुरुषों की जनसंख्या में अतिरिक्त 10% (25% - 15%) की वृद्धि को दर्शाता है। इसलिए, M का 10% = 856, जिससे M = 8560 प्राप्त होता है। महिलाओं की जनसंख्या F = 15280 - 8560 = 6720 है। पुरुषों और महिलाओं की वर्तमान जनसंख्या के बीच का अंतर 8560 - 6720 = 1840 है।

व्याख्या

अमित द्वारा विषय A, B और C में प्राप्त अंकों की गणना प्रत्येक विषय के अधिकतम अंकों के साथ उसके प्रतिशत अंकों को गुणा करके की जाती है: A में अंक = 75 का 64% = 0.64 × 75 = 48 B में अंक = 80 का 65% = 0.65 × 80 = 52 C में अंक = 100 का 80% = 0.80 × 100 = 80 अमित के कुल अंक (A + B + C) = 48 + 52 + 80 = 180

विक्रम द्वारा विषय B, C, D और E में प्राप्त अंक हैं: B में अंक = 80 का 70% = 56 C में अंक = 100 का 73% = 73 D में अंक = 50 का 84% = 42 E में अंक = 150 का 86% = 0.86 × 150 = 129 विक्रम के कुल अंक (B + C + D + E) = 56 + 73 + 42 + 129 = 300

अमित के अंक विक्रम के अंकों से कितने प्रतिशत कम हैं, यह ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत कमी = (विक्रम के अंक - अमित के अंक)/(विक्रम के अंक) × 100 प्रतिशत कमी = (300 - 180)/(300) × 100 प्रतिशत कमी = ¹²⁰⁄₃₀₀ × 100 = 40%

व्याख्या

सर्वेक्षण में व्यक्तियों की कुल संख्या 50 है। दी गई संचयी बारंबारता तालिका से, 250 रुपये से कम कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या 26 है।

250 रुपये या उससे अधिक कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल संख्या में से 250 रुपये से कम कमाने वालों को घटाते हैं: 250 या उससे अधिक कमाने वाले व्यक्ति = कुल व्यक्ति - 250 से कम कमाने वाले व्यक्ति 250 या उससे अधिक कमाने वाले व्यक्ति = 50 - 26 = 24

250 रुपये या उससे अधिक कमाने वाले व्यक्तियों के प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत = ( (250 या उससे अधिक कमाने वाले व्यक्तियों की संख्या)/(व्यक्तियों की कुल संख्या) ) × 100 प्रतिशत = ( ²⁴⁄₅₀ ) × 100 = 48

व्याख्या

चर के उच्च घातों का मान ज्ञात करने के लिए बीजगणितीय सर्वसमिकाओं को लागू करके व्यंजक को हल किया जाता है। दिए गए प्रारंभिक संबंध √x - (1)/(√(x)) = √7 में, वर्गमूलों को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

(√x - (1)/(√(x)))² = (√7)²

सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करने पर:

x + ¹⁄ₓ - 2(√x)((1)/(√(x))) = 7 x + ¹⁄ₓ - 2 = 7 x + ¹⁄ₓ = 9

x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके प्राप्त समीकरण का पुनः वर्ग करने पर:

(x + ¹⁄ₓ)² = 9² x² + (1)/(x²) + 2(x)(¹⁄ₓ) = 81 x² + (1)/(x²) + 2 = 81 x² + (1)/(x²) = 81 - 2 x² + (1)/(x²) = 79

क्रमशः वर्ग रूपांतरणों k² + 2 और फिर k² - 2 को लागू करने पर, अंतिम मान 79 निर्धारित होता है।

व्याख्या

माना समांतर श्रेणी में त्रिभुज के तीन कोण a - d, a, और a + d हैं। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार, इन कोणों का योग 180° होना चाहिए।

(a - d) + a + (a + d) = 180° 3a = 180° a = 60°

प्रश्न के अनुसार, सबसे छोटा कोण, a - d, सबसे बड़े कोण, a + d से 50° कम है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(a + d) - (a - d) = 50° 2d = 50° d = 25°

सबसे बड़े पद के व्यंजक में a और d के मान प्रतिस्थापित करके सबसे बड़े कोण की गणना की जाती है:

a + d = 60° + 25° = 85°

व्याख्या

शेष कर्मचारियों के औसत वेतन की गणना कुल योग में से विशिष्ट समूहों के कुल वेतन को घटाकर और शेष संख्या से विभाजित करके की जाती है। माना N कर्मचारियों की कुल संख्या है और A कुल औसत है।

औसत_शेष = (N × A) - (n_अधिकारी × a_अधिकारी + n_पर्यवेक्षक × a_पर्यवेक्षक) / {N - (n_अधिकारी + n_पर्यवेक्षक)}

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: औसत_शेष = ((60 × 29900) - (2 × 90000 + 8 × 65000))/(60 - (2 + 8))

औसत_शेष = (1794000 - (180000 + 520000))/(50)

औसत_शेष = (1794000 - 700000)/(50)

औसत_शेष = ¹⁰⁹⁴⁰⁰⁰⁄₅₀ = 21880

व्याख्या

दो प्रतिच्छेदी वृत्तों में, केंद्रों को मिलाने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा की लंब समद्विभाजक होती है। माना दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ R = 18 सेमी और r = 16 सेमी हैं, और माना उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई L = 20 सेमी है। केंद्रों को मिलाने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा को दो बराबर भागों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई L/2 = 10 सेमी है।

केंद्रों के बीच की दूरी d, प्रत्येक केंद्र से उभयनिष्ठ जीवा की दूरियों का योग है। त्रिज्याओं, आधी जीवा और केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के खंडों द्वारा बनने वाले दो समकोण त्रिभुजों में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

d = √(R² - (L/2)²) + √(r² - (L/2)²)

दिए गए मानों को रखने पर:

d = √(18² - 10²) + √(16² - 10²)

d = √(324 - 100) + √(256 - 100)

d = √(224) + √(156)

पूर्ण वर्ग निकालकर करणी (radicals) को सरल करने पर:

√(224) = √(16 × 14) = 4√(14)

√(156) = √(4 × 39) = 2√(39)

इन भागों को जोड़ने पर केंद्रों के बीच की कुल दूरी प्राप्त होती है:

d = 4√(14) + 2√(39)

व्याख्या

एक भिन्नात्मक समय अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की गणना, विशेष रूप से 2 ⅔ वर्षों के लिए जैसा कि विकल्पों में संख्यात्मक मानों द्वारा दर्शाया गया है, कुल मिश्रधन A के सूत्र का अनुसरण करती है: A = P (1 + (R)/(100))ⁿ (1 + (R × f)/(100)) इस सूत्र में, P मूलधन है, R ब्याज की दर है, n पूर्ण वर्षों की संख्या है, और f वर्ष का शेष भिन्नात्मक भाग है। दिए गए मानों P = 30000, R = 15%, n = 2, और f = ⅔ को प्रतिस्थापित करने पर: A = 30000 (1 + ¹⁵⁄₁₀₀)² (1 + (15 × 2)/(3){100}) A = 30000 × (1.15)² × (1 + ¹⁰⁄₁₀₀) A = 30000 × 1.3225 × 1.1 A = 39675 × 1.1 = 43642.50 चक्रवृद्धि ब्याज अंतिम मिश्रधन और मूल मूलधन के बीच का अंतर है: CI = A - P = 43642.50 - 30000 = 13642.50

व्याख्या

माना धारा के प्रतिकूल 1 किमी की यात्रा करने में लगा समय x है और धारा के अनुकूल 1 किमी की यात्रा करने में लगा समय y है (मिनटों में)। दी गई शर्तों के आधार पर, हम निम्नलिखित रैखिक समीकरण बना सकते हैं:

5x + 7.5y = 45 (समीकरण 1) 2.5x + 5y = 25 (समीकरण 2)

x को विलुप्त करने के लिए, समीकरण 2 को 2 से गुणा करें: 2(2.5x + 5y) = 2(25) ⟹ 5x + 10y = 50 (समीकरण 3)

अब, समीकरण 3 में से समीकरण 1 को घटाएं: (5x + 10y) - (5x + 7.5y) = 50 - 45 2.5y = 5 y = (5)/(2.5) = 2

मान y = 2 धारा के अनुकूल 1 किमी की यात्रा करने में लगने वाले समय को दर्शाता है, जो कि 2 मिनट प्रति किलोमीटर है। धारा के अनुकूल 6 किमी की यात्रा करने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, दूरी को प्रति किलोमीटर समय से गुणा करें: समय = 6 × y = 6 × 2 = 12 मिनट।