एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका Cosec² θ = 1 + Cot² θ का उपयोग करते हुए, हम दिए गए मान Cot θ = 21/20 को प्रतिस्थापित करते हैं:

Cosec² θ = 1 + (²¹⁄₂₀)²

Cosec² θ = 1 + ⁴⁴¹⁄₄₀₀

Cosec² θ = (400 + 441)/(400) = ⁸⁴¹⁄₄₀₀

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर Cosec θ = √(⁸⁴¹⁄₄₀₀) = ²⁹⁄₂₀ प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, इसे एक समकोण त्रिभुज के गुणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। चूंकि Cot θ = (आधार)/(लंब) = ²¹⁄₂₀ है, हम भुजाओं को आधार = 21 और लंब = 20 के रूप में पहचान सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण की गणना की जाती है: H = √(21² + 20²) = √(441 + 400) = √(841) = 29। Cosec θ का मान कर्ण और लंब के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जो ²⁹⁄₂₀ है।

व्याख्या

दो बराबर भुजाओं a = 20 सेमी और आधार b = 30 सेमी वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए, आधार पर खींचा गया शीर्षलंब h इसे 15 सेमी के दो बराबर भागों में विभाजित करता है। प्राप्त समकोण त्रिभुजों में से एक पर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, ऊंचाई है: h = √(a² - (ᵇ⁄₂)²) h = √(20² - 15²) = √(400 - 225) = √(175) h = √(25 × 7) = 5√7 सेमी

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई क्षेत्रफल = ½ × 30 × 5√7 = 15 × 5√7 = 75√7 सेमी²

वैकल्पिक रूप से, हेरॉन का सूत्र लागू किया जा सकता है। सबसे पहले, अर्ध-परिमाप s ज्ञात कीजिए: s = (20 + 20 + 30)/(2) = 35 क्षेत्रफल = √(s(s-a)(s-a)(s-b)) क्षेत्रफल = √(35(35-20)(35-20)(35-30)) क्षेत्रफल = √(35 × 15 × 15 × 5) क्षेत्रफल = 15 √(175) = 15 × 5√7 = 75√7 सेमी²

व्याख्या

भागफल ज्ञात करने के लिए, हम भाज्य 2143 को भाजक 38 से विभाजित करते हैं।

हम सबसे पहले भाज्य के पहले तीन अंकों, 214 को 38 से विभाजित करते हैं। चूंकि 38 × 5 = 190 और 38 × 6 = 228 है, इसलिए भागफल का पहला अंक 5 है। 214 में से 190 घटाने पर शेषफल 24 बचता है।

इसके बाद, हम भाज्य के अंतिम अंक, 3 को शेषफल 24 के साथ नीचे लाते हैं, जिससे नई संख्या 243 बन जाती है। फिर हम 243 को 38 से विभाजित करते हैं। चूंकि 38 × 6 = 228 और 38 × 7 = 266 है, इसलिए भागफल का दूसरा अंक 6 है। 243 में से 228 घटाने पर अंतिम शेषफल 15 बचता है।

विभाजन की प्रक्रिया को सूत्र भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, जो इस मामले में 2143 = (38 × 56) + 15 है। इसलिए, पूर्णांक भागफल 56 है।

व्याख्या

B द्वारा अकेले काम पूरा करने में लिया गया समय कार्य दर सूत्र 1/T_B = 1/T_A₊_B - 1/T_A का उपयोग करके निकाला जाता है। यह देखते हुए कि A और B मिलकर 15 दिन लेते हैं और A अकेला 20 दिन लेता है, समीकरण 1/T_B = 1/15 - 1/20 हो जाता है। 60 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का उपयोग करने पर, गणना से 1/T_B = (4 - 3) / 60 = 1/60 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि B को अकेले पूरा काम समाप्त करने में 60 दिन लगेंगे। B द्वारा आधा काम पूरा करने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम कुल समय को 2 से विभाजित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 60 / 2 = 30 दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

एक आयत में, विकर्ण दो आसन्न भुजाओं के साथ एक समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाता है। पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, d² = l² + w², जहाँ d विकर्ण है, l लंबाई है, और w चौड़ाई है। दिया गया है d = 51 सेमी और एक भुजा w = 24 सेमी, दूसरी भुजा l की गणना इस प्रकार की जाती है:

l = √(51² - 24²) l = √((51 + 24)(51 - 24)) l = √(75 × 27) l = √2025 = 45 सेमी

आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल होता है:

क्षेत्रफल = l × w = 45 × 24 = 1080 वर्ग सेमी।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) का निर्धारण क्रय मूल्य (CP) में मूल्य-वृद्धि (markup) प्रतिशत जोड़कर किया जाता है। दिया गया है CP = 7500 रुपये और मूल्य-वृद्धि = 60%: MP = CP × (1 + ⁶⁰⁄₁₀₀) = 7500 × 1.6 = 12000

विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य पर 10% की छूट लागू करने के बाद प्राप्त होता है: SP = MP × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) = 12000 × 0.9 = 10800

वैकल्पिक रूप से, गुणकों के साथ एकल चरण का उपयोग करके: SP = CP × 1.60 × 0.90 SP = 7500 × 1.44 = 10800

व्याख्या

माना कि चारों संख्याओं में से प्रत्येक में जोड़ी जाने वाली संख्या x है। परिणामी संख्याओं के समानुपात में होने के लिए, पहली दो संख्याओं का अनुपात अंतिम दो संख्याओं के अनुपात के बराबर होना चाहिए। इस स्थिति को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(94 + x)/(24 + x) = (100 + x)/(26 + x)

x का मान ज्ञात करने के लिए, पदों का तिर्यक-गुणन (cross-multiply) करें: (94 + x)(26 + x) = (100 + x)(24 + x)

समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: 2444 + 94x + 26x + x² = 2400 + 100x + 24x + x²

दोनों पक्षों से x² को निरस्त करके और समान पदों को जोड़कर समीकरण को सरल करें: 2444 + 120x = 2400 + 124x

पदों को स्थानांतरित करके चर x को अलग करें: 124x - 120x = 2444 - 2400 4x = 44 x = 11

प्रत्येक संख्या में 11 जोड़ने पर, हमें 105, 35, 111 और 37 प्राप्त होते हैं। अनुपात ¹⁰⁵⁄₃₅ = 3 और अनुपात ¹¹¹⁄₃₇ = 3 है। चूंकि अनुपात बराबर हैं, इसलिए संख्याएं समानुपात में हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि 16 मैचों के बाद औसत x है। चूंकि 16वें मैच के बाद औसत में 3 रनों की वृद्धि हुई है, इसलिए पहले 15 मैचों का औसत x - 3 था। 16 मैचों के बाद बनाए गए कुल रनों को 16x द्वारा दर्शाया जाता है। इस कुल योग की गणना पिछले 15 मैचों के कुल रनों में 16वें मैच में बनाए गए रनों को जोड़कर भी की जा सकती है:

16x = 15(x - 3) + 81

x का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को हल करने पर: 16x = 15x - 45 + 81 16x - 15x = 36 x = 36

यह परिणाम रनों के वितरण पर विचार करके भी प्राप्त किया जा सकता है। 16वें मैच में बनाए गए 81 रनों ने नए औसत में योगदान दिया और पिछले 15 मैचों में से प्रत्येक के लिए 3 रनों की वृद्धि भी प्रदान की। इसलिए, 16वें मैच के बाद का औसत है: 81 - (15 × 3) 81 - 45 = 36

व्याख्या

12 केलों का क्रय मूल्य (CP) 60 रुपये है, इसलिए एक केले का क्रय मूल्य (CP) 60 / 12 = 5 रुपये है। 5 केलों का विक्रय मूल्य (SP) 32 रुपये है, जिसका अर्थ है कि एक केले का विक्रय मूल्य (SP) 32 / 5 = 6.4 रुपये है।

प्रति केले लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: SP - CP = 6.4 - 5 = 1.4 रुपये।

लाभ प्रतिशत की गणना करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें: लाभ% = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100 लाभ% = (1.4)/(5) × 100 = 1.4 × 20 = 28%

वैकल्पिक रूप से, 12 और 5 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का उपयोग करके केलों की मात्रा को बराबर करें, जो कि 60 है। 60 केलों का क्रय मूल्य (CP) = 60 × 5 = 300 रुपये 60 केलों का विक्रय मूल्य (SP) = 12 × 32 = 384 रुपये लाभ% = (384 - 300)/(300) × 100 = ⁸⁴⁄₃ = 28%

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है। चूँकि O केंद्र है और R, P, Q वृत्त पर स्थित बिंदु हैं, इसलिए OR = OQ = OP = r होगा। यह दिया गया है कि QS = OR, जिसका अर्थ है कि QS = r है।

△ OQS में, चूँकि OQ = QS = r है, इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है। अतः, आधार कोण बराबर होंगे: ∠ QOS = ∠ QSR = 30°

△ OQS में, शीर्ष Q पर बाह्य कोण ∠ OQP, अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर है: ∠ OQP = ∠ QOS + ∠ QSR = 30° + 30° = 60°

△ OPQ में, चूँकि OP = OQ = r है, इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है। अतः: ∠ OPQ = ∠ OQP = 60°

चूँकि R, O, S एक रेखाखंड है, इसलिए ∠ POR, शीर्ष O पर △ OPS का बाह्य कोण है। किसी त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो सम्मुख अंतः कोणों के योग के बराबर होता है: ∠ POR = ∠ OPS + ∠ PSO ∠ POR = 60° + 30° = 90°

व्याख्या

माना मजदूर B को भुगतान की गई राशि x है। चूंकि A को B का 180 प्रतिशत भुगतान किया जाता है, इसलिए A को भुगतान की गई राशि 1.8x है। दोनों के लिए कुल दैनिक भुगतान 1120 रुपये है।

x + 1.8x = 1120 2.8x = 1120 x = (1120)/(2.8) x = ¹¹²⁰⁰⁄₂₈ x = 400

व्याख्या

पूरी यात्रा के लिए औसत गति की गणना इस प्रकार की जाती है: कुल दूरी / कुल समय = 99 किमी / 9 घंटे = 11 किमी/घंटा। मिश्रण के नियम (rule of alligation) को लागू करने पर, पैदल यात्रा करने में लगे समय और साइकिल से यात्रा करने में लगे समय का अनुपात व्यक्तिगत गतियों और औसत गति के बीच के अंतर से निर्धारित होता है।

समय का अनुपात (पैदल : साइकिल) = (18 - 11) : (11 - 9) = 7 : 2।

चूंकि यात्रा का कुल समय 9 घंटे है, इसलिए पैदल यात्रा करने में लगा समय 7:2 के अनुपात के 7 भागों के संगत है। चूंकि अनुपात के भागों का योग 7 + 2 = 9 कुल घंटों से मेल खाता है, इसलिए व्यक्ति ने 7 घंटे पैदल यात्रा की। इसलिए, पैदल तय की गई दूरी = गति × समय = 9 किमी/घंटा × 7 घंटे = 63 किमी है।

व्याख्या

r% वार्षिक की दर से दो वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की प्रभावी दर सूत्र R = r + r + (r²)/(100) द्वारा दी जाती है। 15% की दर के लिए, प्रभावी ब्याज दर 15 + 15 + (15²)/(100) = 30 + 2.25 = 32.25% है।

दिया गया है कि अर्जित कुल चक्रवृद्धि ब्याज 20640 रुपये है, निवेश की गई राशि (P) की गणना करने के लिए हम संबंध CI = P × (R)/(100) का उपयोग करते हैं। समीकरण में मान रखने पर:

20640 = P × (32.25)/(100) P = (20640 × 100)/(32.25) P = (2064000)/(32.25) P = 64000

व्याख्या

दिया गया समीकरण ⁵ˣ⁄₂ - (7(6x - 3)/(2)){4} = ⅝ है। सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के पद को 6x - ³⁄₂ को (12x - 3)/(2) के रूप में व्यक्त करके सरल करें। इसे वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें ⁵ˣ⁄₂ - (7(12x - 3)/(2)){4} = ⅝ प्राप्त होता है, जो आगे सरल होकर ⁵ˣ⁄₂ - (84x - 21)/(8) = ⅝ हो जाता है।

हर को हटाने के लिए, पूरे समीकरण को उभयनिष्ठ हर 8 से गुणा करें। इससे 4(5x) - (84x - 21) = 5 प्राप्त होता है। पदों का विस्तार करने पर 20x - 84x + 21 = 5 प्राप्त होता है। x वाले पदों को मिलाने पर -64x + 21 = 5 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 21 घटाने पर -64x = 5 - 21 प्राप्त होता है, जो सरल होकर -64x = -16 हो जाता है। x के लिए हल करने पर x = ⁻¹⁶⁄₋₆₄ प्राप्त होता है, जो घटकर x = ¼ हो जाता है।

व्याख्या

दिए गए पदों के बीच का संबंध बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) द्वारा परिभाषित है। इस सूत्र में दिए गए मान a³ - b³ = 91 और a - b = 1 रखने पर प्राप्त होता है:

91 = (1)³ + 3ab(1) 91 = 1 + 3ab 90 = 3ab ab = 30

व्याख्या

माना कि अभीष्ट भिन्न x है। प्रश्नानुसार, भिन्न और उसके व्युत्क्रम के दोगुने के बीच का अंतर 7/15 है। इस संबंध को समीकरण x - 2(1/x) = 7/15 द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

समीकरण में x = 5/3 रखने पर: बायाँ पक्ष (LHS) = 5/3 - 2(3/5) बायाँ पक्ष (LHS) = 5/3 - 6/5

इसे हल करने के लिए, हम हरों 3 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेते हैं, जो कि 15 है: बायाँ पक्ष (LHS) = (25 - 18) / 15 बायाँ पक्ष (LHS) = 7/15

चूंकि परिकलित मान दिए गए अंतर 7/15 से मेल खाता है, इसलिए भिन्न 5/3 सही है। वैकल्पिक रूप से, यह स्थिति द्विघात समीकरण 15x² - 7x - 30 = 0 की ओर ले जाती है। इसे (3x - 5)(5x + 6) = 0 के रूप में गुणनखंडित करने पर धनात्मक मूल x = 5/3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी (AP) के प्रथम n पदों के योगफल की गणना सूत्र Sₙ = ⁿ⁄₂(a + l) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ n पदों की संख्या है, a प्रथम पद है, और l अंतिम पद है। इस प्रश्न में, दिए गए मान n = 17, a = -20, और l = 28 हैं। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें S₁₇ = ¹⁷⁄₂(-20 + 28) प्राप्त होता है। कोष्ठक के भीतर के योग की गणना करने पर 8 प्राप्त होता है। इसके बाद समीकरण सरल होकर S₁₇ = ¹⁷⁄₂ × 8 हो जाता है, जिसे 8 को 2 से विभाजित करके 17 × 4 के रूप में और सरल किया जा सकता है। अंतिम गुणा करने पर कुल योगफल 68 प्राप्त होता है। यह प्रत्यक्ष सूत्र-आधारित दृष्टिकोण एक परिमित समांतर श्रेणी का योगफल ज्ञात करने की मानक विधि है जब प्रथम पद, अंतिम पद और पदों की कुल संख्या दी गई हो।

व्याख्या

एक ऊर्ध्वाधर रेखा x = k में किसी बिंदु (x, y) के प्रतिबिंब के परिणामस्वरूप एक बिंदु (x', y') प्राप्त होता है, जहाँ y-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है (y' = y) और x-निर्देशांक सूत्र x' = 2k - x द्वारा निर्धारित होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि रेखा x = k मूल बिंदु और उसके प्रतिबिंब को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु होनी चाहिए।

दिए गए बिंदु (-3, 1) और परावर्तन रेखा x = -2 के लिए, हमारे पास x = -3, y = 1, और k = -2 है। x-निर्देशांक के लिए सूत्र लागू करने पर:

x' = 2(-2) - (-3) x' = -4 + 3 = -1

चूंकि y-निर्देशांक समान रहता है, इसलिए y' = 1 है। अतः, प्रतिबिंबित बिंदु (-1, 1) है।

व्याख्या

शीर्षों A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), और C(x₃, y₃) वाले एक त्रिभुज के केंद्रक G(x, y) को इसके शीर्षों के निर्देशांकों के औसत द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे सूत्रों x = (x₁ + x₂ + x₃)/(3) और y = (y₁ + y₂ + y₃)/(3) द्वारा व्यक्त किया जाता है। दिया गया है कि केंद्रक (2, 2) है, शीर्ष A (7, -1) है, और शीर्ष B (1, 2) है, हम शीर्ष C(x₃, y₃) के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए इन मानों को सूत्रों में रख सकते हैं। x-निर्देशांक के लिए, समीकरण 2 = (7 + 1 + x₃)/(3) है, जो सरल होकर 6 = 8 + x₃ हो जाता है, जिससे x₃ = -2 प्राप्त होता है। y-निर्देशांक के लिए, समीकरण 2 = (-1 + 2 + y₃)/(3) है, जो सरल होकर 6 = 1 + y₃ हो जाता है, जिससे y₃ = 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मानक रूप Ax + By = C में एक रैखिक समीकरण की प्रवणता m, सूत्र m = -(A)/(B) द्वारा निर्धारित की जाती है। दिए गए समीकरण ax - 4y = -6 के लिए, x का गुणांक A = a है और y का गुणांक B = -4 है। इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: m = -ᵃ⁄₋₄ = ᵃ⁄₄ प्रश्न के अनुसार प्रवणता -³⁄₂ है। परिकलित प्रवणता को दिए गए मान के बराबर रखने पर, हमें प्राप्त होता है: ᵃ⁄₄ = -³⁄₂ a को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर: a = -³⁄₂ × 4 a = -6

व्याख्या

व्यंजक tan 6° tan 36° tan 84° tan 54° tan 45° को पूरक कोण सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot θ और व्युत्क्रम संबंध tan θ · cot θ = 1 का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। एक साथ, इनका अर्थ है कि यदि A + B = 90°, तो tan A · tan B = 1।

दिए गए व्यंजक में पूरक युग्मों की पहचान करें: पहले युग्म के लिए, 6° + 84° = 90°, जिससे tan 6° · tan 84° = tan 6° · cot 6° = 1 प्राप्त होता है। दूसरे युग्म के लिए, 36° + 54° = 90°, जिससे tan 36° · tan 54° = tan 36° · cot 36° = 1 प्राप्त होता है।

अंतिम पद tan 45° है, जो एक मानक त्रिकोणमितीय मान है और 1 के बराबर है।

इन परिणामों को गुणनफल में प्रतिस्थापित करने पर: (tan 6° · tan 84°) · (tan 36° · tan 54°) · tan 45° = 1 · 1 · 1 = 1

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूंकि DE, BC के समांतर है, इसलिए कोण-कोण (AA) समरूपता मानदंड के अनुसार त्रिभुज ADE, त्रिभुज ABC के समरूप है। इन समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात AD/AB द्वारा दिया गया है। दिया गया अनुपात AD:DB = 1:2 है, हम भुजा AB की कुल लंबाई को AD + DB के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जो 1 + 2 = 3 इकाई के बराबर है। परिणामस्वरूप, भुजा का अनुपात AD/AB = 1/3 है। समरूप त्रिभुजों का गुण यह बताता है कि उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए, त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल का त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल से अनुपात (1/3)² = 1/9 है। यह देखते हुए कि त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 45 वर्ग सेमी है, त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल की गणना 1/9 × 45 = 5 वर्ग सेमी के रूप में की जाती है। चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल वह क्षेत्रफल है जो त्रिभुज ABC में से त्रिभुज ADE को हटाने पर बचता है। इस प्रकार, चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल(Δ ABC) - क्षेत्रफल(Δ ADE) = 45 - 5 = 40 वर्ग सेमी।

व्याख्या

व्यंजक √2 sec 45° + (1)/(√(3)) tan 30° का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक त्रिकोणमितीय अनुपातों को प्रतिस्थापित करते हैं। sec 45° का मान √2 है क्योंकि यह cos 45° = (1)/(√(2)) का व्युत्क्रम है। tan 30° का मान (1)/(√(3)) है।

दिए गए व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: √2 × √2 + (1)/(√(3)) × (1)/(√(3))

पदों को सरल करने पर: (√2)² + ((1)/(√(3)))² = 2 + ⅓

योग की गणना करने पर: ⁶⁄₃ + ⅓ = ⁷⁄₃

व्याख्या

समकोण त्रिभुज XYZ में, Y पर कोण 90° है, जिससे ZX कर्ण बन जाता है। दिया गया है कि m∠ Z = 30° और कर्ण ZX = 9 सेमी है, हम कोसाइन त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करके संलग्न भुजा YZ की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

समकोण त्रिभुज में किसी कोण के कोसाइन का सूत्र है: cos θ = (संलग्न भुजा)/(कर्ण)

इसे ∠ Z पर लागू करने पर: cos 30° = (YZ)/(ZX)

ज्ञात मानों cos 30° = √3{2} और ZX = 9 को प्रतिस्थापित करने पर: √3{2} = (YZ)/(9)

YZ के लिए हल करने पर: YZ = 9 × √3{2} = 9√3{2} सेमी

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, cos θ आधार और कर्ण का अनुपात होता है। दिया गया है कि cos θ = ¹⁵⁄₁₇, हम आधार b = 15 और कर्ण h = 17 मान सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, लंब p की गणना p = √(h² - b²) के रूप में की जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, p = √(17² - 15²) = √(289 - 225) = √(64) = 8। त्रिकोणमितीय फलन csc θ को कर्ण और लंब के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जो कि ʰ⁄ₚ है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, csc θ = ¹⁷⁄₈।

व्याख्या

वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य के बराबर केवल और केवल तभी होता है जब प्रत्येक पद स्वयं शून्य हो। इस गुण को समीकरण (x - 2)² + (y + 3)² + (z - 15)² = 0 पर लागू करने पर, हम प्रत्येक वर्ग पद को शून्य के बराबर रख सकते हैं:

x - 2 = 0 ⟹ x = 2 y + 3 = 0 ⟹ y = -3 z - 15 = 0 ⟹ z = 15

अब इन मानों को दिए गए व्यंजक x + y + z - 5 में रखने पर:

2 + (-3) + 15 - 5 = 2 - 3 + 15 - 5 = 9

व्याख्या

64 और 56 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, हम अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) विधि का उपयोग कर सकते हैं। सबसे पहले, प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें: 64 = 2⁶ और 56 = 2³ × 7। LCM का निर्धारण प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात (highest power) को लेकर किया जाता है जो दोनों में से किसी भी संख्या में दिखाई देती है। इस मामले में, शामिल अभाज्य गुणनखंड 2 और 7 हैं। 2 की उच्चतम घात 2⁶ है और 7 की उच्चतम घात 7¹ है। इसलिए, LCM = 2⁶ × 7¹ = 64 × 7 = 448।

वैकल्पिक रूप से, लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) के बीच के संबंध का उपयोग किया जा सकता है, जिसे सूत्र LCM(a, b) = (a × b)/(HCF(a, b)) द्वारा परिभाषित किया गया है। 64 और 56 का HCF 8 है, क्योंकि यह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दोनों संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित करता है। सूत्र को लागू करने पर, LCM = (64 × 56)/(8) = 64 × 7 = 448। दोनों विधियाँ लगातार एक ही परिणाम देती हैं।

व्याख्या

A और B द्वारा मिलकर काम पूरा करने में लिया गया समय Tₐ_b = 6.75 दिन है, जिसे भिन्न के रूप में 27/4 दिन लिखा जा सकता है। अकेले A द्वारा लिया गया समय Tₐ = 9 दिन है। कार्य-दर सूत्र का उपयोग करते हुए, जहाँ व्यक्तिगत दरों का योग संयुक्त दर के बराबर होता है:

1/Tₐ + 1/T_b = 1/Tₐ_b

समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

1/9 + 1/T_b = 1/(27/4)

1/9 + 1/T_b = 4/27

B की कार्य दर ज्ञात करने के लिए, संयुक्त दर में से A की दर को घटाएं:

1/T_b = 4/27 - 1/9

1/9 को 27 हर (denominator) वाले भिन्न में बदलने पर, हमें 3/27 प्राप्त होता है। गणना इस प्रकार होगी:

1/T_b = 4/27 - 3/27 = 1/27

चूंकि B के कार्य की दर प्रति दिन काम का 1/27 भाग है, इसलिए B को अकेले काम पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय दर का व्युत्क्रम (reciprocal) होगा, जो कि 27 दिन है।

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल A, सूत्र A = 4π r² का उपयोग करके निकाला जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी को प्रतिस्थापित करने और π = 22/7 लेने पर, हमें प्राप्त होता है: 4 × (22/7) × r² = 154। r² का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: r² = (154 × 7) / (4 × 22)। चूंकि 154 को 22 से विभाजित करने पर 7 प्राप्त होता है, इसलिए यह समीकरण सरल होकर r² = (7 × 7) / 4, या r² = 49/4 हो जाता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर r = 7/2 = 3.5 सेमी प्राप्त होता है। गोले का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है, इसलिए d = 2 × 3.5 = 7 सेमी।

व्याख्या

खरीदी गई वस्तुओं का कुल अंकित मूल्य (MRP) 1 कमीज और 3 जोड़ी पतलून के मूल्य का योग है: कुल अंकित मूल्य (MRP) = 100 + (3 × 300) = 100 + 900 = 1000

कमीज पर छूट की राशि 100 का 10% है, जो 10 के बराबर है। 3 जोड़ी पतलून पर कुल छूट पतलून की कुल लागत का 20% है, जो कि 900 का 20% है: पतलून पर कुल छूट = ²⁰⁄₁₀₀ × 900 = 180

प्रीतम द्वारा प्राप्त कुल छूट की राशि व्यक्तिगत छूटों का योग है: कुल छूट = 10 + 180 = 190

प्रभावी छूट प्रतिशत कुल छूट और कुल अंकित मूल्य (MRP) के अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है: प्रभावी छूट % = (कुल छूट)/(कुल अंकित मूल्य) × 100 प्रभावी छूट % = ¹⁹⁰⁄₁₀₀₀ × 100 = 19%

व्याख्या

माना B की संपत्ति को B द्वारा दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार, A की संपत्ति A = ⁵⁄₇ B और C की संपत्ति C = ¹⁰⁄₇ B है। C की संपत्ति का A की संपत्ति से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम इस संबंध को (C)/(A) के रूप में व्यक्त करते हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ((10)/(7) B) / (⁵⁄₇ B) प्राप्त होता है। इस व्यंजक में, उभयनिष्ठ चर B और अंश तथा हर दोनों में हर 7 आपस में कट जाते हैं, जिससे गणना सरल होकर ¹⁰⁄₅ हो जाती है। इस भिन्न को सरल करने पर 2/1 प्राप्त होता है, जो 2:1 के अनुपात के संगत है।

व्याख्या

औसत A वाली n क्रमागत विषम संख्याओं के लिए, समूह में सबसे बड़ी संख्या की गणना सूत्र A + (n - 1) का उपयोग करके की जा सकती है। इस प्रश्न में, औसत A, 64 है और पदों की संख्या n, 4 है। सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर 64 + (4 - 1) = 64 + 3 = 67 प्राप्त होता है।

यह संबंध इसलिए मौजूद है क्योंकि क्रमागत विषम पूर्णांकों की एक सम संख्या का औसत दो मध्य पदों का अंकगणितीय माध्य होता है। 64 के औसत के साथ, दो केंद्रीय विषम संख्याएँ 64 - 1 = 63 और 64 + 1 = 65 होनी चाहिए। क्रमागत विषम संख्याओं के अनुक्रम का अनुसरण करते हुए, पूरा समूह 61, 63, 65 और 67 है। अतः, उनमें से सबसे बड़ी संख्या 67 है।

व्याख्या

जब विक्रय मूल्य (SP) 960 रुपये है और लाभ 20% है, तो क्रय मूल्य (CP) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: CP = SP × (100)/(100 + लाभ%) CP = 960 × ¹⁰⁰⁄₁₂₀ = 8 × 100 = 800 रुपये

जब नया विक्रय मूल्य 1120 रुपये है, तो लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ = नया विक्रय मूल्य (New SP) - क्रय मूल्य (CP) = 1120 - 800 = 320 रुपये

तो लाभ प्रतिशत है: लाभ% = (लाभ)/(CP) × 100 = ³²⁰⁄₈₀₀ × 100 = ³²⁰⁄₈ = 40%

एक तेज़ तरीका प्रत्यक्ष अनुपात का उपयोग करना है: यदि CP का 120% 960 के बराबर है, तो CP का 1% = 960/120 = 8 के बराबर होगा। 1120 के विक्रय मूल्य के लिए, संगत प्रतिशत 1120 / 8 = 140% है। यह 140% - 100% = 40% के लाभ को दर्शाता है।

व्याख्या

माना व्यक्ति की कुल संपत्ति W है। दान के लिए वसीयत की गई राशि W का 25% है, जो कि 0.25W है। परिवार के लिए बची हुई शेष संपत्ति W का 100% - 25% = 75% है, जो कि 0.75W है। प्रश्न में परिवार के हिस्से को दान के हिस्से के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए कहा गया है। इसकी गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत = (परिवार की संपत्ति)/(दान की संपत्ति) × 100 मान रखने पर: प्रतिशत = (0.75W)/(0.25W) × 100 प्रतिशत = 3 × 100 = 300

व्याख्या

चूंकि दोनों स्थितियों में लिया गया समय समान है, इसलिए दूरी सीधे गति के समानुपाती होती है (d ∝ s)। वास्तविक गति और काल्पनिक गति का अनुपात 9 : 15 है, जो सरल होकर 3 : 5 हो जाता है। चूंकि समय स्थिर है, इसलिए तय की गई दूरियों का अनुपात भी 3 : 5 होगा।

मान लीजिए वास्तविक दूरी 3x है और काल्पनिक दूरी 5x है। प्रश्न के अनुसार, इन दूरियों के बीच का अंतर 3 किमी है। हम समीकरण 5x - 3x = 3 बना सकते हैं, जो सरल होकर 2x = 3 हो जाता है। x के लिए हल करने पर x = 1.5 प्राप्त होता है। व्यक्ति द्वारा तय की गई वास्तविक दूरी 3x है, जो कि 3 × 1.5 = 4.5 किमी है।

व्याख्या

क्रमिक ब्याज दरों r₁ और r₂ के साथ दो वर्षों के बाद प्राप्त राशि A की गणना सूत्र A = x(1 + r₁{100})(1 + r₂{100}) का उपयोग करके की जाती है। यह देखते हुए कि पहले वर्ष की दर 5 प्रतिशत है और दूसरे वर्ष की दर 15 प्रतिशत है, समीकरण इस प्रकार बनता है:

9660 = x(1 + ⁵⁄₁₀₀)(1 + ¹⁵⁄₁₀₀)

9660 = x(²¹⁄₂₀)(²³⁄₂₀)

9660 = x(⁴⁸³⁄₄₀₀)

x का मान ज्ञात करने के लिए, पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

x = (9660 × 400)/(483)

चूंकि 9660 को 483 से विभाजित करने पर 20 प्राप्त होता है, इसलिए गणना सरल होकर इस प्रकार हो जाती है:

x = 20 × 400 = 8000

गणेश द्वारा निवेश की गई प्रारंभिक राशि 8000 रुपये थी।

व्याख्या

दिया गया समीकरण (4(2x)/(5) - ³⁄₂){3} + ⁷⁄₅ = ³⁷⁄₅ है। x का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले समीकरण के दोनों पक्षों से ⁷⁄₅ घटाएं: (4(2x)/(5) - ³⁄₂){3} = (37 - 7)/(5) = ³⁰⁄₅ = 6। हर को समाप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करें, जिससे 4(²ˣ⁄₅ - ³⁄₂) = 18 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर ²ˣ⁄₅ - ³⁄₂ = ¹⁸⁄₄ = 4.5 प्राप्त होता है। x वाले पद को अलग करने के लिए, दोनों पक्षों में ³⁄₂ (जो कि 1.5 है) जोड़ें: ²ˣ⁄₅ = 4.5 + 1.5 = 6। समीकरण को 5 से गुणा करने पर 2x = 30 प्राप्त होता है, और 2 से विभाजित करने पर अंतिम मान x = 15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

a³ - b³ का मान ज्ञात करने के लिए, बीजीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) का उपयोग करें। दिए गए मानों a - b = 4 और ab = -3 को सीधे सूत्र में रखें:

a³ - b³ = (4)³ + 3(-3)(4) a³ - b³ = 64 - 36 a³ - b³ = 28

वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग किया जा सकता है। सबसे पहले, संबंध (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके a² + b² ज्ञात करें। मानों को प्रतिस्थापित करने पर 4² = a² + b² - 2(-3) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 16 = a² + b² + 6 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप a² + b² = 10 प्राप्त होता है। अंततः, a³ - b³ = 4(10 + (-3)) = 4(7) = 28।

व्याख्या

माना भिन्न x है। प्रश्न के अनुसार, भिन्न के दोगुने और उसके व्युत्क्रम के तीन गुने का योग 29/3 है। इस संबंध को समीकरण 2x + ³⁄ₓ = ²⁹⁄₃ द्वारा दर्शाया गया है। x का मान ज्ञात करने के लिए, भिन्नों को हटाने के लिए पूरे समीकरण को उभयनिष्ठ हर 3x से गुणा करें:

3x(2x) + 3x(³⁄ₓ) = 3x(²⁹⁄₃) 6x² + 9 = 29x

पदों को एक मानक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: 6x² - 29x + 9 = 0

द्विघात सूत्र x = -b ± √(b²⁾⁻⁴ᵃᶜ{2a} का उपयोग करने पर: x = 29 ± √((-29)²⁾⁻⁴⁽⁶⁾⁽⁹⁾{2(6)} x = 29 ± √(841 - 216){12} x = 29 ± √(625){12} x = (29 ± 25)/(12)

इससे x के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: x = (29 + 25)/(12) = ⁵⁴⁄₁₂ = ⁹⁄₂ x = (29 - 25)/(12) = ⁴⁄₁₂ = ⅓

मूल शर्त में x = 9/2 का मान वापस रखने पर, हमें 2(9/2) + 3(2/9) = 9 + 2/3 = 29/3 प्राप्त होता है, जो प्रश्न के कथन को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी का सार्व अंतर d, पदों के मान में परिवर्तन को उनके स्थान में परिवर्तन से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जिसे d = (aₙ - aₘ)/(n - m) के रूप में व्यक्त किया जाता है। दिए गए 12वें पद a₁₂ = 5 और 7वें पद a₇ = -15 का उपयोग करने पर:

d = (5 - (-15))/(12 - 7) = ²⁰⁄₅ = 4

16वां पद a₁₆ ज्ञात करने के लिए, हम संबंध a₁₆ = a₁₂ + (16 - 12)d का उपयोग करके 12वें पद में सार्व अंतर लागू करते हैं:

a₁₆ = 5 + 4(4) a₁₆ = 5 + 16 = 21

व्याख्या

जब एक बिंदु (x, y) को एक क्षैतिज रेखा y = k में प्रतिबिंबित किया जाता है, तो x-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है क्योंकि प्रतिबिंब लंबवत रूप से होता है। रेखा y = k मूल y-निर्देशांक और प्रतिबिंबित y-निर्देशांक y' के बीच मध्य बिंदु के रूप में कार्य करती है। इस संबंध को सूत्र y' = 2k - y द्वारा व्यक्त किया जाता है।

दिए गए बिंदु (4, -3) और परावर्तन रेखा y = -2 के लिए, हम रूपांतरण समीकरणों में x = 4, y = -3, और k = -2 प्रतिस्थापित करते हैं। प्रतिबिंब का x-निर्देशांक x' = 4 है। y-निर्देशांक के लिए, गणना y' = 2(-2) - (-3) है, जो सरल होकर y' = -4 + 3 = -1 हो जाती है। परिणामी प्रतिबिंबित बिंदु (4, -1) है।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी d को दूरी सूत्र d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) द्वारा निर्धारित किया जाता है। दिए गए निर्देशांकों (2, 7) और (k, -5) को दूरी 13 के साथ प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण इस प्रकार बनता है:

13 = √((k - 2)² + (-5 - 7)²)

वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

13² = (k - 2)² + (-12)² 169 = (k - 2)² + 144 169 - 144 = (k - 2)² 25 = (k - 2)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर k के लिए दो संभावित समीकरण प्राप्त होते हैं:

k - 2 = 5 या k - 2 = -5 k = 7 या k = -3

दिए गए विकल्पों के साथ इन परिणामों की तुलना करने पर, k = 7 सही मान है।

व्याख्या

सामान्य रूप Ax + By + C = 0 के लंबवत रेखा को समीकरण Bx - Ay + k = 0 द्वारा दर्शाया जाता है। दी गई रेखा 5x + 3y = 6 के लिए, इसके लंबवत किसी भी रेखा का रूप 3x - 5y = k होगा।

किसी रेखा का Y-अंतःखंड, x = 0 होने पर y का मान होता है। प्रश्न में दिया गया है कि Y-अंतःखंड -3 है, जिसका अर्थ है कि रेखा बिंदु (0, -3) से होकर गुजरती है। इन निर्देशांकों को लंबवत समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

3(0) - 5(-3) = k 0 + 15 = k k = 15

k के मान को वापस समीकरण 3x - 5y = k में प्रतिस्थापित करने पर 3x - 5y = 15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

△ ABC में, चूंकि DE, BC के समानांतर है, इसलिए छोटा त्रिभुज △ ADE, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार बड़े त्रिभुज △ ABC के समरूप है, क्योंकि उनमें ∠A उभयनिष्ठ है और उनके संगत कोण बराबर हैं।

दोनों त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात AD/AB है। दिया गया अनुपात AD : DB = 2 : 5 है, इसलिए भुजा AB = AD + DB = 2 + 5 = 7 इकाई। इस प्रकार, संगत भुजाओं का अनुपात AD/AB = 2/7 है।

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है: क्षेत्रफल(△ ADE) / क्षेत्रफल(△ ABC) = (AD/AB)² = (2/7)² = 4/49

यह देखते हुए कि △ ADE का क्षेत्रफल 8 सेमी² है, हम △ ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं: 8 / क्षेत्रफल(△ ABC) = 4/49 क्षेत्रफल(△ ABC) = (8 × 49) / 4 = 98 सेमी²

चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल बड़े त्रिभुज और छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है: क्षेत्रफल(BDEC) = क्षेत्रफल(△ ABC) - क्षेत्रफल(△ ADE) = 98 - 8 = 90 सेमी²

व्याख्या

30° के लिए मानक त्रिकोणमितीय मान sin 30° = ½ और cos 30° = √3{2} हैं। इन मानों को व्यंजक sin 30° - √2 cos 30° में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

½ - √2 × √3{2}

अंश में वर्गमूलों को गुणा करके दूसरे पद को सरल करने पर:

½ - √(2 × 3){2} = ½ - √6{2}

उभयनिष्ठ हर के साथ पदों को मिलाने पर प्राप्त होता है:

1 - √6{2}

व्याख्या

समकोण त्रिभुज Δ XYZ में, जहाँ ∠ Y = 90° है, भुजा ZX कर्ण के रूप में कार्य करती है और YZ, ∠ Z की संलग्न भुजा है। इन भुजाओं के बीच के संबंध को कोसाइन (cosine) त्रिकोणमितीय अनुपात द्वारा परिभाषित किया गया है:

cos(Z) = (YZ)/(ZX)

यह दिया गया है कि m∠ Z = 60° और कर्ण ZX = 9√3 सेमी है, सूत्र को इस प्रकार लागू किया जाता है:

cos(60°) = (YZ)/(9√(3))

समीकरण में मानक त्रिकोणमितीय मान cos(60°) = ½ प्रतिस्थापित करने पर:

½ = (YZ)/(9√(3))

YZ का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 9√3 से गुणा करें:

YZ = 9√3/2 सेमी

भुजा YZ की लंबाई एक समकोण त्रिभुज के बुनियादी त्रिकोणमितीय गुण को लागू करके निर्धारित की जाती है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, किसी कोण θ के सीकेंट (secant) को कर्ण और आधार के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि sec θ = 13/12, हम कर्ण h को 13 और आधार b को 12 के रूप में दर्शा सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है: h² = p² + b², जहाँ p लंब (या सम्मुख भुजा) है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 13² = p² + 12² प्राप्त होता है, जो सरल होने पर 169 = p² + 144 हो जाता है। p के लिए हल करने पर, हमें p² = 169 - 144 = 25 प्राप्त होता है, इसलिए p = 5 है। किसी कोण θ के साइन (sine) को लंब और कर्ण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए, sin θ = p/h = 5/13 है।

व्याख्या

दशमलव संख्या 101 को द्विआधारी (बाइनरी) में बदलने के लिए, हम इसे 2 की घातों के योग के रूप में निरूपित करते हैं। 101 से छोटी 2 की सबसे बड़ी घात 2⁶ = 64 है। इसे 101 में से घटाने पर 37 बचता है। 37 से छोटी 2 की सबसे बड़ी घात 2⁵ = 32 है। 37 में से 32 घटाने पर 5 बचता है। 5 से छोटी 2 की सबसे बड़ी घात 2² = 4 है। 5 में से 4 घटाने पर 1 बचता है, जो कि 2⁰ है।

गणितीय रूप से, 101 = 64 + 32 + 4 + 1। इसे 2 की घातों के रूप में व्यक्त करने पर प्राप्त होता है: 101 = (1 × 2⁶) + (1 × 2⁵) + (0 × 2⁴) + (0 × 2³) + (1 × 2²) + (0 × 2¹) + (1 × 2⁰)।

2⁶ से लेकर 2⁰ तक इन घातों के गुणांकों को लेने पर, हमें द्विआधारी अनुक्रम 1100101 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, 2 से बार-बार भाग देने की विधि (repeated division-by-2 method) का उपयोग करने पर, अंतिम भागफल से पहले शेषफल तक पढ़ने पर प्राप्त शेषफल 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1 होते हैं, जो इस परिणाम की पुष्टि करते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि पेंट किए जाने वाले कुल कार्य को दी गई अवधियों 42, 21 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) माना जाता है, जो कि 42 इकाई है। प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता, या प्रति दिन किया गया कार्य, कुल कार्य को उनके द्वारा लिए गए दिनों की संख्या से विभाजित करके ज्ञात की जाती है।

A की कार्यक्षमता 42 / 42 = 1 इकाई प्रति दिन है। B की कार्यक्षमता 42 / 21 = 2 इकाई प्रति दिन है। एक साथ काम करते हुए A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता 42 / 7 = 6 इकाई प्रति दिन है। अकेले C की कार्यक्षमता निर्धारित करने के लिए, संयुक्त कार्यक्षमता में से A और B की कार्यक्षमताओं को घटाएं: 6 - (1 + 2) = 3 इकाई प्रति दिन। C को अकेले पेंटिंग का कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या कुल कार्य को C की दैनिक कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: 42 / 3 = 14 दिन।

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि का सूत्र C = 2π r होता है। दिए गए मान 26.4 सेमी को प्रतिस्थापित करने और π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

2 × ²²⁄₇ × r = 26.4

⁴⁴⁄₇ × r = 26.4

r = (26.4 × 7)/(44)

r = 0.6 × 7 = 4.2 सेमी

एक वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = π r² द्वारा दिया जाता है। परिकलित त्रिज्या का मान रखने पर:

A = ²²⁄₇ × (4.2)²

A = ²²⁄₇ × 4.2 × 4.2

A = 22 × 0.6 × 4.2

A = 13.2 × 4.2 = 55.44 वर्ग सेमी