एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

हवाई किराए में वृद्धि का अनुपात 11:13 है, जिसका अर्थ है कि मूल किराए को 11 भागों द्वारा और नए किराए को 13 भागों द्वारा दर्शाया गया है। किराए में वृद्धि इन भागों के बीच का अंतर है, जो कि 13 - 11 = 2 इकाई है।

प्रश्न के अनुसार, 11 इकाइयों का मूल किराया 12100 रुपये के बराबर है। हम मूल किराए को 11 से विभाजित करके एक इकाई का मान ज्ञात कर सकते हैं: 1 इकाई = ¹²¹⁰⁰⁄₁₁ = 1100

किराए में वास्तविक वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम एक इकाई के मान को वृद्धि दर्शाने वाली इकाइयों की संख्या से गुणा करते हैं: वृद्धि = 2 × 1100 = 2200

व्याख्या

माना पहली संख्या x है और अन्य दो संख्याओं का योग S है।

प्रश्न के अनुसार, तीनों संख्याओं का औसत 112 है, इसलिए उनका कुल योग 112 × 3 = 336 है। इससे हमें समीकरण x + S = 336 प्राप्त होता है।

प्रश्न में यह भी कहा गया है कि पहली संख्या अन्य दो संख्याओं के योग का 1/6 भाग है, जिसे x = ⅙S या S = 6x के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। योग समीकरण में S = 6x प्रतिस्थापित करने पर:

x + 6x = 336 7x = 336 x = ³³⁶⁄₇ = 48

व्याख्या

800 किग्रा टमाटर का कुल क्रय मूल्य (CP) 7200 रुपये है। 30% का लाभ प्राप्त करने के लिए, कुल विक्रय मूल्य (SP) की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: कुल SP = CP × (1 + (लाभ%)/(100)) कुल SP = 7200 × (1 + 0.30) = 7200 × 1.3 = 9360

बिक्री के लिए उपलब्ध टमाटरों की मात्रा कम हो जाती है क्योंकि 10% खराब हो जाते हैं। उपयोग योग्य मात्रा है: शेष वजन = 800 × (1 - 0.10) = 800 × 0.9 = 720 किग्रा

प्रति किग्रा विक्रय दर ज्ञात करने के लिए, कुल आवश्यक विक्रय मूल्य को शेष वजन से विभाजित करें: दर = (कुल SP)/(शेष वजन) = ⁹³⁶⁰⁄₇₂₀ = ⁹³⁶⁄₇₂ = 13 रुपये/किग्रा

व्याख्या

मान लीजिए कि विषय के अधिकतम अंक M हैं। उत्तीर्ण अंक छात्र द्वारा प्राप्त अंकों और उन अंकों के योग के रूप में परिभाषित किए जाते हैं जिनसे छात्र अनुत्तीर्ण हुआ है। चूंकि छात्र ने 82 अंक प्राप्त किए और वह 23 अंकों से पीछे रह गया, इसलिए उत्तीर्ण अंक 82 + 23 = 105 हैं।

प्रश्न के अनुसार, छात्र को उत्तीर्ण होने के लिए अधिकतम अंकों का 35% प्राप्त करना आवश्यक है। इससे निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: M का 35% = 105

अधिकतम अंक M ज्ञात करने के लिए, हम गणना को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं: ³⁵⁄₁₀₀ × M = 105 M = (105 × 100)/(35)

105 को 35 से विभाजित करने पर 3 प्राप्त होता है। इसलिए: M = 3 × 100 = 300

विषय के अधिकतम अंक 300 हैं।

व्याख्या

मीटर में दूरी ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले परिवर्तन कारक 1 किमी/घंटा = ⁵⁄₁₈ मीटर/सेकंड का उपयोग करके गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मीटर/सेकंड) में बदलते हैं।

मीटर/सेकंड में अंतरिक्ष यान की गति की गणना इस प्रकार की जाती है: गति = 810 × ⁵⁄₁₈ = 45 × 5 = 225 मीटर/सेकंड

अब, सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करके, हम ⅕ सेकंड में तय की गई दूरी ज्ञात करते हैं: दूरी = 225 × ⅕ = 45 मीटर

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, किसी भी वर्ष के अंत में प्राप्त मिश्रधन अगले वर्ष के लिए मूलधन के रूप में कार्य करता है। इसलिए, दो क्रमागत वर्षों के अंत में प्राप्त मिश्रधनों के बीच का अंतर पिछले वर्ष के मिश्रधन पर अर्जित ब्याज को दर्शाता है।

तीसरे वर्ष के दौरान अर्जित ब्याज है: ब्याज = 2268 - 2100 = 168

ब्याज की दर r की गणना इस ब्याज को दूसरे वर्ष के अंत में प्राप्त मिश्रधन के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करके की जाती है: r = (A₃ - A₂)/(A₂) × 100 r = ¹⁶⁸⁄₂₁₀₀ × 100 r = ¹⁶⁸⁄₂₁ r = 8

वार्षिक ब्याज दर 8% है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 5x - ½(2x - 7) = 5.5 है। कोष्ठक के भीतर के पदों में -½ को वितरित करने पर व्यंजक सरल होकर 5x - x + 3.5 = 5.5 हो जाता है। समान पदों को मिलाने पर 4x + 3.5 = 5.5 प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों से 3.5 घटाने पर 4x = 5.5 - 3.5 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 4x = 2 हो जाता है। दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर x = ²⁄₄ प्राप्त होता है, जो सरल होकर अंतिम मान x = ½ हो जाता है।

व्याख्या

a³ + b³ के मान की गणना बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके की जा सकती है। दिए गए मान a + b = 4 और ab = -5 को हम सीधे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a³ + b³ = (4)³ - 3(-5)(4) a³ + b³ = 64 - (-60) a³ + b³ = 64 + 60 a³ + b³ = 124

वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का उपयोग करके, हम पहले (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके a² + b² ज्ञात करते हैं। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर 16 = a² + b² - 10 प्राप्त होता है, इसलिए a² + b² = 26। फिर, a³ + b³ = 4(26 - (-5)) = 4(31) = 124।

व्याख्या

माना कि संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, संख्या और उसके व्युत्क्रम के 4 गुना का योग 5 है। इस संबंध को समीकरण x + 4/x = 5 द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। हर (denominator) को हटाने के लिए पूरे समीकरण को x से गुणा करने पर द्विघात समीकरण x² + 4 = 5x प्राप्त होता है, जिसे x² - 5x + 4 = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर (x - 4)(x - 1) = 0 प्राप्त होता है, जिससे संभावित मान x = 4 या x = 1 मिलते हैं। दिए गए विकल्पों में से, मान 4 इस शर्त को संतुष्ट करता है। सीधे मान का परीक्षण करने पर, 4 + 4/4 = 4 + 1 = 5, जो परिणाम की पुष्टि करता है।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी में, nवां पद सूत्र aₙ = a + (n-1)d द्वारा दिया जाता है। सार्व अंतर d को संबंध d = (aₙ - aₘ)/(n - m) द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

दिया गया है कि तीसरा पद a₃ = -13 और आठवां पद a₈ = 2 है, हम d ज्ञात करते हैं: d = (2 - (-13))/(8 - 3) = ¹⁵⁄₅ = 3

14वां पद a₁₄ ज्ञात करने के लिए, हम आठवें पद से शुरू करते हुए गुण aₙ = aₘ + (n-m)d का उपयोग करते हैं: a₁₄ = a₈ + (14 - 8)d a₁₄ = 2 + 6(3) a₁₄ = 2 + 18 a₁₄ = 20

वैकल्पिक रूप से, तीसरे पद से गणना करने पर भी समान परिणाम प्राप्त होता है: a₁₄ = a₃ + (14 - 3)d a₁₄ = -13 + 11(3) a₁₄ = -13 + 33 = 20

व्याख्या

एक क्षैतिज रेखा y = k में किसी बिंदु P(x, y) के प्रतिबिंब के परिणामस्वरूप एक प्रतिबिंब बिंदु P'(x', y') प्राप्त होता है, जहाँ x-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है क्योंकि प्रतिबिंब पूरी तरह से लंबवत होता है। रेखा y = k मूल बिंदु के y-निर्देशांक और उसके प्रतिबिंब के y-निर्देशांक के बीच मध्य बिंदु के रूप में कार्य करती है। इस संबंध को सूत्र y' = 2k - y द्वारा व्यक्त किया जाता है।

बिंदु (4, -3) और परावर्तन रेखा y = 1 के लिए, x-निर्देशांक 4 ही रहता है। नया y-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, सूत्र में k = 1 और y = -3 प्रतिस्थापित करें: y' = 2(1) - (-3)। इस गणना से y' = 2 + 3 = 5 प्राप्त होता है। इसलिए, प्रतिबिंबित बिंदु के निर्देशांक (4, 5) हैं।

व्याख्या

माना बिंदु T(x, 0), S(5, 1) और U(-1, -2) को मिलाने वाले रेखाखंड को m : n के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र के अनुसार, (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिंदु का y-निर्देशांक y = my₂ + ny₁{m + n} द्वारा दिया जाता है।

चूंकि बिंदु T का y-निर्देशांक 0 दिया गया है, हम सूत्र में y = 0, y₁ = 1, और y₂ = -2 प्रतिस्थापित करते हैं: 0 = (m(-2) + n(1))/(m + n)

दोनों पक्षों को (m + n) से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 0 = -2m + n 2m = n ᵐ⁄ₙ = ½

यह परिणाम दर्शाता है कि बिंदु T, रेखाखंड SU को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

व्याख्या

कोई रेखा Y-अक्ष को उस विशिष्ट बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है जहाँ उसका x-निर्देशांक शून्य के बराबर होता है। रैखिक समीकरण 3x + 2y = 12 के लिए इस प्रतिच्छेदन के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, समीकरण में x = 0 रखें:

3(0) + 2y = 12

0 + 2y = 12

2y = 12

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

y = ¹²⁄₂

y = 6

चूँकि प्रतिच्छेदन x = 0 पर होता है और y का संगत मान 6 है, इसलिए रेखा Y-अक्ष को निर्देशांक बिंदु (0, 6) पर काटती है।

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। यह संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

(Area(Δ ABC))/(Area(Δ PQR)) = ((AB)/(PQ))²

दिए गए क्षेत्रफल के मानों और PQ की लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर:

¹²¹⁄₆₄ = ((AB)/(12))²

भुजाओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें:

√(¹²¹⁄₆₄) = (AB)/(12)

¹¹⁄₈ = (AB)/(12)

अब, वज्र-गुणन (cross-multiplication) का उपयोग करके AB का मान ज्ञात करें:

AB = (11 × 12)/(8)

AB = (11 × 3)/(2)

AB = ³³⁄₂ = 16.5

व्याख्या

60° के कोण के लिए त्रिकोणमितीय मान मानक ज्यामितीय अनुपातों पर आधारित होते हैं। tan 60° का मान √3 है, और csc 60° का मान sin 60° का व्युत्क्रम है। चूंकि sin 60° का मान √3/2 के बराबर है, इसलिए csc 60° का मान (2)/(√(3)) है। दिए गिए व्यंजक में इन विशिष्ट मानों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: tan 60° + csc 60° = √3 + (2)/(√(3))

इस योग को सरल करने के लिए, हम √3 को हर में √3 वाले एक भिन्न के रूप में व्यक्त करके एक उभयनिष्य हर ज्ञात करते हैं: √3 = √3 · √3/{√3} = (3)/(√(3))

अब, दोनों पदों को एक साथ जोड़ने पर प्राप्त होता है: (3)/(√(3)) + (2)/(√(3)) = (3 + 2)/(√(3)) = (5)/(√(3))

व्याख्या

समकोण त्रिभुज Δ XYZ में, कोणों का योग 180° होता है। चूंकि m∠ Y = 90° और m∠ Z = 60° है, इसलिए कोण X के माप की गणना इस प्रकार की जाती है: m∠ X = 180° - (90° + 60°) = 30°

sec 30° का मान 2/√3 है। इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (1)/(√(2)) sec X = (1)/(√(2)) × sec 30° = (1)/(√(2)) × (2)/(√(3)) = (2)/(√(6))

व्याख्या

त्रिकोणमिति में, csc θ = (कर्ण)/(लंब) होता है। दिया गया है कि csc θ = ¹⁷⁄₈, इसलिए कर्ण 17 इकाई है और लंब 8 इकाई है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आधार (B) की गणना इस प्रकार की जाती है:

B = √(कर्ण² - लंब²) B = √(17² - 8²) = √(289 - 64) = √(225) = 15

कोसाइन फलन (cosine function) को cos θ = (आधार)/(कर्ण) के रूप में परिभाषित किया गया है। ज्ञात किए गए आधार और दिए गए कर्ण का मान रखने पर:

cos θ = ¹⁵⁄₁₇

यह संबंध मानक पाइथागोरस त्रिक (8, 15, 17) से प्राप्त होता है, जहाँ 17 सबसे लंबी भुजा (कर्ण) को दर्शाता है।

व्याख्या

4131 में जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए ताकि यह 19 से पूर्णतः विभाज्य हो जाए, हम सबसे पहले शेषफल ज्ञात करने के लिए 4131 को 19 से विभाजित करते हैं।

विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए: 4131 = (19 × 217) + 8

शेषफल 8 है। किसी भाज्य को भाजक से पूर्णतः विभाज्य बनाने के लिए उसमें जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या इस सूत्र द्वारा दी जाती है: अभीष्ट संख्या = भाजक - शेषफल

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 19 - 8 = 11

जब 4131 में 11 जोड़ा जाता है, तो परिणाम 4142 होता है, जो कि 19 × 218 है।

व्याख्या

एक साथ मिलकर काम करने पर कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय व्यक्तिगत कार्य दरों के योग द्वारा निर्धारित किया जाता है। लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) विधि का उपयोग करते हुए, मान लेते हैं कि कुल कार्य व्यक्तिगत समय 12, 8 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य है, जो कि 24 इकाई है। A की कार्यक्षमता 24 / 12 = 2 इकाई प्रति दिन है, B की कार्यक्षमता 24 / 8 = 3 इकाई प्रति दिन है, और C की कार्यक्षमता 24 / 24 = 1 इकाई प्रति दिन है। एक साथ काम करने पर उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 2 + 3 + 1 = 6 इकाई प्रति दिन है। कार्य को पूरा करने में लगने वाला कुल समय कुल कार्य को संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करके प्राप्त होता है, जिसकी गणना 24 / 6 = 4 दिन के रूप में की जाती है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई s वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A, सूत्र A = √3/4 s² द्वारा ज्ञात किया जाता है। दिया गया है कि भुजा की लंबाई s = 14 सेमी है, क्षेत्रफल = √3/4 × (14)² ज्ञात करने के लिए हम इस मान को समीकरण में रखते हैं। भुजा का वर्ग करने पर 14 × 14 = 196 प्राप्त होता है। 196 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 49 प्राप्त होता है। इस प्रकार, त्रिभुज का क्षेत्रफल 49√3 वर्ग सेमी है।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए शुद्ध छूट की गणना सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। इस सूत्र में दिए गए मान x = 20 और y = 10 रखने पर, गणना 20 + 10 - (20 × 10)/(100) हो जाती है। यह सरल होकर 30 - ²⁰⁰⁄₁₀₀ हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 30 - 2 = 28% प्राप्त होता है। यह सूत्र पहली छूट घटाने के बाद बची हुई कीमत पर दूसरी छूट लागू होने को ध्यान में रखता है।

व्याख्या

1,03,500 रुपये के कुल लाभ को A, B और C के बीच 11:7:5 के अनुपात में विभाजित किया गया है। B का हिस्सा ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले अनुपात के भागों के योग की गणना करें: 11 + 7 + 5 = 23।

एक भाग का मूल्य कुल लाभ को अनुपातों के योग से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है: (1,03,500)/(23) = 4,500

B का हिस्सा कुल अनुपात के 7 भागों के बराबर है। इसलिए, B को प्राप्त होने वाली राशि की गणना एक भाग के मूल्य को B के अनुपात से गुणा करके की जाती है: 7 × 4,500 = 31,500

व्याख्या

P, Q और R का कुल वजन उनके औसत वजन को व्यक्तियों की संख्या से गुणा करके निकाला जाता है: 45 × 3 = 135 किग्रा। P और Q के वजन का योग 36.5 × 2 = 73 किग्रा है, जबकि Q और R के वजन का योग 52 × 2 = 104 किग्रा है।

P+Q और Q+R के योग को जोड़ने पर, हमें P + 2Q + R का मान प्राप्त होता है, जो कि 73 + 104 = 177 किग्रा है। Q का वजन ज्ञात करने के लिए, इस संयुक्त योग में से तीनों व्यक्तियों के कुल वजन को घटाएं: Q = (P + 2Q + R) - (P + Q + R) = 177 - 135 = 42 किग्रा।

व्याख्या

माना एक वस्तु का विक्रय मूल्य (SP) x है। 21 वस्तुओं का कुल विक्रय मूल्य 21x है। प्रश्न के अनुसार, अर्जित लाभ 1 वस्तु के विक्रय मूल्य के बराबर है, इसलिए लाभ (Profit) = x। 21 वस्तुओं का क्रय मूल्य (CP) संबंध CP = SP - Profit द्वारा निर्धारित किया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें CP = 21x - x = 20x प्राप्त होता है। लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र लाभ% = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100 का उपयोग करके की जाती है। मानों को रखने पर ˣ⁄₂₀ₓ × 100 प्राप्त होता है, जो सरल होकर ¹⁄₂₀ × 100 = 5% हो जाता है।

व्याख्या

मान का निर्धारण मूल संख्या और प्रतिशत के दशमलव समकक्षों के गुणनफल द्वारा सूत्र मान = संख्या × दर₁ × दर₂ का उपयोग करके किया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक 400 × ¹⁵⁰⁄₁₀₀ × ¹⁰⁄₁₀₀ हो जाता है। पदों को सरल करने पर यह 400 × 1.5 × 0.1 हो जाता है, जो 600 × 0.1 = 60 के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, कोई व्यक्ति पहले 10% और 150% को गुणा करके प्रभावी प्रतिशत की गणना कर सकता है जिससे 15% प्राप्त होता है। 400 के 15% (0.15 × 400) की गणना करने पर भी वही परिणाम 60 प्राप्त होता है।

व्याख्या

औसत गति की गणना सूत्र गति = (दूरी)/(समय) का उपयोग करके की जाती है। दी गई दूरी 144 किमी और समय 3.2 घंटे है, सबसे पहले किमी/घंटा में गति निर्धारित की जाती है:

गति = (144)/(3.2) = ¹⁴⁴⁰⁄₃₂ = 45 किमी/घंटा

गति को किलोमीटर प्रति घंटे से मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, मान को परिवर्तन कारक ⁵⁄₁₈ से गुणा किया जाता है:

मीटर/सेकंड में गति = 45 × ⁵⁄₁₈

गणना को सरल करने पर, 45 और 18 दोनों को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

गति = 5 × ⁵⁄₂ = ²⁵⁄₂ = 12.5 मीटर/सेकंड

व्याख्या

साधारण ब्याज की दर की गणना संबंध R = (वृद्धि प्रतिशत)/(समय) का उपयोग करके की जाती है। चूंकि मूलधन 2 वर्षों में 18% बढ़ जाता है, इसलिए वार्षिक ब्याज दर R = 18% / 2 = 9% प्रति वर्ष है।

9% प्रति वर्ष की दर से 3 वर्षों के लिए 7000 रुपये पर चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए, 3 वर्षों में प्रभावी ब्याज दर को क्रमिक प्रतिशत सूत्र या मानक चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र CI = P[(1 + (R)/(100))^T - 1] का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CI = 7000 × [(1 + ⁹⁄₁₀₀)³ - 1] CI = 7000 × [(1.09)³ - 1] CI = 7000 × [1.295029 - 1] CI = 7000 × 0.295029 = 2065.203

विकल्पों के अनुसार निकटतम दशमलव मान तक पूर्णांकित करने पर, अर्जित ब्याज 2065.2 रुपये है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को सरल करें और बाहरी भिन्न को वितरित करें: ˣ⁄₃ - ⁵⁄₂(⁷ˣ⁄₅ - ⁴⁄₃) = -ˣ⁄₆

कोष्ठक में ⁵⁄₂ को वितरित करने पर: ˣ⁄₃ - (⁵⁄₂ · ⁷ˣ⁄₅ - ⁵⁄₂ · ⁴⁄₃) = -ˣ⁄₆ ˣ⁄₃ - (⁷ˣ⁄₂ - ¹⁰⁄₃) = -ˣ⁄₆

ऋणात्मक चिह्न को वितरित करके कोष्ठक हटाने पर: ˣ⁄₃ - ⁷ˣ⁄₂ + ¹⁰⁄₃ = -ˣ⁄₆

हरों को हटाने के लिए, पूरे समीकरण को 2, 3 और 6 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 6 है: 6(ˣ⁄₃) - 6(⁷ˣ⁄₂) + 6(¹⁰⁄₃) = 6(-ˣ⁄₆) 2x - 21x + 20 = -x

x वाले पदों को एक तरफ संयोजित करें: -19x + 20 = -x 20 = 19x - x 20 = 18x

x का मान ज्ञात करने पर: x = ²⁰⁄₁₈ x = ¹⁰⁄₉

व्याख्या

दो घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) है। इस सूत्र में दिए गए मानों a³ + b³ = 19 और a + b = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 19 = (1)³ - 3ab(1) प्राप्त होता है। इससे समीकरण सरल होकर 19 = 1 - 3ab हो जाता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 3ab = 1 - 19 प्राप्त होता है, जिससे 3ab = -18 मिलता है। दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर ab = -6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना कि अभीष्ट भिन्न x है। दी गई शर्त के अनुसार, भिन्न अपने व्युत्क्रम से ⁷²⁄₇₇ अधिक है, जिसे समीकरण x - ¹⁄ₓ = ⁷²⁄₇₇ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

मान x = ¹¹⁄₇ प्रतिस्थापित करने पर, इसका व्युत्क्रम ⁷⁄₁₁ प्राप्त होता है। दोनों के बीच के अंतर की गणना करने पर:

¹¹⁄₇ - ⁷⁄₁₁ = 11² - 7²{77} = (121 - 49)/(77) = ⁷²⁄₇₇

वैकल्पिक रूप से, समीकरण x - ¹⁄ₓ = ⁷²⁄₇₇ को द्विघात रूप x² - 1{x} = ⁷²⁄₇₇ में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जिससे 77x² - 72x - 77 = 0 प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र x = -b ± √(b²⁾⁻⁴ᵃᶜ{2a} का उपयोग करके x का मान ज्ञात करने पर:

x = 72 ± √((-72)²⁾⁻⁴⁽⁷⁷⁾⁽⁻⁷⁷⁾{2(77)} = 72 ± √(5184 + 23716){154} = 72 ± √(28900){154}

x = (72 ± 170)/(154)

धनात्मक मूल लेने पर, x = (72 + 170)/(154) = ²⁴²⁄₁₅₄। दोनों पदों को 22 से विभाजित करने पर भिन्न सरल होकर ¹¹⁄₇ हो जाती है।

व्याख्या

किसी समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग सूत्र Sₙ = ⁿ⁄₂(a + l) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ a प्रथम पद है, l अंतिम पद है, और n पदों की संख्या है। दिए गए मानों a = -19, l = 36, और n = 12 का उपयोग करने पर, योग की गणना इस प्रकार की जाती है:

S₁₂ = ¹²⁄₂(-19 + 36) S₁₂ = 6 × 17 S₁₂ = 102

व्याख्या

जब एक बिंदु (x, y) को x = k द्वारा परिभाषित एक ऊर्ध्वाधर रेखा में प्रतिबिंबित किया जाता है, तो बिंदु का y-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है जबकि x-निर्देशांक परिवर्तित हो जाता है। नए x-निर्देशांक x' की गणना सूत्र x' = 2k - x का उपयोग करके की जाती है, जो यह सुनिश्चित करता है कि रेखा x = k, मूल x और प्रतिबिंबित x' के बीच का मध्यबिंदु है।

दिए गए बिंदु (-2, 5) और परावर्तन रेखा x = -1 के लिए, हमारे पास x = -2, y = 5, और k = -1 है। सूत्र का उपयोग करने पर, नया x-निर्देशांक x' = 2(-1) - (-2) = -2 + 2 = 0 है। चूंकि y-निर्देशांक 5 ही रहता है, इसलिए प्रतिबिंबित बिंदु के निर्देशांक (0, 5) हैं।

व्याख्या

मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार, अंत्य बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) वाले एक रेखाखंड के मध्य-बिंदु P(xₚ, yₚ) के निर्देशांक xₚ = (x₁ + x₂)/(2) और yₚ = (y₁ + y₂)/(2) द्वारा दिए जाते हैं। मध्य-बिंदु P(3, 1) और बिंदु B(5, -4) दिए गए हैं, सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर A(x₁, y₁) के निर्देशांक प्राप्त होते हैं। क्षैतिज निर्देशांक के लिए, 3 = (x₁ + 5)/(2), जिससे प्राप्त होता है 6 = x₁ + 5 और x₁ = 1। ऊर्ध्वाधर निर्देशांक के लिए, 1 = (y₁ - 4)/(2), जिससे प्राप्त होता है 2 = y₁ - 4 और y₁ = 6।

व्याख्या

बिंदुओं (-5, 1) और (-2, 0) से होकर गुजरने वाली रेखा की प्रवणता की गणना सूत्र (y2 - y1) / (x2 - x1) का उपयोग करके की जाती है, जिससे (0 - 1) / (-2 - (-5)) = -1/3 प्राप्त होता है। एक लंबवत रेखा की प्रवणता इस मान का ऋणात्मक व्युत्क्रम (negative reciprocal) होती है, जो कि -1 / (-1/3) = 3 है।

व्याख्या

व्यंजक (1)/(√(2)) cot 45° + (1)/(√(3)) csc 60° का मान ज्ञात करने के लिए, मानक त्रिकोणमितीय मानों cot 45° = 1 और csc 60° = (2)/(√(3)) को प्रतिस्थापित करें।

व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: ((1)/(√(2)) × 1) + ((1)/(√(3)) × (2)/(√(3))) = (1)/(√(2)) + 2/3

इन पदों को संयोजित करने के लिए, उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करें, जो 3√2 है। तदनुसार अंशों को समायोजित करने पर: = (3 + 2√2)/3√2

व्याख्या

B पर समकोण △ ABC में, कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि m∠B = 90° और m∠A = 60°, कोण C का माप 180° - (90° + 60°) = 30° प्राप्त होता है।

sec C · sin A का मान ज्ञात करने के लिए, कोणों के मान रखिए: sec 30° · sin 60°

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर: sec 30° = 1/cos 30° = 2/√3 sin 60° = √3/2

गुणनफल है: (2/√3) · (√3/2) = 1

व्याख्या

दिया गया है कि tan θ = 7/24, हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ = 1 + tan² θ का उपयोग कर सकते हैं। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

sec² θ = 1 + (7/24)² sec² θ = 1 + 49/576 sec² θ = (576 + 49)/576 sec² θ = 625/576

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: sec θ = √(625/576) = 25/24

वैकल्पिक रूप से, एक समकोण त्रिभुज में, tan θ = लंब/आधार = 7/24 होता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, कर्ण √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25 है। चूंकि sec θ = कर्ण/आधार होता है, इसलिए हमें 25/24 प्राप्त होता है। मान (7, 24, 25) एक मानक पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triplet) बनाते हैं, जिससे अनुपात की सीधे गणना की जा सकती है।

व्याख्या

भागफल ज्ञात करने के लिए, हम सबसे बड़ा पूर्णांक q निर्धारित करते हैं जिससे कि 66 × q ≤ 7251 हो। 10 के गुणज का उपयोग करके एक त्वरित अनुमान से पता चलता है कि 66 × 110 = 7260 है। चूंकि 7260 भाज्य 7251 से थोड़ा अधिक है, इसलिए हम 109 के लिए मान की जांच करने हेतु भाजक की एक इकाई घटाते हैं: 66 × 109 = 66 × (110 - 1) = 7260 - 66 = 7194। 7251 में से 7194 घटाने पर शेषफल 57 बचता है। चूंकि यह शेषफल गैर-ऋणात्मक है और भाजक 66 से कम है, इसलिए पूर्णांक भागफल 109 है।

व्याख्या

माना बशीर की कार्यक्षमता x इकाई कार्य प्रति दिन है। चूंकि आसिफ, बशीर की तुलना में दोगुना कुशल कामगार है, इसलिए आसिफ की कार्यक्षमता 2x इकाई कार्य प्रति दिन होगी।

एक साथ काम करते समय, उनकी संयुक्त कार्यक्षमता उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं का योग होगी: संयुक्त कार्यक्षमता = x + 2x = 3x इकाई प्रति दिन

कुल कार्य उनकी संयुक्त कार्यक्षमता और मिलकर कार्य को पूरा करने में लिए गए समय का गुणनफल है: कुल कार्य = 3x × 30 = 90x इकाई

आसिफ द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम कुल कार्य को आसिफ की व्यक्तिगत कार्यक्षमता से विभाजित करते हैं: आसिफ द्वारा लिया गया समय = (कुल कार्य)/(आसिफ की कार्यक्षमता) = ⁹⁰ˣ⁄₂ₓ = 45 दिन

यह संबंध इस सिद्धांत का अनुसरण करता है कि कार्यक्षमता लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। चूंकि आसिफ, बशीर की तुलना में दोगुना कुशल है, इसलिए संयुक्त समूह अकेले बशीर की तुलना में तीन गुना दर से कार्य करता है। चूंकि वे 30 दिनों में कार्य पूरा करते हैं, इसलिए बशीर को 90 दिन लगेंगे, और आसिफ, बशीर से दोगुना तेज होने के कारण, उसका आधा समय लेगा।

व्याख्या

A, B, और C द्वारा मिलकर काम को पूरा करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले उनके व्यक्तिगत रूप से काम पूरा करने के समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर कुल कार्य निर्धारित करते हैं। 72, 24, और 36 का LCM 72 इकाई (units) है।

इसके बाद हम प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) की गणना करते हैं: A की कार्यक्षमता = 72 / 72 = 1 इकाई प्रति दिन B की कार्यक्षमता = 72 / 24 = 3 इकाई प्रति दिन C की कार्यक्षमता = 72 / 36 = 2 इकाई प्रति दिन

एक साथ काम करने वाले A, B, और C की संयुक्त कार्यक्षमता उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं का योग है: कुल कार्यक्षमता = 1 + 3 + 2 = 6 इकाई प्रति दिन

एक साथ काम पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या इस सूत्र द्वारा दी गई है: समय = कुल कार्य / कुल कार्यक्षमता समय = 72 / 6 = 12 दिन

वैकल्पिक रूप से, व्युत्क्रम विधि (reciprocal method) का उपयोग करके: 1/T = 1/72 + 1/24 + 1/36 1/T = (1 + 3 + 2) / 72 1/T = 6 / 72 T = 72 / 6 = 12 दिन

व्याख्या

एक घनाभ की चारों दीवारों का क्षेत्रफल उसके पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र, A = 2h(l + b) द्वारा दिया जाता है, जहाँ h ऊंचाई है, l लंबाई है, और b चौड़ाई है।

दिया गया है: क्षेत्रफल A = 448 वर्ग सेमी लंबाई l = 18 सेमी ऊंचाई h = 8 सेमी

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: 448 = 2 × 8 × (18 + b) 448 = 16 × (18 + b)

b का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले कुल क्षेत्रफल को 16 से विभाजित करें: 448 / 16 = 18 + b 28 = 18 + b

दोनों पक्षों से 18 घटाने पर चौड़ाई प्राप्त होती है: b = 28 - 18 b = 10 सेमी

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP) और छूट (D%) से सूत्र SP = MP × (100 - D)/(100) द्वारा संबंधित है। चूँकि दोनों स्थितियों में अंकित मूल्य समान रहता है, हम विक्रय मूल्यों के अनुपात का उपयोग कर सकते हैं:

SP₁{100 - D₁} = SP₂{100 - D₂}

दिए गए मानों को रखने पर:

(4500)/(100 - 10) = SP₂{100 - 27.5}

⁴⁵⁰⁰⁄₉₀ = SP₂{72.5}

50 = SP₂{72.5}

SP₂ = 50 × 72.5

SP₂ = 3625

व्याख्या

यदि चार संख्याएँ a, b, c, और x इस प्रकार समानुपात में हैं कि a:b = c:x, तो x चतुर्थानुपाती है। चतुर्थानुपाती की गणना करने का सूत्र x = (b × c) / a है।

दिए गए मानों a = 72, b = 168, और c = 150 को सूत्र में रखने पर: x = (168 × 150) / 72

गणना को सरल बनाने के लिए, 168 और 72 दोनों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 24 से विभाजित करें: 168 / 24 = 7 72 / 24 = 3

व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: x = (7 × 150) / 3 x = 7 × 50 x = 350

व्याख्या

11 और 80 के बीच की वे संख्याएँ जो 6 से विभाज्य हैं, एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाती हैं। इस सीमा में 6 से विभाज्य पहली संख्या 12 है, और अंतिम संख्या 78 है (क्योंकि 6 × 13 = 78)।

समांतर श्रेणी की किसी भी श्रृंखला के लिए, औसत का सूत्र इस प्रकार है:

औसत = (a + l)/(2)

जहाँ a श्रृंखला का पहला पद है और l अंतिम पद है।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

औसत = (12 + 78)/(2)

औसत = ⁹⁰⁄₂

औसत = 45

व्याख्या

मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करते हुए, 20% लाभ और 8% लाभ पर बेची गई मात्राओं का अनुपात औसत लाभ और व्यक्तिगत लाभ दरों के बीच के अंतर द्वारा निकाला जाता है।

20% लाभ पर बेची गई मात्रा का 8% लाभ पर बेची गई मात्रा से अनुपात: (12 - 8) : (20 - 12) 4 : 8 1 : 2

चावल की कुल मात्रा 960 किग्रा है। 8% लाभ पर बेची गई मात्रा ज्ञात करने के लिए, हम कुल मात्रा को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करते हैं। 8% लाभ का प्रतिनिधित्व करने वाला भाग अनुपात का दूसरा पद है।

8% लाभ पर बेची गई मात्रा = (2)/(1 + 2) × 960 ⅔ × 960 2 × 320 = 640 किग्रा

व्याख्या

एक आयत में, विकर्ण और दो आसन्न भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, विकर्ण का वर्ग दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है: d² = a² + b²। दिया गया है कि विकर्ण d = 25 सेमी और एक भुजा a = 24 सेमी है, तो दूसरी भुजा b की गणना इस प्रकार की जाती है:

b = √(d² - a²) b = √(25² - 24²) b = √(625 - 576) b = √(49) b = 7 सेमी

एक आयत का क्षेत्रफल उसकी दो आसन्न भुजाओं का गुणनफल होता है। भुजाओं की लंबाई 24 सेमी और 7 सेमी का उपयोग करने पर:

क्षेत्रफल = a × b क्षेत्रफल = 24 × 7 क्षेत्रफल = 168 वर्ग सेमी

व्याख्या

दी गई शर्त x का 40% = y है, जिसे y = ⁴⁰⁄₁₀₀x = 0.4x के रूप में लिखा जा सकता है। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह 40 का y% है, जो कि ʸ⁄₁₀₀ × 40 = 0.4y है। इस व्यंजक में y का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 0.4 × (0.4x) = 0.16x प्राप्त होता है। 0.16x को x के प्रतिशत के रूप में दर्शाने के लिए, हम इसे 100 से गुणा करते हैं, जिससे 16% प्राप्त होता है। अतः, 40 का y%, x के 16% के बराबर है।

व्याख्या

प्रति घंटे बस के रुकने की अवधि को इस सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है: प्रति घंटे रुकने का समय = (बिना रुके चाल - रुकने सहित चाल)/(बिना रुके चाल) × 60 मिनट। एक घंटे में, बस को आदर्श रूप से 72 किमी की दूरी तय करनी चाहिए, लेकिन रुकने के कारण, यह केवल 60 किमी की दूरी तय करती है। दूरी में हुई कमी 12 किमी है। 72 किमी/घंटा की चाल से इस 12 किमी की दूरी को तय करने में लगा समय ¹²⁄₇₂ घंटे है। इसे मिनटों में बदलने पर, हमें ¹²⁄₇₂ × 60 = ⅙ × 60 = 10 मिनट प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज प्रत्येक वर्ष समान रूप से अर्जित किया जाता है। चूंकि दो वर्षों का साधारण ब्याज 1500 रुपये है, इसलिए पहले वर्ष में अर्जित ब्याज SI₁ = ¹⁵⁰⁰⁄₂ = 750 रुपये है। पहले वर्ष के लिए, साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज बिल्कुल समान होते हैं।

दो वर्ष की अवधि में चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर दूसरे वर्ष के दौरान पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज होता है। इस अंतर D की गणना 1575 - 1500 = 75 रुपये के रूप में की जाती है।

ब्याज दर R ज्ञात करने के लिए, हम उस प्रतिशत की गणना करते हैं जो यह अंतर D पहले वर्ष के ब्याज SI₁ के सापेक्ष दर्शाता है:

R = (D)/(SI₁₎ × 100

सूत्र में मान रखने पर:

R = ⁷⁵⁄₇₅₀ × 100 = 10

ब्याज की दर 10% प्रति वर्ष है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम चर को चरण-दर-चरण अलग करके समीकरण (7(5x)/(3) - ³⁄₂){2} + ³⁄₂ = ¼ को हल करते हैं। सबसे पहले, दोनों पक्षों से ³⁄₂ घटाने पर (7(5x)/(3) - ³⁄₂){2} = ¼ - ⁶⁄₄ = -⁵⁄₄ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर 7(⁵ˣ⁄₃ - ³⁄₂) = -⁵⁄₂ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 7 से भाग देने पर ⁵ˣ⁄₃ - ³⁄₂ = -⁵⁄₁₄ प्राप्त होता है। इसके बाद, दोनों पक्षों में ³⁄₂ जोड़ें, जो समान हर (common denominator) के रूप में ²¹⁄₁₄ है: ⁵ˣ⁄₃ = ²¹⁄₁₄ - ⁵⁄₁₄ = ¹⁶⁄₁₄। भिन्न को सरल करने पर ⁵ˣ⁄₃ = ⁸⁄₇ प्राप्त होता है। अंत में, x का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को ⅗ से गुणा करें: x = ⁸⁄₇ × ⅗ = ²⁴⁄₃₅।