एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

औसत चाल की गणना सूत्र v = ᵈ⁄ₜ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ d तय की गई दूरी है और t लिया गया समय है। दिए गए मानों को रखने पर: v = (90 किमी)/(2.5 घंटे) = 36 किमी/घंटा

चाल को मीटर प्रति सेकंड (m/s) में व्यक्त करने के लिए, इस मान को रूपांतरण कारक ⁵⁄₁₈ से गुणा करें, जो (1000 मीटर)/(3600 सेकंड) से प्राप्त होता है: v = 36 × ⁵⁄₁₈ = 10 मीटर/सेकंड

व्याख्या

साधारण ब्याज की दर दिए गए समय में मूलधन में हुई प्रतिशत वृद्धि द्वारा निर्धारित की जाती है। चूंकि साधारण ब्याज पर 3 वर्षों में मूलधन 18% बढ़ जाता है, इसलिए वार्षिक ब्याज दर R की गणना इस प्रकार की जाती है: R = (18%)/(3) = 6% प्रति वर्ष।

6% प्रति वर्ष की दर से 3 वर्षों के लिए 25,000 रुपये पर चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम 3 वर्षों में प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर के सूत्र का उपयोग करते हैं: Rₑ_f_f = x + y + z + (xy + yz + zx)/(100) + ˣʸᶻ⁄₁₀₀₀₀। x = y = z = 6 के लिए, प्रभावी दर 6 + 6 + 6 + (36 + 36 + 36)/(100) + ²¹⁶⁄₁₀₀₀₀ = 18 + 1.08 + 0.0216 = 19.1016% है।

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना इस प्रकार की जाती है: CI = (19.1016)/(100) × 25000। गणना को सरल करने पर, CI = 19.1016 × 250 = 4775.4। वैकल्पिक रूप से, मिश्रधन A = 25000 × (1.06)³ = 25000 × 1.191016 = 29775.4। मूलधन घटाने पर, CI = 29775.4 - 25000 = 4775.4।

व्याख्या

दिया गया रैखिक समीकरण 5x + 6(3 - 2x) = 4 है। गुणक 6 को वितरित करके कोष्ठक को हल (विस्तार) करने पर 5x + 18 - 12x = 4 प्राप्त होता है। x वाले समान पदों को मिलाने पर -7x + 18 = 4 प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों से 18 घटाने पर -7x = 4 - 18 प्राप्त होता है, जो सरल होकर -7x = -14 हो जाता है। दोनों पक्षों को -7 से विभाजित करने पर x = ⁻¹⁴⁄₋₇ = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

a³ + b³ के मान की गणना बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके की जाती है। यह सूत्र एक द्विपद के घन के विस्तार, (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) से प्राप्त हुआ है।

दिए गए मानों a + b = 1 और ab = -6 को सीधे सर्वसमिका में रखने पर:

a³ + b³ = (1)³ - 3(-6)(1) a³ + b³ = 1 - (-18) a³ + b³ = 1 + 18 a³ + b³ = 19

यह सर्वसमिका चरों के ज्ञात योग और गुणनफल का उपयोग करके समाधान का सबसे सीधा तरीका प्रदान करती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि शून्येतर संख्या x है। प्रश्नानुसार, संख्या और उसके व्युत्क्रम के बीस गुना का योग 9 के बराबर है। इस संबंध को समीकरण x + ²⁰⁄ₓ = 9 द्वारा दर्शाया गया है। हर (denominator) को हटाने के लिए, प्रत्येक पद को x से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप द्विघात समीकरण x² + 20 = 9x प्राप्त होता है। पदों को मानक रूप ax² + bx + c = 0 में पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें x² - 9x + 20 = 0 प्राप्त होता है। इस द्विघात समीकरण को मध्य पद का गुणनखंड करके हल किया जा सकता है; हम ऐसी दो संख्याएँ खोजते हैं जिनका गुणनफल 20 हो और योग -9 हो। वे संख्याएँ -4 और -5 हैं। इस प्रकार, समीकरण (x - 4)(x - 5) = 0 हो जाता है। इससे x के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं, जो 4 और 5 हैं। चूंकि विकल्पों में 5 दिया गया है, इसलिए यह सही संख्या है।

व्याख्या

किसी समांतर श्रेणी (AP) का n-वां पद सूत्र aₙ = a + (n - 1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर (common difference) है। हमें तीसरा पद a₃ = 13 और पांचवां पद a₅ = 21 दिया गया है।

सार्व अंतर d की गणना मानों में परिवर्तन को पदों की संख्या में परिवर्तन से विभाजित करके की जा सकती है: d = (a₅ - a₃)/(5 - 3) = (21 - 13)/(2) = ⁸⁄₂ = 4

13वां पद a₁₃ ज्ञात करने के लिए, हम 5वें पद से शुरू कर सकते हैं और शेष (13 - 5) = 8 चरणों के लिए सार्व अंतर जोड़ सकते हैं: a₁₃ = a₅ + (13 - 5)d a₁₃ = 21 + 8 × 4 a₁₃ = 21 + 32 = 53

वैकल्पिक रूप से, तीसरे पद का उपयोग करके: a₁₃ = a₃ + (13 - 3)d a₁₃ = 13 + 10 × 4 a₁₃ = 13 + 40 = 53

व्याख्या

मूल बिंदु में किसी बिंदु (x, y) का प्रतिबिंब बिंदु (-x, -y) होता है। बिंदु (3, -5) के लिए, दोनों मानों के चिह्न बदलने के बाद निर्देशांक (-3, 5) होंगे।

व्याख्या

मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार, यदि P(x, y) अंत्य बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) वाले एक रेखाखंड का मध्य-बिंदु है, तो x = (x₁ + x₂)/(2) और y = (y₁ + y₂)/(2) होता है। मध्य-बिंदु P(5, -1) और अंत्य बिंदु A(2, -4) के ज्ञात निर्देशांकों को इन समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर हम B(x₂, y₂) के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।

x-निर्देशांक के लिए: 5 = (2 + x₂)/(2) 10 = 2 + x₂ x₂ = 8

y-निर्देशांक के लिए: -1 = (-4 + y₂)/(2) -2 = -4 + y₂ y₂ = 2

अतः, बिंदु B के निर्देशांक (8, 2) हैं।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाली रेखा की प्रवणता m₁ सूत्र m = y₂ - y₁{x₂ - x₁} द्वारा दी जाती है। दिए गए बिंदुओं (-2, 3) और (2, 0) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

m₁ = (0 - 3)/(2 - (-2)) = ⁻³⁄₄

दो रेखाओं के परस्पर लंबवत होने के लिए, उनकी प्रवणताओं का गुणनफल -1 होना चाहिए, जिसे m₁ · m₂ = -1 के रूप में व्यक्त किया जाता है। लंबवत रेखा की प्रवणता m₂ ज्ञात करने के लिए, हम m₁ का ऋणात्मक व्युत्क्रम लेते हैं:

m₂ = -(1)/(m₁₎ = -(1)/(-3/4) = ⁴⁄₃

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। दिया गया है कि Δ ABC ∼ Δ PQR, उनके परिमापों और संगत भुजाओं AB और PQ के बीच का संबंध इस प्रकार है:

(परिमाप(Δ ABC))/(परिमाप(Δ PQR)) = (AB)/(PQ)

प्रश्न में कहा गया है कि परिमापों का अनुपात 1:2 है और भुजा PQ की लंबाई 10 सेमी है। इन मानों को समीकरण में रखने पर:

½ = (AB)/(10)

AB की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम अज्ञात मान को हल करते हैं:

AB = 10 × ½ = 5 सेमी

व्याख्या

मानक कोण 30° के लिए त्रिकोणमितीय मान sin 30° = ½ और cos 30° = √3{2} हैं। दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और योग करते हैं:

sin 30° + cos 30° = ½ + √3{2}

चूंकि भिन्नों का हर समान (2) है, इसलिए अंशों को सीधे उसी हर के ऊपर जोड़ा जा सकता है:

1 + √3{2}

व्याख्या

एक त्रिभुज में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि △ ABC, B पर समकोण है, इसलिए ∠ B = 90° है। चूंकि किसी भी त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है, इसलिए दो न्यून कोण A और C पूरक होने चाहिए, जिसका अर्थ है ∠ A + ∠ C = 90°। यह देखते हुए कि ∠ A = 30° है, कोण C का मान इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: ∠ C = 90° - 30° = 60°।

त्रिकोणमितीय फलन sec C को cos C के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। 60° के लिए मानक त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि cos 60° = 1/2 होता है। इसलिए:

sec C = sec 60° = (1)/(cos 60°) = (1)/(1/2) = 2

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, किसी कोण का sine, लंब और कर्ण का अनुपात होता है, इसलिए sin θ = (P)/(H) = ¹²⁄₁₃। पाइथागोरस प्रमेय, H² = P² + B² का उपयोग करके, हम आधार B = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √(25) = 5 की गणना करते हैं। किसी कोण का cotangent, आधार और लंब का अनुपात होता है, जिसे cot θ = (B)/(P) के रूप में परिभाषित किया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, cot θ = ⁵⁄₁₂।

व्याख्या

6345 और 2160 के महत्तम समापवर्तक (HCF) की गणना यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके की जाती है, जिसमें शेषफल शून्य होने तक बार-बार विभाजन शामिल है।

चरण 1: 6345 को 2160 से विभाजित करें। 6345 = 2 × 2160 + 2025

चरण 2: पिछले भाजक (2160) को शेषफल (2025) से विभाजित करें। 2160 = 1 × 2025 + 135

चरण 3: पिछले भाजक (2025) को नए शेषफल (135) से विभाजित करें। 2025 = 15 × 135 + 0

चूंकि शेषफल शून्य है, इसलिए उपयोग किया गया अंतिम भाजक, 135, महत्तम समापवर्तक (HCF) है। इस परिणाम को अभाज्य गुणनखंडन के माध्यम से भी सत्यापित किया जा सकता है। संख्या 2160, 2⁴ × 3³ × 5 है और 6345, 3³ × 5 × 47 है। सामान्य अभाज्य गुणनखंड 3³ × 5 हैं, जिसके परिणामस्वरूप 27 × 5 = 135 प्राप्त होता है।

व्याख्या

शेष बचे कार्य का भाग ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले A और B द्वारा लिए गए समय के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का उपयोग करके कुल कार्य निर्धारित करें। 24 और 40 का LCM 120 है, इसलिए मान लें कि कुल कार्य 120 इकाई है।

A की कार्यक्षमता (प्रतिदिन का कार्य) 120 / 24 = 5 इकाई प्रतिदिन है, और B की कार्यक्षमता 120 / 40 = 3 इकाई प्रतिदिन है। एक साथ कार्य करने पर, उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 5 + 3 = 8 इकाई प्रतिदिन है।

10 दिनों में, A और B द्वारा मिलकर पूरा किया गया कार्य 10 × 8 = 80 इकाई है। शेष कार्य कुल कार्य और पूरे किए गए कार्य के बीच का अंतर है: 120 - 80 = 40 इकाई। शेष बचे कार्य का भाग ज्ञात करने के लिए, शेष कार्य को कुल कार्य से विभाजित करें: 40 / 120 = 1/3।

व्याख्या

एक वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = π r² द्वारा दिया जाता है। दिए गए क्षेत्रफल 616 वर्ग सेमी को समीकरण में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: 616 = ²²⁄₇ × r²। r² ज्ञात करने के लिए, हम 616 × ⁷⁄₂₂ की गणना करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 28 × 7 = 196 प्राप्त होता है। इसलिए, त्रिज्या r = √(196) = 14 सेमी।

एक वृत्त की परिधि की गणना सूत्र C = 2π r का उपयोग करके की जाती है। इस सूत्र में त्रिज्या 14 सेमी रखने पर, हमें C = 2 × ²²⁄₇ × 14 प्राप्त होता है। इस व्यंजक को सरल करने पर 2 × 22 × 2 प्राप्त होता है, जो 88 सेमी के बराबर है।

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तुओं का अंकित मूल्य (MP) 100 इकाई है। खुदरा विक्रेता अंकित मूल्य पर 20% की छूट देता है, इसलिए विक्रय मूल्य (SP) इस प्रकार निर्धारित किया जाता है: SP = MP × (1 - छूट दर) SP = 100 × (1 - 0.20) = 80

प्रश्न के अनुसार, इस मूल्य पर बेचने से खुदरा विक्रेता अंततः क्रय मूल्य (CP) पर बेचता है। इसलिए, SP = CP = 80 इकाई।

मूल्यवर्धन (markup) अंकित मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है। मूल्यवर्धन राशि का सूत्र है: मूल्यवर्धन राशि = MP - CP मूल्यवर्धन राशि = 100 - 80 = 20

प्रतिशत मूल्यवर्धन की गणना हमेशा क्रय मूल्य के संदर्भ में की जाती है। प्रतिशत मूल्यवर्धन के मानक सूत्र का उपयोग करते हुए: प्रतिशत मूल्यवर्धन = ( (MP - CP)/(CP) ) × 100 प्रतिशत मूल्यवर्धन = ( ²⁰⁄₈₀ ) × 100 = ¼ × 100 = 25%

इसे CP = MP × 0.8 के संबंध द्वारा भी व्यक्त किया जा सकता है। MP के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर MP = CP / 0.8 प्राप्त होता है, जो सरल होकर MP = 1.25 × CP हो जाता है। 1.25 का गुणक मूल क्रय मूल्य पर 25% की वृद्धि को दर्शाता है।

व्याख्या

चयनित और अचयनित उम्मीदवारों का प्रारंभिक अनुपात 11:2 है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक 13 आवेदकों में से 11 चयनित हुए और 2 अचयनित रहे। मान लीजिए कि प्रारंभिक चयनित उम्मीदवार 11x और अचयनित उम्मीदवार 2x हैं। प्रारंभिक आवेदकों की कुल संख्या 13x है।

दूसरी स्थिति में, 40 कम उम्मीदवारों ने आवेदन किया और 20 कम चयनित हुए। इस प्रकार, आवेदकों की नई कुल संख्या 13x - 40 है और चयनित उम्मीदवारों की नई संख्या 11x - 20 है। अचयनित उम्मीदवारों की नई संख्या इन दोनों मानों के बीच का अंतर है: (13x - 40) - (11x - 20) = 2x - 20.

चयनित और अचयनित उम्मीदवारों का नया अनुपात 10:1 है। समीकरण बनाने पर: (11x - 20)/(2x - 20) = 10/1 11x - 20 = 10(2x - 20) 11x - 20 = 20x - 200 9x = 180 x = 20

आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या 13x = 13 × 20 = 260 है। प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए एक त्वरित तरीका यह देखना है कि आवेदकों की कुल संख्या 11 + 2 = 13 का गुणज होनी चाहिए। दिए गए विकल्पों में से केवल 260 ही 13 से पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

21 से 39 तक की प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय एक समांतर श्रेणी बनाता है क्योंकि किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर है। समांतर श्रेणी के किसी भी अनुक्रम के लिए, औसत की गणना सूत्र औसत = (a + l)/(2) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ a पहला पद है और l अंतिम पद है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर, जहाँ a = 21 और l = 39:

औसत = (21 + 39)/(2) = ⁶⁰⁄₂ = 30

वैकल्पिक रूप से, चूँकि पदों की कुल संख्या n = (39 - 21) + 1 = 19 एक विषम संख्या है, इसलिए औसत अनुक्रम के ठीक मध्य पद के बराबर होता है। मध्य पद का स्थान (n + 1)/(2) = (19 + 1)/(2) = 10 है। 21 से शुरू होने वाले अनुक्रम में 10वाँ पद 21 + (10 - 1) = 30 है।

व्याख्या

माना भेड़ का क्रय मूल्य S है और बकरी का क्रय मूल्य G है। प्रश्न के अनुसार, कुल क्रय मूल्य S + G = 3500 है। चूंकि दोनों जानवरों का विक्रय मूल्य समान है, इसलिए हम दिए गए लाभ और हानि प्रतिशत के आधार पर उनके विक्रय मूल्य के समीकरणों को बराबर कर सकते हैं।

1.20 × S = 0.90 × G

क्रय मूल्यों के अनुपात को सरल करने पर: (S)/(G) = (0.90)/(1.20) = 3/4

भेड़ और बकरी के क्रय मूल्य का अनुपात 3:4 है। कुल अनुपात 3 + 4 = 7 इकाई है। हम कुल क्रय मूल्य को इकाइयों की कुल संख्या से विभाजित करके एक इकाई का मूल्य ज्ञात कर सकते हैं: प्रति इकाई मूल्य = 3500/7 = 500

भेड़ का क्रय मूल्य 3 × 500 = 1500 है, और बकरी का क्रय मूल्य 4 × 500 = 2000 है। इन दोनों मूल्यों की तुलना करने पर, सस्ते जानवर का क्रय मूल्य 1500 है।

व्याख्या

माना तीसरी संख्या 100 है। प्रश्न के अनुसार, पहली संख्या तीसरी संख्या से 10% कम है, इसलिए पहली संख्या 100 - (100 का 10%) = 90 है। दूसरी संख्या तीसरी संख्या से 20% कम है, इसलिए दूसरी संख्या 100 - (100 का 20%) = 80 है।

दूसरी संख्या (80) को पहली संख्या (90) के बराबर करने के लिए, दूसरी संख्या में उनके अंतर के बराबर वृद्धि की जानी चाहिए, जो कि 90 - 80 = 10 है। आवश्यक प्रतिशत वृद्धि की गणना दूसरी संख्या के सापेक्ष इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (अंतर)/(मूल मान) × 100।

सूत्र में मान रखने पर ¹⁰⁄₈₀ × 100 प्राप्त होता है। भिन्न ¹⁰⁄₈₀ को सरल करने पर ⅛ प्राप्त होता है। चूंकि ⅛, 0.125 के बराबर है, इसलिए 100 से गुणा करने पर परिणाम 12.5% प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो बिंदुओं के बीच की दूरी d स्थिर होती है, तो गतियों v₁, v₂ और लिए गए समय के अंतर Δ t के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:

d = (v₁ × v₂)/(|v₁ - v₂|) × Δ t

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ v₁ = 35 किमी/घंटा, v₂ = 45 किमी/घंटा, और Δ t = 2 घंटे है:

d = (35 × 45)/(45 - 35) × 2

d = ¹⁵⁷⁵⁄₁₀ × 2

d = 157.5 × 2 = 315 किमी

वैकल्पिक रूप से, अनुपात विधि का उपयोग करने पर, कार A और कार B की गति का अनुपात 35:45 है, जो सरल होकर 7:9 हो जाता है। चूँकि दूरी स्थिर है, इसलिए लिए गए समय का अनुपात गति के अनुपात का व्युत्क्रम (उल्टा) होगा, जो कि 9:7 है। समय के अनुपात के भागों का अंतर 9 - 7 = 2 इकाई है। यह देखते हुए कि वास्तविक समय का अंतर 2 घंटे है, 1 इकाई = 1 घंटा। इसलिए, कार A को यात्रा पूरी करने में 9 घंटे लगते हैं। दूरी की गणना गति को समय से गुणा करके की जाती है: 35 किमी/घंटा × 9 घंटे = 315 किमी।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में मूलधन P, मिश्रधन A, दर r और समय n के बीच का संबंध सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ द्वारा दिया गया है। दिए गए मानों A = 18,150, P = 15,000, और n = 2 को सूत्र में रखने पर:

18,150 = 15,000(1 + ʳ⁄₁₀₀)²

दोनों पक्षों को 15,000 से विभाजित करने पर:

(18,150)/(15,000) = (1 + ʳ⁄₁₀₀)²

(1,815)/(1,500) = (1 + ʳ⁄₁₀₀)²

अंश और हर दोनों को 15 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:

¹²¹⁄₁₀₀ = (1 + ʳ⁄₁₀₀)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

√(¹²¹⁄₁₀₀) = 1 + ʳ⁄₁₀₀

¹¹⁄₁₀ = 1 + ʳ⁄₁₀₀

1.1 = 1 + ʳ⁄₁₀₀

दोनों पक्षों से 1 घटाने पर:

0.1 = ʳ⁄₁₀₀

r = 0.1 × 100

r = 10

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए रैखिक समीकरण 9x - (5(2x + 1))/(2) = ⁹⁄₂ को सरल कीजिए। हरों को हटाने के लिए प्रत्येक पद को 2 से गुणा करने पर निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है: 2(9x) - 5(2x + 1) = 9। बाईं ओर के कोष्ठकों को खोलने पर 18x - 10x - 5 = 9 प्राप्त होता है। x वाले पदों को मिलाने पर 8x - 5 = 9 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर 8x = 14 प्राप्त होता है। x के लिए हल करने पर x = ¹⁴⁄₈ प्राप्त होता है, जो अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक, 2 से विभाजित करने के बाद सरल होकर ⁷⁄₄ हो जाता है।

व्याख्या

घनों का योग a³ + b³, द्विपद के घन के बीजगणितीय सर्वसमिका से प्राप्त होता है: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)। घनों के योग को अलग करने के लिए इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)।

इस सूत्र में दिए गए मानों a + b = 4 और ab = -21 को प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ = (4)³ - 3(-21)(4) a³ + b³ = 64 - (-252) a³ + b³ = 64 + 252 a³ + b³ = 316

वैकल्पिक रूप से, उन संख्याओं a और b की पहचान करने पर जिनका योग 4 है और गुणनफल -21 है, हमें 7 और -3 प्राप्त होते हैं। उनके घनों के योग की गणना करने पर: 7³ + (-3)³ = 343 - 27 = 316 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना कि भिन्न x है। प्रश्न के अनुसार, भिन्न और उसके व्युत्क्रम के 10 गुना का योग 37/4 है। इसे समीकरण x + 10 · ¹⁄ₓ = ³⁷⁄₄ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। x का मान ज्ञात करने के लिए, हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 4x से गुणा करें: 4x² + 40 = 37x। इसे एक मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर 4x² - 37x + 40 = 0 प्राप्त होता है।

हम इसे मध्य पद को विभाजित करके हल करते हैं। हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढ़ते हैं जिनका गुणनफल 4 × 40 = 160 हो और योग -37 हो। ये संख्याएँ -32 और -5 हैं। समीकरण 4x² - 32x - 5x + 40 = 0 बन जाता है। समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर, हमें 4x(x - 8) - 5(x - 8) = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (4x - 5)(x - 8) = 0 हो जाता है। प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर x = ⁵⁄₄ या x = 8 प्राप्त होता है। मूल स्थिति में x = ⁵⁄₄ का परीक्षण करने पर: ⁵⁄₄ + 10 · ⅘ = ⁵⁄₄ + 8 = (5 + 32)/(4) = ³⁷⁄₄। यह दिए गए योग से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी का n-वां पद सूत्र aₙ = a + (n - 1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है। प्रश्न के अनुसार, दूसरा पद a₂ = 8 और छठा पद a₆ = 20 है।

इन पदों को सूत्र का उपयोग करके निरूपित करने पर: a + d = 8 a + 5d = 20

दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर सार्व अंतर की गणना की जा सकती है: (a + 5d) - (a + d) = 20 - 8 4d = 12 d = 3

पहले समीकरण में d = 3 रखने पर a + 3 = 8 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि पहला पद a = 5 है। इसके बाद, इन मानों को n-वें पद के सूत्र में रखकर 20वें पद की गणना की जाती है: a₂₀ = a + (20 - 1)d a₂₀ = 5 + 19(3) a₂₀ = 5 + 57 a₂₀ = 62

व्याख्या

जब किसी बिंदु (x, y) को एक क्षैतिज रेखा y = k में प्रतिबिंबित किया जाता है, तो x-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है क्योंकि गति पूरी तरह से लंबवत होती है। रेखा y = k मूल बिंदु और उसके प्रतिबिंब को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक के रूप में कार्य करती है। इस प्रकार, नया y-निर्देशांक, y', मध्यबिंदु सूत्र (y + y') / 2 = k को संतुष्ट करता है, जो सरल होकर y' = 2k - y हो जाता है।

बिंदु (3, 2) और रेखा y = -2 के लिए, हमारे पास x = 3, y = 2, और k = -2 है। प्रतिबिंब का x-निर्देशांक 3 ही रहता है। प्रतिबिंब का y-निर्देशांक 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6 है। इन निर्देशांकों को मिलाने पर बिंदु (3, -6) प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी d की गणना पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त दूरी सूत्र का उपयोग करके की जाती है: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)।

दिए गए निर्देशांकों (3, 6) और (-2, -6) को सूत्र में रखने पर: x₁ = 3, y₁ = 6 x₂ = -2, y₂ = -6

d = √((-2 - 3)² + (-6 - 6)²) d = √((-5)² + (-12)²) d = √(25 + 144) d = √(169) d = 13

क्षैतिज अंतर 5 इकाई है और ऊर्ध्वाधर अंतर 12 इकाई है। यह एक पाइथागोरियन त्रिक (5, 12, 13) बनाता है, जहाँ कर्ण दोनों बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा की दूरी को दर्शाता है।

व्याख्या

अंतःखंड रूप (intercept form) में एक रेखा का समीकरण सूत्र ˣ⁄ₐ + (y)/(b) = 1 द्वारा दिया जाता है, जहाँ a, x-अंतःखंड है और b, y-अंतःखंड है। इस समीकरण में दिए गए मानों a = 3 और b = -5 को प्रतिस्थापित करने पर:

ˣ⁄₃ + ʸ⁄₋₅ = 1

ˣ⁄₃ - ʸ⁄₅ = 1

इसे मानक रैखिक रूप (standard linear form) में बदलने के लिए, पूरे समीकरण को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 15 है:

15 · (ˣ⁄₃ - ʸ⁄₅) = 15 · 1

5x - 3y = 15

यह समीकरण उस रेखा को सही ढंग से दर्शाता है जो x-अक्ष को 3 पर और y-अक्ष को -5 पर काटती है।

व्याख्या

समकोण Δ ABC में, जहाँ कर्ण AC पर शीर्षलंब BD खींचा गया है, AA समरूपता मानदंड द्वारा Δ BDC, Δ ABC के समरूप है। इस समरूपता से, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है, जिससे संबंध BC/AC = DC/BC प्राप्त होता है, जो सरल होकर सूत्र BC² = AC × DC बन जाता है। दिए गए मानों AC = 25 सेमी और DC = 9 सेमी को समीकरण में रखने पर, हमें BC² = 25 × 9 = 225 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर BC = √(225) = 15 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक में कोणों के मानक त्रिकोणमितीय मान tan 45° = 1 और sec 60° = (1)/(cos 60°) = (1)/(1/2) = 2 हैं। इन मानों को दिए गए व्यंजक tan 45° - (1)/(√(3)) sec 60° में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

1 - (1)/(√(3))(2) = 1 - (2)/(√(3))

परिणाम को सरल करने के लिए, हम एक समान हर लेते हैं:

√3 - 2{√3}

व्यंजक का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

(√3 - 2) × √3{√3 × √3} = (√3)² - 2√3{3} = 3 - 2√3{3}

व्याख्या

∠ E = 90° वाले समकोण त्रिभुज DEF में, भुजा EF, ∠ D के सम्मुख भुजा है और DE, ∠ D की संलग्न भुजा है। स्पर्शज्या (tangent) के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर:

tan D = (EF)/(DE)

दिए गए मानों m∠ D = 30° और EF = 6√3 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

tan 30° = 6√3/DE

tan 30° का मान (1)/(√(3)) है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(1)/(√(3)) = 6√3/DE

तिर्यक गुणन द्वारा:

DE = 6√3 × √3

DE = 6 × 3 = 18 सेमी।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपात sin θ को लंब P और कर्ण H के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि sin θ = ²⁰⁄₂₉, यहाँ P = 20 और H = 29 है। पाइथागोरस प्रमेय H² = P² + B² के अनुसार, आधार B की गणना इस प्रकार की जाती है:

B = √(H²⁾⁻^P^^^² B = √(29²⁾⁻²⁰^^^² = √(841 - 400) = √(441) = 21

फलन sec θ को कर्ण और आधार के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:

sec θ = (H)/(B) = ²⁹⁄₂₁

व्याख्या

इस गुणनफल को बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है। दी गई संख्याओं 9997 और 10003 को क्रमशः (10000 - 3) और (10000 + 3) के रूप में लिखा जा सकता है।

सूत्र लागू करने पर: 9997 × 10003 = (10000 - 3)(10000 + 3) = (10000)² - (3)² = 100,000,000 - 9 = 99,999,991

व्याख्या

जब दो व्यक्ति A और B किसी कार्य को क्रमशः x और y दिनों में पूरा कर सकते हैं, तो उनके द्वारा मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया समय सूत्र (x × y)/(x + y) द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ x = 36 और y = 12 है, गणना इस प्रकार है: (36 × 12)/(36 + 12) = ⁴³²⁄₄₈ = 9 दिन।

वैकल्पिक रूप से, कार्यक्षमता विधि का उपयोग करते हुए, मान लीजिए कि कुल कार्य 36 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 36 इकाई (units) है। A की कार्यक्षमता 36 / 36 = 1 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 36 / 12 = 3 इकाई प्रति दिन है। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 1 + 3 = 4 इकाई प्रति दिन है। इसलिए, मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया समय कुल कार्य को कुल कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 36 / 4 = 9 दिन है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र A = ½ × d₁ × d₂ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ d₁ और d₂ विकर्णों की लंबाई हैं। यह देखते हुए कि विकर्ण 12 सेमी और 14 सेमी हैं, इन मानों को सूत्र में रखने पर A = ½ × 12 × 14 प्राप्त होता है। इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें 6 × 14 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप क्षेत्रफल 84 वर्ग सेमी प्राप्त होता है। यह संबंध इसलिए मौजूद है क्योंकि एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिससे समचतुर्भुज प्रभावी रूप से चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।

व्याख्या

छूट प्रतिशत को इस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: छूट % = (अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य)/(अंकित मूल्य) × 100। इस मामले में, अंकित मूल्य 5000 रुपये है और विक्रय मूल्य 4400 रुपये है। दुकानदार द्वारा दी गई संख्यात्मक छूट 5000 - 4400 = 600 है। प्रतिशत सूत्र में मान रखने पर, हमें ⁶⁰⁰⁄₅₀₀₀ × 100 प्राप्त होता है। यह सरल होकर ⁶⁰⁰⁄₅₀ हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 12% की छूट प्राप्त होती है।

व्याख्या

मूल किराए और नए किराए का अनुपात 9:11 दिया गया है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि मूल किराए को 9x द्वारा दर्शाया जाता है, तो नया किराया 11x है। किराए में वृद्धि दोनों के बीच का अंतर है, जो कि 11x - 9x = 2x है। चूंकि मूल किराया 18,000 रुपये दिया गया है, हम 9x = 18,000 रख सकते हैं। x के लिए हल करने पर x = 18,000 / 9 = 2,000 प्राप्त होता है। वृद्धि के समीकरण में x का मान रखने पर, हमें 2 × 2,000 = 4,000 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि तीन संख्याएँ x, y और z हैं। इन संख्याओं के योग की गणना औसत को कुल संख्या से गुणा करके की जाती है: x + y + z = 40 × 3 = 120। प्रश्न के अनुसार, पहली संख्या x अन्य दो संख्याओं के योग की एक-तिहाई है, जिसे समीकरण x = ⅓(y + z) द्वारा दर्शाया गया है। दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर 3x = y + z प्राप्त होता है। अन्य दो संख्याओं के योग के इस मान को कुल योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर x + 3x = 120 प्राप्त होता है। समान पदों को जोड़ने पर 4x = 120 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि x = 30।

व्याख्या

500 किग्रा कपास का कुल क्रय मूल्य 9,000 रुपये है। 10% लाभ अर्जित करने के लिए, व्यापारी को कुल विक्रय मूल्य 9,000 × (1 + 0.10) = 9,900 रुपये की आवश्यकता होगी।

खराब होने के कारण बिक्री के लिए उपलब्ध कपास की मात्रा में 10% की कमी आती है, जिससे 500 × (1 - 0.10) = 450 किग्रा कपास बचती है। प्रति किलोग्राम आवश्यक विक्रय दर ज्ञात करने के लिए, कुल लक्षित राजस्व को शेष कपास के वजन से विभाजित करें:

विक्रय दर = (9,900)/(450) = ⁹⁹⁰⁄₄₅ = 22 रुपये/किग्रा।

व्याख्या

अधिकतम अंक निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले छात्र के प्राप्तांक में उन अंकों को जोड़कर न्यूनतम उत्तीर्ण अंक ज्ञात करें जिनसे वह अनुत्तीर्ण हुआ था। चूंकि छात्र ने 67 अंक प्राप्त किए और वह 13 अंकों से अनुत्तीर्ण हो गया, इसलिए उत्तीर्ण अंक 67 + 13 = 80 हैं।

प्रश्न के अनुसार, उत्तीर्ण होने के लिए कुल अंकों का 40% आवश्यक है। मान लीजिए कि अधिकतम अंक M हैं। हम इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: M का 40% = 80 ⁴⁰⁄₁₀₀ × M = 80

M के लिए हल करने पर: M = (80 × 100)/(40) M = 2 × 100 = 200

व्याख्या

मीटर में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, अंतरिक्ष यान की गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मीटर/सेकंड) में परिवर्तित किया जाना चाहिए। परिवर्तन कारक ⁵⁄₁₈ है क्योंकि 1 किमी/घंटा = (1000 मीटर)/(3600 सेकंड) = ⁵⁄₁₈ मीटर/सेकंड।

मीटर/सेकंड में गति = 1260 × ⁵⁄₁₈ = 70 × 5 = 350 मीटर/सेकंड।

दिए गए समय t में तय की गई दूरी D की गणना सूत्र D = v × t का उपयोग करके की जाती है। चूंकि समय एक सेकंड का ⅒वां भाग है: D = 350 × ⅒ = 35 मीटर।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, दूसरे वर्ष के अंत में प्राप्त मिश्रधन तीसरे वर्ष के लिए मूलधन के रूप में कार्य करता है। तीसरे वर्ष के दौरान अर्जित ब्याज केवल तीसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन (A₃) और दूसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन (A₂) के बीच का अंतर है।

दिया गया है कि A₂ = 1800 और A₃ = 1926, उस एक वर्ष की अवधि में अर्जित ब्याज है: ब्याज = 1926 - 1800 = 126

ब्याज की दर (r) की गणना यह निर्धारित करके की जाती है कि यह ब्याज उस वर्ष के मूलधन (A₂) का कितना प्रतिशत है: r = (ब्याज)/(A₂) × 100 r = ¹²⁶⁄₁₈₀₀ × 100 r = ¹²⁶⁄₁₈ = 7%

यह दृष्टिकोण मानक चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र Aₙ = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ से लिया गया है। दो लगातार वर्षों के मिश्रधनों का अनुपात लेने पर, हमें (A₃)/(A₂) = 1 + ʳ⁄₁₀₀ प्राप्त होता है, जो सीधे ऊपर की गई गणना में सरल हो जाता है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए रैखिक समीकरण से शुरू करें:

-½(x - 5) + 3 = -⁵⁄₂

सबसे पहले, समीकरण के दोनों पक्षों से 3 घटाएं। दाहिने पक्ष को सरल करने के लिए, 3 को 2 के समान हर वाले भिन्न के रूप में व्यक्त करें, जो कि ⁶⁄₂ है:

-½(x - 5) = -⁵⁄₂ - ⁶⁄₂

-½(x - 5) = -¹¹⁄₂

इसके बाद, पद (x - 5) को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को -2 से गुणा करें। इससे बाईं ओर का ऋणात्मक चिह्न और भिन्न निरस्त हो जाते हैं:

x - 5 = (-¹¹⁄₂) · (-2)

x - 5 = 11

अंत में, दोनों पक्षों में 5 जोड़कर x को अलग करें:

x = 11 + 5 = 16

व्याख्या

व्यंजक a³ - b³ के मान की गणना मानक बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) का उपयोग करके की जा सकती है। यह सूत्र इस प्रश्न को हल करने का सबसे सीधा तरीका है क्योंकि यह a और b के व्यक्तिगत मानों को निर्धारित करने की आवश्यकता के बिना अंतर (a - b) और गुणनफल (ab) के दिए गए मानों का उपयोग करता है।

सर्वसमिका में दिए गए मानों a - b = 1 और ab = 6 को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक (1)³ + 3(6)(1) हो जाता है। पदों को सरल करने पर, (1)³ का मान 1 होता है और गुणनफल 3 × 6 × 1 का मान 18 होता है। इन दोनों भागों को जोड़ने पर परिणाम 1 + 18 प्राप्त होता है, जिससे 19 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, ऐसी दो संख्याओं की पहचान करने पर जिनका अंतर 1 है और गुणनफल 6 है, हमें a = 3 और b = 2 प्राप्त होता है, और 3³ - 2³ = 27 - 8 की गणना करने पर भी यह पुष्टि होती है कि परिणाम 19 है।

व्याख्या

माना कि अभीष्ट संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, संख्या अपने व्युत्क्रम के 58 गुना से ¾ अधिक है। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

x - 58 · ¹⁄ₓ = ¾

x का मान ज्ञात करने के लिए, हर (denominators) को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 4x से गुणा करें:

4x² - 232 = 3x

इसे एक मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है:

4x² - 3x - 232 = 0

हम इसे द्विघात सूत्र x = -b ± √(b² - 4ac){2a} का उपयोग करके हल कर सकते हैं, जहाँ a = 4, b = -3, और c = -232:

x = 3 ± √((-3)² - 4(4)(-232)){2(4)} x = 3 ± √(9 + 3712){8} x = 3 ± √(3721){8}

चूंकि 61² = 3721 है, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

x = (3 ± 61)/(8)

धनात्मक मूल x = (3 + 61)/(8) = ⁶⁴⁄₈ = 8 है। वैकल्पिक रूप से, सीधे मान 8 का परीक्षण करने पर पता चलता है कि 8 - ⁵⁸⁄₈ = 8 - 7.25 = 0.75, जो ¾ के बराबर है।

व्याख्या

किसी समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों के योग की गणना सूत्र Sₙ = ⁿ⁄₂(a + l) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ n पदों की संख्या है, a प्रथम पद है, और l अंतिम पद है। यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त होता है कि एक समांतर श्रेणी का योग, पदों की संख्या और प्रथम तथा अंतिम पदों के औसत का गुणनफल होता है।

दिए गए मान: पदों की संख्या n = 13 प्रथम पद a = -10 अंतिम पद l = 26

इन मानों को योग के सूत्र में रखने पर: S₁₃ = ¹³⁄₂ [ -10 + 26 ] S₁₃ = ¹³⁄₂ [ 16 ]

कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को सरल करने पर, हम पाते हैं कि सीमांत पदों (प्रथम और अंतिम पदों) का योग 16 है। इसे पदों की संख्या के आधे से गुणा करने पर: S₁₃ = 13 × 8 S₁₃ = 104

यह दृष्टिकोण इस प्रश्न को हल करने का सबसे सीधा तरीका है क्योंकि यह श्रेणी के सार्व अंतर (common difference) d को ज्ञात करने की आवश्यकता को समाप्त करता है, और केवल दिए गए सीमांत मानों तथा पदों की संख्या का उपयोग करता है।

व्याख्या

जब किसी बिंदु (x, y) का x-अक्ष में प्रतिबिंब लिया जाता है, तो उसकी क्षैतिज स्थिति समान रहती है जबकि उसकी ऊर्ध्वाधर स्थिति अक्ष के पार प्रतिबिंबित हो जाती है। इसका अर्थ है कि x-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है और y-निर्देशांक का चिह्न बदल जाता है। परिवर्तन का नियम (x, y) → (x, -y) है। दिए गए बिंदु (-0.5, 6) के लिए, x-निर्देशांक -0.5 ही रहता है और y-निर्देशांक 6 बदलकर -6 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रतिबिंबित बिंदु (-0.5, -6) प्राप्त होता है।

व्याख्या

विभाजन सूत्र (section formula) के अनुसार, यदि कोई बिंदु (x, y) बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को m:n के अनुपात में विभाजित करता है, तो y-निर्देशांक y = (my₂ + ny₁)/(m+n) द्वारा दिया जाता है। S(-4, -1) और U(1, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिंदु T(x, 0) के लिए, y-निर्देशांक 0 है। सूत्र में y₁ = -1 और y₂ = 4 का मान रखने पर, हमें 0 = (m(4) + n(-1))/(m+n) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को m+n से गुणा करने पर 4m - n = 0 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 4m = n प्राप्त होता है। इसलिए, अनुपात m/n का मान 1/4 के बराबर है, जिससे यह पुष्टि होती है कि अनुपात 1:4 है।