एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) क्रय मूल्य x को 120% बढ़ाकर निर्धारित किया जाता है, जिससे MP = x × (1 + 1.20) = 2.2x प्राप्त होता है। विक्रय मूल्य (SP) ज्ञात करने के लिए इस अंकित मूल्य पर 20% की छूट दी जाती है। संबंध इस प्रकार है: SP = MP × (1 - 0.20) = 2.2x × 0.8.

चूंकि विक्रय मूल्य 8800 रुपये दिया गया है, हम समीकरण का उपयोग करके x का मान ज्ञात कर सकते हैं: 8800 = 1.76x x = (8800)/(1.76) x = ⁸⁸⁰⁰⁰⁰⁄₁₇₆ x = 5000

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात 1:5:11 के अनुसार, 5-रुपये, 50-पैसे और 10-पैसे के सिक्कों की संख्या क्रमशः x, 5x और 11x है। थैले का कुल मूल्य प्रत्येक सिक्के की मात्रा को रुपये में उसके मूल्य से गुणा करके निकाला जाता है।

मूल्य का समीकरण है: 5(x) + 0.50(5x) + 0.10(11x) = 43

पदों को सरल करने पर: 5x + 2.5x + 1.1x = 43 8.6x = 43

x का मान ज्ञात करने पर: x = (43)/(8.6) = 5

50-पैसे के सिक्कों की कुल संख्या को पद 5x द्वारा दर्शाया गया है। x का मान रखने पर: 50-पैसे के सिक्कों की संख्या = 5 × 5 = 25

व्याख्या

पहले से बनाए गए रनों को ज्ञात करने के लिए, पूरे किए गए ओवरों की संख्या को वर्तमान रन रेट से गुणा करें: 45 × 5.8 = 261 रन। लक्ष्य स्कोर 295 रन है, इसलिए बनाए जाने वाले शेष रनों की संख्या 295 - 261 = 34 रन है। चूंकि पारी में 50 - 45 = 5 ओवर बचे हैं, इसलिए आवश्यक रन रेट की गणना शेष रनों को शेष ओवरों से विभाजित करके की जाती है: 34 / 5 = 6.8 रन प्रति ओवर।

व्याख्या

मान लीजिए खरीदे गए दूध की प्रारंभिक मात्रा 5 लीटर है। दूध का क्रय मूल्य (CP) 24 रुपये प्रति लीटर है, इसलिए कुल क्रय मूल्य (CP) = 5 × 24 = 120 रुपये।

दूधवाला दूध में 1/5 भाग पानी मिलाता है, जो कि 1/5 × 5 = 1 लीटर पानी है। मिश्रण की कुल मात्रा 5 + 1 = 6 लीटर हो जाती है। चूंकि पानी मुफ्त है, इसलिए क्रय मूल्य समान रहता है।

मिश्रण को 32 रुपये प्रति लीटर की दर से बेचा जाता है। इसलिए, कुल विक्रय मूल्य (SP) = 6 × 32 = 192 रुपये।

लाभ की गणना SP - CP = 192 - 120 = 72 रुपये के रूप में की जाती है।

लाभ प्रतिशत का सूत्र इस प्रकार है: लाभ % = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100 लाभ % = ⁷²⁄₁₂₀ × 100 लाभ % = ⁶⁄₁₀ × 100 = 60%

व्याख्या

मान लीजिए कि मूल संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, जब संख्या में 105 की वृद्धि की जाती है, तो वह अपने मूल मान का 135% हो जाती है। चूंकि मूल मान 100% होता है, इसलिए 105 की वृद्धि अतिरिक्त 35% (135% - 100%) को दर्शाती है।

इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है: x का 35% = 105

प्रतिशत को भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर: ³⁵⁄₁₀₀ × x = 105

x का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: x = (105 × 100)/(35)

105 को 35 से विभाजित करने पर 3 प्राप्त होता है: x = 3 × 100 = 300

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक-दूसरे की ओर गति करती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति की गणना उनकी व्यक्तिगत गतियों को जोड़कर की जाती है। इस स्थिति में, साइकिल चालकों P और Q की सापेक्ष गति 20 किमी/घंटा + 16 किमी/घंटा = 36 किमी/घंटा है। मिलने में लगने वाला समय 40 मिनट दिया गया है, जिसे गति की इकाइयों से मिलाने के लिए घंटों में परिवर्तित करने की आवश्यकता है: 40 / 60 = 2/3 घंटे। दोनों साइकिल चालकों के बीच की प्रारंभिक दूरी उनकी सापेक्ष गति और उनके मिलने तक बीत चुके समय का गुणनफल है। सूत्र दूरी = सापेक्ष गति × समय का उपयोग करने पर, हमें 36 × (2/3) = 24 किमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में मिश्रधन A की गणना सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, r वार्षिक ब्याज दर है, और n वर्षों में समय है।

दिया गया है कि A = 19965, r = 10, और n = 3, समीकरण इस प्रकार है:

19965 = P(1 + ¹⁰⁄₁₀₀)³ 19965 = P(¹¹⁄₁₀)³ 19965 = P × ¹³³¹⁄₁₀₀₀

P का मान ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: P = (19965 × 1000)/(1331)

19965 को 1331 से विभाजित करने पर 15 प्राप्त होता है। इस परिणाम को 1000 से गुणा करने पर मूलधन प्राप्त होता है: P = 15 × 1000 = 15000

व्याख्या

दिया गया समीकरण ⁸ˣ⁄₃ + (7(5 - 2x)/(3)){2} = ½ है। x का मान ज्ञात करने के लिए, भिन्नों को हटाने के लिए पूरे समीकरण को हरों 3 और 2 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) जो कि 6 है, से गुणा करें: 6 · (⁸ˣ⁄₃) + 6 · [(7(5 - 2x)/(3)){2}] = 6 · (½) 2(8x) + 3 · 7(5 - ²ˣ⁄₃) = 3 16x + 21(5 - ²ˣ⁄₃) = 3

अब, 21 को कोष्ठक के अंदर गुणा करें: 16x + 105 - ⁴²ˣ⁄₃ = 3 16x + 105 - 14x = 3

x वाले पदों को एक साथ जोड़ें: 2x + 105 = 3

दोनों पक्षों से 105 घटाकर चर x को अलग करें: 2x = 3 - 105 2x = -102

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें: x = ⁻¹⁰²⁄₂ x = -51

व्याख्या

व्यंजक a³ - b³ का मान बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। इस सूत्र में दिए गए मानों a - b = -1 और ab = 6 को प्रतिस्थापित करने पर, गणना इस प्रकार है:

a³ - b³ = (-1)³ + 3(6)(-1) a³ - b³ = -1 + 18(-1) a³ - b³ = -1 - 18 a³ - b³ = -19

वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करके, हम पहले (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके a² + b² का मान ज्ञात करते हैं, जिससे a² + b² = (-1)² + 2(6) = 13 प्राप्त होता है। फिर, a³ - b³ = (-1)(13 + 6) = -19।

व्याख्या

माना भिन्न x है। दी गई शर्त के अनुसार, भिन्न और उसके व्युत्क्रम के 3 गुने का योग ³¹⁄₆ है। इस संबंध को समीकरण x + 3 ( ¹⁄ₓ ) = ³¹⁄₆ द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। समीकरण में x = ⁹⁄₂ मान प्रतिस्थापित करने पर, हम योग की गणना ⁹⁄₂ + 3 × ²⁄₉ के रूप में करते हैं। दूसरे पद को सरल करने पर ⅔ प्राप्त होता है, इसलिए व्यंजक ⁹⁄₂ + ⅔ हो जाता है। इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हम 6 का एक समान हर (common denominator) लेते हैं, जिससे (27 + 4)/(6) = ³¹⁄₆ प्राप्त होता है। यह प्रश्न में दिए गए योग से मेल खाता है। वैकल्पिक रूप से, समीकरण x + ³⁄ₓ = ³¹⁄₆ को 6x² - 31x + 18 = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। गुणनखंडन विधि का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, हमें 6x² - 27x - 4x + 18 = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (3x - 2)(2x - 9) = 0 हो जाता है। इससे x के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं, जो ⅔ और ⁹⁄₂ हैं। इनमें से, ⁹⁄₂ वह मान है जो विकल्पों में दिया गया है।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी के n-वें पद को सूत्र aₙ = a + (n-1)d द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है।

सार्व अंतर d की गणना किन्हीं दो पदों के मानों और स्थितियों का उपयोग करके की जा सकती है: d = (a₈ - a₂)/(8 - 2) d = (-1 - 17)/(6) = ⁻¹⁸⁄₆ = -3

14वां पद ज्ञात करने के लिए, हम 8वें पद से शुरू कर सकते हैं और 8वें और 14वें पदों के बीच के चरणों की संख्या के लिए सार्व अंतर जोड़ सकते हैं: a₁₄ = a₈ + (14 - 8)d a₁₄ = -1 + 6(-3) a₁₄ = -1 - 18 = -19

व्याख्या

जब किसी बिंदु (x, y) को एक क्षैतिज रेखा y = k के सापेक्ष प्रतिबिंबित किया जाता है, तो x-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है जबकि y-निर्देशांक परिवर्तित हो जाता है। रेखा y = k मूल y-निर्देशांक और प्रतिबिंबित y-निर्देशांक y' के बीच मध्य बिंदु के रूप में कार्य करती है। इस संबंध को सूत्र y' = 2k - y द्वारा व्यक्त किया जाता है।

दिए गए बिंदु (2, 3) और रेखा y = 4 के लिए, हमारे पास x = 2, y = 3, और k = 4 है। प्रतिबिंबित बिंदु का x-निर्देशांक 2 ही रहता है। y-निर्देशांक के लिए सूत्र लागू करने पर:

y' = 2(4) - 3 y' = 8 - 3 y' = 5

प्रतिबिंबित बिंदु के निर्देशांक (2, 5) हैं।

व्याख्या

दो बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु M(xₘ, yₘ) की गणना सूत्र xₘ = (x₁ + x₂)/(2) और yₘ = (y₁ + y₂)/(2) का उपयोग करके की जाती है।

इस प्रश्न में, बिंदु P(-2, 5) रेखाखंड AB का मध्य बिंदु है, जहाँ A (-5, y) है और B (x, 3) है। x का मान ज्ञात करने के लिए, हमें केवल मध्य बिंदु के x-निर्देशांक के सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

-2 = (-5 + x)/(2)

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

-4 = -5 + x

x का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

x = -4 + 5 x = 1

व्याख्या

प्रवणता-अंतःखंड रूप (slope-intercept form) में एक रेखा का समीकरण y = mx + c के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ m प्रवणता (slope) को दर्शाता है और c, y-अंतःखंड को दर्शाता है। इस सूत्र में दिए गए मानों m = -1/3 और c = 6 को प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

y = -⅓x + 6

भिन्न को समाप्त करने और समीकरण को मानक रूप में बदलने के लिए, सभी पदों को 3 से गुणा करें:

3y = -x + 18

चरों को एक तरफ लाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों में x जोड़ने पर निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होता है:

x + 3y = 18

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ B पर समकोण है और BD कर्ण AC पर शीर्षलंब है, समरूप त्रिभुजों का गुण यह बताता है कि एक भुजा का वर्ग, कर्ण पर उसके आसन्न खंड और संपूर्ण कर्ण के गुणनफल के बराबर होता है। अतः, AB² = AD × AC.

सबसे पहले, खंड AD और DC को जोड़कर कर्ण AC की कुल लंबाई की गणना करें: AC = AD + DC = 4 + 12 = 16 सेमी

सूत्र में AD और AC के मान रखें: AB² = 4 × 16 = 64 AB = √64 = 8 सेमी

यह संबंध इस तथ्य से प्राप्त होता है कि △ ABD, △ ABC के समरूप है। चूंकि दोनों त्रिभुजों में कोण ∠A उभयनिष्ठ है और दोनों में एक समकोण (क्रमशः ∠ADB और ∠ABC) शामिल है, इसलिए वे कोण-कोण (Angle-Angle) समरूपता कसौटी द्वारा समरूप हैं। उनकी भुजाओं की आनुपातिकता से अनुपात AB/AC = AD/AB प्राप्त होता है, जो AB² = AD × AC की पुष्टि करता है। दिए गए मानों AD = 4 और AC = 16 को सीधे प्रतिस्थापित करने पर परिणाम प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक sin 60° + ½ csc 45° का मान ज्ञात करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। sin 60° का मान √3{2} है। csc 45° का मान sin 45° का व्युत्क्रम है, जो कि (1)/(1/√(2)) = √2 है। इन्हें दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

sin 60° + ½ csc 45° = √3{2} + ½(√2)

sin 60° + ½ csc 45° = √3{2} + √2{2}

भिन्नों को एक समान हर 2 के साथ संयोजित करने पर, परिणाम है:

√3 + √2{2}

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज Δ LMN में, जहाँ ∠ M = 90° है, भुजा NL कर्ण है। चूँकि ∠ N = 45° है, इसलिए तीसरा कोण ∠ L भी 45° होना चाहिए क्योंकि त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। यह Δ LMN को एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के रूप में दर्शाता है।

किसी भी 45°-45°-90° त्रिभुज में, भुजाएँ 1 : 1 : √2 के अनुपात में होती हैं। एक भुजा और कर्ण के बीच का संबंध इस प्रकार परिभाषित है: भुजा = (कर्ण)/(√(2))

कर्ण NL = 6√2 सेमी का दिया गया मान रखने पर: MN = 6√2/{√2} = 6 सेमी

वैकल्पिक रूप से, कोसाइन (cosine) के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर: cos(N) = (आधार)/(कर्ण) = (MN)/(NL) cos(45°) = (MN)/(6√(2)) (1)/(√(2)) = (MN)/(6√(2)) MN = 6√2/{√2} = 6 सेमी

व्याख्या

दिया गया है कि cos θ = ³⁵⁄₃₇, हम एक समकोण त्रिभुज के आधार b = 35 और कर्ण h = 37 की पहचान करते हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लंब p की गणना इस प्रकार की जाती है:

p = √(h² - b²) p = √(37² - 35²) p = √((37 - 35)(37 + 35)) p = √(2 × 72) = √(144) = 12

कोसेकेंट (cosecant) फलन को कर्ण और लंब के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:

csc θ = ʰ⁄ₚ csc θ = ³⁷⁄₁₂

व्याख्या

2011 से 2016 तक देश के शुद्ध निर्यात (मिलियन USD में) के रेखा आलेख (line graph) के आधार पर, मान इस प्रकार हैं:

2011: 10 2012: 20 2013: -10 2014: -20 2015: 30 2016: 30

उन वर्षों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें शुद्ध निर्यात पिछले वर्ष की तुलना में अधिक था, हम प्रत्येक वर्ष के मान की तुलना उसके पिछले वर्ष के मान से करते हैं:

2012 में, शुद्ध निर्यात (20) वर्ष 2011 (10) की तुलना में अधिक था। 2013 में, शुद्ध निर्यात (-10) वर्ष 2012 (20) की तुलना में कम था। 2014 में, शुद्ध निर्यात (-20) वर्ष 2013 (-10) की तुलना में कम था। 2015 में, शुद्ध निर्यात (30) वर्ष 2014 (-20) की तुलना में अधिक था। 2016 में, शुद्ध निर्यात (30) वर्ष 2015 (30) के बराबर था, अधिक नहीं।

पिछले वर्ष की तुलना में शुद्ध निर्यात में केवल 2 वर्षों में वृद्धि हुई: 2012 और 2015।

व्याख्या

आयात और निर्यात के बीच के संबंध को निम्नलिखित अनुपात द्वारा परिभाषित किया गया है: अनुपात = (आयात)/(निर्यात)

वर्ष 2013 के लिए दिए गए आंकड़ों से, आयात का निर्यात से अनुपात लगभग 1.11 है। यह देखते हुए कि 2013 में निर्यात 90 मिलियन USD था, आयात के मूल्य की गणना सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करके की जाती है: आयात = अनुपात × निर्यात आयात = 1.11 × 90 = 99.9 मिलियन USD

इस मान को निकटतम पूर्णांक में बदलते हुए, वर्ष 2013 के लिए आयात 100 मिलियन USD था।

व्याख्या

शुद्ध निर्यात को किसी विशिष्ट वर्ष के लिए कुल निर्यात और कुल आयात के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है। वर्ष 2016 और 2012 के लिए प्रदान किए गए आंकड़ों के आधार पर:

2016 में शुद्ध निर्यात = निर्यात₂₀₁₆ - आयात₂₀₁₆ = 140 - 110 = 30 2012 में शुद्ध निर्यात = निर्यात₂₀₁₂ - आयात₂₀₁₂ = 110 - 90 = 20

वर्ष 2016 और वर्ष 2012 के शुद्ध निर्यात का अनुपात संबंधित वर्षों के शुद्ध निर्यात मूल्यों को विभाजित करके ज्ञात किया जाता है:

अनुपात = ³⁰⁄₂₀ = ³⁄₂ = 3 : 2

व्याख्या

संचयी शुद्ध निर्यात की गणना निर्दिष्ट अवधि के भीतर प्रत्येक वर्ष के शुद्ध निर्यात मूल्यों को जोड़कर की जाती है। वर्ष 2012 से 2015 के आंकड़ों के आधार पर, शुद्ध निर्यात मूल्य (मिलियन अमेरिकी डॉलर में) इस प्रकार हैं:

2012: 20 2013: -10 2014: -20 2015: 30

2012 की शुरुआत से 2015 के अंत तक संचयी शुद्ध निर्यात इन वार्षिक मूल्यों का योग है: संचयी शुद्ध निर्यात = 20 + (-10) + (-20) + 30 संचयी शुद्ध निर्यात = 20 - 10 - 20 + 30 संचयी शुद्ध निर्यात = 10 - 20 + 30 संचयी शुद्ध निर्यात = -10 + 30 = 20 मिलियन अमेरिकी डॉलर

व्याख्या

3401 में से घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए ताकि परिणाम 11 से विभाज्य हो सके, हम 3401 को 11 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल की गणना करते हैं। विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करने पर, हम पाते हैं कि 3401 = (11 × 309) + 2। वैकल्पिक रूप से, 11 के विभाज्यता नियम के अनुसार, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर शेषफल को दर्शाता है। 3401 के लिए, विषम स्थानों (पहला और तीसरा) पर अंकों का योग 1 + 4 = 5 है, और सम स्थानों (दूसरा और चौथा) पर अंकों का योग 0 + 3 = 3 है। इनका अंतर 5 - 3 = 2 है। चूंकि शेषफल 2 है, इसलिए 3401 में से 2 घटाने पर 3399 प्राप्त होता है, जो 11 से पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

एक कामगार की कार्यक्षमता, किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। चूंकि M, N की तुलना में तीन गुना अधिक कुशल है, इसलिए उनकी कार्यक्षमता का अनुपात M:N = 3:1 है। इसका अर्थ यह है कि समान समय में N द्वारा पूरे किए गए प्रत्येक 1 इकाई कार्य के लिए, M 3 इकाई कार्य पूरा करता है।

कुल कार्य ज्ञात करने के लिए, हम उनकी संयुक्त कार्यक्षमता को उनके द्वारा मिलकर कार्य पूरा करने में लिए गए समय से गुणा करते हैं। माना N की कार्यक्षमता 1 इकाई प्रति दिन है और M की कार्यक्षमता 3 इकाई प्रति दिन है। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 3 + 1 = 4 इकाई प्रति दिन है। चूंकि वे कार्य को 30 दिनों में पूरा करते हैं, इसलिए कुल कार्य 4 × 30 = 120 इकाई है।

M द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय, कुल कार्य को M की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। समय = ¹²⁰⁄₃ = 40 दिन।

व्याख्या

एक समषट्भुज को छह समान समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। भुजा s वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल √3{4}s² होता है। इसलिए, एक समषट्भुज का क्षेत्रफल सूत्र A = 6 × √3{4}s² द्वारा दिया जाता है, जो सरल होने पर A = 3√3{2}s² हो जाता है।

दी गई भुजा की लंबाई s = 14 सेमी है, इस मान को सूत्र में रखने पर: A = 3√3{2} × (14)² A = 3√3{2} × 196 A = 3√3 × 98 A = 294√3

समषट्भुज का कुल क्षेत्रफल 294√3 वर्ग सेमी है।

व्याख्या

प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना मुफ्त वस्तुओं की संख्या को ऑफर में शामिल कुल वस्तुओं की संख्या से विभाजित करके की जाती है।

प्रभावी छूट % = (मुफ्त वस्तुओं की संख्या)/(कुल वस्तुओं की संख्या) × 100

इस परिदृश्य में, 5 टी-शर्ट की खरीद पर 2 टी-शर्ट मुफ्त दी जाती हैं। इसका तात्पर्य यह है कि लेनदेन में शामिल कुल मात्रा 5 टी-शर्ट है, जिसमें से 2 मुफ्त प्रदान की जाती हैं। परिणामस्वरूप, ग्राहक केवल 5 - 2 = 3 टी-शर्ट के लिए भुगतान करता है लेकिन उसे सभी 5 टी-शर्ट प्राप्त होती हैं।

दिया गया है: मुफ्त वस्तुओं की संख्या = 2 कुल वस्तुओं की संख्या = 5

इन मानों को सूत्र में रखने पर: छूट % = ⅖ × 100 छूट % = 0.4 × 100 = 40%

यह मान सौदे के हिस्से के रूप में प्राप्त प्रत्येक टी-शर्ट की कीमत में वास्तविक प्रतिशत कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

माना R और S की वर्तमान आयु क्रमशः 11x और 17x है। प्रश्न के अनुसार, 11 वर्ष पहले, उनकी आयु का अनुपात 11:20 था। इस संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(11x - 11)/(17x - 11) = ¹¹⁄₂₀

बाईं ओर के अंश से 11 को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:

(11(x - 1))/(17x - 11) = ¹¹⁄₂₀

दोनों पक्षों को 11 से विभाजित करने पर समीकरण सरल हो जाता है:

(x - 1)/(17x - 11) = ¹⁄₂₀

तिर्यक गुणन (Cross-multiplying) करने पर:

20(x - 1) = 17x - 11 20x - 20 = 17x - 11 20x - 17x = 20 - 11 3x = 9 x = 3

R की वर्तमान आयु 11x है। x = 3 रखने पर:

R = 11 × 3 = 33 वर्ष

व्याख्या

सही औसत ज्ञात करने के लिए, कुल अंकों में शुद्ध परिवर्तन की गणना करें और इसे छात्रों की संख्या से विभाजित करें। सही औसत का सूत्र है:

सही औसत = मूल औसत + (सही मान - गलत मान)/(कुल छात्र)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: सही औसत = 25 + (37 - 73)/(40) सही औसत = 25 - ³⁶⁄₄₀ सही औसत = 25 - 0.9 = 24.1

37 के बजाय 73 दर्ज करने की त्रुटि के कारण कुल योग वास्तविक योग से 36 अंक अधिक हो गया था। जब इस 36 के अतिरिक्त मान को 40 छात्रों में वितरित किया जाता है, तो औसत में ठीक 36 / 40 की कमी आती है, जो कि 0.9 है। इस सुधार को प्रारंभिक औसत 25 में से घटाने पर सही मान प्राप्त होता है।

व्याख्या

थोक विक्रेता के लिए लागत मूल्य की गणना क्रमिक लाभ सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: SP = CP × (1 + (r₁)/(100)) × (1 + (r₂)/(100))

दिया गया अंतिम मूल्य SP = 4158, थोक विक्रेता का लाभ r₁ = 5%, और खुदरा विक्रेता का लाभ r₂ = 10% है, समीकरण है: 4158 = CP × ¹⁰⁵⁄₁₀₀ × ¹¹⁰⁄₁₀₀ 4158 = CP × ²¹⁄₂₀ × ¹¹⁄₁₀ 4158 = CP × ²³¹⁄₂₀₀

CP का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: CP = (4158 × 200)/(231) CP = 18 × 200 CP = 3600

गणना को सरल बनाने के लिए पहले 4158 को 11 से विभाजित करके 378 प्राप्त किया जाता है, फिर 378 को 21 से विभाजित करके 18 प्राप्त किया जाता है, और अंत में हर (denominator) के गुणनफल 200 से गुणा किया जाता है। इससे पुष्टि होती है कि थोक विक्रेता के लिए प्रारंभिक लागत 3600 रुपये थी।

व्याख्या

माना मूल संख्या 100% है। जब संख्या में 84 की वृद्धि की जाती है, तो यह स्वयं की 107% हो जाती है। यह दर्शाता है कि 84 की संख्यात्मक वृद्धि, 7% की प्रतिशत वृद्धि (107% - 100% के रूप में परिकलित) के बराबर है।

ऐकिक नियम का उपयोग करने पर: संख्या का 7% = 84 संख्या का 1% = ⁸⁴⁄₇ = 12 संख्या का 100% = 12 × 100 = 1200

बीजगणितीय रूप से, माना संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार, x + 84 = 1.07x। x का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर 1.07x - x = 84 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 0.07x = 84 प्राप्त होता है। अतः, x = (84)/(0.07) = ⁸⁴⁰⁰⁄₇ = 1200।

व्याख्या

जब कोई वस्तु दो अलग-अलग गतियों, मान लीजिए x किमी/घंटा और y किमी/घंटा, से समान दूरी तय करती है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति हरात्मक माध्य सूत्र द्वारा दी जाती है:

औसत गति = (2xy)/(x + y)

दिया गया है कि जाने की गति x = 30 किमी/घंटा है और वापस आने की गति y = 60 किमी/घंटा है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

औसत गति = (2 · 30 · 60)/(30 + 60)

औसत गति = ³⁶⁰⁰⁄₉₀

औसत गति = 40 किमी/घंटा

यह सूत्र औसत गति की मूल परिभाषा से प्राप्त होता है, जो कि कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर मिलती है। यदि एक तरफ की दूरी d है, तो कुल दूरी 2d होगी, और कुल समय d/30 + d/60 होगा, जो दोनों गतियों के हरात्मक माध्य के रूप में सरल हो जाता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन को दर्शाता है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है। यह दिया गया है कि R = 6.25% और T = 4 वर्ष है, इस अवधि में संचयी ब्याज प्रतिशत 6.25 × 4 = 25% है। चूंकि प्राप्त कुल साधारण ब्याज 3200 रुपये है, इसलिए समीकरण है:

3200 = (P × 25)/(100)

भिन्न को सरल करने पर, 25/100 का मान 1/4 के बराबर होता है। समीकरण 3200 = (P)/(4) हो जाता है। P के लिए हल करने पर, हमें P = 3200 × 4 = 12800 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया रैखिक समीकरण x/2 - [4(15/2 - x/3)]/3 = -x/18 है। x का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले वर्गाकार कोष्ठक के अंदर के पद को सरल करते हैं। व्यंजक 15/2 - x/3, (45 - 2x)/6 के बराबर है। इसे 4 से गुणा करने और फिर 3 से भाग देने पर [4(45 - 2x)/6] / 3 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (90 - 4x)/9 हो जाता है। इसे मूल समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें x/2 - (90 - 4x)/9 = -x/18 प्राप्त होता है। हरों को समाप्त करने के लिए, हम पूरे समीकरण को 2, 9 और 18 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करते हैं, जो कि 18 है। इससे हमें 9x - 2(90 - 4x) = -x प्राप्त होता है। कोष्ठक को खोलने पर, हमें 9x - 180 + 8x = -x प्राप्त होता है। बाईं ओर x वाले पदों को मिलाने पर 17x - 180 = -x प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में x जोड़ने और दोनों पक्षों में 180 जोड़ने पर 18x = 180 प्राप्त होता है। 18 से भाग देने पर, हमें x = 10 प्राप्त होता है।

व्याख्या

ab का मान बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। दिए गए मानों a³ + b³ = 152 और a + b = 8 को समीकरण में रखने पर 152 = 8³ - 3ab(8) प्राप्त होता है। 8 का घन ज्ञात करने पर 512 प्राप्त होता है, इसलिए समीकरण 152 = 512 - 24ab हो जाता है। ab वाले पद को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर 24ab = 512 - 152 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 24ab = 360 हो जाता है। 360 को 24 से विभाजित करके ab का मान ज्ञात करने पर ab = 15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना कि भिन्न x है। प्रश्न के अनुसार, भिन्न और उसके व्युत्क्रम के बीच का अंतर 9/20 है, जिससे निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

x - ¹⁄ₓ = ⁹⁄₂₀

x का मान कुशलतापूर्वक ज्ञात करने के लिए, समीकरण में 5/4 मान प्रतिस्थापित करें। 5/4 का व्युत्क्रम 4/5 है। अंतर का मूल्यांकन करने पर:

⁵⁄₄ - ⅘ = (25 - 16)/(20) = ⁹⁄₂₀

यह गणना पुष्टि करती है कि 5/4 इस शर्त को संतुष्ट करता है। बीजगणितीय रूप से, मूल समीकरण को 20x से गुणा करने पर द्विघात समीकरण 20x² - 9x - 20 = 0 प्राप्त होता है। इसे (4x - 5)(5x + 4) = 0 के रूप में गुणनखंडित करने पर धनात्मक मूल x = 5/4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग सूत्र Sₙ = ⁿ⁄₂(a + l) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ n पदों की संख्या है, a प्रथम पद है, और l अंतिम पद है।

दिया गया है n = 9, a = 7, और l = 55, तो योग है:

S₉ = ⁹⁄₂(7 + 55)

S₉ = ⁹⁄₂(62)

S₉ = 9 × 31 = 279

व्याख्या

एक ऊर्ध्वाधर रेखा x = k में किसी बिंदु (x, y) का प्रतिबिंब सूत्र (2k - x, y) द्वारा दिया जाता है। इस स्थिति में, बिंदु (5, -2) है और प्रतिबिंब रेखा x = -1 है, जिसका अर्थ है k = -1। सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, प्रतिबिंबित बिंदु का x-निर्देशांक 2(-1) - 5 है, जो सरल करने पर -2 - 5 = -7 हो जाता है। y-निर्देशांक -2 पर अपरिवर्तित रहता है। परिणामस्वरूप, प्रतिबिंबित बिंदु के निर्देशांक (-7, -2) हैं।

व्याख्या

बिंदु A के निर्देशांक, जो B (x₁, y₁) = (6, 1) और C (x₂, y₂) = (⁷⁄₂, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड को m:n = 4:1 के अनुपात में विभाजित करता है, विभाजन सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं:

x = (mx₂ + nx₁)/(m + n) y = (my₂ + ny₁)/(m + n)

x के सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x = (4 × (7)/(2)) + 1 × 6{4 + 1} = (14 + 6)/(5) = ²⁰⁄₅ = 4

y के सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: y = (4 × 6 + 1 × 1)/(4 + 1) = (24 + 1)/(5) = ²⁵⁄₅ = 5

इस गणना से बिंदु A के निर्देशांक (4, 5) प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाली रेखा की प्रवणता m को सूत्र m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) द्वारा निर्धारित किया जाता है। दिए गए निर्देशांकों (5, -1) और (4, -4) का उपयोग करने पर, गणना इस प्रकार है: m = (-4 - (-1))/(4 - 5) = (-4 + 1)/(-1) = ⁻³⁄₋₁ = 3. परिभाषा के अनुसार, समांतर रेखाओं की प्रवणता समान होती है, जिसका अर्थ है कि इन बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा के समांतर किसी भी रेखा की प्रवणता भी 3 होनी चाहिए।

व्याख्या

व्यंजक में कोणों के त्रिकोणमितीय मान sec 30° = (2)/(√(3)) और tan 60° = √3 हैं। दिए गए व्यंजक ½ sec 30° + √2 tan 60° में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

½ ( (2)/(√(3)) ) + √2 ( √3 )

पहले पद में उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 को निरस्त करने पर, व्यंजक सरल होकर (1)/(√(3)) + √6 हो जाता है। इन पदों को एक एकल भिन्न में संयोजित करने के लिए, एक उभयनिष्ठ हर √3 का उपयोग किया जाता है। √6 को √3{√3} से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

(1)/(√(3)) + √6 · √3{√3} = (1)/(√(3)) + √(18){√3}

चूंकि √(18) को √(9 · 2) = 3√2 के रूप में सरल किया जा सकता है, इसलिए व्यंजक का अंतिम सरल रूप है:

1 + 3√2{√3}

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज Δ DEF में, जहाँ ∠ E = 90° और ∠ D = 45° है, तीसरा कोण ∠ F त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म द्वारा निर्धारित किया जाता है: ∠ D + ∠ E + ∠ F = 180°। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर 45° + 90° + ∠ F = 180° प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर ∠ F = 45° प्राप्त होता है।

उद्देश्य csc F × cot D का मान ज्ञात करना है, जो कि csc 45° × cot 45° है। मानक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के अनुसार, csc 45° = √2 और cot 45° = 1 होता है। इन मानों को आपस में गुणा करने पर √2 × 1 = √2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सीकेंट (secant) फलन को sec θ = कर्ण/आधार के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि sec θ = 25/24, हम कर्ण (H) को 25 और आधार (B) को 24 के रूप में पहचान सकते हैं। sin θ का मान ज्ञात करने के लिए, जो कि लंब (P) और कर्ण का अनुपात है, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं:

P = √(H² - B²) P = √(25² - 24²) P = √(625 - 576) P = √49 = 7

लंब का मान 7 निर्धारित होने के बाद, हम साइन (sine) फलन की परिभाषा लागू करते हैं:

sin θ = P/H = 7/25

यह परिणाम पाइथागोरियन त्रिक (7, 24, 25) के गुणों के अनुरूप है, जहाँ 25 सबसे लंबी भुजा है।

व्याख्या

9 से विभाज्यता का नियम यह कहता है कि कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। संख्या 213 के लिए, अंकों का योग 2 + 1 + 3 = 6 है। 6 से बड़ा 9 का सबसे छोटा गुणज स्वयं 9 ही है। इस लक्षित योग और वर्तमान योग के बीच का अंतर 9 - 6 = 3 है। इसलिए, 213 में जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या 3 है ताकि अंकों का योग 9 के बराबर हो जाए, जिससे यह सुनिश्चित हो सके कि प्राप्त संख्या 216, 9 से विभाज्य है। वैकल्पिक रूप से, 213 को 9 से विभाजित करने पर शेषफल 6 प्राप्त होता है। अगले गुणज तक पहुँचने के लिए जोड़ी जाने वाली संख्या भाजक और शेषफल का अंतर होती है, जो कि 9 - 6 = 3 है।

व्याख्या

A और B की व्यक्तिगत कार्यक्षमता क्रमशः प्रतिदिन कार्य का ¹⁄₁₂ और ¹⁄₂₄ है। एक साथ कार्य करने पर उनकी संयुक्त कार्यक्षमता है:

संयुक्त कार्यक्षमता = ¹⁄₁₂ + ¹⁄₂₄ = (2 + 1)/(24) = ³⁄₂₄ = ⅛

4 दिनों में, A और B द्वारा मिलकर पूरा किया गया कार्य है:

किया गया कार्य = 4 × ⅛ = ½

शेष कार्य के भाग की गणना कुल कार्य में से किए गए कार्य को घटाकर की जाती है:

शेष कार्य = 1 - ½ = ½

व्याख्या

भुजा की लंबाई s वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A, सूत्र A = √3/4 s² का उपयोग करके परिकलित किया जाता है। यह दिया गया है कि भुजा की लंबाई s = 6 सेमी है, इसलिए गणना A = √3/4 × 6² है। 6² के स्थान पर 36 प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक A = √3/4 × 36 हो जाता है। 36 को 4 से विभाजित करने पर 9 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप क्षेत्रफल 9√3 वर्ग सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए, प्रभावी छूट D को सूत्र D = x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ द्वारा दर्शाया जाता है।

दिए गए मानों x = 20 और y = 25 को सूत्र में रखने पर:

D = 20 + 25 - (20 × 25)/(100)

D = 45 - ⁵⁰⁰⁄₁₀₀

D = 45 - 5 = 40%

वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक मूल्य 100 है, तो 20% की छूट मूल्य को घटाकर 80 कर देती है। शेष 80 पर 25% की छूट लागू करने से मूल्य में 0.25 × 80 = 20 की और कमी होती है। अंतिम मूल्य 80 - 20 = 60 है, जो मूल मूल्य 100 से कुल 40 की छूट (अर्थात 40%) को दर्शाता है।

व्याख्या

12,400 रुपये के कुल लाभ को साझेदारों A, B और C के बीच 5:7:8 के अनुपात में साझा किया जाता है। साझेदार B द्वारा प्राप्त विशिष्ट राशि ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले अनुपातों का योग ज्ञात करते हैं: 5 + 7 + 8 = 20।

किसी भी साझेदार के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है: साझेदार का हिस्सा = (साझेदार का अनुपात)/(अनुपातों का योग) × कुल लाभ

साझेदार B के लिए दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: B का हिस्सा = ⁷⁄₂₀ × 12,400

व्यंजक को सरल करने पर: B का हिस्सा = 7 × (12,400)/(20) B का हिस्सा = 7 × 620 B का हिस्सा = 4,340

व्याख्या

Q के वजन की गणना वजनों का कुल योग ज्ञात करके और दिए गए युग्मों के योग का उपयोग करके की जाती है। औसत के सूत्र के अनुसार, योग = औसत × प्रेक्षणों की संख्या।

P, Q और R के वजन का योग = 47 × 3 = 141 किग्रा P और Q के वजन का योग = 32.5 × 2 = 65 किग्रा Q और R के वजन का योग = 48.5 × 2 = 97 किग्रा

Q का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों युग्मों के योग को जोड़ते हैं और तीनों व्यक्तियों के कुल योग को घटाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि युग्मों (P + Q) और (Q + R) को जोड़ने पर Q की गणना दो बार होती है: Q = (P + Q) + (Q + R) - (P + Q + R) Q = 65 + 97 - 141 Q = 162 - 141 = 21 किग्रा

व्याख्या

लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, मान लीजिए कि एक वस्तु का विक्रय मूल्य (SP) x है। 5 वस्तुओं का कुल विक्रय मूल्य 5x है। प्रश्न के अनुसार, अर्जित लाभ 1 वस्तु के विक्रय मूल्य के बराबर है, इसलिए लाभ (Profit) = x।

5 वस्तुओं का क्रय मूल्य (CP) सूत्र CP = SP - Profit का उपयोग करके निकाला जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें CP = 5x - x = 4x प्राप्त होता है।

लाभ प्रतिशत सूत्र लाभ % = ((लाभ)/(CP)) × 100 द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर लाभ % = (ˣ⁄₄ₓ) × 100 = ¼ × 100 = 25% प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रतिशतों को उनके भिन्नात्मक या दशमलव समकक्षों में बदलते हैं और उन्हें आधार संख्या से गुणा करते हैं। प्रतिशत शब्द का अर्थ प्रति सौ है, इसलिए व्यंजक की गणना इस प्रकार की जाती है:

मान = (20/100) × (500/100) × 50

भिन्नों को सरल करने पर:

20/100 = 0.2 500/100 = 5

अब, इन मानों को पुनः समीकरण में रखने पर:

मान = 0.2 × 5 × 50

सबसे पहले, 0.2 और 5 को गुणा करें:

0.2 × 5 = 1.0

अंत में, शेष गुणनखंड से गुणा करें:

1 × 50 = 50