एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दो संख्याओं के घनों के योग को बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। मान लीजिए कि x, a + b के मान को दर्शाता है। दिए गए मानों a³ + b³ = 19 और ab = -6 को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

19 = x³ - 3(-6)(x) 19 = x³ + 18x

समीकरण को मानक त्रिघात रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर x³ + 18x - 19 = 0 प्राप्त होता है। x के मानों का परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि जब x = 1 हो:

1³ + 18(1) - 19 = 1 + 18 - 19 = 0

वैकल्पिक रूप से, ऐसी दो संख्याओं a और b की खोज करने पर जहाँ a + b = 1 और ab = -6 हो, हम -6 के गुणनखंडों का उपयोग कर सकते हैं। a = 3 और b = -2 के लिए, गुणनफल 3 × (-2) = -6 है और घनों का योग 3³ + (-2)³ = 27 - 8 = 19 है। योग a + b = 3 + (-2) = 1 है।

व्याख्या

माना कि अभीष्ट भिन्न x है। प्रश्न के अनुसार, भिन्न के चार गुने और उसके व्युत्क्रम के छह गुने का योग 11 है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: 4x + ⁶⁄ₓ = 11

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम विकल्पों से मान रख सकते हैं। x = ¾ का उपयोग करने पर: 4(¾) + 6(⁴⁄₃) = 3 + (2 × 4) = 3 + 8 = 11

यह पुष्टि करता है कि ¾ इस शर्त को संतुष्ट करता है। वैकल्पिक रूप से, समीकरण को x से गुणा करके एक द्विघात समीकरण बनाया जा सकता है: 4x² - 11x + 6 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: 4x² - 8x - 3x + 6 = 0 4x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 (4x - 3)(x - 2) = 0

x के लिए हल करने पर x = ¾ या x = 2 प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों में से, ¾ सही मान है।

व्याख्या

किसी समांतर श्रेणी का n-वां पद aₙ = a + (n-1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a प्रथम पद है और d सार्व अंतर (common difference) है।

दिया गया है कि तीसरा पद a₃ = a + 2d = -13 और छठा पद a₆ = a + 5d = -4 है, हम दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाकर d ज्ञात कर सकते हैं: (a + 5d) - (a + 2d) = -4 - (-13), जिसे सरल करने पर 3d = 9 प्राप्त होता है, इसलिए d = 3।

तीसरे पद के समीकरण में d = 3 का मान रखने पर a + 2(3) = -13 प्राप्त होता है, जिससे a = -19 मिलता है।

प्रथम n पदों के योग की गणना सूत्र Sₙ = ⁿ⁄₂ [2a + (n-1)d] का उपयोग करके की जाती है। n = 12 के लिए:

S₁₂ = ¹²⁄₂ [2(-19) + (12-1)3] S₁₂ = 6 [-38 + 11(3)] S₁₂ = 6 [-38 + 33] S₁₂ = 6 [-5] = -30

व्याख्या

जब किसी बिंदु (x, y) को एक ऊर्ध्वाधर रेखा x = k में प्रतिबिंबित किया जाता है, तो y-निर्देशांक वही रहता है, जबकि नया x-निर्देशांक x' सूत्र x' = 2k - x द्वारा निर्धारित किया जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि रेखा x = k मूल बिंदु और उसके प्रतिबिंब को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है, जिसका अर्थ है कि क्षैतिज दूरी का मध्यबिंदु x = k पर स्थित होना चाहिए।

दिए गए बिंदु (5, 2) और परावर्तन रेखा x = -3 के लिए, हम सूत्र में x = 5 और k = -3 प्रतिस्थापित करते हैं। नए x-निर्देशांक की गणना x' = 2(-3) - 5 = -6 - 5 = -11 है। चूंकि प्रतिबिंब एक ऊर्ध्वाधर रेखा के सापेक्ष है, इसलिए y-निर्देशांक नहीं बदलता है, इसलिए y' = 2। इसलिए, प्रतिबिंबित बिंदु के निर्देशांक (-11, 2) हैं।

व्याख्या

शीर्षों (x₁, y₁), (x₂, y₂), और (x₃, y₃) वाले एक त्रिभुज का केंद्रक G(x, y) इसके शीर्षों के निर्देशांकों का समांतर माध्य होता है, जो सूत्र G = ((x₁ + x₂ + x₃)/(3), (y₁ + y₂ + y₃)/(3)) द्वारा दिया जाता है।

दिए गए शीर्षों A(1, -5), B(4, 0), और C(-2, 2) को सूत्र में रखने पर:

x-निर्देशांक x = (1 + 4 + (-2))/(3) = ³⁄₃ = 1 है।

y-निर्देशांक y = (-5 + 0 + 2)/(3) = ⁻³⁄₃ = -1 है।

इसके परिणामस्वरूप केंद्रक के निर्देशांक (1, -1) प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके या पहले अंकित मूल्य (MP) की गणना करके की जा सकती है। दिया गया है कि क्रय मूल्य (CP) 1600 रुपये है और मूल्य वृद्धि (मार्क-अप) 60 प्रतिशत है, तो अंकित मूल्य (MP) है:

MP = CP × (1 + ⁶⁰⁄₁₀₀) = 1600 × 1.6 = 2560

इसके बाद विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए इस अंकित मूल्य पर 25 प्रतिशत की छूट दी जाती है:

SP = MP × (1 - ²⁵⁄₁₀₀) = 2560 × 0.75 = 2560 × ¾ = 1920

वैकल्पिक रूप से, क्रमिक परिवर्तनों के सूत्र का उपयोग करके शुद्ध लाभ प्रतिशत ज्ञात किया जा सकता है: शुद्ध प्रतिशत = m - d - (m × d)/(100), जहाँ m मूल्य वृद्धि (मार्क-अप) है और d छूट है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर 60 - 25 - (60 × 25)/(100) = 35 - 15 = 20 प्रतिशत लाभ प्राप्त होता है। इसलिए विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य का 120 प्रतिशत है:

SP = 1600 × 1.2 = 1920

व्याख्या

Δ ABC में, चूँकि DE ∥ BC है, इसलिए त्रिभुज Δ ADE और Δ ABC, AA (कोण-कोण) समरूपता द्वारा समरूप हैं। भुजाओं AD : DB का अनुपात 2 : 5 दिया गया है। भुजा AB की कुल लंबाई रेखाखंडों AD और DB का योग है: AB = AD + DB = 2 + 5 = 7 इकाई।

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए: (क्षेत्रफल(Δ ADE))/(क्षेत्रफल(Δ ABC)) = ((AD)/(AB))² = (²⁄₇)² = ⁴⁄₄₉

मान लीजिए Δ ADE का क्षेत्रफल 4k है और Δ ABC का क्षेत्रफल 49k है। चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल बड़े त्रिभुज और छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है: क्षेत्रफल(BDEC) = क्षेत्रफल(Δ ABC) - क्षेत्रफल(Δ ADE) = 49k - 4k = 45k

Δ ADE के क्षेत्रफल का चतुर्भुज BDEC के क्षेत्रफल से अभीष्ट अनुपात है: क्षेत्रफल(Δ ADE) : क्षेत्रफल(BDEC) = 4k : 45k = 4 : 45

यह देखते हुए कि Δ ADE का क्षेत्रफल 8 वर्ग सेमी है, हम देख सकते हैं कि 4k = 8, जिसका अर्थ है k = 2। इस प्रकार, BDEC का क्षेत्रफल 45 × 2 = 90 वर्ग सेमी है। अनुपात 8 : 90 सरल होकर 4 : 45 हो जाता है।

व्याख्या

विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय मान sec 45° = √2 और tan 30° = (1)/(√(3)) हैं। इन मानों को दिए गए व्यंजक √2 sec 45° - tan 30° में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

√2 · √2 - (1)/(√(3))

चूंकि √2 · √2 = 2 है, इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

2 - (1)/(√(3))

पदों को एक ही हर के अंतर्गत संयोजित करने के लिए, हम पूर्णांक 2 को √3{√3} से गुणा करते हैं:

2√3{√3} - (1)/(√(3)) = 2√3 - 1{√3}

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, अंतःकोणों का योग 180° होता है। चूंकि △ ABC, B पर समकोण है (m∠B = 90°) और m∠A = 60° है, इसलिए कोण C का माप कुल योग में से ज्ञात कोणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है:

∠C = 180° - (90° + 60°) = 30°

प्रश्न में (1/√3) cosec C का मान पूछा गया है। कोण C का मान प्रतिस्थापित करने पर और त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec 30° = 1/sin 30° का उपयोग करने पर:

(1/u221a3) cosec 30° = (1/u221a3) × 2 = 2/u221a3

व्याख्या

कोसीकेंट (cosec) और कोटेंजेंट (cot) के बीच का संबंध त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc² θ - cot² θ = 1 द्वारा परिभाषित किया गया है। कोटेंजेंट का मान ज्ञात करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर cot θ = √(csc² θ - 1) प्राप्त होता है। समीकरण में दिए गए मान csc θ = 25/7 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें cot θ = √((25/7)² - 1) = √(625/49 - 1) प्राप्त होता है। वर्गमूल के भीतर के व्यंजक को सरल करने पर √((625 - 49)/49) = √(576/49) = 24/7 प्राप्त होता है।

इसे एक समकोण त्रिभुज के गुणों का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है जहाँ csc θ कर्ण और लंब के अनुपात को दर्शाता है। कर्ण को 25 और लंब को 7 मानने पर, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आधार की गणना √(25² - 7²) = √(625 - 49) = √(576) = 24 के रूप में की जाती है। चूंकि cot θ आधार और लंब का अनुपात है, इसलिए इसका मान 24/7 है।

व्याख्या

दिए गए बार ग्राफ के आंकड़ों के अनुसार, देश D में वर्ष 2015 और 2016 में मुद्रास्फीति की दर क्रमशः 2% और 5% थी।

यह ज्ञात करने के लिए कि वर्ष 2016 में मुद्रास्फीति, वर्ष 2015 की तुलना में कितने प्रतिशत अधिक थी, हम प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत वृद्धि = (मुद्रास्फीति₂₀₁₆ - मुद्रास्फीति₂₀₁₅) / मुद्रास्फीति₂₀₁₅ × 100

मान रखने पर: प्रतिशत वृद्धि = (5 - 2)/(2) × 100 = ³⁄₂ × 100 = 1.5 × 100 = 150%

व्याख्या

परीक्षा में दिए गए बार ग्राफ (दंड आरेख) के आधार पर, वर्ष 2015 में देश C के लिए वार्षिक मुद्रास्फीति दर 8% थी, जबकि उसी वर्ष में देश A के लिए वार्षिक मुद्रास्फीति दर 4% थी। देश C की मुद्रास्फीति का देश A की मुद्रास्फीति से अनुपात ज्ञात करने के लिए:

अनुपात = (देश C में मुद्रास्फीति (2015)) / (देश A में मुद्रास्फीति (2015)) = ⁸⁄₄ = ²⁄₁

इस प्रकार, वर्ष 2015 के लिए देश C की मुद्रास्फीति का देश A की मुद्रास्फीति से अनुपात 2 : 1 है।

व्याख्या

2016 के अंत में मूल्य सूचकांक का निर्धारण देश D के लिए वार्षिक मुद्रास्फीति दरों को प्रारंभिक सूचकांक मूल्य पर क्रमिक रूप से लागू करके किया जाता है। देश D के लिए, मुद्रास्फीति की दर 2015 में 5% और 2016 में 2% थी।

2015 के अंत में सूचकांक की गणना इस प्रकार है: 200 × (1 + ⁵⁄₁₀₀) = 200 × 1.05 = 210

इसके बाद 2016 के अंत में सूचकांक की गणना 2015 के अंत में प्राप्त मूल्य पर 2016 की मुद्रास्फीति दर को लागू करके की जाती है: 210 × (1 + ²⁄₁₀₀) = 210 × 1.02 = 214.2

इसे चक्रवृद्धि वृद्धि सूत्र का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है: अंतिम सूचकांक = प्रारंभिक सूचकांक × (1 + r₁) × (1 + r₂) अंतिम सूचकांक = 200 × 1.05 × 1.02 = 214.2

यह परिणाम दो वर्ष की अवधि में मूल्य स्तर में संचयी वृद्धि को दर्शाता है।

व्याख्या

संख्याओं 55+x, 100+x, 65+x, और 116+x के समानुपाती होने के लिए, बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होना चाहिए। इसे समीकरण ⁵⁵⁺ˣ⁄₁₀₀₊ₓ = ⁶⁵⁺ˣ⁄₁₁₆₊ₓ द्वारा दर्शाया गया है।

चार संख्याओं a, b, c, d को समानुपाती बनाने के लिए उनमें जोड़ी जाने वाली संख्या x का मान ज्ञात करने का सीधा सूत्र x = (ad - bc)/((b+c) - (a+d)) है।

दिए गए मानों a = 55, b = 100, c = 65, और d = 116 को सूत्र में रखने पर: x = ((55 × 116) - (100 × 65))/((100 + 65) - (55 + 116)) x = (6380 - 6500)/(165 - 171) x = ⁻¹²⁰⁄₋₆ x = 20

प्रत्येक संख्या में 20 जोड़ने पर, हमें 75, 120, 85, और 136 प्राप्त होते हैं। हम अनुपातों की गणना करके समानुपात को सत्यापित कर सकते हैं: ⁷⁵⁄₁₂₀ = (5 × 15)/(8 × 15) = ⅝ ⁸⁵⁄₁₃₆ = (5 × 17)/(8 × 17) = ⅝

चूंकि अनुपात बराबर हैं, इसलिए 20 जोड़ने पर प्राप्त संख्याएँ समानुपाती होती हैं।

व्याख्या

माना 10 मैचों के बाद का औसत A है। चूंकि 10वें मैच के बाद औसत में 5 रनों की वृद्धि हुई है, इसलिए 9 मैचों के बाद का औसत A - 5 था। 10 मैचों के बाद कुल रन, 9 मैचों के बाद के कुल रनों और 10वें मैच में बनाए गए रनों का योग है। इस संबंध को 10A = 9(A - 5) + 111 के रूप में व्यक्त किया जाता है। समीकरण का विस्तार करने पर 10A = 9A - 45 + 111 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 9A घटाने पर A = 111 - 45 प्राप्त होता है, जिससे A = 66 मिलता है।

वैकल्पिक रूप से, औसत समस्याओं के लिए शॉर्टकट का उपयोग करते हुए: नया औसत नवीनतम स्कोर में से पिछले मैचों में वितरित कुल वृद्धि को घटाकर प्राप्त किया जाता है। 10वें मैच में बनाए गए 111 रनों ने पिछले 9 मैचों में से प्रत्येक के लिए 5 रनों की वृद्धि प्रदान की। इसलिए, 10वें मैच के बाद का औसत 111 - (9 × 5) = 111 - 45 = 66 है। यह शॉर्टकट प्रभावी रूप से पिछले मैचों को नए औसत स्तर तक बढ़ाने के लिए आवश्यक रनों की गणना करता है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य दोनों के लिए वस्तुओं की संख्या को बराबर करें। 6 केलों का क्रय मूल्य (CP) 25 रुपये दिया गया है। विक्रेता 20 रुपये में 3 केले बेचता है, इसलिए 6 केलों का विक्रय मूल्य (SP) 20 × 2 = 40 रुपये है।

लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ = विक्रय मूल्य (SP) - क्रय मूल्य (CP) = 40 - 25 = 15 रुपये

लाभ प्रतिशत का निर्धारण इस सूत्र द्वारा किया जाता है: लाभ प्रतिशत = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = ¹⁵⁄₂₅ × 100 लाभ प्रतिशत = ⅗ × 100 = 60%

व्याख्या

श्रमिक A और श्रमिक B के बीच भुगतान का वितरण एक प्रतिशत संबंध पर आधारित है जिसे एक अनुपात में सरल बनाया जा सकता है। यह देखते हुए कि A को, B को किए गए भुगतान का 160% भुगतान किया जाता है, यदि B के भुगतान को 100% के रूप में दर्शाया जाता है, तो A का भुगतान 160% है। इससे A और B का अनुपात 160:100 प्राप्त होता है, जो दोनों भागों को 20 से विभाजित करने के बाद 8:5 हो जाता है। कुल संयुक्त दैनिक मजदूरी 650 रुपये इन अनुपात भागों के योग को दर्शाती है। अनुपात में इकाइयों की कुल संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: 8 + 5 = 13

एक एकल इकाई का मौद्रिक मूल्य निर्धारित करने के लिए, कुल दैनिक भुगतान को इकाइयों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है: ⁶⁵⁰⁄₁₃ = 50

चूंकि श्रमिक B की मजदूरी सरल अनुपात में 5 इकाइयों के बराबर है, इसलिए B को भुगतान की गई कुल राशि एक इकाई के मूल्य को B को आवंटित भागों की संख्या से गुणा करके प्राप्त की जाती है: 5 × 50 = 250

व्याख्या

कुल यात्रा समय पैदल चलने में लगे समय और साइकिल से चलने में लगे समय का योग है। माना पैदल तय की गई दूरी x है। इसलिए, साइकिल द्वारा तय की गई दूरी 60 - x है। मूल संबंध समय = (दूरी)/(गति) का उपयोग करते हुए, कुल समय के लिए समीकरण है:

x/6 + (60 - x)/12 = 7

x का मान ज्ञात करने के लिए, पूरे समीकरण को गतियों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 12 है:

2x + (60 - x) = 84

बाएँ पक्ष को सरल करने पर:

x + 60 = 84 x = 24

पैदल तय की गई दूरी 24 किमी है। यह परिणाम कुल 7 घंटे के समय के अनुरूप है, क्योंकि 4 घंटे पैदल चलने में (24/6) और 3 घंटे साइकिल चलाने में (36/12) लगते हैं।

व्याख्या

r% वार्षिक की दर से दो वर्षों के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र R = r + r + (r × r)/(100) का उपयोग करके की जाती है। दिए गए 12% की दर को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रभावी दर = 12 + 12 + (12 × 12)/(100) = 24 + 1.44 = 25.44%

अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज 10176 रुपये दिया गया है। हम मूलधन P के लिए समीकरण को निम्नानुसार लिख सकते हैं:

P का 25.44% = 10176

(25.44)/(100) × P = 10176

P = (10176 × 100)/(25.44)

P = (10176 × 10000)/(2544)

10176 को 2544 से विभाजित करने पर ठीक 4 प्राप्त होता है, क्योंकि 2500 × 4 = 10000 और 44 × 4 = 176 है।

P = 4 × 10000 = 40000

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरण से शुरू करते हैं: (2(4x)/(5) - ¾){3} - ⁵⁄₃ = -⅙

सबसे पहले, हम अचर पद -⁵⁄₃ को समीकरण के दाईं ओर ले जाते हैं: (2(4x)/(5) - ¾){3} = ⁵⁄₃ - ⅙

दाईं ओर के भिन्नों को घटाने के लिए, हम एक समान हर (common denominator) ज्ञात करते हैं, जो कि 6 है: ⁵⁄₃ - ⅙ = ¹⁰⁄₆ - ⅙ = ⁹⁄₆ = ³⁄₂

अब समीकरण इस प्रकार है: (2(4x)/(5) - ¾){3} = ³⁄₂

कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा और 2 से भाग करते हैं: ⁴ˣ⁄₅ - ¾ = ³⁄₂ · ³⁄₂ = ⁹⁄₄

इसके बाद, दोनों पक्षों में ¾ जोड़ें: ⁴ˣ⁄₅ = ⁹⁄₄ + ¾ = ¹²⁄₄ = 3

अंत में, दोनों पक्षों को ⁵⁄₄ से गुणा करके x का मान ज्ञात करें: x = 3 · ⁵⁄₄ = ¹⁵⁄₄

व्याख्या

हम बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हैं। मान लीजिए s = a + b है। सर्वसमिका में दिए गए मानों a³ + b³ = 35 और ab = 6 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 35 = s³ - 3(6)(s) प्राप्त होता है। यह सरल होकर त्रिघात समीकरण s³ - 18s - 35 = 0 बन जाता है। छोटे पूर्णांक मानों या 35 के गुणनखंडों का परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि यदि s = 5 है, तो 5³ - 18(5) - 35 = 125 - 90 - 35 = 0 होगा।

वैकल्पिक रूप से, हम निरीक्षण द्वारा a और b के मान ज्ञात कर सकते हैं। चूंकि ab = 6 और a³ + b³ = 35 है, हम 6 के ऐसे गुणनखंडों की तलाश करते हैं जैसे कि 2 और 3। इन मानों का परीक्षण करने पर, हम देखते हैं कि 2³ + 3³ = 8 + 27 = 35 है, जो दोनों दी गई शर्तों को संतुष्ट करता है। इसलिए, योग a + b = 2 + 3 = 5 है।

व्याख्या

4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। 93 से पूर्णतः विभाज्य 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम शेषफल ज्ञात करने के लिए 9999 को 93 से विभाजित करते हैं।

9999 ÷ 93 = 107, जिसमें शेषफल 48 प्राप्त होता है। इसे विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके 9999 = (93 × 107) + 48 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

भाज्य में से शेषफल को घटाकर, हम 93 का वह सबसे बड़ा गुणज प्राप्त करते हैं जो 9999 से अधिक नहीं है: 9999 - 48 = 9951

वैकल्पिक रूप से, सबसे बड़े संभावित पूर्णांक भागफल 107 को भाजक 93 से गुणा करने पर भी वही परिणाम प्राप्त होता है: 93 × 107 = 9951

व्याख्या

काम को पूरा करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, मान लेते हैं कि कुल कार्य A, B और C द्वारा लिए गए व्यक्तिगत दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 20, 30 और 60 का LCM 60 इकाई है।

प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) है: A की कार्यक्षमता = 60 / 20 = 3 इकाई/दिन B की कार्यक्षमता = 60 / 30 = 2 इकाई/दिन C की कार्यक्षमता = 60 / 60 = 1 इकाई/दिन

जब A, B और C मिलकर 1 दिन तक काम करते हैं, तो पूरा किया गया कुल कार्य उनकी कार्यक्षमताओं के योग को समय से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 1 दिन में किया गया कार्य = (3 + 2 + 1) × 1 = 6 इकाई

अकेले C द्वारा पूरा किया जाने वाला शेष कार्य है: शेष कार्य = कुल कार्य - पूरा किया गया कार्य = 60 - 6 = 54 इकाई

शेष भाग को पूरा करने में C को लगने वाले दिनों की संख्या है: समय = शेष कार्य / C की कार्यक्षमता = 54 / 1 = 54 दिन

व्याख्या

एक आयत का परिमाप P, सूत्र P = 2(l + b) द्वारा दिया जाता है, जहाँ l लंबाई को और b चौड़ाई को दर्शाता है। दिया गया है कि परिमाप 90 सेमी और चौड़ाई 20 सेमी है, समीकरण इस प्रकार है: 90 = 2(l + 20) 45 = l + 20 l = 25 सेमी एक आयत के क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = l × b का उपयोग करके की जाती है। लंबाई और चौड़ाई के मान रखने पर: क्षेत्रफल = 25 × 20 = 500 वर्ग सेमी

व्याख्या

अंकित मूल्य किसी वस्तु पर किसी भी प्रकार की कटौती से पहले का प्रारंभिक मूल्य होता है। 25 प्रतिशत की छूट का तात्पर्य है कि वस्तु को उसके अंकित मूल्य के 75 प्रतिशत पर बेचा जाता है, क्योंकि 100% - 25% = 75%।

विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP) और छूट प्रतिशत (d) को संबंधित करने वाला सूत्र इस प्रकार है: SP = MP × (1 - ᵈ⁄₁₀₀)

अंकित मूल्य (MP) ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: MP = (SP)/(1 - d/100)

दिए गए मानों SP = 9750 और d = 25 को प्रतिस्थापित करने पर: MP = (9750)/(1 - 0.25) MP = (9750)/(0.75)

भाग को सरल बनाने के लिए, हम 0.75 को भिन्न 3/4 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: MP = 9750 × ⁴⁄₃ MP = 3250 × 4 MP = 13000

व्याख्या

समीकरण 3A = 2B = 4C से अनुपात A : B : C ज्ञात करने के लिए, हम सभी पदों को गुणांकों 3, 2 और 4 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के बराबर रखते हैं। इन मानों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 12 है। 3A = 12 रखने पर, हमें A = 12/3 = 4 प्राप्त होता है। 2B = 12 रखने पर B = 12/2 = 6 प्राप्त होता है, और 4C = 12 रखने पर C = 12/4 = 3 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, अनुपात गुणांकों के व्युत्क्रमों के समानुपाती होता है, जो कि ⅓ : ½ : ¼ है। इस अनुपात के प्रत्येक भाग को उभयनिष्ठ हर 12 से गुणा करने पर भिन्न, पूर्णांक अनुपात 4 : 6 : 3 में परिवर्तित हो जाते हैं।

व्याख्या

पहली 5 वस्तुओं की कुल लागत औसत को वस्तुओं की संख्या से गुणा करके प्राप्त की जाती है: 5 × 650 = 3250। जब 1400 रुपये की लागत वाली छठी वस्तु जोड़ी जाती है, तो 6 वस्तुओं की कुल लागत 3250 + 1400 = 4650 हो जाती है। नए औसत की गणना इस कुल योग को वस्तुओं की नई संख्या से विभाजित करके की जाती है: 4650 / 6 = 775।

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, छठी वस्तु वर्तमान औसत से 1400 - 650 = 750 अधिक है। इस अतिरिक्त राशि को सभी 6 वस्तुओं में समान रूप से विभाजित किया जाता है, जिससे औसत में 750 / 6 = 125 की वृद्धि होती है। इसे मूल औसत में जोड़ने पर 650 + 125 = 775 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सेब के क्रय मूल्य (CP) की गणना विक्रय मूल्य (SP) और हानि प्रतिशत का उपयोग करके की जाती है। जब विक्रेता 15% की हानि पर 170 रुपये में बेचता है, तो संबंध CP = (SP × 100)/(100 - हानि%) होता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें CP = (170 × 100)/(100 - 15) = (170 × 100)/(85) = 200 रुपये प्राप्त होता है।

230 रुपये में बेचने पर लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम पहले लाभ = नया SP - CP = 230 - 200 = 30 रुपये का उपयोग करके लाभ की राशि निर्धारित करते हैं। इसके बाद लाभ प्रतिशत की गणना लाभ% = (लाभ)/(CP) × 100 के रूप में की जाती है। परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर ³⁰⁄₂₀₀ × 100 = 15% प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना कि भिन्न x है। प्रश्नानुसार, भिन्न और उसके व्युत्क्रम के तीन गुने का योग x + 3/x = 73/20 है। x = 5/4 प्रतिस्थापित करने पर, व्युत्क्रम 4/5 हो जाता है। गणना इस प्रकार है:

5/4 + 3(4/5) = 5/4 + 12/5

इन पदों को जोड़ने के लिए, हम उभयनिष्ठ हर 20 का उपयोग करते हैं:

(25 + 48) / 20 = 73/20

यह मान दी गई स्थिति को पूरी तरह से संतुष्ट करता है।

व्याख्या

x का मान प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है: मान = (दर)/(100) × x। यह देखते हुए कि 40, x का 0.05% है, समीकरण को 40 = (0.05)/(100) × x के रूप में लिखा जाता है। x का मान ज्ञात करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर x = (40 × 100)/(0.05) प्राप्त होता है। यह सरल होकर x = (4000)/(0.05) हो जाता है। हर (denominator) में दशमलव को हटाने के लिए, अंश (numerator) और हर दोनों को 100 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप x = ⁴⁰⁰⁰⁰⁰⁄₅ प्राप्त होता है। 400000 को 5 से विभाजित करने पर x = 80000 प्राप्त होता है।

व्याख्या

चूंकि दोनों मामलों में तय की गई दूरी समान है, इसलिए गति समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है (S ∝ 1/T)। इस संबंध को सूत्र S₁ × T₁ = S₂ × T₂ द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ S गति है और T समय है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 90 × 35 = S₂ × 21

नई गति S₂ के लिए हल करने पर: S₂ = (90 × 35)/(21) S₂ = (90 × 5)/(3) S₂ = 30 × 5 = 150 किमी/घंटा

गति में आवश्यक वृद्धि नई गति और प्रारंभिक गति के बीच का अंतर है: गति में वृद्धि = S₂ - S₁ गति में वृद्धि = 150 - 90 = 60 किमी/घंटा

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, किसी विशिष्ट वर्ष में अर्जित ब्याज पिछले वर्ष में अर्जित ब्याज के सापेक्ष दी गई दर r पर बढ़ता है। nवें वर्ष के ब्याज (Iₙ) की गणना mवें वर्ष के ब्याज (Iₘ) से सूत्र Iₙ = Iₘ (1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ⁻ᵐ का उपयोग करके की जा सकती है।

दिया गया है कि दूसरे वर्ष का ब्याज (I₂) 1200 रुपये है और दर (r) 10% है, हम सूत्र में मान रखकर चौथे वर्ष के ब्याज (I₄) की गणना करते हैं:

I₄ = 1200 × (1 + ¹⁰⁄₁₀₀)⁴⁻² I₄ = 1200 × (1.1)² I₄ = 1200 × 1.21 I₄ = 1452

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, भिन्नों को हटाने के लिए सभी पदों को 6 से गुणा करके समीकरण 17/3 + [3(2x - 5/3)]/2 = 1/6 को सरल करें: 2(17) + 3[3(2x - 5/3)] = 1 34 + 9(2x - 5/3) = 1 कोष्ठक के भीतर 9 को गुणा करने पर प्राप्त होता है: 34 + 18x - 15 = 1 अचर पदों 34 - 15 को हल करने पर प्राप्त होता है: 19 + 18x = 1 दोनों पक्षों से 19 घटाने पर: 18x = -18 18 से भाग देने पर: x = -1

व्याख्या

a³ + b³ का मान बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। इस सूत्र में दिए गए मान a + b = 5 और ab = 6 को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक 5³ - 3(6)(5) हो जाता है। अंकगणितीय गणना करने पर 125 - 90 = 35 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, समीकरण a + b = 5 और ab = 6 को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक a और b को 2 और 3 के रूप में पहचाना जा सकता है। उनके घनों के योग की गणना करने पर 2³ + 3³ = 8 + 27 = 35 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना कि भिन्न x है। प्रश्न के अनुसार, भिन्न और उसके व्युत्क्रम के तीन गुने का योग 37/10 है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

x + ³⁄ₓ = ³⁷⁄₁₀

x का मान ज्ञात करने के लिए, हरों को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 10x से गुणा करें:

10x² + 30 = 37x

इसे एक मानक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यवस्थित करने पर:

10x² - 37x + 30 = 0

द्विघात सूत्र x = -b ± √(b² - 4ac){2a} का उपयोग करने पर:

x = 37 ± √((-37)² - 4 × 10 × 30){2 × 10}

x = 37 ± √(1369 - 1200){20}

x = 37 ± √(169){20} = (37 ± 13)/(20)

इससे x के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं:

x₁ = (37 + 13)/(20) = ⁵⁰⁄₂₀ = ⁵⁄₂

x₂ = (37 - 13)/(20) = ²⁴⁄₂₀ = ⁶⁄₅

मान 5/2 दी गई शर्त को पूरा करता है। मूल व्यंजक में पुनः 5/2 प्रतिस्थापित करने पर:

⁵⁄₂ + 3 × ⅖ = ⁵⁄₂ + ⁶⁄₅ = (25 + 12)/(10) = ³⁷⁄₁₀

व्याख्या

एक समान्तर श्रेणी का n-वां पद सूत्र aₙ = a + (n - 1)d द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है। दिए गए मानों के आधार पर, हम रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली स्थापित कर सकते हैं: a + 3d = 11 और a + 6d = -4। दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर (a + 6d) - (a + 3d) = -4 - 11 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 3d = -15 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप d = -5 प्राप्त होता है। d के मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर a + 3(-5) = 11 प्राप्त होता है, इसलिए a - 15 = 11 और a = 26। 15वां पद ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र a₁₅ = a + 14d = 26 + 14(-5) = 26 - 70 = -44 का उपयोग करते हैं।

व्याख्या

जब किसी बिंदु (x, y) को एक क्षैतिज रेखा y = k के सापेक्ष प्रतिबिंबित किया जाता है, तो प्रतिबिंब का x-निर्देशांक मूल बिंदु के x-निर्देशांक के समान रहता है, जबकि y-निर्देशांक इस प्रकार बदल जाता है कि रेखा y = k मूल y और प्रतिबिंबित y' के बीच का मध्यबिंदु होती है। प्रतिबिंबित y-निर्देशांक का सूत्र y' = 2k - y है।

इस प्रश्न में, बिंदु (5, -1) है और परावर्तन की रेखा y = 2 है। परावर्तन रूपांतरण में x = 5, y = -1, और k = 2 मान रखने पर:

x' = 5 y' = 2(2) - (-1) = 4 + 1 = 5

प्रतिबिंबित बिंदु के परिणामी निर्देशांक (5, 5) हैं।

व्याख्या

Y-अक्ष को समीकरण x = 0 द्वारा परिभाषित किया जाता है। जब दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को Y-अक्ष द्वारा विभाजित किया जाता है, तो प्रतिच्छेदन बिंदु का x-निर्देशांक शून्य होना चाहिए। विभाजन सूत्र (section formula) के अनुसार, बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को m : n के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का x-निर्देशांक x = (m x₂ + n x₁)/(m + n) द्वारा दिया जाता है।

दिए गए बिंदुओं (2, 3) और (-2, 1) के लिए, हम सूत्र में x₁ = 2, x₂ = -2, और x = 0 प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें 0 = (m(-2) + n(2))/(m + n) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को m + n से गुणा करने पर 0 = -2m + 2n प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 2m = 2n प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2n से विभाजित करने पर m/n = 2/2 = 1/1 प्राप्त होता है। अतः, अनुपात m : n, 1 : 1 है।

Y-अक्ष द्वारा बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करने वाले अनुपात को ज्ञात करने की एक त्वरित विधि अनुपात सूत्र -x₁ : x₂ का उपयोग करना है। दिए गए x-निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें -2 : -2 प्राप्त होता है, जो सीधे सरल होकर 1 : 1 हो जाता है।

व्याख्या

समीकरण 2x - 5y = 12 द्वारा दी गई रेखा की प्रवणता ज्ञात करने के लिए, हम इसे प्रवणता-अंतःखंड रूप (slope-intercept form) में परिवर्तित कर सकते हैं, जिसे y = mx + c के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस रूप में, m रेखा की प्रवणता को दर्शाता है और c, y-अंतःखंड को दर्शाता है।

दिए गए समीकरण से शुरू करते हुए: 2x - 5y = 12

समीकरण के दोनों पक्षों से 2x घटाकर y वाले पद को अलग करें: -5y = -2x + 12

y का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण के प्रत्येक पद को -5 से विभाजित करें: y = ⁻²⁄₋₅x + ¹²⁄₋₅ y = ⅖x - ¹²⁄₅

इस परिणाम की तुलना प्रवणता-अंतःखंड रूप y = mx + c से करने पर, हम देख सकते हैं कि x का गुणांक ⅖ है। इसलिए, प्रवणता m, ⅖ है।

वैकल्पिक रूप से, मानक रूप Ax + By = C में किसी भी रैखिक समीकरण के लिए, प्रवणता की गणना सीधे सूत्र m = -(A)/(B) का उपयोग करके की जा सकती है। दिए गए समीकरण से गुणांकों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ A = 2 और B = -5 है: m = -²⁄₋₅ = ⅖

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी में, n पदों का योग Sₙ = ⁿ⁄₂ [2a + (n-1)d] द्वारा दिया जाता है, जहाँ a प्रथम पद है और d सार्व अंतर है। पदों की विषम संख्या के लिए, योग की गणना Sₙ = n × aₘᵢ_d के रूप में भी की जा सकती है, जहाँ aₘᵢ_d श्रेणी का मध्य पद है।

सार्व अंतर d की गणना दिए गए चौथे और सातवें पदों का उपयोग करके की जाती है: d = (a₇ - a₄)/(7 - 4) = (-4 - 11)/(3) = -5

प्रथम 11 पदों के लिए, मध्य पद छठा पद (a₆) है। चौथे पद का उपयोग करने पर: a₆ = a₄ + 2d a₆ = 11 + 2(-5) = 1

मध्य पद का उपयोग करके योग सूत्र लागू करने पर: S₁₁ = 11 × a₆ = 11 × 1 = 11

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। Δ XYZ ∼ Δ PQR के लिए, इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(क्षेत्रफल(Δ XYZ))/(क्षेत्रफल(Δ PQR)) = ((XY)/(PQ))²

दिया गया है कि संगत भुजाओं का अनुपात XY:PQ = 5:1 है और Δ PQR का क्षेत्रफल 5 वर्ग सेमी है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

(क्षेत्रफल(Δ XYZ))/(5) = (⁵⁄₁)²

(क्षेत्रफल(Δ XYZ))/(5) = 25

क्षेत्रफल(Δ XYZ) = 5 × 25 = 125 वर्ग सेमी

व्याख्या

निर्दिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय मान cot 60° = (1)/(√(3)) और sec 30° = (2)/(√(3)) हैं। दिए गए व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

cot 60° - sec 30° = (1)/(√(3)) - (2)/(√(3))

चूंकि हर समान हैं, इसलिए अंशों को सीधे घटाया जाता है:

(1 - 2)/(√(3)) = -(1)/(√(3))

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ B पर समकोण है, कोण A के सापेक्ष भुजा AB आधार (संलग्न भुजा) है, और AC कर्ण है। आधार और कर्ण के बीच का संबंध कोसाइन (cosine) त्रिकोणमितीय अनुपात द्वारा दिया जाता है:

cos(A) = (AB)/(AC)

सूत्र में दिए गए मानों m∠ A = 30° और AC = 8 सेमी को रखने पर:

cos(30°) = (AB)/(8)

चूंकि cos(30°) का मान √3/2 है, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

√3/2 = (AB)/(8)

AB के लिए हल करने पर:

AB = 8 · √3/2

AB = 4√3 सेमी

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, cot θ को आधार और लंब के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि cot θ = ²⁴⁄₇, हम आधार b = 24 और लंब p = 7 मान सकते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण h की गणना h = √(p² + b²) के रूप में की जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, h = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √(625) = 25। यह प्रसिद्ध पाइथागोरस त्रिक (7, 24, 25) के अनुरूप है।

sec θ को कर्ण और आधार के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार, sec θ = (h)/(b) = ²⁵⁄₂₄।

व्याख्या

जब किसी बिंदु (x, y) को एक ऊर्ध्वाधर रेखा x = k में प्रतिबिंबित किया जाता है, तो प्रतिबिंब का y-निर्देशांक मूल बिंदु के समान ही रहता है, जबकि x-निर्देशांक बदल जाता है। रेखा x = k, बिंदु और उसके प्रतिबिंब को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक के रूप में कार्य करती है। प्रतिबिंब के x-निर्देशांक x' को सूत्र x' = 2k - x द्वारा निर्धारित किया जाता है।

बिंदु (-1, 3) और परावर्तन रेखा x = -4 के लिए, हम सूत्र में x = -1 और k = -4 प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें x' = 2(-4) - (-1) = -8 + 1 = -7 प्राप्त होता है। चूंकि y-निर्देशांक 3 पर स्थिर रहता है, इसलिए प्रतिबिंबित बिंदु के निर्देशांक (-7, 3) हैं।

व्याख्या

एक त्रिभुज के शीर्ष के निर्देशांक (x₃, y₃) केंद्रक सूत्र से x₃ = 3x_G - x₁ - x₂ और y₃ = 3y_G - y₁ - y₂ के रूप में प्राप्त किए जाते हैं, जहाँ (x_G, y_G) केंद्रक को दर्शाता है और (x₁, y₁), (x₂, y₂) अन्य दो शीर्ष हैं। केंद्रक (1, -4) और शीर्षों A(3, -4) तथा B(0, 5) के लिए दिए गए मानों का उपयोग करने पर:

x₃ = 3(1) - 3 - 0 = 0 y₃ = 3(-4) - (-4) - 5 = -12 + 4 - 5 = -13

व्याख्या

सामान्य रूप Ax + By = C वाले एक रैखिक समीकरण के लिए, प्रवणता m सूत्र m = -A/B द्वारा दी जाती है। दिए गए समीकरण ax + 5y = 8 में, गुणांक A = a और B = 5 हैं। इसलिए, रेखा की प्रवणता m = -a/5 है।

प्रश्न में कहा गया है कि रेखा की प्रवणता -4/3 है। प्रवणता के इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:

-a/5 = -4/3

दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

a/5 = 4/3

a का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर:

a = (4 × 5) / 3 = 20/3

व्याख्या

Δ ABC में, चूंकि DE ∥ BC है, इसलिए AA समरूपता कसौटी के अनुसार Δ ADE, Δ ABC के समरूप है। इन त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई का अनुपात AD और AB द्वारा निर्धारित होता है। दिया गया है कि AD:DB = 2:5 है, लंबाई AB को AD + DB = 2 + 5 = 7 इकाई के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार, भुजाओं का अनुपात AD/AB = 2/7 है।

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस संबंध को क्षेत्रफल(Δ ADE) / क्षेत्रफल(Δ ABC) = (AD/AB)² के रूप में व्यक्त किया जाता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल(Δ ADE) / 98 = (2/7)² = 4/49 प्राप्त होता है। छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए हल करने पर, क्षेत्रफल(Δ ADE) = (4/49) × 98 = 4 × 2 = 8 वर्ग सेमी।

चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल, Δ ABC के कुल क्षेत्रफल में से छोटे त्रिभुज Δ ADE के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है। इसलिए, क्षेत्रफल(BDEC) = क्षेत्रफल(Δ ABC) - क्षेत्रफल(Δ ADE) = 98 - 8 = 90 वर्ग सेमी।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलनों के मान cot 45° = 1 और csc 60° = (1)/(sin 60°) = (2)/(√(3)) हैं। इन मानों को दिए गए व्यंजक में रखने पर:

cot 45° - (1)/(√(3)) csc 60° = 1 - (1)/(√(3)) ( (2)/(√(3)) )

व्यंजक के दूसरे भाग के पदों को गुणा करने पर:

1 - ⅔

घटाने के लिए, एक समान हर का उपयोग करने पर:

³⁄₃ - ⅔ = ⅓

व्याख्या

समकोण त्रिभुज Δ DEF में, कोण F का मान 45° दिया गया है। मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक 2 sin F × cot F है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot F = (cos F)/(sin F) का उपयोग करके, व्यंजक को सीधे सरल किया जा सकता है:

2 sin F × (cos F)/(sin F) = 2 cos F

सरल किए गए व्यंजक में मानक त्रिकोणमितीय मान cos 45° = (1)/(√(2)) रखने पर:

2 × cos 45° = 2 × (1)/(√(2)) = √2