एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कोई संख्या 80 से विभाज्य होती है यदि वह 10 और 8 दोनों से विभाज्य हो। संख्या 347XY के 10 से विभाज्य होने के लिए, अंतिम अंक Y का 0 होना आवश्यक है। Y = 0 होने पर, संख्या 347X0 बन जाती है।

347X0 के 80 से विभाज्य होने के लिए, व्यंजक 347X0 / 80 का परिणाम एक पूर्णांक होना चाहिए। यह 347X के 8 से विभाज्य होने के समतुल्य है। 8 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, संख्या के अंतिम तीन अंक, जो कि 47X हैं, 8 से विभाज्य होने चाहिए।

हम 470 को 8 से विभाजित करके और शेषफल को देखकर X का निर्धारण कर सकते हैं। 470 = (8 × 58) + 6। संख्या 47X को 8 से विभाज्य बनाने के लिए, हमें 8 के अगले गुणज, जो कि 64 है, तक पहुँचने के लिए शेषफल 6 में एक मान जोड़ना होगा। विशेष रूप से, चूंकि 472 = 8 × 59 है, इसलिए अंक X का मान 2 होना चाहिए। यदि हम अगली संभावना की जाँच करते हैं, 472 + 8 = 480, तो इससे सैकड़े का अंक बदल जाएगा। इस प्रकार, X = 2 एकमात्र एकल-अंकीय समाधान है।

X = 2 और Y = 0 होने पर, X + Y का मान = 2 + 0 = 2 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य A, B और C द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय (20, 24 और 30) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 120 इकाई है। A, B और C की दैनिक कार्य क्षमता की गणना क्रमशः 120/20 = 6 इकाई/दिन, 120/24 = 5 इकाई/दिन और 120/30 = 4 इकाई/दिन के रूप में की जाती है।

मान लीजिए कि कार्य की कुल अवधि T दिन है। प्रश्न के अनुसार, A ने 4 दिनों तक कार्य किया, C ने T दिनों की पूरी अवधि तक कार्य किया, और B ने T - 6 दिनों तक कार्य किया क्योंकि B ने कार्य पूरा होने से 6 दिन पहले कार्य छोड़ दिया था। प्रत्येक व्यक्ति द्वारा किए गए कार्य का योग कुल कार्य 120 इकाई के बराबर होना चाहिए:

A द्वारा किया गया कार्य + B द्वारा किया गया कार्य + C द्वारा किया गया कार्य = 120 (6 × 4) + 5(T - 6) + 4T = 120 24 + 5T - 30 + 4T = 120 9T - 6 = 120 9T = 126 T = 14

वैकल्पिक रूप से, हम कार्य छोड़ने के आधार पर कुल कार्य को समायोजित कर सकते हैं। 120 इकाइयों से शुरू करते हुए, हम A द्वारा पूरे किए गए 4 दिनों के कार्य (6 × 4 = 24 इकाई) को घटाते हैं, जिससे 96 इकाई बचती है। चूंकि B ने 6 दिन पहले कार्य छोड़ दिया था, हम कल्पना कर सकते हैं कि B अंत तक रुका रहा, इसके लिए हम उस कार्य को जोड़ते हैं जो B उन 6 दिनों में करता (5 × 6 = 30 इकाई) शेष कुल कार्य में जोड़ देते हैं। B और C के लिए समायोजित कार्य 96 + 30 = 126 इकाई है। कुल समय T फिर इस समायोजित कार्य को B और C की संयुक्त क्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 126 / (5 + 4) = 14 दिन।

व्याख्या

जब एक ठोस गोले को दो बराबर भागों (अर्धगोलों) में काटा जाता है, तो प्रत्येक अर्धगोले के आधार पर दो नए वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट (cross-sections) बनते हैं। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि इन दोनों नए वृत्ताकार फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होती है। चूंकि एक वृत्ताकार फलक का क्षेत्रफल π r² होता है, इसलिए कुल वृद्धि 2π r² होगी।

दिया गया व्यास d = 17.5 सेमी है, त्रिज्या r = (17.5)/(2) सेमी है। वृद्धि के सूत्र में इन मानों को रखने पर:

पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि = 2 × π × r² वृद्धि = 2 × ²²⁄₇ × ((17.5)/(2)) × ((17.5)/(2)) वृद्धि = ¹¹⁄₇ × 17.5 × 8.75 वृद्धि = 11 × 2.5 × 8.75 वृद्धि = 27.5 × 8.75 = 481.25

इसके परिणामस्वरूप कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में हुई वृद्धि 481.25 सेमी² है।

व्याख्या

छूट के बाद अंकित मूल्य (MP) और विक्रय मूल्य (SP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: SP = MP × (1 - (छूट %)/(100))।

यह देखते हुए कि छूट 34% है और वस्तु को 3168 रुपये में बेचा जाता है, हम सूत्र में मान रख सकते हैं: 3168 = MP × (1 - ³⁴⁄₁₀₀) 3168 = MP × ⁶⁶⁄₁₀₀

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: MP = (3168 × 100)/(66)

3168 को 66 से विभाजित करने पर: 3168 ÷ 6 = 528 66 ÷ 6 = 11 528 ÷ 11 = 48

इसलिए: MP = 48 × 100 = 4800

प्रतिशत पद्धति का उपयोग करने पर, चूंकि छूट 34% है, विक्रय मूल्य अंकित मूल्य के 66% (100% - 34%) को दर्शाता है। यदि 66%, 3168 रुपये के बराबर है, तो 1%, 3168 / 66 = 48 के बराबर होगा। इस प्रकार, कुल 100% अंकित मूल्य 48 × 100 = 4800 है।

व्याख्या

P और Q का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरण से शुरू करते हैं: ³⁄₇P = ⁴⁄₁₁Q हम Q को बाईं ओर के हर (denominator) में ले जाकर और P के गुणांक को उसके व्युत्क्रम (reciprocal) का उपयोग करके दाईं ओर ले जाकर अनुपात (P)/(Q) को अलग करते हैं: (P)/(Q) = ⁴⁄₁₁ ÷ ³⁄₇ भिन्नों के विभाजन में, हम पहले भिन्न को दूसरे भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं: (P)/(Q) = ⁴⁄₁₁ × ⁷⁄₃ अंशों को आपस में और हरों को आपस में गुणा करने पर प्राप्त होता है: (P)/(Q) = ²⁸⁄₃₃ इसके परिणामस्वरूप अनुपात P : Q = 28 : 33 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सभी 17 परिणामों का योग 17 × 60 = 1020 के रूप में परिकलित किया जाता है। पहले 9 परिणामों का योग 9 × 57 = 513 है, और अंतिम 9 परिणामों का योग 9 × 65 = 585 है। जब इन दोनों उपसमुच्चयों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो 9वें परिणाम की गणना दो बार की जाती है। इसलिए, 9वें परिणाम का मान इन दोनों उपसमुच्चयों के योग में से सभी 17 परिणामों के कुल योग को घटाने पर प्राप्त होता है: (513 + 585) - 1020 = 1098 - 1020 = 78। वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि का उपयोग करते हुए, पहले 9 परिणाम माध्य से प्रत्येक -3 विचलित होते हैं (9 × -3 = -27) और अंतिम 9 परिणाम प्रत्येक +5 विचलित होते हैं (9 × 5 = +45)। 9वां परिणाम माध्य और शुद्ध विचलन का योग है: 60 + (-27 + 45) = 60 + 18 = 78।

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रारंभिक क्रय मूल्य CP = 100 है। चूंकि लाभ क्रय मूल्य का 170% है, इसलिए लाभ 170 है। विक्रय मूल्य की गणना SP = CP + लाभ के रूप में की जाती है, जिससे SP = 100 + 170 = 270 प्राप्त होता है।

जब क्रय मूल्य में 20% की वृद्धि होती है, तो नया क्रय मूल्य CPₙₑ_w = 100 + 20 = 120 हो जाता है। विक्रय मूल्य 270 पर स्थिर रहता है। नया लाभ विक्रय मूल्य और नए क्रय मूल्य के बीच के अंतर द्वारा निर्धारित किया जाता है: नया लाभ = 270 - 120 = 150।

नए लाभ प्रतिशत की गणना नए क्रय मूल्य पर इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: नया लाभ प्रतिशत = (नया लाभ)/(CPₙₑ_w) × 100 नया लाभ प्रतिशत = ¹⁵⁰⁄₁₂₀ × 100 नया लाभ प्रतिशत = ⁵⁄₄ × 100 = 125%

व्याख्या

मान लीजिए कि अज्ञात संख्या को x से दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार, इस संख्या के 32% और उसी संख्या के 17% के बीच का अंतर 120 है। चूंकि दोनों प्रतिशत समान आधार मान x पर गिने जाते हैं, इसलिए हम सापेक्ष अंतर ज्ञात करने के लिए सीधे प्रतिशतों को घटा सकते हैं।

प्रतिशत अंतर = 32% - 17% = 15%

संख्या का यह 15%, वास्तविक मान 120 के बराबर है। बुनियादी प्रतिशत सूत्र का उपयोग करने पर:

¹⁵⁄₁₀₀ × x = 120

x का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

x = (120 × 100)/(15)

120 को 15 से विभाजित करने पर 8 प्राप्त होता है। इसलिए:

x = 8 × 100 = 800

व्याख्या

माना शांत जल में नाव की चाल u किमी/घंटा और धारा की चाल v किमी/घंटा है। धारा के प्रतिकूल चाल x = u - v है और धारा के अनुकूल चाल y = u + v है।

पहली शर्त के अनुसार: 15/x + 10.5/y = 3.25 दशमलव हटाने के लिए 4 से गुणा करने पर: 60/x + 42/y = 13 --- (i)

दूसरी शर्त के अनुसार: 12/x + 14/y = 3 --- (ii)

y को विलुप्त करने के लिए, समीकरण (ii) को 3 से गुणा करने पर: 36/x + 42/y = 9 --- (iii)

समीकरण (i) में से समीकरण (iii) को घटाने पर: 24/x = 4 ⟹ x = 6

समीकरण (ii) में x = 6 रखने पर: 12/6 + 14/y = 3 ⟹ 2 + 14/y = 3 ⟹ 14/y = 1 ⟹ y = 14

शांत जल में नाव की चाल, धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल चालों का औसत होती है: u = (x + y)/2 = (6 + 14)/2 = 20/2 = 10 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए उधार दी गई धनराशि P है। साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ R वार्षिक ब्याज दर है और T वर्षों में समय है। दिए गए मानों R = 5 और T = 15 को प्रतिस्थापित करने पर, ब्याज SI = (P × 5 × 15)/(100) = (75P)/(100) = 0.75P प्राप्त होता है।

प्रश्न के अनुसार, ब्याज उधार दी गई धनराशि से 250 रुपये कम है, जिसे SI = P - 250 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। SI के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: 0.75P = P - 250 P - 0.75P = 250 0.25P = 250 P = (250)/(0.25) = 1000

व्याख्या

दिया गया है कि x = 2 + √3, सबसे पहले 2x = 2(2 + √3) = 4 + 2√3 की गणना करें। √(2x) ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके 4 + 2√3 को एक पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त करें। अवलोकन करने पर, 4 + 2√3 = 3 + 1 + 2√3 = (√3)² + 1² + 2(√3)(1) = (√3 + 1)²। इसलिए, √(2x) = √3 + 1।

इसके बाद, हर का परिमेयकरण करके व्युत्क्रम (1)/(√(2x)) की गणना करें: (1)/(√(3) + 1) = (1)/(√(3) + 1) × √3 - 1{√3 - 1} = √3 - 1{3 - 1} = √3 - 1{2}।

अब, दोनों पदों का योग ज्ञात करें: √(2x) + (1)/(√(2x)) = (√3 + 1) + √3 - 1{2} = 2(√3 + 1) + (√3 - 1){2} = 2√3 + 2 + √3 - 1{2} = 3√3 + 1{2}।

व्याख्या

दिया गया है कि x + ¹⁄ₓ = k, हम बीजगणितीय संबंध x³ + (1)/(x³) = k³ - 3k का उपयोग करते हैं। k = 4 रखने पर: x³ + (1)/(x³) = 4³ - 3(4) = 64 - 12 = 52

छठी घात प्राप्त करने के लिए, हम वर्ग सर्वसमिका a² + (1)/(a²) = (a + ¹⁄ₐ)² - 2 का उपयोग करते हैं। a = x³ रखने पर, हम ऊपर प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करते हैं: x⁶ + (1)/(x⁶) = (x³ + (1)/(x³))² - 2 x⁶ + (1)/(x⁶) = 52² - 2 = 2704 - 2 = 2702

इसे पहले x + ¹⁄ₓ का वर्ग करके x² + (1)/(x²) = 4² - 2 = 14 प्राप्त करके, और फिर उस परिणाम का घन करके भी सत्यापित किया जा सकता है: 14³ - 3(14) = 2744 - 42 = 2702।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को दोनों पदों के लिए एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करके सरल किया जा सकता है। चूंकि y² - 1 = (y + 1)(y - 1) है, इसलिए व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: (1)/(y+1) + (2y+1)/((y+1)(y-1)) = ((y-1) + (2y+1))/((y+1)(y-1)) = (3y)/(y²-1)

इसे x के पदों में ज्ञात करने के लिए, सरलीकृत रूप में y = ²⁻ˣ⁄₁₊ₓ प्रतिस्थापित करें। अंश 3y इस प्रकार हो जाता है: 3y = ³⁽²⁻ˣ⁾⁄₁₊ₓ

हर y²-1 की गणना y को प्रतिस्थापित करके की जाती है: y²-1 = (²⁻ˣ⁄₁₊ₓ)² - 1 = ((2-x)² - (1+x)²)/((1+x)²)

अंश में वर्गों का विस्तार करने पर (4 - 4x + x²) - (1 + 2x + x²) = 3 - 6x प्राप्त होता है, जो सरल होकर 3(1-2x) हो जाता है। इस प्रकार, हर है: y²-1 = (3(1-2x))/((1+x)²)

अंश और हर को मिलाने पर: ³⁽²⁻ˣ⁾⁄₁₊ₓ ÷ (3(1-2x))/((1+x)²) = ³⁽²⁻ˣ⁾⁄₁₊ₓ · ((1+x)²)/(3(1-2x))

3 के उभयनिष्ठ गुणनखंड और (1+x) के एक गुणनखंड को निरस्त (cancel) करने के बाद, परिणामी व्यंजक है: ⁽²⁻ˣ⁾⁽¹⁺ˣ⁾⁄₁₋₂ₓ

यह परिणाम विकल्प C में दिए गए अंश और हर के युग्म से मेल खाता है।

व्याख्या

बिंदु P त्रिभुज ABC का अंतःकेंद्र है क्योंकि यह ∠ ABC और ∠ ACB के आंतरिक कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। किसी भी त्रिभुज में, दो कोणों के समद्विभाजकों द्वारा अंतःकेंद्र पर बनने वाला कोण इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: ∠ BPC = 90° + ½ ∠ BAC।

दिया गया है कि ∠ BAC = 50°, इस मान को सूत्र में रखने पर: ∠ BPC = 90° + ½ (50°) ∠ BPC = 90° + 25° ∠ BPC = 115°

वैकल्पिक रूप से, त्रिभुज ABC में, कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 50° = 130°। चूंकि BP और CP समद्विभाजक हैं, इसलिए ∠ PBC + ∠ PCB = ½ (∠ ABC + ∠ ACB) = ½ (130°) = 65°। त्रिभुज BPC में, कोणों का योग भी 180° होना चाहिए, इसलिए ∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - 65° = 115°।

व्याख्या

समान त्रिज्या r वाले दो प्रतिच्छेदी वृत्तों में, केंद्रों C₁C₂ को जोड़ने वाला रेखाखंड और उभयनिष्ठ जीवा PQ एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं। मान लीजिए कि M उनका प्रतिच्छेद बिंदु है। केंद्र से इस प्रतिच्छेद बिंदु की दूरी C₁M = C₁C₂/2 = ⁴⁰⁄₂ = 20 सेमी है। प्रतिच्छेद बिंदु से जीवा के एक छोर की दूरी PM = (PQ)/(2) = ³⁰⁄₂ = 15 सेमी है। त्रिज्या r समकोण त्रिभुज △ C₁MP का कर्ण बनाती है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, r² = C₁M² + PM²। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, r² = 20² + 15², जिससे r² = 400 + 225 = 625 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, r = √(625) = 25 सेमी। यह 5 के गुणक द्वारा बढ़ाए गए 3:4:5 पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) अनुपात का अनुसरण करता है, जहाँ 15:20:25 सीधे त्रिज्या की पहचान करता है।

व्याख्या

चूंकि ST, भुजा PQ का लंब समद्विभाजक है, इसलिए ST पर प्रत्येक बिंदु अंत बिंदुओं P और Q से समान दूरी पर (समदूरस्थ) है। बिंदु T इस समद्विभाजक पर स्थित है, इसलिए PT = QT।

△ PTQ में, चूंकि PT = QT है, इसलिए आधार कोण बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि ∠ TPQ = ∠ TQP।

माना ∠ PQR (जो कि ∠ TQP के समान है) x है। तो ∠ TPQ भी x होगा। △ PQR में शीर्ष P पर कुल कोण ∠ TPR और ∠ TPQ का योग है, इसलिए ∠ P = 46° + x।

△ PQR में, अंतः कोणों का योग 180° होता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: ∠ P + ∠ Q + ∠ R = 180° (46° + x) + x + 54° = 180° 2x + 100° = 180° 2x = 80° x = 40°

व्याख्या

व्यंजक (cot A + tan B)/(cot B + tan A) को सूत्र में cot A = (1)/(tan A) और cot B = (1)/(tan B) प्रतिस्थापित करके सरल किया जा सकता है। यह रूपांतरण सभी पदों को tangent फलन के पदों में व्यक्त करने की अनुमति देता है:

(1)/(tan A) + tan B{(1)/(tan B) + tan A}

उभयनिष्ठ हर (common denominators) लेकर अंश और हर को अलग-अलग सरल करने पर:

(1 + tan A tan B)/(tan A){(1 + tan A tan B)/(tan B)}

दोनों भिन्नों को विभाजित करने पर, पद (1 + tan A tan B) निरस्त (cancel) हो जाता है:

(1 + tan A tan B)/(tan A) × (tan B)/(1 + tan A tan B) = (tan B)/(tan A)

त्रिकोणमितीय संबंध (1)/(tan A) = cot A का उपयोग करने पर, व्यंजक सीधे tan B cot A के रूप में सरल हो जाता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ = 1 - sin² θ का उपयोग करके, दिए गए समीकरण cos² θ - sin θ = 1/4 को पूरी तरह से sin θ के पदों में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: 1 - sin² θ - sin θ = 1/4

भिन्न को समाप्त करने के लिए, पूरे समीकरण को 4 से गुणा करें: 4 - 4sin² θ - 4sin θ = 1

पदों को एक मानक द्विघात समीकरण रूप ax² + bx + c = 0 में पुनर्व्यवस्थित करने पर जहाँ x = sin θ: 4sin² θ + 4sin θ - 3 = 0

गुणनखंडन विधि का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: 4sin² θ + 6sin θ - 2sin θ - 3 = 0 2sin θ(2sin θ + 3) - 1(2sin θ + 3) = 0 (2sin θ - 1)(2sin θ + 3) = 0

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर sin θ = 1/2 या sin θ = -3/2 प्राप्त होता है। चूँकि ज्या (sine) फलन का परिसर अंतराल [-1, 1] तक सीमित है, इसलिए एक वास्तविक कोण θ के लिए मान -3/2 गणितीय रूप से असंभव है। इसलिए, एकमात्र मान्य हल sin θ = 1/2 है।

व्याख्या

वर्ष 2012 में वाणिज्य का अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या 148 थी, और वर्ष 2016 में वाणिज्य का अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या 168 थी। प्रतिशत वृद्धि की गणना करने के लिए, मानक सूत्र का उपयोग किया जाता है:

प्रतिशत वृद्धि = (अंतिम मान - प्रारंभिक मान)/(प्रारंभिक मान) × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: वृद्धि = 168 - 148 = 20 प्रतिशत वृद्धि = ²⁰⁄₁₄₈ × 100

भिन्न को सरल करने पर: ²⁰⁄₁₄₈ × 100 = ⁵⁄₃₇ × 100 = ⁵⁰⁰⁄₃₇

भाग करने पर: 500 ÷ 37 ≈ 13.5135

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, 2012 से 2016 तक वाणिज्य के छात्रों की संख्या में प्रतिशत वृद्धि 13.51 है।

व्याख्या

साधारण वार्षिक वृद्धि दर (SAGR) की गणना किसी अवधि में कुल प्रतिशत वृद्धि को उस अवधि के वर्षों की संख्या से विभाजित करके की जाती है। सूत्र इस प्रकार है: SAGR = V_fᵢₙₐₗ - Vᵢₙᵢₜᵢₐₗ{Vᵢₙᵢₜᵢₐₗ × n} × 100

दी गई तालिका से, वर्ष 2012 के लिए व्यवसाय में छात्रों की संख्या (Vᵢₙᵢₜᵢₐₗ) 32 है और वर्ष 2016 के लिए (V_fᵢₙₐₗ) 48 है। 2012 से 2016 तक वर्षों की संख्या (n) 2016 - 2012 = 4 है।

सबसे पहले, चार वर्ष की अवधि में कुल वृद्धि प्रतिशत की गणना करें: कुल वृद्धि प्रतिशत = (48 - 32)/(32) × 100 = ¹⁶⁄₃₂ × 100 = 50%

अब, साधारण वार्षिक वृद्धि दर ज्ञात करने के लिए कुल वृद्धि प्रतिशत को वर्षों की संख्या से विभाजित करें: SAGR = (50%)/(4) = 12.5%

व्याख्या

समान समयावधि में दो श्रेणियों में छात्रों की औसत संख्या का अनुपात उनके कुल योग के अनुपात के बराबर होता है। कला और विज्ञान के छात्रों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले 2012 से 2016 तक प्रत्येक श्रेणी के मानों का योग करते हैं।

कला में छात्रों की कुल संख्या = 48 + 56 + 64 + 78 + 92 = 338 विज्ञान में छात्रों की कुल संख्या = 105 + 123 + 125 + 148 + 161 = 662

छात्रों की औसत संख्या की गणना कुल योग को वर्षों की संख्या (n = 5) से विभाजित करके की जाती है। अभीष्ट अनुपात है:

अनुपात = (कला का योग / 5) / (विज्ञान का योग / 5) = ³³⁸⁄₆₆₂

अंश और हर दोनों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:

अनुपात = ¹⁶⁹⁄₃₃₁

व्याख्या

प्रत्येक वर्ष के लिए छात्रों की कुल संख्या की गणना कला, विज्ञान, वाणिज्य और व्यवसाय के छात्रों को जोड़कर की जाती है। 2012 के लिए, कुल संख्या = 48 + 105 + 148 + 32 = 333 है। 2013 के लिए, कुल संख्या = 56 + 123 + 136 + 30 = 345 है। 2014 के लिए, कुल संख्या = 64 + 125 + 144 + 36 = 369 है। 2015 के लिए, कुल संख्या = 78 + 148 + 156 + 36 = 418 है। 2016 के लिए, कुल संख्या = 92 + 161 + 168 + 48 = 469 है।

पिछले वर्ष की तुलना में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, इस सूत्र का उपयोग करें: प्रतिशत वृद्धि = [(वर्तमान_कुल - पिछला_कुल) / पिछला_कुल] × 100

वृद्धि इस प्रकार है: 2013 के लिए: (345 - 333)/(333) × 100 = ¹²⁄₃₃₃ × 100 ≈ 3.61% 2014 के लिए: (369 - 345)/(345) × 100 = ²⁴⁄₃₄₅ × 100 ≈ 6.96% 2015 के लिए: (418 - 369)/(369) × 100 = ⁴⁹⁄₃₆₉ × 100 ≈ 13.28% 2016 के लिए: (469 - 418)/(418) × 100 = ⁵¹⁄₄₁₈ × 100 ≈ 12.20%

इन मानों की तुलना करने पर, वर्ष 2015 में लगभग 13.28% की अधिकतम प्रतिशत वृद्धि दिखाई देती है।

व्याख्या

एक संख्या जो पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन दोनों है, वह अवश्य ही एक पूर्ण छठी घात होनी चाहिए। यदि n = x² और n = y³ है, तो n के अभाज्य गुणनखंडन में घातांक 2 और 3 दोनों के गुणज होने चाहिए, जिसका अर्थ है कि वे lcm(2, 3) = 6 के गुणज होने चाहिए। इसलिए, हम ऐसे पूर्णांक k की खोज कर रहे हैं ताकि 2000 ≤ k⁶ ≤ 7000 हो।

क्रमिक छठी घातों का मूल्यांकन करने पर: 1⁶ = 1 2⁶ = 64 3⁶ = 729 4⁶ = (2²)⁶ = 2¹² = 4096 5⁶ = 15625

इन मानों की तुलना 2000 से 7000 की दी गई सीमा से करने पर, केवल 4096 ही इसमें उपयुक्त बैठता है। अतः, ऐसी ठीक एक ही संख्या है।

व्याख्या

कार्य से संबंधित उन प्रश्नों के लिए जिनमें 'या' (or) और 'और' (and) की शर्तें शामिल होती हैं, संयुक्त समूह द्वारा लिए गए समय को कार्यक्षमताओं के अनुपात या सीधे सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है। दिया गया है कि 3 पुरुष या 4 महिलाएं कार्य को 120 दिनों में पूरा कर सकते हैं, हम कार्यक्षमता संबंध को 3M = 4W के रूप में स्थापित कर सकते हैं, जिसका अर्थ है 1M = ⁴⁄₃W।

12 पुरुषों और 16 महिलाओं द्वारा मिलकर कार्य करने में लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम पहले पूरे समूह को एक ही इकाई (महिला) में परिवर्तित करते हैं। संयुक्त संख्या इस प्रकार है: 12M + 16W = 12(⁴⁄₃W) + 16W = 16W + 16W = 32W

कार्य-दर सूत्र M₁ D₁ = M₂ D₂ का उपयोग करने पर, जहाँ M₁ = 4 महिलाएं और D₁ = 120 दिन हैं: 4 × 120 = 32 × D₂ 480 = 32 × D₂ D₂ = ⁴⁸⁰⁄₃₂ = 15 दिन

वैकल्पिक रूप से, ऐसे प्रश्नों के लिए संक्षिप्त सूत्र (shortcut formula) का उपयोग करने पर: समय = (दिए गए दिन) / [('और' वाले पुरुष / 'या' वाले पुरुष) + ('और' वाली महिलाएं / 'या' वाली महिलाएं)] समय = (120) / [(12/3) + (16/4)] समय = (120) / (4 + 4) = ¹²⁰⁄₈ = 15 दिन

व्याख्या

एक अर्धगोले का आयतन V सूत्र V = ⅔ π r³ का उपयोग करके निकाला जाता है, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है। दिया गया है कि व्यास 21 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = ²¹⁄₂ = 10.5 सेमी। सूत्र में मान रखने पर:

V = ⅔ × ²²⁄₇ × (²¹⁄₂)³

V = ⅔ × ²²⁄₇ × ²¹⁄₂ × ²¹⁄₂ × ²¹⁄₂

गणना को सरल बनाने के लिए, अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को काटें। हर में 3 × 7 पद अंश में एक 21 को काट देते हैं। हर में 2 का एक गुणनखंड गुणांक ⅔ से 2 को काट देता है, और 2 का दूसरा गुणनखंड 22 को घटाकर 11 कर देता है। इससे बचता है:

V = (11 × 21 × 21)/(2)

V = (11 × 441)/(2)

V = ⁴⁸⁵¹⁄₂ = 2425.5

अर्धगोले का आयतन 2425.5 सेमी³ है।

व्याख्या

वस्तु के अंकित मूल्य की गणना क्रमिक छूट के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। माना अंकित मूल्य M है। दो क्रमिक छूटों d₁ और d₂ के बाद विक्रय मूल्य S इस संबंध द्वारा दिया जाता है: S = M × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100))।

दिया गया है S = 16896, d₁ = 20%, और d₂ = 12%, हम सूत्र में मान प्रतिस्थापित करते हैं:

16896 = M × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ¹²⁄₁₀₀) 16896 = M × 0.8 × 0.88 16896 = M × 0.704

M ज्ञात करने के लिए, विक्रय मूल्य को संयुक्त गुणक से विभाजित करें:

M = (16896)/(0.704) M = 24000

वैकल्पिक रूप से, दो क्रमिक छूटों x% और y% के लिए प्रभावी एकल छूट x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ होती है। दी गई दरों को प्रतिस्थापित करने पर, प्रभावी छूट 20 + 12 - (20 × 12)/(100) = 32 - 2.4 = 29.6% है। इसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 100% - 29.6% = 70.4% है। M का 70.4% = 16896 रखने पर, M = (16896)/(70.4) × 100 = 24000 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक निश्चित दूरी के लिए, चाल लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जैसा कि सूत्र D = S × T से प्राप्त होता है। दिया गया है कि चालों का अनुपात S₁ : S₂ : S₃ = 3 : 4 : 6 है, इसलिए लिए गए समय का अनुपात T₁ : T₂ : T₃ चालों के व्युत्क्रम द्वारा दर्शाया जाता है: ⅓ : ¼ : ⅙। इन भिन्नों को एक पूर्ण संख्या अनुपात में बदलने के लिए, प्रत्येक पद को हरों 3, 4 और 6 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 12 है, से गुणा करें। गणना इस प्रकार है: (⅓ × 12) : (¼ × 12) : (⅙ × 12), जो सरल होकर 4 : 3 : 2 हो जाता है।

व्याख्या

सभी 7 खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए कुल रनों को सूत्र कुल = औसत × प्रेक्षणों की संख्या द्वारा निर्धारित किया जाता है। चूंकि 7 खिलाड़ियों का औसत 53 है, इसलिए बनाए गए कुल रन 53 × 7 = 371 हैं।

पहले 6 खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रनों का योग 121 + 40 + 26 + 56 + 37 + 48 = 328 है। 7वें खिलाड़ी द्वारा बनाए गए रनों को ज्ञात करने के लिए, सभी 7 खिलाड़ियों के कुल रनों में से इन 6 खिलाड़ियों के रनों के योग को घटाएं: 371 - 328 = 43।

व्याख्या

साइकिल का कुल क्रय मूल्य (CP) खरीद मूल्य और मरम्मत के खर्च का योग है। इसलिए, क्रय मूल्य (CP) = 2700 + 500 = 3200। विक्रय मूल्य (SP) 3520 है।

लाभ को सूत्र SP - CP द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिससे 3520 - 3200 = 320 प्राप्त होता है।

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ प्रतिशत = ³²⁰⁄₃₂₀₀ × 100 = ⅒ × 100 = 10%

व्याख्या

जब किसी वस्तु पर होने वाला व्यय स्थिर रखना हो, तो खपत मूल्य के व्युत्क्रमानुपाती होनी चाहिए। यह संबंध इस सूत्र द्वारा परिभाषित होता है: व्यय = मूल्य × खपत। मूल्य वृद्धि के बाद खपत में आवश्यक प्रतिशत कमी ज्ञात करने का सूत्र है:

प्रतिशत कमी = (नया मूल्य - प्रारंभिक मूल्य)/(नया मूल्य) × 100

इस स्थिति में, प्रारंभिक मूल्य 24 रुपये/किग्रा है और नया मूल्य 36 रुपये/किग्रा है। मूल्य में वास्तविक वृद्धि 36 - 24 = 12 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

प्रतिशत कमी = ¹²⁄₃₆ × 100

प्रतिशत कमी = ⅓ × 100

गणना के परिणामस्वरूप 33.33% प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि मूल्य में 50% की वृद्धि की भरपाई करने के लिए खपत को उसके प्रारंभिक स्तर से एक-तिहाई कम किया जाना चाहिए, जिससे प्याज का कुल बजट अपरिवर्तित रहे। इसे इस बात से सत्यापित किया जा सकता है कि यदि कोई परिवार मूल रूप से 72 रुपये (24 × 3) में 3 किग्रा प्याज खरीदता था, तो अब उन्हें उसी 72 रुपये (36 × 2) में 2 किग्रा प्याज खरीदना होगा, जो कि 3 किग्रा में से 1 किग्रा की कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

ट्रेन की गति और कार की गति का अनुपात 1.2 : 1 है, जिसे सरल करने पर 6 : 5 प्राप्त होता है। चूंकि एक निश्चित दूरी के लिए गति और समय एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती (inversely proportional) होते हैं, इसलिए ट्रेन द्वारा लिए गए समय (चलने का समय) और कार द्वारा लिए गए समय का अनुपात 5 : 6 है।

समय के इन अनुपातों में अंतर 6 - 5 = 1 इकाई है। यह 1 इकाई उन 30 मिनटों या 0.5 घंटों को दर्शाती है, जो ट्रेन ने विभिन्न स्टेशनों पर बिताए। चूंकि ट्रेन इस अवधि के लिए रुकी थी, इसलिए अधिक तेज़ होने के बावजूद वह धीमी गति से चलने वाली कार के साथ ही पहुँची।

समय इकाई के मान का उपयोग करने पर: 1 इकाई = 0.5 घंटे ट्रेन के चलने का समय = 5 × 0.5 = 2.5 घंटे

ट्रेन की गति की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: गति = (दूरी)/(समय) गति = (180 किमी)/(2.5 घंटे) = 72 किमी/घंटा

व्याख्या

समीकरण (x/y)ᵃ⁻⁴ = (y/x)²ᵃ⁻⁵ को दोनों पक्षों को समान आधार के रूप में व्यक्त करके सरल किया जा सकता है। चूंकि (y/x) = (x/y)⁻¹ है, इसलिए यह व्यंजक (x/y)ᵃ⁻⁴ = ((x/y)⁻¹)²ᵃ⁻⁵ हो जाता है, जो सरल होकर (x/y)ᵃ⁻⁴ = (x/y)⁵⁻²ᵃ हो जाता है।

uᵐ = uⁿ के रूप वाले समीकरण के सत्य होने के लिए, कई संभावित गणितीय शर्तें होती हैं। एक शर्त यह है कि घातांक बराबर हों, अर्थात् m = n। घातांकों को बराबर रखने पर, a - 4 = 5 - 2a, जिसके परिणामस्वरूप 3a = 9 प्राप्त होता है, जिससे a = 3 मिलता है। यदि अचर a का मान 3 है, तो मूल समीकरण (x/y)⁻¹ = (y/x)¹ हो जाता है, जो सरल होकर y/x = y/x हो जाता है। यह एक सर्वसमिका (identity) है जो x और y के किसी भी गैर-शून्य (non-zero) मानों के लिए सत्य है, जिससे कोई भी संबंध संभव है जहाँ x, y से बड़ा, छोटा या उसके बराबर हो सकता है।

दूसरी शर्त यह है कि आधार x/y का मान 1 के बराबर हो, जिसका अर्थ है x = y। यदि x = y है, तो समीकरण 1ᵃ⁻⁴ = 1²ᵃ⁻⁵, a के किसी भी मान के लिए सत्य है। चूंकि प्रश्न में a का मान निर्दिष्ट नहीं किया गया है, इसलिए यह निर्धारित करना संभव नहीं है कि क्या x का y के बराबर होना आवश्यक है या क्या x और y कोई भी गैर-शून्य संख्याएं हो सकती हैं। अचर a पर प्रतिबंधों की कमी का अर्थ है कि x और y के बीच का संबंध अपरिभाषित रहता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 3a - ³⁄ₐ - 3 = 0 है। पूरे समीकरण को 3 से भाग देने पर, हमें a - ¹⁄ₐ - 1 = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर a - ¹⁄ₐ = 1 हो जाता है।

a³ - (1)/(a³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (x - y)³ = x³ - y³ - 3xy(x - y) का उपयोग करते हैं। x = a और y = ¹⁄ₐ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (a - ¹⁄ₐ)³ = a³ - (1)/(a³) - 3(a)(¹⁄ₐ)(a - ¹⁄ₐ) (a - ¹⁄ₐ)³ = a³ - (1)/(a³) - 3(a - ¹⁄ₐ)

अब, इस समीकरण में a - ¹⁄ₐ = 1 मान प्रतिस्थापित करें: 1³ = a³ - (1)/(a³) - 3(1) 1 = a³ - (1)/(a³) - 3 a³ - (1)/(a³) = 1 + 3 = 4

प्रश्न में a³ - (1)/(a³) + 2 का मान पूछा गया है। परिकलित मान प्रतिस्थापित करने पर: 4 + 2 = 6

व्याख्या

△ ABC में, AD भुजा BC पर माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि BD = DC = ½ BC। प्रश्न में दिया गया है कि AD = ½ BC, इसलिए AD = BD = DC। चूंकि बिंदु D से तीनों शीर्षों A, B और C की दूरी बराबर है, इसलिए D, △ ABC का परिकेंद्र है, और BC परिवृत्त का व्यास है। थेल्स के प्रमेय के अनुसार, व्यास द्वारा परिधि पर अंतरित कोण 90° होता है, इसलिए ∠ BAC = 90°। △ ADC में, चूंकि AD = DC है, इसलिए यह त्रिभुज समद्विबाहु है और ∠ DAC = ∠ ACD = 40° है। इसलिए, ∠ DAB = ∠ BAC - ∠ DAC = 90° - 40° = 50°।

व्याख्या

△ ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ BAC = 75° और ∠ BCA = 80°, हम तीसरा कोण ∠ ABC = 180° - (75° + 80°) = 25° प्राप्त करते हैं।

एक त्रिभुज का परिकेंद्र O, सभी शीर्षों A, B और C से होकर गुजरने वाले वृत्त का केंद्र होता है। केंद्रीय कोण प्रमेय के अनुसार, किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, परिधि पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। इसलिए, जीवा AC द्वारा केंद्र O पर अंतरित कोण ∠ AOC = 2 × ∠ ABC = 2 × 25° = 50° है।

△ OAC में, भुजाएँ OA और OC बराबर हैं क्योंकि वे समान परिवृत्त की त्रिज्याएँ हैं। यह △ OAC को एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है जहाँ आधार कोण ∠ OAC और ∠ OCA बराबर हैं। △ OAC के लिए कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर: ∠ OAC + ∠ OCA + ∠ AOC = 180° 2 × ∠ OAC + 50° = 180° 2 × ∠ OAC = 130° ∠ OAC = 65°

व्याख्या

एक समचतुर्भुज में जहाँ छोटा विकर्ण भुजा की लंबाई के बराबर होता है, वहाँ समचतुर्भुज दो समबाहु त्रिभुजों से मिलकर बना होता है। यदि भुजा की लंबाई s = 4 सेमी है, तो छोटा विकर्ण d₁ भी 4 सेमी होगा। ऐसे समचतुर्भुज का बड़ा विकर्ण d₂ सूत्र d₂ = √3 × s द्वारा दिया जाता है। s का मान रखने पर, हमें d₂ = 4√3 सेमी प्राप्त होता है।

वांछित समबाहु त्रिभुज की भुजा इस बड़े विकर्ण के बराबर है, इसलिए a = 4√3 सेमी। एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = (√3/4) a² का उपयोग करके निकाला जाता है। a का मान रखने पर:

क्षेत्रफल = (√3/4) × (4√3)² क्षेत्रफल = (√3/4) × 48 क्षेत्रफल = 12√3 सेमी²

व्याख्या

व्यंजक (cos A + sin A)(cot A + tan A) को सरल करने के लिए, हम मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot A + tan A = (1)/(sin A cos A) का उपयोग करते हैं। यह सर्वसमिका cot A को (cos A)/(sin A) और tan A को (sin A)/(cos A) के रूप में व्यक्त करके प्राप्त की जाती है, जिससे (cos² A + sin² A)/(sin A cos A) = (1)/(sin A cos A) प्राप्त होता है।

इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (cos A + sin A) × (1)/(sin A cos A)

पदों को वितरित करने पर प्राप्त होता है: (cos A)/(sin A cos A) + (sin A)/(sin A cos A)

अंश और हर में उभयनिष्ठ पदों को निरस्त करने पर, हमें प्राप्त होता है: (1)/(sin A) + (1)/(cos A)

व्युत्क्रम सर्वसमिकाओं (1)/(sin A) = csc A और (1)/(cos A) = sec A का उपयोग करने पर, व्यंजक सरल होकर csc A + sec A हो जाता है, जो कि sec A + csc A के समान है।

व्याख्या

cos θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरण 2 cos θ = 2 - sin θ को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि साइन (sine) पद को sin θ = 2 - 2 cos θ के रूप में अलग किया जा सके। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर sin² θ = (2 - 2 cos θ)² प्राप्त होता है, जिसका विस्तार करने पर sin² θ = 4 - 8 cos θ + 4 cos² θ प्राप्त होता है। मूलभूत सर्वसमिका sin² θ = 1 - cos² θ का उपयोग करते हुए, हम प्रतिस्थापित करते हैं जिससे 1 - cos² θ = 4 - 8 cos θ + 4 cos² θ प्राप्त होता है।

समान पदों को मिलाने पर द्विघात समीकरण 5 cos² θ - 8 cos θ + 3 = 0 प्राप्त होता है। इसे (5 cos θ - 3)(cos θ - 1) = 0 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर cos θ के संभावित मान प्राप्त होते हैं। 5 cos θ - 3 = 0 से, हमें cos θ = 3/5 प्राप्त होता है, और cos θ - 1 = 0 से, हमें cos θ = 1 प्राप्त होता है। दोनों मान मान्य हैं क्योंकि वे कोसाइन (cosine) फलन के परिसर के अंतर्गत आते हैं और मूल संबंध को संतुष्ट करते हैं।

व्याख्या

औसत निर्यात और औसत आयात के बीच का अंतर वार्षिक व्यापार संतुलन (निर्यात घटाव आयात) के औसत की गणना करके निर्धारित किया जाता है। इस कुल व्यापार श्रृंखला से जुड़े आंकड़ों के आधार पर, पांच वर्षों में से प्रत्येक के लिए निर्यात और आयात मूल्य इस प्रकार हैं: 3800 के कुल योग के लिए 1850 और 1950, 3600 के कुल योग के लिए 1750 और 1850, 2800 के कुल योग के लिए 1350 और 1450, 3900 के कुल योग के लिए 2100 और 1800, तथा 5000 के कुल योग के लिए 2650 और 2350।

सबसे पहले, निर्यात का योग ज्ञात करें: 1850 + 1750 + 1350 + 2100 + 2650 = 9700 करोड़ डॉलर। इसके बाद, आयात का योग ज्ञात करें: 1950 + 1850 + 1450 + 1800 + 2350 = 9400 करोड़ डॉलर। इसके बाद निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके औसतों में अंतर ज्ञात किया जाता है:

औसतों में अंतर = (Σ निर्यात - Σ आयात)/(n)

औसतों में अंतर = (9700 - 9400)/(5) = ³⁰⁰⁄₅ = 60

व्याख्या

1 और 200 के बीच उन पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जो 3 से विभाज्य हैं लेकिन 7 से नहीं, हम अपवर्जन के सिद्धांत (principle of exclusion) का उपयोग करते हैं। हम पहले इस सीमा में 3 के गुणजों की कुल संख्या की गणना करते हैं और फिर उन संख्याओं को घटाते हैं जो 7 के भी गुणज हैं। कोई संख्या 3 और 7 दोनों से तभी विभाज्य होती है जब वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाज्य हो, जो कि LCM(3, 7) = 21 है।

x तक n के गुणजों की संख्या महत्तम पूर्णांक फलन (floor function) ⌊ ˣ⁄ₙ ⌋ द्वारा दी जाती है।

3 के गुणजों की संख्या: ⌊ ²⁰⁰⁄₃ ⌋ = 66

21 के गुणजों की संख्या: ⌊ ²⁰⁰⁄₂₁ ⌋ = 9

3 से विभाज्य लेकिन 7 से विभाज्य न होने वाली संख्याओं की संख्या 66 - 9 = 57 है।

व्याख्या

किया गया कुल कार्य व्यक्तियों की संख्या, लिए गए समय और उनकी संबंधित कार्यक्षमताओं का गुणनफल होता है। माना एक महिला की कार्यक्षमता W, एक पुरुष की कार्यक्षमता M और एक बच्चे की कार्यक्षमता C है। चूंकि तीनों मामलों में किया गया कार्य समान है, इसलिए हम कुल कार्य को बराबर रख सकते हैं:

10 × 6 × W = 6 × 5 × M = 8 × 10 × C

60W = 30M = 80C

संपूर्ण समीकरण को 10 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

6W = 3M = 8C

अनुपात W : M : C ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक पद को गुणांकों 6, 3 और 8 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाजित करते हैं। 6, 3 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 24 है।

(6W)/(24) = (3M)/(24) = (8C)/(24)

(W)/(4) = (M)/(8) = (C)/(3)

इस प्रकार, एक महिला, एक पुरुष और एक बच्चे की कार्यक्षमता का अनुपात 4 : 8 : 3 है।

व्याख्या

एक बेलन का आयतन सूत्र V = π r² h = A × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ A आधार का क्षेत्रफल है और h ऊँचाई है। मान लीजिए कि दो बेलनों के आयतन, आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाइयाँ क्रमशः V₁, V₂, A₁, A₂ और h₁, h₂ हैं।

आयतनों का अनुपात है: (V₁)/(V₂) = (A₁ × h₁)/(A₂ × h₂)

दिए गए मानों (V₁)/(V₂) = ⁷⁄₃, (h₁)/(h₂) = ⁷⁄₉, और A₂ = 154 सेमी² को प्रतिस्थापित करने पर: ⁷⁄₃ = (A₁)/(154) × ⁷⁄₉

A₁ के लिए हल करने पर: A₁ = ⁷⁄₃ × ⁹⁄₇ × 154 = 3 × 154 = 462 सेमी²

चूंकि आधार का क्षेत्रफल A₁ = π r₁² है, जहाँ r₁ पहले बेलन की त्रिज्या है: ²²⁄₇ × r₁² = 462 r₁² = (462 × 7)/(22) r₁² = 21 × 7 = 147 r₁ = √(147) = √(49 × 3) = 7√3 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि घड़ी का अंकित मूल्य (MP) 100 है। कंचन ने घड़ी को 25% की छूट पर खरीदा, इसलिए उसका क्रय मूल्य (CP) 100 - (0.25 × 100) = 75 है। फिर उसने घड़ी को अपने खरीद मूल्य पर 75% के लाभ पर बेचा। उसका विक्रय मूल्य (SP) 75 + (0.75 × 75) = 75 + 56.25 = 131.25 है। प्रश्न में मूल अंकित मूल्य के सापेक्ष लाभ प्रतिशत पूछा गया है। अंकित मूल्य पर अर्जित लाभ SP - MP = 131.25 - 100 = 31.25 है। अंकित मूल्य पर प्रतिशत लाभ की गणना ((SP - MP)/(MP)) × 100 के रूप में की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ((31.25)/(100)) × 100 = 31.25% प्राप्त होता है।

व्याख्या

8400 रुपये की कुल राशि को 6 : 8 : 7 के अनुपात में विभाजित किया गया है। अनुपातों का योग 6 + 8 + 7 = 21 है। आय के लिए एक इकाई का मान 8400 / 21 = 400 है। इस प्रकार, A, B और C की आय क्रमशः 6 × 400 = 2400, 8 × 400 = 3200 और 7 × 400 = 2800 है।

बचत 3 : 2 : 4 के अनुपात में है। यह देखते हुए कि B की बचत 400 रुपये है, जो अनुपात में 2 इकाइयों के संगत है, बचत के लिए एक इकाई का मान 400 / 2 = 200 है। परिणामस्वरूप, A, B और C की बचत क्रमशः 3 × 200 = 600, 2 × 200 = 400 और 4 × 200 = 800 है।

व्यय की गणना आय में से बचत घटाकर की जाती है। A का व्यय = 2400 - 600 = 1800 B का व्यय = 3200 - 400 = 2800 C का व्यय = 2800 - 800 = 2000

उनके व्यय का अनुपात 1800 : 2800 : 2000 है। प्रत्येक पद को 200 से विभाजित करने पर, हमें सरल अनुपात 9 : 14 : 10 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सही औसत की गणना समायोजन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: सही औसत = गलत औसत + (वास्तविक मान - गलत मान)/(n)। यहाँ, छात्रों की संख्या n = 24 है, प्रारंभिक औसत 12 वर्ष है, छात्र की वास्तविक आयु 8 वर्ष है, और गलत तरीके से दर्ज की गई आयु 14 वर्ष है।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: सही औसत = 12 + (8 - 14)/(24) सही औसत = 12 - ⁶⁄₂₄ सही औसत = 12 - 0.25 सही औसत = 11.75

इस त्रुटि के कारण कुल योग में 14 - 8 = 6 वर्ष का अधिक आकलन हो गया था। सही औसत ज्ञात करने के लिए, इस अतिरिक्त योग को सभी 24 छात्रों में वितरित किया जाना चाहिए। इसलिए, औसत में 6 / 24 = 0.25 वर्ष की वृद्धि हो गई थी, जिसे सही मान ज्ञात करने के लिए गलत औसत 12 में से घटाया जाता है।

व्याख्या

दी गई शर्त के अनुसार, क्रय मूल्य (CP) का 70%, विक्रय मूल्य (SP) के 40% के बराबर है। इस संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 0.70 × CP = 0.40 × SP

विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: (SP)/(CP) = ⁷⁰⁄₄₀ = ⁷⁄₄

इसका अर्थ है कि यदि क्रय मूल्य 4 इकाई है, तो विक्रय मूल्य 7 इकाई है। चूंकि विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए लाभ होता है। लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ = SP - CP = 7 - 4 = 3 इकाई

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = ( (लाभ)/(CP) ) × 100 लाभ % = ( ¾ ) × 100 = 75%

व्याख्या

प्रतिशत का सूत्र यह बताता है कि y का x% = (x × y)/(100) होता है। इसे दिए गए व्यंजक पर लागू करने पर: b का a% = (a × b)/(100) = ᵃᵇ⁄₁₀₀ a का b% = (b × a)/(100) = ᵇᵃ⁄₁₀₀ चूंकि गुणन क्रमविनिमेय (commutative) होता है (ab = ba), इसलिए योग है: ᵃᵇ⁄₁₀₀ + ᵃᵇ⁄₁₀₀ = ²ᵃᵇ⁄₁₀₀ इस परिणाम को ²ᵃ⁄₁₀₀ × b के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जो कि b के 2a% की गणितीय परिभाषा है।

व्याख्या

चूंकि कार्यालय की दूरी स्थिर रहती है, इसलिए गति और समय एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं (S ∝ 1/T)। यदि गति सामान्य गति की 7/6 तक बढ़ जाती है, तो लिया गया समय इस अनुपात का व्युत्क्रम होगा, जो कि सामान्य समय का 6/7 है।

मान लीजिए सामान्य समय T है। नया समय ⁶⁄₇T है। सामान्य समय और नए समय के बीच का अंतर 15 मिनट दिया गया है:

T - ⁶⁄₇T = 15

⅐T = 15

T = 15 × 7 = 105

वैकल्पिक रूप से, अनुपात विधि का उपयोग करते हुए, यदि गति का अनुपात 6:7 है, तो समय का अनुपात 7:6 होगा। अनुपात में 1 इकाई का अंतर 15 मिनट के बराबर है। इसलिए, 7 इकाइयों का सामान्य समय 7 × 15 = 105 मिनट है।

व्याख्या

B और C दोनों से प्राप्त कुल साधारण ब्याज, सूत्र SI = (P · R · T)/(100) का उपयोग करके परिकलित व्यक्तिगत ब्याजों का योग है।

B के लिए, ब्याज (10000 · R · 3)/(100) = 300R है। C के लिए, ब्याज (6000 · R · 4)/(100) = 240R है।

प्राप्त कुल ब्याज 5400 रुपये दिया गया है। व्यक्तिगत ब्याजों के योग को कुल ब्याज के बराबर रखने पर: 300R + 240R = 5400 540R = 5400 R = ⁵⁴⁰⁰⁄₅₄₀ = 10

ब्याज की दर 10% वार्षिक है।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार, यदि कोई बहुपद P(x), (x - a) से विभाज्य है, तो P(a) = 0 होता है। इस स्थिति में, बहुपद P(x) = x³ + 2x² - 5x + k, (x + 1) से विभाज्य है। इसलिए, बहुपद में x = -1 प्रतिस्थापित करने पर परिणाम शून्य होना चाहिए।

P(-1) = (-1)³ + 2(-1)² - 5(-1) + k = 0

-1 + 2(1) + 5 + k = 0

-1 + 2 + 5 + k = 0

6 + k = 0

k = -6