एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

साधारण ब्याज में दो अलग-अलग समय अवधियों के मिश्रधनों के बीच का अंतर उस अंतराल के दौरान अर्जित ब्याज को दर्शाता है। समय का अंतर 3.5 - 2 = 1.5 वर्ष है। इस 1.5 वर्ष की अवधि का ब्याज 969 - 918 = 51 है।

वार्षिक ब्याज ज्ञात करने के लिए, ब्याज को वर्षों की संख्या से विभाजित करें: प्रति वर्ष ब्याज = (51)/(1.5) = 34.

मूलधन P की गणना 2 वर्ष के बाद के मिश्रधन में से 2 वर्ष का ब्याज घटाकर की जाती है: P = 918 - (2 × 34) = 918 - 68 = 850.

ब्याज की दर R को सूत्र R = (SI × 100)/(P × T) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। एक वर्ष के ब्याज का उपयोग करने पर (T = 1): R = (34 × 100)/(850 × 1) = ³⁴⁰⁰⁄₈₅₀ = 4%.

व्याख्या

दिए गए समीकरणों को सभी पदों को 4 की घात के रूप में व्यक्त करके सरल किया जा सकता है। चूंकि 256 = 4⁴ है, इसलिए पहला समीकरण 4⁽ˣ⁺ʸ⁾ = 256, 4⁽ˣ⁺ʸ⁾ = 4⁴ बन जाता है। घातों की तुलना करने पर, हमें x + y = 4 प्राप्त होता है।

दूसरे समीकरण (256)⁽ˣ⁻ʸ⁾ = 4 को (4⁴)⁽ˣ⁻ʸ⁾ = 4¹ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। घात के घात नियम (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ का उपयोग करने पर, यह 4⁴⁽ˣ⁻ʸ⁾ = 4¹ बन जाता है। घातों की तुलना करने पर 4(x - y) = 1 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x - y = 1/4 प्राप्त होता है।

x का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों रैखिक समीकरणों को जोड़ें: (x + y) + (x - y) = 4 + 1/4। इससे 2x = 17/4 प्राप्त होता है, इसलिए x = 17/8। y का मान ज्ञात करने के लिए, पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाएं: (x + y) - (x - y) = 4 - 1/4। इससे 2y = 15/4 प्राप्त होता है, इसलिए y = 15/8।

व्याख्या

यदि व्यंजक px³ - qx² - 7x - 6, x² - x - 6 से पूर्णतः विभाज्य है, तो भागफल ax + b के रूप में एक रैखिक व्यंजक होना चाहिए। भाज्य के अचर पद -6 और भाजक के अचर पद -6 की तुलना करने पर, भागफल का अचर पद b, 1 होना चाहिए। x³ पदों के गुणांकों की तुलना करने पर, भागफल का मुख्य गुणांक a, p होना चाहिए। इस प्रकार, संबंध को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

px³ - qx² - 7x - 6 = (x² - x - 6)(px + 1)

दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है: px³ + x² - px² - x - 6px - 6 px³ + (1 - p)x² - (1 + 6p)x - 6

दोनों पक्षों में x के गुणांकों को बराबर करने पर: -(1 + 6p) = -7 1 + 6p = 7 6p = 6 p = 1

दोनों पक्षों में x² के गुणांकों को बराबर करने पर: -q = 1 - p समीकरण में p = 1 रखने पर: -q = 1 - 1 q = 0

व्याख्या

यदि बहुपद f(x) = px³ - 2x² - qx + 18, x² - 9 से पूर्णतः विभाज्य है, तो यह x² - 9 के व्यक्तिगत गुणनखंडों से भी विभाज्य होना चाहिए, जो कि (x - 3) और (x + 3) हैं। गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार, यदि (x - a), f(x) का एक गुणनखंड है, तो f(a) = 0 होगा।

व्यंजक में x = 3 रखने पर: p(3)³ - 2(3)² - q(3) + 18 = 0 27p - 18 - 3q + 18 = 0 27p - 3q = 0 27p = 3q 9p = q

समीकरण 9p = q को व्यवस्थित करने पर, हमें p और q का अनुपात इस प्रकार प्राप्त होता है: p/q = 1/9

x = -3 रखने पर भी यही परिणाम प्राप्त होता है: p(-3)³ - 2(-3)² - q(-3) + 18 = 0 -27p - 18 + 3q + 18 = 0 -27p + 3q = 0 3q = 27p q = 9p

दोनों प्रतिस्थापन संबंध q = 9p की पुष्टि करते हैं, जिससे अनुपात p:q = 1:9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

x⁵ + (1)/(x⁵) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय संबंध x⁵ + (1)/(x⁵) = (x² + (1)/(x²))(x³ + (1)/(x³)) - (x + ¹⁄ₓ) का उपयोग करते हैं।

दिए गए मूल मान x + ¹⁄ₓ = 5 से, हम पहले मध्यवर्ती वर्ग और घन मान ज्ञात करते हैं: x² + (1)/(x²) = (x + ¹⁄ₓ)² - 2 = 5² - 2 = 23 x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) = 5³ - 3(5) = 125 - 15 = 110

इन मानों को पंचम घात के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: x⁵ + (1)/(x⁵) = (23 × 110) - 5 x⁵ + (1)/(x⁵) = 2530 - 5 = 2525

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠ ABC = 90° है, मान लीजिए कि BP कर्ण AC पर खींचा गया शीर्षलंब है। यह शीर्षलंब त्रिभुज को दो छोटे समकोण त्रिभुजों, △ ABP और △ BCP में विभाजित करता है, जो दोनों मूल △ ABC के और आपस में समरूप हैं।

△ ABP और △ BCP के बीच समरूपता के गुण से, संगत कोण बराबर होते हैं। विशेष रूप से, ∠ BAP = ∠ PBC और ∠ ABP = ∠ BCP। चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि ∠ BAP = 50° है, इसलिए इस ज्यामितीय गुण से सीधे यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ PBC = 50°।

इसे कोणों के योग के माध्यम से भी सत्यापित किया जा सकता है। △ ABP में, चूंकि ∠ APB = 90° और ∠ BAP = 50° है, इसलिए तीसरा कोण ∠ ABP = 180° - (90° + 50°) = 40° है। चूंकि ∠ ABC एक समकोण है, इसलिए ∠ PBC = ∠ ABC - ∠ ABP = 90° - 40° = 50°।

व्याख्या

किसी त्रिभुज के दो कोणों के बाह्य समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित कोण सूत्र ∠ QOR = 90° - (∠ P)/(2) द्वारा दिया जाता है, जहाँ ∠ P तीसरे शीर्ष पर आंतरिक कोण है। त्रिभुज PQR में, बिंदु O, ∠ Q और ∠ R के बाह्य समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित बाह्यकेंद्र है।

दिए गए मान ∠ QOR = 50° को सूत्र में रखने पर:

50° = 90° - (∠ QPR)/(2)

∠ QPR के लिए हल करने हेतु समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

(∠ QPR)/(2) = 90° - 50°

(∠ QPR)/(2) = 40°

∠ QPR = 40° × 2 = 80°

व्याख्या

व्यंजक (cosec⁴ A - cot² A) - (cot⁴ A + cosec² A) को चतुर्थ-घात (fourth-power) वाले पदों और द्वितीय-घात (second-power) वाले पदों को समूहीकृत करके पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: (cosec⁴ A - cot⁴ A) - (cosec² A + cot² A)

बीजगणितीय सर्वसमिका x² - y² = (x - y)(x + y) का उपयोग करके, हम व्यंजक के पहले भाग का गुणनखंड कर सकते हैं: cosec⁴ A - cot⁴ A = (cosec² A - cot² A)(cosec² A + cot² A)

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec² A - cot² A = 1 को लागू करने पर, गुणनखंडित पद इस प्रकार हो जाता है: 1 · (cosec² A + cot² A) = cosec² A + cot² A

इसे वापस पुनर्व्यवस्थित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (cosec² A + cot² A) - (cosec² A + cot² A) = 0