एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

व्यंजक a³ + b³ + c³ - 3abc बीजीय सर्वसमिका ½(a + b + c)((a - b)² + (b - c)² + (c - a)²) का अनुसरण करता है। जब पद a, b, और c सार्व अंतर d के साथ एक समांतर श्रेणी में होते हैं, तो यह सर्वसमिका सीधे 9 × मध्य पद × d² में सरल हो जाती है।

दिए गए मान a = 73, b = 74, और c = 75 हैं, जो मध्य पद b = 74 और सार्व अंतर d = 1 के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं। इन्हें सरलीकृत सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

मान = 9 × 74 × 1² मान = 666

यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त होता है कि समांतर श्रेणी के पदों के लिए योग (a + b + c) का मान 3b होता है, और वर्गों के अंतर का योग (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² का मान (-d)² + (-d)² + (2d)² के बराबर होता है, जो कि 6d² है। इन्हें मूल सर्वसमिका के ½ गुणांक के साथ मिलाने पर 9bd² प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है कि x² + (1)/(x²⁾ = ³¹⁄₉, हम सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²⁾ + 2 का उपयोग करके x + ¹⁄ₓ का मान ज्ञात कर सकते हैं। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर (x + ¹⁄ₓ)² = ³¹⁄₉ + 2 = (31 + 18)/(9) = ⁴⁹⁄₉ प्राप्त होता है। चूंकि x > 0 है, इसलिए x + ¹⁄ₓ = ⁷⁄₃ ज्ञात करने के लिए हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं।

x³ + (1)/(x³⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + (1)/(x³⁾ = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) का उपयोग करते हैं। सूत्र में x + ¹⁄ₓ = ⁷⁄₃ प्रतिस्थापित करने पर:

x³ + (1)/(x³⁾ = (⁷⁄₃)³ - 3(⁷⁄₃) x³ + (1)/(x³⁾ = ³⁴³⁄₂₇ - 7 x³ + (1)/(x³⁾ = (343 - 189)/(27) x³ + (1)/(x³⁾ = ¹⁵⁴⁄₂₇

व्याख्या

मध्य पद को विभाजित करने की विधि (splitting the middle term method) का उपयोग करके प्रत्येक द्विघात बहुपद (quadratic polynomial) का गुणनखंड करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है। पहले भिन्न में x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) और x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) शामिल हैं। दूसरे भिन्न में x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) और x² - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) शामिल हैं। इन गुणनखंडित रूपों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

((x - 2)(x - 3))/((x - 1)(x - 2)) ÷ ((x - 3)(x - 4))/((x - 1)(x - 4))

पहले भिन्न में उभयनिष्ठ पद (x - 2) और दूसरे भिन्न में (x - 4) को निरस्त (cancel) करके व्यक्तिगत भिन्नों को सरल करने पर प्राप्त होता है:

(x - 3)/(x - 1) ÷ (x - 3)/(x - 1)

चूंकि किसी भी गैर-शून्य व्यंजक को स्वयं से विभाजित करने पर 1 प्राप्त होता है, इसलिए यह विभाजन सीधे सरल हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, दूसरे पद के व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

(x - 3)/(x - 1) × (x - 1)/(x - 3) = 1

व्याख्या

दिए गए समीकरण x - ¹⁄ₓ = 3 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर x² - 2 + (1)/(x²) = 9 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x² + (1)/(x²) = 11 प्राप्त होता है। भिन्न (2x⁴ + 3x³ + 13x² - 3x + 2) / (3x⁴ + 3) का मान ज्ञात करने के लिए, अंश और हर दोनों को x² से विभाजित करें। इससे यह व्यंजक इस प्रकार परिवर्तित हो जाता है:

(2x² + 3x + 13 - ³⁄ₓ + (2)/(x²)) / (3x² + (3)/(x²))

समान गुणांकों वाले पदों को समूहित करने पर ज्ञात सर्वसमिकाओं को प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

(2(x² + (1)/(x²)) + 3(x - ¹⁄ₓ) + 13) / (3(x² + (1)/(x²)))

अब, पुनर्व्यवस्थित व्यंजक में x - ¹⁄ₓ = 3 और x² + (1)/(x²) = 11 प्रतिस्थापित करें:

(2(11) + 3(3) + 13) / (3(11))

(22 + 9 + 13) / (33) = ⁴⁴⁄₃₃ = ⁴⁄₃

व्याख्या

भुजाओं a, b, और c वाले एक त्रिभुज के अस्तित्व के लिए, त्रिभुज असमानता प्रमेय (triangle inequality theorem) के अनुसार, तीसरी भुजा की लंबाई अन्य दो भुजाओं के निरपेक्ष अंतर (absolute difference) से अधिक और उनके योग से कम होनी चाहिए। यदि PQ = 983 और PR = 893 है, तथा तीसरी भुजा QR = x एक पूर्णांक है, तो x की सीमा को |983 - 893| < x < 983 + 893 के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह सरल होकर 90 < x < 1876 हो जाता है।

खुले अंतराल (open interval) (90, 1876) में x के संभावित पूर्णांक मानों की संख्या की गणना 1876 - 90 - 1 = 1785 के रूप में की जाती है। वैकल्पिक रूप से, जब दो भुजाएँ a और b ज्ञात हों, तो तीसरी भुजा के लिए संभावित पूर्णांक मानों की संख्या ज्ञात करने का एक संक्षिप्त सूत्र (shortcut formula) 2 × min(a, b) - 1 है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 × 893 - 1 प्राप्त होता है, जो 1786 - 1 = 1785 के बराबर है।

व्याख्या

व्यंजक sec⁶ A - tan⁶ A - 3 sec² A tan² A को बीजगणितीय सर्वसमिका x³ - y³ - 3xy(x - y) = (x - y)³ का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। माना x = sec² A और y = tan² A है। इन्हें सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (sec² A)³ - (tan² A)³ - 3 sec² A tan² A (sec² A - tan² A) = (sec² A - tan² A)³।

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका से, हम जानते हैं कि sec² A - tan² A = 1 होता है। इस मान को विस्तृत रूप में प्रतिस्थापित करने पर, पद (sec² A - tan² A) 1 हो जाता है, और समीकरण का दायां पक्ष 1³ हो जाता है। इसलिए, sec⁶ A - tan⁶ A - 3 sec² A tan² A (1) = 1 है। दिए गए व्यंजक का सरलीकृत मान 1 है।

व्याख्या

मूल सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) में बदलकर इस व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है।

व्यंजक का पहला भाग (csc A - sin A) = (1)/(sin A) - sin A = (1 - sin² A)/(sin A) है। सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर, यह (cos² A)/(sin A) हो जाता है।

दूसरा भाग (sec A - cos A) = (1)/(cos A) - cos A = (1 - cos² A)/(cos A) है, जो सरल होकर (sin² A)/(cos A) हो जाता है।

तीसरा भाग (tan A + cot A) = (sin A)/(cos A) + (cos A)/(sin A) = (sin² A + cos² A)/(sin A cos A) है। चूँकि sin² A + cos² A = 1 है, इसलिए यह (1)/(sin A cos A) हो जाता है।

इन तीनों सरलीकृत घटकों को गुणा करने पर प्राप्त होता है: ((cos² A)/(sin A)) × ((sin² A)/(cos A)) × ((1)/(sin A cos A))

अंश और हर के पदों को मिलाने पर: (cos² A sin² A)/(sin² A cos² A) = 1

वैकल्पिक रूप से, एक विशिष्ट मान जैसे कि A = 45° रखने पर, जहाँ sin A = cos A = (1)/(√(2)), csc A = sec A = √2, और tan A = cot A = 1: (√2 - (1)/(√(2)))(√2 - (1)/(√(2)))(1 + 1) = ((2-1)/(√(2)))((2-1)/(√(2)))(2) = (1)/(√(2)) × (1)/(√(2)) × 2 = ½ × 2 = 1

व्याख्या

व्यंजक cos⁴ A - sin⁴ A को बीजीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। a = cos² A और b = sin² A मानने पर, यह व्यंजक (cos² A - sin² A)(cos² A + sin² A) बन जाता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, cos² A + sin² A = 1 होता है। समीकरण में इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास cos² A - sin² A बचता है। यह कोसाइन (cosine) के लिए मानक द्वि-कोण (double-angle) सूत्र है, जो cos 2A के बराबर है।

व्याख्या

60 और 80 के बीच की अभाज्य संख्याएँ वे पूर्णांक हैं जिनका 1 और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है। इस सीमा में विषम संख्याओं की जाँच करके (सम संख्याओं को छोड़कर क्योंकि वे 2 से विभाज्य हैं), हम निम्नलिखित अभाज्य संख्याओं की पहचान करते हैं: 61, 67, 71, 73 और 79। 63 (3 और 7 से विभाज्य), 65 (5 से विभाज्य), 69 (3 और 23 से विभाज्य), 75 (3 और 5 से विभाज्य), और 77 (7 और 11 से विभाज्य) जैसी संख्याओं को बाहर रखा गया है।

इन अभाज्य संख्याओं के योग की गणना इस प्रकार की जाती है: 61 + 67 + 71 + 73 + 79 = 351

व्याख्या

सबसे पहले, दोनों व्यक्तियों की टाइपिंग गति निर्धारित करें। A, 9 घंटे में 36 पृष्ठ टाइप करता है, इसलिए A की दर R_A = ³⁶⁄₉ = 4 पृष्ठ प्रति घंटा है। B, 5 घंटे में 40 पृष्ठ टाइप करता है, इसलिए B की दर R_B = ⁴⁰⁄₅ = 8 पृष्ठ प्रति घंटा है।

कुल कार्य को 60-60 पृष्ठों के दो भागों में विभाजित किया गया है। पहले 60 पृष्ठों के लिए, A अकेले कार्य करता है। लिया गया समय T₁ = (60)/(R_A) = ⁶⁰⁄₄ = 15 घंटे है। अंतिम 60 पृष्ठों के लिए, A और B मिलकर कार्य करते हैं। उनकी संयुक्त दर R_A + R_B = 4 + 8 = 12 पृष्ठ प्रति घंटा है। इस भाग के लिए लिया गया समय T₂ = ⁶⁰⁄₁₂ = 5 घंटे है।

120 पृष्ठों की पुस्तक को पूरा करने में लिया गया कुल समय दोनों भागों के समय का योग है: Tₜₒₜₐₗ = T₁ + T₂ = 15 + 5 = 20 घंटे।

व्याख्या

जब एक समकोण त्रिभुज को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है, तो बनने वाली ठोस आकृति एक दोहरा शंकु होती है। त्रिभुज का कर्ण BC दोनों शंकुओं की संयुक्त ऊंचाई के रूप में कार्य करता है, और समकोण से कर्ण पर डाला गया लंब AD उभयनिष्ठ त्रिज्या r के रूप में कार्य करता है।

सबसे पहले, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण BC की गणना करें: BC = √(AB² + AC²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = 13 सेमी

त्रिज्या r कर्ण पर डाला गया लंब है। त्रिभुज के क्षेत्रफल के संबंध ½ × AB × AC = ½ × BC × r का उपयोग करने पर: r = (AB × AC)/(BC) = (5 × 12)/(13) = ⁶⁰⁄₁₃ सेमी

दोहरे शंकु का कुल आयतन V दोनों अलग-अलग शंकुओं के आयतनों का योग है: V = ⅓ π r² h₁ + ⅓ π r² h₂ = ⅓ π r² (h₁ + h₂) = ⅓ π r² (BC)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = ⅓ × ²²⁄₇ × (⁶⁰⁄₁₃)² × 13 V = ⅓ × ²²⁄₇ × ³⁶⁰⁰⁄₁₆₉ × 13 = (22 × 1200)/(7 × 13) = ²⁶⁴⁰⁰⁄₉₁ ≈ 290.11 सेमी³

निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करने पर, अनुमानित आयतन 290 सेमी³ है।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध को छूट और लाभ प्रतिशत का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है। विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य में से छूट घटाकर प्राप्त किया जाता है: SP = MP × (1 - (D)/(100))। साथ ही, विक्रय मूल्य को क्रय मूल्य पर अर्जित लाभ द्वारा भी परिभाषित किया जाता है: SP = CP × (1 + (P)/(100))।

दिया गया है कि अंकित मूल्य (MP) 1360 रुपये है और छूट 15% है, तो विक्रय मूल्य है: SP = 1360 × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀) = 1360 × 0.85 = 1156

अब, 15.6% के लाभ प्रतिशत का उपयोग करके, हम क्रय मूल्य निर्धारित कर सकते हैं: CP = (SP)/(1 + P){100} = (1156)/(1 + 15.6){100} = (1156)/(1.156)

दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने पर, गणना इस प्रकार हो जाती है: CP = (1156 × 1000)/(1156) = 1000

अतः, ट्रॉली बैग का क्रय मूल्य 1000 रुपये है।

व्याख्या

माना तीनों टुकड़ों का भार 3x, 5x और 7x है। टूटने से पहले हीरे का कुल भार W = 3x + 5x + 7x = 15x था। दिया गया है कि मूल्य P, भार के वर्ग W² के अनुक्रमानुपाती है, इसलिए P = kW², जहाँ k एक स्थिरांक है।

हीरे का वास्तविक मूल्य P_original = k(15x)² = 225kx² था। हीरे के टूटने के बाद, तीनों टुकड़ों के मूल्यों का योग P_pieces = k(3x)² + k(5x)² + k(7x)² = (9 + 25 + 49)kx² = 83kx² था।

मूल्य में हुई हानि P_original - P_pieces = 225kx² - 83kx² = 142kx² है। हमें दिया गया है कि यह हानि 42600 रुपये के बराबर है। इसलिए, 142kx² = 42600, जिससे kx² = 42600/142 = 300 प्राप्त होता है। वास्तविक मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम 225kx² = 225 × 300 = 67500 की गणना करते हैं।

व्याख्या

सभी 100 छात्रों के कुल वजन की गणना छात्रों की संख्या को उनके औसत वजन से गुणा करके की जाती है, जो कि 100 × 32 = 3200 किग्रा है। पहले 49 छात्रों के वजन का योग 49 × 30 = 1470 किग्रा है, और अंतिम 50 छात्रों के वजन का योग 50 × 34 = 1700 किग्रा है। 50वां छात्र अकेला ऐसा छात्र है जो इन दोनों समूहों में शामिल नहीं है। इसलिए, 50वें छात्र का वजन, 100 छात्रों के कुल वजन और अन्य 99 छात्रों के संयुक्त वजन के बीच का अंतर है।

50वें छात्र का वजन = 3200 - (1470 + 1700) = 3200 - 3170 = 30 किग्रा।

व्याख्या

वस्तुओं की एक निश्चित मात्रा के लिए विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य के सापेक्ष प्रतिशत मूल्य के समानुपाती होता है। हानि प्रतिशत L और लक्षित लाभ प्रतिशत P दिए होने पर, प्रारंभिक विक्रय मूल्य SP₁ से 90 पेन के लिए नया विक्रय मूल्य SP₂ ज्ञात करने के लिए, संबंध SP₂ = SP₁ × (100 + P)/(100 - L) का उपयोग करें। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ SP₁ = 80, L = 20, और P = 20: SP₂ = 80 × (100 + 20)/(100 - 20) SP₂ = 80 × ¹²⁰⁄₈₀ SP₂ = 120

व्याख्या

माना रमन की प्रारंभिक आय I = 100 है। चूंकि वह अपनी आय का 80% खर्च करता है, इसलिए उसका प्रारंभिक व्यय E = 80 है। उसकी प्रारंभिक बचत की गणना S = I - E = 100 - 80 = 20 के रूप में की जाती है।

प्रश्न के अनुसार, आय में 25% की वृद्धि होती है, जिससे नई आय Iₙₑ_w = 100 × 1.25 = 125 हो जाती है। व्यय में 10% की वृद्धि होती है, जिससे नया व्यय Eₙₑ_w = 80 × 1.10 = 88 हो जाता है।

नई बचत Sₙₑ_w = Iₙₑ_w - Eₙₑ_w = 125 - 88 = 37 है। बचत में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत वृद्धि = Sₙₑ_w - S{S} × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

प्रतिशत वृद्धि = (37 - 20)/(20) × 100 = ¹⁷⁄₂₀ × 100 = 17 × 5 = 85%

व्याख्या

जब एक यात्रा में विभिन्न गतियों से तय की गई समान दूरियां शामिल होती हैं, तो औसत गति उन गतियों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होती है। चारों यात्राओं की गतियाँ v₁ = 60 किमी/घंटा, v₂ = 30 किमी/घंटा, v₃ = 15 किमी/घंटा, और v₄ = 7.5 किमी/घंटा हैं।

चार समान दूरियों के लिए हरात्मक माध्य सूत्र का उपयोग करने पर: औसत गति = (4)/(1){v₁ + (1)/(v₂) + (1)/(v₃) + (1)/(v₄)}

गणना को सरल बनाने के लिए, मान लें कि प्रत्येक यात्रा की दूरी 60 किमी है (गतियों का लघुत्तम समापवर्त्य - LCM)। यात्रा 1 के लिए समय = 60 / 60 = 1 घंटा यात्रा 2 के लिए समय = 60 / 30 = 2 घंटे यात्रा 3 के लिए समय = 60 / 15 = 4 घंटे यात्रा 4 के लिए समय = 60 / 7.5 = 8 घंटे

तय की गई कुल दूरी = 4 × 60 = 240 किमी लिया गया कुल समय = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 घंटे

औसत गति = (कुल दूरी)/(कुल समय) = ²⁴⁰⁄₁₅ = 16 किमी/घंटा

व्याख्या

भुगतान किया गया कुल साधारण ब्याज तीन अलग-अलग अवधियों में अर्जित ब्याज का योग है। साधारण ब्याज का सूत्र I = (P × R × T)/(100) है। जब ब्याज दर अलग-अलग समय अंतरालों में बदलती है, तो कुल ब्याज की गणना I = (P)/(100) × (r₁ t₁ + r₂ t₂ + r₃ t₃) के रूप में की जाती है, जहाँ P मूलधन है।

दिए गए मान: पहले 3 वर्षों के लिए 3% की दर से ब्याज = 3 × 3 = P का 9% अगले 5 वर्षों के लिए 4% की दर से ब्याज = 5 × 4 = P का 20% अगले 7 वर्षों के लिए 6% की दर से ब्याज = 7 × 6 = P का 42%

कुल ब्याज प्रतिशत = 9 + 20 + 42 = P का 71%

प्रश्न के अनुसार, भुगतान किया गया कुल ब्याज 2059 रुपये है। इसलिए: ⁷¹⁄₁₀₀ × P = 2059 P = (2059 × 100)/(71)

2059 को 71 से विभाजित करने पर: 2059 ÷ 71 = 29 P = 29 × 100 = 2900

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ = (x + y)((x + y)² - 3xy) का उपयोग करते हुए, हम दिए गए मानों x + y = 5 और x³ + y³ = 35 को प्रतिस्थापित करते हैं:

35 = 5(5² - 3xy) 7 = 25 - 3xy 3xy = 18 xy = 6

अब, धनात्मक अंतर |x - y| ज्ञात करने के लिए, हम दो संख्याओं के योग और अंतर के बीच के संबंध का उपयोग करते हैं:

(x - y)² = (x + y)² - 4xy (x - y)² = 5² - 4(6) (x - y)² = 25 - 24 = 1 |x - y| = √1 = 1

वैकल्पिक रूप से, समीकरण निकाय x + y = 5 और xy = 6 का निरीक्षण करके, हम पूर्णांकों 2 और 3 की पहचान कर सकते हैं। उनका योग 5 है और उनका गुणनफल 6 है। इन दोनों संख्याओं के बीच का धनात्मक अंतर 3 - 2 = 1 है।

व्याख्या

x के व्यंजक को सरल करने के लिए, हम वर्गमूल के भीतर हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate), जो कि 2 + √3 है, से गुणा करते हैं:

x = √(2+{3){2-√3} × 2+√3{2+√3}}

x = √((2+{3))²{2² - (√3)²}}

x = √((2+{3))²{4-3}} = √((2+3))² = 2 + √3

अब, हम x² की गणना करते हैं:

x² = (2 + √3)² = 4 + 3 + 4√3 = 7 + 4√3

दिए गए व्यंजक x² + x - 9 में x² और x के मान रखने पर:

x² + x - 9 = (7 + 4√3) + (2 + √3) - 9

परिमेय और अपरिमेय पदों को समूहीकृत करने पर:

x² + x - 9 = (7 + 2 - 9) + (4√3 + √3)

x² + x - 9 = 0 + 5√3 = 5√3

व्याख्या

व्यंजक (x²)/(3z) + (y³)/(3xz) + (z²)/(3x) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले एक समान हर ज्ञात करके भिन्नों को जोड़ते हैं। हरों 3z, 3xz, और 3x का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 3xz है।

समान हर से मिलाने के लिए प्रत्येक पद के अंश और हर को गुणा करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: (x² · x)/(3xz) + (y³)/(3xz) + (z² · z)/(3xz) = (x³ + y³ + z³)/(3xz)

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, यदि x + y + z = 0 है, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz होता है। इस सर्वसमिका को हमारे व्यंजक के अंश में प्रतिस्थापित करने पर: (3xyz)/(3xz) = y

अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड 3, x, और z आपस में कट जाते हैं, जिससे परिणाम y बचता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x - ¹⁄ₓ = 1 से, हम सर्वसमिका का उपयोग करके x + ¹⁄ₓ का मान ज्ञात कर सकते हैं: (x + ¹⁄ₓ)² = (x - ¹⁄ₓ)² + 4 (x + ¹⁄ₓ)² = 1² + 4 = 5 x + ¹⁄ₓ = ± √5

अब, कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को सरल कीजिए: E = ¹⁄ₓ₋₁ - ¹⁄ₓ₊₁ + (1)/(x²+1) - (1)/(x²-1) E = ( ¹⁄ₓ₋₁ - ¹⁄ₓ₊₁ ) - ( (1)/(x²-1) - (1)/(x²+1) )

प्रत्येक युग्म के लिए उभयनिष्ठ हर (common denominator) का उपयोग करने पर: ¹⁄ₓ₋₁ - ¹⁄ₓ₊₁ = ((x+1) - (x-1))/(x²-1) = (2)/(x²-1) (1)/(x²-1) - (1)/(x²+1) = ((x²+1) - (x²-1))/((x²-1)(x²+1)) = (2)/(x⁴-1)

इन परिणामों को घटाने पर: E = (2)/(x²-1) - (2)/(x⁴-1) = (2(x²+1) - 2)/(x⁴-1) = (2x²)/(x⁴-1)

दिए गए x - ¹⁄ₓ = 1 से, हमें x² - 1 = x प्राप्त होता है। इसे हर x⁴ - 1 = (x²-1)(x²+1) में प्रतिस्थापित करने पर: x⁴ - 1 = x(x²+1)

इस प्रकार, व्यंजक बन जाता है: E = (2x²)/(x(x²+1)) = (2x)/(x²+1)

अंश और हर को x से विभाजित करने पर: E = (2)/(x + 1){x}

x + ¹⁄ₓ = ± √5 प्रतिस्थापित करने पर: E = (2)/(± √(5)) = ± (2)/(√(5))

व्याख्या

केंद्र O और व्यास PQ वाले एक वृत्त में, केंद्रीय कोण ∠ POQ = 180° है। यह देखते हुए कि जीवा RS, PQ के समांतर है और ∠ ROS = 40° है, वृत्त की सममिति यह सुनिश्चित करती है कि चाप PR और QS बराबर हैं। व्यास के अनुदिश केंद्रीय कोणों का योग ∠ POR + ∠ ROS + ∠ SOQ = 180° है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 2 × ∠ POR + 40° = 180°, जिससे ∠ POR = ∠ SOQ = 70° प्राप्त होता है।

△ PTQ में कोण ∠ TPQ, अंतःलिखित कोण ∠ RPQ के समान है। यह कोण चाप RSQ को अंतरित करता है। चाप RSQ का माप केंद्रीय कोणों ∠ ROS और ∠ SOQ का योग है, जो कि 40° + 70° = 110° है। चूंकि एक अंतःलिखित कोण उसके अंतःखंडित चाप के माप का आधा होता है, इसलिए ∠ RPQ = ½ × 110° = 55°। सममिति द्वारा, अंतःलिखित कोण ∠ TQP (या ∠ SQP) चाप RSP को अंतरित करता है, जो कि 70° + 40° = 110° है, जिससे ∠ TQP = 55° प्राप्त होता है।

△ PTQ में, अंतः कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ PTQ का माप 180° - (∠ TPQ + ∠ TQP) = 180° - (55° + 55°) = 70° के रूप में परिकलित किया जाता है।

व्याख्या

576 (24²) और 625 (25²) से संबंधित संख्यात्मक संबंध को देखते हुए, हम पाइथागोरियन त्रिक (7, 24, 25) का उपयोग करते हैं। व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय अनुपातों को sin θ = 24/25 और cos θ = 7/25 के रूप में पहचानते हैं।

दिए गए व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (sin θ - cos θ)/(sin θ + cos θ) = (24)/(25) - ⁷⁄₂₅{²⁴⁄₂₅ + ⁷⁄₂₅}

अंश में घटाव और हर में जोड़ करने पर: (17/25)/(31/25)

उभयनिष्ठ हर 25 आपस में कट जाता है, जिससे बचता है: ¹⁷⁄₃₁

व्याख्या

पूरक कोण संबंध sin θ = cos(90° - θ) का उपयोग करके, पद sin 51° को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: sin 51° = cos(90° - 51°) = cos 39°

इसे व्यंजक के पहले भाग में प्रतिस्थापित करने पर: (cos 39°)/(sin 51°) = (cos 39°)/(cos 39°) = 1

इसके बाद, वर्गमूल के अंतर्गत आने वाले पदों पर त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 लागू करने पर: sin² 39° + sin² 51° = sin² 39° + cos² 39° = 1

दिया गया व्यंजक ³⁄₂(1) - √1 में सरलीकृत हो जाता है। चूंकि इस संदर्भ में 1 के वर्गमूल को 1 और -1 दोनों माना जा सकता है:

धनात्मक मूल (+1) का उपयोग करने पर: ³⁄₂ - 1 = (3 - 2)/(2) = ½

ऋणात्मक मूल (-1) का उपयोग करने पर: ³⁄₂ - (-1) = ³⁄₂ + 1 = (3 + 2)/(2) = ⁵⁄₂

इस प्रकार, व्यंजक के मान के रूप में 1/2 और 5/2 दोनों प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

cot A के दिए गए व्यंजक को अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं sin B = 2 sin(B/2) cos(B/2) और 1 - cos B = 2 sin²(B/2) का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

cot A = (2 sin(B/2) cos(B/2))/(2 sin²(B/2))

cot A = (cos(B/2))/(sin(B/2)) = cot(B/2)

इस संबंध से, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि A = B/2 (या अधिक सामान्य रूप से A = nπ + B/2) है। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर 2A = B + 2nπ प्राप्त होता है।

दोनों पक्षों पर cotangent फलन लागू करने पर:

cot 2A = cot(B + 2nπ) = cot B

व्याख्या

एक बाइनरी संख्या को उसके दशमलव समकक्ष में बदलने के लिए, स्थानीय मान पद्धति (positional notation method) का उपयोग किया जाता है, जहाँ प्रत्येक अंक को 2ⁿ से गुणा किया जाता है, जहाँ n सबसे कम महत्वपूर्ण बिट (सबसे दाईं ओर) से शून्य से शुरू होने वाले अंक की स्थिति है।

बाइनरी मान 1101111₂ के लिए, गणना इस प्रकार है: (1 × 2⁶) + (1 × 2⁵) + (0 × 2⁴) + (1 × 2³) + (1 × 2²) + (1 × 2¹) + (1 × 2⁰) = 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1 = 111

इन मानों को जोड़कर, बाइनरी स्ट्रिंग 1101111 को दशमलव पूर्णांक 111 में परिवर्तित किया जाता है।

व्याख्या

माना कुल कार्य 1 इकाई है। A की कार्यक्षमता 1/18 कार्य प्रति दिन है और B की कार्यक्षमता 1/36 कार्य प्रति दिन है। एक साथ कार्य करने पर उनकी संयुक्त कार्यक्षमता है:

Eₜₒₜₐₗ = ¹⁄₁₈ + ¹⁄₃₆ = (2 + 1)/(36) = ³⁄₃₆ = ¹⁄₁₂ इकाई प्रति दिन

9 दिनों में, A और B द्वारा मिलकर पूरे किए गए कार्य की मात्रा की गणना उनकी संयुक्त कार्यक्षमता को दिनों की संख्या से गुणा करके की जाती है:

किया गया कार्य = 9 × ¹⁄₁₂ = ¾

शेष कार्य कुल कार्य और पूरे किए गए कार्य के बीच का अंतर है:

शेष कार्य = 1 - ¾ = ¼

शेष कार्य के भिन्न को प्रतिशत में बदलने के लिए, 100 से गुणा करें:

शेष कार्य का प्रतिशत = ¼ × 100 = 25

9 दिनों तक एक साथ कार्य करने के बाद, 25 प्रतिशत कार्य समाप्त होना शेष रह जाता है।

व्याख्या

एक वर्ग में, विकर्ण d और भुजा s के बीच का संबंध सूत्र d = s√2 द्वारा निर्धारित होता है, जो पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त होता है जहाँ s² + s² = d² है। यह देखते हुए कि विकर्ण 12 सेमी है, हम इस मान को समीकरण में रखते हैं:

12 = s√2

भुजा s का मान ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

s = (12)/(√(2))

इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम अंश और हर दोनों को √2 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं:

s = 12 × √2{√2 × √2}

s = 12√2{2}

s = 6√2

अतः, वर्ग की भुजा की लंबाई 6√2 सेमी है।

व्याख्या

वस्तु का अंकित मूल्य 2500 रुपये है। 30% की प्रारंभिक छूट के बाद, मूल्य 2500 × (1 - ³⁰⁄₁₀₀) = 2500 × 0.7 = 1750 रुपये हो जाता है।

वस्तु को अंततः 1400 रुपये में बेचा जाता है। अतिरिक्त छूट की गणना पहली छूट के बाद के मूल्य पर की जाती है, जो कि 1750 रुपये है। प्रदान की गई अतिरिक्त छूट की राशि 1750 - 1400 = 350 रुपये है।

अतिरिक्त छूट प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं: अतिरिक्त छूट % = (अतिरिक्त छूट की राशि)/(पहली छूट के बाद का मूल्य) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: ³⁵⁰⁄₁₇₅₀ × 100 = ⅕ × 100 = 20%

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के तृतीयानुपाती c को सतत अनुपात a:b = b:c द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस संबंध को (a)/(b) = (b)/(c) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिससे सूत्र c = b²/a प्राप्त होता है। दिए गए मानों a = 10 और b = 25 को सूत्र में रखने पर: c = 25²/10 = 625/10 = 62.5।

व्याख्या

कक्षा का कुल वजन छात्रों की कुल संख्या को कक्षा के औसत वजन से गुणा करके निकाला जाता है: 50 × 55.44 = 2772 किलोग्राम। चूंकि 50 की कक्षा में 27 लड़के हैं, इसलिए लड़कियों की संख्या 50 - 27 = 23 है। लड़कों का कुल वजन लड़कों की संख्या और उनके औसत वजन का गुणनफल है: 27 × 72 = 1944 किलोग्राम। कक्षा के कुल वजन में से लड़कों का वजन घटाने पर लड़कियों का कुल वजन प्राप्त होता है: 2772 - 1944 = 828 किलोग्राम। इसके बाद लड़कियों का औसत वजन इस कुल वजन को लड़कियों की संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है: ⁸²⁸⁄₂₃ = 36 किलोग्राम।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP), और लाभ या हानि प्रतिशत के बीच का संबंध सूत्र SP = CP × (100 ± प्रतिशत)/(100) द्वारा दिया गया है। पहली स्थिति में, 1900 रुपये के विक्रय मूल्य पर 5% की हानि होती है, जिसका अर्थ है कि 1900 रुपये क्रय मूल्य के 95% को दर्शाता है। इसकी गणना इस प्रकार की जाती है: CP = (1900)/(0.95) = 2000।

15% लाभ प्राप्त करने के लिए, साड़ी को उसके क्रय मूल्य के 115% पर बेचा जाना चाहिए। पहले से निर्धारित क्रय मूल्य 2000 रुपये का उपयोग करते हुए, नए विक्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: SP_new = 2000 × ¹¹⁵⁄₁₀₀ = 20 × 115 = 2300।

एक त्वरित दृष्टिकोण में विक्रय मूल्यों और उनके संबंधित प्रतिशत मानों के बीच सीधे अनुपात का उपयोग करना शामिल है। आवश्यक मूल्य को व्यंजक 1900 × ¹¹⁵⁄₉₅ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। 115 और 95 दोनों को 5 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर ²³⁄₁₉ प्राप्त होता है। इस प्रकार, गणना 1900 × ²³⁄₁₉ = 100 × 23 = 2300 हो जाती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि M और S क्रमशः गणित और विज्ञान के अंकों को दर्शाते हैं। प्रश्न के अनुसार, गणित के अंक कुल अंकों (M + S) का 60% हैं। इसका अर्थ यह है कि विज्ञान के अंक कुल अंकों के शेष 40% होने चाहिए, क्योंकि 100% - 60% = 40% है।

हम गणित के अंकों और विज्ञान के अंकों के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: M : S = 60 : 40 = 3 : 2

मान लीजिए M = 3x और S = 2x है। अंकों के बीच का अंतर M - S = 30 दिया गया है। अनुपात के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 3x - 2x = 30 x = 30

विज्ञान के अंकों की गणना इस प्रकार की जाती है: S = 2x = 2 × 30 = 60

व्याख्या

माना एक्सप्रेस ट्रेन द्वारा लिया गया समय Tₑ है और दुरंतो ट्रेन द्वारा लिया गया समय T_d है। पहली शर्त के अनुसार, Tₑ = T_d + 1। जब एक्सप्रेस ट्रेन की गति में 50% की वृद्धि होती है, तो इसकी गति मूल गति की 1.5 गुना हो जाती है, इसलिए लिया गया नया समय Tₑ / 1.5 = ⅔ Tₑ है। दूसरी शर्त के अनुसार यह नया समय दुरंतो ट्रेन से 2 घंटे कम है, इसलिए ⅔ Tₑ = T_d - 2।

दोनों स्थितियों के बीच एक्सप्रेस ट्रेन के लिए समय का कुल अंतर दुरंतो ट्रेन से 1 घंटा पीछे होने और 2 घंटे आगे होने के बीच का अंतर है, जो कि 1 + 2 = 3 घंटे है। हम इस संबंध का उपयोग करके Tₑ का मान ज्ञात कर सकते हैं: Tₑ - ⅔ Tₑ = 3 ⅓ Tₑ = 3 Tₑ = 9 घंटे

चूंकि एक्सप्रेस ट्रेन को 9 घंटे लगते हैं और यह दुरंतो ट्रेन से 1 घंटा अधिक है, इसलिए दुरंतो ट्रेन द्वारा लिया गया समय T_d = 9 - 1 = 8 घंटे है। दुरंतो ट्रेन की गति है: गति = (दूरी)/(समय) = ⁴³²⁄₈ = 54 किमी/घंटा

व्याख्या

जब ब्याज 12% की दर से एक वर्ष के लिए वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो ब्याज = 4000 × ¹²⁄₁₀₀ = 480 होता है।

जब ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो वार्षिक दर को 2 से विभाजित किया जाता है और एक वर्ष में अवधियों की संख्या 2 होती है। इस प्रकार, प्रति अवधि प्रभावी दर r = 6% है और अवधियों की संख्या n = 2 है। चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र CI = P[(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ - 1] का उपयोग करने पर: CI = 4000[(1 + ⁶⁄₁₀₀)² - 1] = 4000[(1.06)² - 1] = 4000[1.1236 - 1] = 4000 × 0.1236 = 494.4.

दोनों ब्याजों के बीच का अंतर = 494.4 - 480 = 14.4 है।

एक वर्ष की अवधि के लिए एक त्वरित तरीका यह समझना है कि वार्षिक और अर्धवार्षिक संयोजन के बीच का अंतर दूसरी छमाही के दौरान पहली छमाही के ब्याज पर अर्जित ब्याज होता है। पहली छमाही के लिए ब्याज = 4000 × ⁶⁄₁₀₀ = 240. अंतर = शेष छमाही के लिए 240 रुपये पर 6% की दर से ब्याज = 240 × ⁶⁄₁₀₀ = 14.4.

व्याख्या

दिया गया रैखिक समीकरण 7x - (3(2x - 3))/(2) = ½ है। व्यंजक को सरल करने और x का मान ज्ञात करने के लिए, हर (denominator) को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 2 से गुणा करें:

2(7x) - 3(2x - 3) = 1

अब, बाईं ओर के कोष्ठक (bracket) को खोलें:

14x - 6x + 9 = 1

x वाले पदों को एक साथ रखें और सरल करें:

8x + 9 = 1

x वाले पद को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों से 9 घटाएं:

8x = 1 - 9

8x = -8

दोनों पक्षों को 8 से विभाजित करें:

x = ⁻⁸⁄₈ = -1

व्याख्या

व्यंजक a³ + b³ का मान बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। इस सूत्र में दिए गए मान a + b = 4 और ab = 3 रखने पर, गणना 4³ - 3(3)(4) हो जाती है। इसे हल करने पर 64 - 36 प्राप्त होता है, जिसका परिणाम 28 आता है।

वैकल्पिक रूप से, एक त्वरित दृष्टिकोण के लिए, कोई भी ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कर सकता है जिनका योग 4 और गुणनफल 3 हो। संख्याएँ 1 और 3 इन शर्तों को पूरा करती हैं क्योंकि 1 + 3 = 4 और 1 × 3 = 3 है। उनके घनों के योग की गणना करने पर 1³ + 3³ = 1 + 27 = 28 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि अभीष्ट भिन्न x है। प्रश्नानुसार, इस भिन्न और इसके व्युत्क्रम के 7 गुना का योग 11/2 के बराबर है। इसे समीकरण x + 7 · (1/x) = 11/2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

x का मान ज्ञात करने के लिए, हरों को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 2x से गुणा करें: 2x² + 14 = 11x

पदों को एक मानक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: 2x² - 11x + 14 = 0

हम इस द्विघात समीकरण को मध्य पद को विभाजित करके हल करते हैं: 2x² - 7x - 4x + 14 = 0 x(2x - 7) - 2(2x - 7) = 0 (x - 2)(2x - 7) = 0

समीकरण के मूल x = 2 या x = 7/2 हैं। दिए गए विकल्पों में से, मान 7/2 उपस्थित है। हम मूल व्यंजक में 7/2 प्रतिस्थापित करके इसकी पुष्टि कर सकते हैं: 7/2 + 7 · (2/7) = 7/2 + 2 = 7/2 + 4/2 = 11/2

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी का सार्व अंतर d, सूत्र d = (aₘ - aₙ)/(m - n) द्वारा निर्धारित किया जाता है। 9वें पद a₉ = 10 और तीसरे पद a₃ = -8 के मान रखने पर, हम d = (10 - (-8))/(9 - 3) = ¹⁸⁄₆ = 3 की गणना करते हैं। 16वां पद a₁₆ संबंध aₖ = aₘ + (k - m)d का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। ज्ञात 9वें पद और सार्व अंतर का मान रखने पर, हमें a₁₆ = 10 + (16 - 9) × 3 = 10 + 21 = 31 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी क्षैतिज रेखा y = k में एक बिंदु (x, y) का प्रतिबिंब (image) (x', y') होता है, जहाँ x-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है (x' = x) क्योंकि रेखा x-अक्ष के समानांतर होती है। प्रतिबिंब का y-निर्देशांक इस तथ्य से निर्धारित होता है कि परावर्तन रेखा, बिंदु और उसके प्रतिबिंब को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक होती है। इसका अर्थ यह है कि y-निर्देशांकों का मध्यबिंदु रेखा y = k पर स्थित होना चाहिए।

y-निर्देशांक के लिए मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करने पर: (y + y')/(2) = k y' = 2k - y

दिए गए मानों x = 1, y = 2, और k = 3 को प्रतिस्थापित करने पर: x' = 1 y' = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4

अतः, प्रतिबिंबित बिंदु (1, 4) है।

व्याख्या

विभाजन सूत्र के अनुसार, यदि कोई बिंदु (x, y) बिंदुओं B(x₁, y₁) और C(x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को m:n के अनुपात में विभाजित करता है, तो विभाजन बिंदु का y-निर्देशांक इस प्रकार दिया जाता है: y = (m y₂ + n y₁)/(m+n)।

इस प्रश्न में, बिंदु A(2, 1) रेखाखंड BC को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है, जहाँ B = (1, -3) और C = (4, y) हैं।

दिए गए मानों को y-निर्देशांक सूत्र में रखने पर: 1 = (2(y) + 3(-3))/(2 + 3)

दोनों पक्षों को हर से गुणा करने पर: 1 · 5 = 2y - 9 5 = 2y - 9

y के लिए हल करने पर: 2y = 5 + 9 2y = 14 y = 7

व्याख्या

एक रेखा X-अक्ष को उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है जहाँ उसका y-निर्देशांक शून्य के बराबर होता है। समीकरण 2x + 5y = -6 के लिए इस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरण में y = 0 रखते हैं:

2x + 5(0) = -6

2x = -6

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करके x का मान ज्ञात करने पर:

x = -6 / 2 = -3

चूँकि x-निर्देशांक -3 है और y-निर्देशांक 0 है, इसलिए रेखा X-अक्ष को बिंदु (-3, 0) पर काटती है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष B से कर्ण AC पर खींचा गया शीर्षलंब BD दो छोटे त्रिभुज बनाता है जो एक-दूसरे के और मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं। समकोण त्रिभुज शीर्षलंब प्रमेय (Right Triangle Altitude Theorem), जिसे गुणोत्तर माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) भी कहा जाता है, के अनुसार, इस शीर्षलंब की लंबाई कर्ण पर इसके द्वारा बनाए गए दो खंडों की लंबाइयों का गुणोत्तर माध्य होती है।

गणितीय संबंध को BD² = AD × DC के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस सूत्र में दिए गए मान AD = 9 सेमी और DC = 16 सेमी रखने पर, हमें BD² = 9 × 16 प्राप्त होता है। इन मानों का गुणा करने पर BD² = 144 प्राप्त होता है। शीर्षलंब BD की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं, जिससे BD = √(144) = 12 सेमी प्राप्त होता है। यह ज्यामितीय गुण △ ADB और △ BDC की समरूपता से प्राप्त होता है, जहाँ संगत भुजाओं का अनुपात स्थिर होता है, विशेष रूप से AD/BD = BD/DC।

व्याख्या

दिए गए कोणों के लिए त्रिकोणमितीय मान tan 45° = 1 और sec 60° = 2 (चूंकि cos 60° = 1/2) हैं। इन मानों को व्यंजक में रखने पर:

tan 45° + (4)/(√(3)) sec 60° = 1 + (4)/(√(3))(2)

= 1 + (8)/(√(3))

इन पदों को एक एकल भिन्न में संयोजित करने के लिए, उभयनिष्ठ हर ज्ञात करें, जो कि √3 है:

= √3 · 1 + 8{√3}

= √3 + 8{√3}

व्याख्या

समकोण त्रिभुज Δ DEF में, जहाँ ∠ E = 90° है, स्पर्शज्या (tangent) के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करके भुजा DE की लंबाई ज्ञात की जा सकती है। दिए गए कोण ∠ D = 30° के लिए, भुजा EF सम्मुख भुजा है और DE संलग्न भुजा है। संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

tan(D) = (EF)/(DE)

ज्ञात मानों m ∠ D = 30° और EF = 2√3 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

tan(30°) = 2√3/DE

मानक त्रिकोणमितीय मान tan(30°) = (1)/(√(3)) का उपयोग करने पर:

(1)/(√(3)) = 2√3/DE

DE का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणा (cross-multiplying) करने पर:

DE = 2√3 × √3 DE = 2 × 3 DE = 6 सेमी।

व्याख्या

साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के बीच का संबंध त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 द्वारा दिया गया है। sin θ = 20/29 का दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर:

(20/29)² + cos² θ = 1

400/841 + cos² θ = 1

cos² θ = 1 - 400/841

cos² θ = 441/841

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें प्राप्त होता है:

cos θ = √(441/841) = 21/29

वैकल्पिक रूप से, पाइथागोरस त्रिक (20, 21, 29) का उपयोग करके, जहाँ सम्मुख भुजा 20 है और कर्ण 29 है, संलग्न भुजा की गणना इस प्रकार की जाती है: √(29² - 20²) = √(841 - 400) = √(441) = 21। चूंकि cos θ संलग्न भुजा और कर्ण का अनुपात है, इसलिए इसका मान 21/29 है।

व्याख्या

यदि A, 3 दिनों में कार्य का 1/3 भाग पूरा करता है, तो A द्वारा पूरे कार्य को समाप्त करने में लिया गया समय = 3 × 3 = 9 दिन है। इसी प्रकार, यदि B, 9 दिनों में कार्य का 1/2 भाग पूरा करता है, तो B द्वारा पूरे कार्य को समाप्त करने में लिया गया समय = 9 × 2 = 18 दिन है।

कार्य की दर के सूत्र का उपयोग करते हुए, A और B की प्रति दिन की संयुक्त दर है: दर_A₊_B = ⅑ + ¹⁄₁₈ = (2 + 1)/(18) = ³⁄₁₈ = प्रति दिन ⅙ कार्य

कार्य का आधा भाग (कार्य = 1/2) पूरा करने के लिए आवश्यक समय की गणना करने के लिए: समय = (कार्य)/(दर) = (1/2)/(1/6) = ½ × 6 = 3 दिन

व्याख्या

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ d₁ और d₂ विकर्णों की लंबाई को दर्शाते हैं।

25 सेमी और 20 सेमी के विकर्णों की लंबाई दिए जाने पर, क्षेत्रफल है:

क्षेत्रफल = ½ × 25 × 20 क्षेत्रफल = 25 × 10 = 250 वर्ग सेमी।

व्याख्या

दी गई छूट अंकित मूल्य (MP) और विक्रय मूल्य (SP) के बीच का अंतर है। यह देखते हुए कि अंकित मूल्य (MP) = 4800 रुपये और विक्रय मूल्य (SP) = 4200 रुपये है, वास्तविक छूट की गणना इस प्रकार की जाती है:

छूट = अंकित मूल्य (MP) - विक्रय मूल्य (SP) = 4800 - 4200 = 600

छूट प्रतिशत की गणना हमेशा निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके अंकित मूल्य के आधार पर की जाती है:

छूट % = (छूट)/(अंकित मूल्य) × 100

सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर:

छूट % = ⁶⁰⁰⁄₄₈₀₀ × 100

भिन्न को सरल करने पर, ⁶⁰⁰⁄₄₈₀₀ घटकर ⅛ हो जाता है। इस भिन्न को प्रतिशत में बदलने पर:

छूट % = ⅛ × 100 = 12.5%