एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

किसी वस्तु के विक्रय मूल्य की गणना अंकित मूल्य में से छूट की राशि घटाकर की जाती है। 3840 रुपये का अंकित मूल्य और 20% की छूट दर दिए जाने पर, विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 80% दर्शाता है। सूत्र SP = MP × (1 - (D)/(100)) का उपयोग करते हुए, हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:

SP = 3840 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) SP = 3840 × ⁸⁰⁄₁₀₀ SP = 3840 × 0.8 SP = 3072

इस प्रकार, मशीन का अंतिम विक्रय मूल्य 3072 रुपये है।

व्याख्या

सबसे पहले, सूत्र CP = (SP × 100)/(100 + P%) का उपयोग करके मिश्रण का क्रय मूल्य (CP) ज्ञात करें। दिया गया है कि विक्रय मूल्य SP = 324 और लाभ P% = 20 है, तो मिश्रण का क्रय मूल्य CP = (324 × 100)/(120) = 270 रुपये/किग्रा है।

मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करते हुए, दोनों प्रकार की चाय के अनुपात की गणना उनकी व्यक्तिगत लागतों की तुलना मिश्रण के औसत क्रय मूल्य से करके की जा सकती है। मान लीजिए पहली चाय की कीमत C₁ = 240 और दूसरी चाय की कीमत C₂ = 280 है। औसत मूल्य M = 270 है।

240 रुपये वाली चाय की मात्रा का 280 रुपये वाली चाय की मात्रा से अनुपात (C₂ - M) : (M - C₁) है। अनुपात = (280 - 270) : (270 - 240) = 10 : 30 = 1 : 3।

व्याख्या

मान लीजिए कि राम, रहीम और रमेश की आयु क्रमशः R₁, R₂ और R₃ है। दी गई औसत आयु से, हम आयु का निम्नलिखित योग प्राप्त कर सकते हैं: R₁ + R₂ = 18 × 2 = 36 R₂ + R₃ = 25 × 2 = 50 R₁ + R₃ = 29 × 2 = 58

इन तीनों समीकरणों को एक साथ जोड़ने पर 2(R₁ + R₂ + R₃) = 36 + 50 + 58 = 144 प्राप्त होता है। 2 से भाग देने पर, उनकी आयु का कुल योग R₁ + R₂ + R₃ = 72 है।

व्यक्तिगत आयु ज्ञात करने के लिए, कुल योग में से किन्हीं दो के योग को घटाएं: राम की आयु R₁ = 72 - (R₂ + R₃) = 72 - 50 = 22 वर्ष। रहीम की आयु R₂ = 72 - (R₁ + R₃) = 72 - 58 = 14 वर्ष। रमेश की आयु R₃ = 72 - (R₁ + R₂) = 72 - 36 = 36 वर्ष।

22, 14 और 36 वर्ष की आयु की तुलना करने पर, सबसे बड़ा व्यक्ति रमेश है, जिसकी आयु 36 वर्ष है।

व्याख्या

जब किसी वस्तु को एक मूल्य पर बेचने पर अर्जित लाभ, दूसरे मूल्य पर बेचने पर हुई हानि के बराबर होता है, तो क्रय मूल्य (CP) दोनों विक्रय मूल्यों का अंकगणितीय माध्य होता है। इस संबंध का उपयोग करते हुए:

CP = (540 + 370)/(2) = ⁹¹⁰⁄₂ = 455

प्रश्न में कहा गया है कि नया विक्रय मूल्य (SP) 910 रुपये है। इस मूल्य पर लाभ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच के अंतर से निर्धारित होता है:

लाभ (Profit) = SP - CP = 910 - 455 = 455

लाभ प्रतिशत की गणना करने के लिए, हम लाभ को क्रय मूल्य से विभाजित करते हैं और 100 से गुणा करते हैं:

लाभ प्रतिशत (Profit Percentage) = (Profit)/(CP) × 100 = ⁴⁵⁵⁄₄₅₅ × 100 = 100%

व्याख्या

छात्रों का कुल प्रतिशत 100% है। यह दिया गया है कि 5% छात्र दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण रहे, इसलिए कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत 100% - 5% = 95% है। मान लीजिए H इतिहास में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों के प्रतिशत को दर्शाता है और I हिंदी में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों के प्रतिशत को दर्शाता है। दो समुच्चयों (sets) के लिए समावेशन-अपवर्जन के सिद्धांत (principle of inclusion-exclusion) के अनुसार, कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: n(H ∪ I) = n(H) + n(I) - n(H ∩ I), जहाँ n(H ∩ I) दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 95 = 65 + 55 - n(H ∩ I) 95 = 120 - n(H ∩ I) n(H ∩ I) = 120 - 95 n(H ∩ I) = 25

अतः, दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत 25% है।

व्याख्या

साइकिल चालक द्वारा तय की गई कुल दूरी की गणना सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करके की जाती है। 16.5 किमी/घंटा की गति और 45 मिनट का समय दिए जाने पर, किलोमीटर में दूरी 16.5 × ⁴⁵⁄₆₀ = 12.375 किमी है। सेंटीमीटर में मापे गए पहिये के व्यास के साथ संरेखित करने के लिए, इस दूरी को परिवर्तित किया जाता है: 12.375 × 1,00,000 = 12,37,500 सेमी।

पहिये के एक पूरे चक्कर में तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है। परिधि के सूत्र C = π d का उपयोग करते हुए, जहाँ व्यास d = 21 सेमी और π ≈ ²²⁄₇ है, हमें C = ²²⁄₇ × 21 = 66 सेमी प्राप्त होता है। चक्करों की कुल संख्या कुल दूरी को पहिये की परिधि से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: (12,37,500)/(66)। इस गणना को सरल करने पर, (12,37,500)/(6 × 11) = (2,06,250)/(11) = 18,750।

व्याख्या

प्रत्येक योजना के लिए साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है। मान लीजिए कि तीनों योजनाओं में निवेश की गई राशियाँ क्रमशः P₁, P₂, और P₃ हैं। चूंकि एक वर्ष के बाद प्रत्येक योजना से प्राप्त ब्याज समान है, इसलिए हम निम्नलिखित संबंध स्थापित कर सकते हैं:

(P₁ × 3 × 1)/(100) = (P₂ × 5 × 1)/(100) = (P₃ × 8 × 1)/(100)

यह सरल होकर 3P₁ = 5P₂ = 8P₃ हो जाता है। निवेश का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दरों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेते हैं:

P₁ : P₂ : P₃ = ⅓ : ⅕ : ⅛

भिन्नों को हटाने के लिए, प्रत्येक पद को 3, 5 और 8 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 120 है:

P₁ : P₂ : P₃ = 40 : 24 : 15

अनुपात इकाइयों का योग 40 + 24 + 15 = 79 है। यह देखते हुए कि कुल निवेश 7900 रुपये है, एक अनुपात इकाई का मूल्य ⁷⁹⁰⁰⁄₇₉ = 100 है। 3% पर निवेश की गई राशि P₁ के संगत है, जो कि 40 इकाइयाँ है:

P₁ = 40 × 100 = 4000

व्याख्या

दिया गया समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 है। दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर x² + 1 = 2x प्राप्त होता है, जिसे द्विघात रूप x² - 2x + 1 = 0 में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। यह एक पूर्ण वर्ग व्यंजक (x - 1)² = 0 है, जिसका अर्थ है कि x = 1 है।

एक बार जब x का मान 1 निर्धारित हो जाता है, तो इसे आवश्यक व्यंजक x²¹ + (1)/(x¹³³¹⁾ में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। चूंकि 1 की कोई भी धनात्मक घात हमेशा 1 होती है, इसलिए गणना इस प्रकार होगी:

1²¹ + (1)/(1¹³³¹⁾ = 1 + ¹⁄₁ = 1 + 1 = 2

बीजगणित में, सर्वसमिका x + ¹⁄ₓ = 2 विशेष रूप से x = 1 को एकमात्र वास्तविक समाधान के रूप में पहचानती है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि इस रूप में x की किसी भी घात और उसके व्युत्क्रम का योग हमेशा 2 ही होगा।

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) है। इस सूत्र में दिए गए मानों x³ - y³ = 81 और x - y = 3 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 81 = 3(x² + xy + y²) प्राप्त होता है, जो सरल होकर x² + xy + y² = 27 हो जाता है।

एक अन्य मूलभूत सर्वसमिका (x - y)² = x² - 2xy + y² है। इस समीकरण में x - y = 3 प्रतिस्थापित करने पर 3² = x² + y² - 2xy, या x² + y² - 2xy = 9 प्राप्त होता है।

अब हमारे पास दो समीकरणों का एक निकाय है:

1. x² + y² + xy = 27
2. x² + y² - 2xy = 9

xy को विलुप्त करने और x² + y² का मान ज्ञात करने के लिए, पहले समीकरण को 2 से गुणा करें जिससे 2(x² + y²) + 2xy = 54 प्राप्त होता है। इसे दूसरे समीकरण में जोड़ने पर 2xy पद विलुप्त हो जाते हैं: 2(x² + y²) + (x² + y²) = 54 + 9 3(x² + y²) = 63 x² + y² = 21

व्याख्या

दिए गए समीकरण √(5x - 6) + √(5x + 6) = 6 में x = 2 रखने पर। पहला पद √(5(2) - 6) = √(10 - 6) = √4 = 2 हो जाता है। दूसरा पद √(5(2) + 6) = √(10 + 6) = √(16) = 4 हो जाता है। इन परिणामों को आपस में जोड़ने पर 2 + 4 = 6 प्राप्त होता है, जो समीकरण के दाहिने पक्ष को संतुष्ट करता है।

वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय रूप से हल करने पर, एक करणी (radical) को अलग करें: √(5x + 6) = 6 - √(5x - 6)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 5x + 6 = 36 + (5x - 6) - 12√(5x - 6) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 5x + 6 = 30 + 5x - 12√(5x - 6) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 5x को काटने और पुनर्व्यवस्थित करने पर 12√(5x - 6) = 30 - 6, या 12√(5x - 6) = 24 प्राप्त होता है। 12 से भाग देने पर √(5x - 6) = 2 प्राप्त होता है। एक बार फिर दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 5x - 6 = 4 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 5x = 10 प्राप्त होता है, जिससे x = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 2x + ¹⁄₂ₓ = 2 है। यह मानक बीजगणितीय रूप a + ¹⁄ₐ = 2 में है, जो केवल और केवल तभी होता है जब a = 1 हो। 2x = 1 रखने पर, हमें x का मान ½ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है ¹⁄ₓ = 2।

वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम √(2(¹⁄ₓ)⁴ + (¹⁄ₓ)⁵) में ¹⁄ₓ = 2 प्रतिस्थापित करते हैं:

√(2(2)⁴ + (2)⁵) = √(2(16) + 32) √(32 + 32) = √(64) √(64) = 8

व्याख्या

बाह्य कोण प्रमेय (Exterior Angle Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का माप उसके दो सम्मुख अंतः कोणों के मापों के योग के बराबर होता है। Δ ABC में, भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है, जिससे बाह्य कोण ∠ ACD बनता है। दो सम्मुख अंतः कोण ∠ BAC और ∠ ABC हैं।

इसलिए, इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: ∠ ACD = ∠ BAC + ∠ ABC

दिया गया है कि ∠ ACD = 114° और ∠ ABC = ½∠ BAC, हम मान सकते हैं कि ∠ BAC = x। इन मानों को समीकरण में रखने पर: 114° = x + ½x 114° = ³⁄₂x

x का मान ज्ञात करने के लिए: x = (114° × 2)/(3) x = 38° × 2 x = 76°

∠ BAC का मान 76° है।

व्याख्या

△OAP में, त्रिज्या OA स्पर्श बिंदु A पर स्पर्श रेखा PA पर लंबवत है, जिसका अर्थ है ∠OAP = 90°। एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, इसलिए △OAP में: ∠APO = 180° - (∠OAP + ∠AOP) = 180° - (90° + 50°) = 40°। एक बाहरी बिंदु P से केंद्र O तक स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को विभाजित करने वाला रेखाखंड PO, ∠APB के लिए एक कोण समद्विभाजक के रूप में कार्य करता है। इस प्रकार, कुल कोण ∠APB, कोण ∠APO का दोगुना है: ∠APB = 2 × ∠APO = 2 × 40° = 80°।

व्याख्या

△PQR में, A, QR का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है और इसकी लंबाई उस दूसरी भुजा की लंबाई की आधी होती है।

दिया गया है कि AB ∥ PR, इसलिए B, PQ का मध्य-बिंदु होना चाहिए। परिणामस्वरूप, AB = ½ PR और BP = ½ PQ। इसी प्रकार, चूंकि AC ∥ PQ, C, PR का मध्य-बिंदु होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि AC = ½ PQ और PC = ½ PR।

चतुर्भुज ABPC एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि इसकी सम्मुख भुजाएँ AB ∥ PC और AC ∥ PB समांतर हैं। चतुर्भुज ABPC का परिमाप इसकी चारों भुजाओं की लंबाइयों का योग है: परिमाप = AB + BP + PC + CA परिमाप = ½ PR + ½ PQ + ½ PR + ½ PQ परिमाप = PR + PQ

समीकरण में दिए गए मान PQ = PR = 18 सेमी रखने पर: परिमाप = 18 + 18 = 36 सेमी

व्याख्या

चूंकि PT, ∠QPS का कोण समद्विभाजक है, इसलिए ∠QPT = ∠TPS = 30° होगा। इसका अर्थ है कि कुल कोण ∠QPS = ∠QPT + ∠TPS = 30° + 30° = 60° है।

दिया गया है कि PS, ∠QPR का कोण समद्विभाजक है, इसलिए कोण ∠QPS और ∠SPR बराबर हैं। अतः, ∠SPR = ∠QPS = 60°। ∠TPR का मान ज्ञात करने के लिए, हम इसके घटक भागों को जोड़ते हैं: ∠TPR = ∠TPS + ∠SPR = 30° + 60° = 90°।

∠TPR = 90° होने के कारण, △PTR एक समकोण त्रिभुज है जिसमें P पर समकोण है। △PTR के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: PR² + PT² = TR² PR² + 9² = 15² PR² + 81 = 225 PR² = 144 PR = 12 सेमी

समकोण △PTR के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई क्षेत्रफल = ½ × PT × PR क्षेत्रफल = ½ × 9 × 12 क्षेत्रफल = 54 सेमी²

व्याख्या

व्यंजक (2)/(cot A - tan A) है। cot A को (1)/(tan A) के रूप में व्यक्त करके, हर को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

cot A - tan A = (1)/(tan A) - tan A = (1 - tan² A)/(tan A)

इस परिणाम को वापस मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(2 tan A)/(1 - tan² A) = (2 tan A)/(1 - tan² A)

मानक त्रिकोणमितीय द्वि-कोण (double-angle) सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, tan 2A = (2 tan A)/(1 - tan² A)। वैकल्पिक रूप से, इसे tan A = (sin A)/(cos A) प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है जिससे (2 sin A cos A)/(cos² A - sin² A) प्राप्त होता है, जो सरल होकर (sin 2A)/(cos 2A) या tan 2A हो जाता है।

व्याख्या

वर्गमूल के भीतर अंश का परिमेयकरण करके व्यंजक को सरल किया जाता है। दिए गए √((csc A - 1)/(csc A + 1)) में, हम करणी (radical) के अंदर अंश और हर दोनों को (csc A - 1) से गुणा करते हैं। इससे प्राप्त होता है:

√(((csc A - 1)²)/((csc A + 1)(csc A - 1))) = √(((csc A - 1)²)/(csc² A - 1))

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + cot² A = csc² A का उपयोग करके, हम हर में csc² A - 1 = cot² A प्रतिस्थापित करते हैं:

√(((csc A - 1)²)/(cot² A)) = (csc A - 1)/(cot A)

इसके बाद हम उभयनिष्ठ हर के ऊपर अंश के पदों को अलग करते हैं:

(csc A)/(cot A) - (1)/(cot A)

इन फलनों को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के पदों में व्यक्त करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(1/sin A)/(cos A/sin A) - tan A = (1)/(cos A) - tan A

सर्वसमिका sec A = (1)/(cos A) को लागू करने पर अंतिम सरलीकृत रूप sec A - tan A प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक (sec⁴ A - tan² A) - (tan⁴ A + sec² A) को (sec⁴ A - tan⁴ A) - (sec² A + tan² A) के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करते हुए, व्यंजक का पहला भाग (sec² A - tan² A)(sec² A + tan² A) बन जाता है। मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² A - tan² A = 1 के अनुसार, यह 1 · (sec² A + tan² A) तक सरलीकृत हो जाता है। इसे पुनर्व्यवस्थित व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर (sec² A + tan² A) - (sec² A + tan² A) प्राप्त होता है, जो 0 के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, A = 0 रखने पर (1⁴ - 0²) - (0⁴ + 1²) = 1 - 1 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

1287 का अभाज्य गुणनखंडन तीन क्रमागत विषम संख्याओं की पहचान करता है। अंकों का योग 1+2+8+7 = 18 है, जो 9 से विभाज्यता को दर्शाता है। 1287 को 9 से विभाजित करने पर 143 प्राप्त होता है, और 143 के गुणनखंड 11 × 13 हैं। इससे तीन क्रमागत विषम संख्याओं की पहचान 9, 11 और 13 के रूप में होती है। इस समूह में, 13 सबसे बड़ा मान है।

व्याख्या

प्रश्न के अनुसार, 45 पुरुष या 60 लड़के किसी कार्य को 20 दिनों में पूरा कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि 45 पुरुषों की कुल कार्य क्षमता 60 लड़कों के बराबर है। कार्यकुशलता का अनुपात स्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 45M = 60B, जो सरल होकर 3M = 4B, या 1M = ⁴⁄₃B हो जाता है।

कुल कार्य की गणना लड़कों के दिनों (boy-days) के रूप में 60 × 20 = 1200 boy-days की जा सकती है। 15 पुरुषों और 20 लड़कों के संयुक्त समूह द्वारा लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम पहले पुरुषों को उनके समकक्ष लड़कों में परिवर्तित करते हैं: 15M = 15 × ⁴⁄₃B = 20B। इसलिए, संयुक्त समूह 20B + 20B = 40 लड़कों के बराबर है। 40 लड़कों द्वारा कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक समय की गणना कुल कार्य को लड़कों की संख्या से विभाजित करके की जाती है: 1200 ÷ 40 = 30 दिन।

वैकल्पिक रूप से, चूंकि 45 पुरुष 20 दिन लेते हैं, इसलिए 15 पुरुषों का एक उपसमूह (मूल समूह का एक-तिहाई) तीन गुना अधिक समय लेगा, जो कि 60 दिन है। इसी प्रकार, चूंकि 60 लड़के 20 दिन लेते हैं, इसलिए 20 लड़कों का एक उपसमूह (मूल समूह का एक-तिहाई) भी 60 दिन लेगा। संयुक्त कार्य सूत्र (1)/(T) = (1)/(T_पुरुष) + (1)/(T_लड़के) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: (1)/(T) = ¹⁄₆₀ + ¹⁄₆₀ = ²⁄₆₀ = ¹⁄₃₀। इसका व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर, लिया गया समय 30 दिन है।

व्याख्या

एक अर्धगोले को पिघलाकर बनाई जाने वाली गोलाकार गेंदों की संख्या n, अर्धगोले के आयतन और एक गोलाकार गेंद के आयतन का अनुपात होती है।

अर्धगोले का आयतन = ⅔ π R³ प्रत्येक गोलाकार गेंद का आयतन = ⁴⁄₃ π r³

दिया गया है, अर्धगोले की त्रिज्या R = 6 सेमी और प्रत्येक गेंद की त्रिज्या r = 1 सेमी है, गेंदों की संख्या की गणना निम्नानुसार की जाती है:

n = (2)/(3) π R³{⁴⁄₃ π r³}

n = R³{2 r³}

n = 6³{2 × 1³}

n = ²¹⁶⁄₂

n = 108

व्याख्या

छूट प्रतिशत की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: छूट प्रतिशत = ((अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य)/(अंकित मूल्य)) × 100।

दिया गया है कि अंकित मूल्य (MP) 1280 रुपये है और विक्रय मूल्य (SP) 900 रुपये है, तो दी गई छूट की राशि 1280 - 900 = 380 है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

छूट प्रतिशत = ³⁸⁰⁄₁₂₈₀ × 100

छूट प्रतिशत = ³⁸⁄₁₂₈ × 100

छूट प्रतिशत = ¹⁹⁄₆₄ × 100

छूट प्रतिशत = ¹⁹⁰⁰⁄₆₄

भाग करने पर, 1900 ÷ 64 = 29.6875 प्राप्त होता है। दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें 29.68 प्रतिशत प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए संतरे, अनानास और मिश्रित फलों के रस के डिब्बों की प्रारंभिक मात्रा क्रमशः 8x, 9x और 15x है।

बिक्री के बाद प्रत्येक रस के शेष स्टॉक की गणना प्रारंभिक मात्रा को शेष प्रतिशत से गुणा करके की जाती है।

संतरे के रस के लिए, 25% बिक जाता है, इसलिए 75% शेष रहता है: शेष संतरा = 8x × 0.75 = 6x

अनानास के रस के लिए, 33.33% (जो कि ⅓ है) बिक जाता है, इसलिए ⅔ शेष रहता है: शेष अनानास = 9x × ⅔ = 6x

मिश्रित फलों के रस के लिए, 20% बिक जाता है, इसलिए 80% शेष रहता है: शेष मिश्रित फल = 15x × 0.80 = 12x

शेष स्टॉक का अनुपात 6x : 6x : 12x है। प्रत्येक पद को 6x से विभाजित करके इसे सरल करने पर अनुपात 1 : 1 : 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पूरी कक्षा के औसत वजन की गणना भारित औसत (weighted average) सूत्र Wₐᵥ_g = (n₁w₁ + n₂w₂)/(n₁ + n₂) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ n₁ और n₂ लड़कों और लड़कियों के अनुपात को दर्शाते हैं, और w₁ और w₂ उनके क्रमशः औसत वजन को दर्शाते हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ लड़कों और लड़कियों का अनुपात 2 : 3 है, w₁ = 18 किग्रा, और w₂ = 21 किग्रा:

औसत वजन = ((2 × 18) + (3 × 21))/(2 + 3)

औसत वजन = (36 + 63)/(5)

औसत वजन = ⁹⁹⁄₅

भारित औसत कुल जनसंख्या के भीतर प्रत्येक समूह के सापेक्ष अनुपात को ध्यान में रखकर समग्र माध्य (overall mean) ज्ञात करता है।

व्याख्या

कुल क्रय मूल्य (CP) की गणना खरीदे गए दूध की मात्रा को प्रति लीटर की दर से गुणा करके की जाती है: क्रय मूल्य (CP) = 50 लीटर × 40 रुपये/लीटर = 2000 रुपये। चूंकि पानी की लागत को नगण्य माना जाता है, इसलिए कुल निवेश 2000 रुपये ही रहता है। व्यापारी 50 लीटर दूध में 5 लीटर पानी मिलाता है, जिससे मिश्रण की कुल मात्रा 50 + 5 = 55 लीटर हो जाती है। इसके बाद कुल विक्रय मूल्य (SP) इस कुल मात्रा को विक्रय दर से गुणा करके ज्ञात किया जाता है: विक्रय मूल्य (SP) = 55 लीटर × 42 रुपये/लीटर = 2310 रुपये। वास्तविक लाभ कुल विक्रय मूल्य और कुल क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = 2310 - 2000 = 310 रुपये। लाभ प्रतिशत की गणना मानक सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100 = ³¹⁰⁄₂₀₀₀ × 100 = ³¹⁄₂ = 15.5।

व्याख्या

यदि B को आधार मान x माना जाए, तो इस कथन का कि 'A, B से 6 गुना अधिक है' अर्थ है कि A, B और B के मान के अतिरिक्त 6 गुना के योग के बराबर है। इसलिए, A = x + 6x = 7x.

B, A से कितने प्रतिशत कम है, यह ज्ञात करने के लिए, A के सापेक्ष प्रतिशत कमी के सूत्र का उपयोग करें:

प्रतिशत कमी = (A - B)/(A) × 100

सूत्र में A = 7x और B = x रखने पर:

प्रतिशत कमी = (7x - x)/(7x) × 100 = ⁶ˣ⁄₇ₓ × 100 = ⁶⁄₇ × 100

चूंकि भिन्न 1/7 लगभग 14.2857% के बराबर है, इसलिए 6/7 की गणना इस प्रकार है:

6 × 14.2857% = 85.7142%

इसके परिणामस्वरूप लगभग 85.71% प्राप्त होता है।

व्याख्या

पहला धावक सुबह 6:00 बजे शुरू करता है और दूसरा धावक सुबह 8:30 बजे शुरू करता है, जिससे उसे 2.5 घंटे की समय की बढ़त मिलती है। इस समय के दौरान, पहला धावक 8 किमी/घंटा × 2.5 घंटे = 20 किमी की दूरी तय कर लेता है।

चूंकि दोनों एक ही दिशा में आगे बढ़ रहे हैं, इसलिए पहले धावक के सापेक्ष दूसरे धावक की सापेक्ष गति उनकी गतियों का अंतर होगी, जो कि 10 किमी/घंटा - 8 किमी/घंटा = 2 किमी/घंटा है।

दूसरे धावक द्वारा पहले धावक से आगे निकलने के लिए आवश्यक समय की गणना प्रारंभिक दूरी के अंतर को सापेक्ष गति से विभाजित करके की जाती है: T = (20 किमी) / (2 किमी/घंटा) = 10 घंटे

चूंकि दूसरा धावक सुबह 8:30 बजे चलना शुरू करता है, इसलिए वह 10 घंटे बाद आगे निकलेगा। सुबह 8:30 बजे में 10 घंटे जोड़ने पर शाम के 6:30 (6:30 pm) बजते हैं।

व्याख्या

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज के तहत मिश्रधन A का सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ है, जहाँ P मूलधन है, r वार्षिक ब्याज दर है, और n वर्षों की संख्या है।

दिया गया है: A = 7727.104, r = 12%, और n = 3, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

7727.104 = P(1 + ¹²⁄₁₀₀)³ 7727.104 = P(1.12)³

सबसे पहले, 1.12³ के मान की गणना करें: 1.12 × 1.12 = 1.2544 1.2544 × 1.12 = 1.404928

अब, P के लिए हल करें: P = (7727.104)/(1.404928)

भाग देने पर: P = 5500

वैकल्पिक रूप से, 12% की ब्याज दर को भिन्न ³⁄₂₅ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक वर्ष के बाद मूलधन का मिश्रधन से अनुपात 25 : 28 है। तीन वर्ष की अवधि के लिए, यह अनुपात 25³ : 28³ है, जो 15625 : 21952 के बराबर है।

मिश्रधन के अनुपात को दिए गए मान के बराबर रखने पर: 21952 इकाई = 7727.104 1 इकाई = (7727.104)/(21952) = 0.352

तो मूलधन है: P = 15625 × 0.352 = 5500

व्याख्या

दो संख्याओं के योग के वर्ग और उनके अंतर के वर्ग के बीच का संबंध बीजीय सर्वसमिका (a - b)² = (a + b)² - 4ab द्वारा परिभाषित होता है। इस स्थिति में, a = x और b = ¹⁄ₓ मानने पर, पद 4ab, 4(x)(¹⁄ₓ) = 4 हो जाता है। सर्वसमिका में दिए गए मान x + ¹⁄ₓ = 5 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x - ¹⁄ₓ)² = 5² - 4 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर (x - ¹⁄ₓ)² = 25 - 4 = 21 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x - ¹⁄ₓ = ±√(21) प्राप्त होता है।

व्याख्या

सबसे पहले, अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करके x के मान का परिमेयकरण (rationalize) करें: x = √2 + 1{√2 - 1} × √2 + 1{√2 + 1} = (√2 + 1)²{2 - 1} = 2 + 1 + 2√2 = 3 + 2√2

x का व्युत्क्रम (reciprocal) है: ¹⁄ₓ = (1)/(3 + 2√(2)) × 3 - 2√2{3 - 2√2} = 3 - 2√2{9 - 8} = 3 - 2√2

अब, x और उसके व्युत्क्रम का योग ज्ञात करें: x + ¹⁄ₓ = (3 + 2√2) + (3 - 2√2) = 6

x + ¹⁄ₓ = 6 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + ¹⁄ₓ)² = 6² x² + (1)/(x²) + 2 = 36 x² + (1)/(x²) = 34

व्यंजक (x⁵ + x⁴ + x² + x)/(x³) अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करके सरल हो जाता है: (x⁵)/(x³) + (x⁴)/(x³) + (x²)/(x³) + (x)/(x³) = x² + x + ¹⁄ₓ + (1)/(x²)

ज्ञात मानों को समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: (x² + (1)/(x²)) + (x + ¹⁄ₓ) = 34 + 6 = 40

व्याख्या

S = √x + (1)/(√(x)) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका S² = (√x + (1)/(√(x)))² = x + ¹⁄ₓ + 2 का उपयोग करते हैं।

दिया गया है x = 5 - 2√6, हर का परिमेयकरण करके व्युत्क्रम की गणना की जाती है: ¹⁄ₓ = (1)/(5 - 2√(6)) × 5 + 2√6{5 + 2√6} = 5 + 2√6{25 - 24} = 5 + 2√6

अब, वर्ग किए गए व्यंजक में x और ¹⁄ₓ का मान रखने पर: S² = (5 - 2√6) + (5 + 2√6) + 2 S² = 10 + 2 = 12

S का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: S = √(12) = √(4 × 3) = 2√3

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, केंद्रक, परिकेंद्र और अंतःकेंद्र सभी एक ही बिंदु पर संपाती होते हैं। यह बिंदु माध्यिका (जो कि ऊंचाई भी है) को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। परित्रिज्या R शीर्ष से केंद्रक की दूरी के अनुरूप होती है, जबकि अंतःत्रिज्या r केंद्रक से भुजा की दूरी के अनुरूप होती है।

भुजा a वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए मानक सूत्रों का उपयोग करने पर: अंतःत्रिज्या r = (a)/(2√(3)) परित्रिज्या R = (a)/(√(3))

इन दोनों सूत्रों की तुलना करने पर, यह स्पष्ट है कि: R = 2r

दी गई अंतःत्रिज्या r = 10 सेमी को इस संबंध में रखने पर: R = 2 × 10 R = 20 सेमी

व्याख्या

किसी त्रिभुज के अंतःकेंद्र को उस बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोण समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं। ज्यामितीय रूप से, किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उस कोण को बनाने वाली दोनों भुजाओं से समान दूरी पर (समदूरस्थ) होता है। इसलिए, वह बिंदु जहाँ दो कोण समद्विभाजक मिलते हैं, त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर होता है। यह गुण यह सुनिश्चित करता है कि तीसरा कोण समद्विभाजक भी इसी बिंदु से होकर गुजरना चाहिए। अंतःकेंद्र, अंतःवृत्त के केंद्र के रूप में कार्य करता है, जो त्रिभुज के भीतर अंकित एक विशिष्ट वृत्त होता है जो तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है। इस वृत्त की त्रिज्या अंतःकेंद्र से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी होती है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, प्रत्येक शीर्ष पर आंतरिक कोण 60° होता है, इसलिए ∠ A = 60°। लंबकेंद्र P वाले किसी भी त्रिभुज ABC के लिए, कोण ∠ BPC विपरीत शीर्ष A पर बने कोण का संपूरक होता है। इस संबंध को सूत्र ∠ BPC = 180° - ∠ A द्वारा व्यक्त किया जाता है। समबाहु त्रिभुज के लिए ज्ञात मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠ BPC = 180° - 60° = 120° प्राप्त होता है। इसके अतिरिक्त, एक समबाहु त्रिभुज में, लंबकेंद्र और परिकेंद्र संपाती होते हैं। इस स्थिति में, केंद्र पर बना कोण ∠ BPC, परिधि पर बने कोण ∠ BAC का दोगुना होता है, जिसके परिणामस्वरूप समान रूप से 2 × 60° = 120° प्राप्त होता है।

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज में एक कोण का आंतरिक समद्विभाजक विपरीत भुजा को ऐसे खंडों में विभाजित करता है जिनकी लंबाई का अनुपात त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के अनुपात के समान होता है। △ABC में जहाँ AD, ∠A का समद्विभाजक है, इसका अर्थ है BD : DC = AB : AC। दिया गया अनुपात AB : AC = 3 : 4 है, इसलिए BD : DC = 3 : 4 होगा।

त्रिभुज ABD और ADC का शीर्ष A समान है और उनके आधार BD और DC एक ही सीधी रेखा BC पर स्थित हैं। इसका अर्थ है कि दोनों त्रिभुज शीर्ष A से आधार BC तक समान लंबवत ऊंचाई साझा करते हैं। चूंकि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ½ × आधार × ऊंचाई होता है, इसलिए समान ऊंचाई वाले दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके आधारों के अनुपात के बराबर होता है। इसलिए, क्षेत्रफल(△ABD) : क्षेत्रफल(△ADC) = BD : DC = 3 : 4।

△ABC का कुल क्षेत्रफल △ABD और △ADC के क्षेत्रफलों का योग है, जो अनुपात के 3 + 4 = 7 इकाइयों को दर्शाता है। △ABD के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: क्षेत्रफल(△ABD) = (3)/(3 + 4) × क्षेत्रफल(△ABC) क्षेत्रफल(△ABD) = ³⁄₇ × 350 क्षेत्रफल(△ABD) = 3 × 50 = 150 cm²

व्याख्या

मान लीजिए h = 20√3 मीटर प्रकाशस्तंभ की ऊंचाई है। मान लीजिए कि प्रकाशस्तंभ से नाव की प्रारंभिक दूरी d₁ है और 10 सेकंड के बाद की दूरी d₂ है।

त्रिकोणमितीय संबंध d = h cot θ का उपयोग करने पर: d₁ = 20√3 × cot 30° = 20√3 × √3 = 60 मीटर d₂ = 20√3 × cot 60° = 20√3 × (1)/(√(3)) = 20 मीटर

10 सेकंड में नाव द्वारा तय की गई दूरी d₁ - d₂ = 60 - 20 = 40 मीटर है। चूंकि नाव एक स्थिर गति v से चलती है, इसलिए हम गति की गणना इस प्रकार करते हैं: v = (दूरी)/(समय) = ⁴⁰⁄₁₀ = 4 मीटर/सेकंड

प्रारंभिक स्थिति से प्रकाशस्तंभ तक पहुँचने में लिया गया कुल समय, संपूर्ण प्रारंभिक दूरी d₁ को तय करने के लिए आवश्यक समय है: कुल समय = (d₁)/(v) = ⁶⁰⁄₄ = 15 सेकंड

व्याख्या

व्यंजक (sec θ)/(sec θ - 1) + (sec θ)/(sec θ + 1) का मान ज्ञात करने के लिए, हम एक समान हर (common denominator) लेकर पदों को जोड़ते हैं: (sec θ (sec θ + 1) + sec θ (sec θ - 1))/((sec θ - 1)(sec θ + 1)) = (sec² θ + sec θ + sec² θ - sec θ)/(sec² θ - 1) = (2 sec² θ)/(sec² θ - 1)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - 1 = tan² θ का उपयोग करने पर, यह व्यंजक (2 sec² θ)/(tan² θ) हो जाता है। फलन को उनके साइन (sine) और कोसाइन (cosine) रूपों में बदलने पर: (2 / cos² θ)/(sin² θ / cos² θ) = (2)/(sin² θ) = 2 csc² θ

व्याख्या

दक्षिण अफ्रीका के खिलाफ बनाए गए रन, बांग्लादेश के खिलाफ बनाए गए रनों से कितने प्रतिशत अधिक हैं, यह ज्ञात करने के लिए हम प्रतिशत वृद्धि के सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत अधिक = (दक्षिण अफ्रीका के खिलाफ रन - बांग्लादेश के खिलाफ रन)/(बांग्लादेश के खिलाफ रन) × 100

इस सेट के लिए दिए गए आंकड़ों के अनुसार, दक्षिण अफ्रीका के खिलाफ बनाए गए रन कुल रनों का 24% हैं, जबकि बांग्लादेश के खिलाफ बनाए गए रन कुल रनों का 8% हैं।

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

प्रतिशत अधिक = (24 - 8)/(8) × 100

प्रतिशत अधिक = ¹⁶⁄₈ × 100

प्रतिशत अधिक = 2 × 100 = 200

दक्षिण अफ्रीका के खिलाफ बनाए गए रन, बांग्लादेश के खिलाफ बनाए गए रनों से 200% अधिक हैं।

व्याख्या

इस परीक्षा प्रश्नपत्र के लिए रनों के सांख्यिकीय वितरण में, पुजारा ने अपने कुल रनों का 24% दक्षिण अफ्रीका के खिलाफ और 16% न्यूजीलैंड के खिलाफ बनाया। इन दोनों टीमों के खिलाफ बनाए गए रनों के प्रतिशत के बीच का अंतर 8% है।

रनों का वास्तविक अंतर ज्ञात करने के लिए, कुल 1875 रनों का 8% ज्ञात कीजिए: अंतर = ⁸⁄₁₀₀ × 1875 अंतर = ²⁄₂₅ × 1875 अंतर = 2 × 75 अंतर = 150

1875 को 25 से विभाजित करने पर 75 प्राप्त होता है, और 2 से गुणा करने पर अंतिम अंतर 150 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पूर्णांक प्रतिबंधों के लिए न्यूनतम मानों से संबंधित सांख्यिकीय समस्याओं में, रनों की न्यूनतम संख्या दिए गए प्रतिशत या दशमलव प्रदर्शन मीट्रिक के सरलतम भिन्नात्मक रूप द्वारा निर्धारित की जाती है।

यदि पुजारा का योगदान या एक विशिष्ट प्रदर्शन अनुपात 4% के रूप में दिया गया है, तो इसे इसके सरलतम भिन्नात्मक रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: अनुपात = ⁴⁄₁₀₀ = ¹⁄₂₅

बनाए गए रनों की संख्या एक पूर्णांक होने के लिए, कुल योग सरल किए गए भिन्न के हर (denominator) का एक गुणज होना चाहिए। चूंकि प्रश्न में पुजारा द्वारा बनाए गए रनों की न्यूनतम संख्या पूछी गई है ताकि उस स्थिति को संतुष्ट किया जा सके जहां उनका स्कोर एक विशिष्ट अनुपात है (इस मामले में, एक निश्चित कुल का 1/25 या 25 के हर की आवश्यकता वाले दशमलव पर आधारित), इसलिए हर के प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा पूर्णांक मान 25 है। यह सुनिश्चित करता है कि उनकी रन बनाने की दर या प्रतिशत हिस्सेदारी से जुड़ी कोई भी गणना रनों की एक पूर्ण संख्या के रूप में परिणाम दे, क्योंकि क्रिकेट में रन भिन्नात्मक नहीं हो सकते।

व्याख्या

X का वह मान ज्ञात करने के लिए जिससे चार अंकों की संख्या 211X एक पूर्ण वर्ग बन जाए, हम वर्गमूल का अनुमान लगा सकते हैं। चूंकि 40² = 1600 और 50² = 2500 है, इसलिए वर्गमूल 40 और 50 के बीच होना चाहिए। इस सीमा में पूर्णांकों का परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि 45² = 2025 है। अगले पूर्णांक पर बढ़ते हुए, हम 46 के वर्ग की गणना करते हैं:

46² = (40 + 6)² = 1600 + 2(40)(6) + 36 = 1600 + 480 + 36 = 2116

प्राप्त मान 2116 प्रारूप 211X से मेल खाता है, जहाँ इकाई का अंक X, 6 है। इसलिए, जब X = 6 होता है, तो संख्या 2116, 46 का पूर्ण वर्ग होती है।

व्याख्या

m₂ पुरुषों और w₂ महिलाओं के एक संयुक्त समूह के लिए आवश्यक समय T की गणना सीधे शॉर्टकट सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, जब व्यक्तिगत क्षमताएं D दिनों में m₁ पुरुषों या w₁ महिलाओं के रूप में दी गई हों:

T = (D)/(m₂₎{m₁ + w₂{w₁}}

दिए गए मानों m₁ = 2, w₁ = 3, D = 96, m₂ = 6, और w₂ = 7 को प्रतिस्थापित करने पर:

T = (96)/(6){2 + ⁷⁄₃}

T = (96)/(3 + 7){3}

T = (96)/(16){3}

T = (96 × 3)/(16)

T = 6 × 3 = 18

वैकल्पिक रूप से, कार्यक्षमता के आधार पर, 2 पुरुष = 3 महिलाएँ, जिसका अर्थ है 6 पुरुष = 9 महिलाएँ। इसलिए, 6 पुरुषों और 7 महिलाओं की आवश्यकता 9 + 7 = 16 महिलाओं के लिए समय खोजने के बराबर है। चूंकि 3 महिलाएँ कार्य को 96 दिनों में पूरा करती हैं, इसलिए 16 महिलाओं के लिए समय (3 × 96)/(16) = 18 दिन है।

व्याख्या

एक बेलन का आयतन सूत्र V = π r² h द्वारा परिभाषित किया जाता है। चूंकि आयतन स्थिर रहता है, इसलिए ऊंचाई h, त्रिज्या r के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जिसे h ∝ (1)/(r²) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

त्रिज्या में 20% की कमी का अर्थ है कि नई त्रिज्या मूल त्रिज्या की 80% या 0.8r है। नई ऊंचाई h' ज्ञात करने के लिए, हम इस अनुपात का उपयोग करते हैं:

h' = (h)/((0.8)²) = (h)/(0.64)

गणना को सरल बनाने के लिए, (1)/(0.64) को ¹⁰⁰⁄₆₄ के रूप में लिखा जा सकता है, जो घटकर ²⁵⁄₁₆ या 1.5625 हो जाता है। ऊंचाई में प्रतिशत वृद्धि की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रतिशत वृद्धि = ((h')/(h) - 1) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत वृद्धि = (1.5625 - 1) × 100 = 0.5625 × 100 = 56.25%

व्याख्या

लाभ प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: शुद्ध (Net)% = x + y + ˣʸ⁄₁₀₀, जहाँ x मूल्यवृद्धि प्रतिशत (markup percentage) को दर्शाता है और y छूट प्रतिशत को दर्शाता है। यह देखते हुए कि अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 40% अधिक है, x = 40 है। दी गई छूट 15% है, इसलिए y = -15 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: लाभ प्रतिशत = 40 - 15 + (40 × (-15))/(100) = 25 - ⁶⁰⁰⁄₁₀₀ = 25 - 6 = 19%.

वैकल्पिक रूप से, मान लीजिए कि क्रय मूल्य 100 है। अंकित मूल्य, 40% अधिक होने के कारण, 140 है। अंकित मूल्य पर 15% की छूट के परिणामस्वरूप 0.15 × 140 = 21 की छूट मिलती है। इसके बाद विक्रय मूल्य की गणना 140 - 21 = 119 के रूप में की जाती है। अर्जित लाभ विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 119 - 100 = 19 है। 100 के आधार पर, इसके परिणामस्वरूप लाभ प्रतिशत 19% प्राप्त होता है।

व्याख्या

दी गई शर्त के अनुसार 3A = 2B = 12C है। अनुपात A : B : C ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक पद को गुणांकों 3, 2 और 12 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाजित करते हैं। 3, 2 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 12 है।

संपूर्ण समीकरण को 12 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: (3A)/(12) = (2B)/(12) = (12C)/(12)

प्रत्येक भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है: (A)/(4) = (B)/(6) = (C)/(1)

यह व्यंजक सीधे तौर पर हिस्सों के बीच आनुपातिक संबंध प्रदान करता है। इसलिए, A, B और C के लाभ का अनुपात 4 : 6 : 1 है।

व्याख्या

n क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी अनुक्रम के लिए, पद 1 के सार्व अंतर (common difference) के साथ एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाते हैं। ऐसे अनुक्रम का औसत पहले पद a और अंतिम पद l का समांतर माध्य होता है। दिया गया है कि n = 8 और औसत 38.5 है: औसत = (a + l)/(2) 38.5 = (a + l)/(2) a + l = 77

8 क्रमागत संख्याओं के एक अनुक्रम में, अंतिम पद को l = a + (n - 1) के रूप में परिभाषित किया जाता है। n = 8 रखने पर: l = a + 7 a = l - 7

योग के समीकरण में a के मान को प्रतिस्थापित करने पर: (l - 7) + l = 77 2l - 7 = 77 2l = 84 l = 42

दूसरा त्वरित तरीका मध्य पदों की पहचान करना है। 8 क्रमागत संख्याओं के लिए, औसत चौथे (4वें) और पांचवें (5वें) पदों के बीच का मध्यबिंदु होता है। चूंकि औसत 38.5 है, इसलिए चौथा पद 38 है और पांचवां पद 39 है। प्रत्येक अगले पद के लिए 1 जोड़ने पर, आठवां पद 39 + 1 + 1 + 1 = 42 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना एक वस्तु का क्रय मूल्य CP और एक वस्तु का विक्रय मूल्य SP है। दी गई शर्त के अनुसार, 48 × CP = 32 × SP. इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर विक्रय मूल्य का क्रय मूल्य से अनुपात प्राप्त होता है: (SP)/(CP) = ⁴⁸⁄₃₂ = ³⁄₂।

लाभ प्रतिशत की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है: लाभ % = (SP - CP)/(CP) × 100 = ( (SP)/(CP) - 1 ) × 100

सूत्र में अनुपात का मान रखने पर: लाभ % = ( ³⁄₂ - 1 ) × 100 = ½ × 100 = 50%

वैकल्पिक रूप से, जब M वस्तुओं का क्रय मूल्य N वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर होता है, तो लाभ प्रतिशत (M - N)/(N) × 100 द्वारा दिया जाता है। यहाँ, M = 48 और N = 32 है, इसलिए (48 - 32)/(32) × 100 = ¹⁶⁄₃₂ × 100 = 50%।

व्याख्या

माना प्रारंभिक राशि x है। 12% की कटौती के बाद, शेष राशि x का 100% - 12% = 88% है। इसके बाद इस शेष राशि में से 25% की दूसरी कटौती की जाती है, जिससे उस राशि का 100% - 25% = 75% बचता है। बची हुई अंतिम राशि 2508 है।

इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: x × ⁸⁸⁄₁₀₀ × ⁷⁵⁄₁₀₀ = 2508। भिन्नों को उनके सरलतम रूप में सरल करने पर, हमें x × ²²⁄₂₅ × ¾ = 2508 प्राप्त होता है। इन भिन्नों को गुणा करने पर x × ⁶⁶⁄₁₀₀ = 2508 प्राप्त होता है, जो आगे सरल होकर x × ³³⁄₅₀ = 2508 हो जाता है।

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: x = (2508 × 50)/(33)। 2508 को 33 से विभाजित करने पर 76 प्राप्त होता है। इस परिणाम को 50 से गुणा करने पर 76 × 50 = 3800 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है। एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग होती है।

कुल दूरी D = 450 + 550 = 1000 मीटर सापेक्ष गति Vᵣₑₗ = 30 + 45 = 75 किमी/घंटा

गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलने के लिए, ⁵⁄₁₈ से गुणा करें: Vᵣₑₗ = 75 × ⁵⁄₁₈ = (25 × 5)/(6) = ¹²⁵⁄₆ मीटर/सेकंड

सूत्र समय = (दूरी)/(गति) का उपयोग करने पर: समय = (1000)/(125/6) समय = (1000 × 6)/(125) समय = 8 × 6 = 48 सेकंड

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ P मूलधन है, R ब्याज की दर है, और T समयावधि है। दिए गए मानों R = 10 और T = 20 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें SI = (P × 10 × 20)/(100) = 2P प्राप्त होता है।

प्रश्न के अनुसार, ब्याज मूलधन से 500 रुपये अधिक है, जिसे SI = P + 500 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ब्याज के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें 2P = P + 500 प्राप्त होता है। P के लिए हल करने पर P = 500 प्राप्त होता है। अतः, उधार दी गई धनराशि 500 रुपये थी।