एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

उभयनिष्ठ मूल ज्ञात करने के लिए, हम दोनों द्विघात समीकरणों को हल करते हैं। पहले समीकरण x² - 8x + 15 = 0 के लिए, हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढ़ते हैं जिनका गुणनफल 15 हो और योग -8 हो। ये संख्याएँ -3 और -5 हैं। इस प्रकार, समीकरण के गुणनखंड (x - 3)(x - 5) = 0 प्राप्त होते हैं, जिससे मूल x = 3 और x = 5 मिलते हैं।

दूसरे समीकरण y² + 2y - 35 = 0 के लिए, हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढ़ते हैं जिनका गुणनफल -35 हो और योग 2 हो। ये संख्याएँ 7 और -5 हैं। समीकरण के गुणनखंड (y + 7)(y - 5) = 0 प्राप्त होते हैं, जिससे मूल y = -7 और y = 5 मिलते हैं।

मूलों के समूहों की तुलना करने पर, उभयनिष्ठ मूल 5 है। प्रश्न में इस उभयनिष्ठ मूल के घन और वर्ग का अंतर पूछा गया है। मान 5 का उपयोग करने पर: घन = 5³ = 125 वर्ग = 5² = 25 अंतर = 125 - 25 = 100

व्याख्या

किसी भी वास्तविक संख्याओं के लिए, उनके वर्गों का योग शून्य केवल और केवल तभी होता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत पद शून्य हो। चूंकि x और y के सभी वास्तविक मानों के लिए (x - ⅓)² ≥ 0 और (y - 4)² ≥ 0 है, इसलिए समीकरण (x - ⅓)² + (y - 4)² = 0 का अर्थ है कि:

x - ⅓ = 0 ⟹ x = ⅓ y - 4 = 0 ⟹ y = 4

व्यंजक (y + x)/(y - x) का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

(y + x)/(y - x) = (4 + ⅓)/(4 - ⅓)

मिश्रित भिन्न को सरल बनाने के लिए अंश और हर दोनों को 3 से गुणा करने पर:

(3 × (4 + ⅓))/(3 × (4 - ⅓)) = (12 + 1)/(12 - 1) = ¹³⁄₁₁

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) - 2 का उपयोग करके व्यंजक x² + (1)/(x²) - 6 को सरल बनाया जा सकता है। इस पूर्ण वर्ग को शामिल करने के लिए दिए गए व्यंजक को पुनर्गठित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x² + (1)/(x²) - 6 = (x² + (1)/(x²) - 2) - 4

सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक बन जाता है:

(x - ¹⁄ₓ)² - 2²

वर्गों के अंतर के सूत्र, a² - b² = (a - b)(a + b) को लागू करने पर, जहाँ a = (x - ¹⁄ₓ) और b = 2 है, गुणनखंड इस प्रकार निर्धारित किए जाते हैं:

((x - ¹⁄ₓ) - 2) और ((x - ¹⁄ₓ) + 2)

इन दोनों गुणनखंडों के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, बड़े गुणनखंड में से छोटे गुणनखंड को घटाएं:

(x - ¹⁄ₓ + 2) - (x - ¹⁄ₓ - 2) = x - ¹⁄ₓ + 2 - x + ¹⁄ₓ + 2 = 4

व्याख्या

मान लीजिए A की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) x है और B की कार्यक्षमता y है। चूंकि वे मिलकर कार्य को 10 दिनों में पूरा कर सकते हैं, इसलिए कुल कार्य W = 10(x + y) होगा।

दूसरी शर्त के अनुसार, A अपनी दोगुनी कार्यक्षमता (2x) के साथ कार्य करता है और B अपनी मूल कार्यक्षमता से 1/3 कम कार्यक्षमता के साथ कार्य करता है, जो कि y - ⅓y = ⅔y है। इस स्थिति में, वे कार्य को 6 दिनों में पूरा करते हैं। इसलिए, W = 6(2x + ⅔y) होगा।

कुल कार्य के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: 10(x + y) = 6(2x + ⅔y) 10x + 10y = 12x + 4y 10y - 4y = 12x - 10x 6y = 2x x = 3y

यह संबंध दर्शाता है कि A की कार्यक्षमता B से तीन गुनी है। अब हम पहले समीकरण में x = 3y रखकर कुल कार्य को एक ही चर (variable) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: W = 10(3y + y) = 40y

A द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय: T_A = (W)/(x) = (40y)/(3y) = ⁴⁰⁄₃ दिन

B द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय: T_B = (W)/(y) = (40y)/(y) = 40 दिन

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए कुल छूट की गणना सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। इस संबंध में दिए गए मानों x = 15 और y = 35 को प्रतिस्थापित करने पर, गणना इस प्रकार है:

कुल छूट = 15 + 35 - (15 × 35)/(100) कुल छूट = 50 - ⁵²⁵⁄₁₀₀ कुल छूट = 50 - 5.25 कुल छूट = 44.75

यह सूत्र मूल अंकित मूल्य से पहली छूट घटाने के बाद बची हुई राशि पर दूसरी छूट लागू होने को दर्शाता है। व्यक्तिगत गुणकों (1 - 0.15) × (1 - 0.35) को गुणा करने पर भी 0.85 × 0.65 = 0.5525 प्राप्त होता है, जो मूल मूल्य के एक अंश के रूप में अंतिम मूल्य को दर्शाता है, जिससे कुल कमी 1 - 0.5525 = 0.4475 या 44.75% होती है।

व्याख्या

दिया गया है: x + ¹⁄ₓ = √(13).

सबसे पहले, सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = (x + ¹⁄ₓ)² - 4 का उपयोग करके x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात कीजिए: (x - ¹⁄ₓ)² = (√(13))² - 4 = 13 - 4 = 9 x - ¹⁄ₓ = 3

अब, x² + (1)/(x²) और x³ - (1)/(x³) की गणना कीजिए: x² + (1)/(x²) = (x + ¹⁄ₓ)² - 2 = (√(13))² - 2 = 13 - 2 = 11 x³ - (1)/(x³) = (x - ¹⁄ₓ)³ + 3(x - ¹⁄ₓ) = 3³ + 3(3) = 27 + 9 = 36

x⁵ - (1)/(x⁵) ज्ञात करने के लिए, उपरोक्त परिणामों के गुणनफल का उपयोग कीजिए: (x² + (1)/(x²))(x³ - (1)/(x³)) = x⁵ - ¹⁄ₓ + x - (1)/(x⁵) (x² + (1)/(x²))(x³ - (1)/(x³)) = (x⁵ - (1)/(x⁵)) + (x - ¹⁄ₓ)

समीकरण में परिकलित मानों को प्रतिस्थापित कीजिए: 11 × 36 = (x⁵ - (1)/(x⁵)) + 3 396 = (x⁵ - (1)/(x⁵)) + 3 x⁵ - (1)/(x⁵) = 396 - 3 = 393

व्याख्या

किसी कंपनी का कुल व्यय कर्मचारियों की संख्या और प्रति कर्मचारी औसत वेतन का गुणनफल होता है। माना कि कर्मचारियों की प्रारंभिक संख्या 5x और अंतिम संख्या 3x है। इसी प्रकार, माना कि प्रारंभिक औसत वेतन 7y और अंतिम औसत वेतन 8y है।

प्रारंभिक व्यय = 5x × 7y = 35xy अंतिम व्यय = 3x × 8y = 24xy

बचत, प्रारंभिक और अंतिम व्यय के बीच के अंतर को दर्शाती है: बचत = 35xy - 24xy = 11xy

प्रश्न के अनुसार, बचत 55,000 रुपये है: 11xy = 55000 xy = 5000

कंपनी का प्रारंभिक व्यय 35xy है। xy का मान रखने पर: प्रारंभिक व्यय = 35 × 5000 = 1,75,000

व्याख्या

तीनों मानों का योग ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए तीनों रैखिक समीकरणों को जोड़ते हैं: (a + b) + (b + c) + (c + a) = 5 + 7.5 + 8.5 2a + 2b + 2c = 21 2(a + b + c) = 21 a + b + c = 10.5

मानों के एक समूह के औसत को उन मानों के कुल योग को समूह में मानों की संख्या से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है। तीन चरों a, b, और c के लिए, औसत है: औसत = (a + b + c)/(3)

औसत सूत्र में तीनों चरों के परिकलित योग को प्रतिस्थापित करने पर: औसत = (10.5)/(3) = 3.5

व्याख्या

कीमत में 33.33% की वृद्धि 3:4 के अनुपात के बराबर है। चूंकि कुल व्यय 16 रुपये पर स्थिर रहता है, इसलिए खरीदी गई मात्रा कीमत के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इसका तात्पर्य यह है कि मात्रा का अनुपात 4:3 (मूल से नया) है।

मात्रा में कमी 4 - 3 = 1 इकाई है। प्रश्न के अनुसार, यह कमी 4 सेब के बराबर है। इसलिए, 1 इकाई = 4 सेब, और खरीदी गई मूल मात्रा 4 इकाई × 4 = 16 सेब थी।

प्रति सेब की मूल कीमत कुल व्यय को मूल मात्रा से विभाजित करके निर्धारित की जाती है: मूल कीमत = (16 रुपये)/(16 सेब) = 1 रुपये

इस मान को पैसे में व्यक्त करने के लिए, हम 100 से गुणा करते हैं: 1 × 100 = 100 पैसे

व्याख्या

जब किसी वर्ग की भुजा में k% की वृद्धि होती है, तो उसके क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि को क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है: शुद्ध वृद्धि = k + k + (k × k)/(100)। यह देखते हुए कि क्षेत्रफल में 69% की वृद्धि होती है, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

2k + (k²)/(100) = 69

k का मान ज्ञात करने के लिए, पूरे समीकरण को 100 से गुणा करें:

k² + 200k - 6900 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:

(k + 230)(k - 30) = 0

चूंकि वृद्धि के लिए k का मान धनात्मक होना चाहिए, इसलिए हमें k = 30 प्राप्त होता है। सूत्र में 30 का मान वापस रखकर इसकी पुष्टि की जा सकती है: 2(30) + (30²)/(100) = 60 + ⁹⁰⁰⁄₁₀₀ = 60 + 9 = 69%। वैकल्पिक रूप से, यदि वर्ग की भुजा में 30% की वृद्धि होती है, तो नई भुजा मूल भुजा की 1.3 गुना हो जाती है। नया क्षेत्रफल (1.3)² = मूल क्षेत्रफल का 1.69 गुना होगा, जो 69% की वृद्धि को दर्शाता है।

व्याख्या

जब A 30 मीटर/सेकंड की गति से चलना शुरू करता है और B 3 सेकंड बाद शुरू करता है, तो A द्वारा तय की गई शुरुआती दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है: d = v_A × t = 30 × 3 = 90 मीटर।

A के सापेक्ष B की सापेक्ष गति v_rel = v_B - v_A = 50 - 30 = 20 मीटर/सेकंड है। B द्वारा A को पकड़ने में लिया गया समय इस सूत्र द्वारा दिया गया है: t_catch = (शुरुआती दूरी) / (सापेक्ष गति) = 90/20 = 4.5 सेकंड।

इस समय के दौरान, B द्वारा तय की गई दूरी D_B = v_B × t_catch = 50 × 4.5 = 225 मीटर है। चूंकि A और B एक ही बिंदु पर समाप्त होते हैं, इसलिए A द्वारा तय की गई दूरी भी 225 मीटर है (30 × (3 + 4.5) = 225)। पकड़े जाने से पहले A और B दोनों द्वारा तय की गई कुल दूरी 225 + 225 = 450 मीटर है।

व्याख्या

दो वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच के अंतर की गणना सूत्र D = P(R/100)² का उपयोग करके की जाती है। यह देखते हुए कि अंतर D = 200 और वार्षिक दर R = 20% है, हम मूलधन P इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं: 200 = P(20/100)² 200 = P(1/5)² 200 = P/25 P = 5000

पहले वर्ष के लिए, यदि ब्याज की गणना अर्धवार्षिक रूप से की जाती है, तो प्रत्येक छह महीने की अवधि के लिए दर 20% / 2 = 10% होगी। एक वर्ष में ऐसी दो अवधियाँ होती हैं। पहले वर्ष के लिए साधारण ब्याज (SI) = (5000 × 20 × 1) / 100 = 1000 है। अर्धवार्षिक संयोजन के साथ समान अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) है: CI = P[ (1 + r/100)ⁿ - 1 ] CI = 5000[ (1 + 10/100)² - 1 ] CI = 5000[ (11/10)² - 1 ] CI = 5000[ 121/100 - 1 ] CI = 5000 × (21/100) = 1050

पहले वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर 1050 - 1000 = 50 है। इसकी गणना आवधिक दर के लिए दो-अवधि अंतर सूत्र का उपयोग करके सीधे भी की जा सकती है: D = P(10/100)² = 5000 × (1/100) = 50।

व्याख्या

पहला समीकरण x(2x + 3) = 90 है, जो द्विघात रूप 2x² + 3x - 90 = 0 में सरल हो जाता है। द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने के लिए, हम ऐसी दो संख्याएँ खोजते हैं जिनका गुणनफल 2 × (-90) = -180 हो और योग 3 हो। ये संख्याएँ 15 और -12 हैं। इस प्रकार, 2x² + 15x - 12x - 90 = 0, जिससे x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0 प्राप्त होता है। इसके परिणामस्वरूप (x - 6)(2x + 15) = 0 प्राप्त होता है। चूंकि x एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए, इसलिए हमें x = 6 प्राप्त होता है।

दूसरा समीकरण 7y⁻¹^/² + 2y⁻¹^/² = y¹^/² है। बाएँ पक्ष के पदों को मिलाने पर, हमें 9y⁻¹^/² = y¹^/² प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को y¹^/² से गुणा करने पर 9 = y¹^/² · y¹^/² प्राप्त होता है, जो सरल होकर y = 9 हो जाता है।

x² + y² का मान ज्ञात करने के लिए, x और y के मान प्रतिस्थापित करें: 6² + 9² = 36 + 81 = 117।

व्याख्या

व्यंजक (7x² - 19xy + 11y²)/y² को अंश के प्रत्येक पद को हर y² से विभाजित करके सरल किया जा सकता है, जिससे 7(x/y)² - 19(x/y) + 11 प्राप्त होता है। यह दिया गया है कि x/y = 4/9, हम इस मान को सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं जिससे हमें 7(4/9)² - 19(4/9) + 11 प्राप्त होता है।

गणना करने पर, हमें 7(16/81) - 76/9 + 11 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 112/81 - 76/9 + 11 प्राप्त होता है। इन पदों को संयोजित करने के लिए, हम 81 का एक समान हर (common denominator) उपयोग करते हैं:

112/81 - (76 × 9)/81 + (11 × 81)/81 = 112/81 - 684/81 + 891/81

अंशों का योग करने पर (112 - 684 + 891)/81 = 319/81 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना y = x - 3 है। दिया गया समीकरण y + (1)/(y) = 4 है। हमें y³ + (1)/(y³) का मान ज्ञात करना है। मानक बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हुए, हम a = y और b = (1)/(y) प्रतिस्थापित करते हैं। चूंकि गुणनफल y · (1)/(y) = 1 है, इसलिए यह व्यंजक सरल होकर y³ + (1)/(y³) = (y + (1)/(y))³ - 3(y + (1)/(y)) हो जाता है। इस सूत्र में दिए गए मान y + (1)/(y) = 4 को प्रतिस्थापित करने पर 4³ - 3(4) = 64 - 12 = 52 प्राप्त होता है।

व्याख्या

समीकरण x² + y² + z² = xy + yz + zx एक मानक बीजगणितीय रूप है जिसका अर्थ है x = y = z। इसे पूरे समीकरण को 2 से गुणा करके और पदों को पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त किया जा सकता है: 2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx = 0 (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² = 0

चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग केवल तभी शून्य होता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत पद शून्य हो, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि x - y = 0, y - z = 0, और z - x = 0 है। इस प्रकार, x = y = z।

दिए गए व्यंजक में y = x और z = x रखने पर: (7x + 3y - 5z)/(5x) = (7x + 3x - 5x)/(5x) = ⁵ˣ⁄₅ₓ = 1

व्याख्या

आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाती है, तो अन्य दो भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित होती हैं। चूंकि त्रिभुज ABC में DE || BC है, हम निम्नलिखित संबंध स्थापित कर सकते हैं:

(AD)/(DB) = (AE)/(EC)

दिए गए मानों AD = x, DB = x - 3, AE = x + 3, और EC = x - 2 को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(x)/(x - 3) = (x + 3)/(x - 2)

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम वज्र-गुणन (cross-multiplication) करते हैं:

x(x - 2) = (x + 3)(x - 3)

दाहिनी ओर बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके पदों का विस्तार करने और बाईं ओर वितरण नियम लागू करने पर प्राप्त होता है:

x² - 2x = x² - 9

दोनों पक्षों से x² घटाने पर समीकरण सरल होकर निम्नलिखित रूप में आ जाता है:

-2x = -9

-2 से भाग देने पर प्राप्त होता है:

x = 4.5

यह मान सुनिश्चित करता है कि सभी भुजा खंडों की लंबाई धनात्मक हो, जहाँ AD = 4.5 सेमी, DB = 1.5 सेमी, AE = 7.5 सेमी, और EC = 2.5 सेमी है, जो त्रिभुज की ज्यामितीय शर्तों को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को बिंदु O पर समद्विभाजित करते हैं। इसलिए, BO = OD = ½ BD। दिया गया है कि BD = 36 सेमी, तो हमें BO = OD = 18 सेमी प्राप्त होता है।

△ ABC में, रेखाखंड BO एक माध्यिका है क्योंकि O, AC का मध्यबिंदु है। △ ABC का केंद्रक P, माध्यिका BO पर स्थित है और इसे शीर्ष B से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इस प्रकार, दूरी PO = ⅓ BO है।

इसी प्रकार, △ ADC में, रेखाखंड DO एक माध्यिका है क्योंकि O, AC का मध्यबिंदु है। △ ADC का केंद्रक Q, माध्यिका DO पर स्थित है और इसे शीर्ष D से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इस प्रकार, दूरी QO = ⅓ DO है।

चूंकि O, विकर्ण BD पर P और Q के बीच स्थित है, इसलिए लंबाई PQ = PO + QO होगी। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें PQ = ⅓ BO + ⅓ DO = ⅓ (BO + OD) = ⅓ BD प्राप्त होता है। BD की दी गई लंबाई का मान रखने पर, हमें PQ = ⅓ × 36 = 12 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, परित्रिज्या R और अंतःत्रिज्या r को क्रमशः सूत्रों R = (a)/(√(3)) और r = (a)/(2√(3)) द्वारा निर्धारित किया जाता है। परित्रिज्या और अंतःत्रिज्या के बीच का अंतर R - r = (a)/(√(3)) - (a)/(2√(3)) = (a)/(2√(3)) है।

यह दिया गया है कि भुजा a = 12 सेमी है, हम इस मान को अंतर के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: R - r = (12)/(2√(3)) = (6)/(√(3))

परिणाम को सरल बनाने के लिए, अंश और हर को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करें: 6 × √3{√3 × √3} = 6√3{3} = 2√3 सेमी

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, परिवृत्त की त्रिज्या R = (a)/(√(3)) और अंतःवृत्त की त्रिज्या r = (a)/(2√(3)) होती है। इससे यह प्राप्त होता है कि R = 2r।

परिवृत्त और अंतःवृत्त के क्षेत्रफलों का योग 770 सेमी² दिया गया है: π R² + π r² = 770 π (2r)² + π r² = 770 5π r² = 770

π = ²²⁄₇ प्रतिस्थापित करने पर: 5 × ²²⁄₇ × r² = 770 ¹¹⁰⁄₇ × r² = 770 r² = (770 × 7)/(110) r² = 49 r = 7 सेमी

चूंकि r = (a)/(2√(3)) है, इसलिए: a = 2√3 × r = 2√3 × 7 = 14√3 सेमी

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = √3/4 a² क्षेत्रफल = √3/4 (14√3)² क्षेत्रफल = √3/4 × 196 × 3 क्षेत्रफल = √3 × 49 × 3 = 147√3 सेमी²

व्याख्या

ऋणात्मक कोण सर्वसमिकाओं sin(-θ) = -sin θ और cos(-θ) = cos θ का उपयोग करके, मानक त्रिकोणमितीय मानों की सहायता से इस व्यंजक को सरल और मूल्यांकित किया जा सकता है।

sin(-π/3) = -sin(π/3) = -√3{2} cos(-π/6) = cos(π/6) = √3{2}

इन मानों को आपस में जोड़ने पर: -√3{2} + √3{2} = 0

व्याख्या

दिए गए समीकरण tan θ - cot θ = 0 को हम tan θ = cot θ के रूप में लिख सकते हैं। चूंकि cot θ = (1)/(tan θ) है, इसलिए यह समीकरण tan θ = (1)/(tan θ) हो जाता है, जिससे tan² θ = 1 प्राप्त होता है। एक न्यूनकोण θ के लिए, tan θ धनात्मक होना चाहिए, जिससे tan θ = 1 प्राप्त होता है। यह तब होता है जब θ = 45° हो।

θ = 45° पर, cot θ का मान भी 1 होता है। इन मानों को व्यंजक tan² θ + cot¹⁰⁰ θ में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: (1)² + (1)¹⁰⁰ = 1 + 1 = 2

चूंकि 1 की कोई भी घात 1 ही रहती है, इसलिए परिणाम दो इकाइयों का योग है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण sin 3θ sec 2θ = 1 है। चूंकि sec 2θ = (1)/(cos 2θ), समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

sin 3θ = cos 2θ

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin A = cos B (जब A + B = 90° हो) का उपयोग करने पर:

3θ + 2θ = 90° 5θ = 90° θ = 18°

मान ज्ञात करने वाला व्यंजक [3 tan² (5θ/2) - 1] है। θ = 18° का मान रखने पर (या सीधे 5θ = 90° का उपयोग करने पर):

3 tan² ( (90°)/(2) ) - 1 3 tan² 45° - 1

चूंकि tan 45° = 1:

3(1)² - 1 = 3 - 1 = 2

व्याख्या

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल A उसकी माध्यिकाओं की लंबाई m₁, m₂, और m₃ से सूत्र A = ⁴⁄₃ Aₘ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जहाँ Aₘ उस त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसकी भुजाएँ माध्यिकाओं की लंबाई हैं। दी गई माध्यिकाओं 18 सेमी, 24 सेमी और 30 सेमी को देखने पर, हम पाते हैं कि वे एक पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triplet) बनाती हैं क्योंकि 18² + 24² = 324 + 576 = 900 = 30² है। यह दर्शाता है कि माध्यिकाओं को भुजा मानकर बनाया गया त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

इस माध्यिका त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: Aₘ = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 18 × 24 = 216 सेमी²

अब, क्षेत्रफलों के बीच संबंध का उपयोग करने पर: A = ⁴⁄₃ × 216 A = 4 × 72 A = 288 सेमी²

व्याख्या

बड़े वृत्त की त्रिज्या R = 28 / 2 = 14 सेमी है। चूंकि दो छोटे वृत्त बड़े वृत्त को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं और इसके केंद्र O से होकर गुजरते हैं, इसलिए प्रत्येक छोटे वृत्त का व्यास d, बड़े वृत्त की त्रिज्या R के बराबर है। इसलिए, d = 14 सेमी, और प्रत्येक छोटे वृत्त की त्रिज्या r = 14 / 2 = 7 सेमी है।

बड़े वृत्त का क्षेत्रफल A_large = π R² = π (14)² = 196π सेमी² है। दोनों छोटे वृत्तों का संयुक्त क्षेत्रफल = 2 × π r² = 2 × π (7)² = 2 × 49π = 98π सेमी² है। बड़े वृत्त का वह क्षेत्रफल जो दोनों छोटे वृत्तों द्वारा घिरा नहीं है, इन क्षेत्रफलों का अंतर है:

क्षेत्रफल = 196π - 98π = 98π

π = 22/7 का मान रखने पर:

क्षेत्रफल = 98 × 22/7 = 14 × 22 = 308 सेमी²

व्याख्या

व्यंजक tan(θ/2) + cot(θ/2) को टैनजेंट और कोटैनजेंट को साइन और कोसाइन के पदों में व्यक्त करके सरल किया जा सकता है: (sin(θ/2))/(cos(θ/2)) + (cos(θ/2))/(sin(θ/2))

हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, व्यंजक बन जाता है: sin²(θ/2) + cos²(θ/2){sin(θ/2)cos(θ/2)}

मूलभूत सर्वसमिका sin²x + cos²x = 1 का उपयोग करने पर, अंश सरल होकर 1 हो जाता है: (1)/(sin(θ/2)cos(θ/2))

अंश और हर दोनों को 2 से गुणा करने पर, हम द्वि-कोण सूत्र sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2) लागू करते हैं: (2)/(2sin(θ/2)cos(θ/2)) = (2)/(sinθ)

व्युत्क्रम सर्वसमिका 1/sinθ = cscθ लागू करने पर, हमें 2cscθ प्राप्त होता है।

व्याख्या

मूल सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 से शुरू करते हुए, हम चतुर्थ घात (fourth powers) के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं: (sin² θ + cos² θ)² = sin⁴ θ + cos⁴ θ + 2sin² θ cos² θ = 1 sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2sin² θ cos² θ

इसके बाद, हम अष्टम घात (eighth powers) से संबंधित संबंध प्राप्त करने के लिए इस परिणाम का वर्ग करते हैं: (sin⁴ θ + cos⁴ θ)² = sin⁸ θ + cos⁸ θ + 2sin⁴ θ cos⁴ θ = (1 - 2sin² θ cos² θ)² sin⁸ θ + cos⁸ θ + 2sin⁴ θ cos⁴ θ = 1 + 4sin⁴ θ cos⁴ θ - 4sin² θ cos² θ

दिया गया समीकरण sin⁸ θ + cos⁸ θ - 1 = 0 है, जिसका अर्थ है sin⁸ θ + cos⁸ θ = 1। इसे विस्तारित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 1 + 2sin⁴ θ cos⁴ θ = 1 + 4sin⁴ θ cos⁴ θ - 4sin² θ cos² θ 2sin⁴ θ cos⁴ θ - 4sin² θ cos² θ = 0

माना x = sin² θ cos² θ। समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है: 2x² - 4x = 0 2x(x - 2) = 0

चूंकि प्रश्न में निर्दिष्ट है कि θ ≠ 0 और θ ≠ nπ/2, इसलिए न तो sin θ और न ही cos θ शून्य हो सकता है। अतः, x ≠ 0। समीकरण के शेष भाग को हल करने पर: x - 2 = 0 x = 2

cos² θ sin² θ का मान 2 है।

व्याख्या

गणित के कुल अंकों की गणना सभी पांच छात्रों के अंकों को जोड़कर की जाती है: 96 + 99 + 99 + 89 + 92 = 475। यह कुल मूल्य दिए गए डेटा में सभी विषय श्रेणियों में सबसे अधिक संचयी अंक को दर्शाता है। यह कुल योग कई उच्च अंकों द्वारा काफी बढ़ गया है, जिसमें दो छात्रों ने 99 अंक और एक अन्य छात्र ने 96 अंक प्राप्त किए हैं। इस 475 के योग की तुलना अन्य श्रेणियों के परिकलित कुल योगों से करने पर, इसे तालिका में अधिकतम संचयी मूल्य के रूप में पहचाना जाता है।

व्याख्या

किसी भी पूर्ण वर्ग का इकाई अंक 0 से 9 तक के अंकों के वर्ग के आधार पर संख्याओं के एक विशिष्ट समूह तक ही सीमित होता है। 0²=0, 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49, 8²=64, और 9²=81 की गणना करने पर, यह स्पष्ट है कि इकाई के स्थान पर केवल 0, 1, 4, 5, 6, और 9 ही संभावित अंक हैं। 2, 3, 7, या 8 पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या का पूर्ण वर्ग होना गणितीय रूप से असंभव है क्योंकि किसी भी एकल अंक के वर्ग के परिणामस्वरूप ये इकाई अंक प्राप्त नहीं होते हैं।

व्याख्या

माना कुल कार्य 30 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 30 इकाई है। अमर की दैनिक कार्यक्षमता ³⁰⁄₃₀ = 1 इकाई प्रति दिन है, और रमन की दैनिक कार्यक्षमता ³⁰⁄₁₅ = 2 इकाई प्रति दिन है।

जब दोनों मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 1 + 2 = 3 इकाई प्रति दिन होती है। 4 दिनों में, उनके द्वारा पूरा किया गया कुल कार्य 3 × 4 = 12 इकाई है। पूरे किए गए कार्य का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम किए गए कार्य का कुल कार्य से अनुपात ज्ञात करते हैं:

पूरा किया गया प्रतिशत = ¹²⁄₃₀ × 100 = ⅖ × 100 = 40%

व्याख्या

एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र A = ½(a + b)h द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ a और b दो समानांतर भुजाओं की लंबाई को दर्शाते हैं और h ऊंचाई या उन भुजाओं के बीच की लंबवत दूरी को दर्शाता है। इस प्रश्न में, समानांतर भुजाओं की लंबाई 21 सेमी और 9 सेमी दी गई है, और ऊंचाई 10 सेमी दी गई है।

क्षेत्रफल के सूत्र में इन मानों को रखने पर:

क्षेत्रफल = ½ × (21 + 9) × 10

सबसे पहले, समानांतर भुजाओं का योग 21 + 9 = 30 सेमी के रूप में परिकलित किया जाता है। फिर, इस योग को ऊंचाई से गुणा किया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × 30 × 10 क्षेत्रफल = 15 × 10 = 150

गणना दर्शाती है कि समानांतर भुजाओं की औसत लंबाई 15 सेमी है, जिसे जब 10 सेमी की ऊंचाई से गुणा किया जाता है, तो परिणामी क्षेत्रफल 150 सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

तीन क्रमिक छूटों d₁, d₂, और d₃ की शुद्ध छूट ज्ञात करने के लिए, सबसे कुशल तरीका गुणक विधि (multiplier method) का उपयोग करना है। मूल मूल्य के एक अंश के रूप में अंतिम मूल्य की गणना प्रत्येक छूट के बाद शेष प्रतिशत को गुणा करके की जाती है:

मूल्य अंश (Price Fraction) = (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) × (1 - (d₃)/(100))

20%, 10%, और 30% मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

मूल्य अंश = (1 - 0.20) × (1 - 0.10) × (1 - 0.30) मूल्य अंश = 0.8 × 0.9 × 0.7 मूल्य अंश = 0.72 × 0.7 = 0.504

शुद्ध छूट प्रारंभिक मान 1 से कुल कमी है:

शुद्ध छूट (Net Discount) = (1 - 0.504) × 100 = 49.6%

वैकल्पिक रूप से, पहली दो छूटों के लिए क्रमिक छूट सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ लागू करने पर 20 + 10 - (20 × 10)/(100) = 28% प्राप्त होता है। इस परिणाम को तीसरी छूट के साथ मिलाने पर 28 + 30 - (28 × 30)/(100) = 58 - 8.4 = 49.6% प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंतिम मिश्रण में दूध का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले प्रत्येक अनुपात में कुल भागों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर तीनों बोतलों के लिए एक समान क्षमता मान लें। कुल भाग 5 + 7 = 12, 7 + 9 = 16, और 2 + 1 = 3 हैं। 12, 16, और 3 का LCM 48 है। मान लें कि प्रत्येक बोतल की क्षमता 48 इकाई है।

पहली बोतल में, दूध की मात्रा ⁵⁄₁₂ × 48 = 20 इकाई है। दूसरी बोतल में, दूध की मात्रा ⁷⁄₁₆ × 48 = 21 इकाई है। तीसरी बोतल में, दूध की मात्रा ⅔ × 48 = 32 इकाई है।

जब बोतलों को मिलाया जाता है, तो दूध की कुल मात्रा 20 + 21 + 32 = 73 इकाई होती है। तीनों बोतलों से मिश्रण की कुल मात्रा 48 × 3 = 144 इकाई है। नए मिश्रण में दूध के प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत = ⁷³⁄₁₄₄ × 100 प्रतिशत = ⁷³⁰⁰⁄₁₄₄ ≈ 50.69%

दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर, दूध का प्रतिशत 50.7 है।

व्याख्या

माना सभी आठ मित्रों का औसत खर्च x रुपये है। कुल खर्च 8x है। पहले सात मित्रों में से प्रत्येक ने 14 रुपये खर्च किए, जिससे कुल खर्च 7 × 14 = 98 रुपये हुआ। आठवें मित्र ने x + 21 रुपये खर्च किए। कुल खर्च के लिए समीकरण बनाने पर: 8x = 98 + (x + 21) 7x = 119 x = 17 खर्च की गई कुल राशि 8 × 17 = 136 रुपये है।

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, आठवें मित्र द्वारा औसत से अधिक खर्च किए गए 21 रुपये ही अन्य सात मित्रों के कम खर्च को संतुलित करते हैं। औसत से उनके कम खर्च की राशि का पता लगाने के लिए इस अतिरिक्त राशि को अन्य सात मित्रों में वितरित किया जाना चाहिए। सात मित्रों के लिए प्रति व्यक्ति कमी 21 / 7 = 3 रुपये है। इसलिए, समूह का औसत खर्च 14 + 3 = 17 रुपये है। खर्च की गई कुल राशि 17 × 8 = 136 रुपये है।

व्याख्या

मान लीजिए कि पेन का क्रय मूल्य x है। प्रश्न के अनुसार, लाभ प्रतिशत संख्यात्मक रूप से क्रय मूल्य के बराबर है, इसलिए लाभ% = x। विक्रय मूल्य 24 रुपये दिया गया है।

विक्रय मूल्य के मानक सूत्र का उपयोग करने पर: SP = CP × (1 + (Profit%)/(100)) 24 = x × (1 + ˣ⁄₁₀₀) 24 = x × ((100 + x)/(100)) 2400 = 100x + x² x² + 100x - 2400 = 0

मध्य पद को विभाजित करके इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: x² + 120x - 20x - 2400 = 0 x(x + 120) - 20(x + 120) = 0 (x - 20)(x + 120) = 0

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर, हमें x = 20 या x = -120 प्राप्त होता है। चूँकि क्रय मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए x = 20। वैकल्पिक रूप से, सीधे विकल्पों का परीक्षण करने पर, यदि क्रय मूल्य 20 रुपये है, तो लाभ 20 का 20% होगा, जो कि 4 रुपये है। विक्रय मूल्य 20 + 4 = 24 हो जाता है, जो दिए गए आँकड़ों से मेल खाता है।

व्याख्या

A द्वारा प्राप्त अंकों की गणना B द्वारा प्राप्त अंकों के आधार पर की जा सकती है। चूंकि A को B से 36% कम अंक मिले और B को 145 अंक मिले: A = 145 × (1 - 0.36) = 145 × 0.64 = 92.8

A द्वारा प्राप्त अंकों को C के संबंध में भी दिया गया है। A को C से 16% अधिक अंक मिले, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: A = C × (1 + 0.16) = 1.16C

इस समीकरण में A का मान रखने पर, हम C का मान ज्ञात कर सकते हैं: 92.8 = 1.16C C = 92.8 / 1.16 C = 9280 / 116 = 80

व्याख्या

स्कूटर द्वारा तय की गई दूरी उसकी गति और लिए गए समय का गुणनफल होती है। चूंकि मरम्मत से पहले और बाद में दूरी समान रहती है, इसलिए हम संबंध s₁ × t₁ = s₂ × t₂ का उपयोग कर सकते हैं।

दिया गया है: मरम्मत के बाद गति s₁ = 54 किमी/घंटा मरम्मत के बाद लिया गया समय t₁ = 6 घंटे मरम्मत से पहले गति s₂ = 48 किमी/घंटा मरम्मत से पहले लिया गया समय = t₂

दूरी D = 54 × 6 = 324 किमी।

समान दूरी को तय करने के लिए मरम्मत से पहले लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए: t₂ = (D)/(s₂₎ = ³²⁴⁄₄₈

324 को 48 से विभाजित करने पर: t₂ = 6.75 घंटे

दशमलव भाग को मिनट में बदलने के लिए, 60 से गुणा करें: 0.75 × 60 = 45 मिनट

लिया गया कुल समय 6 घंटे और 45 मिनट है।

व्याख्या

धनराशि स्वयं की तीन गुनी हो जाती है, जिसका अर्थ है कि अर्जित साधारण ब्याज (SI) 3P - P = 2P है, जहाँ P मूलधन है। दी गई समयावधि 5 वर्ष और 4 महीने है। इसे वर्षों में बदलने पर:

T = 5 + ⁴⁄₁₂ = 5 + ⅓ = ¹⁶⁄₃ वर्ष

साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P · R · T)/(100) का उपयोग करते हुए, हम दर R ज्ञात करने के लिए ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

2P = (P · R · 16)/(3){100}

दोनों पक्षों से P को निरस्त करने और समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

2 = (16R)/(300)

R = (2 · 300)/(16)

R = ⁶⁰⁰⁄₁₆ = 37.5

अतः, वार्षिक ब्याज दर 37.5% है।

व्याख्या

व्यंजक a³ + b³ + c³ - 3abc के मान की गणना निम्नलिखित बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके की जा सकती है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)((a + b + c)² - 3(ab + bc + ca))

दिए गए मान a + b + c = 11 और ab + bc + ca = 17 को सीधे सर्वसमिका में रखने पर: a³ + b³ + c³ - 3abc = 11 × (11² - 3 × 17) a³ + b³ + c³ - 3abc = 11 × (121 - 51) a³ + b³ + c³ - 3abc = 11 × 70 a³ + b³ + c³ - 3abc = 770

व्याख्या

दिया गया समीकरण ˣ⁄₅ + ⁵⁄ₓ = -2 है। माना y = ˣ⁄₅, इसलिए समीकरण y + (1)/(y) = -2 हो जाता है। दोनों पक्षों को y से गुणा करने पर y² + 1 = -2y प्राप्त होता है, जिसे द्विघात रूप y² + 2y + 1 = 0 में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। यह व्यंजक एक पूर्ण वर्ग है, (y + 1)² = 0, जिसका अर्थ है y = -1। y के मान को पुनः x के पदों में प्रतिस्थापित करने पर, हमें ˣ⁄₅ = -1 प्राप्त होता है, जिससे x = -5 मिलता है। x³ का मान ज्ञात करने के लिए, हम (-5)³ = -125 की गणना करते हैं।

व्याख्या

किसी त्रिभुज के आंतरिक कोण समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु को अंतःकेंद्र (incenter) के रूप में जाना जाता है। किसी भी त्रिभुज PQR के लिए, ∠ Q और ∠ R के समद्विभाजकों द्वारा अंतःकेंद्र O पर बनने वाला कोण सूत्र ∠ QOR = 90° + ½ ∠ P द्वारा निर्धारित किया जाता है।

दिया गया है कि ∠ QPR = 45°, हम इस मान को संबंध में रखते हैं:

∠ QOR = 90° + ½ (45°)

∠ QOR = 90° + 22.5°

∠ QOR = 112.5°

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠ABC = 90° है, कर्ण AC पर खींचा गया एक शीर्षलंब BP दो छोटे त्रिभुज बनाता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं। विशेष रूप से, △BPC ∼ △ABC क्योंकि दोनों शीर्ष C पर कोण साझा करते हैं और प्रत्येक में एक समकोण (∠BPC = ∠ABC = 90°) होता है।

समरूप त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर होते हैं। △BPC में कोण ∠PBC, △ABC में कोण ∠BAC के संगत है। चूँकि बिंदु P रेखाखंड AC पर स्थित है, इसलिए दिया गया कोण ∠BAP, ∠BAC के समान ही है। इसलिए, ∠BAC = 30° है। समरूपता के गुण से, ∠PBC = ∠BAC = 30° है।

वैकल्पिक रूप से, त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करके: △ABC में, ∠BCA का माप 180° - (∠ABC + ∠BAC) = 180° - (90° + 30°) = 60° है। समकोण त्रिभुज BPC में, जहाँ BP ⊥ AC है, ∠PBC का माप 180° - (∠BPC + ∠PCB) है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, ∠PBC = 180° - (90° + 60°) = 30° है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (csc A + sin A)(csc A - sin A) बीजीय सर्वसमिका (x + y)(x - y) = x² - y² के रूप में है। इस सर्वसमिका को लागू करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

csc² A - sin² A

इसे दिए गए विकल्पों के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं csc² A = 1 + cot² A और sin² A = 1 - cos² A का उपयोग करते हैं। व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(1 + cot² A) - (1 - cos² A)

कोष्ठकों को खोलने और सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

1 + cot² A - 1 + cos² A = cot² A + cos² A

इसके परिणामस्वरूप सरलीकृत मान cos² A + cot² A प्राप्त होता है।

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि अंग्रेजी में औसत अंक, हिंदी में औसत अंकों का कितना प्रतिशत है, हम सबसे पहले प्रत्येक विषय के कुल अंकों की गणना करते हैं। चूंकि दोनों विषयों के लिए छात्रों की संख्या समान है, इसलिए उनके औसत का अनुपात उनके योग के अनुपात के समान ही होगा।

अंग्रेजी में अंकों का योग = 87 + 74 + 89 + 62 + 95 = 407 हिंदी में अंकों का योग = 81 + 89 + 92 + 91 + 86 = 439

वांछित प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत = (अंग्रेजी में कुल अंक)/(हिंदी में कुल अंक) × 100 प्रतिशत = ⁴⁰⁷⁄₄₃₉ × 100 ≈ 92.7107

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें 92.71 प्राप्त होता है।

व्याख्या

7 देशों के लिए लाइन चार्ट (रेखा आरेख) में दिए गए आंकड़ों के आधार पर, प्रति एकड़ उपज (मिलियन टन में) 300, 250, 162, 272, 82, 104 और 120 है।

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम पहले 3 सबसे अधिक और 3 सबसे कम उपज की पहचान करते हैं: 3 सबसे अधिक उपज: 300, 272, 250 3 सबसे कम उपज: 82, 104, 120

चूंकि दोनों समूहों में देशों की संख्या समान है (n = 3), इसलिए उनके औसत का अनुपात उनके योग के अनुपात के बराबर होगा।

3 सबसे अधिक उपज का योग = 300 + 272 + 250 = 822 3 सबसे कम उपज का योग = 82 + 104 + 120 = 306

अभीष्ट अनुपात = 822 : 306

दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 6 से विभाजित करने पर: 822 / 6 = 137 306 / 6 = 51

अतः अनुपात 137 : 51 है।

व्याख्या

प्रश्नों के इस विशिष्ट सेट के लिए प्रदान किए गए लाइन चार्ट (रेखा आरेख) के आंकड़ों के आधार पर, सात देशों के लिए प्रति एकड़ उपज का मान (मिलियन टन में) इस प्रकार है: भारत (300), चीन (272), श्रीलंका (250), भूटान (162), सिंगापुर (120), थाईलैंड (104), और नेपाल (82)।

प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले भारत और चीन की संयुक्त प्रति एकड़ उपज की गणना करें: 300 + 272 = 572 मिलियन टन

इसके बाद, शेष पांच देशों, जो कि श्रीलंका, भूटान, सिंगापुर, थाईलैंड और नेपाल हैं, की कुल प्रति एकड़ उपज की गणना करें: 250 + 162 + 120 + 104 + 82 = 718 मिलियन टन

शेष देशों के सापेक्ष भारत और चीन की उपज का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें: प्रतिशत = ( (भारत और चीन की कुल उपज)/(शेष देशों की कुल उपज) ) × 100 प्रतिशत = ( ⁵⁷²⁄₇₁₈ ) × 100 ≈ 79.6657...

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 79.66 प्राप्त होता है।

व्याख्या

डेटासेट में पांच देशों के लिए प्रति एकड़ उपज इस प्रकार है: भारत (120.5), ब्राजील (140.4), चीन (190.2), यूएसए (240.3), और रूस (242.1)। नई औसत प्रति एकड़ उपज ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले सभी देशों की उपज का योग ज्ञात करें: कुल उपज = 120.5 + 140.4 + 190.2 + 240.3 + 242.1 = 933.5 मिलियन टन।

पांच देशों के लिए मूल औसत उपज है: मूल औसत = (933.5)/(5) = 186.7 मिलियन टन।

कुल औसत उपज में 10% की वृद्धि लागू करके नई औसत उपज प्राप्त की जाती है: नया औसत = 186.7 × (1 + 0.10) = 186.7 × 1.1 = 205.37 मिलियन टन।

यह सही विकल्प में निर्दिष्ट मान से मेल खाता है।

व्याख्या

एक संख्या जो 2, 3 और 7 से विभाज्य है, वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से भी विभाज्य होनी चाहिए। चूंकि 2, 3 और 7 अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए उनका LCM = 2 × 3 × 7 = 42 होगा।

300 और 700 के बीच 42 के गुणजों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सीमाओं को 42 से विभाजित करते हैं। निचली सीमा के लिए, 300 / 42 ≈ 7.14, जिसका अर्थ है कि इस सीमा में 42 का पहला गुणज 42 × 8 = 336 है। ऊपरी सीमा के लिए, 700 / 42 ≈ 16.66, जिसका अर्थ है कि इस सीमा में 42 का अंतिम गुणज 42 × 16 = 672 है।

संख्याओं की कुल गिनती 8 से 16 (दोनों सहित) तक के पूर्णांकों की संख्या है। समांतर श्रेणी (arithmetic progression) में पदों की संख्या के सूत्र, N = (अंतिम पद - प्रथम पद) + 1 का उपयोग करने पर, हमें 16 - 8 + 1 = 9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी कार्य के लिए कुल भुगतान को श्रमिकों के बीच उनके द्वारा किए गए कार्य की मात्रा के सीधे अनुपात में वितरित किया जाता है। मान लीजिए कि कुल कार्य को 1 इकाई के रूप में दर्शाया गया है। यदि A और B मिलकर कार्य का ⅗ भाग पूरा करते हैं, तो C द्वारा पूरा किया गया भाग शेष कार्य है:

C द्वारा किया गया कार्य = 1 - ⅗ = ⅖

प्रत्येक व्यक्ति के लिए कुल भुगतान के हिस्से की गणना कुल राशि को पूरे किए गए कार्य के अंश से गुणा करके की जाती है। चूंकि कुल राशि 5000 रुपये है, इसलिए C का हिस्सा है:

C का हिस्सा = ⅖ × 5000

समीकरण को सरल करने पर, 5000 ÷ 5 = 1000, और 1000 × 2 = 2000 प्राप्त होता है। इसलिए, C को उसके योगदान के लिए 2000 रुपये प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

प्रारंभिक ठोस शंकु के आयतन की गणना सूत्र V_शंकु = ⅓ π r² h का उपयोग करके की जाती है। दी गई त्रिज्या r = 9 सेमी और ऊंचाई h = 36 सेमी के साथ, आयतन ⅓ π × 9² × 36 है, जो सरल होकर 12 π × 81 = 972π सेमी³ हो जाता है।

पिघलाने के बाद बने ठोस बेलन के आयतन की गणना V_बेलन = π r² h का उपयोग करके की जाती है। दी गई त्रिज्या r = 9 सेमी और ऊंचाई h = 9 सेमी के साथ, आयतन π × 9² × 9 है, जो 729π सेमी³ के बराबर है।

व्यर्थ हुई सामग्री की मात्रा मूल आयतन और अंतिम आयतन के बीच का अंतर है, जो कि 972π - 729π = 243π सेमी³ है। व्यर्थ हुई सामग्री का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (व्यर्थ सामग्री)/(मूल सामग्री) × 100 का उपयोग करते हैं। इससे (243π)/(972π) × 100 प्राप्त होता है। चूंकि 243 × 4 = 972 है, इसलिए अनुपात ¼ है, और अपव्यय प्रतिशत ¼ × 100 = 25 है।