एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

जब एक ठोस गोले को दो बराबर भागों में काटा जाता है, तो दो समान अर्धगोले बनते हैं। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में होने वाली वृद्धि, नए बने दो वृत्ताकार अनुप्रस्थ काटों (अर्धगोलों के आधार) के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होती है। दिया गया है कि व्यास d = 7 सेमी, इसलिए त्रिज्या r = 7/2 = 3.5 सेमी है।

एक वृत्ताकार फलक का क्षेत्रफल π r² होता है। चूंकि काटने से ऐसे दो फलक बनते हैं, इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल में कुल वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है: Δ A = 2 × π r² Δ A = 2 × ²²⁄₇ × (⁷⁄₂) × (⁷⁄₂) Δ A = (22 × 7)/(2) Δ A = 11 × 7 = 77 सेमी²

व्याख्या

छूट के बाद अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का संबंध सूत्र SP = MP × (1 - D/100) द्वारा दिया जाता है, जहाँ SP विक्रय मूल्य है, MP अंकित मूल्य है, और D छूट प्रतिशत है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1848 = MP × (1 - 23/100) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 1848 = MP × (77/100) हो जाता है। अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, समीकरण को MP = (1848 × 100) / 77 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जाता है। 1848 को 77 से विभाजित करने पर 24 प्राप्त होता है, और इस भागफल को 100 से गुणा करने पर अंकित मूल्य 2400 रुपये प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण ⅗P = ⁷⁄₂Q = ⁷⁄₅R में, हम गुणांकों के व्युत्क्रम (reciprocal) लेकर P : Q : R का अनुपात ज्ञात कर सकते हैं। यदि aP = bQ = cR है, तो अनुपात P : Q : R, ¹⁄ₐ : (1)/(b) : (1)/(c) होगा।

इसे लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: P : Q : R = ⁵⁄₃ : ²⁄₇ : ⁵⁄₇

इन भिन्नों को पूर्ण संख्याओं में बदलने के लिए, प्रत्येक पद को हरों 3 और 7 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 21 है, से गुणा करें: P = ⁵⁄₃ × 21 = 35 Q = ²⁄₇ × 21 = 6 R = ⁵⁄₇ × 21 = 15

इस प्रकार, P : Q : R का अनुपात 35 : 6 : 15 है।

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत सूत्र (n + 1)/(2) द्वारा दिया जाता है। यह परिणाम प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग से प्राप्त होता है, जो कि Sₙ = (n(n + 1))/(2) है। चूंकि औसत, पदों की संख्या n से विभाजित योग होता है, इसलिए यह व्यंजक सरल होकर (n + 1)/(2) हो जाता है।

प्रथम 93 प्राकृतिक संख्याओं के लिए, हम सूत्र में n = 93 रखते हैं:

औसत = (93 + 1)/(2)

औसत = ⁹⁴⁄₂

औसत = 47

एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) में जहाँ क्रमागत पदों के बीच का अंतर नियत होता है, औसत भी मध्य पद ही होता है। 93 पदों के एक अनुक्रम के लिए, मध्य पद 47वाँ पद है, जो कि 47 है।

व्याख्या

जब दो वस्तुओं को एक ही विक्रय मूल्य पर बेचा जाता है, एक को x% के लाभ पर और दूसरी को x% की हानि पर, तो समग्र परिणाम हमेशा हानि ही होती है। कुल हानि प्रतिशत की गणना सूत्र L = x²/100 द्वारा की जाती है। 15% के लाभ और हानि के लिए, कुल हानि प्रतिशत 15²/100 = 225/100 = 2.25% है।

दोनों वस्तुओं का कुल विक्रय मूल्य (SP) 400 + 400 = 800 रुपये है। कुल क्रय मूल्य (CP) और कुल विक्रय मूल्य के बीच संबंध SP = CP × (1 - (L)/(100)) है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर 800 = CP × (1 - 0.0225) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 800 = CP × 0.9775 प्राप्त होता है। कुल क्रय मूल्य के लिए हल करने पर, CP = (800)/(0.9775) ≈ 818.4143 रुपये।

रुपये में हानि का मूल्य कुल क्रय मूल्य और कुल विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है। हानि = 818.4143 - 800 = 18.4143 रुपये। दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, कुल हानि 18.41 रुपये है।

व्याख्या

उसी संख्या के 30% और 25% के बीच का अंतर 27 दिया गया है। प्रतिशत के रूप में, इस अंतर की गणना इस प्रकार की जाती है:

30% - 25% = 5%

इसका अर्थ है कि संख्या का 5%, मान 27 के बराबर है। मूल संख्या (100%) ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

संख्या का 5% = 27

100% ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 20 से गुणा करते हैं, क्योंकि 5 × 20 = 100:

संख्या का 100% = 27 × 20 संख्या का 100% = 540

वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय रूप का उपयोग करते हुए: ⁵⁄₁₀₀ × x = 27 x = (27 × 100)/(5) x = 27 × 20 x = 540

इस रैखिक संबंध को हल करने पर जहाँ 5%, 27 को दर्शाता है, संख्या का मान 540 निर्धारित होता है।

व्याख्या

पेड़ों के बीच की दूरी को समान अंतरालों में विभाजित किया गया है। पहले पेड़ से 13वें पेड़ तक पहुँचने के लिए, कार को 13 - 1 = 12 अंतराल तय करने होंगे। इन 12 अंतरालों को तय करने में लगा समय 20 सेकंड है।

पेड़ों की कुल संख्या 37 है, इसलिए पहले पेड़ से अंतिम पेड़ तक के अंतरालों की कुल संख्या 37 - 1 = 36 है। कार पहले ही 13वें पेड़ तक पहुँच चुकी है, जिसका अर्थ है कि उसने 12 अंतराल तय कर लिए हैं और अंतिम पेड़ तक पहुँचने के लिए 36 - 12 = 24 अंतराल शेष हैं।

चूंकि गति स्थिर है और अंतराल समान हैं, हम ऐकिक नियम (unitary method) का उपयोग करते हैं: 12 अंतरालों के लिए समय = 20 सेकंड 1 अंतराल के लिए समय = ²⁰⁄₁₂ सेकंड शेष 24 अंतरालों के लिए समय = ²⁰⁄₁₂ × 24 = 20 × 2 = 40 सेकंड

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी धनराशि को दोगुना होने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन P के बराबर होना चाहिए। इसलिए, SI = P। दी गई समयावधि 7 वर्ष और 8 महीने है, जिसे निम्नानुसार वर्षों में बदला जा सकता है: T = 7 + ⁸⁄₁₂ = 7 + ⅔ = ²³⁄₃ वर्ष।

साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: P = (P × R × 23)/(3){100} 1 = (23R)/(300) R = ³⁰⁰⁄₂₃

300 को 23 से विभाजित करने पर, हमें भागफल 13 और शेषफल 1 प्राप्त होता है। मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर, ब्याज की दर 13 ¹⁄₂₃ % प्रति वर्ष है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (1)/(x⁽ᵖ⁻^q⁾⁾⁺¹ + (1)/(x⁽^q⁻ᵖ⁾⁾⁺¹ है। ऋणात्मक घातांक नियम a⁻ⁿ = (1)/(aⁿ) का उपयोग करके, पद x⁽^q⁻ᵖ⁾ को x⁻⁽ᵖ⁻^q⁾ के रूप में लिखा जा सकता है, जो (1)/(x⁽ᵖ⁻^q⁾⁾ के समतुल्य है। इसे दूसरे भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर:

(1)/(x⁽ᵖ⁻^q⁾⁾⁺¹ + (1)/(1){x⁽ᵖ⁻^q⁾ + 1}

दूसरे भिन्न के हर को सरल करने पर:

(1)/(1 + x⁽ᵖ⁻^q⁾⁾{x⁽ᵖ⁻^q⁾} = x⁽ᵖ⁻^q⁾{1 + x⁽ᵖ⁻^q⁾}

अब, इसे वापस मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(1)/(x⁽ᵖ⁻^q⁾⁾⁺¹ + x⁽ᵖ⁻^q⁾{x⁽ᵖ⁻^q⁾ + 1}

चूंकि हर समान हैं, इसलिए अंशों को सीधे जोड़ दिया जाता है:

1 + x⁽ᵖ⁻^q⁾{1 + x⁽ᵖ⁻^q⁾} = 1

वैकल्पिक रूप से, p = q रखने पर व्यंजक सरल होकर (1)/(x⁰+1) + (1)/(x⁰+1) = ¹⁄₁₊₁ + ¹⁄₁₊₁ = ½ + ½ = 1 हो जाता है।

व्याख्या

√x ज्ञात करने के लिए, हम x = 8 + 2√(15) को (a + b)² = a² + b² + 2ab के रूप में व्यक्त करते हैं। पदों की तुलना करने पर, हमें 2ab = 2√(15) प्राप्त होता है, जिससे ab = √(15) मिलता है। √(15) के संभावित गुणनखंड √5 और √3 हैं। उनके वर्गों के योग की जाँच करने पर, (√5)² + (√3)² = 5 + 3 = 8, जो अचर पद से मेल खाता है। इस प्रकार, x = (√5 + √3)² है, और √x = √5 + √3 है।

इसके बाद, हम व्युत्क्रम की गणना करते हैं: (1)/(√(x)) = (1)/(√(5) + 3)

संयुग्मी (conjugate) (√5 - √3) से अंश और हर को गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर: (1)/(√(5) + 3) × √5 - √3{√5 - √3} = √5 - √3{5 - 3} = √5 - √3{2}

अब, हम दोनों घटकों का योग करते हैं: √x + (1)/(√(x)) = (√5 + √3) + √5 - √3{2} = 2(√5 + √3) + √5 - √3{2} = 2√5 + 2√3 + √5 - √3{2} = 3√5 + √3{2}

व्याख्या

प्रत्येक भिन्न का स्वतंत्र रूप से मान ज्ञात करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है। सबसे पहले, पद (1+a)/(a¹^/²⁾⁺ᵃ^^^⁻^¹^^^/^² पर विचार करें। हर को a¹^/² + (1)/(a¹^/²⁾ के रूप में पुनः लिखने पर, यह (a+1)/(a¹^/²⁾ हो जाता है। इसे वापस पहले पद में प्रतिस्थापित करने पर: (1+a)/(a+1){a¹^/²} = (1+a) · a¹^/²{a+1} = a¹^/²

इसके बाद, दूसरे पद a¹^/² + a⁻¹^/²{1+a} को सरल करें। अंश के लिए उसी हर के सरलीकरण का उपयोग करने पर: (a+1)/(a¹^/²⁾{1+a} = (a+1)/(a¹^/²⁾⁽¹⁺ᵃ⁾ = (1)/(a¹^/²⁾ = a⁻¹^/²

अब, इन सरलीकृत मानों को वापस मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: a¹^/² - a⁻¹^/² + a⁻¹^/²

पद -a⁻¹^/² और +a⁻¹^/² एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे प्राप्त होता है: a¹^/² = √a

व्याख्या

दिया गया अनुपात (p)/(q) = ˣ⁺³⁄ₓ₋₃ है, पदों को आवश्यक व्यंजक से जोड़ने के लिए हम दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं: (p²)/(q²) = ((x+3)²)/((x-3)²) = (x² + 6x + 9)/(x² - 6x + 9)

(p² + q²)/(p² - q²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) का नियम लागू करते हैं, जिसके अनुसार यदि (a)/(b) = (c)/(d) है, तो (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) होता है। इस सूत्र में अपने मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (p² + q²)/(p² - q²) = ((x² + 6x + 9) + (x² - 6x + 9))/((x² + 6x + 9) - (x² - 6x + 9))

अंश में, पद 6x और -6x एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे 2x² + 18 बचता है। हर में, पद x² और 9 निरस्त हो जाते हैं, जिससे 12x बचता है। यह व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: (p² + q²)/(p² - q²) = (2x² + 18)/(12x)

अंश से 2 को उभयनिष्ठ (common) लेने और भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है: (2(x² + 9))/(12x) = (x² + 9)/(6x)

व्याख्या

माना वर्ग PQRS की भुजा a सेमी है। चूंकि M, भुजा PQ का मध्य-बिंदु है, इसलिए MQ की लंबाई = a/2। दिया गया है कि NR = QR का 2/3, तो शेष खंड QN = QR - NR = a - (2/3)a = a/3।

त्रिभुज MQN, Q पर एक समकोण त्रिभुज है क्योंकि PQRS एक वर्ग है। Δ MQN का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है:

क्षेत्रफल = ½ × MQ × QN 48 = ½ × ᵃ⁄₂ × ᵃ⁄₃ 48 = (a²)/(12) a² = 48 × 12 = 576 a = √(576) = 24 सेमी

भुजा a वाले वर्ग के विकर्ण PR की लंबाई सूत्र PR = a√2 द्वारा दी जाती है। a का मान रखने पर:

PR = 24√2 सेमी

व्याख्या

व्यंजक (1 - sin A cos A)(sin A + cos A) को घनों के योग के बीजगणितीय सर्वसमिका: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। a = sin A और b = cos A मानकर, हम इस सर्वसमिका को sin³ A + cos³ A पर लागू करते हैं:

sin³ A + cos³ A = (sin A + cos A)(sin² A - sin A cos A + cos² A)

पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, sin² A + cos² A = 1 को लागू करने पर, कोष्ठक में दूसरा गुणनखंड इस प्रकार सरल हो जाता है:

sin³ A + cos³ A = (sin A + cos A)(1 - sin A cos A)

प्राप्त गुणनफल बिल्कुल प्रश्न में दिया गया व्यंजक है, जो यह दर्शाता है कि यह सरल होकर sin³ A + cos³ A हो जाता है।

व्याख्या

वर्गमूल के भीतर के पद का परिमेयकरण करके व्यंजक को सरल किया जाता है। अंश और हर दोनों को (1 - sin A) से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:

√((1 - sin A)/(1 + sin A) · (1 - sin A)/(1 - sin A)) = √(((1 - sin A)²)/(1 - sin² A))

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करते हुए, हम 1 - sin² A को cos² A से प्रतिस्थापित करते हैं:

√(((1 - sin A)²)/(cos² A)) = (1 - sin A)/(cos A)

इस व्यंजक को दो पदों में विभाजित किया जा सकता है:

(1)/(cos A) - (sin A)/(cos A)

secant और tangent फलनों की परिभाषाओं को लागू करने पर, जहाँ sec A = (1)/(cos A) और tan A = (sin A)/(cos A) है, अंतिम सरलीकृत रूप है:

sec A - tan A

व्याख्या

दिया गया व्यंजक √((1)/(sin² A) + (1)/(cos² A)) है। वर्गमूल के भीतर उभयनिष्ठ हर लेने पर, यह हो जाता है: √((cos² A + sin² A)/(sin² A cos² A)) मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 लागू करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है: √((1)/(sin² A cos² A)) = (1)/(sin A cos A) विकल्प B के व्यंजक, tan A + cot A, को बुनियादी त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है: tan A + cot A = (sin A)/(cos A) + (cos A)/(sin A) = (sin² A + cos² A)/(sin A cos A) = (1)/(sin A cos A) दोनों परिणामों की तुलना करने पर, मूल व्यंजक का सरलीकृत मान tan A + cot A के बराबर है।

व्याख्या

व्यंजक (12)/(√(5) + 3) + (18)/(√(5) - 3) को हल करने के लिए, हम एक उभयनिष्ठ हर का उपयोग करते हैं जो दोनों हरों का गुणनफल है: (√5 + √3)(√5 - √3)। बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करने पर, हर (√5)² - (√3)² = 5 - 3 = 2 हो जाता है।

इसके बाद, अंश ज्ञात करने के लिए हम तिर्यक-गुणन करते हैं: अंश = 12(√5 - √3) + 18(√5 + √3) = 12√5 - 12√3 + 18√5 + 18√3 = 30√5 + 6√3

सरलीकृत अंश को उभयनिष्ठ हर से विभाजित करने पर: 30√5 + 6√3{2} = 15√5 + 3√3

इस परिणाम में से 3 को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालने पर, हमें 3(5√5 + √3) प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल कार्य S, T और U द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। कुल कार्य = LCM(40, 48, 60) = 240 इकाई। S की दैनिक कार्य क्षमता = 240 / 40 = 6 इकाई प्रति दिन। T की दैनिक कार्य क्षमता = 240 / 48 = 5 इकाई प्रति दिन। U की दैनिक कार्य क्षमता = 240 / 60 = 4 इकाई प्रति दिन।

माना कुल कार्य x दिनों में पूरा होता है। प्रश्न के अनुसार, S पूरे x दिनों की अवधि के लिए कार्य करता है, T, x - 2 दिनों के लिए कार्य करता है, और U, x - 5 दिनों के लिए कार्य करता है। प्रत्येक व्यक्ति द्वारा किए गए कार्य का योग कुल कार्य के बराबर है: 6x + 5(x - 2) + 4(x - 5) = 240 6x + 5x - 10 + 4x - 20 = 240 15x - 30 = 240 15x = 270 x = 18 दिन।

S द्वारा किया गया कुल कार्य इस प्रकार है: S द्वारा किया गया कार्य = S की क्षमता × S द्वारा कार्य किए गए कुल दिन = 6 × 18 = 108 इकाई।

राशि का हिस्सा प्रत्येक व्यक्ति द्वारा पूरे किए गए कार्य की कुल इकाइयों के आधार पर वितरित किया जाता है। S का हिस्सा = (S द्वारा किया गया कार्य / कुल कार्य) × कुल राशि S का हिस्सा = (108 / 240) × 10800 S का हिस्सा = 108 × 45 = 4860 रुपये।

व्याख्या

एक समलंब का क्षेत्रफल A सूत्र A = ½ × (a + b) × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ a और b समानांतर भुजाओं की लंबाई हैं और h उनके बीच की लंबवत दूरी है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

a = 2.56 गज b = 3.44 गज h = 1.44 गज

A = ½ × (2.56 + 3.44) × 1.44 A = ½ × 6.00 × 1.44 A = 3 × 1.44 = 4.32 वर्ग गज

भूमि की जुताई की कुल लागत, क्षेत्रफल और प्रति वर्ग गज की लागत का गुणनफल है। यह देखते हुए कि दर 1800 रुपये प्रति वर्ग गज है:

कुल लागत = 4.32 × 1800 कुल लागत = 432 × 18 कुल लागत = 7776

गुणन को सरल करने पर, 432 × 18 = 432 × (20 - 2) = 8640 - 864 = 7776।

व्याख्या

माना तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याएं n-1, n, और n+1 हैं। बीजगणितीय सर्वसमिका (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) के अनुसार, योग के वर्ग और वर्गों के योग के बीच का अंतर 2(ab + bc + ca) होता है।

दिया गया है कि यह अंतर 292 है, इसलिए हमारे पास है: 2((n-1)n + n(n+1) + (n-1)(n+1)) = 292 (n-1)n + n(n+1) + (n-1)(n+1) = 146 n² - n + n² + n + n² - 1 = 146 3n² - 1 = 146 3n² = 147 n² = 49 n = 7

तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याएं 6, 7, और 8 हैं। इसलिए, सबसे बड़ी संख्या 8 है।

व्याख्या

A को कार्य पूरा करने में 6 × 8 = 48 घंटे लगते हैं, जबकि B को 4 × 10 = 40 घंटे लगते हैं। माना कुल कार्य 48 और 40 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 240 इकाई है।

A की कार्यक्षमता 240 / 48 = 5 इकाई प्रति घंटा है, और B की कार्यक्षमता 240 / 40 = 6 इकाई प्रति घंटा है। एक साथ कार्य करते हुए, उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 5 + 6 = 11 इकाई प्रति घंटा है। 240 इकाइयों के कुल कार्य को पूरा करने के लिए, दोनों द्वारा मिलकर कार्य करने पर आवश्यक कुल समय 240 / 11 घंटे है।

चूंकि कार्य को 5 दिनों में पूरा किया जाना है, इसलिए उन्हें प्रतिदिन मिलकर जितने घंटे कार्य करने की आवश्यकता है, उसकी गणना कुल आवश्यक घंटों को दिनों की संख्या से विभाजित करके की जाती है: प्रतिदिन के घंटे = ²⁴⁰⁄₁₁ × ⅕ = ⁴⁸⁄₁₁ = 4 ⁴⁄₁₁ घंटे।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: MP/CP = (100 - हानि%) / (100 - छूट%)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ छूट 25% है और हानि 15% है:

MP / CP = (100 - 15) / (100 - 25) MP / CP = 85 / 75 MP / CP = 17 / 15

जब वस्तु को अंकित मूल्य पर बेचा जाता है, तो विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP) के बराबर होता है। लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ % = [(SP - CP) / CP] × 100 लाभ % = [(MP / CP) - 1] × 100 लाभ % = [(17 / 15) - 1] × 100 लाभ % = (2 / 15) × 100 लाभ % = 40 / 3 = 13.33%

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) का निर्धारण विक्रय मूल्य (SP) और छूट की दर के बीच के संबंध द्वारा किया जाता है। चूंकि 18% की छूट दी गई है, इसलिए विक्रय मूल्य कुल अंकित मूल्य का 82% (100% - 18% = 82%) दर्शाता है।

अंकित मूल्य की गणना करने का सूत्र है: MP = (SP × 100)/(100 - छूट%)

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर: MP = (1599 × 100)/(82)

भाग करने पर, 1599 ÷ 82 का मान 19.5 प्राप्त होता है। इस परिणाम को 100 से गुणा करने पर अंतिम मान प्राप्त होता है: MP = 19.5 × 100 = 1950

व्याख्या

तीनों प्रकार के गेहूं का कुल वजन 24 + 36 + 84 = 144 किग्रा है। जब इन्हें अच्छी तरह मिलाया जाता है, तो पूरे मिश्रण में प्रकार A का अनुपात कुल वजन के सापेक्ष इसके मूल वजन द्वारा निर्धारित होता है।

मिश्रण में प्रकार A का अनुपात = ²⁴⁄₁₄₄ = ⅙

चूंकि मिश्रण एकसमान है, इसलिए मिश्रण के प्रत्येक हिस्से में प्रकार A इसी अनुपात में मौजूद होगा। तीसरे बक्से की क्षमता 84 किग्रा है और इसे पूरी तरह से इस मिश्रण से भरा गया है।

तीसरे बक्से में प्रकार A का वजन = 84 × ⅙ = 14 किग्रा

व्याख्या

समूह में लड़कों की संख्या स्थिर रहती है क्योंकि एक लड़का समूह छोड़ता है और दूसरा शामिल होता है। माना लड़कों की संख्या n है। समूह के कुल वजन में शुद्ध परिवर्तन, शामिल होने वाले लड़के और समूह छोड़ने वाले लड़के के वजन का अंतर है, जो कि 30 - 42 = -12 किग्रा है।

समूह का औसत वजन 36 किग्रा से घटकर 35.7 किग्रा हो जाता है, जो प्रति लड़का 36 - 35.7 = 0.3 किग्रा की कमी है। किसी भी समूह में, मानों के योग में कुल परिवर्तन, मदों की संख्या और औसत में परिवर्तन के गुणनफल के बराबर होता है। इस संबंध का उपयोग करने पर: n × 0.3 = 12 n = (12)/(0.3) n = 40

वैकल्पिक रूप से, इसे कुल वजन के समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: 36n - 42 + 30 = 35.7n. दोनों पक्षों से 35.7n घटाने और अचरों (constants) को स्थानांतरित करने पर 0.3n = 12 प्राप्त होता है, जिससे n = 40 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना कैलकुलेटर का क्रय मूल्य (CP) 100 है। 15% के लाभ से संकेत मिलता है कि मूल विक्रय मूल्य (SP₁) है: SP₁ = 100 + 15 = 115

प्रश्न में कहा गया है कि कैलकुलेटर को मूल मूल्य के तिगुने मूल्य पर बेचा जाता है। इसलिए, नया विक्रय मूल्य (SP₂) है: SP₂ = 3 × 115 = 345

लाभ, नए विक्रय मूल्य और मूल क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = SP₂ - CP = 345 - 100 = 245

लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: लाभ प्रतिशत = (लाभ)/(CP) × 100 = ²⁴⁵⁄₁₀₀ × 100 = 245%

व्याख्या

माना डाले गए कुल मतों की संख्या x है। जीतने वाले उम्मीदवार को 70% मत प्राप्त हुए, जो कि 0.70x है। परिणामस्वरूप, हारने वाले उम्मीदवार को शेष 30% मत प्राप्त हुए, जो कि 0.30x है। जीतने वाले उम्मीदवार की जीत का अंतर उनके मतों के हिस्से का अंतर है: 0.70x - 0.30x = 0.40x। प्रश्न के अनुसार, यह अंतर 15400 मत है। इसलिए, हमारे पास समीकरण 0.40x = 15400 है। कुल मतों के लिए हल करने पर, x = (15400)/(0.40) = 38500। हारने वाले उम्मीदवार को मिले मतों की संख्या इस कुल संख्या का 30% है, जिसकी गणना 0.30 × 38500 = 11550 के रूप में की जाती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि शांत जल में नाव की चाल x किमी/घंटा है और धारा की चाल y किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल चाल D = x + y है और धारा के प्रतिकूल चाल U = x - y है। यात्राओं में लगने वाले समय के आधार पर, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

4/U + 4/D = 1 3/U + 5/D = 55/60 = 11/12

इस समीकरण प्रणाली को हल करने के लिए, 1/U को समाप्त करने के लिए पहले समीकरण को 3 से और दूसरे समीकरण को 4 से गुणा करें:

12/U + 12/D = 3 12/U + 20/D = 44/12 = 11/3

दूसरे संशोधित समीकरण में से पहले संशोधित समीकरण को घटाने पर:

(20/D - 12/D) = 11/3 - 3 8/D = 2/3 D = 24 / 2 = 12 किमी/घंटा

D = 12 का मान पहले समीकरण में वापस रखने पर:

4/U + 4/12 = 1 4/U + 1/3 = 1 4/U = 2/3 U = 12 / 2 = 6 किमी/घंटा

शांत जल में नाव की चाल, धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल चालों का औसत होती है:

x = (D + U) / 2 = (12 + 6) / 2 = 18 / 2 = 9 किमी/घंटा

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है। प्रश्न के अनुसार, 10 वर्षों में अर्जित ब्याज मूलधन का 130% है, जिसे SI = ¹³⁰⁄₁₀₀P = 1.3P के रूप में लिखा जा सकता है।

सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1.3P = (P × R × 10)/(100)

चूँकि मूलधन P दोनों पक्षों में मौजूद है, यह आपस में कट जाता है, जिससे पता चलता है कि दर केवल प्रतिशत वृद्धि और समय पर निर्भर करती है: 1.3 = (10R)/(100) 1.3 = (R)/(10) R = 1.3 × 10 = 13

ब्याज की दर 13% प्रति वर्ष है।

व्याख्या

x³ के पदों में एक द्विघात व्यंजक सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का अनुसरण करता है। x⁶ - 18x³ + k को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हम इसे (x³ - b)² के विस्तार के बराबर रखते हैं।

दिए गए व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिखने पर: (x³)² - 2(x³)(9) + k

इसकी तुलना मानक सर्वसमिका a² - 2ab + b² से करने पर, हमें a = x³ और b = 9 प्राप्त होता है। व्यंजक को एक पूर्ण वर्ग होने के लिए, अचर पद k का मान b² के बराबर होना चाहिए।

k = 9² = 81

इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक x⁶ - 18x³ + 81 बन जाता है, जो कि (x³ - 9)² का पूर्ण वर्ग है।

व्याख्या

समीकरण √(5+x) + √(5-x){√(5+x) - √(5-x)} = ³⁄₁ पर योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम लागू करें। यह नियम बताता है कि यदि (a+b)/(a-b) = (c)/(d) है, तो (a)/(b) = (c+d)/(c-d) होगा।

इस संबंध का उपयोग करने पर, समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:

√(5+x){√(5-x)} = ³⁺¹⁄₃₋₁

√(5+x){√(5-x)} = ⁴⁄₂ = 2

वर्गमूल हटाने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

⁵⁺ˣ⁄₅₋ₓ = 2²

⁵⁺ˣ⁄₅₋ₓ = 4

अब, तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) करें:

5 + x = 4(5 - x)

5 + x = 20 - 4x

दोनों पक्षों में 4x जोड़कर और दोनों पक्षों से 5 घटाकर x का मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:

x + 4x = 20 - 5

5x = 15

x = ¹⁵⁄₅

x = 3

व्याख्या

घनों के योग के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) है। दिए गए मानों का सीधे उपयोग करने के लिए, दूसरे गुणनखंड को विस्तार (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) का उपयोग करके पुन: लिखा जाता है ताकि संशोधित सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)[(x + y + z)² - 3(xy + yz + zx)] प्राप्त की जा सके।

इस सूत्र में दिए गए मानों x + y + z = 12, xy + yz + zx = 44, और xyz = 48 को प्रतिस्थापित करने पर:

x³ + y³ + z³ - 3(48) = 12 × [12² - 3(44)]

x³ + y³ + z³ - 144 = 12 × (144 - 132)

x³ + y³ + z³ - 144 = 12 × 12

x³ + y³ + z³ = 144 + 144 = 288

व्याख्या

दिए गए व्यंजक x = 4√(ab){√a + √b} को हम योगान्तरानुपात नियम (Componendo and Dividendo rule) के पदों को अलग करने के लिए पुनर्गठित कर सकते हैं। सबसे पहले, 2√a से विभाजित करने पर:

(x)/(2√(a)) = 2√b{√a + √b}

योगान्तरानुपात नियम लागू करने पर: x + 2√a{x - 2√a} = 2√b + (√a + √b){2√b - (√a + √b)} = 3√b + √a{√b - √a}

इसी प्रकार, मूल समीकरण को 2√b से विभाजित करने पर: (x)/(2√(b)) = 2√a{√a + √b}

योगान्तरानुपात नियम लागू करने पर: x + 2√b{x - 2√b} = 2√a + (√a + √b){2√a - (√a + √b)} = 3√a + √b{√a - √b}

वांछित योग x + 2√a{x - 2√a} + x + 2√b{x - 2√b} का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों व्युत्पन्न व्यंजकों को जोड़ने पर: 3√b + √a{√b - √a} + 3√a + √b{√a - √b}

अंश और हर को -1 से गुणा करके पहले पद के हर को बदलने पर: -(3√b + √a){√a - √b} + 3√a + √b{√a - √b} = -3√b - √a + 3√a + √b{√a - √b}

अंश को सरल करने पर: 2√a - 2√b{√a - √b} = 2(√a - √b){√a - √b} = 2

व्याख्या

माना प्रत्येक बेटे को प्राप्त राशि x है। दी गई शर्तों के आधार पर, प्रत्येक बेटी को प्राप्त राशि 1.5x है और पत्नी को प्राप्त राशि x - 600 है। 19000 रुपये की कुल राशि को 3 बेटों, 2 बेटियों और 1 पत्नी के बीच वितरित किया गया है। इस वितरण को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है:

3(x) + 2(1.5x) + (x - 600) = 19000

x वाले पदों को मिलाने पर: 3x + 3x + x - 600 = 19000 7x - 600 = 19000 7x = 19600 x = 2800

प्रत्येक बेटे को 2800 रुपये प्राप्त हुए। तीनों बेटों को मिलाकर प्राप्त कुल राशि ज्ञात करने के लिए, हम व्यक्तिगत हिस्से को बेटों की संख्या से गुणा करते हैं: 3 × 2800 = 8400

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, परिकेंद्र कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। परिणामस्वरूप, परिवृत्त की त्रिज्या R कर्ण की लंबाई के आधे के बराबर होती है। त्रिभुज PQR में, जहाँ ∠ Q = 90° है, भुजा PR कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, PR की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है: PR = √(PQ² + QR²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √(169) = 13 सेमी। परिवृत्त की त्रिज्या R = (PR)/(2) = ¹³⁄₂ = 6.5 सेमी है।

व्याख्या

किसी वृत्त की जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, उसके द्वारा परिधि के किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। दिया गया है कि परिधि पर बना कोण 30° है, इसलिए केंद्रीय कोण θ = 2 × 30° = 60° है। R त्रिज्या वाले वृत्त में जीवा की लंबाई L को सूत्र L = 2R sin(θ/2) द्वारा निर्धारित किया जाता है। सूत्र में केंद्रीय कोण का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: L = 2R sin(60°/2) = 2R sin(30°)। चूंकि sin(30°) = 1/2 है, इसलिए समीकरण L = 2R × (1/2) = R हो जाता है। इसलिए, जीवा की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, और त्रिज्या का जीवा की लंबाई से अनुपात R : R है, जो सरल होकर 1 : 1 हो जाता है। इसे वृत्त के केंद्र और जीवा के अंत्य बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज के माध्यम से भी समझा जा सकता है; चूंकि दोनों त्रिज्याएँ केंद्र पर 60° का कोण बनाती हैं, इसलिए यह त्रिभुज समबाहु है, जिससे यह पुष्टि होती है कि जीवा की लंबाई त्रिज्या के बराबर है।

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाई बराबर होती है, इसलिए AP = BP = 6 सेमी। चतुर्भुज OAPB में, स्पर्श बिंदुओं पर बनने वाले कोण ∠ OAP = ∠ OBP = 90° हैं क्योंकि स्पर्शरेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है। चूंकि एक चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है, इसलिए बाहरी बिंदु पर बनने वाला कोण ∠ APB = 360° - (∠ OAP + ∠ OBP + ∠ AOB) = 360° - (90° + 90° + 120°) = 60° है। चूंकि AP = BP है और शीर्ष कोण ∠ APB = 60° है, इसलिए त्रिभुज APB एक समबाहु त्रिभुज होना चाहिए जिसकी सभी भुजाएँ 6 सेमी के बराबर हों। एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र √3{4} × भुजा² का उपयोग करके की जाती है। भुजा की लंबाई 6 सेमी रखने पर, क्षेत्रफल √3{4} × 6² = √3{4} × 36 = 9√3 सेमी² है।

व्याख्या

एक वृत्त के संदर्भ में एक बिंदु P की शक्ति (power of a point), P से होकर गुजरने वाली किसी भी छेदक रेखा के खंडों की लंबाई के गुणनफल द्वारा दी जाती है। केंद्र से d दूरी पर वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु और r त्रिज्या वाले वृत्त के लिए, बिंदु की शक्ति के प्रमेय (Power of Point theorem) के अनुसार, PQ × PR = d² - r² होता है।

दी गई लंबाई PQ = 4.5 सेमी और QR = 3.5 सेमी है, छेदक रेखा खंड PR की कुल लंबाई PQ + QR = 4.5 + 3.5 = 8 सेमी है। केंद्र O से बिंदु P की दूरी d = 6.5 सेमी है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: 4.5 × 8 = (6.5)² - r² 36 = 42.25 - r² r² = 42.25 - 36 r² = 6.25 r = √(6.25) = 2.5 सेमी

व्याख्या

[1/(1 - tan θ)] - [1/(1 + tan θ)] का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों भिन्नों का एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेकर व्यंजक को सरल करते हैं। उभयनिष्ठ हर (1 - tan θ)(1 + tan θ) है, जो बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² के अनुसार 1 - tan² θ के बराबर है।

तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) द्वारा, संयुक्त भिन्न का अंश (1 + tan θ) - (1 - tan θ) हो जाता है। इस अंश को सरल करने पर 1 + tan θ - 1 + tan θ प्राप्त होता है, जो 2 tan θ के बराबर है। अंश और हर को एक साथ रखने पर, व्यंजक का परिणाम भिन्न (2 tan θ)/(1 - tan² θ) के रूप में प्राप्त होता है।

यह परिणाम त्रिकोणमितीय द्वि-कोण सूत्र (double-angle formula) tan 2θ = (2 tan θ)/(1 - tan² θ) से मेल खाता है। अतः, संपूर्ण व्यंजक सरल होकर tan 2θ हो जाता है। दिए गए विकल्पों में, जहाँ प्रतीक θ को शून्य (0) अंक के समान एक वर्ण के रूप में दर्शाया गया है, यह मान tan 2θ के संगत है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक tan θ + cot θ = x है। चूंकि tan θ और cot θ एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, इसलिए उनका गुणनफल tan θ · cot θ = 1 है। दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करते हैं:

(tan θ + cot θ)² = x² tan² θ + cot² θ + 2(tan θ · cot θ) = x² tan² θ + cot² θ + 2(1) = x² tan² θ + cot² θ = x² - 2

tan⁴ θ + cot⁴ θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम प्राप्त समीकरण का एक बार फिर वर्ग करते हैं:

(tan² θ + cot² θ)² = (x² - 2)² tan⁴ θ + cot⁴ θ + 2(tan² θ · cot² θ) = x⁴ - 4x² + 4 tan⁴ θ + cot⁴ θ + 2(1) = x⁴ - 4x² + 4 tan⁴ θ + cot⁴ θ = x⁴ - 4x² + 2

व्यंजक के पहले दो पदों में से x² को उभयनिष्ठ लेने पर, हमें प्राप्त होता है:

tan⁴ θ + cot⁴ θ = x²(x² - 4) + 2

व्याख्या

समीकरण tan² θ + cot² θ = 2 को x + ¹⁄ₓ = 2 के रूप में एक बीजगणितीय सर्वसमिका माना जा सकता है, जहाँ x = tan² θ है। समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य (AM-GM) असमिका के अनुसार, किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या x के लिए, योग x + ¹⁄ₓ हमेशा 2 से अधिक या उसके बराबर होता है, और समानता केवल और केवल तभी लागू होती है जब x = 1 हो। इसलिए, tan² θ = 1, जिसका अर्थ है कि न्यून कोणों के लिए tan θ = 1 और cot θ = 1 है। ऐसा तब होता है जब θ = 45° हो।

व्यंजक 2 sec θ csc θ में θ = 45° रखने पर: 2 sec 45° csc 45° = 2 × √2 × √2 = 2 × 2 = 4

वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है। चूंकि sec θ = (1)/(cos θ) और csc θ = (1)/(sin θ) है, इसलिए हमारे पास है: 2 sec θ csc θ = (2)/(sin θ cos θ) अंश और हर को 2 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: (4)/(2 sin θ cos θ) = (4)/(sin 2θ) θ = 45° के लिए, sin 2θ = sin 90° = 1 है। इस प्रकार, मान ⁴⁄₁ = 4 है।

व्याख्या

2010 से 2014 तक बैंक 2 द्वारा संवितरित शिक्षा ऋण में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, प्रतिशत परिवर्तन के सूत्र का उपयोग करें:

प्रतिशत वृद्धि = (अंतिम मान - प्रारंभिक मान)/(प्रारंभिक मान) × 100

तालिका के अनुसार, 2010 में बैंक 2 द्वारा संवितरित राशि 65 करोड़ थी और 2014 में यह 122 करोड़ थी।

प्रारंभिक मान = 65 अंतिम मान = 122 वृद्धि = 122 - 65 = 57

प्रतिशत वृद्धि = ⁵⁷⁄₆₅ × 100

भिन्न को सरल करने पर: ⁵⁷⁄₆₅ × 100 = ⁵⁷⁰⁰⁄₆₅

अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करने पर: ¹¹⁴⁰⁄₁₃ ≈ 87.6923

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, प्रतिशत वृद्धि 87.69 है।

व्याख्या

एक निरंतर प्रवृत्ति के लिए आवश्यक है कि वितरित ऋण राशि वर्ष 2010 से 2014 तक सभी वर्षों में निरंतर बढ़े या निरंतर घटे।

बैंक 1 के लिए, वितरण का क्रम 265, 295, 317, 323 और 352 करोड़ है। प्रत्येक आगामी वर्ष पिछले वर्ष की तुलना में अधिक मूल्य दर्शाता है (265 < 295 < 317 < 323 < 352), जो एक निरंतर बढ़ती प्रवृत्ति को स्थापित करता है।

बैंक 4 के लिए, वितरण का क्रम 109, 123, 125, 142 और 157 करोड़ है। प्रत्येक वर्ष ऋण राशि में वृद्धि दर्शाता है (109 < 123 < 125 < 142 < 157), जो एक निरंतर बढ़ती प्रवृत्ति को बनाए रखता है।

बैंक 5 के लिए, वितरण का क्रम 80, 103, 140, 143 और 158 करोड़ है। पांच वर्षों की अवधि में ऋण राशि लगातार बढ़ती है (80 < 103 < 140 < 143 < 158), जो एक निरंतर बढ़ती प्रवृत्ति की पुष्टि करती है।

व्याख्या

दोनों अनुपातों के बीच संबंध निर्धारित करने के लिए, हम तालिका से मानों को व्यंजकों में रखते हैं। अनुपात I, 2011 में बैंक 1 द्वारा वितरित ऋण राशि को 2014 में बैंक 2 द्वारा वितरित राशि से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि ²⁹⁵⁄₁₂₂ है। अनुपात II, 2014 में बैंक 3 द्वारा वितरित ऋण राशि को 2011 में बैंक 4 द्वारा वितरित राशि से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि ²¹¹⁄₁₂₃ है।

दोनों भिन्नों की तुलना करने पर: अनुपात I = ²⁹⁵⁄₁₂₂ ≈ 2.418 अनुपात II = ²¹¹⁄₁₂₃ ≈ 1.715

वैकल्पिक रूप से, 2 के मानक (benchmark) का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि 295 > 2 × 122 (244), इसलिए अनुपात I, 2 से अधिक है। अनुपात II के लिए, 211 < 2 × 123 (246), इसलिए अनुपात II, 2 से कम है। यह तुलना पुष्टि करती है कि I > II।

व्याख्या

n पदों, प्रथम पद a और सार्व अंतर d वाली किसी भी समांतर श्रेणी (arithmetic progression) के लिए, औसत निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: औसत = a + ((n - 1)d)/(2)

प्रथम 3 क्रमागत सम संख्याओं के लिए, सार्व अंतर d, 2 है। दिया गया है कि औसत A है: A = a + ((3 - 1) × 2)/(2) A = a + 2 इससे अनुक्रम का प्रथम पद a = A - 2 प्राप्त होता है।

जब अगली 5 सम संख्याओं को इस समूह में जोड़ा जाता है, तो पदों की कुल संख्या n, 8 हो जाती है। सार्व अंतर d, 2 ही रहता है। इन 8 संख्याओं का नया औसत है: नया औसत = a + ((8 - 1) × 2)/(2) नया औसत = a + 7

समीकरण में प्रथम पद a = A - 2 का मान रखने पर: नया औसत = (A - 2) + 7 = A + 5

व्याख्या

2010 से 2014 तक प्रत्येक बैंक द्वारा संवितरित ऋण राशि में प्रतिशत वृद्धि की गणना सूत्र P = V₂₀₁₄ - V₂₀₁₀{V₂₀₁₀} × 100 का उपयोग करके की जाती है।

बैंक 1 के लिए, वृद्धि (352 - 265)/(265) × 100 = ⁸⁷⁄₂₆₅ × 100 ≈ 32.83% है। बैंक 2 के लिए, वृद्धि (122 - 65)/(65) × 100 = ⁵⁷⁄₆₅ × 100 ≈ 87.69% है। बैंक 3 के लिए, वृद्धि (211 - 138)/(138) × 100 = ⁷³⁄₁₃₈ × 100 ≈ 52.89% है। बैंक 4 के लिए, वृद्धि (157 - 109)/(109) × 100 = ⁴⁸⁄₁₀₉ × 100 ≈ 44.03% है। बैंक 5 के लिए, वृद्धि (158 - 80)/(80) × 100 = ⁷⁸⁄₈₀ × 100 = 97.5% है।

परिकलित प्रतिशतों की तुलना करने पर, हमें 97.5% > 87.69% > 52.89% > 44.03% > 32.83% प्राप्त होता है। यह अवरोही क्रम को बैंक 5 > बैंक 2 > बैंक 3 > बैंक 4 > बैंक 1 के रूप में स्थापित करता है।

व्याख्या

प्रारंभिक विक्रय मूल्य और वांछित विक्रय मूल्य के बीच के संबंध को क्रय मूल्य (CP) के सापेक्ष उनके संबंधित प्रतिशतों के अनुपात का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। यदि कोई वस्तु 50% की हानि पर बेची जाती है, तो विक्रय मूल्य क्रय मूल्य (CP) का 50% होता है। 50% का लाभ अर्जित करने के लिए, नया विक्रय मूल्य क्रय मूल्य (CP) का 150% होना चाहिए।

प्रत्यक्ष सूत्र का उपयोग करने पर: नया विक्रय मूल्य = मूल विक्रय मूल्य × (100 + वांछित लाभ%)/(100 - प्रारंभिक हानि%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: विक्रय मूल्य (SP) = 18450 × (100 + 50)/(100 - 50) विक्रय मूल्य (SP) = 18450 × ¹⁵⁰⁄₅₀ विक्रय मूल्य (SP) = 18450 × 3 विक्रय मूल्य (SP) = 55350

व्याख्या

समय के साथ जनसंख्या वृद्धि चक्रवृद्धि वृद्धि सूत्र P = P₀(1 + r/100)ⁿ का अनुसरण करती है, जहाँ P वर्तमान जनसंख्या है, P₀, n वर्ष पूर्व की जनसंख्या है, और r वार्षिक वृद्धि दर है। दिए गए मानों P = 26010, r = 2, और n = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण इस प्रकार बनता है:

26010 = P₀(1 + 2/100)² 26010 = P₀(1 + 1/50)² 26010 = P₀(51/50)² 26010 = P₀(2601/2500)

P₀ का मान ज्ञात करने के लिए, पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: P₀ = 26010 × (2500/2601) P₀ = 10 × 2500 P₀ = 25000

व्याख्या

जब दो ट्रेनें एक-दूसरे को पार करती हैं, तो तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाइयों का योग होती है। इस स्थिति में, दूरी D = 100 + 150 = 250 मीटर है। चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं, इसलिए सापेक्ष चाल उनकी व्यक्तिगत चालों का योग (S₁ + S₂) होगी।

मीटर प्रति सेकंड में सापेक्ष चाल Vᵣₑₗ की गणना सूत्र Vᵣₑₗ = (दूरी)/(समय) = ²⁵⁰⁄₉ मीटर/सेकंड का उपयोग करके की जाती है। इस चाल को किमी/घंटा में बदलने के लिए, हम इसे ¹⁸⁄₅ के गुणक से गुणा करते हैं: Vᵣₑₗ = ²⁵⁰⁄₉ × ¹⁸⁄₅ = 50 × 2 = 100 किमी/घंटा।

यह देखते हुए कि 150 मीटर लंबी ट्रेन की चाल 40 किमी/घंटा है, हम सापेक्ष चाल के समीकरण में मान प्रतिस्थापित करते हैं: S₁ + 40 = 100 S₁ = 100 - 40 = 60 किमी/घंटा।

व्याख्या

जब ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो वार्षिक ब्याज दर आधी हो जाती है और संयोजन अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है। दी गई वार्षिक दर 40% है, इसलिए अर्धवार्षिक दर r = 40% / 2 = 20% होगी। 1 वर्ष की अवधि के लिए, अर्धवार्षिक अवधियाँ n = 2 होंगी।

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) की गणना सूत्र CI = P[(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ - 1] का उपयोग करके की जा सकती है। मूलधन P = 20000, r = 20, और n = 2 रखने पर:

CI = 20000 × [(1 + ²⁰⁄₁₀₀)² - 1] CI = 20000 × [(⁶⁄₅)² - 1] CI = 20000 × (³⁶⁄₂₅ - 1) CI = 20000 × ¹¹⁄₂₅ CI = 800 × 11 = 8800

वैकल्पिक रूप से, 20% की दो अवधियों के लिए प्रभावी ब्याज दर क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है। इससे 20 + 20 + (20 × 20)/(100) = 44% प्राप्त होता है। मूलधन का 44% ज्ञात करने पर: CI = ⁴⁴⁄₁₀₀ × 20000 = 8800