एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिए गए समीकरण 3x + 1/(5x) = 7 से, इसे सरल बनाने के लिए हम पूरे समीकरण को 5x से गुणा कर सकते हैं। इससे 15x² + 1 = 35x प्राप्त होता है। जिस व्यंजक का मान हमें ज्ञात करना है वह (5x)/(15x² + 15x + 1) है। हर में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, यह व्यंजक (5x)/((15x² + 1) + 15x) बन जाता है। इस हर में 15x² + 1 = 35x का मान रखने पर, हमें (5x)/(35x + 15x) प्राप्त होता है। यह सरल होकर 5x/50x हो जाता है। अंश और हर से x को काटने पर, हमें 5/50 प्राप्त होता है, जो घटकर 1/10 हो जाता है।

व्याख्या

मान ज्ञात किए जाने वाले व्यंजक (64x⁶ + 1)/(8x³) = (64x⁶)/(8x³) + (1)/(8x³) = 8x³ + (1)/(8x³) को (2x)³ + (1)/((2x)³) के रूप में लिखा जा सकता है।

दिए गए समीकरण x + ¹⁄₄ₓ = ⁵⁄₂ में, आवश्यक घनीय व्यंजक के आधार से मिलान करने के लिए दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर: 2 × (x + ¹⁄₄ₓ) = 2 × ⁵⁄₂ 2x + ¹⁄₂ₓ = 5

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + (1)/(a³) = (a + ¹⁄ₐ)³ - 3(a + ¹⁄ₐ) का उपयोग करने पर, जहाँ a = 2x और a + ¹⁄ₐ = 5: (2x)³ + (1)/((2x)³) = 5³ - 3(5) 8x³ + (1)/(8x³) = 125 - 15 = 110

व्याख्या

(x + 5)² + (1)/((x + 5)²) का मान ज्ञात करने के लिए, माना y = x + 5 है। इससे प्राप्त होता है कि x = y - 5 है। दिए गए समीकरण x² + x = 19 में x के इस मान को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(y - 5)² + (y - 5) = 19

सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करके वर्ग पद का विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है:

y² - 10y + 25 + y - 5 = 19

समान पदों को मिलाकर समीकरण को सरल करने पर प्राप्त होता है:

y² - 9y + 20 = 19 y² - 9y + 1 = 0

समीकरण के प्रत्येक पद को y से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

y - 9 + (1)/(y) = 0 y + (1)/(y) = 9

हमें (x + 5)² + (1)/((x + 5)²) का मान ज्ञात करना है, जो y² + (1)/(y²) के समतुल्य है। बीजीय सर्वसमिका y² + (1)/(y²) = (y + (1)/(y))² - 2 का उपयोग करते हुए, हम सूत्र में y + (1)/(y) का मान प्रतिस्थापित करते हैं:

y² + (1)/(y²) = 9² - 2 y² + (1)/(y²) = 81 - 2 = 79

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, तीनों माध्यिकाएँ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती हैं। इस प्रकार, △ AFG और △ AEG में से प्रत्येक का क्षेत्रफल △ ABC के कुल क्षेत्रफल के ⅙ के बराबर है। चतुर्भुज AFGE का क्षेत्रफल इन दोनों क्षेत्रफलों का योग है: क्षेत्रफल(AFGE) = क्षेत्रफल(△ AFG) + क्षेत्रफल(△ AEG) = ⅙ + ⅙ = ⅓ क्षेत्रफल(△ ABC)

चूंकि F और E क्रमशः भुजाओं AB और AC के मध्य बिंदु हैं, इसलिए त्रिभुज AFE, ½ के स्केल फैक्टर के साथ △ ABC के समरूप है। समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के समानुपाती होता है: क्षेत्रफल(△ AFE) = (½)² × क्षेत्रफल(△ ABC) = ¼ क्षेत्रफल(△ ABC)

△ FGE का क्षेत्रफल, चतुर्भुज AFGE के क्षेत्रफल में से △ AFE के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है: क्षेत्रफल(△ FGE) = क्षेत्रफल(AFGE) - क्षेत्रफल(△ AFE) क्षेत्रफल(△ FGE) = (⅓ - ¼) × क्षेत्रफल(△ ABC) = ¹⁄₁₂ क्षेत्रफल(△ ABC)

यह देखते हुए कि △ ABC का क्षेत्रफल 156 सेमी² है, △ FGE का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल(△ FGE) = ¹⁄₁₂ × 156 = 13 सेमी²

व्याख्या

त्रिभुज ABD में, यह दिया गया है कि AD = BD है। समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों के अनुसार, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ BAD = ∠ ABD। यह देखते हुए कि ∠ ABC = 15° है, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ ABD = 15° और परिणामस्वरूप ∠ BAD = 15° है। कोण ∠ ADC, शीर्ष D पर त्रिभुज ABD का एक बाह्य कोण है। बाह्य कोण प्रमेय (Exterior Angle Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का माप उसके दो सुदूर अंतः कोणों के मापों के योग के बराबर होता है। इस प्रकार, ∠ ADC = ∠ ABD + ∠ BAD = 15° + 15° = 30°।

व्याख्या

एक वर्ग का विकर्ण उसकी भुजा s से सूत्र d = s√2 द्वारा संबंधित होता है। दिया गया है d = 9√2 सेमी, इसलिए वर्ग की भुजा s = 9 सेमी है। वर्ग का परिमाप 4s = 4 × 9 = 36 सेमी है। चूंकि वर्ग को मोड़कर एक त्रिभुज बनाया गया है, इसलिए त्रिभुज का परिमाप भी 36 सेमी ही रहेगा।

एक निश्चित परिमाप के लिए, वह त्रिभुज जो सबसे बड़ा अंतःवृत्त प्रदान करता है, एक समबाहु त्रिभुज होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक त्रिभुज की अंतःत्रिज्या r, r = (क्षेत्रफल)/(sₚ) द्वारा दी जाती है, जहाँ sₚ अर्ध-परिमाप है। एक स्थिर sₚ के लिए, अंतःत्रिज्या तब अधिकतम होती है जब त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिकतम होता है, जो कि एक समबाहु त्रिभुज के लिए होता है।

36 सेमी परिमाप वाले एक समबाहु त्रिभुज में, भुजा की लंबाई a = ³⁶⁄₃ = 12 सेमी है। एक समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या r की गणना सूत्र r = (a)/(2√(3)) का उपयोग करके की जाती है। a का मान रखने पर:

r = (12)/(2√(3)) = (6)/(√(3)) = 2√3 सेमी

अंतःवृत्त का क्षेत्रफल π r² है। r का मान रखने पर:

क्षेत्रफल = π (2√3)² = π (4 × 3) = 12π सेमी²

व्याख्या

माना O₁ और O₂ दो वृत्तों के केंद्र हैं और AB उभयनिष्ठ जीवा है। केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा O₁O₂ उभयनिष्ठ जीवा AB को बिंदु M पर लंबवत समद्विभाजित करती है। दिया गया है कि AB = 12 सेमी, इसलिए लंबाई AM = 12/2 = 6 सेमी।

वृत्तों की त्रिज्याएँ r₁ = 15/2 = 7.5 सेमी और r₂ = 13/2 = 6.5 सेमी हैं। समकोण त्रिभुजों △ O₁MA और △ O₂MA में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

O₁M = √(r₁² - AM²) = √(7.5² - 6²) = √(56.25 - 36) = √(20.25) = 4.5 सेमी

O₂M = √(r₂² - AM²) = √(6.5² - 6²) = √(42.25 - 36) = √(6.25) = 2.5 सेमी

केंद्रों के बीच की दूरी इन खंडों का योग है: O₁O₂ = O₁M + O₂M = 4.5 + 2.5 = 7 सेमी

व्याख्या

व्यंजक sec⁴ θ - sec² θ tan² θ को उभयनिष्ठ पद sec² θ को बाहर निकालकर सरल किया जा सकता है। इससे sec² θ (sec² θ - tan² θ) प्राप्त होता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 के अनुसार, कोष्ठक के भीतर का पद 1 के बराबर है। इसलिए, व्यंजक सरल होकर sec² θ × 1 हो जाता है, जो कि sec² θ है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय व्यंजक को सभी पदों को sin A और cos A के पदों में व्यक्त करके सरल किया जा सकता है। यहाँ, पद cos e A को csc A के रूप में समझा गया है।

पहला कोष्ठक (sin A - csc A), सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, sin A - (1)/(sin A) = (sin² A - 1)/(sin A) = -(cos² A)/(sin A) के रूप में सरल होता है।

दूसरा कोष्ठक (sec A - cos A), (1)/(cos A) - cos A = (1 - cos² A)/(cos A) = (sin² A)/(cos A) के रूप में सरल होता है।

तीसरा कोष्ठक (tan A + cot A), (sin A)/(cos A) + (cos A)/(sin A) = (sin² A + cos² A)/(sin A cos A) = (1)/(sin A cos A) के रूप में सरल होता है।

इन तीनों सरलीकृत घटकों को गुणा करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: (-(cos² A)/(sin A)) × ((sin² A)/(cos A)) × ((1)/(sin A cos A))

पदों को एक एकल भिन्न में संयोजित करने पर: (-cos² A · sin² A · 1)/(sin A · cos A · sin A · cos A) = (-sin² A cos² A)/(sin² A cos² A) = -1

व्याख्या

दिए गए समीकरण (1/cos θ) - (1/cot θ) = 1/P को sec θ - tan θ = 1/P के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 के आधार पर, हम जानते हैं कि sec θ + tan θ, sec θ - tan θ का व्युत्क्रम है। इस प्रकार, sec θ + tan θ = P।

cos θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले दोनों समीकरणों को जोड़कर sec θ ज्ञात करते हैं: (sec θ - tan θ) + (sec θ + tan θ) = (1/P) + P 2 sec θ = (1 + P²)/P sec θ = (P² + 1)/2P

चूंकि cos θ = 1/sec θ है, इसलिए हम परिणाम का व्युत्क्रम लेते हैं: cos θ = 2P / (P² + 1)

व्याख्या

5000 को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए जिस न्यूनतम संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए, उसे ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करते हैं। संख्या 5000 को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: 5000 = 5 × 1000 = 5 × 10³ = 5 × (2 × 5)³ = 5 × 2³ × 5³ = 2³ × 5⁴

कोई संख्या एक पूर्ण वर्ग तभी होती है जब उसके सभी अभाज्य गुणनखंडों के घातांक (exponents) सम संख्या हों। गुणनखंडन 2³ × 5⁴ में, अभाज्य गुणनखंड 5 का घातांक 4 है, जो कि एक सम संख्या है। हालाँकि, अभाज्य गुणनखंड 2 का घातांक 3 है, जो कि एक विषम संख्या है। विभाजन द्वारा 2 के घातांक को सम बनाने के लिए, हमें संख्या को 2¹ से विभाजित करना होगा।

विभाजन करने पर: 5000 / 2 = 2500

चूंकि 2500 = 50² है, इसलिए यह एक पूर्ण वर्ग है। अतः, वह न्यूनतम संख्या जिससे 5000 को विभाजित किया जाना चाहिए, 2 है।

व्याख्या

जब श्रमिक मिलकर किसी कार्य को पूरा करते हैं, तो उनकी मजदूरी उनकी कार्यक्षमताओं के अनुपात में वितरित की जाती है। कार्यक्षमता, कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए A, B और C की कार्यक्षमताओं का अनुपात है:

E_A : E_B : E_C = ⅛ : ⅒ : ¹⁄₁₂

इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, प्रत्येक पद को 8, 10 और 12 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 120 है:

E_A : E_B : E_C = ( ⅛ × 120 ) : ( ⅒ × 120 ) : ( ¹⁄₁₂ × 120 ) = 15 : 12 : 10

अनुपात के भागों का योग 15 + 12 + 10 = 37 है। चूंकि कुल भुगतान 7400 रुपये है, इसलिए अनुपात में एक इकाई का मान है:

प्रति इकाई मान = ⁷⁴⁰⁰⁄₃₇ = 200

अनुपात में B का हिस्सा 12 इकाइयों के संगत है:

B का हिस्सा = 12 × 200 = 2400

व्याख्या

एक बेलन का आयतन सूत्र V = π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है। यदि त्रिज्या में 25% की वृद्धि होती है, तो नई त्रिज्या r' बढ़कर 1.25r या ⁵⁄₄r हो जाती है। चूँकि आयतन स्थिर रहता है, इसलिए प्रारंभिक और अंतिम आयतन बराबर होंगे, जिसका अर्थ है r² h = (r')² h'।

समीकरण में नई त्रिज्या का मान रखने पर, हमें r² h = (⁵⁄₄r)² h' प्राप्त होता है, जो सरल होकर r² h = ²⁵⁄₁₆ r² h' हो जाता है। दोनों पक्षों को r² से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि h = ²⁵⁄₁₆ h', या h' = ¹⁶⁄₂₅ h।

ऊँचाई में कमी h - h' = h - ¹⁶⁄₂₅ h = ⁹⁄₂₅ h है। इसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम गणना ⁹⁄₂₅ × 100 = 36% का उपयोग करते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि क्रय मूल्य (CP) 100 है। अंकित मूल्य (MP) क्रय मूल्य (CP) से 20% अधिक है, जिससे MP = 100 + 0.20 × 100 = 120 प्राप्त होता है। इसके बाद इस अंकित मूल्य पर 5% की छूट दी जाती है। छूट की राशि 0.05 × 120 = 6 है। विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य में से छूट घटाने पर प्राप्त होता है, जिसकी गणना 120 - 6 = 114 के रूप में की जाती है। लाभ विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच के अंतर से निर्धारित होता है, इसलिए लाभ = 114 - 100 = 14 है। चूंकि आधार क्रय मूल्य (CP) 100 है, इसलिए लाभ प्रतिशत 14% है।

इसे प्रभावी प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है, जहाँ x मूल्य वृद्धि प्रतिशत (+20) है और y छूट प्रतिशत (-5) है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर 20 - 5 + (20 × (-5))/(100) = 15 - ¹⁰⁰⁄₁₀₀ = 15 - 1 = 14% प्राप्त होता है।

व्याख्या

अनुपात A : C : D ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दिए गए अनुपातों A : B और B : C को गुणा करके A और C के बीच संबंध निर्धारित करते हैं। A का C से अनुपात इस प्रकार निकाला जाता है: A/C = (A/B) × (B/C) = (2/5) × (4/3) = 8/15। इससे A : C = 8 : 15 स्थापित होता है।

हमें C : D = 2 : 1 भी दिया गया है। A : C और C : D को एक एकल अनुपात A : C : D में संयोजित करने के लिए, हमें दोनों अभिव्यक्तियों में C का प्रतिनिधित्व करने वाले मान को समान बनाना होगा। 15 और 2 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 30 है। A : C के पदों को 2 से गुणा करने पर A : C = 16 : 30 प्राप्त होता है। C : D के पदों को 15 से गुणा करने पर C : D = 30 : 15 प्राप्त होता है। चूंकि अब C का मान 30 पर संतुलित हो गया है, इसलिए संयुक्त अनुपात A : C : D = 16 : 30 : 15 है।

व्याख्या

पहले 5 मैचों में गेंदबाज द्वारा दिए गए कुल रनों की गणना मैचों की संख्या को औसत रनों से गुणा करके की जाती है: 5 × 45 = 225। इसी प्रकार, अन्य 4 मैचों में दिए गए कुल रन 4 × 15.75 = 63 हैं।

सभी 9 मैचों का औसत ज्ञात करने के लिए, हम भारित औसत के सूत्र का उपयोग करते हैं:

औसत = (5 मैचों में कुल रन + 4 मैचों में कुल रन)/(कुल मैच)

औसत = (225 + 63)/(9) = ²⁸⁸⁄₉ = 32

व्याख्या

मिश्रण की प्रारंभिक मात्रा 80 लीटर है। दूध का प्रारंभिक प्रतिशत 10% है, जिसका अर्थ है कि पानी का प्रारंभिक प्रतिशत 90% है। इस प्रकार, पानी की मात्रा = 0.90 × 80 = 72 लीटर है।

जब मिश्रण में दूध मिलाया जाता है, तो पानी की मात्रा 72 लीटर पर स्थिर रहती है। अंतिम मिश्रण में, पानी का प्रतिशत 80% होना आवश्यक है। मान लीजिए कि अंतिम मिश्रण की कुल मात्रा V है।

V का 80% = 72 ⁸⁰⁄₁₀₀ × V = 72 V = (72 × 100)/(80) = 90 लीटर

मिलाए जाने वाले दूध की मात्रा अंतिम कुल मात्रा और प्रारंभिक कुल मात्रा के बीच का अंतर है: 90 लीटर - 80 लीटर = 10 लीटर

व्याख्या

क्रमशः घंटों में बस की गति एक समांतर श्रेणी (AP) बनाती है जहाँ प्रथम पद a = 21 किमी/घंटा और सार्व अंतर d = 3 किमी/घंटा है। कुल दूरी Sₙ = 252 किमी तय करने के लिए आवश्यक समय n ज्ञात करने के लिए, हम समांतर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हैं:

Sₙ = ⁿ⁄₂ [2a + (n - 1)d]

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

252 = ⁿ⁄₂ [2(21) + (n - 1)3]

504 = n [42 + 3n - 3]

504 = n [39 + 3n]

504 = 39n + 3n²

सरल बनाने के लिए पूरे समीकरण को 3 से विभाजित करने पर:

n² + 13n - 168 = 0

इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, हम 168 के ऐसे गुणनखंड ज्ञात करते हैं जिनका अंतर 13 हो, जो कि 21 और 8 हैं:

n² + 21n - 8n - 168 = 0

n(n + 21) - 8(n + 21) = 0

(n + 21)(n - 8) = 0

चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए हम n = -21 को छोड़ देते हैं। अतः, n = 8 घंटे।

व्याख्या

पहली स्थिति में अर्जित साधारण ब्याज की गणना इस प्रकार की जाती है: SI = मिश्रधन - मूलधन = 448 - 400 = 48। साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, हम दर R = (SI × 100)/(P × T) = (48 × 100)/(400 × 2) = 6% प्रति वर्ष प्राप्त करते हैं।

दूसरी स्थिति में, मूलधन 550 है और मिश्रधन 682 है, जिससे साधारण ब्याज SI = 682 - 550 = 132 प्राप्त होता है। समान दर 6% का उपयोग करते हुए, आवश्यक समय T की गणना इस प्रकार की जाती है: T = (SI × 100)/(P × R) = (132 × 100)/(550 × 6)। इसे सरल करने पर, हमें T = ¹³²⁰⁰⁄₃₃₀₀ = 4 वर्ष प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में जहाँ ∠ BAC = 90° है और AD कर्ण BC पर खींचा गया शीर्षलंब है, समकोण त्रिभुज शीर्षलंब प्रमेय (जिसे गुणोत्तर माध्य प्रमेय भी कहा जाता है) के अनुसार शीर्षलंब का वर्ग कर्ण के दो खंडों के गुणनफल के बराबर होता है। यह संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

AD² = BD · CD

खंडों की दी गई लंबाई BD = 7 सेमी और CD = 28 सेमी है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

AD² = 7 · 28 AD² = 196

AD की लंबाई ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

AD = √(196) AD = 14 सेमी

यह गुण इस तथ्य से प्राप्त होता है कि शीर्षलंब AD, △ ABC को दो छोटे त्रिभुजों, △ ABD और △ CAD में विभाजित करता है, जो एक-दूसरे के और मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं। समरूपता △ ABD ∼ △ CAD से, हमें अनुपात BD/AD = AD/CD प्राप्त होता है, जो सीधे शीर्षलंब प्रमेय की ओर ले जाता है।

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। 60 सेमी लंबाई की जीवा दिए जाने पर, केंद्र से जीवा के मध्यबिंदु की दूरी एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ त्रिज्या कर्ण है, केंद्र से दूरी एक भुजा है, और जीवा की आधी लंबाई दूसरी भुजा है।

पाइथागोरस प्रमेय r² = d² + (L/2)² का उपयोग करने पर: r² = 16² + (60/2)² r² = 16² + 30² r² = 256 + 900 r² = 1156 r = √(1156) = 34 सेमी

पाइथागोरियन त्रिक (8, 15, 17) को पहचानकर इस गणना को सरल बनाया जा सकता है। प्रत्येक पद को 2 से गुणा करने पर त्रिक (16, 30, 34) प्राप्त होता है, जिससे यह पुष्टि होती है कि वृत्त की त्रिज्या 34 सेमी है।

व्याख्या

व्यंजक csc⁶ A - cot⁶ A - 3 csc² A cot² A को द्विपद के घन के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, (x - y)³ = x³ - y³ - 3xy(x - y) का उपयोग करके सरल किया जा सकता है।

मान लीजिए x = csc² A और y = cot² A है। हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका से जानते हैं कि csc² A - cot² A = 1 होता है।

दिया गया व्यंजक x³ - y³ - 3xy के रूप में है। चूँकि x - y = 1 है, हम इसके मान को बदले बिना पद 3xy को (x - y) से गुणा कर सकते हैं। इससे प्राप्त होता है:

x³ - y³ - 3xy(x - y) = (x - y)³

इस सर्वसमिका में त्रिकोणमितीय मानों को पुनः प्रतिस्थापित करने पर:

(csc² A - cot² A)³

चूँकि csc² A - cot² A = 1 है, इसलिए मान (1)³ = 1 हो जाता है।

व्याख्या

सही उत्तर: a)

व्यंजक √((1 - cos A)/(1 + cos A)) को सरल करने के लिए, हम वर्गमूल के अंतर्गत अंश और हर को (1 - cos A) से गुणा करते हैं। इससे हमें प्राप्त होता है:

√((1 - cos A)/(1 + cos A) · (1 - cos A)/(1 - cos A)) = √(((1 - cos A)²)/(1 - cos² A))

सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, हम 1 - cos² A को sin² A से प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

√(((1 - cos A)²)/(sin² A)) = (1 - cos A)/(sin A)

अंश के पदों में हर को विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(1)/(sin A) - (cos A)/(sin A)

चूंकि (1)/(sin A) = csc A और (cos A)/(sin A) = cot A है, इसलिए व्यंजक सरल होकर csc A - cot A हो जाता है।

व्याख्या

tan(2A + B) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले द्वि-कोण सूत्र (double angle formula) tan 2A = (2 tan A)/(1 - tan² A) का उपयोग करके tan 2A की गणना करते हैं। दिए गए मान tan A = 1/2 को प्रतिस्थापित करने पर:

tan 2A = (2(1/2))/(1 - (1/2)²) = (1)/(1 - 1/4) = (1)/(3/4) = ⁴⁄₃

अब, हम स्पर्शज्या (tangent) के योग सूत्र का उपयोग करते हैं, जो कि tan(X + Y) = (tan X + tan Y)/(1 - tan X tan Y) है। X = 2A और Y = B मानकर, हम सूत्र में tan 2A = 4/3 और tan B = 1/3 प्रतिस्थापित करते हैं:

tan(2A + B) = (4/3 + 1/3)/(1 - (4/3)(1/3)) = (5/3)/(1 - 4/9)

हर (denominator) को सरल करने पर 1 - 4/9 = 5/9 प्राप्त होता है। इसलिए:

tan(2A + B) = (5/3)/(5/9) = ⁵⁄₃ × ⁹⁄₅ = 3

व्याख्या

कार निर्माण का कुल समय विभिन्न प्रक्रियाओं के बीच वितरित किया गया है, जिसमें पेंट विभाग कुल अवधि का 15% और फ्रेम विभाग कुल अवधि का 20% योगदान देता है। इन दोनों प्रक्रियाओं के लिए संयुक्त समय ज्ञात करने के लिए, हम उनके संबंधित प्रतिशतों को जोड़ते हैं: संयुक्त प्रतिशत = 15% + 20% = 35%

कार बनाने में लगा कुल समय 300 घंटे दिया गया है। हम कुल समय पर संयुक्त प्रतिशत लागू करके पेंट और फ्रेम के लिए संयुक्त समय की गणना करते हैं: कुल समय (पेंट + फ्रेम) = ³⁵⁄₁₀₀ × 300 = 35 × 3 = 105 घंटे

व्याख्या

इस डेटा सेट में दिए गए कार के पुर्जों के निर्माण समय के वितरण के आधार पर, सीटों के लिए आवंटित समय कुल समय का 15 प्रतिशत है, जबकि काँच के लिए आवंटित समय 20 प्रतिशत है। प्रत्येक पुर्जे के लिए लिया गया समय उसके प्रतिशत हिस्से के सीधे समानुपाती होता है।

काँच के लिए लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, प्रतिशत के अनुपात को सीटों के लिए दिए गए समय पर लागू किया जाता है:

काँच के लिए समय = (काँच के लिए प्रतिशत)/(सीटों के लिए प्रतिशत) × सीटों के लिए समय

काँच के लिए समय = (20%)/(15%) × 192

काँच के लिए समय = ⁴⁄₃ × 192

काँच के लिए समय = 4 × 64

काँच के लिए समय = 256

यह गणना करने पर, काँच के लिए लिया गया समय 256 घंटे निर्धारित होता है।

व्याख्या

विनिर्माण प्रक्रिया के लिए समय का वितरण इस प्रकार है: इंजन: 30% टायर: 21% फ्रेम: 25% ग्लास: 11%

प्रश्न के अनुसार, इंजन और टायरों के लिए कुल समय 127.5 घंटे है। उनके प्रतिशतों का योग करने पर: 30% + 21% = 51%

1% का प्रतिनिधित्व करने वाला मान ज्ञात करने के लिए: 1% = (127.5)/(51) = 2.5 घंटे

फ्रेम और ग्लास के बीच प्रतिशत में अंतर है: 25% - 11% = 14%

इस प्रतिशत अंतर को घंटों में बदलने पर: 14 × 2.5 = 35 घंटे

व्याख्या

प्रारंभ में कुल समय को 5 प्रक्रियाओं के बीच साझा किया जाता है: टायर (25%), कांच (10%), स्टील (30%), प्लास्टिक (30%), और सीटें (5%)। चूंकि कुल समय का 15% इन 5 प्रक्रियाओं से समान रूप से समय लेकर गुणवत्ता जांच पर खर्च किया जाता है, इसलिए प्रति प्रक्रिया कमी की गणना निम्नानुसार की जाती है:

प्रति प्रक्रिया कमी = 15% / 5 = 3%

सीटों और कांच के लिए नया संयुक्त प्रतिशत है: नया प्रतिशत = (5% - 3%) + (10% - 3%) = 2% + 7% = 9%

नया त्रिज्यखंडीय कोण (θ) ज्ञात करने के लिए, संबंध θ = (प्रतिशत / 100) × 360° का उपयोग करके प्रतिशत को डिग्री में बदलें: θ = (9 / 100) × 360° = 32.4°

व्याख्या

मान लीजिए कि भिन्न x/y है। पहली शर्त के अनुसार, अंश में 5 जोड़ने पर भिन्न 6/5 हो जाती है, जिसे (x + 5) / y = 6/5 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। तिर्यक गुणन (cross-multiplication) करने पर 5x + 25 = 6y प्राप्त होता है। दूसरी शर्त के अनुसार, हर में 4 जोड़ने पर भिन्न 1/2 हो जाती है, जिसे x / (y + 4) = 1/2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। तिर्यक गुणन करने पर 2x = y + 4, या y = 2x - 4 प्राप्त होता है।

y के इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 5x + 25 = 6(2x - 4) 5x + 25 = 12x - 24 49 = 7x x = 7

x का मान y के समीकरण में रखने पर: y = 2(7) - 4 y = 10

अतः, भिन्न x/y का मान 7/10 है।

व्याख्या

कुल कार्य की गणना अमित (25 दिन) और पुनीत (20 दिन) द्वारा लिए गए समय के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में की जाती है, जो कि 100 इकाई है।

अमित की कार्यक्षमता = 100 / 25 = 4 इकाई प्रति दिन। पुनीत की कार्यक्षमता = 100 / 20 = 5 इकाई प्रति दिन।

पुनीत ने अकेले 10 दिनों तक काम किया, इसलिए उसके द्वारा पूरा किया गया कार्य 5 × 10 = 50 इकाई है। शेष कार्य 100 - 50 = 50 इकाई है।

अमित द्वारा अकेले इस शेष कार्य को पूरा करने में लिया गया समय = शेष कार्य / अमित की कार्यक्षमता = 50 / 4 = 12.5 दिन है। भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर, यह 12 ½ दिन है।

व्याख्या

एक चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360° होता है। दिए गए चार क्रमिक कोणों का अनुपात 7 : 11 : 7 : 11 है, मान लीजिए कि कोण 7x, 11x, 7x और 11x हैं। इनका योग करने पर 7x + 11x + 7x + 11x = 36x प्राप्त होता है। 36x = 360° रखने पर x = 10° प्राप्त होता है। इसलिए, कोणों के माप 70°, 110°, 70° और 110° हैं। इस चतुर्भुज में, सम्मुख कोण बराबर हैं (70° = 70° और 110° = 110°) और किन्हीं दो क्रमागत कोणों का योग 180° है (जैसे, 70° + 110° = 180°)। चूंकि सम्मुख कोण बराबर हैं और क्रमागत कोण संपूरक हैं, इसलिए यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों को पूरा करती है।

व्याख्या

किसी वस्तु पर दी जाने वाली छूट उसके अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर होती है। दिया गया है कि अंकित मूल्य (MP) 2150 रुपये है और विक्रय मूल्य (SP) 1892 रुपये है, छूट की राशि की गणना इस प्रकार की जाती है: छूट = अंकित मूल्य (MP) - विक्रय मूल्य (SP) = 2150 - 1892 = 258

छूट प्रतिशत का निर्धारण निम्नलिखित सूत्र द्वारा किया जाता है: छूट प्रतिशत = (छूट)/(अंकित मूल्य) × 100

सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर: छूट प्रतिशत = ²⁵⁸⁄₂₁₅₀ × 100 छूट प्रतिशत = ²⁵⁸⁰⁄₂₁₅

2580 को 215 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 215 × 10 = 2150 215 × 2 = 430 2150 + 430 = 2580 अतः, परिणाम 12% है।

व्याख्या

विभाजित की जाने वाली कुल राशि T = 60500 है। पहली शर्त के आधार पर, A = ²⁄₉(B + C), जिसे अनुपात A : (B + C) = 2 : 9 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि A को कुल राशि का (2)/(2 + 9) भाग प्राप्त होता है, इसलिए A = ²⁄₁₁ × 60500 = 11000। दूसरी शर्त के आधार पर, B = ³⁄₇(A + C), जिससे अनुपात B : (A + C) = 3 : 7 प्राप्त होता है। इस प्रकार, B को कुल राशि का (3)/(3 + 7) भाग प्राप्त होता है, इसलिए B = ³⁄₁₀ × 60500 = 18150। C का हिस्सा ज्ञात करने के लिए, हम कुल राशि में से A और B के हिस्सों को घटाते हैं: C = 60500 - (11000 + 18150) = 60500 - 29150 = 31350।

व्याख्या

प्रारंभिक 6 लड़कियों की कुल आयु की गणना लड़कियों की संख्या को उनकी औसत आयु से गुणा करके की जाती है, जिससे 6 × x = 6x प्राप्त होता है। जब 4 नई लड़कियां कक्षा में शामिल होती हैं, तो उनकी आयु का योग (x - 2) + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 4x + 10 होता है। पूरी कक्षा की नई कुल आयु, जिसमें अब 6 + 4 = 10 लड़कियां हैं, मूल कुल आयु और नए आगमन की आयु का योग है: 6x + 4x + 10 = 10x + 10। नई औसत आयु इस कुल आयु को लड़कियों की कुल संख्या से विभाजित करके निर्धारित की जाती है: (10x + 10)/(10) = x + 1।

व्याख्या

एक ऐसे लेनदेन में जहाँ दो वस्तुओं को समान विक्रय मूल्य पर बेचा जाता है, एक को x% के लाभ पर और दूसरी को x% की हानि पर, वहाँ हमेशा शुद्ध हानि होती है। इस शुद्ध हानि प्रतिशत की गणना सूत्र हानि % = x²/100 का उपयोग करके की जाती है।

चूंकि लाभ और हानि प्रतिशत दोनों 32% हैं, हम सूत्र में x = 32 रखते हैं:

हानि % = 32²/100

हानि % = 1024/100

हानि % = 10.24%

विक्रय मूल्य का विशिष्ट मूल्य (12000 रुपये) अंतिम प्रतिशत गणना को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि कुल लागत से हानि का अनुपात शामिल पूर्ण मूल्यों की परवाह किए बिना स्थिर रहता है।

व्याख्या

घोल में दूध की मात्रा स्थिर रहती है क्योंकि केवल पानी मिलाया जा रहा है। माना मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा x लीटर है। हम तनुकरण सिद्धांत (dilution principle) का उपयोग करते हैं जहाँ प्रारंभिक सांद्रता और प्रारंभिक आयतन का गुणनफल, अंतिम सांद्रता और अंतिम आयतन के गुणनफल के बराबर होता है: C_प्रारंभिक × V_प्रारंभिक = C_अंतिम × V_अंतिम।

दूध की प्रारंभिक सांद्रता 10% है और प्रारंभिक आयतन 80 लीटर है। वांछित अंतिम सांद्रता 5% है, और अंतिम आयतन (80 + x) लीटर होगा।

10 × 80 = 5 × (80 + x) 800 = 400 + 5x 400 = 5x x = 80

वैकल्पिक रूप से, चूंकि दूध की सांद्रता आधी (10% से घटकर 5%) हो जाती है, इसलिए दूध की मात्रा को समान रखने के लिए घोल का कुल आयतन दोगुना होना चाहिए। चूंकि प्रारंभिक आयतन 80 लीटर है, इसलिए आवश्यक अंतिम आयतन 80 × 2 = 160 लीटर होगा। मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा 160 - 80 = 80 लीटर है।

व्याख्या

50 मिनट की देरी केवल यात्रा के बाद वाले भाग के दौरान गति में कमी के कारण हुई है। कम की गई गति से तय की गई दूरी = 200 × (1 - 2/5) = 120 किमी है।

एक निश्चित दूरी के लिए, गति और समय एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। यदि गति सामान्य गति की 6/7 हो जाती है, तो लिया गया समय सामान्य समय का 7/6 हो जाता है। देरी, नए समय और सामान्य समय के बीच का अंतर है: देरी = 7/6t - t = 1/6t

चूंकि देरी 50 मिनट दी गई है, हम 120 किमी के हिस्से को तय करने में लगने वाले सामान्य समय t की गणना करते हैं: 1/6t = 50 मिनट t = 300 मिनट = 5 घंटे

सामान्य गति V की गणना दूरी को सामान्य समय से विभाजित करके की जाती है: V = (120 किमी)/(5 घंटे) = 24 किमी/घंटा।

व्याख्या

मूलधन P की गणना साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जा सकती है। दिया गया है कि SI = 25920, R = 12%, और T = 6 वर्ष, तो समीकरण 25920 = (P × 12 × 6)/(100) होगा। P के लिए हल करने पर P = (25920 × 100)/(72) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर P = 360 × 100 = 36000 प्राप्त होता है।

8% वार्षिक दर पर 2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करने के लिए, प्रभावी ब्याज दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है। x = 8 और y = 8 रखने पर, प्रभावी दर 8 + 8 + (8 × 8)/(100) = 16.64% है।

चक्रवृद्धि ब्याज मूलधन 36000 का 16.64% होगा। इसकी गणना करने पर CI = (16.64)/(100) × 36000 = 16.64 × 360 = 5990.4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 जिसके मूल α और β हैं, के लिए मूलों का योग α + β = -b/a और मूलों का गुणनफल αβ = c/a होता है। समीकरण 3x² - 13x + 14 = 0 के लिए, योग α + β = -(-13)/3 = 13/3 और गुणनफल αβ = 14/3 है।

व्यंजक (α/β) + (β/α) को इस प्रकार सरल किया जा सकता है: (α/β) + (β/α) = (α² + β²) / (αβ)

सर्वसमिका α² + β² = (α + β)² - 2αβ का उपयोग करके, अंश की गणना इस प्रकार की जाती है: (13/3)² - 2(14/3) = 169/9 - 28/3 = (169 - 84) / 9 = 85/9

अंतिम मान अंश को मूलों के गुणनफल से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है: (85/9) / (14/3) = (85/9) × (3/14) = 85 / (3 × 14) = 85/42

व्याख्या

व्यंजक a³ + b³ + c³ - 3abc के मान की गणना बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) का उपयोग करके की जाती है। दी गई जानकारी के साथ इसका मान ज्ञात करने के लिए, हम त्रिपद के वर्ग की सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca), जिसे a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca) के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

इसे प्राथमिक सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर एक संशोधित सूत्र प्राप्त होता है जो केवल ज्ञात मानों का उपयोग करता है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) [ (a + b + c)² - 3(ab + bc + ca) ]

दिए गए मानों a + b + c = 9 और ab + bc + ca = 18 को प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ + c³ - 3abc = 9 × [9² - 3(18)] a³ + b³ + c³ - 3abc = 9 × [81 - 54] a³ + b³ + c³ - 3abc = 9 × 27 a³ + b³ + c³ - 3abc = 243

व्याख्या

दिए गए समीकरण (x/y) + (y/x) = 1 को बाईं ओर के पदों के लिए एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करके सरल किया जा सकता है। भिन्नों को संयोजित करने पर (x² + y²) / xy = 1 प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों को xy से गुणा करने पर, हमें x² + y² = xy प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से xy घटाने पर व्यंजक x² - xy + y² = 0 प्राप्त होता है।

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) है। इस सर्वसमिका में प्राप्त मान x² - xy + y² = 0 प्रतिस्थापित करने पर, हमें x³ + y³ = (x + y) × 0 प्राप्त होता है। शून्य से गुणा किए गए किसी भी व्यंजक का परिणाम शून्य होता है, अतः x³ + y³ = 0।

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए समीकरण को एक स्थिरांक k के बराबर रखा जाता है: 5ˣ = 30ʸ = 6ᶻ = k

इससे, हम प्रत्येक आधार को k के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: 5 = k¹^/ˣ 30 = k¹^/ʸ 6 = k¹^/ᶻ

हम जानते हैं कि आधारों के बीच गणितीय संबंध 5 × 6 = 30 है। k के मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: k¹^/ˣ × k¹^/ᶻ = k¹^/ʸ k¹^/ˣ⁺¹^/ᶻ = k¹^/ʸ

घातों की तुलना करने पर, हमें निम्नलिखित संबंध प्राप्त होता है: 1/x + 1/z = 1/y 1/x - 1/y + 1/z = 0

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह है: (xy + yz + zx) / xyz = (xy)/(xyz) + (yz)/(xyz) + (zx)/(xyz) = (1)/(z) + ¹⁄ₓ + (1)/(y)

इस रूप की बीजीय सर्वसमिकाओं में जहाँ aˣ = bᶻ = (ab)⁻ʸ होता है, वहाँ घातों के व्युत्क्रमों का योग 1/x + 1/y + 1/z, 0 के बराबर होता है। यह संबंध यह सुनिश्चित करता है कि इन विशिष्ट घातों तक बढ़ाए गए आधारों का गुणनफल समानता बनाए रखता है, जिससे मान 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बिंदु O, जहाँ ∠ Q और ∠ R के आंतरिक समद्विभाजक मिलते हैं, △ PQR का अंतःकेंद्र है। किसी भी त्रिभुज में, दो आंतरिक कोणों के समद्विभाजकों द्वारा अंतःकेंद्र पर बनने वाला कोण सूत्र 90° + (A)/(2) द्वारा दिया जाता है, जहाँ A तीसरा शीर्ष कोण है।

△ PQR के लिए, कोण ∠ QOR की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ QOR = 90° + (∠ P)/(2)

समीकरण में ∠ P = 70° का दिया गया मान रखने पर: ∠ QOR = 90° + (70°)/(2) ∠ QOR = 90° + 35° ∠ QOR = 125°

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। यदि A₁ और A₂ दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल हैं और s₁ और s₂ उनकी संगत भुजाएँ हैं, तो उनके बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:

(A₁)/(A₂) = ((s₁)/(s₂))²

इस प्रश्न में, क्षेत्रफलों का अनुपात 5 : 7 दिया गया है। इसे सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

⁵⁄₇ = ((s₁)/(s₂))²

भुजाओं के अनुपात को हल करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

(s₁)/(s₂) = √(⁵⁄₇) = √5 : √7

इसलिए, इन दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात √5 : √7 है।

व्याख्या

समांतर भुजाओं AD और BC वाले एक समद्विबाहु समलंब ABCD में, मान लीजिए कि शीर्षों A और D से आधार BC पर लंब डाले गए हैं, जो इसे क्रमशः बिंदुओं E और F पर मिलते हैं। चूंकि समलंब समद्विबाहु है, इसलिए रेखाखंड BE और FC बराबर हैं। BE की लंबाई की गणना समांतर भुजाओं की लंबाइयों के अंतर के आधे के रूप में की जाती है: BE = (BC - AD)/(2) = (14 - 8)/(2) = 3 सेमी।

समकोण त्रिभुज ABE में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ऊंचाई h (AE) ज्ञात की जाती है, जहां AB कर्ण है: h = √(AB² - BE²) = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √(16) = 4 सेमी।

समलंब का क्षेत्रफल सूत्र ½ × (AD + BC) × h द्वारा निर्धारित किया जाता है। सूत्र में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर क्षेत्रफल = ½ × (8 + 14) × 4 = ½ × 22 × 4 = 11 × 4 = 44 सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करके व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है: (tan² θ)/(tan² θ sin² θ) - (sin² θ)/(tan² θ sin² θ) प्रत्येक भिन्न के अंश और हर में उभयनिष्ठ पदों को निरस्त करने के बाद, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: (1)/(sin² θ) - (1)/(tan² θ) व्युत्क्रम सर्वसमिकाओं csc θ = (1)/(sin θ) और cot θ = (1)/(tan θ) का उपयोग करने पर, यह व्यंजक इसके समतुल्य है: csc² θ - cot² θ मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + cot² θ = csc² θ के अनुसार, csc² θ - cot² θ का मान 1 के बराबर होता है। वैकल्पिक रूप से, यह दर्शाने के लिए कि अंश हर के बराबर है, सर्वसमिका tan² θ - sin² θ = tan² θ sin² θ का उपयोग किया जा सकता है, जिससे सरलीकृत मान 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर, संबंध sec A = cosec B तब सत्य होता है जब A + B = 90° हो। दिए गए समीकरण sec(3x - 20°) = cosec(3y + 20°) पर इस सर्वसमिका को लागू करने पर, हम कोणों के योग को 90 डिग्री के बराबर रखते हैं:

(3x - 20°) + (3y + 20°) = 90°

अचर -20° और +20° एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

3x + 3y = 90°

उभयनिष्ठ गुणांक 3 को बाहर निकालने पर, हमें प्राप्त होता है:

3(x + y) = 90°

दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर चरों के योग का मान प्राप्त होता है:

x + y = 30°

प्रश्न में tan(x + y) का मान पूछा गया है। परिकलित योग को टैन (tangent) फलन में प्रतिस्थापित करने पर:

tan(30°) = 1/√3

व्याख्या

दो कोणों के योग के कोटिस्पर्शज्या (cotangent) के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को सूत्र cot(A + B) = (cot A cot B - 1)/(cot A + cot B) द्वारा व्यक्त किया जाता है। दिए गए मानों cot A = ⁿ⁄ₙ₊₁ और cot B = ¹⁄₂ₙ₊₁ को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर सीधे गणना की जा सकती है।

अंश (numerator) (ⁿ⁄ₙ₊₁)(¹⁄₂ₙ₊₁) - 1 = (n - (n+1)(2n+1))/((n+1)(2n+1)) = n - (2n² + 3n + 1){(n+1)(2n+1)} = -2n² - 2n - 1{(n+1)(2n+1)} है।

हर (denominator) ⁿ⁄ₙ₊₁ + ¹⁄₂ₙ₊₁ = (n(2n+1) + (n+1))/((n+1)(2n+1)) = 2n² + 2n + 1{(n+1)(2n+1)} है।

अंश को हर से विभाजित करने पर, उभयनिष्ठ पद (n+1)(2n+1) आपस में कट (cancel) जाते हैं, जिससे -(2n² + 2n + 1){2n² + 2n + 1} बचता है। यह सरल होकर -1 हो जाता है।

इस परिणाम को n का कोई मान मानकर भी शीघ्रता से सत्यापित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, यदि n=1 है, तो cot A = 1/2 और cot B = 1/3, जिससे cot(A+B) = ((1/6) - 1)/((1/2) + (1/3)) = (-5/6)/(5/6) = -1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

1200 को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए आवश्यक न्यूनतम गुणक निर्धारित करने के लिए, हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं: 1200 = 2 × 600 = 2² × 300 = 2³ × 150 = 2⁴ × 75 = 2⁴ × 3 × 25 = 2⁴ × 3¹ × 5²

कोई संख्या पूर्ण वर्ग केवल और केवल तभी होती है जब उसके सभी अभाज्य गुणनखंडों के घातांक सम हों। 1200 के अभाज्य गुणनखंडन में, गुणनखंड 2 का घातांक 4 (सम) है और गुणनखंड 5 का घातांक 2 (सम) है। अभाज्य गुणनखंड 3 का घातांक 1 है, जो कि विषम है। 1200 को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हमें इसे 3 से गुणा करना होगा ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि गुणनखंड 3 का घातांक 2 हो जाए। इस गुणा के परिणामस्वरूप 1200 × 3 = 3600 प्राप्त होता है, जो कि 60 का वर्ग है।

व्याख्या

कुल कार्य 10, 12 और 15 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो कि 60 इकाई है। A, B और C की कार्यक्षमता की गणना इस प्रकार की जाती है: E_A = 60/10 = 6 इकाई/दिन, E_B = 60/12 = 5 इकाई/दिन, और E_C = 60/15 = 4 इकाई/दिन। माना कार्य पूरा होने की कुल अवधि x दिन है। प्रश्न के अनुसार, A ने 2 दिनों तक कार्य किया, B ने x - 3 दिनों तक कार्य किया, और C ने पूरे x दिनों तक कार्य किया। उनके व्यक्तिगत योगदान का योग कुल कार्य के बराबर है:

6(2) + 5(x - 3) + 4(x) = 60 12 + 5x - 15 + 4x = 60 9x - 3 = 60 9x = 63 x = 7