एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

1/3 से गुणा करके कोष्ठक का विस्तार करें: ⅓ · ¹²ˣ⁄₅ - ⅓ · ½ + ⁶⁄₅ = ⁷⁄₆ ⁴ˣ⁄₅ - ⅙ + ⁶⁄₅ = ⁷⁄₆

x वाले पद को अलग करने के लिए समीकरण के दाईं ओर संख्यात्मक पदों को समूहीकृत करें: ⁴ˣ⁄₅ = ⁷⁄₆ + ⅙ - ⁶⁄₅ ⁴ˣ⁄₅ = ⁸⁄₆ - ⁶⁄₅

8/6 को संक्षिप्त करके 4/3 करके और उभयनिष्ठ हर 15 ज्ञात करके दाईं ओर को सरल करें: ⁴ˣ⁄₅ = ⁴⁄₃ - ⁶⁄₅ ⁴ˣ⁄₅ = (20 - 18)/(15) ⁴ˣ⁄₅ = ²⁄₁₅

समीकरण के दोनों पक्षों को 5/4 से गुणा करके x को अलग करें: x = ²⁄₁₅ · ⁵⁄₄ x = ¹⁰⁄₆₀ x = ⅙

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) है। इस सूत्र में दिए गए मानों a - b = 10 और ab = -21 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें a³ - b³ = (10)³ + 3(-21)(10) प्राप्त होता है। पदों का मान निकालने पर, 10³ = 1000 और 3 × (-21) × 10 = -630। इसलिए, a³ - b³ = 1000 - 630 = 370।

व्याख्या

मान लीजिए कि भिन्न x है। दी गई शर्त के अनुसार, भिन्न के दोगुने और उसके व्युत्क्रम के पांच गुने का योग 7 है। इसे समीकरण 2x + 5/x = 7 द्वारा दर्शाया गया है।

x का मान ज्ञात करने के लिए, भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को x से गुणा करें: 2x² + 5 = 7x 2x² - 7x + 5 = 0

इस द्विघात समीकरण को गुणनखंडन द्वारा हल किया जा सकता है: 2x² - 2x - 5x + 5 = 0 2x(x - 1) - 5(x - 1) = 0 (2x - 5)(x - 1) = 0

x के लिए हल करने पर x = 5/2 या x = 1 प्राप्त होता है। व्यंजक 2x + 5/x में x = 5/2 प्रतिस्थापित करने पर परिणाम की पुष्टि होती है: 2(5/2) + 5(2/5) = 5 + 2 = 7।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी में, nवें पद को सूत्र aₙ = a + (n-1)d द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है। किन्हीं दो पदों aₘ और aₙ के बीच का अंतर (m-n)d द्वारा दिया जाता है। दिए गए तीसरे और छठे पदों का उपयोग करने पर:

a₆ - a₃ = (6 - 3)d 37 - 19 = 3d 18 = 3d d = 6

13वां पद ज्ञात करने के लिए, हम छठे पद और सार्व अंतर का उपयोग कर सकते हैं। 13वां पद, छठे पद से 7 स्थान आगे है:

a₁₃ = a₆ + (13 - 6)d a₁₃ = 37 + 7(6) a₁₃ = 37 + 42 a₁₃ = 79

व्याख्या

जब एक बिंदु (x, y) को एक क्षैतिज रेखा y = k में प्रतिबिंबित किया जाता है, तो प्रतिबिंबित बिंदु का x-निर्देशांक समान रहता है क्योंकि परावर्तन लंबवत होता है। प्रतिबिंबित बिंदु (x', y') का y-निर्देशांक इस तथ्य से निर्धारित होता है कि परावर्तन रेखा y = k, मूल बिंदु और उसके प्रतिबिंब को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक होती है। इसका अर्थ है कि k, y और y' का मध्यबिंदु है, जिससे संबंध y' = 2k - y प्राप्त होता है।

बिंदु (5, -2) और परावर्तन रेखा y = -1 के लिए, हम x = 5, y = -2, और k = -1 की पहचान करते हैं। रूपांतरण लागू करने पर: x' = 5 y' = 2(-1) - (-2) = -2 + 2 = 0

प्रतिबिंबित बिंदु के निर्देशांक (5, 0) हैं।

व्याख्या

शीर्षों A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), और C(x₃, y₃) वाले एक त्रिभुज के केंद्रक (x_G, y_G) के निर्देशांक, शीर्षों के निर्देशांकों के औसत द्वारा दिए जाते हैं: x_G = (x₁ + x₂ + x₃)/(3) और y_G = (y₁ + y₂ + y₃)/(3)

दिया गया है कि केंद्रक (-1, 4) है, A (-3, -1) है, और B (3, 5) है, मान लेते हैं कि शीर्ष C के निर्देशांक (x, y) हैं।

सूत्र में x-मानों को प्रतिस्थापित करने पर: -1 = (-3 + 3 + x)/(3) -1 = ˣ⁄₃ x = -3

सूत्र में y-मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 4 = (-1 + 5 + y)/(3) 4 = (4 + y)/(3) 12 = 4 + y y = 8

शीर्ष C के निर्देशांक (-3, 8) प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

Ax + By = C के रूप में एक रैखिक समीकरण की प्रवणता m की गणना सूत्र m = -A/B का उपयोग करके की जाती है। दिए गए समीकरण ax + 3y = 6 में, गुणांक A = a और B = 3 हैं।

इन्हें प्रवणता के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: m = -ᵃ⁄₃

प्रश्न के अनुसार प्रवणता -⅔ है। प्रवणता के दोनों व्यंजकों को एक-दूसरे के बराबर रखने पर: -ᵃ⁄₃ = -⅔

दोनों पक्षों को -3 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: a = 2

व्याख्या

Δ ABC में, चूंकि DE, BC के समांतर है, इसलिए AA समरूपता द्वारा छोटा त्रिभुज Δ ADE, बड़े त्रिभुज Δ ABC के समरूप है। उनकी संगत भुजाओं का अनुपात (AD)/(AB) द्वारा दिया गया है। हमें AD:DB = 2:3 दिया गया है, जिसका अर्थ है AB = AD + DB = 2 + 3 = 5 इकाई। इस प्रकार, भुजाओं का अनुपात (AD)/(AB) = ⅖ है।

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है: (क्षेत्रफल(Δ ADE))/(क्षेत्रफल(Δ ABC)) = ((AD)/(AB))² = (⅖)² = ⁴⁄₂₅

दिए गए मान क्षेत्रफल(Δ ABC) = 100 वर्ग सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल(Δ ADE) = ⁴⁄₂₅ × 100 = 16 वर्ग सेमी

चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल, बड़े त्रिभुज के क्षेत्रफल में से छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाकर निकाला जाता है: क्षेत्रफल(BDEC) = क्षेत्रफल(Δ ABC) - क्षेत्रफल(Δ ADE) = 100 - 16 = 84 वर्ग सेमी

व्याख्या

30° के लिए मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर, हमारे पास sin 30° = ½ और cos 30° = √3{2} है। इन मानों को व्यंजक sin 30° + 2 cos 30° में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

½ + 2 × ( √3{2} )

दूसरे पद में 2 का गुणनखंड हर (denominator) से निरस्त हो जाता है, जिससे व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

½ + √3

इसे एक एकल भिन्न के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम 2 का एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेते हैं:

½ + 2√3{2} = 1 + 2√3{2}

व्याख्या

समकोण त्रिभुज Δ XYZ में, चूंकि ∠ Y = 90° है, इसलिए भुजा ZX कर्ण है और YZ, ∠ Z के सापेक्ष आधार है। आधार की लंबाई की गणना कोसाइन (cosine) त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करके की जा सकती है:

cos(Z) = (YZ)/(ZX)

यह दिया गया है कि ∠ Z = 60° और कर्ण ZX = 3√3 सेमी है, इन मानों को समीकरण में रखने पर:

cos(60°) = (YZ)/(3√(3))

चूंकि cos(60°) का मान ½ होता है, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

½ = (YZ)/(3√(3))

YZ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को 3√3 से गुणा करने पर:

YZ = 3√3/2 सेमी

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, सीकेंट (sec) फलन को sec θ = (कर्ण)/(आधार) के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि sec θ = ¹³⁄₁₂, हम कर्ण (H) को 13 और आधार (B) को 12 के रूप में निरूपित कर सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लंब (P) की गणना इस प्रकार की जाती है:

P = √(H² - B²) P = √(13² - 12²) P = √(169 - 144) P = √(25) = 5

यह प्रसिद्ध पाइथागोरस त्रिक (5, 12, 13) के अनुरूप है। कोटेंजेंट (cot) फलन को आधार और लंब के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, cot θ = (आधार)/(लंब)। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें cot θ = ¹²⁄₅ प्राप्त होता है।

व्याख्या

तालिका में दिए गए आंकड़ों के आधार पर, प्रत्येक वर्ष के लिए जारी किए गए कार्य वीज़ा की संख्या की गणना जारी किए गए कुल वीज़ा की संख्या को जारी किए गए कार्य वीज़ा के प्रतिशत से गुणा करके की जाती है।

2011 के लिए: 4000 × 60% = 2400 2012 के लिए: 3500 × 65% = 2275 2013 के लिए: 2000 × 70% = 1400 2014 के लिए: 3000 × 55% = 1650 2015 के लिए: 4500 × 32% = 1440 2016 के लिए: 3000 × 60% = 1800

यह निर्धारित करने के लिए कि किन वर्षों में जारी किए गए कार्य वीज़ा पिछले वर्ष की तुलना में अधिक थे, हम क्रमिक वर्षों की तुलना करते हैं: 2012 में, 2275 वर्ष 2011 के 2400 से कम है। 2013 में, 1400 वर्ष 2012 के 2275 से कम है। 2014 में, 1650 वर्ष 2013 के 1400 से अधिक है। 2015 में, 1440 वर्ष 2014 के 1650 से कम है। 2016 में, 1800 वर्ष 2015 के 1440 से अधिक है।

जारी किए गए कार्य वीज़ा की संख्या ठीक 2 वर्षों (2014 और 2016) में पिछले वर्ष की तुलना में अधिक थी।

व्याख्या

वर्ष 2015 और 2016 के लिए दिए गए आंकड़ों के अनुसार: 2015 में जारी किए गए कुल वीज़ा की संख्या = 4500 2015 में जारी किए गए कार्य वीज़ा का प्रतिशत = 32% 2016 में जारी किए गए कुल वीज़ा की संख्या = 3000 2016 में जारी किए गए कार्य वीज़ा का प्रतिशत = 60%

सबसे पहले, प्रत्येक वर्ष के लिए कार्य वीज़ा की संख्या की गणना करें: 2015 में कार्य वीज़ा की संख्या = 4500 का 32% = ³²⁄₁₀₀ × 4500 = 1440 2016 में कार्य वीज़ा की संख्या = 3000 का 60% = ⁶⁰⁄₁₀₀ × 3000 = 1800

2016 और 2015 में कार्य वीज़ा की संख्या के बीच का अंतर 1800 - 1440 = 360 है। पिछले वर्ष (2015) के सापेक्ष प्रतिशत अंतर ज्ञात करने के लिए: प्रतिशत अंतर = ³⁶⁰⁄₁₄₄₀ × 100 = ¼ × 100 = 25%

व्याख्या

2011 और 2016 के बीच जारी किए गए कार्य वीज़ा के आंकड़ों के आधार पर, वार्षिक संख्या क्रमशः 3000, 3500, 3000, 3500, 4500 और 3500 है। इन छह वर्षों में जारी किए गए वीज़ा की कुल संख्या की गणना इन व्यक्तिगत मानों को जोड़कर की जाती है: 3000 + 3500 + 3000 + 3500 + 4500 + 3500 = 21000

प्रश्न में कहा गया है कि जिन लोगों को वीज़ा जारी किया गया था, उनमें से 10% लोगों ने उनका उपयोग नहीं किया। इसका तात्पर्य यह है कि जारी किए गए कुल वीज़ा में से 90% का वास्तव में उपयोग किया गया था। वीज़ा का उपयोग करने वाले लोगों की संख्या ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित गणना लागू की जाती है: कुल उपयोगकर्ता = कुल जारी किए गए × (100% - 10%) कुल उपयोगकर्ता = 21000 × 0.90 = 18900

21,000 के संचयी योग के 90% की गणना करके, हम पाते हैं कि 2011 से 2016 की अवधि के दौरान 18,900 लोगों ने अपने कार्य वीज़ा का उपयोग किया।

व्याख्या

518 में से घटाई जाने वाली वह न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे यह 13 से पूर्णतः विभाज्य हो जाए, हम 518 को 13 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल की गणना करते हैं। विभाजन की प्रक्रिया इस प्रकार है:

518 ÷ 13

सबसे पहले, 51 को 13 से विभाजित करें: 13 × 3 = 39 51 - 39 = 12

इसके बाद, 8 को नीचे लाएं जिससे यह 128 हो जाए, फिर 128 को 13 से विभाजित करें: 13 × 9 = 117 128 - 117 = 11

प्राप्त शेषफल 11 है। मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) में, इसे 518 ≡ 11 (mod 13) के रूप में व्यक्त किया जाता है। शेषफल उस विशिष्ट मान को दर्शाता है जो 13 के निकटतम निचले गुणज (multiple) से अधिक है। मूल संख्या में से इस शेषफल को घटाने पर, हमें 518 - 11 = 507 प्राप्त होता है। चूंकि 507 = 13 × 39 है, इसलिए प्राप्त संख्या 13 से पूर्णतः विभाज्य है। अतः, 11 अभीष्ट न्यूनतम संख्या है।

व्याख्या

B द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिए गए समय को संयुक्त कार्य दरों के सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। यदि T_A₊_B, A और B द्वारा मिलकर लिया गया समय है और T_A, अकेले A द्वारा लिया गया समय है, तो अकेले कार्य करने वाले B के लिए समय T_B इस प्रकार दिया गया है:

T_B = T_A × T_A₊_B / (T_A - T_A₊_B)

दिए गए मानों T_A₊_B = 12 और T_A = 20 को प्रतिस्थापित करने पर:

T_B = (20 × 12)/(20 - 12)

T_B = ²⁴⁰⁄₈ = 30

वैकल्पिक रूप से, कार्यक्षमता (efficiency) विधि का उपयोग करते हुए, मान लें कि कुल कार्य 12 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता 60 / 12 = 5 इकाई प्रति दिन है, और A की कार्यक्षमता 60 / 20 = 3 इकाई प्रति दिन है। इसलिए, B की कार्यक्षमता 5 - 3 = 2 इकाई प्रति दिन है। 60 इकाई कार्य को पूरा करने के लिए, B को 60 / 2 = 30 दिन लगेंगे।

व्याख्या

भुजा की लंबाई s वाले एक समषट्भुज का क्षेत्रफल A, सूत्र A = 3√3{2} s² द्वारा दिया जाता है। यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त होता है कि एक समषट्भुज में छह समबाहु त्रिभुज होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल √3{4} s² होता है।

दी गई भुजा की लंबाई s = 9 सेमी के लिए, क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है: A = 3√3{2} × (9)² A = 3√3{2} × 81 A = 243√3{2}

इस गणना से 243√3{2} वर्ग सेंटीमीटर का क्षेत्रफल प्राप्त होता है।

व्याख्या

4 खरीदें और 1 मुफ्त पाएं (buy 4 get 1 free) के ऑफर में, ग्राहक को मिलने वाली शर्ट की कुल संख्या 5 है, जिसमें 4 खरीदी गई शर्ट और 1 मुफ्त शर्ट शामिल है। प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना मुफ्त वस्तुओं की संख्या को प्राप्त कुल वस्तुओं की संख्या से विभाजित करके और 100 से गुणा करके की जाती है। सूत्र का उपयोग करने पर:

छूट % = (मुफ्त वस्तुएं)/(कुल वस्तुएं) × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

छूट % = (1)/(4 + 1) × 100 = ⅕ × 100 = 20%

व्याख्या

P और Q की वर्तमान आयु का अनुपात 7:9 है, और 10 वर्ष पहले यह अनुपात 5:7 था। चूंकि दो व्यक्तियों के बीच आयु का अंतर समय के साथ स्थिर रहता है, इसलिए हम अनुपातों के पदों के बीच के अंतर की जांच करते हैं। दोनों अनुपातों के लिए, अंतर 2 है (9 - 7 = 2 और 7 - 5 = 2), इसलिए पैमाने पहले से ही सुसंगत हैं। 10 वर्ष की अवधि में P और Q दोनों के लिए अनुपात इकाइयों में परिवर्तन 2 इकाई है (7 - 5 = 2 या 9 - 7 = 2)। इसका अर्थ है कि 2 इकाइयाँ 10 वर्षों के बराबर हैं, जिससे पता चलता है कि 1 इकाई 5 वर्षों के बराबर है। वर्तमान आयु के अनुपात में Q की वर्तमान आयु को 9 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है। इसलिए, Q की वर्तमान आयु 9 × 5 = 45 वर्ष है।

व्याख्या

सही औसत का निर्धारण प्रविष्टि त्रुटि के कारण हुए शुद्ध अंतर की गणना करके और उसके अनुसार प्रारंभिक औसत को समायोजित करके किया जाता है। संशोधित औसत का सूत्र इस प्रकार है:

सही औसत = प्रारंभिक औसत + (सही मान - गलत मान)/(कुल छात्र)

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

सही औसत = 34 + (26 - 62)/(40)

सही औसत = 34 - ³⁶⁄₄₀

सही औसत = 34 - 0.9 = 33.1

कुल अंकों का आकलन 36 अधिक कर लिया गया था क्योंकि 26 के स्थान पर 62 दर्ज किया गया था। जब इस 36 अंकों की अधिकता को हटा दिया जाता है और कमी को 40 छात्रों में वितरित किया जाता है, तो औसत में ठीक 0.9 की कमी आती है।

व्याख्या

ग्राहक द्वारा भुगतान की गई अंतिम कीमत थोक विक्रेता के प्रारंभिक क्रय मूल्य पर लागू क्रमिक लाभ प्रतिशत का परिणाम है। मान लीजिए कि थोक विक्रेता के लिए वस्तु का क्रय मूल्य CP है।

थोक विक्रेता इसे 5% लाभ पर बेचता है, इसलिए खुदरा विक्रेता के लिए विक्रय मूल्य CP × (1 + ⁵⁄₁₀₀) = CP × 1.05 है।

इसके बाद खुदरा विक्रेता इसे अपने क्रय मूल्य पर 10% के लाभ पर ग्राहक को बेचता है। इस प्रकार, ग्राहक CP × 1.05 × (1 + ¹⁰⁄₁₀₀) = CP × 1.05 × 1.10 का भुगतान करता है।

यह देखते हुए कि ग्राहक 2,000 रुपये का भुगतान करता है, हम समीकरण बनाते हैं: CP × 1.155 = 2000

CP के लिए हल करने पर: CP = (2000)/(1.155) CP = ²⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁄₁₁₅₅ ≈ 1731.6017

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, थोक विक्रेता के लिए लागत 1731.6 रुपये थी।

व्याख्या

माना मूल संख्या x है, जो स्वयं का 100% दर्शाती है। जब संख्या में 69 की वृद्धि की जाती है, तो यह स्वयं का 103% हो जाती है। इसका अर्थ है कि 69 की संख्यात्मक वृद्धि 3% की प्रतिशत वृद्धि के संगत है (चूंकि 103% - 100% = 3%)।

इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: x का 3% = 69 ³⁄₁₀₀ × x = 69

x का मान ज्ञात करने के लिए, 69 को 3 से विभाजित करें और 100 से गुणा करें: x = (69 × 100)/(3) x = 23 × 100 x = 2300

2300 का 103% ज्ञात करने पर, हमें 1.03 × 2300 = 2369 प्राप्त होता है, जो कि ठीक 2300 + 69 है।

व्याख्या

जब कोई पिंड दो अलग-अलग गतियों, v₁ और v₂ पर समान दूरी तय करता है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति की गणना गतियों के हरात्मक माध्य (harmonic mean) का उपयोग करके की जाती है। सूत्र इस प्रकार है:

औसत गति = (2 × v₁ × v₂)/(v₁ + v₂)

दिया गया है कि v₁ = 40 किमी/घंटा और v₂ = 24 किमी/घंटा, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

औसत गति = (2 × 40 × 24)/(40 + 24)

औसत गति = ¹⁹²⁰⁄₆₄

औसत गति = 30 किमी/घंटा

वैकल्पिक रूप से, एलसीएम (LCM) विधि का उपयोग करते हुए, मान लें कि दूरी 40 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 120 किमी है। जाने की यात्रा में लगा समय = 120 / 40 = 3 घंटे, और वापसी की यात्रा में लगा समय = 120 / 24 = 5 घंटे है। तय की गई कुल दूरी = 120 + 120 = 240 किमी है, और लिया गया कुल समय = 3 + 5 = 8 घंटे है। कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर 240 / 8 = 30 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है। इस मामले में, 12.5% की दर से 4 वर्षों में अर्जित कुल साधारण ब्याज 5,400 रुपये है।

पूरी अवधि के लिए प्रभावी ब्याज दर वार्षिक दर और समय का गुणनफल है: 12.5% × 4 = 50%। इसका तात्पर्य यह है कि प्राप्त कुल ब्याज मूलधन का ठीक आधा है। समीकरण 5400 = (P × 50)/(100) में मान रखने पर, हमें 5400 = (P)/(2) प्राप्त होता है। P के लिए हल करने पर P = 5400 × 2 = 10800 प्राप्त होता है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, कोष्ठक के भीतर भिन्न ⅔ को वितरित करके प्रारंभ करें: ⅔ · ⁶ˣ⁄₅ - ⅔ · ¼ + ⅓ = ⁹ˣ⁄₅

गुणनफलों को सरल करें: ⁴ˣ⁄₅ - ⅙ + ⅓ = ⁹ˣ⁄₅

6 का एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेकर अचर पदों -⅙ और ⅓ को संयोजित करें: ⅓ - ⅙ = ²⁄₆ - ⅙ = ⅙

इसे वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करें: ⁴ˣ⁄₅ + ⅙ = ⁹ˣ⁄₅

x को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों से ⁴ˣ⁄₅ घटाएं: ⅙ = ⁹ˣ⁄₅ - ⁴ˣ⁄₅ ⅙ = ⁵ˣ⁄₅ ⅙ = x

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हुए, माना s = a + b। दिए गए मानों a³ + b³ = 341 और ab = 30 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर त्रिघात समीकरण 341 = s³ - 3(30)s प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर s³ - 90s - 341 = 0 प्राप्त होता है। s = 11 मान का परीक्षण करने पर, हम गणना करते हैं: 11³ - 90(11) - 341 = 1331 - 990 - 341 = 0।

वैकल्पिक रूप से, ab = 30 के गुणनखंडों की जांच करके भी परिणाम ज्ञात किया जा सकता है। पूर्णांकों के वे युग्म (a, b) जो इस गुणनफल को संतुष्ट करते हैं, (1, 30), (2, 15), (3, 10) और (5, 6) हैं। युग्म (5, 6) का परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि 5³ + 6³ = 125 + 216 = 341 है। इन संख्याओं का योग a + b = 5 + 6 = 11 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि भिन्न x है। प्रश्न के अनुसार संबंध x + 3/x = 31/6 है। समीकरण में x = 9/2 रखने पर, हमें 9/2 + 3(2/9) = 9/2 + 2/3 प्राप्त होता है। उभयनिष्ठ हर 6 का उपयोग करने पर, योग (27 + 4)/6 = 31/6 प्राप्त होता है, जो दी गई शर्त को संतुष्ट करता है। यह परिणाम मूल समीकरण को द्विघात रूप 6x² - 31x + 18 = 0 में व्यवस्थित करके भी प्राप्त किया जा सकता है। द्विघात सूत्र x = -b ± √(b² - 4ac) / (2a) लागू करने पर x = 31 ± √(31² - 4(6)(18)) / (2(6)) = 31 ± √(961 - 432) / 12 = (31 ± 23)/(12) प्राप्त होता है। धनात्मक मूलों के लिए हल करने पर x = 54/12 = 9/2 या x = 8/12 = 2/3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी का सामान्य पद aₙ = a + (n - 1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a प्रथम पद है और d सार्व अंतर है। दिए गए मानों का उपयोग करने पर, हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं: a₅ = a + 4d = 1 a₈ = a + 7d = -17

दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर 3d = -18 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर d = -6 मिलता है। इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें a + 4(-6) = 1 प्राप्त होता है, जिससे a = 25 मिलता है।

एक समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग Sₙ = ⁿ⁄₂ [2a + (n - 1)d] सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। n = 13 के लिए: S₁₃ = ¹³⁄₂ [2(25) + (13 - 1)(-6)] S₁₃ = ¹³⁄₂ [50 + 12(-6)] S₁₃ = ¹³⁄₂ [50 - 72] S₁₃ = ¹³⁄₂ [-22] S₁₃ = 13 × (-11) = -143

वैकल्पिक रूप से, चूँकि 13 एक विषम संख्या है, इसलिए योग पदों की संख्या और मध्य पद (a₇) के गुणनफल के बराबर होता है। हम a₅ में 2d जोड़कर a₇ ज्ञात कर सकते हैं: 1 + 2(-6) = -11। इस प्रकार, S₁₃ = 13 × (-11) = -143।

व्याख्या

एक ऊर्ध्वाधर रेखा x = k के सापेक्ष किसी बिंदु P(x, y) के प्रतिबिंब के परिणामस्वरूप एक बिंदु P'(x', y') प्राप्त होता है, जहाँ y-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है और x-निर्देशांक इस प्रकार परिवर्तित होता है कि k, x और x' का मध्यबिंदु होता है। नए x-निर्देशांक के लिए सूत्र x' = 2k - x है।

दिए गए बिंदु (-4, 3) और प्रतिबिंब रेखा x = -2 के लिए, हमारे पास x = -4, y = 3, और k = -2 है। सूत्र लागू करने पर:

x' = 2(-2) - (-4) = -4 + 4 = 0 y' = 3

अतः, प्रतिबिंबित बिंदु (0, 3) है।

व्याख्या

अंत्य बिंदुओं B(x₁, y₁) और C(x₂, y₂) वाले रेखाखंड BC को m:n के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु A(x, y) के निर्देशांक विभाजन सूत्र (section formula) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

x = (mx₂ + nx₁)/(m + n) y = (my₂ + ny₁)/(m + n)

दिए गए मानों B(6, -4), C(0, 8) और अनुपात m:n = 5:1 को प्रतिस्थापित करने पर:

x = (5(0) + 1(6))/(5 + 1) = (0 + 6)/(6) = ⁶⁄₆ = 1

y = (5(8) + 1(-4))/(5 + 1) = (40 - 4)/(6) = ³⁶⁄₆ = 6

बिंदु A के निर्देशांक (1, 6) हैं।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाली रेखा की प्रवणता m की गणना सूत्र m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) का उपयोग करके की जाती है। दिए गए बिंदुओं (3, -4) और (-2, 5) को इस सूत्र में रखने पर, हमें m = (5 - (-4))/(-2 - 3) प्राप्त होता है। यह सरल होकर m = ⁹⁄₋₅ हो जाता है, जो -9/5 के बराबर है। निर्देशांक ज्यामिति में, समांतर रेखाओं की प्रवणता समान होती है। इसलिए, दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा के समांतर किसी भी रेखा की प्रवणता भी -9/5 होगी।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनकी संगत भुजाओं का अनुपात उनके परिमापों के अनुपात के बराबर होता है। दिया गया है कि Δ XYZ ∼ Δ PQR, संगत भुजाओं XY और PQ तथा उनके परिमापों के बीच के संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(XY)/(PQ) = (Δ XYZ का परिमाप)/(Δ PQR का परिमाप)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

(XY)/(27) = ⁴⁄₉

XY की लंबाई ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

XY = ⁴⁄₉ × 27

XY = 4 × 3

XY = 12 सेमी

व्याख्या

दिए गए कोणों के लिए त्रिकोणमितीय मान cot 45° = 1 और csc 60° = (2)/(√(3)) हैं। इन मानों को व्यंजक cot 45° + ⅓ csc 60° में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 + ⅓ ( (2)/(√(3)) ) प्राप्त होता है। यह सरल होकर 1 + (2)/(3√(3)) हो जाता है। भिन्नात्मक पद के हर का परिमेयकरण करने के लिए, हम अंश और हर को √3 से गुणा करते हैं, जिससे 1 + 2√3{3 × 3} = 1 + 2√3{9} प्राप्त होता है। 9 को उभयनिष्ठ हर के रूप में लेने पर, व्यंजक 9 + 2√3{9} हो जाता है।

व्याख्या

दिए गए समकोण त्रिभुज △ DEF में, जहाँ ∠ E = 90° और ∠ F = 45° है, मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक कोण F के sine और tangent का गुणनफल है। 45° कोण के लिए मानक त्रिकोणमितीय अनुपातों के अनुसार, sin 45° का मान (1)/(√(2)) है और tan 45° का मान 1 है। इन विशिष्ट मानों को गुणनफल sin F × tan F में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin 45° × tan 45° = (1)/(√(2)) × 1 = (1)/(√(2))

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, त्रिकोणमितीय अनुपात cot θ को आधार (B) और लंब (P) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि cot θ = ²¹⁄₂₀, हम आधार को B = 21 और लंब को P = 20 के रूप में दर्शा सकते हैं।

sec θ का मान ज्ञात करने के लिए, जो कि कर्ण (H) और आधार (B) का अनुपात है, हमें सबसे पहले पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण की लंबाई निर्धारित करनी होगी: H = √(B² + P²)। सूत्र में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: H = √(21² + 20²) = √(441 + 400) = √(841) = 29।

एक बार जब कर्ण की पहचान 29 के रूप में हो जाती है, तो sec θ के मान की गणना परिभाषा sec θ = (H)/(B) का उपयोग करके की जाती है। H = 29 और B = 21 प्रतिस्थापित करने पर ²⁹⁄₂₁ अनुपात प्राप्त होता है। यह गणना पाइथागोरस त्रिक (20, 21, 29) के गुणों पर निर्भर करती है, जहाँ दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी भुजा के वर्ग के बराबर होता है।

व्याख्या

कोई संख्या 5 और 7 दोनों से विभाज्य तभी और केवल तभी होती है जब वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), LCM(5, 7) = 35 से विभाज्य हो। 300 और 650 के बीच ऐसी कितनी संख्याएँ हैं, यह ज्ञात करने के लिए हम इस सीमा के भीतर 35 के गुणजों की पहचान करते हैं।

इस सीमा में 35 का पहला गुणज 315 है (क्योंकि 35 × 8 = 280 और 35 × 9 = 315)। इस सीमा में 35 का अंतिम गुणज 630 है (क्योंकि 35 × 18 = 630 और 35 × 19 = 665)।

ये गुणज एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाते हैं जहाँ पहला पद a = 315, अंतिम पद l = 630, और सार्व अंतर (common difference) d = 35 है। पदों की संख्या n निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

n = (l - a)/(d) + 1

सूत्र में मान रखने पर:

n = (630 - 315)/(35) + 1 = ³¹⁵⁄₃₅ + 1 = 9 + 1 = 10

व्याख्या

किसी कार्य के लिए मजदूरी को श्रमिकों के बीच उनकी कार्यक्षमताओं के अनुपात में वितरित किया जाता है। कार्यक्षमता, कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। दिया गया है कि रमन, जतिन और सचिन द्वारा लिया गया समय क्रमशः 5, 7 और 9 दिन है, इसलिए उनकी कार्यक्षमता का अनुपात है:

कार्यक्षमता का अनुपात = ⅕ : ⅐ : ⅑

इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, प्रत्येक पद को 5, 7 और 9 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 5 × 7 × 9 = 315 है:

रमन : जतिन : सचिन = 63 : 45 : 35

अनुपात के भागों का योग 63 + 45 + 35 = 143 है। भुगतान की गई कुल राशि 2860 रुपये है। रमन के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है:

रमन का हिस्सा = ⁶³⁄₁₄₃ × 2860

चूंकि 143 × 20 = 2860 है, इसलिए गणना इस प्रकार होगी:

रमन का हिस्सा = 63 × 20 = 1260

व्याख्या

एक गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना सूत्र 4π r² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है। चूंकि व्यास 14 सेमी दिया गया है, इसलिए त्रिज्या r = ¹⁴⁄₂ = 7 सेमी है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × ²²⁄₇ × 7 × 7 पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × 22 × 7 पृष्ठीय क्षेत्रफल = 88 × 7 = 616 सेमी²

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद अंकित मूल्य (MP) और विक्रय मूल्य (SP) के बीच का संबंध सूत्र SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) द्वारा दिया गया है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 50700 = MP × (1 - 20/100) × (1 - 35/100)। यह सरल होकर 50700 = MP × (80/100) × (65/100) हो जाता है। प्रतिशत को सरल भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर, समीकरण 50700 = MP × (4/5) × (13/20) बन जाता है, जो घटकर 50700 = MP × (52/100) हो जाता है। अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं जिससे हमें MP = (50700 × 100) / 52 प्राप्त होता है। 50700 और 52 दोनों को 13 से विभाजित करने पर, हमें MP = (3900 × 100) / 4 प्राप्त होता है। 3900 को 4 से आगे विभाजित करने पर 975 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप MP = 975 × 100 = 97500 प्राप्त होता है।

व्याख्या

3200 रुपये की कुल राशि को 3 : 5 : 8 के अनुपात के अनुसार वितरित किया जाता है। अनुपात इकाइयों का योग 3 + 5 + 8 = 16 इकाइयाँ है। चूंकि 16 इकाइयाँ 3200 रुपये की कुल राशि को दर्शाती हैं, इसलिए 1 इकाई का मान ³²⁰⁰⁄₁₆ = 200 है। अनुपात इकाइयों के संदर्भ में B और C के हिस्सों के बीच का अंतर 8 - 5 = 3 इकाइयाँ है। एक इकाई के मान को इस अंतर से गुणा करने पर, हम आवश्यक राशि की गणना 3 × 200 = 600 के रूप में करते हैं।

व्याख्या

5-सदस्यीय परिवार की वर्तमान कुल आयु की गणना 5 × 24 = 120 वर्ष के रूप में की जाती है। सबसे छोटे सदस्य के जन्म के समय परिवार की कुल आयु निर्धारित करने के लिए, हमें प्रत्येक 5 सदस्यों के लिए बीते हुए 8 वर्षों को घटाना होगा। 8 वर्ष पहले कुल आयु 120 - (5 × 8) = 120 - 40 = 80 वर्ष थी। जन्म के समय, सबसे छोटे सदस्य की आयु 0 वर्ष थी, जिसका अर्थ है कि परिवार के शेष 4 सदस्यों की आयु का योग 80 वर्ष था। उस समय परिवार की औसत आयु इस योग को जन्म से पहले उपस्थित 4 सदस्यों से विभाजित करके प्राप्त की जाती है, जो कि 80 / 4 = 20 वर्ष है।

व्याख्या

कुल व्यय 100 रुपये पर स्थिर रहता है। जब पेन की कीमत में 20 प्रतिशत की कमी होती है, तो कुल राशि पर बचत 100 का 20% होती है, जो कि 20 रुपये के बराबर है। प्रश्न के अनुसार, 20 रुपये की यह बचत व्यक्ति को 10 अतिरिक्त पेन खरीदने की अनुमति देती है। इसलिए, इन 10 पेनों की नई कीमत 20 रुपये है। प्रत्येक पेन की नई कीमत ज्ञात करने के लिए, कुल बचत को अतिरिक्त पेनों की संख्या से विभाजित करें: 20 / 10 = 2।

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रारंभिक संख्या x है। यह प्रश्न दो क्रमिक प्रतिशत कटौतियों को दर्शाता है। 60% की पहली कटौती के बाद, शेष मान मूल संख्या का 40% होता है। 15% की दूसरी कटौती इस शेष पर लागू होती है, जिसका अर्थ है कि उस मध्यवर्ती मान का 85% बचता है।

इस संबंध को क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: x × (1 - ⁶⁰⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀) = 1428

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x × 0.40 × 0.85 = 1428 x × 0.34 = 1428

प्रारंभिक संख्या ज्ञात करने के लिए, अंतिम परिणाम को शेष प्रतिशतों के गुणनफल से विभाजित करें: x = (1428)/(0.34) x = ¹⁴²⁸⁰⁰⁄₃₄

1428 को 34 से विभाजित करने पर 42 प्राप्त होता है। इस प्रकार: x = 4200

व्याख्या

मान लीजिए कार की गति v किमी/घंटा है। चूँकि ट्रेन कार की तुलना में 40% तेज़ चलती है, इसलिए इसकी गति 1.4v किमी/घंटा है। दोनों 140 किमी की दूरी तय करती हैं। कार को गंतव्य तक पहुँचने में 140/v घंटे लगते हैं। ट्रेन स्टेशनों पर 25 मिनट (जो कि 25/60 = 5/12 घंटे है) बिताती है, इसलिए उसका कुल समय उसकी यात्रा के समय और ठहराव के समय का योग है: 140/(1.4v) + 5/12 घंटे।

चूँकि दोनों एक ही समय पर गंतव्य पर पहुँचती हैं, इसलिए उनकी कुल यात्रा अवधि बराबर है: 140/v = 140/(1.4v) + 5/12

ट्रेन की गति Sₜ = 1.4v ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को Sₜ के पदों में इस प्रकार लिख सकते हैं: 140 / (Sₜ/1.4) - 140 / Sₜ = 5/12 (140 × 1.4) / Sₜ - 140 / Sₜ = 5/12 (196 - 140) / Sₜ = 5/12 56 / Sₜ = 5/12 Sₜ = (56 × 12) / 5 Sₜ = 672 / 5 = 134.4 किमी/घंटा।

व्याख्या

साधारण ब्याज के लिए, किसी धनराशि के बढ़ने के गुना और लगने वाले समय के बीच का संबंध सूत्र (n₁ - 1)/(T₁) = (n₂ - 1)/(T₂) द्वारा दिया जाता है, जहाँ n मूलधन के गुणक को दर्शाता है और T समय को दर्शाता है।

दिया गया है कि धनराशि 5 वर्षों (T₁ = 5) में तिगुनी (n₁ = 3) हो जाती है, इसलिए अर्जित ब्याज 3P - P = 2P है। वह समय (T₂) ज्ञात करने के लिए जिसमें धनराशि पांच गुनी (n₂ = 5) हो जाती है, आवश्यक ब्याज 5P - P = 4P है।

इस संबंध में मान रखने पर: (3 - 1)/(5) = (5 - 1)/(T₂) 2/5 = (4)/(T₂) 2 · T₂ = 20 T₂ = 10

चूंकि साधारण ब्याज समान अवधियों में स्थिर रहता है, इसलिए यदि 2P ब्याज प्राप्त करने में 5 वर्ष लगते हैं, तो 4P ब्याज प्राप्त करने में ठीक उसका दोगुना समय, यानी 10 वर्ष लगेंगे।

व्याख्या

समीकरण x + (1/x) = 2 से, हम यह प्राप्त कर सकते हैं कि (x - 1)² = 0, जिसका अर्थ है x = 1। व्यंजक x⁶⁴ + x¹²¹ में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर 1⁶⁴ + 1¹²¹ = 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है x = 6 + 2√6, सबसे पहले हम x - 1 का मान ज्ञात करते हैं: x - 1 = 6 + 2√6 - 1 = 5 + 2√6

5 + 2√6 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, हम ऐसी दो संख्याएँ खोजते हैं जिनका योग 5 और गुणनफल 6 हो। ये संख्याएँ 3 और 2 हैं। इस प्रकार, हम 5 + 2√6 को (√3)² + (√2)² + 2(√3)(√2) के रूप में लिख सकते हैं, जो कि (√3 + √2)² का विस्तार है। वर्गमूल लेने पर, हमें प्राप्त होता है: √(x - 1) = √3 + √2

अब, व्युत्क्रम ज्ञात करते हैं: (1)/(√(x - 1)) = (1)/(√3 + √2) अंश और हर को √3 - √2 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर: 1(√3 - √2) / {(√3 + √2)(√3 - √2)} = (√3 - √2) / {3 - 2} = √3 - √2

अंत में, दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: √(x - 1) + (1)/(√(x - 1)) = (√3 + √2) + (√3 - √2) = 2√3

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, किन्हीं तीन चरों x, y और z के लिए, व्यंजक x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) होता है। परिणामस्वरूप, यदि x + y + z = 0 है, तो संपूर्ण व्यंजक का मान 0 हो जाता है। इस प्रश्न में, माना x = a - 7, y = b - 9, और z = c - 11 है। इन तीनों पदों को जोड़ने पर, x + y + z = (a - 7) + (b - 9) + (c - 11) = a + b + c - (7 + 9 + 11) = a + b + c - 27 प्राप्त होता है। दी गई शर्त a + b + c = 27 के अनुसार, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर x + y + z = 27 - 27 = 0 प्राप्त होता है। चूंकि पदों का योग शून्य है, इसलिए दिए गए त्रिघाती व्यंजक का मान 0 होना चाहिए।

व्याख्या

मान लीजिए समद्विबाहु त्रिभुज का आधार b है और बराबर भुजाएँ a हैं। प्रश्न के अनुसार, a = ⅚b। त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग है: 2a + b = 32। a का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2(⅚b) + b = 32 प्राप्त होता है, जो सरल होकर ⁵⁄₃b + b = 32 हो जाता है। इससे ⁸⁄₃b = 32 प्राप्त होता है, इसलिए b = (32 × 3)/(8) = 12 सेमी।

आधार b = 12 सेमी होने पर, बराबर भुजाएँ a = ⅚ × 12 = 10 सेमी हैं। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींची गई ऊंचाई (शीर्षलंब) h आधार को 6 सेमी के दो बराबर भागों में विभाजित करती है। परिणामी समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, ऊंचाई h = √(a² - (ᵇ⁄₂)²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √(64) = 8 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई = ½ × 12 × 8 = 48 सेमी² द्वारा दिया गया है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज PQRS में, सभी भुजाओं की लंबाई बराबर होती है, इसलिए PQ = QR = RS = SP = 8 सेमी। एक समचतुर्भुज में किन्हीं दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ PQR = 120°, इसलिए आसन्न कोण ∠ SPQ की गणना 180° - 120° = 60° के रूप में की जाती है।

भुजाओं PQ, PS और विकर्ण QS द्वारा निर्मित त्रिभुज PQS पर विचार करें। इस त्रिभुज में, PQ = PS = 8 सेमी है, जो इसे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है। चूंकि इन दो बराबर भुजाओं के बीच का कोण ∠ SPQ = 60° है, इसलिए शेष दो कोण भी 60° होने चाहिए क्योंकि (180° - 60°) / 2 = 60°। इसलिए, △ PQS एक समबाहु त्रिभुज है। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए विकर्ण QS की लंबाई भुजा की लंबाई PQ के बराबर होनी चाहिए, जो कि 8 सेमी है। सत्यापन के लिए कोसाइन के नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: QS² = PQ² + PS² - 2(PQ)(PS) cos(60°) = 8² + 8² - 2(8)(8)(0.5) = 64 + 64 - 64 = 64. वर्गमूल लेने पर QS = 8 सेमी प्राप्त होता है।