एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

विभिन्न वार्षिक ब्याज दरों r1 और r2 वाली सावधि जमा योजना में अंतिम राशि A की गणना सूत्र A = x(1 + (r₁)/(100))(1 + (r₂)/(100)) का उपयोग करके की जाती है। इस मामले में, मूलधन x को पहले वर्ष के लिए r₁ = 10% और दूसरे वर्ष के लिए r₂ = 15% पर निवेश किया जाता है जिससे कुल 20,240 रुपये की राशि प्राप्त होती है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: 20,240 = x(1 + ¹⁰⁄₁₀₀)(1 + ¹⁵⁄₁₀₀) 20,240 = x × ¹¹⁰⁄₁₀₀ × ¹¹⁵⁄₁₀₀ 20,240 = x × ¹¹⁄₁₀ × ²³⁄₂₀ 20,240 = x × ²⁵³⁄₂₀₀

x का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: x = (20,240 × 200)/(253)

20,240 को 253 से विभाजित करने पर, हम पाते हैं कि 253 × 8 = 2024, जिसका अर्थ है 253 × 80 = 20,240। x = 80 × 200 x = 16,000

व्याख्या

⁵⁄₂ पद को वितरित करें और समीकरण को सरल बनाएं: ¹⁰ˣ⁄₃ + 5 - ⁵ˣ⁄₆ = ⁷⁄₂

हरों को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 6 से गुणा करें: 20x + 30 - 5x = 21

x वाले पदों को संयोजित करें और अचर पद को दूसरी ओर ले जाएं: 15x = 21 - 30 15x = -9

15 से विभाजित करके x का मान ज्ञात करें: x = -⁹⁄₁₅

अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 3 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाएं: x = -⅗

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) है। दिए गए मानों a - b = 2 और ab = 15 को इस सूत्र में रखने पर, व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है:

a³ - b³ = (2)³ + 3(15)(2) a³ - b³ = 8 + 90 a³ - b³ = 98

वैकल्पिक रूप से, समीकरणों के निकाय को हल करके a और b के व्यक्तिगत मान ज्ञात किए जा सकते हैं। ऐसी दो संख्याएँ जिनका गुणनफल 15 और अंतर 2 है, वे 5 और 3 हैं। व्यंजक में a = 5 और b = 3 रखने पर: a³ - b³ = 5³ - 3³ a³ - b³ = 125 - 27 = 98

व्याख्या

माना कि भिन्न x है। प्रश्न के अनुसार, भिन्न और उसके व्युत्क्रम के चार गुने का योग 13/3 है। इसे समीकरण x + 4(1/x) = 13/3 द्वारा दर्शाया गया है। x का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले बाएं पक्ष को सरल करते हैं जिससे हमें (x² + 4)/x = 13/3 प्राप्त होता है। पदों का तिर्यक गुणन (cross-multiplication) करने पर 3(x² + 4) = 13x प्राप्त होता है, जो सरल होकर द्विघात समीकरण 3x² - 13x + 12 = 0 बन जाता है।

इस द्विघात समीकरण को मध्य पद का गुणनखंड करके हल किया जा सकता है: 3x² - 9x - 4x + 12 = 0। पदों का समूह बनाने पर, हमें 3x(x - 3) - 4(x - 3) = 0 प्राप्त होता है, जिसके गुणनखंड (3x - 4)(x - 3) = 0 होते हैं। x का मान ज्ञात करने पर दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: x = 4/3 या x = 3। मूल समीकरण में भिन्न 4/3 का परीक्षण करने पर, हमें 4/3 + 4(3/4) = 4/3 + 3 = (4 + 9)/3 = 13/3 प्राप्त होता है, जो दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

समांतर श्रेणी का n-वां पद सूत्र aₙ = a + (n-1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है। दिया गया है कि तीसरा पद a₃ = -14 और आठवां पद a₈ = 1 है, इन पदों के बीच के अंतर को a₈ - a₃ = (a + 7d) - (a + 2d) = 5d के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 - (-14) = 15 प्राप्त होता है, इसलिए 5d = 15, जिससे d = 3 प्राप्त होता है। 11वें पद a₁₁ की गणना सीधे 8वें पद से संबंध a₁₁ = a₈ + (11 - 8)d का उपयोग करके की जा सकती है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर a₁₁ = 1 + 3(3) = 1 + 9 = 10 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी को दूरी सूत्र d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) द्वारा दर्शाया जाता है। इस सूत्र में दिए गए बिंदुओं (4, 8) और (k, -4) के साथ-साथ दूरी d = 13 को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

13 = √((k - 4)² + (-4 - 8)²)

वर्गमूल को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

13² = (k - 4)² + (-12)² 169 = (k - 4)² + 144

दोनों पक्षों से 144 घटाने पर:

25 = (k - 4)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर k - 4 के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं:

k - 4 = 5 या k - 4 = -5

दोनों मामलों में k के लिए हल करने पर:

k = 9 या k = -1

दिए गए विकल्पों में से, k = -1 मान मेल खाता है।

व्याख्या

दी गई रेखा 2x + 3y = -6 की प्रवणता (ढाल) m₁ इसे प्रवणता-अंतःखंड रूप y = mx + c में परिवर्तित करके ज्ञात की जाती है। समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर 3y = -2x - 6 प्राप्त होता है, जो सरल होकर y = -⅔x - 2 हो जाता है। इसलिए, प्रवणता m₁ का मान -⅔ है।

दो रेखाएँ परस्पर लंबवत होती हैं यदि उनकी प्रवणताओं का गुणनफल -1 हो। मान लीजिए कि अभीष्ट रेखा की प्रवणता m₂ है। संबंध m₁ · m₂ = -1 का उपयोग करने पर, हमें (-⅔) · m₂ = -1 प्राप्त होता है, जिससे m₂ = ³⁄₂ प्राप्त होता है। प्रश्न में यह भी कहा गया है कि रेखा का y-अंतःखंड 3 है, जिसका अर्थ है c = 3।

इन मानों को प्रवणता-अंतःखंड समीकरण y = m₂x + c में प्रतिस्थापित करने पर, हमें y = ³⁄₂x + 3 प्राप्त होता है। इसे सामान्य रूप में बदलने के लिए, हम प्रत्येक पद को 2 से गुणा करते हैं जिससे 2y = 3x + 6 प्राप्त होता है। चरों और अचरों को एक तरफ पुनर्व्यवस्थित करने पर परिणाम 3x - 2y = -6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

Δ ABC में, चूंकि DE, BC के समांतर है, इसलिए कोण-कोण (Angle-Angle) समरूपता कसौटी के अनुसार Δ ADE, Δ ABC के समरूप है। दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

भुजा AB की लंबाई को AD + DB के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दिए गए अनुपात AD:DB = 2:3 के अनुसार, छोटे त्रिभुज की भुजा का बड़े त्रिभुज की भुजा से अनुपात है:

(AD)/(AB) = (AD)/(AD + DB) = (2)/(2 + 3) = ⅖

Δ ADE और Δ ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात इस भुजा अनुपात का वर्ग है:

(Δ ADE का क्षेत्रफल)/(Δ ABC का क्षेत्रफल) = ((AD)/(AB))² = (⅖)² = ⁴⁄₂₅

यह देखते हुए कि Δ ADE का क्षेत्रफल 4 वर्ग सेमी है, हम समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं:

(4)/(Δ ABC का क्षेत्रफल) = ⁴⁄₂₅

Δ ABC के क्षेत्रफल के लिए हल करने पर, Δ ABC का क्षेत्रफल = 25 वर्ग सेमी प्राप्त होता है। चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल बड़े त्रिभुज और छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है:

BDEC का क्षेत्रफल = Δ ABC का क्षेत्रफल - Δ ADE का क्षेत्रफल = 25 - 4 = 21 वर्ग सेमी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलन sin 30° का मान ½ है और csc 45° का मान, जो sin 45° = (1)/(√(2)) का व्युत्क्रम है, √2 है। इन मानों को व्यंजक sin 30° - csc 45° में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

½ - √2

इस घटाव को सरल करने के लिए, 2 का एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए:

½ - 2√2{2} = 1 - 2√2{2}

व्याख्या

समकोण त्रिभुज LMN में, दिया गया है कि ∠ M = 90° और ∠ N = 45° है, इसलिए तीसरा कोण ∠ L भी 45° होना चाहिए क्योंकि एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। इससे यह स्पष्ट होता है कि Δ LMN एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जहाँ भुजाएँ MN और ML लंबाई में बराबर हैं।

∠ N पर कोसाइन (cosine) के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर: cos(N) = (MN)/(NL) cos(45°) = (MN)/(9√(2))

cos(45°) = (1)/(√(2)) का मान रखने पर: (1)/(√(2)) = (MN)/(9√(2)) MN = (9√2)/(√2) MN = 9 सेमी

वैकल्पिक रूप से, एक 45°-45°-90° त्रिभुज में, कर्ण h और एक भुजा s के बीच का संबंध सूत्र h = s√2 द्वारा परिभाषित होता है। यहाँ, NL कर्ण है और MN एक भुजा है। इस प्रकार, MN = (NL)/(√(2)) = (9√2)/(√2) = 9 सेमी।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, cos θ को आधार और कर्ण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि cos θ = 35/37, इसलिए हम आधार B = 35 और कर्ण H = 37 मान सकते हैं। cot θ का मान ज्ञात करने के लिए, जो कि आधार और लंब P का अनुपात है, हम पहले पाइथागोरस प्रमेय: H² = B² + P² का उपयोग करके P का मान ज्ञात करते हैं।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 37² = 35² + P² प्राप्त होता है। P के लिए हल करने पर, P = √(37² - 35²) प्राप्त होता है। सर्वसमिका a² - b² = (a + b)(a - b) का उपयोग करने पर, हमें P = √((37 + 35)(37 - 35)) = √(72 × 2) = √144 = 12 प्राप्त होता है।

cot θ का मान अनुपात (आधार)/(लंब) होता है। B = 35 और P = 12 प्रतिस्थापित करने पर, हमें cot θ = 35/12 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस परीक्षा के लिए ग्राफ में दिए गए आंकड़ों के अनुसार प्रत्येक विभाग में कर्मचारियों की संख्या इस प्रकार है: विभाग A: 350 विभाग B: 700 विभाग C: 450 विभाग D: 600 विभाग E: 650 विभाग F: 400

इन मानों की तुलना करके, हम कर्मचारियों की संख्या के आधार पर विभागों की रैंकिंग निर्धारित कर सकते हैं: विभाग B: 700 (सबसे अधिक) विभाग E: 650 (दूसरा सबसे अधिक) विभाग D: 600 विभाग C: 450 विभाग F: 400 विभाग A: 350

विभाग E में 650 कर्मचारी हैं, जो सभी विभागों में दूसरा सबसे अधिक मान है।

व्याख्या

दिए गए विभागों के आंकड़ों के आधार पर: विभाग A = 17 कर्मचारी विभाग B = 6 कर्मचारी विभाग C = 10 कर्मचारी विभाग D = 28 कर्मचारी विभाग E = 15 कर्मचारी विभाग F = 4 कर्मचारी

यदि 5 कर्मचारियों को विभाग A से विभाग F में स्थानांतरित किया जाता है: विभाग A में कर्मचारियों की नई संख्या = 17 - 5 = 12 विभाग F में कर्मचारियों की नई संख्या = 4 + 5 = 9

विभाग F के लिए नई संख्या (9), विभाग B (6) और विभाग C (10) के कर्मचारियों की संख्या के बीच आती है, क्योंकि 6 < 9 < 10।

व्याख्या

विभागों के लिए कर्मचारियों का वितरण A = 20%, B = 6%, C = 12%, D = 15%, E = 22%, और F = 25% है। जब विभाग G बनाने के लिए विभाग F और D का विलय किया जाता है, तो नए विभाग में कुल कर्मचारियों का 25% + 15% = 40% हिस्सा होता है। विचार करने के लिए शेष विभाग A (20%), B (6%), C (12%), और E (22%) हैं। नई संरचना में सभी विभागों की हिस्सेदारी की तुलना करने पर—A (20%), B (6%), C (12%), E (22%), और G (40%)—यह स्पष्ट है कि विभाग B की प्रतिशत हिस्सेदारी सबसे कम है। चूंकि कर्मचारियों की वास्तविक संख्या की गणना स्थिर कुल कार्यबल के प्रत्यक्ष प्रतिशत के रूप में की जाती है, इसलिए सबसे कम प्रतिशत हिस्सेदारी वाले विभाग में अनिवार्य रूप से कर्मचारियों की संख्या सबसे कम होगी।

व्याख्या

इस परीक्षा पाली के डेटा सेट में निर्दिष्ट कंपनी में कर्मचारियों की कुल संख्या 64 है। कुल व्यय ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

कुल व्यय = कुल कर्मचारी × औसत वेतन

यह देखते हुए कि इन कर्मचारियों का औसत वेतन 8,000 रुपये है, हम सूत्र में मान रखते हैं:

कुल व्यय = 64 × 8,000 = 5,12,000

राशि को रुपये से लाख में बदलने के लिए, हम कुल राशि को 1,00,000 से विभाजित करते हैं:

लाख में व्यय = 5,12,000 / 1,00,000 = 5.12

वेतन के लिए कंपनी द्वारा किया गया कुल व्यय 5.12 लाख रुपये है।

व्याख्या

बाइनरी संख्या 10110 को इसके दशमलव समतुल्य में परिवर्तित करने के लिए, प्रत्येक अंक को 2ⁿ से गुणा किया जाता है, जहाँ n दाईं ओर से 0 से शुरू होने वाली अंक की स्थिति है। परिवर्तन निम्नलिखित सूत्र का अनुसरण करता है:

दशमलव = (dₙ × 2ⁿ) + (dₙ₋₁ × 2ⁿ⁻¹) + … + (d₀ × 2⁰)

बाइनरी मान 10110 के लिए: स्थिति 4 पर बिट 1 है, इसलिए 1 × 2⁴ = 16। स्थिति 3 पर बिट 0 है, इसलिए 0 × 2³ = 0। स्थिति 2 पर बिट 1 है, इसलिए 1 × 2² = 4। स्थिति 1 पर बिट 1 है, इसलिए 1 × 2¹ = 2। स्थिति 0 पर बिट 0 है, इसलिए 0 × 2⁰ = 0।

इन व्यक्तिगत मानों को जोड़ने पर 16 + 0 + 4 + 2 + 0 प्राप्त होता है, जो 22 के बराबर है। दो की घातों का यह योग प्रभावी रूप से आधार-2 (base-2) प्रतिनिधित्व को आधार-10 (base-10) दशमलव प्रणाली में परिवर्तित करता है।

व्याख्या

A, B, और C द्वारा मिलकर कार्य करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम उनके व्यक्तिगत कार्य पूरा करने के समय के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का उपयोग करके कुल कार्य की गणना करते हैं। 12, 16, और 24 का LCM 48 है, इसलिए हम मानते हैं कि कुल कार्य 48 इकाई (units) है।

इसके बाद, हम प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) निर्धारित करते हैं: A की कार्यक्षमता = 48 / 12 = 4 इकाई/दिन B की कार्यक्षमता = 48 / 16 = 3 इकाई/दिन C की कार्यक्षमता = 48 / 24 = 2 इकाई/दिन

एक साथ कार्य करने पर A, B, और C की संयुक्त कार्यक्षमता उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं का योग है: संयुक्त कार्यक्षमता = 4 + 3 + 2 = 9 इकाई/दिन

एक साथ कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय कुल कार्य को संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: समय = 48 / 9 दिन

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 3 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर 16 / 3 दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक वर्ग में, विकर्ण d दो आसन्न भुजाओं द्वारा निर्मित एक समकोण त्रिभुज के कर्ण को दर्शाता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, भुजा और विकर्ण के बीच का संबंध सूत्र d = a√2 द्वारा दिया जाता है। इस समीकरण में दिए गए विकर्ण की लंबाई 10 सेमी प्रतिस्थापित करने पर, हमें 10 = a√2 प्राप्त होता है। भुजा की लंबाई a ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों को √2 से विभाजित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप a = (10)/(√(2)) प्राप्त होता है। इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम अंश और हर को √2 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं, जिससे a = (10√2)/2 प्राप्त होता है। यह सरल होकर 5√2 सेमी हो जाता है।

व्याख्या

1000 रुपये के अंकित मूल्य पर 40% की प्रारंभिक छूट दी जाती है। पहली छूट के बाद मूल्य = 1000 × (1 - ⁴⁰⁄₁₀₀) = 1000 × 0.60 = 600 रुपये। ग्राहक वास्तव में 510 रुपये के अंतिम बिक्री मूल्य का भुगतान करता है। अतिरिक्त छूट की राशि = 600 - 510 = 90 रुपये। अतिरिक्त छूट प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम पहली छूट के बाद के मूल्य से इस छूट के अनुपात की गणना करते हैं: अतिरिक्त छूट % = (⁹⁰⁄₆₀₀) × 100 = ⁹⁰⁄₆ = 15%।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का तृतीयानुपाती एक ऐसा मान c होता है जिससे a:b = b:c हो। इस संबंध को सूत्र c = b²{a} द्वारा दर्शाया जाता है।

दिया गया है a = 9 और b = 45, तृतीयानुपाती की गणना इस प्रकार की जाती है:

c = 45²{9}

c = (45 × 45)/(9)

c = 5 × 45

c = 225

व्याख्या

कक्षा में लड़कों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: 39 - 26 = 13। लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से अनुपात 26 : 13 है, जिसे सरल करने पर 2 : 1 प्राप्त होता है। माना लड़कों का औसत भार x है। भारित औसत सूत्र लागू करने पर:

कक्षा का औसत भार = [(लड़कियों की संख्या × लड़कियों का औसत भार) + (लड़कों की संख्या × लड़कों का औसत भार)] / (लड़कियों की संख्या + लड़कों की संख्या)

2 लड़कियों और 1 लड़के के सरलीकृत अनुपात का उपयोग करने पर:

48 = (2 × 42 + 1 × x)/(2 + 1)

48 = (84 + x)/(3)

144 = 84 + x

x = 144 - 84 = 60

व्याख्या

2880 रुपये के प्रारंभिक विक्रय मूल्य पर 10% की हानि होती है, जिसका अर्थ है कि यह मूल्य क्रय मूल्य के 90% (100% - 10%) को दर्शाता है। 20% का लाभ प्राप्त करने के लिए, लक्षित विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 120% (100% + 20%) होना चाहिए।

आवश्यक विक्रय मूल्य की गणना सीधे प्रतिशत के अनुपात का उपयोग करके की जा सकती है: SPₙₑ_w = SPₒₗ_d × (100 + लाभ%)/(100 - हानि%) SPₙₑ_w = 2880 × ¹²⁰⁄₉₀ SPₙₑ_w = 2880 × ⁴⁄₃ SPₙₑ_w = 960 × 4 = 3840

वैकल्पिक रूप से, ऐकिक नियम का उपयोग करते हुए, यदि 90%, 2880 के बराबर है, तो 1%, 2880 / 90 = 32 के बराबर होगा। इसलिए, 120%, 32 × 120 = 3840 के बराबर होगा।

व्याख्या

मान लीजिए कि इतिहास में प्राप्त अंक H हैं और भूगोल में प्राप्त अंक G हैं। हमें दिया गया है कि H = G + 9 और H = 0.56(H + G)। दूसरी समीकरण में H का मान रखने पर G + 9 = 0.56(G + 9 + G) प्राप्त होता है, जो सरल होकर G + 9 = 0.56(2G + 9) हो जाता है। दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर G + 9 = 1.12G + 5.04 प्राप्त होता है। G का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 9 - 5.04 = 1.12G - G प्राप्त होता है, जिससे 3.96 = 0.12G प्राप्त होता है। 3.96 को 0.12 से विभाजित करने पर G = 33 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, चूंकि इतिहास के अंक कुल अंकों का 56% हैं, इसलिए भूगोल के अंक कुल अंकों का 100% - 56% = 44% होने चाहिए। इतिहास और भूगोल के अंकों के बीच का अंतर कुल अंकों का 56% - 44% = 12% है। हम जानते हैं कि यह अंतर 9 अंक है। इसलिए, कुल अंकों T का 12% मान 9 है, अतः 0.12T = 9, जिससे T = 75 प्राप्त होता है। भूगोल के अंक 75 का 44% हैं, जिसकी गणना 0.44 × 75 = 33 के रूप में की जाती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि एक्सप्रेस ट्रेन और दुरंतो ट्रेन द्वारा 720 किमी की यात्रा करने में लिया गया समय क्रमशः T_E और T_D है। पहली शर्त से, एक्सप्रेस ट्रेन को दुरंतो से 6 घंटे अधिक समय लगता है, इसलिए T_E - T_D = 6।

यदि एक्सप्रेस ट्रेन की गति दोगुनी कर दी जाती है, तो इसके द्वारा लिया गया समय आधा हो जाता है क्योंकि एक निश्चित दूरी के लिए समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है। एक्सप्रेस ट्रेन के लिए नया समय T_E / 2 है। दूसरी शर्त के अनुसार, यह नया समय दुरंतो के समय से 2 घंटे कम है, इसलिए T_D - T_E / 2 = 2।

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर T_D समाप्त हो जाता है: (T_E - T_D) + (T_D - T_E / 2) = 6 + 2 T_E / 2 = 8 T_E = 16 घंटे

पहले समीकरण में T_E = 16 प्रतिस्थापित करने पर: 16 - T_D = 6 T_D = 10 घंटे

दुरंतो ट्रेन की गति की गणना दूरी / समय के रूप में की जाती है: गति_दुरंतो = 720 / 10 = 72 किमी/घंटा

व्याख्या

10% वार्षिक दर पर वार्षिक संयोजन के लिए, 1 वर्ष के ब्याज की गणना सामान्य रूप से 1000 × 10/100 = 100 के रूप में की जाती है।

अर्धवार्षिक संयोजन के लिए, वार्षिक दर को 2 से विभाजित किया जाता है, और समयावधि को 2 से गुणा किया जाता है। इस प्रकार, दर r = 5% प्रति अर्धवर्ष और अवधियों की संख्या n = 2 है। चक्रवृद्धि ब्याज की गणना सूत्र CI = P[(1 + r/100)ⁿ - 1] का उपयोग करके की जाती है। मान रखने पर: CI = 1000 × [(1 + 5/100)² - 1] CI = 1000 × [(21/20)² - 1] CI = 1000 × [441/400 - 1] CI = 1000 × 41/400 = 102.5

वैकल्पिक रूप से, इस अंतर को दूसरी छमाही के दौरान पहली छमाही के ब्याज पर अर्जित ब्याज के रूप में देखा जा सकता है। पहले 6 महीनों का ब्याज 1000 × 5% = 50 है। दूसरे 6 महीनों में अर्जित अतिरिक्त ब्याज 50 × 5% = 2.5 है।

दोनों ब्याजों के बीच का अंतर 102.5 - 100 = 2.5 है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले कोष्ठक के भीतर के पदों का विस्तार करके रैखिक समीकरण 7x - ³⁄₂(4x - 9) = 6.5 को हल करें। कोष्ठक के अंदर प्रत्येक पद को ³⁄₂ से गुणा करें: 7x - (³⁄₂ × 4x) + (³⁄₂ × 9) = 6.5 7x - 6x + 13.5 = 6.5

बाईं ओर x वाले पदों को संयोजित करें: x + 13.5 = 6.5

x को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 13.5 घटाएं: x = 6.5 - 13.5 x = -7

व्याख्या

घनों के योग a³ + b³ के मान की गणना सीधे बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके की जा सकती है। दिए गए मानों a + b = 8 और ab = 15 को सूत्र में रखने पर:

a³ + b³ = (8)³ - 3(15)(8) a³ + b³ = 512 - 360 a³ + b³ = 152

वैकल्पिक रूप से, दी गई शर्तों का निरीक्षण करने पर, वे दो संख्याएँ जिनका योग 8 और गुणनफल 15 है, 3 और 5 हैं। उनके घनों की गणना करने पर 3³ = 27 और 5³ = 125 प्राप्त होता है। उनका योग 27 + 125 = 152 है।

व्याख्या

माना कि संख्या x है। दी गई शर्त से बनने वाला समीकरण x + ⁴⁄ₓ = ¹⁷⁄₂ है। व्यंजक में x = 8 रखने पर: 8 + ⁴⁄₈ = 8 + ½ = (16 + 1)/(2) = ¹⁷⁄₂ वैकल्पिक रूप से, मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण 2x² - 17x + 8 = 0 को हल करने पर: 2x² - 16x - x + 8 = 0 2x(x - 8) - 1(x - 8) = 0 (2x - 1)(x - 8) = 0 हल x = 8 और x = 0.5 हैं।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी में, nवां पद सूत्र aₙ = a + (n-1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a प्रथम पद है और d सार्व अंतर (common difference) है। सार्व अंतर की गणना किन्हीं दो पदों aₘ और aₙ का उपयोग करके d = (aₘ - aₙ)/(m - n) के रूप में की जा सकती है।

दिया गया है a₅ = 7 और a₉ = 13, सार्व अंतर है: d = (13 - 7)/(9 - 5) = ⁶⁄₄ = 1.5

15वां पद ज्ञात करने के लिए, हम 9वें पद को एक संदर्भ बिंदु के रूप में उपयोग कर सकते हैं: a₁₅ = a₉ + (15 - 9)d a₁₅ = 13 + 6(1.5) a₁₅ = 13 + 9 = 22

व्याख्या

जब एक बिंदु (x, y) को एक क्षैतिज रेखा y = k में प्रतिबिंबित किया जाता है, तो प्रतिबिंब का x-निर्देशांक मूल बिंदु के समान ही रहता है, जबकि y-निर्देशांक बदल जाता है। रेखा y = k मूल बिंदु के y-निर्देशांक और उसके प्रतिबिंब के y-निर्देशांक के बीच मध्य बिंदु के रूप में कार्य करती है।

प्रतिबिंबित बिंदु (x', y') का सूत्र x' = x और y' = 2k - y है। दिए गए बिंदु (6, -3) और परावर्तन रेखा y = 2 के लिए, हम सूत्र में x = 6, y = -3, और k = 2 प्रतिस्थापित करते हैं।

x' = 6 y' = 2(2) - (-3) = 4 + 3 = 7

इसलिए, रेखा y = 2 में बिंदु (6, -3) का प्रतिबिंब (6, 7) है।

व्याख्या

विभाजन सूत्र के अनुसार, यदि कोई बिंदु (x, y) बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से m:n के अनुपात में विभाजित करता है, तो निर्देशांक x = (mx₂ + nx₁)/(m+n) और y = (my₂ + ny₁)/(m+n) द्वारा दिए जाते हैं।

दिया गया है कि बिंदु A(4, 2) रेखाखंड BC को 2:5 के अनुपात में विभाजित करता है, जहाँ B (2, 6) है और C (7, y) है, हम y-निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। यहाँ, A का y-निर्देशांक 2 है, m = 2, n = 5, y₁ = 6, और y₂ = y है।

इन मानों को y-निर्देशांक सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 2 = (2(y) + 5(6))/(2+5) 2 = (2y + 30)/(7) 14 = 2y + 30 2y = 14 - 30 2y = -16 y = -8

व्याख्या

कोई रेखा X-अक्ष को उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है जहाँ y-निर्देशांक शून्य होता है। समीकरण 2x - 3y = 6 के लिए इस प्रतिच्छेदन के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, हम दिए गए रैखिक समीकरण में y = 0 रखते हैं:

2x - 3(0) = 6 2x = 6 x = ⁶⁄₂ x = 3

y = 0 रखने पर x = 3 प्राप्त होता है। कार्तिय निर्देशांक प्रणाली (Cartesian coordinate system) में, किसी बिंदु को (x, y) के रूप में दर्शाया जाता है। चूँकि x-निर्देशांक 3 है और y-निर्देशांक 0 है, इसलिए रेखा X-अक्ष को बिंदु (3, 0) पर काटती है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ΔABC में, जहाँ ∠B = 90° है और BD कर्ण AC पर खींचा गया शीर्षलंब है, ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार, शीर्षलंब कर्ण के दोनों खंडों का ज्यामितीय माध्य होता है। शीर्षलंब की लंबाई का सूत्र BD² = AD × DC है। दिए गए खंड AD = 4 सेमी और DC = 9 सेमी हैं, इन मानों को सूत्र में रखने पर BD² = 4 × 9 = 36 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें BD = √36 = 6 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

विशिष्ट कोणों के लिए मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि tan 45° = 1 और csc 60° = (1)/(sin 60°) होता है। चूंकि sin 60° = √3{2} है, इसलिए csc 60° = (2)/(√(3)) होगा।

दिए गए व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: tan 45° + csc 60° = 1 + (2)/(√(3))

इसे सरल करने के लिए, हम एक उभयनिष्ठ हर लेते हैं: √3 + 2{√3}

दिए गए विकल्पों के प्रारूप से मिलान करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं: (√3 + 2) · √3{√3 · √3} = (√3 · √3) + (2 · √3){3} = 3 + 2√3{3}

व्याख्या

समकोण त्रिभुज XYZ में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। चूंकि त्रिभुज Y पर समकोण है, इसलिए ∠ Y = 90° है। ∠ Z = 60° होने पर, कोण योग गुणधर्म का उपयोग करके ∠ X का मान ज्ञात किया जा सकता है: ∠ X = 180° - (∠ Y + ∠ Z) = 180° - (90° + 60°) = 30°। किसी कोण का cosecant उसके sine का व्युत्क्रम होता है। इसलिए, csc X = csc 30° = 1 / sin 30°। चूंकि sin 30° का मान 1/2 है, इसलिए csc 30° = 1 / (1/2) = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

Cosecant और Cotangent से संबंधित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc² θ - cot² θ = 1 है। cot θ का मान ज्ञात करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें cot² θ = csc² θ - 1 प्राप्त होता है। समीकरण में दिए गए मान csc θ = 17/8 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें cot² θ = (17/8)² - 1 = 289/64 - 1 प्राप्त होता है। उभयनिष्ठ हर लेने पर, यह व्यंजक cot² θ = (289 - 64)/(64) = 225/64 हो जाता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें cot θ = 15/8 प्राप्त होता है। इस परिणाम को पाइथागोरस त्रिक (8, 15, 17) का उपयोग करके भी सत्यापित किया जा सकता है, जहाँ यदि कर्ण 17 है और सम्मुख भुजा (लंब) 8 है, तो आसन्न भुजा (आधार) 15 होनी चाहिए। चूंकि cot θ आसन्न भुजा और सम्मुख भुजा का अनुपात होता है, इसलिए यह 15/8 के बराबर है।

व्याख्या

छह फिल्मों के बॉक्स ऑफिस कलेक्शन के आंकड़ों के आधार पर, कमाई इस प्रकार है: फिल्म E ने 500 करोड़, फिल्म C ने 450 करोड़, फिल्म A ने 350 करोड़, फिल्म B ने 250 करोड़, फिल्म F ने 200 करोड़ और फिल्म D ने 150 करोड़ रुपये की कमाई की।

इन आंकड़ों की तुलना करने पर, फिल्म E का कलेक्शन सबसे अधिक है, जबकि फिल्म C, 450 करोड़ रुपये के साथ, दूसरा सबसे अधिक बॉक्स ऑफिस कलेक्शन करने वाली फिल्म है।

व्याख्या

फिल्म कलेक्शन के आंकड़ों के आधार पर, फिल्म B का कलेक्शन 250 इकाई है और फिल्म D का कलेक्शन 150 इकाई है। फिल्म D का कलेक्शन, फिल्म B के कलेक्शन से जितने प्रतिशत कम है, उसकी गणना प्रतिशत कमी के सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रतिशत कमी = (B का कलेक्शन - D का कलेक्शन)/(B का कलेक्शन) × 100

सूत्र में संबंधित मान रखने पर:

प्रतिशत कमी = (250 - 150)/(250) × 100

प्रतिशत कमी = ¹⁰⁰⁄₂₅₀ × 100

प्रतिशत कमी = ⅖ × 100 = 40%

व्याख्या

फिल्मों के कलेक्शन के आंकड़ों के आधार पर, फिल्म C का कलेक्शन 225 करोड़ है। यह ज्ञात करने के लिए कि किन फिल्मों का संयुक्त कलेक्शन इसके बराबर है, हम फिल्म B, D और F के व्यक्तिगत कलेक्शन का योग करते हैं। फिल्म B का कलेक्शन 100 करोड़, फिल्म D का 75 करोड़ और फिल्म F का 50 करोड़ है।

इन मानों का योग करने पर: 100 + 75 + 50 = 225

चूंकि फिल्म B, D और F का संयुक्त कुल योग 225 करोड़ है, इसलिए यह फिल्म C के व्यक्तिगत कलेक्शन के बिल्कुल बराबर है।

व्याख्या

निर्माता के हिस्से की गणना फिल्मों A और E के बॉक्स ऑफिस कलेक्शन का योग करके और उस पर निर्दिष्ट प्रतिशत लागू करके की जाती है। फिल्म A का बॉक्स ऑफिस कलेक्शन 100 करोड़ है और फिल्म E का 200 करोड़ है।

कुल बॉक्स ऑफिस = 100 + 200 = 300 करोड़ निर्माता का हिस्सा = 300 × ⁶⁰⁄₁₀₀ = 180 करोड़

व्याख्या

1359 को 48 से विभाजित करने पर भागफल ज्ञात करने के लिए, हम दीर्घ विभाजन विधि का उपयोग करते हैं। हम सबसे पहले 135 को 48 से विभाजित करते हैं। चूंकि 48 × 2 = 96 और 48 × 3 = 144 है, इसलिए भाजक पहले तीन अंकों में 2 बार जाता है। 135 में से 96 घटाने पर 39 प्राप्त होता है। अगले अंक, 9 को नीचे लाने पर संख्या 399 प्राप्त होती है। इसके बाद, हम 399 को 48 से विभाजित करते हैं। 48 के गुणजों की गणना करने पर, हमें 48 × 8 = 384 और 48 × 9 = 432 प्राप्त होता है। इस प्रकार, 48, 399 में ठीक 8 बार जाता है और शेषफल बचता है। 399 में से 384 घटाने पर 15 बचता है। पूर्ण गणना दर्शाती है कि 1359 = (48 × 28) + 15 है।

व्याख्या

किसी व्यक्ति की कार्य दर, कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय का व्युत्क्रम होती है। दिया गया है कि A द्वारा लिया गया समय 10 दिन और B द्वारा लिया गया समय 50 दिन है, उनकी संबंधित कार्य दरें क्रमशः 1/10 और 1/50 अलमारी प्रति दिन हैं। A, B और C की संयुक्त दर 1/6.25 अलमारी प्रति दिन दी गई है।

दशमलव को भिन्न में बदलने पर, 6.25 = 25/4, इसलिए संयुक्त दर 4/25 है। C की दर ज्ञात करने के लिए, हम कुल संयुक्त दर में से A और B की दरों को घटाते हैं:

C की दर = ⁴⁄₂₅ - (⅒ + ¹⁄₅₀)

50 को सामान्य हर (denominator) के रूप में उपयोग करने पर:

C की दर = ⁸⁄₅₀ - (⁵⁄₅₀ + ¹⁄₅₀) C की दर = ⁸⁄₅₀ - ⁶⁄₅₀ = ²⁄₅₀ = ¹⁄₂₅

C द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय उसकी दर का व्युत्क्रम है, जो कि 25 दिन है।

व्याख्या

एक आयत में, विकर्ण d और भुजाएँ a और b पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से संबंधित होती हैं: d² = a² + b²। दिया गया है कि विकर्ण d = 26 सेमी और एक भुजा a = 10 सेमी है, दूसरी भुजा b की गणना b = √(d² - a²) के रूप में की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, b = √(26² - 10²) = √(676 - 100) = √576 = 24 सेमी। इसे पाइथागोरस त्रिक (5, 12, 13) को 2 के गुणक से गुणा करके भी आसानी से ज्ञात किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप (10, 24, 26) प्राप्त होता है। आयत का क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं का गुणनफल होता है: क्षेत्रफल = a × b = 10 × 24 = 240 वर्ग सेमी।

व्याख्या

मूल्य वृद्धि (मार्कअप) और उसके बाद दी गई छूट के बाद किसी वस्तु के विक्रय मूल्य (SP) की गणना सीधे इस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

SP = CP × (1 + (M)/(100)) × (1 - (D)/(100))

जहाँ CP क्रय मूल्य है, M मूल्य वृद्धि (मार्कअप) प्रतिशत है, और D छूट प्रतिशत है। दिया गया है: CP = 450, M = 80, और D = 20, सूत्र में मान रखने पर:

SP = 450 × (1 + ⁸⁰⁄₁₀₀) × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) SP = 450 × 1.8 × 0.8 SP = 450 × 1.44

450 × 1.44 को तेज़ी से हल करने के लिए, इसे 450 × ¹⁴⁴⁄₁₀₀ के रूप में मानें, जो सरल होकर 4.5 × 144 हो जाता है: 4 × 144 = 576 0.5 × 144 = 72 576 + 72 = 648

वैकल्पिक रूप से, चरण-दर-चरण गणना करने पर: अंकित मूल्य (MP) = 450 + 450 का 80% = 450 + 360 = 810. विक्रय मूल्य (SP) = 810 - 810 का 20% = 810 - 162 = 648।

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रत्येक मान में जोड़ी जाने वाली संख्या x है। परिणामी संख्याओं के समानुपात में होने के लिए, पहली दो संख्याओं का अनुपात अंतिम दो संख्याओं के अनुपात के बराबर होना चाहिए। इस स्थिति को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(35 + x)/(115 + x) = (53 + x)/(165 + x)

विकल्पों से x = 10 का मान समीकरण में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

पहला अनुपात: (35 + 10)/(115 + 10) = ⁴⁵⁄₁₂₅ = (9 × 5)/(25 × 5) = ⁹⁄₂₅

दूसरा अनुपात: (53 + 10)/(165 + 10) = ⁶³⁄₁₇₅ = (9 × 7)/(25 × 7) = ⁹⁄₂₅

चूंकि दोनों अनुपातों को सरल करने पर ⁹⁄₂₅ प्राप्त होता है, इसलिए संख्याएँ 45, 125, 63 और 175 समानुपात में हैं।

वैकल्पिक रूप से, तिर्यक गुणन (cross-multiplying) द्वारा बने रैखिक समीकरण (35 + x)(165 + x) = (115 + x)(53 + x) को हल करने पर 5775 + 200x + x² = 6095 + 168x + x² प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 32x = 320 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप x = 10 मिलता है।

व्याख्या

13वें मैच के बाद का औसत ज्ञात करने के लिए, हम कुल रनों और औसत के बीच के संबंध का उपयोग करते हैं। माना 13वें मैच के बाद का औसत x है। इस मैच से पहले (12 मैचों के बाद) औसत x - 4 था। 13 मैचों के बाद कुल रन, 12 मैचों के बाद के रनों और 13वें मैच के रनों का योग है। इससे समीकरण 13x = 12(x - 4) + 95 प्राप्त होता है। x के लिए हल करने पर 13x = 12x - 48 + 95 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x = 47 आता है। एक त्वरित तरीका वर्तमान स्कोर में से पिछले मैचों पर लागू कुल वृद्धि को घटाना है: 95 - (12 × 4) = 95 - 48 = 47।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत की गणना करने के लिए, हम केलों की एक समान मात्रा के लिए क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) ज्ञात करते हैं। विक्रेता 50 रुपये में 12 केले खरीदता है और 40 रुपये में 5 केले बेचता है। 12 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, जो कि 60 है, हम 60 इकाइयों के लिए मूल्यों की तुलना कर सकते हैं।

60 केलों का क्रय मूल्य = ⁵⁰⁄₁₂ × 60 = 50 × 5 = 250 रुपये

60 केलों का विक्रय मूल्य = ⁴⁰⁄₅ × 60 = 40 × 12 = 480 रुपये

कुल लाभ की गणना SP - CP के रूप में की जाती है, जो कि 480 - 250 = 230 रुपये है।

लाभ प्रतिशत निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है: लाभ % = (कुल लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = ²³⁰⁄₂₅₀ × 100 = ²³⁄₂₅ × 100 = 23 × 4 = 92%

व्याख्या

माना मजदूर B को भुगतान की गई राशि x है। प्रश्न के अनुसार, मजदूर A को B के भुगतान का 150 प्रतिशत भुगतान किया जाता है, जो कि 1.5x है। दोनों मजदूरों के लिए कुल दैनिक भुगतान 750 रुपये है, जिससे रैखिक समीकरण x + 1.5x = 750 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 2.5x = 750 प्राप्त होता है। 750 को 2.5 से विभाजित करके x का मान ज्ञात करने पर, हमें x = (750)/(2.5) = ⁷⁵⁰⁰⁄₂₅ = 300 प्राप्त होता है। इसलिए, मजदूर B को 300 रुपये का भुगतान किया जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि पैदल यात्रा करने में लगा समय t घंटे है और साइकिल से यात्रा करने में लगा समय (8 - t) घंटे है। चूंकि कुल तय की गई दूरी 50 किमी है, हम सूत्र 'दूरी = चाल × समय' के आधार पर निम्नलिखित समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

5t + 7(8 - t) = 50

समीकरण को हल करने पर: 5t + 56 - 7t = 50 -2t = -6 t = 3

पैदल यात्रा करने में लगा समय 3 घंटे है। पैदल तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, इस समय को पैदल चलने की चाल से गुणा करें: 5 किमी/घंटा × 3 घंटे = 15 किमी

वैकल्पिक रूप से, मिश्रण (alligation) की विधि का उपयोग करने पर, पूरी यात्रा की औसत चाल 50 / 8 = 6.25 किमी/घंटा है। पैदल यात्रा में लगे समय और साइकिल से यात्रा में लगे समय का अनुपात (7 - 6.25) : (6.25 - 5) = 0.75 : 1.25 है, जिसे सरल करने पर 3 : 5 प्राप्त होता है। कुल 8 घंटे के समय को 3 : 5 के अनुपात में विभाजित करने पर पैदल यात्रा के लिए 3 घंटे और साइकिल यात्रा के लिए 5 घंटे प्राप्त होते हैं। इस प्रकार, पैदल तय की गई दूरी 5 किमी/घंटा × 3 घंटे = 15 किमी है।

व्याख्या

दो वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की प्रभावी दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है। 8% प्रति वर्ष की दर के लिए, दो वर्षों के लिए प्रभावी दर 8 + 8 + (8 × 8)/(100) = 16.64% है।

प्रश्न के अनुसार, अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज 4160 रुपये है। इसलिए, मूलधन P का 16.64%, 4160 के बराबर है।

P × (16.64)/(100) = 4160

P = (4160 × 100)/(16.64)

P = (416000)/(16.64) = 25000

निवेश की गई राशि 25000 रुपये है।