एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

माना एक अनानास का विक्रय मूल्य (SP) 1 रुपये है। 175 अनानासों का विक्रय मूल्य 175 रुपये है। प्रश्न के अनुसार, लाभ 50 अनानासों के विक्रय मूल्य (SP) के बराबर है, इसलिए कुल लाभ 50 रुपये है।

विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP) और लाभ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: लाभ = विक्रय मूल्य (SP) - क्रय मूल्य (CP)

175 अनानासों के लिए मान रखने पर: 50 = 175 - 175 अनानासों का क्रय मूल्य (CP) 175 अनानासों का क्रय मूल्य (CP) = 175 - 50 = 125

लाभ प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य के आधार पर की जाती है: लाभ % = ( (लाभ)/(क्रय मूल्य) ) × 100 लाभ % = ( ⁵⁰⁄₁₂₅ ) × 100

भिन्न ⁵⁰⁄₁₂₅ को सरल करने पर ⅖ प्राप्त होता है। लाभ % = ⅖ × 100 = 40%

व्याख्या

माना B के अंक 100 हैं। चूंकि A को B से 20% अधिक अंक प्राप्त हुए हैं, इसलिए A के अंक 100 + (100 का 20%) = 120 हैं।

यह गणना करने के लिए कि B के अंक, A के अंकों से कितने प्रतिशत कम हैं, हम हर (denominator) में आधार मान के रूप में A के अंकों का उपयोग करते हैं। उनके अंकों के बीच का अंतर 120 - 100 = 20 है।

प्रतिशत कमी = ( (अंतर)/(A का मान) ) × 100

प्रतिशत कमी = ( ²⁰⁄₁₂₀ ) × 100 = ⅙ × 100 = 16.66%

वैकल्पिक रूप से, किसी भी ऐसी समस्या के लिए जहाँ एक राशि दूसरी राशि से x% अधिक है, तो दूसरी राशि पहली राशि से ( (x)/(100 + x) ) × 100% कम होती है। x = 20 रखने पर ( ²⁰⁄₁₂₀ ) × 100 प्राप्त होता है, जिसका परिणाम 16.66% होता है।

व्याख्या

मान लीजिए दिल्ली और जयपुर के बीच की दूरी D है। पहली ट्रेन 6 घंटे (सुबह 10 बजे से शाम 4 बजे तक) का समय लेती है, इसलिए उसकी चाल v₁ = D/6 है। दूसरी ट्रेन 5 घंटे (दोपहर 12 बजे से शाम 5 बजे तक) का समय लेती है, इसलिए उसकी चाल v₂ = D/5 है।

दोपहर 12 बजे तक, पहली ट्रेन पहले ही 2 घंटे यात्रा कर चुकी होती है, जिससे उसके द्वारा तय की गई दूरी v₁ × 2 = 2D/6 = D/3 है। दोपहर 12 बजे दोनों ट्रेनों के बीच की शेष दूरी D - D/3 = 2D/3 है। चूँकि वे एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं, उनकी सापेक्ष चाल v₁ + v₂ = D/6 + D/5 = 11D/30 है।

दोपहर 12 बजे के बाद मिलने में लगा समय t, शेष दूरी को सापेक्ष चाल से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

t = (2D/3)/(11D/30) = ⅔ × ³⁰⁄₁₁ = ²⁰⁄₁₁ घंटे

इसे घंटे और मिनट में बदलने पर, t = 1 घंटा और 9/11 घंटा। चूँकि 9/11 × 60 ≈ 49 मिनट, ट्रेनें दोपहर 12 बजे के लगभग 1 घंटा और 49 मिनट बाद मिलेंगी, जो कि दोपहर 1:49 बजे है।

व्याख्या

8% प्रति वर्ष की दर से 1 वर्ष के साधारण ब्याज (SI) के लिए, ब्याज SI = (P × 8 × 1)/(100) = 0.08P है। जब चक्रवृद्धि ब्याज (CI) अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो वार्षिक दर को 2 से विभाजित किया जाता है और अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है। इस प्रकार, प्रति अवधि दर r = 4% है और अवधियों की संख्या n = 2 है।

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना इस प्रकार की जाती है: CI = P (1 + ⁴⁄₁₀₀)² - P = P(1.04)² - P = 1.0816P - P = 0.0816P। चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर 0.0816P - 0.08P = 0.0016P है।

यह देखते हुए कि यह अंतर 64 रुपये है, हम समीकरण 0.0016P = 64 बनाते हैं। मूलधन P के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है: P = (64)/(0.0016) = (64 × 10000)/(16)। भिन्न को सरल करने पर 4 × 10000 = 40000 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, दो अवधियों के लिए, CI और SI के बीच का अंतर सूत्र D = P (ʳ⁄₁₀₀)² द्वारा दिया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 64 = P (⁴⁄₁₀₀)², जिससे 64 = P (¹⁶⁄₁₀₀₀₀) प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप P = 40000 होता है।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार, यदि (x - a) और (x - b) किसी द्विघात समीकरण के गुणनखंड हैं, तो समीकरण को (x - a)(x - b) = 0 के रूप में दर्शाया जा सकता है। दिए गए गुणनखंडों (x - 2) और (x + 3) के अनुसार, समीकरण है: (x - 2)(x + 3) = 0

गुणनफल का विस्तार करने पर: x(x + 3) - 2(x + 3) = 0 x² + 3x - 2x - 6 = 0 x² + x - 6 = 0

इस परिणाम की तुलना दिए गए समीकरण x² + k₁x + k₂ = 0 से करने पर, हम संगत पदों के गुणांकों की तुलना करते हैं: x का गुणांक: k₁ = 1 अचर पद: k₂ = -6

वैकल्पिक रूप से, विएटा के सूत्रों (Vieta's formulas) का उपयोग करके जहाँ मूल x = 2 और x = -3 हैं: मूलों का योग: 2 + (-3) = -k₁ ⟹ -1 = -k₁ ⟹ k₁ = 1 मूलों का गुणनफल: 2 × (-3) = k₂ ⟹ k₂ = -6

व्याख्या

दिए गए समीकरण x - y = 7 में, हम व्यंजक (x - 15)³ - (y - 8)³ के घटकों से मिलान करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। समीकरण के दोनों पक्षों से 15 घटाने पर, हमें x - 15 - y = 7 - 15 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x - 15 - y = -8 हो जाता है। दोनों पक्षों में 8 जोड़ने पर (x - 15) - y + 8 = 0 प्राप्त होता है, जिसे (x - 15) - (y - 8) = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

इससे पता चलता है कि (x - 15) = (y - 8) है। मान लीजिए a = x - 15 और b = y - 8 है। चूंकि a = b है, इसलिए a³ = b³ होगा। अतः, व्यंजक a³ - b³ का मान 0 है। वैकल्पिक रूप से, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके, हम ऐसे मान चुन सकते हैं जो शर्त x - y = 7 को संतुष्ट करते हों। यदि हम x = 15 मानते हैं, तो y का मान 8 होना चाहिए। इन मानों को अभीष्ट व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर (15 - 15)³ - (8 - 8)³ = 0³ - 0³ = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x - y - √(18) = -1 और x + y - 3√2 = 1 हैं। चूंकि √(18) = 3√2 है, इसलिए इन्हें इस प्रकार सरल किया जा सकता है: x - y = 3√2 - 1 x + y = 3√2 + 1

पद (x² - y²) की गणना सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके की जाती है: x² - y² = (x + y)(x - y) = (3√2 + 1)(3√2 - 1) = (3√2)² - (1)² = 18 - 1 = 17

xy ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका 4xy = (x + y)² - (x - y)² का उपयोग करते हैं: 4xy = (3√2 + 1)² - (3√2 - 1)² (a + b)² - (a - b)² = 4ab लागू करने पर: 4xy = 4(3√2)(1) = 12√2 4 से भाग देने पर, xy = 3√2 प्राप्त होता है।

इन मानों को अभीष्ट व्यंजक 12xy(x² - y²) में प्रतिस्थापित करने पर: 12 × (3√2) × 17 = 36 × 17 × √2 36 × 17 = 612 परिणाम = 612√2

व्याख्या

दिए गए अनुपातों से, हमारे पास p/q = r/s = t/u = √5 है। इन पदों का वर्ग करने पर, हमें p²/q² = r²/s² = t²/u² = 5 प्राप्त होता है। इससे हम अंश में वर्ग किए गए चरों को हर के चरों के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: p² = 5q², r² = 5s², और t² = 5u²।

दिए गए व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

(3p² + 4r² + 5t²)/(3q² + 4s² + 5u²) = (3(5q²) + 4(5s²) + 5(5u²))/(3q² + 4s² + 5u²)

अंश से उभयनिष्ठ गुणक 5 को बाहर निकालने पर:

(5(3q² + 4s² + 5u²))/(3q² + 4s² + 5u²) = 5

यह परिणाम अनुपातों के सामान्य गुण का अनुसरण करता है जो बताता है कि यदि a/b = c/d = e/f = k है, तो (maⁿ + ncⁿ + peⁿ)/(mbⁿ + ndⁿ + pfⁿ) का मान kⁿ के बराबर होता है। इस प्रश्न में, k = √5 और n = 2 है, जिससे सीधे (√5)² = 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक ही शीर्ष वाले और एक ही सीधी रेखा पर आधार वाले त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके आधारों की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है। त्रिभुज ABD और त्रिभुज ADC दोनों का शीर्ष A समान है और उनके आधार BD और DC सीधी रेखा BC पर स्थित हैं। परिणामस्वरूप, वे शीर्ष A से आधार रेखा BC पर डाले गए समान लंबवत ऊंचाई h को साझा करते हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई का उपयोग करके निकाला जाता है। दिया गया है कि BC = 9 सेमी और DC = 3 सेमी है, आधार BD की लंबाई BD = BC - DC = 9 - 3 = 6 सेमी है।

क्षेत्रफलों का अनुपात है:

(क्षेत्रफल(△ ABD))/(क्षेत्रफल(△ ADC)) = (½ × BD × h)/(½ × DC × h) = (BD)/(DC)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अनुपात = 6/3 = 2/1

यह सरल होकर 2 : 1 हो जाता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण PQ पर खींचे गए शीर्षलंब RS का मान त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। सबसे पहले, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण PQ की लंबाई ज्ञात करें: PQ = √(PR² + RQ²) = √(3² + 4²) = √25 = 5 सेमी।

त्रिभुज PQR के क्षेत्रफल को दो तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है: क्षेत्रफल = ½ × PR × RQ क्षेत्रफल = ½ × PQ × RS

इन दोनों व्यंजकों को बराबर रखने पर: PR × RQ = PQ × RS 3 × 4 = 5 × RS 12 = 5 × RS RS = 12/5 सेमी।

व्याख्या

एक द्वि-विमीय समतल में n भिन्न रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या सूत्र ⁿC₂ = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾⁄₂ द्वारा दी जाती है। यह गणितीय सीमा तब प्राप्त होती है जब कोई भी दो रेखाएँ समानांतर न हों और दो से अधिक रेखाएँ किसी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद न करती हों। सूत्र में n = 4 रखने पर, प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या ⁴C₂ = (4 × 3)/(2) = 6 है। चार रेखाओं का कोई भी विन्यास, चाहे वे समानांतर हों, संगामी हों, या सामान्य स्थिति में हों, उसके परिणामस्वरूप प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या 0 से 6 (दोनों सम्मिलित) के बीच होगी। परिणामस्वरूप, चार रेखाओं के लिए 7 प्रतिच्छेदन बिंदु बनाना ज्यामितीय रूप से असंभव है।

व्याख्या

व्यंजक csc 2A + cot 2A को प्रत्येक पद को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के पदों में व्यक्त करके सरलीकृत किया जा सकता है:

csc 2A + cot 2A = (1)/(sin 2A) + (cos 2A)/(sin 2A) = (1 + cos 2A)/(sin 2A)

त्रिकोणमितीय द्वि-कोण सर्वसमिकाओं (double angle identities) 1 + cos 2A = 2cos² A और sin 2A = 2sin A cos A का उपयोग करके, व्यंजक को निम्नानुसार परिवर्तित किया जाता है:

(1 + cos 2A)/(sin 2A) = 2cos² A{2sin A cos A}

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ गुणनखंड 2cos A को निरस्त करने के बाद, व्यंजक इस प्रकार सरलीकृत हो जाता है:

(cos A)/(sin A) = cot A

व्याख्या

व्यंजक sin³ A + cos³ B + tan³ C - 3sin A cos B tan C बीजगणितीय रूप x³ + y³ + z³ - 3xyz में है। यह सर्वसमिका (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) के समतुल्य है।

दिए गए कोणों के लिए व्यक्तिगत त्रिकोणमितीय पदों का मान ज्ञात करने पर: x = sin A = sin 30° = ½ y = cos B = cos 60° = ½ z = tan C = tan 135° = tan(180° - 45°) = -1

योग x + y + z की गणना करने पर: x + y + z = ½ + ½ + (-1) = 1 - 1 = 0

चूंकि योग x + y + z = 0 है, इसलिए संपूर्ण व्यंजक (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) सरल होकर 0 हो जाता है। अतः, sin³ A + cos³ B + tan³ C - 3sin A cos B tan C का मान 0 है।

व्याख्या

व्यंजक f(θ) = tan² θ + cot² θ + sin² θ + cos² θ + sec² θ + csc² θ को मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। हम जानते हैं कि sin² θ + cos² θ = 1, sec² θ = 1 + tan² θ, और csc² θ = 1 + cot² θ होता है। इन्हें मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

f(θ) = tan² θ + cot² θ + 1 + (1 + tan² θ) + (1 + cot² θ) f(θ) = 3 + 2tan² θ + 2cot² θ f(θ) = 3 + 2(tan² θ + cot² θ)

tan² θ + cot² θ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य (AM-GM) असमिका का उपयोग करते हैं। धनात्मक वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, असमिका यह दर्शाती है कि (a + b)/2 ≥ √(ab) होता है। इसे a = tan² θ और b = cot² θ पर लागू करने पर:

(tan² θ + cot² θ)/2 ≥ √(tan² θ · cot² θ)

चूंकि tan θ · cot θ = 1 है, इसलिए गुणनफल tan² θ · cot² θ भी 1 होगा। यह इस प्रकार सरल हो जाता है:

tan² θ + cot² θ ≥ 2

इस न्यूनतम मान को f(θ) के सरलीकृत व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

f(θ) ≥ 3 + 2(2) = 7

यह न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब tan² θ = cot² θ हो, जो कि θ = 45° होने पर होता है।

व्याख्या

श्री राघव के लिए शिक्षण घंटों का वितरण दर्शाता है कि कुल समय का 13 प्रतिशत बीजगणित के लिए है, जबकि आधुनिक गणित के लिए 8 प्रतिशत है। घंटों की संख्या में अंतर ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले उनके प्रतिशत हिस्से में अंतर की गणना करें:

प्रतिशत अंतर = 13% - 8% = 5%

अब, इस प्रतिशत अंतर को कुल 500 घंटों की शिक्षण अवधि पर लागू करें:

घंटों में अंतर = ⁵⁄₁₀₀ × 500 = 25

यह गणना दर्शाती है कि श्री राघव ने आधुनिक गणित की तुलना में बीजगणित 25 घंटे अधिक पढ़ाया।

व्याख्या

इस परीक्षा शिफ्ट के शिक्षण कार्यक्रम में, ज्यामिति के लिए आवंटित समय कुल अवधि का 6% है और अंकगणित के लिए समय 46% है।

यह देखते हुए कि ज्यामिति के लिए शिक्षण समय 36 घंटे है, कुल समय के 1% का मान इस प्रकार निकाला जाता है: 1% = (36 घंटे)/(6) = 6 घंटे

इसका उपयोग करते हुए, अंकगणित अनुभाग पर बिताया गया कुल समय है: अंकगणित का समय = 46 × 6 = 276 घंटे

प्रश्न में निर्दिष्ट किया गया है कि अनुपात विषय को पढ़ाने में लिया गया समय अंकगणित पर बिताए गए कुल समय का एक-चौथाई है: अनुपात का समय = ²⁷⁶⁄₄ = 69 घंटे

व्याख्या

विषयों के शिक्षण घंटों का प्रतिशत वितरण इस प्रकार है: डेटा इंटरप्रिटेशन 15%, आधुनिक गणित 9%, संख्या पद्धति 28% और ज्यामिति 30% है। डेटा इंटरप्रिटेशन और आधुनिक गणित का संयुक्त प्रतिशत 15% + 9% = 24% है। यह देखते हुए कि यह 24%, शिक्षण समय के 96 घंटों को दर्शाता है, हम कुल घंटों को प्रतिशत से विभाजित करके 1% के लिए समय निर्धारित कर सकते हैं: 96 / 24 = प्रति 1% के लिए 4 घंटे। संख्या पद्धति और ज्यामिति का संयुक्त प्रतिशत 28% + 30% = 58% है। इन दोनों विषयों के लिए कुल घंटे ज्ञात करने के लिए, हम उनके संयुक्त प्रतिशत को 1% के मान से गुणा करते हैं: 58 × 4 = 232।

व्याख्या

मूल पाई चार्ट में सभी विषयों के लिए समय का कुल प्रतिशत 100% है। आंकड़ों के आधार पर, अंकगणित (Arithmetic) को आवंटित समय 46% है। इसलिए, अंकगणित को छोड़कर अन्य सभी विषयों को आवंटित कुल समय है: 100% - 46% = 54%

नए विषय, समस्या समाधान (Problem Solving) को समर्पित समय, अंकगणित को छोड़कर अन्य सभी विषयों के समय का 10% है: 54% का 10% = 0.10 × 54 = 5.4%

नए पाई चार्ट में समस्या समाधान द्वारा बनाए गए केंद्रीय कोण को ज्ञात करने के लिए, हम इसके प्रतिशत हिस्से को 360 डिग्री (एक वृत्त का कुल कोण) से गुणा करते हैं: केंद्रीय कोण = (5.4)/(100) × 360° केंद्रीय कोण = 0.054 × 360° = 19.44°

व्याख्या

700 से 950 तक की उन संख्याओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जो न तो 3 से और न ही 7 से विभाज्य हैं, हम समावेशन-अपवर्जन के सिद्धांत (principle of inclusion-exclusion) का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, इस सीमा में कुल पदों की संख्या की गणना करें: कुल संख्याएँ N = (950 - 700) + 1 = 251

इसके बाद, 3 से विभाज्य संख्याओं की संख्या (n(3)), 7 से विभाज्य संख्याओं की संख्या (n(7)), और 3 तथा 7 दोनों से विभाज्य संख्याओं की संख्या (अर्थात, LCM(3, 7) = 21 से विभाज्य) ज्ञात करें। n(3) = ⌊ 950/3 ⌋ - ⌊ 699/3 ⌋ = 316 - 233 = 83 n(7) = ⌊ 950/7 ⌋ - ⌊ 699/7 ⌋ = 135 - 99 = 36 n(21) = ⌊ 950/21 ⌋ - ⌊ 699/21 ⌋ = 45 - 33 = 12

3 या 7 में से किसी से भी विभाज्य होने वाले मानों की संख्या संघ (union) सूत्र द्वारा दी गई है: n(3 ∪ 7) = n(3) + n(7) - n(21) n(3 ∪ 7) = 83 + 36 - 12 = 107

न तो 3 और न ही 7 से विभाज्य होने वाले मानों की संख्या, कुल संख्या में से 3 या 7 से विभाज्य होने वाली संख्याओं को घटाकर प्राप्त होती है: परिणाम = N - n(3 ∪ 7) परिणाम = 251 - 107 = 144

व्याख्या

माना कुल कार्य 20 और 25 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 100 इकाई है। चूंकि A कार्य को 20 दिनों में पूरा करता है, इसलिए A की कार्यक्षमता 100 / 20 = 5 इकाई प्रति दिन है। चूंकि B उसी कार्य को 25 दिनों में पूरा करता है, इसलिए B की कार्यक्षमता 100 / 25 = 4 इकाई प्रति दिन है। एक साथ कार्य करने पर, उनकी संयुक्त दैनिक कार्यक्षमता 5 + 4 = 9 इकाई प्रति दिन है। 3 दिनों में, दोनों द्वारा पूरा किया गया कुल कार्य 3 × 9 = 27 इकाई है। पूरे किए गए कुल कार्य का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (किया गया कार्य / कुल कार्य) × 100 का उपयोग करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर (27 / 100) × 100 = 27% प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समलंब का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = ½ × (a + b) × h का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ a और b दो समानांतर भुजाओं की लंबाई हैं और h उनके बीच की लंबवत दूरी (ऊंचाई) है।

समानांतर भुजाओं की लंबाई 18 मीटर और 24 मीटर तथा ऊंचाई 12 मीटर दी गई है, इसलिए क्षेत्रफल है:

क्षेत्रफल = ½ × (18 + 24) × 12

क्षेत्रफल = ½ × 42 × 12

क्षेत्रफल = 21 × 12 = 252 मीटर²

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए शुद्ध छूट की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: शुद्ध छूट = (x + y - ˣʸ⁄₁₀₀)%

दी गई क्रमिक छूटें 50% और 10% हैं, मान लीजिए x = 50 और y = 10। इन मानों को सूत्र में रखने पर: शुद्ध छूट = (50 + 10 - (50 × 10)/(100))% शुद्ध छूट = (60 - ⁵⁰⁰⁄₁₀₀)% शुद्ध छूट = (60 - 5)% शुद्ध छूट = 55%

इसे प्रारंभिक मूल्य 100 मानकर भी सत्यापित किया जा सकता है। 50% की पहली छूट के बाद, मूल्य 50 हो जाता है। शेष 50 पर 10% की दूसरी छूट लागू करने से मूल्य में 5 की और कमी होती है। अंतिम मूल्य 50 - 5 = 45 है। मूल मूल्य से कुल कमी 100 - 45 = 55 है, जो 55% की शुद्ध छूट को दर्शाता है।

व्याख्या

अंतिम अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले प्रत्येक मिश्रण में कुल भागों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करके प्रत्येक बोतल की क्षमता को समान करते हैं। तीनों मिश्रणों के लिए कुल भाग 2 + 5 = 7, 3 + 4 = 7, और 4 + 5 = 9 हैं। LCM(7, 7, 9) = 63 है। हम मानते हैं कि प्रत्येक बोतल की क्षमता 63 इकाई है।

पहली बोतल में, दूध की मात्रा (2 / 7) × 63 = 18 इकाई है और पानी की मात्रा (5 / 7) × 63 = 45 इकाई है। दूसरी बोतल में, दूध की मात्रा (3 / 7) × 63 = 27 इकाई है और पानी की मात्रा (4 / 7) × 63 = 36 इकाई है। तीसरी बोतल में, दूध की मात्रा (4 / 9) × 63 = 28 इकाई है और पानी की मात्रा (5 / 9) × 63 = 35 इकाई है।

जब इन्हें एक बड़ी बोतल में खाली किया जाता है, तो दूध की कुल मात्रा 18 + 27 + 28 = 73 इकाई होती है। पानी की कुल मात्रा 45 + 36 + 35 = 116 इकाई होती है। बड़ी बोतल में दूध और पानी का परिणामी अनुपात 73 : 116 है।

व्याख्या

परिवार के 6 सदस्यों की कुल आयु संख्या को औसत से गुणा करके प्राप्त की जाती है: 6 × 20 = 120 वर्ष। जब नौकर शामिल होता है, तो लोगों की कुल संख्या 7 हो जाती है। औसत आयु में 25% की वृद्धि होती है, इसलिए नया औसत 20 × 1.25 = 25 वर्ष है। 7 लोगों की कुल आयु 7 × 25 = 175 वर्ष है। नौकर की आयु दोनों कुल योगों के बीच का अंतर है: 175 - 120 = 55 वर्ष।

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, नौकर की आयु में स्वयं के लिए नया औसत और साथ ही मौजूदा 6 सदस्यों के लिए उसके द्वारा की गई कुल वृद्धि शामिल होनी चाहिए। औसत में वृद्धि 25 - 20 = 5 वर्ष है। इस प्रकार, नौकर की आयु = नया औसत + (मूल संख्या × वृद्धि) = 25 + (6 × 5) = 25 + 30 = 55 वर्ष।

व्याख्या

माना प्रारंभिक क्रय मूल्य (CP₁) 100 है। चूंकि लाभ, क्रय मूल्य का 190% है, इसलिए प्रारंभिक लाभ 190 है। विक्रय मूल्य (SP) का निर्धारण क्रय मूल्य और लाभ के योग द्वारा किया जाता है: SP = CP₁ + लाभ = 100 + 190 = 290

प्रश्न के अनुसार, क्रय मूल्य में 10% की वृद्धि होती है, जबकि विक्रय मूल्य अपरिवर्तित रहता है। नया क्रय मूल्य (CP₂) है: CP₂ = 100 × (1 + 0.10) = 110

इन परिस्थितियों में अर्जित नया लाभ है: नया लाभ = SP - CP₂ = 290 - 110 = 180

यह ज्ञात करने के लिए कि नया लाभ, विक्रय मूल्य का कितना प्रतिशत है, हम निम्नलिखित अनुपात का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = ( (नया लाभ)/(SP) ) × 100 प्रतिशत = ( ¹⁸⁰⁄₂₉₀ ) × 100 = ¹⁸⁰⁰⁄₂₉ ≈ 62.06%

विकल्पों के अनुसार निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करने पर, लाभ विक्रय मूल्य का लगभग 62% है।

व्याख्या

छात्र A द्वारा प्राप्त अंक छात्र B से 18% अधिक हैं। दिया गया है कि B को 220 अंक मिले हैं, इसलिए A के अंकों की गणना इस प्रकार की जाती है: 220 × (1 + ¹⁸⁄₁₀₀) = 220 × 1.18 = 259.6।

छात्र A के अंक छात्र C के अंकों से 12% कम भी हैं। माना C, छात्र C द्वारा प्राप्त अंकों को दर्शाता है। इस संबंध को A = C × (1 - ¹²⁄₁₀₀) के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो सरल होकर 259.6 = 0.88 × C हो जाता है।

C का मान ज्ञात करने के लिए, A के अंकों को 0.88 से विभाजित करें: C = (259.6)/(0.88) = ²⁵⁹⁶⁰⁄₈₈। अंश और हर दोनों को 8 से विभाजित करने पर ³²⁴⁵⁄₁₁ प्राप्त होता है, जिसका परिणाम 295 है।

व्याख्या

व्यक्ति A सुबह 9:00 बजे से सुबह 11:00 बजे तक 2 घंटे अकेले यात्रा करता है। इस अवधि में A द्वारा तय की गई दूरी 25 किमी/घंटा × 2 घंटे = 50 किमी है। सुबह 11:00 बजे, जब व्यक्ति B चलना शुरू करता है, तो A और B के बीच बची हुई दूरी 260 किमी - 50 किमी = 210 किमी है। चूंकि दोनों एक-दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है: सापेक्ष गति = 25 किमी/घंटा + 10 किमी/घंटा = 35 किमी/घंटा। सुबह 11:00 बजे के बाद उनके मिलने में लगने वाले समय की गणना इस प्रकार की जाती है: समय = (शेष दूरी)/(सापेक्ष गति) = ²¹⁰⁄₃₅ = 6 घंटे। सुबह 11:00 बजे के प्रस्थान समय में 6 घंटे जोड़ने पर शाम के 5:00 बजे (5:00 अपराह्न) प्राप्त होता है।

व्याख्या

मूलधन P, मिश्रधन A, ब्याज की वार्षिक दर r, और वर्षों में समय n के बीच का संबंध सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ द्वारा दिया गया है। दिए गए मानों P = 2500, A = 2970.25, और n = 2 को सूत्र में रखने पर:

2970.25 = 2500(1 + ʳ⁄₁₀₀)²

दर (rate) के पद को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

(1 + ʳ⁄₁₀₀)² = (2970.25)/(2500)

(1 + ʳ⁄₁₀₀)² = ²⁹⁷⁰²⁵⁄₂₅₀₀₀₀

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

1 + ʳ⁄₁₀₀ = √(²⁹⁷⁰²⁵⁄₂₅₀₀₀₀)

1 + ʳ⁄₁₀₀ = ⁵⁴⁵⁄₅₀₀

1 + ʳ⁄₁₀₀ = 1.09

ʳ⁄₁₀₀ = 0.09

r = 9

वैकल्पिक रूप से, अर्जित कुल ब्याज 2970.25 - 2500 = 470.25 है। 2 वर्षों में कुल प्रतिशत वृद्धि (470.25 / 2500) × 100 = 18.81% है। चक्रवृद्धि ब्याज दर r के लिए, 2 वर्षों में प्रभावी दर r + r + (r² / 100) होती है। r = 9 रखने पर, हमें 9 + 9 + 0.81 = 18.81% प्राप्त होता है, जो परिणाम की पुष्टि करता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)((x + y + z)² - 3(xy + yz + zx)) है। पहले दिए गए समीकरण (1/x) + (1/y) + (1/z) = 0 से, हम उभयनिष्ठ हर (common denominator) xyz ज्ञात करते हैं जिससे हमें (yz + xz + xy) / xyz = 0 प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि xy + yz + zx = 0 है।

सर्वसमिका में ज्ञात मानों x + y + z = 9 और xy + yz + zx = 0 को प्रतिस्थापित करने पर, गणना 9 × (9² - 3 × 0) हो जाती है। इसे सरल करने पर 9 × 81 प्राप्त होता है, जो 729 के बराबर है।

व्याख्या

x³ - (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करते हैं। दिए गए समीकरण x⁴ + (1)/(x⁴) = 34 से शुरू करते हुए, पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हम दोनों पक्षों में 2 जोड़ते हैं: x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 = 36 (x² + (1)/(x²))² = 36 x² + (1)/(x²) = 6

इसके बाद, x - ¹⁄ₓ का वर्ग ज्ञात करने के लिए हम इस परिणाम के दोनों पक्षों से 2 घटाते हैं: x² + (1)/(x²) - 2 = 6 - 2 (x - ¹⁄ₓ)² = 4 x - ¹⁄ₓ = 2

घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) का उपयोग करते हुए, हम a = x और b = ¹⁄ₓ प्रतिस्थापित करते हैं: x³ - (1)/(x³) = (x - ¹⁄ₓ)³ + 3(x)(¹⁄ₓ)(x - ¹⁄ₓ) x³ - (1)/(x³) = (x - ¹⁄ₓ)³ + 3(x - ¹⁄ₓ)

पहले प्राप्त किए गए मान x - ¹⁄ₓ = 2 को प्रतिस्थापित करने पर: x³ - (1)/(x³) = (2)³ + 3(2) x³ - (1)/(x³) = 8 + 6 = 14

व्याख्या

दिए गए समीकरणों को x + y = 1 और x² + y² = 2 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करते हुए, हम समीकरणों से मानों को सीधे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे (1)² = 2 + 2xy प्राप्त होता है। समीकरण को सरल करने पर 1 = 2 + 2xy प्राप्त होता है, जिससे 2xy = 1 - 2 प्राप्त होता है। इसलिए, 2xy = -1, और गुणनफल के लिए हल करने पर xy = -1/2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + (1)/(x + 7) = 0 में, व्यंजक को सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों में 7 जोड़ें: (x + 7) + (1)/(x + 7) = 7

माना k = x + 7, जिससे प्राप्त होता है x = k - 7। इन्हें वांछित व्यंजक x - (1)/(x + 7) में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (k - 7) - ¹⁄ₖ = (k - ¹⁄ₖ) - 7

k - ¹⁄ₖ का मान ज्ञात करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिका (k - ¹⁄ₖ)² = (k + ¹⁄ₖ)² - 4 का उपयोग करें। k + ¹⁄ₖ = 7 प्रतिस्थापित करने पर: (k - ¹⁄ₖ)² = 7² - 4 = 49 - 4 = 45 k - ¹⁄ₖ = √(45) = 3√5

k - ¹⁄ₖ के मान को वापस व्यंजक (k - ¹⁄ₖ) - 7 में प्रतिस्थापित करने पर: 3√5 - 7

व्याख्या

चूंकि PQ वृत्त का व्यास है, इसलिए इसके द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण एक समकोण होता है। इसलिए, त्रिभुज PQR में, ∠ PRQ = 90° है। एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ PQR = 180° - (∠ PRQ + ∠ RPQ) = 180° - (90° + 38°) = 52° है। एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। चक्रीय चतुर्भुज PQRS के लिए, सम्मुख कोण ∠ PSR और ∠ PQR हैं। इस प्रकार, ∠ PSR = 180° - ∠ PQR = 180° - 52° = 128° है।

व्याख्या

समचतुर्भुज की भुजा s = 6 सेमी है और छोटा विकर्ण d₁ = 6 सेमी है। चूंकि भुजा की लंबाई और विकर्ण बराबर हैं, इसलिए समचतुर्भुज अपने आधारों पर जुड़े दो समबाहु त्रिभुजों से बना है। समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिससे आधे-विकर्णों और भुजा द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है:

(d₁{2})² + (d₂{2})² = s²

ज्ञात मानों s = 6 और d₁ = 6 को प्रतिस्थापित करने पर:

3² + (d₂{2})² = 6² 9 + (d₂{2})² = 36 (d₂{2})² = 27 d₂{2} = √(27) = 3√3 d₂ = 6√3 सेमी

अभीष्ट समबाहु त्रिभुज की भुजा समचतुर्भुज के बड़े विकर्ण के बराबर है, इसलिए a = d₂ = 6√3 सेमी। एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

क्षेत्रफल = √3{4} a² क्षेत्रफल = √3{4} × (6√3)² क्षेत्रफल = √3{4} × (36 × 3) क्षेत्रफल = √3{4} × 108 क्षेत्रफल = 27√3 सेमी²

व्याख्या

व्यंजक (sec A + cos A)(sec A - cos A) बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)(x - y) = x² - y² का अनुसरण करता है। इसे लागू करने पर, व्यंजक सरल होकर sec² A - cos² A हो जाता है।

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं sec² A = 1 + tan² A और cos² A = 1 - sin² A का उपयोग करते हुए, हम इन्हें सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: (1 + tan² A) - (1 - sin² A)

कोष्ठक खोलने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 + tan² A - 1 + sin² A = tan² A + sin² A

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय फलनों को उनके साइन (sine) और कोसाइन (cosine) समकक्षों में परिवर्तित करते हैं। हर (denominator) cot A + tan A को निम्नानुसार सरल किया जाता है:

cot A + tan A = (cos A)/(sin A) + (sin A)/(cos A)

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हम एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं:

(cos² A + sin² A)/(sin A cos A)

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर, हर इस प्रकार सरल हो जाता है:

(1)/(sin A cos A)

अब, हम इसे वापस मूल भिन्न (cot A)/(cot A + tan A) में प्रतिस्थापित करते हैं:

(cot A)/(1){sin A cos A} = cot A × (sin A cos A)

समीकरण में cot A = (cos A)/(sin A) प्रतिस्थापित करने पर:

(cos A)/(sin A) × sin A cos A = cos² A

सर्वसमिका cos² A = 1 - sin² A का उपयोग करने पर, हमें सरलीकृत मान 1 - sin² A प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक (tan A)/(1 - cot A) + (cot A)/(1 - tan A) को cot A = (1)/(tan A) प्रतिस्थापित करके सरलीकृत किया जा सकता है। इससे प्राप्त होता है:

(tan A)/(1 - 1){tan A} + (1)/(tan A){1 - tan A} = (tan² A)/(tan A - 1) + (1)/(tan A(1 - tan A))

tan A(tan A - 1) को उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेने पर, व्यंजक बन जाता है:

(tan³ A - 1)/(tan A(tan A - 1)) = ((tan A - 1)(tan² A + tan A + 1))/(tan A(tan A - 1)) = (tan² A + tan A + 1)/(tan A)

आगे सरलीकृत करने पर, हमें tan A + 1 + cot A प्राप्त होता है। सर्वसमिका (identity) tan A + cot A = (sin A)/(cos A) + (cos A)/(sin A) = (sin² A + cos² A)/(sin A cos A) = (1)/(sin A cos A) का उपयोग करने पर, और अंश तथा हर को 2 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:

tan A + cot A = (2)/(2 sin A cos A) = (2)/(sin 2A)

इसे हमारे सरलीकृत व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि (tan A)/(1 - cot A) + (cot A)/(1 - tan A) = (2)/(sin 2A) + 1 है। इसलिए, मूल समीकरण ((tan A)/(1 - cot A) + (cot A)/(1 - tan A)) - (2)/(sin 2A) का मान 1 है।

व्याख्या

शहर 4 में साक्षर लोगों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम प्रश्न में दिए गए सूत्र का उपयोग करते हैं:

साक्षर लोग = (साक्षर लोगों का प्रतिशत × कुल जनसंख्या)/(100)

तालिका से, शहर 4 में साक्षर लोगों का प्रतिशत 63% है। शहर 4 की कुल जनसंख्या 600,000 दी गई है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

शहर 4 में साक्षर लोग = ⁶³⁄₁₀₀ × 600,000

शहर 4 में साक्षर लोग = 63 × 6,000 = 378,000

व्याख्या

शहर 2 के लिए, कुल जनसंख्या 220,000 है और साक्षरता दर 85% है। साक्षर लोगों की संख्या 220,000 × ⁸⁵⁄₁₀₀ = 187,000 है। साक्षर पुरुषों का महिलाओं से अनुपात 7 : 4 है। इस प्रकार, शहर 2 में साक्षर पुरुषों की संख्या है: साक्षर पुरुष (शहर 2) = 187,000 × ⁷⁄₇₊₄ = 187,000 × ⁷⁄₁₁ = 17,000 × 7 = 119,000

शहर 6 के लिए, कुल जनसंख्या 200,000 है और साक्षरता दर 58% है। साक्षर लोगों की संख्या 200,000 × ⁵⁸⁄₁₀₀ = 116,000 है। साक्षर पुरुषों का महिलाओं से अनुपात 2 : 3 है। इस प्रकार, शहर 6 में साक्षर महिलाओं की संख्या है: साक्षर महिलाएँ (शहर 6) = 116,000 × ³⁄₂₊₃ = 116,000 × ⅗ = 23,200 × 3 = 69,600

शहर 2 के साक्षर पुरुषों का शहर 6 की साक्षर महिलाओं से अभीष्ट अनुपात है: अनुपात = 119,000 : 69,600 अनुपात = 1,190 : 696 दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर: अनुपात = 595 : 348

व्याख्या

शहर 5 में साक्षर पुरुषों और महिलाओं का अनुपात 9 : 7 है। यह देखते हुए कि साक्षर महिलाओं की संख्या 259,210 है, हम साक्षर जनसंख्या में महिलाओं के अनुपात का उपयोग करके शहर 5 में साक्षर लोगों की कुल संख्या (L) ज्ञात कर सकते हैं:

L × (7)/(9 + 7) = 259,210 L × ⁷⁄₁₆ = 259,210 L = (259,210 × 16)/(7) = 37,030 × 16 = 592,480

शहर 5 की साक्षरता दर कुल जनसंख्या (P) का 92% है। कुल जनसंख्या ज्ञात करने के लिए हम दिए गए सूत्र का उपयोग करते हैं:

(L)/(P) × 100 = 92 (592,480)/(P) = 0.92 P = (592,480)/(0.92) = 644,000

व्याख्या

प्रत्येक शहर में साक्षर लोगों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल जनसंख्या को साक्षरता के प्रतिशत से गुणा करते हैं:

शहर 1 में साक्षर लोगों की संख्या = 250,000 × 0.80 = 200,000 शहर 2 में साक्षर लोगों की संख्या = 200,000 × 0.85 = 170,000 शहर 3 में साक्षर लोगों की संख्या = 220,000 × 0.78 = 171,600 शहर 4 में साक्षर लोगों की संख्या = 300,000 × 0.63 = 189,000 शहर 5 में साक्षर लोगों की संख्या = 150,000 × 0.92 = 138,000 शहर 6 में साक्षर लोगों की संख्या = 400,000 × 0.58 = 232,000

इन मानों की तुलना करने पर, साक्षर लोगों की संख्या का अवरोही क्रम इस प्रकार है: 232,000 > 200,000 > 189,000 > 171,600 > 170,000 > 138,000

यह इस अनुक्रम के अनुरूप है: शहर 6 > शहर 1 > शहर 4 > शहर 3 > शहर 2 > शहर 5।

व्याख्या

121 से 1346 तक की संख्याओं को टाइप करने के लिए आवश्यक कुंजियों को दबाने की कुल संख्या की गणना निर्दिष्ट सीमा के भीतर 3-अंकीय और 4-अंकीय संख्याओं की संख्या निर्धारित करके की जाती है।

3-अंकीय संख्याओं की सीमा 121 से शुरू होती है और 999 पर समाप्त होती है। इस खंड में संख्याओं की कुल संख्या 999 - 121 + 1 = 879 है। चूंकि इनमें से प्रत्येक संख्या के लिए कुंजियों को 3 बार दबाने की आवश्यकता होती है, इसलिए इस खंड के लिए कुल बार दबाने की संख्या 879 × 3 = 2637 है।

4-अंकीय संख्याओं की सीमा 1000 से शुरू होती है और 1346 पर समाप्त होती है। इस खंड में संख्याओं की कुल संख्या 1346 - 1000 + 1 = 347 है। इनमें से प्रत्येक संख्या के लिए कुंजियों को 4 बार दबाने की आवश्यकता होती है, जिसके परिणामस्वरूप 347 × 4 = 1388 बार कुंजियाँ दबानी होंगी।

दोनों खंडों में कुंजियों को दबाने की संख्या को जोड़ने पर, हमें 2637 + 1388 = 4025 प्राप्त होता है।

व्याख्या

श्रम से संबंधित भुगतान की समस्याओं में, मजदूरी प्रत्येक व्यक्ति द्वारा किए गए कार्य के अनुपात में वितरित की जाती है। कुल कार्य को 1 इकाई के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि सैंडी और मैंडी कार्य का 8/13 भाग पूरा करते हैं, इसलिए एंडी द्वारा किए गए शेष कार्य की गणना उनके संयुक्त कार्य को कुल कार्य में से घटाकर की जाती है:

एंडी द्वारा किया गया कार्य = 1 - 8/13 = 5/13

कार्य के लिए कुल भुगतान 2600 रुपये है। एंडी का हिस्सा पूरे कार्य के सापेक्ष उसके द्वारा किए गए कार्य के हिस्से द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एंडी का हिस्सा = 5/13 × 2600

2600 को 13 से विभाजित करने पर 200 प्राप्त होता है। इस मान को 5 से गुणा करने पर अंतिम हिस्सा प्राप्त होता है:

5 × 200 = 1000

व्याख्या

प्रारंभिक ठोस शंकु के आयतन की गणना सूत्र V_cone = ⅓ π r₁² h₁ का उपयोग करके की जाती है। दी गई त्रिज्या 8 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी का मान रखने पर, आयतन V_cone = ⅓ × π × 8² × 24 = 512π घन सेमी प्राप्त होता है।

अंतिम ठोस बेलन का आयतन सूत्र V_cylinder = π r₂² h₂ द्वारा निर्धारित किया जाता है। 6 सेमी त्रिज्या और 6 सेमी ऊँचाई दिए जाने पर, आयतन V_cylinder = π × 6² × 6 = 216π घन सेमी प्राप्त होता है।

प्रक्रिया में व्यर्थ हुई सामग्री शंकु के आयतन और बेलन के आयतन के बीच का अंतर है: व्यर्थ आयतन = 512π - 216π = 296π घन सेमी।

मूल सामग्री के सापेक्ष व्यर्थ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सूत्र है: व्यर्थ % = (व्यर्थ आयतन)/(प्रारंभिक आयतन) × 100। मानों को प्रतिस्थापित करने पर (296π)/(512π) × 100 = ³⁷⁄₆₄ × 100 = 57.8125% प्राप्त होता है, जो लगभग 57.8% है।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए शुद्ध छूट की गणना सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। यह देखते हुए कि छूट 20% और 30% हैं, इन मानों को सूत्र में रखने पर 20 + 30 - (20 × 30)/(100) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 50 - ⁶⁰⁰⁄₁₀₀ प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 50 - 6 = 44% आता है।

वैकल्पिक रूप से, 100-आधार विधि का उपयोग करते हुए, यदि प्रारंभिक मूल्य 100 है, तो 20% की छूट मूल्य को घटाकर 80 कर देती है। इसके बाद 80 पर 30% की छूट की गणना 0.30 × 80 = 24 के रूप में की जाती है। इसे 80 में से घटाने पर अंतिम मूल्य 56 प्राप्त होता है। मूल मूल्य 100 से घटकर 56 होने पर कुल कमी 44 है, जो 44% की शुद्ध छूट के अनुरूप है।

व्याख्या

मिश्रण का अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले विक्रय मूल्य (SP) और लाभ प्रतिशत का उपयोग करके मिश्रण का क्रय मूल्य (CP) ज्ञात करें। दिया गया है, विक्रय मूल्य (SP) = 42 और लाभ = 20%, क्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: क्रय मूल्य (CP) = (SP)/(1 + लाभ%){100} = (42)/(1.2) = 35 रुपये/किग्रा।

मिश्रण (alligation) के नियम का उपयोग करते हुए, वह अनुपात जिसमें दोनों प्रकार की चीनी (30 रुपये/किग्रा और 45 रुपये/किग्रा) को 35 रुपये/किग्रा का औसत मूल्य प्राप्त करने के लिए मिलाया जाना चाहिए: अनुपात = (महंगी वस्तु का मूल्य - औसत मूल्य) : (औसत मूल्य - सस्ती वस्तु का मूल्य) अनुपात = (45 - 35) : (35 - 30) अनुपात = 10 : 5 = 2 : 1

व्याख्या

अंकगणितीय माध्य रैखिक परिवर्तनों के तहत समरूपता (homogeneity) के गुण का पालन करता है। यदि किसी डेटा सेट के प्रत्येक मान को एक स्थिरांक k से गुणा किया जाता है, तो डेटा सेट के औसत को भी उसी स्थिरांक k से गुणा किया जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि औसत को A = (Σ xᵢ)/(n) के रूप में परिभाषित किया गया है। जब प्रत्येक व्यक्तिगत संख्या xᵢ को दोगुना किया जाता है, तो संख्याओं का नया योग Σ (2xᵢ) = 2 Σ xᵢ हो जाता है। इस नए योग को कुल संख्या n से विभाजित करने पर नया औसत Aₙₑ_w = (2 Σ xᵢ)/(n) = 2 × Aₒₗ_d प्राप्त होता है। दिए गए मूल औसत 7 को प्रतिस्थापित करने पर, नया औसत 2 × 7 = 14 होगा।

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रारंभिक क्रय मूल्य (CP) 100u है। चूंकि व्यापारी को 20% का लाभ होता है, इसलिए प्रारंभिक विक्रय मूल्य (SP) 120u है।

प्रश्न के अनुसार, यदि व्यापारी ने वस्तु को 60% कम मूल्य पर खरीदा होता, तो नया क्रय मूल्य 100u - 100u का 60% = 40u होता। इस नए क्रय मूल्य पर, व्यापारी को 50% का लाभ होता है। नए विक्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: नया SP = 40u × (1 + 0.50) = 40u × 1.5 = 60u

मूल SP और नए SP के बीच का अंतर 90 रुपये दिया गया है। इकाइयों के आधार पर समीकरण स्थापित करने पर: 120u - 60u = 90 60u = 90 u = ⁹⁰⁄₆₀ = 1.5

मूल क्रय मूल्य का मान 100u है: मान = 100 × 1.5 = 150

व्याख्या

माना अमित की कुल आय x है। अपनी आय का 20 प्रतिशत स्कूल को दान करने के बाद, शेष राशि x का 80 प्रतिशत है। फिर वह इस शेष राशि का 20 प्रतिशत अपने बैंक में जमा करता है, जिससे उसके पास उस शेष राशि का 80 प्रतिशत बचता है।

अंतिम मूल्य के लिए क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करने पर: अंतिम राशि = x × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ²⁰⁄₁₀₀)

दी गई अंतिम राशि का मान रखने पर: 12800 = x × ⁸⁰⁄₁₀₀ × ⁸⁰⁄₁₀₀ 12800 = x × ⅘ × ⅘ 12800 = x × ¹⁶⁄₂₅

x के लिए हल करने पर: x = (12800 × 25)/(16) x = 800 × 25 x = 20000

अमित की प्रारंभिक आय 20000 रुपये है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है। इस परिदृश्य में, सापेक्ष गति V है: V = 43 + 51 = 94 किमी/घंटा

गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलने के लिए, मान को ⁵⁄₁₈ से गुणा किया जाता है: V = 94 × ⁵⁄₁₈ मीटर/सेकंड

धीमी गति वाली ट्रेन द्वारा तेज गति वाली ट्रेन में बैठे व्यक्ति को पार करने में तय की गई दूरी धीमी गति वाली ट्रेन की लंबाई के बिल्कुल बराबर होती है। मानक सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, जहाँ लिया गया समय 9 सेकंड दिया गया है: लंबाई = (94 × ⁵⁄₁₈) × 9

गणना को सरल करके, हम 9 को 18 से विभाजित करते हैं: लंबाई = 94 × ⁵⁄₂ लंबाई = 47 × 5 = 235 मीटर