एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

व्यंजक (sin 2A)/(1+cos 2A) को सरल करने के लिए, हम मानक त्रिकोणमितीय द्वि-कोण (double angle) सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: sin 2A = 2 sin A cos A cos 2A = 2 cos² A - 1

दिए गए व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (2 sin A cos A)/(1 + (2 cos² A - 1))

हर (denominator) में, 1 और -1 एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे प्राप्त होता है: (2 sin A cos A)/(2 cos² A)

अंश (numerator) और हर (denominator) दोनों को 2 cos A से विभाजित करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: (sin A)/(cos A) = tan A

व्याख्या

व्यंजक cot A + tan A को साइन और कोसाइन का उपयोग करके (cos A)/(sin A) + (sin A)/(cos A) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। एक सामान्य हर लेने पर (cos² A + sin² A)/(sin A cos A) प्राप्त होता है। पाइथागोरस सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 द्वारा, हर सरल होकर (1)/(sin A cos A) हो जाता है।

इसे sec A = (1)/(cos A) के साथ मूल भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(sec A)/(cot A + tan A) = (1)/(cos A) / {(1)/(sin A cos A)} = (1)/(cos A) × (sin A cos A) = sin A

इस परिणाम का वर्ग करने पर sin² A प्राप्त होता है। सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 से, यह प्राप्त होता है कि sin² A = 1 - cos² A।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan θ = sin θ / cos θ का उपयोग करके व्यंजक 1 + tan A tan(A/2) को सरल किया जा सकता है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

1 + (sin A)/(cos A) · (sin(A/2))/(cos(A/2))

इन पदों को संयोजित करने के लिए, हम उभयनिष्ठ हर (common denominator) cos A cos(A/2) का उपयोग करते हैं:

(cos A cos(A/2) + sin A sin(A/2))/(cos A cos(A/2))

अंश मानक सर्वसमिका cos(x - y) = cos x cos y + sin x sin y का अनुसरण करता है। x = A और y = A/2 रखने पर, अंश सरल होकर cos(A - A/2) हो जाता है, जो कि cos(A/2) है। इसे वापस भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(cos(A/2))/(cos A cos(A/2))

अंश और हर में पद cos(A/2) एक-दूसरे से कट (cancel) जाते हैं, जिससे 1 / cos A बचता है। व्युत्क्रम सर्वसमिका (reciprocal identity) के अनुसार, 1 / cos A, sec A के बराबर होता है।

व्याख्या

1812 में जोड़ी जाने वाली वह न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे यह 7, 11 और 14 से विभाज्य हो जाए, हम सबसे पहले दिए गए भाजकों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। चूंकि 14, 7 का एक गुणज है, इसलिए 7 और 14 का LCM 14 है। इस प्रकार, LCM(7, 11, 14) = LCM(14, 11) = 14 × 11 = 154 है।

इसके बाद, हम शेषफल ज्ञात करने के लिए 1812 को 154 से विभाजित करते हैं: 1812 = (154 × 11) + 118

प्राप्त शेषफल 118 है। मूल संख्या को 154 से पूर्णतः विभाज्य बनाने के लिए उसमें जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या, भाजक और शेषफल के बीच का अंतर है: जोड़ी जाने वाली संख्या = 154 - 118 = 36

जब 1812 में 36 जोड़ा जाता है, तो योगफल 1848 प्राप्त होता है, जो कि 154 × 12 है, और यह 7, 11 और 14 से विभाज्यता की शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

A और B की कार्यक्षमता का अनुपात 1.5:1 है, जिसे सरल करने पर 3:2 प्राप्त होता है। चूंकि कार्यक्षमता किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए A और B द्वारा लिए गए समय का अनुपात 2:3 होगा। माना A द्वारा लिया गया समय 2x दिन है और B द्वारा लिया गया समय 3x दिन है। प्रश्न के अनुसार, समय का अंतर 8 दिन है, इसलिए 3x - 2x = 8, जिससे x = 8 प्राप्त होता है। अतः, अकेले कार्य पूरा करने में A को 2 × 8 = 16 दिन और B को 3 × 8 = 24 दिन का समय लगता है।

कुल कार्य ज्ञात करने के लिए, हम 16 और 24 का ल.स.प. (L.C.M.) लेते हैं, जो कि 48 इकाई है। A की कार्यक्षमता 48 / 16 = 3 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 48 / 24 = 2 इकाई प्रति दिन है। जब वे A से शुरू करते हुए बारी-बारी से काम करते हैं, तो वे प्रत्येक 2 दिनों में 3 + 2 = 5 इकाई कार्य पूरा करते हैं। ऐसे 9 चक्रों (18 दिनों) में, पूरा किया गया कार्य 9 × 5 = 45 इकाई है। शेष कार्य 48 - 45 = 3 इकाई है। 19वें दिन, कार्य करने की बारी A की है। चूंकि A की कार्यक्षमता 3 इकाई प्रति दिन है, इसलिए A शेष 3 इकाई कार्य को ठीक 1 दिन में समाप्त कर देगा। इस प्रकार, लिया गया कुल समय 18 + 1 = 19 दिन है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र A = ½ × d₁ × d₂ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ d₁ और d₂ विकर्णों की लंबाइयाँ हैं। माना d₁ बड़े विकर्ण की लंबाई है। प्रश्न के अनुसार, दूसरे विकर्ण की लंबाई बड़े विकर्ण का 70% है, इसलिए d₂ = ⁷⁰⁄₁₀₀ d₁ = ⁷⁄₁₀ d₁।

क्षेत्रफल के सूत्र में d₂ का मान रखने पर A = ½ × d₁ × ⁷⁄₁₀ d₁ = ⁷⁄₂₀ d₁² प्राप्त होता है। समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का बड़े विकर्ण के वर्ग से अनुपात (A)/(d₁)² = 7/20 × d₁² / d₁² = ⁷⁄₂₀ है। इसके परिणामस्वरूप अनुपात 7 : 20 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध सूत्र MP/CP = (100 + P) / (100 - D) द्वारा स्थापित किया जाता है, जहाँ P लाभ प्रतिशत है और D छूट प्रतिशत है। पहले मामले के लिए जहाँ दुकानदार 20% की छूट के साथ 60% का लाभ अर्जित करता है, अनुपात की गणना इस प्रकार की जाती है: MP/CP = (100 + 60) / (100 - 20) = 160 / 80 = 2/1

यह अनुपात दर्शाता है कि अंकित मूल्य, क्रय मूल्य का ठीक दोगुना है (MP = 2 × CP)। यदि दुकानदार छूट को बदलकर 40% कर देता है, तो अंकित मूल्य पर इस छूट को लागू करके नया विक्रय मूल्य (SP) ज्ञात किया जा सकता है: SP = MP × (100 - 40) / 100 = (2 × CP) × 0.6 = 1.2 × CP

नया लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सूत्र लाभ % = ((SP - CP) / CP) × 100 का उपयोग करके नए विक्रय मूल्य की तुलना क्रय मूल्य से करें: नया लाभ % = ((1.2 × CP - CP) / CP) × 100 = (0.2 × CP / CP) × 100 = 20%

व्याख्या

दिए गए समानुपात A/3 = B/2 = C/5 के लिए, हम एक स्थिरांक k मान सकते हैं जिससे A = 3k, B = 2k, और C = 5k हो। इन मानों को आवश्यक अनुपात (C + A)² : (A + B)² : (B + C)² के पदों में प्रतिस्थापित करने पर:

पहला पद (5k + 3k)² = (8k)² = 64k² है। दूसरा पद (3k + 2k)² = (5k)² = 25k² है। तीसरा पद (2k + 5k)² = (7k)² = 49k² है।

परिणामी अनुपात 64k² : 25k² : 49k² है। प्रत्येक पद को उभयनिष्ठ गुणनखंड k² से विभाजित करने पर, अनुपात सरल होकर 64 : 25 : 49 हो जाता है।

व्याख्या

5 वर्ष पहले पिता, माता और पुत्र की आयु का योग 35 × 3 = 105 वर्ष था। उनकी वर्तमान कुल आयु ज्ञात करने के लिए, हम परिवार के तीनों सदस्यों में से प्रत्येक के लिए 5 वर्ष जोड़ते हैं: 105 + (5 × 3) = 120 वर्ष।

इसी प्रकार, 3 वर्ष पहले पिता और माता की आयु का योग 46 × 2 = 92 वर्ष था। उनकी वर्तमान कुल आयु उनके प्रत्येक के लिए 3 वर्ष जोड़कर प्राप्त की जाती है: 92 + (3 × 2) = 98 वर्ष।

पुत्र की वर्तमान आयु, परिवार की वर्तमान कुल आयु और माता-पिता की वर्तमान कुल आयु के बीच का अंतर है: 120 - 98 = 22 वर्ष।

व्याख्या

जब A वस्तुओं का क्रय मूल्य, B वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर होता है, तो लाभ प्रतिशत की गणना सीधे सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: लाभ% = (A - B)/(B) × 100 इस परिदृश्य में, क्रय मूल्य A के लिए वस्तुओं की संख्या 60 है, और विक्रय मूल्य B के लिए वस्तुओं की संख्या x है। लाभ 20% दिया गया है। इन मानों को सूत्र में रखने पर: 20 = (60 - x)/(x) × 100 दोनों पक्षों को 100 से विभाजित करने पर, समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: 0.2 = (60 - x)/(x) 0.2x = 60 - x चरों को एक साथ करने के लिए दोनों पक्षों में x जोड़ने पर: 1.2x = 60 x = (60)/(1.2) विभाजन को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को 10 से गुणा करें: x = ⁶⁰⁰⁄₁₂ x = 50

व्याख्या

उत्तीर्ण होने की आवश्यकता और उम्मीदवार के वास्तविक अंकों के बीच का अंतर कुल अंकों का 55% - 45% = 10% है। प्रश्न के अनुसार यह अंतर 40 अंकों के बराबर है। प्रतिशत सूत्र का उपयोग करने पर, जहाँ M अधिकतम अंकों को दर्शाता है: M का 10% = 40 0.10 × M = 40 M = (40)/(0.10) = 400

व्याख्या

पहला व्यक्ति पूर्वाह्न 11:00 बजे शुरू करता है और 10 किमी/घंटा की गति से 2 घंटे तक दौड़ता है, जिससे अपराह्न 1:00 बजे तक 10 × 2 = 20 किमी की दूरी तय होती है। इसके बाद वह अपराह्न 2:00 बजे तक आराम करता है और 20 किमी के निशान पर ही रहता है। अपराह्न 2:00 बजे से अपराह्न 4:00 बजे के बीच, वह और 2 घंटे दौड़ता है, जिससे अतिरिक्त 10 × 2 = 20 किमी की दूरी तय होती है, और वह बिंदु P से कुल 40 किमी की दूरी पर पहुँच जाता है। अपराह्न 4:00 बजे, वह फिर से 1 घंटे की आराम अवधि शुरू करता है, और अपराह्न 5:00 बजे तक 40 किमी पर ही रहता है।

दूसरा व्यक्ति अपराह्न 2:00 बजे बिंदु P से शुरू करता है और 15 किमी/घंटा की गति से बिना रुके दौड़ता है। पहले व्यक्ति को पकड़ने के लिए, उसे उस दूरी को तय करना होगा जहाँ तक पहला व्यक्ति पहुँच चुका है। अपराह्न 4:00 बजे तक, दूसरे व्यक्ति ने 15 × 2 = 30 किमी की दूरी तय की है, जो पहले व्यक्ति की 40 किमी की दूरी से कम है। दूसरे व्यक्ति को 40 किमी के निशान तक पहुँचने के लिए आवश्यक समय t की गणना इस प्रकार की जाती है: t = दूरी / गति = 40 / 15 = 8/3 घंटे।

8/3 घंटे को घंटे और मिनट में बदलने पर 2 घंटे और 40 मिनट प्राप्त होते हैं। इस अवधि को दूसरे व्यक्ति के प्रस्थान समय अपराह्न 2:00 बजे में जोड़ने पर अपराह्न 4:40 बजते हैं। चूँकि पहला व्यक्ति अपराह्न 4:00 बजे से अपराह्न 5:00 बजे तक 40 किमी के निशान पर आराम कर रहा है, इसलिए वह ठीक अपराह्न 4:40 बजे पकड़ा जाता है।

व्याख्या

दो वर्षों (D₂) और तीन वर्षों (D₃) के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) और साधारण ब्याज (SI) के बीच का अंतर निम्नलिखित सूत्रों द्वारा दिया गया है: D₂ = P × ((R)/(100))² D₃ = P × ((R)/(100))² × (3 + (R)/(100))

D₃ के समीकरण को D₂ के समीकरण से विभाजित करने पर, अंतरों के अनुपात को सरल किया जा सकता है: D₃{D₂} = 3 + (R)/(100)

दिए गए अनुपात 23 : 7 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: ²³⁄₇ = 3 + (R)/(100)

दर घटक को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 3 घटाने पर: (R)/(100) = ²³⁄₇ - 3 (R)/(100) = (23 - 21)/(7) (R)/(100) = ²⁄₇

वार्षिक ब्याज दर R ज्ञात करने के लिए 100 से गुणा करने पर: R = ²⁰⁰⁄₇

व्याख्या

दिए गए समीकरण x²{yz} + y²{zx} + z²{xy} = 3 को उभयनिष्ठ हर (common denominator) xyz लेकर सरल किया जा सकता है: x³ + y³ + z³{xyz} = 3 x³ + y³ + z³ = 3xyz x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0

हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का अनुप्रयोग करते हैं: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

हमारे सरलीकरण से प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करने पर: (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) = 0

इस गुणनफल के शून्य होने के लिए, गुणनखंडों में से किसी एक का शून्य होना आवश्यक है। उस स्थिति में जहाँ x + y + z = 0 है, हम वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करते हैं: (x + y + z)³ = 0³ = 0

व्याख्या

दिया गया समीकरण x¹^/⁴ + x¹^/⁴ = 2 है। बाएँ पक्ष के पदों को संयोजित करने पर, हमें 2x¹^/⁴ = 2 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x¹^/⁴ = 1 हो जाता है। दोनों पक्षों की घात 4 करने पर, हमें x = 1⁴ = 1 प्राप्त होता है।

व्यंजक x⁸¹ + (1)/(x⁸¹⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, हम इसमें x = 1 प्रतिस्थापित करते हैं: 1⁸¹ + (1)/(1⁸¹⁾ = 1 + ¹⁄₁ = 1 + 1 = 2।

वैकल्पिक रूप से, यदि व्यंजक मानक बीजगणितीय रूप a + ¹⁄ₐ = 2 का अनुसरण करता है, तो एकमात्र वास्तविक हल a = 1 है। इस स्थिति में, a = x¹^/⁴ रखने पर x¹^/⁴ = 1 प्राप्त होता है, जिससे पुनः x = 1 प्राप्त होता है। इस मान को xⁿ + (1)/(xⁿ⁾ के रूप वाले किसी भी व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर हमेशा 1ⁿ + (1)/(1ⁿ⁾ = 2 प्राप्त होगा।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों a(a + b + c) = 45, b(a + b + c) = 75, और c(a + b + c) = 105 को जोड़ने पर (a + b + c)(a + b + c) = 45 + 75 + 105 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (a + b + c)² = 225 हो जाता है। माना S = a + b + c, इसलिए S² = 225 है। मूल समीकरणों से, हमें a = 45/S, b = 75/S, और c = 105/S प्राप्त होता है। इन पदों का वर्ग करने पर a² = 2025/S², b² = 5625/S², और c² = 11025/S² प्राप्त होता है। इन मानों को जोड़ने पर a² + b² + c² = (2025 + 5625 + 11025) / 225 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 18675 / 225 = 83 हो जाता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin(90° - θ) = cosθ और परिभाषा tanθ = (sinθ)/(cosθ) का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक sin²(90° - θ) - (sin(90° - θ) sinθ)/(tanθ) को पद दर पद सरल किया जा सकता है।

पहला पद है: sin²(90° - θ) = (cosθ)² = cos²θ

दूसरा पद है: (sin(90° - θ) sinθ)/(tanθ) = (cosθ sinθ)/(sinθ){cosθ}

हर का व्युत्क्रम करने पर, दूसरा पद इस प्रकार हो जाता है: (cosθ sinθ cosθ)/(sinθ) = cos²θ

सरलीकृत पदों को मिलाने पर: cos²θ - cos²θ = 0

व्याख्या

इस प्रश्न को त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का उपयोग करके हल किया जा सकता है। मान लीजिए कि आवश्यक व्यंजक 5 tan θ - 3 sec θ का मान x है। हम दिए गए और आवश्यक व्यंजकों के वर्गों के अंतर पर विचार करते हैं:

(5 sec θ - 3 tan θ)² - (5 tan θ - 3 sec θ)²

दोनों पदों का विस्तार करने पर:

(25 sec² θ + 9 tan² θ - 30 sec θ tan θ) - (25 tan² θ + 9 sec² θ - 30 sec θ tan θ)

उभयनिष्ठ गुणांकों को समूहीकृत करने पर:

25(sec² θ - tan² θ) - 9(sec² θ - tan² θ)

चूंकि sec² θ - tan² θ = 1 है, इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

25(1) - 9(1) = 16

अब, समीकरण में पहले व्यंजक के ज्ञात मान (5 sec θ - 3 tan θ = 5) को प्रतिस्थापित करें:

5² - x² = 16

25 - x² = 16

x² = 25 - 16 = 9

x = √9 = 3

व्याख्या

इस डेटा सेट में विश्लेषित पांच देशों की जनसंख्या के आंकड़े 54 करोड़, 32 करोड़, 46 करोड़, 18 करोड़ और 24 करोड़ हैं। इन मानों से, यह देखा गया है कि सर्वाधिक जनसंख्या वाले देश की जनसंख्या 54 करोड़ है और न्यूनतम जनसंख्या वाले देश की जनसंख्या 18 करोड़ है। सर्वाधिक और न्यूनतम जनसंख्या वाले देशों की जनसंख्या के बीच का अंतर अधिकतम मान में से न्यूनतम मान को घटाकर निर्धारित किया जाता है: 54 - 18 = 36 करोड़

व्याख्या

किसी देश का कुल जीडीपी (GDP) उसकी जनसंख्या और प्रति व्यक्ति जीडीपी का गुणनफल होता है। इस परीक्षा पाली के डेटा तालिका के अनुसार, देश 5 की जनसंख्या 113 मिलियन है और प्रति व्यक्ति जीडीपी 2800 है।

मिलियन डॉलर में कुल जीडीपी = जनसंख्या × प्रति व्यक्ति जीडीपी मिलियन डॉलर में कुल जीडीपी = 113 × 2800 = 316400

मान को मिलियन डॉलर से करोड़ डॉलर में बदलने के लिए, हम इस संबंध का उपयोग करते हैं कि 1 करोड़, 10 मिलियन के बराबर होता है। इसलिए, करोड़ डॉलर में कुल जीडीपी की गणना कुल मिलियन डॉलर को 10 से विभाजित करके की जाती है।

करोड़ डॉलर में कुल जीडीपी = 316400 / 10 = 31640$

व्याख्या

सबसे बड़ी भिन्न ज्ञात करने के लिए, हम उनके व्युत्क्रमों (reciprocals) की तुलना कर सकते हैं। सबसे छोटे व्युत्क्रम मान वाली भिन्न सबसे बड़ी होगी।

5/113 का व्युत्क्रम = 113/5 = 22.6 7/120 का व्युत्क्रम = 120/7 ≈ 17.14 13/145 का व्युत्क्रम = 145/13 ≈ 11.15 17/160 का व्युत्क्रम = 160/17 ≈ 9.41

चूंकि इस समूह में 9.41 सबसे छोटा व्युत्क्रम मान है, इसलिए भिन्न 17/160 सबसे बड़ी है। यह अनुमानित दशमलव मानों की तुलना करने से भी स्पष्ट है: 17/160 = 0.10625, जो कि 13/145 ≈ 0.089, 7/120 ≈ 0.058, और 5/113 ≈ 0.044 से काफी अधिक है।

व्याख्या

निर्मित 18 दिनों में कार्य का 2/3 भाग पूरा करता है। इसलिए, निर्मित द्वारा पूरे कार्य (कार्य की 1 इकाई) को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय की गणना दिनों को कार्य के अंश के व्युत्क्रम से गुणा करके की जाती है: 18 × ³⁄₂ = 9 × 3 = 27 दिन।

कार्यक्षमता, किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। चूंकि कशिश, निर्मित से दोगुना कार्यकुशल है, इसलिए कशिश द्वारा उसी कार्य को पूरा करने में लिया गया समय निर्मित द्वारा लिए गए समय का आधा होगा।

कशिश द्वारा लिया गया समय = (निर्मित द्वारा लिया गया समय)/(2) = ²⁷⁄₂ दिन।

व्याख्या

पूल के जल स्तर में वृद्धि 40 पुरुषों द्वारा विस्थापित पानी के कुल आयतन द्वारा निर्धारित होती है। विस्थापित कुल आयतन की गणना पुरुषों की संख्या को प्रति पुरुष विस्थापित औसत आयतन से गुणा करके की जाती है:

विस्थापित कुल आयतन V = 40 × 5 = 200 m³

एक आयताकार पूल का आयतन उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई (या जल स्तर में वृद्धि) का गुणनफल होता है। इसलिए, जल स्तर में वृद्धि h निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है:

h = (विस्थापित कुल आयतन) / (पूल के आधार का क्षेत्रफल)

पूल के आधार का क्षेत्रफल = 30 × 25 = 750 m² है। सूत्र में मान रखने पर:

h = ²⁰⁰⁄₇₅₀ m = ⁴⁄₁₅ m

वृद्धि को मीटर से सेंटीमीटर में बदलने के लिए, 100 से गुणा करें:

h (सेमी में) = ⁴⁄₁₅ × 100 = ⁴⁰⁰⁄₁₅ = ⁸⁰⁄₃ ≈ 26.66 सेमी

व्याख्या

अंकित मूल्य पर दो क्रमिक छूट लागू करने के बाद खरीद मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: P = 2375 × (1 - 0.50) × (1 - 0.25) = 2375 × 0.5 × 0.75 = 890.625

कुल लागत मूल्य (CP), खरीद मूल्य और मरम्मत लागत का योग है: CP = 890.625 + 165 = 1055.625

लाभ प्रतिशत 62.5% है, जो भिन्न ⅝ के बराबर है क्योंकि 12.5% = ⅛। विक्रय मूल्य (SP) निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: SP = CP × (1 + लाभ %) = 1055.625 × (1 + ⅝) = 1055.625 × ¹³⁄₈

मान की गणना करने पर: SP = (13723.125)/(8) = 1715.390625

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, वस्तु का विक्रय मूल्य 1715.39 है।

व्याख्या

माना लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 19x, 11x और 13x हैं। लंबाई और ऊंचाई के बीच का अंतर 30 सेमी दिया गया है, जिससे समीकरण 19x - 13x = 30 प्राप्त होता है। इसे हल करने पर 6x = 30 प्राप्त होता है, इसलिए x = 5 है।

घनाभ की विमाएँ हैं: L (लंबाई) = 19 × 5 = 95 सेमी B (चौड़ाई) = 11 × 5 = 55 सेमी H (ऊंचाई) = 13 × 5 = 65 सेमी

घनाभ के आयतन की गणना सूत्र V = L × B × H द्वारा की जाती है। परिकलित विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: V = 95 × 55 × 65 V = 5225 × 65 = 339625 सेमी³

वैकल्पिक रूप से, सीधे अनुपात गुणांकों का उपयोग करने पर, आयतन 19 × 11 × 13 × x³ = 2717 × 5³ है। इसकी गणना करने पर 2717 × 125 = 339625 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

कोच की आयु की गणना इस संबंध का उपयोग करके की जा सकती है: नए सदस्य की आयु = पुराना औसत + (सदस्यों की नई कुल संख्या × औसत में वृद्धि)।

दिया गया है: प्रारंभिक औसत आयु = 23 वर्ष खिलाड़ियों की प्रारंभिक संख्या = 12 सदस्यों की नई कुल संख्या = 13 (12 खिलाड़ी + 1 कोच) औसत में वृद्धि = 2 वर्ष

इन मानों को सूत्र में रखने पर: कोच की आयु = 23 + (13 × 2) कोच की आयु = 23 + 26 कोच की आयु = 49

वैकल्पिक रूप से, इसे आयु के कुल योग की तुलना करके भी हल किया जा सकता है। 12 खिलाड़ियों की आयु का योग 12 × 23 = 276 वर्ष है। जब कोच को शामिल किया जाता है, तो लोगों की कुल संख्या 13 हो जाती है और नई औसत आयु 23 + 2 = 25 वर्ष हो जाती है। इस प्रकार, नई कुल आयु 13 × 25 = 325 वर्ष है। कोच की आयु नए कुल और पुराने कुल के बीच का अंतर है: 325 - 276 = 49 वर्ष।

व्याख्या

x% और y% के दो क्रमिक लाभों से प्राप्त होने वाले प्रभावी लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है। 30% और 20% के लाभ के लिए, कुल प्रभावी लाभ 30 + 20 + (30 × 20)/(100) = 56% है।

अंतिम विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य और कुल लाभ के योग के बराबर होता है, जो कि क्रय मूल्य का 156% है।

1.56 × CP = 31200

CP = (31200)/(1.56)

CP = 20000

वैकल्पिक रूप से, गुणक विधि (multiplier method) का उपयोग करने पर, क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का संबंध CP × ¹³⁰⁄₁₀₀ × ¹²⁰⁄₁₀₀ = 31200 है।

CP × 1.3 × 1.2 = 31200

CP × 1.56 = 31200

CP = (31200)/(1.56) = 20000

व्याख्या

पेड़ों की संख्या में चक्रवृद्धि दर से वृद्धि होती है, जिसकी गणना सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ का उपयोग करके की जा सकती है। इस सूत्र में, A वर्तमान पेड़ों की संख्या (17640) को दर्शाता है, P 2 वर्ष पहले पेड़ों की संख्या है, r वार्षिक वृद्धि दर (5%) है, और n वर्षों में समयावधि (2) है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 17640 = P(1 + ⁵⁄₁₀₀)² 17640 = P(1 + ¹⁄₂₀)² 17640 = P(²¹⁄₂₀)² 17640 = P(⁴⁴¹⁄₄₀₀)

P का मान ज्ञात करने के लिए, हम इसे समीकरण के एक तरफ अलग करते हैं: P = (17640 × 400)/(441)

17640 को 441 से विभाजित करने पर, हमें 40 प्राप्त होता है। P = 40 × 400 P = 16000

व्याख्या

जब दो यात्री एक ही समय पर एक-दूसरे की ओर चलना शुरू करते हैं और बीच में किसी बिंदु पर मिलते हैं, तो उनकी गतियों का अनुपात मिलने के बाद प्रत्येक द्वारा अपने संबंधित गंतव्यों तक पहुँचने में लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपात के वर्गमूल के बराबर होता है। इसे सूत्र (S₁)/(S₂) = √((T₂)/(T₁)) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ S₁ और S₂ यात्रियों की गति हैं तथा T₁ और T₂ मिलने के बाद लिया गया क्रमशः समय है।

इस प्रश्न में, S₁ (अमन की गति) 30 किमी/घंटा है, T₁ (अमन को ग्वालियर पहुँचने में लगा समय) 196 मिनट है, और T₂ (कपिल को दिल्ली पहुँचने में लगा समय) 225 मिनट है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

(30)/(S₂) = √(²²⁵⁄₁₉₆)

(30)/(S₂) = ¹⁵⁄₁₄

S₂ = (30 × 14)/(15)

S₂ = 2 × 14 = 28 किमी/घंटा

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है। चूंकि ब्याज मूलधन (P) और समय (T) के सीधे समानुपाती होता है, इसलिए 10 वर्षों के कुल ब्याज को दो 5-वर्षीय अवधियों में विभाजित किया जा सकता है।

मूल मूलधन पर पहले 5 वर्षों का ब्याज, 10 वर्षों के कुल ब्याज का आधा होगा: SI_पहले_5 = ³¹³⁰⁄₂ = 1565

अगले 5 वर्षों के लिए, मूलधन मूल मूलधन का 5 गुना (5P) हो जाता है। चूंकि SI सीधे P के समानुपाती होता है, इसलिए इन 5 वर्षों का ब्याज भी पहले 5 वर्षों के ब्याज का 5 गुना हो जाएगा: SI_अगले_5 = 5 × 1565 = 7825

10 वर्षों के बाद प्राप्त कुल ब्याज दोनों अवधियों के ब्याज का योग है: कुल ब्याज = 1565 + 7825 = 9390

व्याख्या

दिए गए समीकरण को अंश के प्रत्येक पद को उसके संबंधित हर से विभाजित करके सरल किया जा सकता है: ¹¹⁻¹³ˣ⁄ₓ + (11-13y)/(y) + (11-13z)/(z) = 5 (¹¹⁄ₓ - 13) + ((11)/(y) - 13) + ((11)/(z) - 13) = 5

अब, चर और अचर पदों को समूहित करने पर: ¹¹⁄ₓ + (11)/(y) + (11)/(z) - (13 + 13 + 13) = 5 11(¹⁄ₓ + (1)/(y) + (1)/(z)) - 39 = 5

समीकरण के दोनों पक्षों में 39 जोड़ने पर: 11(¹⁄ₓ + (1)/(y) + (1)/(z)) = 5 + 39 11(¹⁄ₓ + (1)/(y) + (1)/(z)) = 44

अभीष्ट मान ज्ञात करने के लिए 11 से भाग देने पर: ¹⁄ₓ + (1)/(y) + (1)/(z) = ⁴⁴⁄₁₁ = 4

व्याख्या

दिया गया समीकरण 2x + ⁹⁄ₓ = 9 है। पूरे समीकरण को x से गुणा करने पर द्विघात समीकरण 2x² + 9 = 9x प्राप्त होता है, जिसे 2x² - 9x + 9 = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। गुणनखंडन विधि का उपयोग करते हुए, हम मध्य पद को विभाजित करते हैं: 2x² - 6x - 3x + 9 = 0। समूहीकरण द्वारा गुणनखंडन करने पर 2x(x - 3) - 3(x - 3) = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (2x - 3)(x - 3) = 0 हो जाता है। इससे x के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: x = 3 या x = ³⁄₂।

x² + (1)/(x²) का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों मूलों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं। x = 3 के लिए, मान 3² + (1)/(3²) = 9 + ⅑ = ⁸²⁄₉ ≈ 9.11 है। x = ³⁄₂ के लिए, मान (³⁄₂)² + (1)/(³⁄₂)² = ⁹⁄₄ + ⁴⁄₉ है। 36 का उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेने पर, हमें (81 + 16)/(36) = ⁹⁷⁄₃₆ ≈ 2.69 प्राप्त होता है। दोनों परिणामों की तुलना करने पर, ⁹⁷⁄₃₆ न्यूनतम मान है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण (5x - y)/(5x + y) = 3/7 से, तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) करने पर 7(5x - y) = 3(5x + y) प्राप्त होता है। इन पदों का विस्तार करने पर 35x - 7y = 15x + 3y प्राप्त होता है। समान पदों को एक साथ व्यवस्थित करने पर, हमें 20x = 10y प्राप्त होता है, जो सरल होकर संबंध y = 2x देता है।

मान ज्ञात किए जाने वाला व्यंजक (4x² + y² - 4xy)/(9x² + 16y² + 24xy) है। पूर्ण वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (algebraic identities) का उपयोग करने पर, अंश (2x - y)² है और हर (3x + 4y)² है। अंश में y = 2x प्रतिस्थापित करने पर, हमें (2x - 2x)² = 0² = 0 प्राप्त होता है। चूंकि अंश शून्य है और हर (3x + 8x)² = 121x² गैर-शून्य है (यह देखते हुए कि मूल अनुपात परिभाषित है और इसका तात्पर्य x ≠ 0 है), इसलिए संपूर्ण व्यंजक का मान 0 है।

व्याख्या

पहले समीकरण (x + y)² = xy + 1 को सर्वसमिका (x + y)² = x² + 2xy + y² का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर x² + 2xy + y² = xy + 1 प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने और दोनों पक्षों से xy घटाने पर, हमें प्राप्त होता है कि x² + xy + y² = 1।

दूसरा दिया गया समीकरण x³ - y³ = 1 है। घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) होता है। उपरोक्त प्राप्त मानों को इस सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 = (x - y)(1) प्राप्त होता है। वांछित पद के लिए हल करने पर x - y = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

भुजाओं a और b तथा विकर्णों d₁ और d₂ वाले एक समांतर चतुर्भुज में, विकर्णों के वर्गों का योग चारों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस संबंध को सूत्र d₁² + d₂² = 2(a² + b²) द्वारा व्यक्त किया जाता है। दी गई भुजाएँ a = AB = 7 सेमी और b = BC = 9 सेमी हैं, और एक विकर्ण d₁ = AC = 8 सेमी है, मान लीजिए कि दूसरा विकर्ण d₂ = BD है। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

8² + d₂² = 2(7² + 9²) 64 + d₂² = 2(49 + 81) 64 + d₂² = 2(130) 64 + d₂² = 260 d₂² = 260 - 64 d₂² = 196 d₂ = √(196) = 14

दूसरे विकर्ण की लंबाई 14 सेमी है।

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक बहुभुज में विकर्णों की संख्या सूत्र (n(n - 3))/(2) द्वारा निर्धारित की जाती है। यह सूत्र इसलिए प्राप्त होता है क्योंकि n शीर्षों में से प्रत्येक से, स्वयं और उसके दो निकटतम पड़ोसी शीर्षों को छोड़कर अन्य सभी शीर्षों के लिए एक विकर्ण खींचा जा सकता है, जिससे प्रति शीर्ष n - 3 संभावित विकर्ण प्राप्त होते हैं। चूंकि प्रत्येक विकर्ण दो शीर्षों को जोड़ता है, इसलिए गुणनफल n(n - 3) प्रत्येक विकर्ण की दो बार गणना करता है, जिसके कारण इसे 2 से विभाजित करना आवश्यक हो जाता है। एक अष्टभुज के लिए, n = 8 है, इसलिए गणना (8 × (8 - 3))/(2) = (8 × 5)/(2) = 20 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि चतुर्थांश वृत्त का केंद्र मूल बिंदु O(0, 0) है और इसकी त्रिज्याएँ धनात्मक x-अक्ष और y-अक्ष के अनुदिश हैं। मान लीजिए वर्ग की भुजा s = √(5/2) सेमी है।

त्रिज्याओं पर वर्ग के दो आसन्न शीर्ष A और B हैं। मान लीजिए A, x-अक्ष पर (d, 0) पर स्थित है और B, y-अक्ष पर (0, d) पर स्थित है, जहाँ d केंद्र से दूरी है। चूँकि A और B वर्ग के आसन्न शीर्ष हैं, इसलिए दूरी AB भुजा की लंबाई s के बराबर होनी चाहिए। दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: d² + d² = s² ⟹ 2d² = s² ⟹ d² = (s²)/(2)

अन्य दो शीर्ष C और D चतुर्थांश वृत्त के चाप पर स्थित हैं। चूँकि वर्ग रेखा y = x के सापेक्ष सममित है, और भुजा AB की ढाल (slope) -1 है, इसलिए भुजाओं BC और AD की ढाल 1 होनी चाहिए। C के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम B(0, d) से ढाल 1 वाली रेखा के अनुदिश s दूरी तय करते हैं। इस विस्थापन के घटक (d, d) हैं क्योंकि सदिश (vector) (d, d) की लंबाई √(d² + d²) = √(2d²) = s है। अतः: C = (0, d) + (d, d) = (d, 2d) D = (d, 0) + (d, d) = (2d, d)

चूँकि C और D, R त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि पर स्थित हैं, इसलिए उनके निर्देशांक x² + y² = R² को संतुष्ट करने चाहिए: R² = d² + (2d)² = 5d²

R² के समीकरण में d² = (s²)/(2) प्रतिस्थापित करने पर: R² = 5 ( (s²)/(2) ) = (5s²)/(2)

दिया गया है s = √(5/2), तो s² = 5/2 है। इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: R² = (5/2) · (5/2) = 25/4 R = √(25/4) = 2.5

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ = 1 + tan² θ का उपयोग करके, हम दिए गए समीकरण sec² θ + tan² θ = 5/3 को केवल टैनजेंट (tangent) के पदों में फिर से लिख सकते हैं। समीकरण में सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 + tan² θ + tan² θ = 5/3 1 + 2tan² θ = 5/3 2tan² θ = 5/3 - 1 2tan² θ = 2/3 tan² θ = 1/3

प्राथमिक न्यून कोण के लिए, हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं: tan θ = 1/√3

इसके बाद tan 2θ का मान टैनजेंट फलन के द्वि-कोण सूत्र (double angle formula) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है: tan 2θ = (2 tan θ)/(1 - tan² θ)

सूत्र में tan θ और tan² θ के मान प्रतिस्थापित करने पर: tan 2θ = 2(1/√3){1 - 1/3} tan 2θ = 2/√3{2/3} tan 2θ = (2)/(√(3)) × ³⁄₂ tan 2θ = (3)/(√(3)) = √3

व्याख्या

मान लीजिए मीनार का आधार O है और खड़े हिस्से की ऊंचाई OP = h है। जब मीनार P पर टूटती है, तो इसका शीर्ष जमीन पर बिंदु Q पर गिरता है। टूटे हुए हिस्से की लंबाई PQ है, जो समकोण त्रिभुज POQ का कर्ण बनाती है।

△ POQ में, Q पर उन्नयन कोण 60° है। त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करने पर: QO = h cot 60° = (h)/(√3) PQ = h csc 60° = (2h)/(√3)

मीनार की विपरीत दिशा में स्थित बिंदु R के लिए, P का उन्नयन कोण 30° है। △ POR में: OR = h cot 30° = h√3

दूरी QR, QO और OR का योग है क्योंकि Q और R मीनार के आधार के विपरीत दिशाओं में हैं: QR = QO + OR = (h)/(√3) + h√3 = 180 √3 से गुणा करने पर h + 3h = 180√3 प्राप्त होता है, इसलिए 4h = 180√3 और h = 45√3 मीटर।

मीनार की कुल ऊंचाई खड़े हिस्से h और टूटे हुए हिस्से PQ का योग है: कुल ऊंचाई = h + (2h)/(√3) = 45√3 + 2(45√3)/√3 कुल ऊंचाई = 45√3 + 90 = 45(√3 + 2)

व्याख्या

समीकरण sin 5θ + sin θ = sin 3θ के बाएं पक्ष में योग-से-गुणनफल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin A + sin B = 2 sin (A+B)/(2) cos (A-B)/(2) को लागू करने पर, हमें 2 sin (5θ + θ)/(2) cos (5θ - θ)/(2) = sin 3θ प्राप्त होता है। यह व्यंजक को सरल करके 2 sin 3θ cos 2θ = sin 3θ बना देता है। दोनों पक्षों को sin 3θ से विभाजित करने पर संबंध 2 cos 2θ = 1 प्राप्त होता है, जो सरल होकर cos 2θ = 1/2 हो जाता है। निर्धारित सीमा 0 < θ < π/2 के भीतर, समीकरण cos 2θ = 1/2 तब संतुष्ट होता है जब 2θ = 60° हो, जिससे θ = 30° प्राप्त होता है। मूल समीकरण में इस मान का परीक्षण करने पर, sin 30° + sin 150° = 0.5 + 0.5 = 1, जबकि sin 3(30°) = sin 90° = 1 प्राप्त होता है, जो परिणाम को सत्यापित करता है।

व्याख्या

XYZ लिमिटेड द्वारा भुगतान किए गए कर की गणना विशिष्ट वर्ष में अर्जित लाभ और लागू कर दर के आधार पर की जाती है। वर्ष Y7 के लिए, लाभ राजस्व और लागत के बीच का अंतर है:

लाभ_Y₇ = राजस्व_Y₇ - लागत_Y₇ लाभ_Y₇ = 1600 - 1240 = 360 (रुपये '000 करोड़ में)

इसके बाद इस लाभ पर 33% की कर दर लागू करके भुगतान किए गए कर का निर्धारण किया जाता है:

कर_Y₇ = कर दर_Y₇ × लाभ_Y₇ कर_Y₇ = 33% × 360 कर_Y₇ = 0.33 × 360 = 118.8

इसलिए, वर्ष Y7 में XYZ लिमिटेड द्वारा भुगतान किया गया कर 118.8 हजार करोड़ रुपये (रुपये '000 करोड़) था।

व्याख्या

किसी भी वर्ष के लिए कर पश्चात लाभ (PAT) की गणना PAT = (राजस्व - लागत) × (1 - कर दर) सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

वर्ष Y2 के लिए: लाभ = 1100 - 850 = 250 PAT = 250 × (1 - 0.22) = 250 × 0.78 = 195

वर्ष Y6 के लिए: लाभ = 1500 - 1200 = 300 PAT = 300 × (1 - 0.30) = 300 × 0.70 = 210

वर्ष Y8 के लिए: लाभ = 1850 - 1400 = 450 PAT = 450 × (1 - 0.15) = 450 × 0.85 = 382.5

परिकलित मानों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि 382.5 > 210 > 195, जो संबंध Y8 > Y6 > Y2 को स्थापित करता है।

व्याख्या

वार्षिक लाभ की गणना 'लाभ = राजस्व - लागत' सूत्र का उपयोग करके की जाती है। दिए गए आंकड़ों से प्रत्येक वर्ष के लिए इसे लागू करने पर:

Y1 के लिए: 800 - 600 = 200 Y2 के लिए: 1100 - 850 = 250 Y3 के लिए: 1200 - 900 = 300 Y4 के लिए: 1200 - 950 = 250 Y5 के लिए: 1350 - 1050 = 300 Y6 के लिए: 1500 - 1200 = 300 Y7 के लिए: 1600 - 1240 = 360 Y8 के लिए: 1850 - 1400 = 450

आठ वर्षों के लिए प्राप्त लाभ के मानों का समुच्चय {200, 250, 300, 250, 300, 300, 360, 450} है। भिन्न मानों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इस समुच्चय में अद्वितीय (unique) प्रविष्टियों की पहचान करते हैं, जो कि 200, 250, 300, 360 और 450 हैं। इन अद्वितीय प्रविष्टियों को गिनने पर कुल 5 भिन्न लाभ मान प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

प्रत्येक वर्ष के लिए कर पश्चात लाभ (PAT) की गणना सूत्र PAT = (राजस्व - लागत) × (1 - कर दर) का उपयोग करके की जाती है। प्रत्येक वर्ष के लिए दिए गए डेटा का उपयोग करने पर:

Y1 के लिए, PAT (800 - 600) × (1 - 0.20) = 200 × 0.80 = 160 है। Y2 के लिए, PAT (1100 - 850) × (1 - 0.22) = 250 × 0.78 = 195 है। Y3 के लिए, PAT (1200 - 900) × (1 - 0.22) = 300 × 0.78 = 234 है। Y4 के लिए, PAT (1200 - 950) × (1 - 0.25) = 250 × 0.75 = 187.5 है। Y5 के लिए, PAT (1350 - 1050) × (1 - 0.30) = 300 × 0.70 = 210 है। Y6 के लिए, PAT (1500 - 1200) × (1 - 0.30) = 300 × 0.70 = 210 है। Y7 के लिए, PAT (1600 - 1240) × (1 - 0.33) = 360 × 0.67 = 241.2 है। Y8 के लिए, PAT (1850 - 1400) × (1 - 0.15) = 450 × 0.85 = 382.5 है।

इन व्यक्तिगत वार्षिक मानों को जोड़ने पर कुल कर पश्चात लाभ प्राप्त होता है: 160 + 195 + 234 + 187.5 + 210 + 210 + 241.2 + 382.5 = 1820.2

व्याख्या

भिन्नों में से सबसे बड़ा मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक को उसके दशमलव रूप में बदल सकते हैं। भिन्न 3/5 का मान 0.6 के बराबर है, जबकि 4/6 सरल होकर 2/3 हो जाता है, जो लगभग 0.667 है। भिन्न 6/12 सरल होकर 1/2 हो जाता है, जो 0.5 है, और 1/276 एक बहुत छोटा मान है, जो लगभग 0.0036 है। इन दशमलव मानों की तुलना करने पर, 0.667 सबसे बड़ा है, जिससे 4/6 सबसे बड़ी भिन्न बन जाती है। हम तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) का उपयोग करके 4/6 और 3/5 की तुलना करके भी इसकी पुष्टि कर सकते हैं: 4 × 5 = 20 और 3 × 6 = 18। चूंकि 20, 18 से बड़ा है, इसलिए 4/6, 3/5 से बड़ा है। इसी प्रकार, 4/6 का मान 6/12 और 1/276 से अधिक है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 100% है। दी गई जानकारी के आधार पर: A, B और C द्वारा मिलकर किया गया कार्य A + B + C = 100% है। A और B द्वारा मिलकर किया गया कार्य A + B = 60% है। B और C द्वारा मिलकर किया गया कार्य B + C = 70% है।

प्रत्येक व्यक्ति द्वारा व्यक्तिगत रूप से किया गया कार्य ज्ञात करने के लिए: C द्वारा किया गया कार्य = (A + B + C) - (A + B) = 100% - 60% = 40%. A द्वारा किया गया कार्य = (A + B + C) - (B + C) = 100% - 70% = 30%. B द्वारा किया गया कार्य = (A + B) - A = 60% - 30% = 30%.

इन मानों की तुलना करने पर, C कार्य का 40% पूरा करता है, जबकि A और B प्रत्येक 30% पूरा करते हैं। चूंकि कार्यकुशलता को दिए गए समय में किए गए कार्य की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है, और तीनों ने समान अवधि के लिए मिलकर कार्य किया था, इसलिए जिस व्यक्ति ने कार्य का सबसे बड़ा हिस्सा पूरा किया, वह सबसे अधिक कार्यकुशल है। C सबसे अधिक कार्यकुशल है क्योंकि 40% सबसे अधिक व्यक्तिगत योगदान है।

व्याख्या

जब तीनों गोलों को पिघलाकर एक ठोस गोले में ढाला जाता है, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है। गोले का आयतन V = ⁴⁄₃π r³ द्वारा दिया जाता है।

तीनों छोटे गोलों के आयतनों का योग = ⁴⁄₃π (3³ + 4³ + 5³) = ⁴⁄₃π (27 + 64 + 125) = ⁴⁄₃π (216) सेमी³

माना नए गोले की त्रिज्या R है। तब, ⁴⁄₃π R³ = ⁴⁄₃π (216), जिससे R³ = 216 प्राप्त होता है। घनमूल लेने पर, R = 6 सेमी।

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 4π r² द्वारा दिया जाता है।

तीनों छोटे गोलों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4π (3² + 4² + 5²) = 4π (9 + 16 + 25) = 4π (50) = 200π सेमी²

नए बड़े गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4π (6²) = 144π सेमी²

पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी = 200π - 144π = 56π सेमी²

पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी = (56π)/(200π) × 100 = ⁵⁶⁄₂ = 28%

व्याख्या

सोफा सेट का अंकित मूल्य 4800 रुपये है। 10% की पहली छूट के बाद, मूल्य हो जाता है: पहली छूट के बाद मूल्य = 4800 × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) = 4800 × 0.9 = 4320

दूसरी छूट के बाद अंतिम विक्रय मूल्य 3672 रुपये है। दूसरी छूट की राशि, पहली छूट के बाद के मूल्य और अंतिम विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: दूसरी छूट की राशि = 4320 - 3672 = 648

दूसरी छूट प्रतिशत की गणना पहली छूट के बाद के मूल्य पर की जाती है: दूसरी छूट % = ⁶⁴⁸⁄₄₃₂₀ × 100 दूसरी छूट % = (648)/(43.2) = 15%

वैकल्पिक रूप से, सूत्र SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) का उपयोग करने पर: 3672 = 4800 × 0.9 × (1 - (d₂)/(100)) 3672 = 4320 × (1 - (d₂)/(100)) 1 - (d₂)/(100) = ³⁶⁷²⁄₄₃₂₀ = 0.85 (d₂)/(100) = 0.15 d₂ = 15%

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत 1 वर्ष के बाद प्राप्त मिश्रधन सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ᵗ द्वारा दिया जाता है, जहाँ P मूलधन है, r वार्षिक ब्याज दर है, और t वर्षों में समय है। चूंकि t = 1 है, इसलिए यह समीकरण सरल होकर A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀) हो जाता है।

दिए गए अनुपात 3 : 4 : 5 के आधार पर, मान लीजिए कि A, B और C के प्रारंभिक निवेश क्रमशः 30k, 40k और 50k हैं। क्रमशः 20%, 15% और 10% की ब्याज दरों का उपयोग करते हुए, 1 वर्ष के बाद मिश्रधनों की गणना निम्नानुसार की जाती है:

A के लिए: A_A = 30k × (1 + ²⁰⁄₁₀₀) = 30k × 1.2 = 36k B के लिए: A_B = 40k × (1 + ¹⁵⁄₁₀₀) = 40k × 1.15 = 46k C के लिए: A_C = 50k × (1 + ¹⁰⁄₁₀₀) = 50k × 1.1 = 55k

1 वर्ष के बाद उनके मिश्रधनों का अनुपात 36k : 46k : 55k है। प्रत्येक पद को उभयनिष्ठ गुणनखंड k से विभाजित करने पर, अंतिम अनुपात 36 : 46 : 55 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी समूह की औसत आयु को आयु के कुल योग को सदस्यों की संख्या से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है। 60.7 वर्ष की औसत आयु वाले प्रारंभिक 120 सदस्यों के लिए, उनकी आयु का कुल योग 120 × 60.7 = 7284 वर्ष है। जब 30 नए सदस्य शामिल होते हैं, तो कुल जनसंख्या 120 + 30 = 150 सदस्य हो जाती है, और उनकी नई औसत आयु 56.3 वर्ष हो जाती है। सभी 150 सदस्यों की आयु का कुल योग 150 × 56.3 = 8445 वर्ष है।

नए शामिल हुए 30 सदस्यों की कुल आयु ज्ञात करने के लिए, अंतिम योग में से प्रारंभिक योग को घटाएं: 8445 - 7284 = 1161 वर्ष। इन नए सदस्यों की औसत आयु की गणना उनकी कुल आयु को उनकी संख्या से विभाजित करके की जाती है: 1161 / 30 = 38.7 वर्ष।

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, मूल 120 सदस्यों की औसत आयु में 60.7 - 56.3 = 4.4 वर्ष की कमी आई। नए औसत तक पहुँचने के लिए मूल समूह द्वारा 'छोड़ी गई' कुल आयु 120 × 4.4 = 528 वर्ष है। यह कुल आयु 30 नए सदस्यों के बीच वितरित की जानी चाहिए, जिसका अर्थ है कि उनकी औसत आयु अंतिम औसत से 528 / 30 = 17.6 वर्ष कम है। इस प्रकार, नए सदस्यों की औसत आयु 56.3 - 17.6 = 38.7 वर्ष है।