एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए रैखिक समीकरण -3/2 + (2/3)(3x + 9) = x/2 को सरल करके शुरुआत करें। सबसे पहले, गुणनखंड 2/3 को कोष्ठक के भीतर वितरित करें: (2/3) · 3x = 2x और (2/3) · 9 = 6। समीकरण को पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है: -3/2 + 2x + 6 = x/2।

इसे और सरल करने तथा हर (denominators) को हटाने के लिए, समीकरण के प्रत्येक पद को 2 से गुणा करें। इसके परिणामस्वरूप 2(-3/2) + 2(2x) + 2(6) = 2(x/2) प्राप्त होता है, जो सरल होकर -3 + 4x + 12 = x हो जाता है। बाईं ओर के अचरों (constants) को संयोजित करने पर 4x + 9 = x प्राप्त होता है।

इसके बाद, सभी x वाले पदों को एक तरफ और अचर पदों को दूसरी तरफ ले जाकर चर x को अलग करें। दोनों पक्षों से x घटाने पर 3x + 9 = 0 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 9 घटाने पर 3x = -9 प्राप्त होता है। अंत में, दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर x = -3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक a³ - b³ के मान की गणना बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) का उपयोग करके की जा सकती है।

दिए गए मान a - b = 2 और ab = 8 को सूत्र में रखने पर:

a³ - b³ = (2)³ + 3(8)(2)

a³ - b³ = 8 + 48

a³ - b³ = 56

वैकल्पिक रूप से, दी गई शर्तों का अवलोकन करने पर, पूर्णांक a = 4 और b = 2 दोनों शर्तों a - b = 2 और ab = 8 को संतुष्ट करते हैं। इन्हें अभीष्ट व्यंजक में रखने पर 4³ - 2³ = 64 - 8 = 56 प्राप्त होता है।

व्याख्या

11 के विभाज्यता नियम के अनुसार, कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर या तो 0 हो या 11 का गुणज हो। चार अंकों की संख्या 27N4 के लिए, हम उनके स्थानों के आधार पर अंकों की पहचान करते हैं।

विषम स्थानों (पहला और तीसरा) पर अंकों का योग = 2 + N सम स्थानों (दूसरा और चौथा) पर अंकों का योग = 7 + 4 = 11

संख्या के 11 से विभाज्य होने के लिए, इन योगों के बीच का अंतर शून्य सहित 11 का गुणज होना चाहिए। हम समीकरण (2 + N) - 11 = 0 स्थापित करते हैं, जो सरल होकर N - 9 = 0 हो जाता है। इसे हल करने पर N = 9 प्राप्त होता है। चूंकि N, 0 और 9 के बीच का एक एकल-अंकीय पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए यह एकमात्र मान्य समाधान है। 11 का कोई अन्य गुणज, जैसे कि (2 + N) - 11 = 11 या (2 + N) - 11 = -11, के परिणामस्वरूप N = 20 या N = -2 प्राप्त होगा, जो एकल अंक के लिए संभव नहीं हैं। इसलिए, N का वह मान जो 2794 को 11 से विभाज्य बनाता है, 9 है।

व्याख्या

माना शून्यतर संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, यह संख्या अपने व्युत्क्रम के 7 गुना से 9.3 अधिक है, जिसे बीजीय समीकरण x - ⁷⁄ₓ = 9.3 द्वारा व्यक्त किया गया है। इस समीकरण में x = 10 रखने पर, हमें 10 - ⁷⁄₁₀ प्राप्त होता है, जो सरल होने पर 10 - 0.7 = 9.3 हो जाता है।

व्याख्या

किसी समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग सूत्र Sₙ = ⁿ⁄₂(a + l) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ n पदों की संख्या को दर्शाता है, a प्रथम पद है, और l अंतिम पद है। यह दिया गया है कि n = 12, a = 3, और l = 47 है, इन मानों को सूत्र में रखने पर S₁₂ = ¹²⁄₂(3 + 47) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर यह 6 × 50 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप कुल योग 300 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मूल बिंदु के सापेक्ष किसी बिंदु (x, y) के परावर्तन के परिणामस्वरूप बिंदु (-x, -y) प्राप्त होता है। इसलिए, यदि बिंदु P (a, b) है, तो मूल बिंदु के सापेक्ष इसका परावर्तन P₁ (-a, -b) होगा।

Y-अक्ष के सापेक्ष किसी बिंदु (x, y) के परावर्तन के परिणामस्वरूप बिंदु (-x, y) प्राप्त होता है। P₁(-a, -b) पर इस रूपांतरण को लागू करने पर, नए निर्देशांक (-(-a), -b) होंगे, जो सरल होकर (a, -b) हो जाते हैं।

प्रश्न के अनुसार, यह अंतिम स्थिति (4, -3) है। निर्देशांकों की तुलना करने पर: a = 4 -b = -3 ⟹ b = 3

इन मानों को मूल बिंदु P(a, b) में वापस प्रतिस्थापित करने पर निर्देशांक (4, 3) प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

Y-अक्ष दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को -x₁ : x₂ के अनुपात में विभाजित करता है। दिए गए बिंदुओं A(-1, 3) और B(2, -4) के लिए, x-निर्देशांक x₁ = -1 और x₂ = 2 हैं। इन मानों को अनुपात सूत्र में रखने पर -(-1) : 2 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 1 : 2 हो जाता है।

इसे विभाजन सूत्र (section formula) का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है। Y-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है। यदि Y-अक्ष रेखाखंड AB को m : n के अनुपात में विभाजित करता है, तो विभाजन बिंदु का x-निर्देशांक इस प्रकार दिया जाता है:

x = (m x₂ + n x₁)/(m + n)

x = 0 रखने पर और x₁ = -1 तथा x₂ = 2 प्रतिस्थापित करने पर:

0 = (m(2) + n(-1))/(m + n)

2m - n = 0

2m = n

m/n = 1/2

इससे पुष्टि होती है कि अनुपात 1 : 2 है।

व्याख्या

सामान्य रूप Ax + By + C = 0 में व्यक्त की गई रेखा की प्रवणता m की गणना सूत्र m = -(A)/(B) का उपयोग करके की जाती है। दिए गए समीकरण 2x + 3y = 12 के लिए, x का गुणांक A = 2 है और y का गुणांक B = 3 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर m = -⅔ प्राप्त होता है।

इसे समीकरण को प्रवणता-अंतःखंड (slope-intercept) रूप y = mx + c में परिवर्तित करके भी निर्धारित किया जा सकता है। 2x + 3y = 12 से शुरू करते हुए, हम दोनों पक्षों से 2x घटाकर y पद को अलग करते हैं जिससे हमें 3y = -2x + 12 प्राप्त होता है। प्रत्येक पद को 3 से विभाजित करने पर y = -⅔x + 4 प्राप्त होता है। इस रूप में, x का गुणांक रेखा की प्रवणता को दर्शाता है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं की लंबाइयों के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। गणितीय संबंध इस प्रकार है: (क्षेत्रफल(Δ XYZ))/(क्षेत्रफल(Δ PQR)) = ((XY)/(PQ))²

दिया गया है कि क्षेत्रफल(Δ XYZ) = 100 सेमी², क्षेत्रफल(Δ PQR) = 25 सेमी², और PQ = 4 सेमी, इन मानों को सूत्र में रखने पर: ¹⁰⁰⁄₂₅ = ((XY)/(4))²

क्षेत्रफलों के अनुपात को सरल करने पर: 4 = (XY²)/(16)

XY² को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को 16 से गुणा करने पर: XY² = 64

लंबाई ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: XY = √(64) = 8

व्याख्या

व्यंजक sec 30° + tan 60° का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिये गए कोणों के लिए मानक त्रिकोणमितीय अनुपातों को प्रतिस्थापित करते हैं। cos 30° का मान √3/2 हूता है, जिसका अर्थ है कि इसका व्युत्क्रम sec 30°, (2)/(√(3)) है। tan 60° का मान √3 है।

इन मामों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sec 30° + tan 60° = (2)/(√(3)) + √3

इसे सरल करने के लिए, हम √3 को हर में √3 वाले एक भिन्न के रूप में व्यक्त करके एक समान हर ज्ञात करते हैं: (2)/(√(3)) + √3 × √3/√3 = (2)/(√(3)) + (3)/(√(3))

भिन्नों को आपस में जोड़ने पर प्राप्त ह्यूता है: (2 + 3)/(√(3)) = (5)/(√(3))

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज Δ PQR में, जहाँ Q पर समकोण है, कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ Q = 90° और ∠ R = 30° है, ∠ P के माप की गणना इस प्रकार की जाती है:

∠ P = 180° - (∠ Q + ∠ R) ∠ P = 180° - (90° + 30°) ∠ P = 60°

cot P का मान ज्ञात करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय फलन में कोण का मान प्रतिस्थापित करते हैं:

cot P = cot 60°

मानक त्रिकोणमितीय तालिका के अनुसार, cot 60° का मान (1)/(√(3)) होता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, secant फलन को कर्ण और आधार के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि sec θ = 5/3, इसलिए हमारे पास कर्ण H = 5 और आधार B = 3 है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, H² = P² + B², जहाँ P लंब है: 5² = P² + 3² 25 = P² + 9 P² = 16 P = 4

cosecant फलन को कर्ण और लंब के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: csc θ = (H)/(P) = 5/4

भिन्न को दशमलव में बदलने पर: 5/4 = 1.25

व्याख्या

25% की पहली छूट के बाद घड़ी के मूल्य की गणना अंकित मूल्य को एक-चौथाई कम करके की जाती है: मूल्य₁ = 8400 × (1 - 0.25) = 8400 × 0.75 = 6300

दूसरी छूट के बाद अंतिम विक्रय मूल्य 5040 रुपये है। दूसरी छूट की राशि मध्यवर्ती मूल्य और अंतिम विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: छूट₂ = 6300 - 5040 = 1260

दूसरी छूट प्रतिशत d₂ की गणना मध्यवर्ती मूल्य के सापेक्ष की जाती है: d₂ = ¹²⁶⁰⁄₆₃₀₀ = ¹²⁶⁄₆₃₀

अंश और हर दोनों को 63 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर: d₂ = ²⁄₁₀ = 0.2

व्याख्या

E और B के हिस्सों का योग A, C, D और F के हिस्सों के योग के बराबर है। 100% डेटा का प्रतिनिधित्व करने वाले एक मानक वितरण में, जहाँ E और B का संयुक्त हिस्सा 50% है, शेष संस्थाओं A, C, D और F के संयुक्त हिस्से की गणना 100% - 50% = 50% के रूप में की जाती है।

अनुपात = (S_E + S_B) : (S_A + S_C + S_D + S_F)

संबंधित मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अनुपात = 50 : 50 = 1 : 1

यह समानता दर्शाती है कि संस्थाओं के दोनों समूह कुल आवंटन का समान हिस्सा रखते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 1 : 1 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

कंपनी कुल 20,00,000 रुपये का लाभ कमाती है। प्रश्न में कहा गया है कि कंपनी इस लाभ का आधा हिस्सा अपने शेयरधारकों को वितरित करने का निर्णय लेती है। इसलिए, वितरण के लिए उपलब्ध कुल राशि की गणना इस प्रकार की जाती है: वितरण के लिए राशि = 20,00,000 / 2 = 10,00,000

इस डेटा सेट से जुड़े शेयरहोल्डिंग पैटर्न के अनुसार, शेयरधारक D की कंपनी में 15 प्रतिशत हिस्सेदारी है। D द्वारा प्राप्त विशिष्ट राशि निर्धारित करने के लिए, हम वितरित की जा रही कुल राशि के 15 प्रतिशत की गणना करते हैं: D द्वारा प्राप्त राशि = 15/100 × 10,00,000 = 1,50,000

इस प्रकार, लाभ का वह हिस्सा जो D को प्राप्त होता है, 1,50,000 रुपये है।

व्याख्या

दिए गए अनुपात P : Q : R = 2 : 3 : 5 के अनुसार, हम चरों को P = 2k, Q = 3k, और R = 5k के रूप में दर्शा सकते हैं, जहाँ k एक शून्येतर स्थिरांक (non-zero constant) है। अनुपात (P + Q) : (Q + R) : (R + P) ज्ञात करने के लिए, हम इन आनुपातिक मानों का उपयोग करके व्यंजक के प्रत्येक भाग के लिए योग करते हैं।

अनुपात के पहले भाग के लिए, P + Q = 2k + 3k = 5k. अनुपात के दूसरे भाग के लिए, Q + R = 3k + 5k = 8k. अनुपात के तीसरे भाग के लिए, R + P = 5k + 2k = 7k.

इसके बाद वांछित अनुपात को 5k : 8k : 7k के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूंकि k अनुपात के तीनों पदों में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) है, इसलिए प्रत्येक पद को k से विभाजित करके इसे हटाया जा सकता है, जिससे व्यंजक सरल होकर 5 : 8 : 7 हो जाता है। व्यंजक में अनुपात के भागों 2, 3, और 5 का प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन (direct substitution) यहाँ इसलिए काम करता है क्योंकि पद P+Q, Q+R, और R+P सभी मूल चरों के रैखिक संयोजन (linear combinations) हैं, जो परिणामी अनुपात की समरूपता (homogeneity) को सुनिश्चित करते हैं।

व्याख्या

कुल आयु = औसत आयु × छात्रों की संख्या

20 छात्रों की प्रारंभिक कुल आयु = 20 × 21 = 420 वर्ष। समूह की अंतिम कुल आयु (19 छात्रों के आधार पर: 20 - 2 + 1 = 19 छात्र) = 19 × 20 = 380 वर्ष।

समूह की कुल आयु में कमी = 420 - 380 = 40 वर्ष।

यह कमी समूह छोड़ने वाले दो छात्रों की आयु के योग और शामिल होने वाले छात्र की आयु के बीच का अंतर है: (छोड़ने वाले की आयु₁ + छोड़ने वाले की आयु₂) - शामिल होने वाले की आयु = 40 (26 + छोड़ने वाले की आयु₂) - 20 = 40 6 + छोड़ने वाले की आयु₂ = 40 छोड़ने वाले की आयु₂ = 40 - 6 = 34 वर्ष।

(वैकल्पिक रूप से, यदि हम कुल छात्रों की संख्या को 20 ही मानते हैं जैसा कि प्रश्न के प्रारूप में दर्शाया गया है): यदि कुल छात्रों की संख्या को 20 मानकर गणना करें: समूह की कुल आयु में कमी = 420 - 400 = 20 वर्ष। (26 + छोड़ने वाले की आयु₂) - 20 = 20 6 + छोड़ने वाले की आयु₂ = 20 छोड़ने वाले की आयु₂ = 20 - 6 = 14 वर्ष।

व्याख्या

210 को 11 से विभाज्य बनाने के लिए उसमें से घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हम शेषफल ज्ञात करने हेतु 210 को 11 से विभाजित करते हैं। विभाजन एल्गोरिथ्म N = dq + R का उपयोग करने पर, जहाँ N भाज्य है, d भाजक है, q भागफल है, और R शेषफल है:

210 = (11 × 19) + 1

शेषफल R, 1 है। किसी संख्या को भाजक से पूर्णतः विभाज्य होने के लिए, शेषफल शून्य होना चाहिए। मूल संख्या में से शेषफल घटाने पर, हमें 210 - 1 = 209 प्राप्त होता है, जो 11 से पूर्णतः विभाज्य है (11 × 19 = 209)। अतः, घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या 1 है।

व्याख्या

किसी व्यक्ति की कार्य दर, कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय का व्युत्क्रम (reciprocal) होती है। दिया गया है कि A को 25 दिन और B को 10 दिन लगते हैं, इसलिए उनकी व्यक्तिगत कार्य दर क्रमशः 1/25 और 1/10 है। जब A, B और C मिलकर कार्य करते हैं, तो वे कार्य को 6.25 दिनों में पूरा करते हैं। चूंकि 6.25 = 25/4 है, इसलिए A, B और C की संयुक्त कार्य दर 4/25 प्रति दिन है।

अकेले C की कार्य दर, संयुक्त दर में से A और B की दरों को घटाकर प्राप्त की जाती है: C की दर = A_B_C की दर - (A की दर + B की दर) C की दर = ⁴⁄₂₅ - (¹⁄₂₅ + ⅒) C की दर = ³⁄₂₅ - ⅒

50 का उभयनिष्ठ हर (common denominator) उपयोग करने पर: C की दर = ⁶⁄₅₀ - ⁵⁄₅₀ = ¹⁄₅₀

चूंकि C प्रति दिन घर का 1/50 भाग पेंट करता है, इसलिए C को अकेले घर को पेंट करने में लगने वाला कुल समय 50 दिन है।

व्याख्या

एक खरीदें X, पाएं Y मुफ्त (Buy X Get Y Free) के प्रस्ताव में प्रभावी छूट की गणना ग्राहक द्वारा प्राप्त की गई वस्तुओं की कुल संख्या के आधार पर की जाती है। इस मामले में, खरीदी गई प्रत्येक 3 साड़ियों पर, 1 साड़ी मुफ्त प्रदान की जाती है, जिससे प्राप्त साड़ियों की कुल संख्या 3 + 1 = 4 हो जाती है।

छूट प्रतिशत मुफ्त वस्तुओं का प्राप्त कुल वस्तुओं से अनुपात है, जिसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। सूत्र का उपयोग करने पर:

छूट % = (मुफ्त वस्तुएं)/(कुल वस्तुएं) × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

छूट % = ¼ × 100 = 25%

ग्राहक प्रभावी रूप से 3 इकाइयों के लिए भुगतान करता है लेकिन 4 इकाइयां प्राप्त करता है, जिसके परिणामस्वरूप कुल लेनदेन पर 25% की छूट मिलती है।

व्याख्या

मान लीजिए R और S की वर्तमान आयु क्रमशः 6x और 7x है। दी गई जानकारी के आधार पर, बारह वर्ष पहले, उनकी आयु का अनुपात 9:11 था। इस संबंध को निम्नलिखित बीजगणितीय समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

(6x - 12)/(7x - 12) = 9/11

x का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण के पदों का वज्र-गुणन (cross-multiply) करें: 11(6x - 12) = 9(7x - 12) 66x - 132 = 63x - 108

चर (variable) को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 63x घटाएं और दोनों पक्षों में 132 जोड़ें: 66x - 63x = 132 - 108 3x = 24 x = 8

R की वर्तमान आयु 6x है। x का परिकलित मान प्रतिस्थापित करने पर: 6 × 8 = 48

यही परिणाम अनुपातों के अंतर को बराबर करके भी प्राप्त किया जा सकता है। वर्तमान अनुपात 6:7 है (अंतर 1 है) और पिछला अनुपात 9:11 है (अंतर 2 है)। वर्तमान अनुपात को 2 से गुणा करने पर 12:14 प्राप्त होता है, जिससे अंतर बराबर हो जाता है। 12 से 9 इकाइयों का परिवर्तन 12 वर्ष की अवधि को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि 3 इकाइयाँ 12 वर्ष के बराबर हैं, या 1 इकाई 4 वर्ष के बराबर है। R की वर्तमान आयु 12 × 4 = 48 वर्ष है।

व्याख्या

सही औसत की गणना उस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है जिसका उपयोग किसी मान के गलत दर्ज होने पर माध्य को समायोजित करने के लिए किया जाता है: सही औसत = पुराना औसत + (सही मान - गलत मान)/(n)। इस मामले में, प्रारंभिक औसत 25 है, छात्रों की संख्या (n) 10 है, सही अंक 43 है, और गलत तरीके से दर्ज किया गया अंक 34 है।

सबसे पहले, कुल अंकों में शुद्ध परिवर्तन निर्धारित करें, जो कि 43 - 34 = 9 है। चूंकि सही अंक गलत अंक से अधिक है, इसलिए अंकों के कुल योग में 9 की वृद्धि होनी चाहिए। औसत में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, इस शुद्ध परिवर्तन को छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करें: ⁹⁄₁₀ = 0.9। मूल औसत में इस समायोजन को जोड़ने पर सही औसत प्राप्त होता है: 25 + 0.9 = 25.9।

व्याख्या

सही उत्तर: b)

माना थोक विक्रेता के लिए क्रय मूल्य x है। थोक विक्रेता जैकेट को खुदरा विक्रेता को 25% के लाभ पर बेचता है, जिसका अर्थ है कि खुदरा विक्रेता के लिए विक्रय मूल्य x × (1 + 25/100) = 1.25x है। फिर खुदरा विक्रेता इसे ग्राहक को 20% के लाभ पर बेचता है, इसलिए ग्राहक द्वारा भुगतान की गई अंतिम कीमत 1.25x × (1 + 20/100) = 1.25x × 1.20 है।

प्रश्न के अनुसार, ग्राहक 2,400 रुपये का भुगतान करता है। इससे निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: x × 1.25 × 1.20 = 2400

तेज़ गणना के लिए भिन्नों का उपयोग करने पर: x × (5/4) × (6/5) = 2400 x × (6/4) = 2400 x × 1.5 = 2400 x = 2400 / 1.5 x = 1600

व्याख्या

प्रश्न के अनुसार, जब किसी संख्या में 24 की वृद्धि की जाती है, तो वह स्वयं की 104% हो जाती है। चूंकि कोई भी संख्या स्वयं की 100% होती है, इसलिए 24 की वृद्धि, प्रतिशत वृद्धि 104% - 100% = 4% के बराबर है।

माना वह संख्या x है। हम इस संबंध को इस प्रकार दर्शा सकते हैं: x का 4% = 24 ⁴⁄₁₀₀ × x = 24

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: x = (24 × 100)/(4) x = 6 × 100 x = 600

व्याख्या

जब किसी यात्रा में दो अलग-अलग गतियों, v₁ और v₂ पर एक ही दूरी को दो बार तय करना शामिल होता है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति गतियों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होती है। इस परिदृश्य में औसत गति का सूत्र Vₐᵥ_g = (2v₁v₂)/(v₁ + v₂) है। दिए गए मानों v₁ = 30 किमी/घंटा और v₂ = 20 किमी/घंटा को सूत्र में रखने पर Vₐᵥ_g = (2 × 30 × 20)/(30 + 20) = ¹²⁰⁰⁄₅₀ प्राप्त होता है। पदों को विभाजित करने पर, हमें औसत गति 24 किमी/घंटा प्राप्त होती है। यह सूत्र औसत गति की मूल परिभाषा से प्राप्त किया गया है, जो कि कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, जहाँ यात्रा के प्रत्येक भाग की दूरियाँ बराबर होती हैं।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ SI = 1200, R = 7.5, और T = 4 है, हमें प्राप्त होता है: 1200 = (P × 7.5 × 4)/(100)। चूंकि 7.5 × 4 = 30 है, इसलिए समीकरण सरल होकर 1200 = (30P)/(100), या 1200 = 0.3P हो जाता है। मूलधन (P) की गणना करने पर, P = (1200)/(0.3) = 4000।

व्याख्या

दिया गया समीकरण -3[1 - ˣ⁄₂] + ⁵ˣ⁄₃ = ⅙ है। पहले पद का विस्तार करने पर -3 + ³ˣ⁄₂ + ⁵ˣ⁄₃ = ⅙ प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर ³ˣ⁄₂ + ⁵ˣ⁄₃ = ⅙ + 3 प्राप्त होता है। बाईं ओर के पदों को संयोजित करने के लिए, हम उभयनिष्ठ हर 6 ज्ञात करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप (9x + 10x)/(6) = (1 + 18)/(6) प्राप्त होता है। इससे समीकरण सरल होकर ¹⁹ˣ⁄₆ = ¹⁹⁄₆ हो जाता है। दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर, हमें 19x = 19 प्राप्त होता है, और 19 से भाग देने पर x = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

a³ + b³ का मान बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। इस सूत्र में दिए गए मानों a + b = 3 और ab = -4 को प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक (3)³ - 3(-4)(3) हो जाता है। अंकगणितीय संक्रियाओं को हल करने पर परिणाम 27 - (-36) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 27 + 36 = 63 हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का उपयोग पहले a² + b² = (a + b)² - 2ab = 3² - 2(-4) = 17 ज्ञात करके किया जा सकता है, जिससे 3(17 - (-4)) = 3(21) = 63 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना शून्येतर संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, इस संख्या और इसके व्युत्क्रम के 9 गुना का योग 10 के बराबर है। इसे समीकरण x + 9(¹⁄ₓ) = 10 द्वारा दर्शाया गया है। x का मान ज्ञात करने के लिए, भिन्न को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को x से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप द्विघात समीकरण x² + 9 = 10x प्राप्त होता है। पदों को मानक रूप में व्यवस्थित करने पर x² - 10x + 9 = 0 प्राप्त होता है। इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड (x - 9)(x - 1) = 0 के रूप में किया जा सकता है। प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर x के संभावित मान 9 या 1 प्राप्त होते हैं। दिए गए विकल्पों में से, मान 9 इस शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी में, n-वें पद को सूत्र aₙ = a + (n - 1)d द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ a प्रथम पद है और d सार्व अंतर है। यह दिया गया है कि प्रथम पद a = -10 और तृतीय पद a₃ = -4 है, हम संबंध a₃ = a + 2d का उपयोग करके सार्व अंतर ज्ञात कर सकते हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर -4 = -10 + 2d प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 2d = 6 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप d = 3 प्राप्त होता है। 12वां पद ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र a₁₂ = a + 11d का उपयोग करते हैं। a और d के मानों को प्रतिस्थापित करने पर a₁₂ = -10 + 11(3) = -10 + 33 = 23 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब किसी बिंदु (x, y) का y-अक्ष में प्रतिबिंब लिया जाता है, तो y-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है जबकि x-निर्देशांक का चिह्न बदल जाता है। y-अक्ष पर प्रतिबिंब के लिए रूपांतरण नियम को (x, y) → (-x, y) के रूप में परिभाषित किया गया है। दिए गए बिंदु (2, -3.5) में, x-निर्देशांक 2 है और y-निर्देशांक -3.5 है। नियम लागू करने पर, x-निर्देशांक 2 से बदलकर -2 हो जाता है, और y-निर्देशांक -3.5 ही रहता है। इसलिए, प्रतिबिंबित बिंदु (-2, -3.5) है।

व्याख्या

एक बिंदु A (x, y) के निर्देशांक, जो B(x₁, y₁) और C(x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को m:n के अनुपात में विभाजित करता है, विभाजन सूत्र द्वारा दिए जाते हैं: x = (mx₂ + nx₁)/(m+n) और y = (my₂ + ny₁)/(m+n)। यहाँ, B के निर्देशांक (4, -4) हैं, C के निर्देशांक (0, 6) हैं, और अनुपात m:n = 1:3 है।

A का x-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए: x = (1(0) + 3(4))/(1 + 3) = ¹²⁄₄ = 3

A का y-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए: y = (1(6) + 3(-4))/(1 + 3) = (6 - 12)/(4) = ⁻⁶⁄₄ = -1.5

इस प्रकार बिंदु A के परिणामी निर्देशांक (3, -1.5) हैं।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाली रेखा की प्रवणता m को सूत्र m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) द्वारा निर्धारित किया जाता है। दिए गए निर्देशांकों (-2, -1) और (4, -3) को इस समीकरण में रखने पर:

m = (-3 - (-1))/(4 - (-2)) m = (-3 + 1)/(4 + 2) m = -2/6 m = -1/3

निर्देशांक ज्यामिति के गुणों के अनुसार, समांतर रेखाओं की प्रवणता समान होती है। अतः, बिंदुओं (-2, -1) और (4, -3) से होकर गुजरने वाली रेखा के समांतर किसी भी रेखा की प्रवणता ठीक -1/3 है।

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। चूंकि Δ XYZ ∼ Δ PQR है, इसलिए हमारे पास निम्नलिखित संबंध है:

(परिमाप(Δ XYZ))/(परिमाप(Δ PQR)) = (XY)/(PQ)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

3/2 = (XY)/(6)

XY ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

XY = 3/2 × 6

XY = 3 × 3

XY = 9 सेमी

व्याख्या

दिए गए कोणों के लिए त्रिकोणमितीय मान sec 45° = √2 और tan 30° = (1)/(√(3)) हैं। इन मानों को व्यंजक sec 45° + tan 30° में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

√2 + (1)/(√(3))

इन पदों को संयोजित करने के लिए, हम √3 का एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं। पहले पद को √3{√3} से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

√2 · √3{√3} + (1)/(√(3)) = √6 + 1{√3}

व्याख्या

समकोण त्रिभुज Δ DEF में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ E = 90° और ∠ D = 45°, तीसरे कोण ∠ F का माप समीकरण ∠ D + ∠ E + ∠ F = 180° द्वारा निर्धारित किया जाता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 45° + 90° + ∠ F = 180° प्राप्त होता है, जो सरल होकर ∠ F = 45° हो जाता है। csc F ज्ञात करने के लिए, हम csc 45° का मान ज्ञात करते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc θ = (1)/(sin θ) और मानक मान sin 45° = (1)/(√(2)) का उपयोग करके, हम पाते हैं कि csc 45° = (1)/(1/√(2)) = √2।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, cos θ को संलग्न भुजा (आधार) और कर्ण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि cos θ = 5/13, इसलिए हम संलग्न भुजा को 5 इकाई और कर्ण को 13 इकाई के रूप में निरूपित कर सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, सम्मुख भुजा (लंब) की लंबाई √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √(144) = 12 होगी। यह प्रसिद्ध पाइथागोरियन त्रिक (5, 12, 13) के अनुरूप है। कोसीकेंट फलन, csc θ, साइन फलन का व्युत्क्रम होता है और इसे कर्ण और सम्मुख भुजा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें csc θ = 13/12 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दी गई कंपनियों के लिए बार ग्राफ़ में दिए गए डेटा के आधार पर, कंपनी A और कंपनी D में कर्मचारियों की संख्या इस प्रकार है:

कंपनी A में कर्मचारियों की संख्या = 150 कंपनी D में कर्मचारियों की संख्या = 250

कंपनी D और कंपनी A के बीच कर्मचारियों की संख्या में अंतर की गणना बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाकर की जाती है:

अंतर = कंपनी D में कर्मचारी - कंपनी A में कर्मचारी अंतर = 250 - 150 = 100

व्याख्या

विभिन्न कंपनियों में कर्मचारियों की संख्या के लिए बार ग्राफ़ (दंड आरेख) में दिए गए आंकड़ों के आधार पर, कंपनियों B, D और F में कर्मचारियों की संख्या इस प्रकार है: कंपनी B में कर्मचारियों की संख्या = 150 कंपनी D में कर्मचारियों की संख्या = 180 कंपनी F में कर्मचारियों की संख्या = 420

यदि एक बीमा एजेंट इन तीनों कंपनियों के प्रत्येक कर्मचारी को एक पॉलिसी बेचता है, तो बेची गई कुल पॉलिसियों की संख्या कंपनियों B, D और F के कर्मचारियों की संख्या का योग होगी। कुल पॉलिसियाँ = कर्मचारी (B) + कर्मचारी (D) + कर्मचारी (F) कुल पॉलिसियाँ = 150 + 180 + 420 = 750

व्याख्या

निर्दिष्ट संगठनों के सांख्यिकीय आंकड़ों के आधार पर, कंपनी B में कर्मचारियों की संख्या 650 है और कंपनी E में कर्मचारियों की संख्या 130 है। यह निर्धारित करने के लिए कि कंपनी E में कर्मचारियों की संख्या, कंपनी B की तुलना में कितने प्रतिशत कम है, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

प्रतिशत कमी = (B में कर्मचारी - E में कर्मचारी)/(B में कर्मचारी) × 100

दोनों कंपनियों के बीच कर्मचारियों की संख्या का वास्तविक अंतर 650 - 130 = 520 है। प्रतिशत सूत्र में मान रखने पर प्राप्त होता है:

प्रतिशत = ⁵²⁰⁄₆₅₀ × 100

अंश और हर दोनों को 130 से विभाजित करने पर भिन्न ⁵²⁰⁄₆₅₀ सरल होकर ⅘ हो जाता है। इस भिन्न को 100 से गुणा करने पर अंतिम मान प्राप्त होता है:

⅘ × 100 = 80%

व्याख्या

इस बदलाव के लिए प्रदान किए गए आंकड़ों के आधार पर, कंपनी B में 250 कर्मचारी हैं और कंपनी F में 400 कर्मचारी हैं। कंपनी B से कंपनी F में स्थानांतरित होने वाले कर्मचारियों की संख्या की गणना कंपनी B की कुल संख्या के 20% के रूप में की जाती है।

स्थानांतरित कर्मचारियों की संख्या = 250 का 20% = ²⁰⁄₁₀₀ × 250 = 50

कंपनी F के लिए कर्मचारियों की नई संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इन स्थानांतरित कर्मचारियों को कंपनी F के मौजूदा कार्यबल में जोड़ते हैं:

कंपनी F के लिए नया कुल = F में मूल कर्मचारी + B से आए कर्मचारी नया कुल = 400 + 50 = 450

व्याख्या

120 और 450 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, हम अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) विधि का उपयोग करते हैं।

120 का अभाज्य गुणनखंडन 2³ × 3¹ × 5¹ है। 450 का अभाज्य गुणनखंडन 2¹ × 3² × 5² है।

LCM का निर्धारण दोनों संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात (highest power) को लेकर किया जाता है:

LCM(120, 450) = 2ᵐᵃˣ⁽³^,¹⁾ × 3ᵐᵃˣ⁽¹^,²⁾ × 5ᵐᵃˣ⁽¹^,²⁾ LCM = 2³ × 3² × 5² LCM = 8 × 9 × 25 LCM = 72 × 25 = 1800

वैकल्पिक रूप से, सामान्य विभाजन विधि (common division method) का उपयोग करके, हम दोनों संख्याओं को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों से विभाजित करते हैं। 120 और 450 को 10 से विभाजित करने पर 12 और 45 प्राप्त होता है। इन परिणामों को 3 से विभाजित करने पर 4 और 15 प्राप्त होता है। चूंकि 4 और 15 सह-अभाज्य (co-prime) हैं, इसलिए LCM की गणना भाजकों और शेष भागफलों के गुणनफल के रूप में की जाती है: 10 × 3 × 4 × 15 = 1800।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य A, B और C द्वारा लिए गए व्यक्तिगत दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 6, 9 और 18 का LCM 18 इकाई है।

प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता (प्रतिदिन का कार्य) की गणना इस प्रकार की जाती है: A की कार्यक्षमता = 18 / 6 = 3 इकाई/दिन B की कार्यक्षमता = 18 / 9 = 2 इकाई/दिन C की कार्यक्षमता = 18 / 18 = 1 इकाई/दिन

एक साथ काम करते हुए A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता 3 + 2 + 1 = 6 इकाई/दिन है। चूंकि वे 1 दिन तक एक साथ काम करते हैं, इसलिए पूरा किया गया कार्य 6 × 1 = 6 इकाई है।

किया जाने वाला शेष कार्य 18 - 6 = 12 इकाई है। A और B के कार्य छोड़ने के बाद, C को अकेले इस शेष कार्य को पूरा करना होगा। C द्वारा लिया गया समय शेष कार्य को C की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: समय = 12 / 1 = 12 दिन।

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S, सूत्र S = 4π r² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल 6.16 वर्ग सेमी है और π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर, हम समीकरण बनाते हैं:

4 × ²²⁄₇ × r² = 6.16

⁸⁸⁄₇ r² = 6.16

r² ज्ञात करने के लिए, पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

r² = (6.16 × 7)/(88)

r² = (43.12)/(88)

r² = 0.49

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर r = √(0.49) = 0.7 सेमी प्राप्त होता है। एक गोले के व्यास d को त्रिज्या के दोगुने (d = 2r) के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए, d = 2 × 0.7 = 1.4 सेमी।

व्याख्या

खरीदी गई वस्तुओं का कुल अंकित मूल्य 2 कमीजों और 3 जोड़ी पतलूनों की लागत को जोड़कर निकाला जाता है: 2 × 500 + 3 × 1000 = 1000 + 3000 = 4000 रुपये। कुल छूट की राशि प्रत्येक श्रेणी पर लागू छूटों का योग है: कमीजों के लिए 1000 का 20% और पतलूनों के लिए 3000 का 40%, जिसके परिणामस्वरूप 200 + 1200 = 1400 रुपये प्राप्त होते हैं। प्रभावी छूट प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, कुल छूट को कुल अंकित मूल्य से विभाजित करें और 100 से गुणा करें: (1400 / 4000) × 100 = 35%।

व्याख्या

C की संपत्ति का A की संपत्ति से अनुपात ज्ञात करने के लिए, A और C दोनों को B की संपत्ति के पदों में व्यक्त करें। दिया गया है कि A = ⁴⁄₉B और C = ⁷⁄₆B, अनुपात C:A की गणना इस प्रकार की जाती है:

(C)/(A) = (7)/(6)B / {⁴⁄₉B}

उभयनिष्ठ पद B को काटने और हर के व्युत्क्रम से गुणा करने पर:

(C)/(A) = ⁷⁄₆ × ⁹⁄₄

9 और 6 को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 से विभाजित करके पदों को सरल करने पर:

(C)/(A) = (7 × 3)/(2 × 4) = ²¹⁄₈

इसके परिणामस्वरूप अनुपात 21:8 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) में क्रमागत पदों की एक सम संख्या का औसत, दो मध्य पदों का समांतर माध्य होता है। चूंकि चार क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 40 है, इसलिए दो मध्य संख्याएं 39 और 41 होनी चाहिए। चूंकि संख्याएं क्रमागत विषम पूर्णांक हैं, इसलिए सार्व अंतर (common difference) 2 है। इसलिए, चार संख्याओं का अनुक्रम 37, 39, 41 और 43 है। इस अनुक्रम में सबसे बड़ी संख्या 43 है।

वैकल्पिक रूप से, मान लीजिए कि चार क्रमागत विषम संख्याओं को x - 3, x - 1, x + 1 और x + 3 के रूप में दर्शाया गया है। इन चारों संख्याओं का योग (x - 3) + (x - 1) + (x + 1) + (x + 3) = 4x है। औसत, योग को कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 4x / 4 = x है। यह देखते हुए कि औसत 40 है, हमें x = 40 प्राप्त होता है। इस समूह में सबसे बड़ी संख्या x + 3 है। x का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 40 + 3 = 43 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कॉफी के टिन का क्रय मूल्य (CP) प्रारंभिक विक्रय मूल्य और हानि प्रतिशत से संबंध CP = (SP)/(1 - हानि %) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, CP = (528)/(1 - 0.12) = (528)/(0.88) = 600।

जब थोक विक्रेता टिन को 636 रुपये के नए विक्रय मूल्य पर बेचता है, तो अर्जित लाभ नए विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर होता है, जो कि 636 - 600 = 36 है। लाभ प्रतिशत की गणना लाभ को क्रय मूल्य से विभाजित करके और 100 से गुणा करके की जाती है, जिससे ³⁶⁄₆₀₀ × 100 = 6% प्राप्त होता है।

सीधे अनुपात दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, विक्रय मूल्य का क्रय मूल्य के संगत प्रतिशत से अनुपात स्थिर रहता है: (528)/(100 - 12) = (636)/(100 + P)। यह सरल होकर ⁵²⁸⁄₈₈ = (636)/(100 + P) हो जाता है। चूंकि 528 ÷ 88 = 6 है, इसलिए हमारे पास 6 = (636)/(100 + P) है, जिससे 100 + P = 106 प्राप्त होता है, जो 6% के लाभ की पुष्टि करता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल संपत्ति को 100 इकाइयों के रूप में दर्शाया गया है। पत्नी को संपत्ति का 40% वसीयत किया जाता है, जो कि 40 इकाइयाँ है। बच्चों को शेष संपत्ति प्राप्त होती है, जिसकी गणना 100 - 40 = 60 इकाइयों के रूप में की जाती है। यह निर्धारित करने के लिए कि बच्चों को पत्नी के हिस्से का कितना प्रतिशत प्राप्त होता है, हम बच्चों के हिस्से का पत्नी के हिस्से से अनुपात ज्ञात करते हैं और इसे 100 से गुणा करते हैं:

प्रतिशत = (बच्चों का हिस्सा)/(पत्नी का हिस्सा) × 100

सूत्र में मान रखने पर:

प्रतिशत = ⁶⁰⁄₄₀ × 100 = ³⁄₂ × 100 = 1.5 × 100 = 150%

व्याख्या

दोनों गतियों के लिए लिया गया समय समान है। मान लीजिए कि 10 किमी/घंटा की गति से तय की गई वास्तविक दूरी D है। प्रश्न के अनुसार, 12 किमी/घंटा की गति से चलने पर उसी समय t में D + 1 दूरी तय होती है। संबंध समय = (दूरी)/(गति) का उपयोग करते हुए, हम दोनों मामलों के लिए समय की तुलना कर सकते हैं:

(D)/(10) = (D + 1)/(12)

तिर्यक गुणन (Cross-multiplying) करने पर: 12D = 10(D + 1) 12D = 10D + 10 2D = 10 D = 5

वैकल्पिक रूप से, गति में अंतर 12 - 10 = 2 किमी/घंटा है। यह अतिरिक्त गति समय t में तय की गई 1 किमी की अतिरिक्त दूरी के लिए जिम्मेदार है। इसलिए, t = (दूरी में अंतर)/(गति में अंतर) = ½ घंटा। मूल गति से तय की गई वास्तविक दूरी 10 × ½ = 5 किमी है।