एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

समकोण त्रिभुज Δ ABC में, दिया गया है कि ∠ B = 90° और ∠ A = 30° है, भुजा AC कर्ण के रूप में कार्य करती है जिसकी लंबाई 10 सेमी है। भुजा AB की लंबाई ज्ञात करने के लिए, जो कि ∠ A के सापेक्ष आधार (संलग्न भुजा) है, हम त्रिकोणमितीय कोसाइन अनुपात का उपयोग करते हैं:

cos A = (संलग्न भुजा)/(कर्ण) = (AB)/(AC)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

cos 30° = (AB)/(10)

मानक त्रिकोणमितीय मान cos 30° = √3{2} का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

√3{2} = (AB)/(10)

AB का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:

AB = 10 × √3{2} = 5√3 सेमी

यह परिणाम 30°-60°-90° के विशेष समकोण त्रिभुज के गुणों के भी अनुकूल है, जहाँ भुजाएँ 1 : √3 : 2 के अनुपात का अनुसरण करती हैं। ऐसे त्रिभुज में, 60° के कोण के सम्मुख भुजा (AB) हमेशा कर्ण की √3{2} गुनी होती है। इसलिए, AB = √3{2} × 10 = 5√3 सेमी।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, cot θ को आधार (B) और लंब (P) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि cot θ = ²⁴⁄₇, इसलिए हमारे पास B = 24 और P = 7 है। कर्ण (H) की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है:

H = √(P²⁾⁺^B^^^²

H = √(7²⁾⁺²⁴^^^²

H = √(49 + 576)

H = √(625) = 25

किसी कोण का साइन (sine) लंब और कर्ण का अनुपात होता है:

sin θ = (P)/(H) = ⁷⁄₂₅

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP), और छूट प्रतिशत (d) के बीच का संबंध सूत्र SP = MP × (100 - d)/(100) द्वारा दिया गया है।

दिया गया है कि 30% की छूट पर विक्रय मूल्य 1050 रुपये है, हम सबसे पहले वस्तु का अंकित मूल्य निर्धारित करते हैं: 1050 = MP × (100 - 30)/(100) 1050 = MP × ⁷⁰⁄₁₀₀ MP = (1050 × 100)/(70) = 1500

अंकित मूल्य 1500 रुपये ज्ञात होने के बाद, 15% की छूट पर विक्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: SP = 1500 × (100 - 15)/(100) SP = 1500 × ⁸⁵⁄₁₀₀ SP = 15 × 85 = 1275

सीधे समानुपातिक दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, चूंकि अंकित मूल्य स्थिर रहता है, इसलिए विक्रय मूल्यों का अनुपात शेष प्रतिशतों के अनुपात के बराबर होता है: (SP₁)/(100 - d₁) = (SP₂)/(100 - d₂) ¹⁰⁵⁰⁄₇₀ = (SP₂)/(85) 15 = (SP₂)/(85) SP₂ = 15 × 85 = 1275

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b और c के चतुर्थानुपाती d को अनुपात a:b = c:d द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे d = (b × c)/(a) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रश्न में, a = 336, b = 288 और c = 161 है। सूत्र में इन मानों को रखने पर प्राप्त होता है:

d = (288 × 161)/(336)

भिन्न ²⁸⁸⁄₃₃₆ को अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, जो कि 48 है, से विभाजित करके सरल किया जा सकता है। इससे प्राप्त होता है:

²⁸⁸⁄₄₈ = 6 ³³⁶⁄₄₈ = 7

इसलिए, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

d = (6 × 161)/(7)

इसके बाद, 161 को 7 से विभाजित करें:

¹⁶¹⁄₇ = 23

अंत में, परिणामों का गुणा करें:

d = 6 × 23 = 138

व्याख्या

9 और 90 के बीच की संख्याएँ जो 8 से विभाज्य हैं, एक समांतर श्रेणी बनाती हैं। इस सीमा में 8 का पहला गुणज a = 16 है (क्योंकि 8 × 2 = 16), और अंतिम गुणज l = 88 है (क्योंकि 8 × 11 = 88)। समांतर श्रेणी में किसी भी अनुक्रम के लिए, औसत पहले और अंतिम पदों का माध्य होता है, जिसकी गणना सूत्र (a + l)/(2) का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (16 + 88)/(2) = ¹⁰⁴⁄₂ = 52 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मात्राओं के अनुपात की गणना मिश्रण के नियम (alligation) का उपयोग करके की जा सकती है। माना 15% लाभ पर बेची गई मात्रा Q₁ है और 8% लाभ पर बेची गई मात्रा Q₂ है। औसत लाभ 12% है।

अनुपात Q₁ : Q₂ इस प्रकार प्राप्त होता है: (12 - 8) : (15 - 12) = 4 : 3

कुल मात्रा 630 किलोग्राम है। 8% लाभ पर बेची गई मात्रा ज्ञात करने के लिए, हम कुल अनुपात में Q₂ के हिस्से का उपयोग करते हैं: 8% लाभ पर मात्रा = (3)/(4 + 3) × 630 8% लाभ पर मात्रा = ³⁄₇ × 630 = 3 × 90 = 270 किलोग्राम

व्याख्या

दिए गए संबंध a का 50% = b से, हम b को 0.5a के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। प्रश्न में वह गुणनखंड x ज्ञात करने के लिए कहा गया है जिससे 40 का b% = x × a हो। हम प्रतिशत के सूत्र में b के मान को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

40 का b% = ᵇ⁄₁₀₀ × 40

इस समीकरण में b = 0.5a प्रतिस्थापित करने पर:

(0.5a)/(100) × 40 = (0.5 × 40)/(100) × a = ²⁰⁄₁₀₀ × a = 0.2a

a का गुणांक 0.2 है, जो यह दर्शाता है कि यह संबंध a का 0.2 है।

व्याख्या

प्रति घंटे रुकने का समय (स्टॉपेज समय) स्टॉप के कारण तय की गई दूरी में कमी की गणना करके और यह पता लगाकर निर्धारित किया जाता है कि मूल गति से उस दूरी को तय करने में कितना समय लगेगा। बिना रुके, ट्रेन एक घंटे में 120 किमी की दूरी तय करती है। रुकने के साथ, यह एक घंटे में केवल 50 किमी की दूरी तय करती है। दूरी में अंतर 120 - 50 = 70 किमी है।

स्टॉप पर बिताया गया समय उस समय के बराबर है जो ट्रेन को अपनी बिना रुके 120 किमी/घंटा की गति से इस 70 किमी की यात्रा करने में लगता। प्रति घंटे रुकने के समय के सूत्र का उपयोग करने पर:

प्रति घंटे रुकने का समय = (बिना रुके गति - रुकने के साथ गति) / (बिना रुके गति) × 60 मिनट

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

रुकने का समय = (120 - 50)/(120) × 60 = ⁷⁰⁄₁₂₀ × 60 = ⁷⁄₁₂ × 60 = 35 मिनट

व्याख्या

साधारण ब्याज पूरी अवधि में समान रूप से अर्जित किया जाता है। चूंकि दो वर्षों का साधारण ब्याज 4000 रुपये है, इसलिए पहले वर्ष का ब्याज 4000 / 2 = 2000 रुपये है और दूसरे वर्ष का ब्याज भी 2000 रुपये है। चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, पहले वर्ष में अर्जित ब्याज साधारण ब्याज के समान ही होता है, जो कि 2000 रुपये है। दो वर्षों का कुल चक्रवृद्धि ब्याज 4180 रुपये दिया गया है, जिसका अर्थ है कि दूसरे वर्ष में अर्जित ब्याज 4180 - 2000 = 2180 रुपये है।

दूसरे वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और दूसरे वर्ष के साधारण ब्याज के बीच का अंतर 2180 - 2000 = 180 रुपये है। यह 180 रुपये का अंतर पहले वर्ष के 2000 रुपये के ब्याज पर अर्जित ब्याज है। ब्याज की वार्षिक दर r की गणना निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके की जा सकती है: r = ((पहले वर्ष के ब्याज पर ब्याज)/(पहले वर्ष का ब्याज)) × 100 r = (180/2000) × 100 r = 18/2 = 9%

व्याख्या

2468 को 37 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल की गणना विभाजन एल्गोरिथ्म भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल का उपयोग करके की जाती है। 246 को 37 से विभाजित करने पर भागफल 6 प्राप्त होता है क्योंकि 37 × 6 = 222 है। इसके बाद अंतर 246 - 222 = 24 को अंतिम अंक के साथ मिलाकर 248 बनाया जाता है। 248 को पुनः 37 से विभाजित करने पर भागफल 6 प्राप्त होता है क्योंकि 37 × 6 = 222 है। 248 में से 222 घटाने पर अंतिम शेषफल 26 बचता है। इसे इस बात पर ध्यान देकर भी शीघ्रता से हल किया जा सकता है कि 999, 37 का एक गुणज है (37 × 27 = 999), जिसका अर्थ है कि 1000 को 37 से विभाजित करने पर 1 शेषफल बचता है। इसलिए, 2468 = 2(1000) + 468 ≡ 2(1) + 468 (mod 37)। 468 को 37 से विभाजित करने पर 468 = 37 × 12 + 24 प्राप्त होता है, इसलिए कुल शेषफल 2 + 24 = 26 है।

व्याख्या

यदि A, 9 दिनों में कार्य का 75% भाग पूरा करता है, तो पूरे कार्य को पूरा करने में लिया गया समय T_A = 9 ÷ ¾ = 9 × ⁴⁄₃ = 12 दिन है। यदि B, 8 दिनों में आधा कार्य पूरा करता है, तो पूरे कार्य को पूरा करने में लिया गया समय T_B = 8 × 2 = 16 दिन है।

एक साथ कार्य करने वाले A और B की संयुक्त दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग है: दर_A₊_B = ¹⁄₁₂ + ¹⁄₁₆ = (4 + 3)/(48) = ⁷⁄₄₈ कार्य प्रति दिन।

कार्य का आधा भाग पूरा करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम आवश्यक कार्य को संयुक्त दर से विभाजित करते हैं: समय = (कार्य)/(दर) = (1/2)/(7/48) = ½ × ⁴⁸⁄₇ = ²⁴⁄₇ दिन।

व्याख्या

समीकरण ²ˣ⁄₃ - (5(4x)/(5) - ⁴⁄₃){2} = ⅓ को हल करने के लिए, सबसे पहले कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें। कोष्ठक के भीतर गुणनखंड 5 को वितरित करने पर 4x - ²⁰⁄₃ प्राप्त होता है। इसके बाद समीकरण इस प्रकार हो जाता है: ²ˣ⁄₃ - (4x - 20)/(3){2} = ⅓

इसके बाद, दूसरे भिन्न के अंश के पदों को 2 से विभाजित करें: ²ˣ⁄₃ - (2x - ¹⁰⁄₃) = ⅓

कोष्ठक को हटाने के लिए ऋणात्मक चिह्न को वितरित करें: ²ˣ⁄₃ - 2x + ¹⁰⁄₃ = ⅓

भिन्नों को समाप्त करने के लिए, समीकरण के प्रत्येक पद को 3 से गुणा करें: 2x - 6x + 10 = 1

x वाले पदों और अचरों को संयोजित करें: -4x + 10 = 1 -4x = 1 - 10 -4x = -9

x का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को -4 से विभाजित करें: x = ⁻⁹⁄₋₄ = ⁹⁄₄

व्याख्या

एक घनाभ की चारों दीवारों का क्षेत्रफल उसके पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है, जिसकी गणना सूत्र 2h(l + b) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ l लंबाई है, b चौड़ाई है, और h ऊंचाई है। इस सूत्र में क्षेत्रफल के लिए दिए गए मान 400 सेमी², लंबाई के लिए 15 सेमी और ऊंचाई के लिए 8 सेमी रखने पर, हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

400 = 2 × 8 × (15 + b)

समीकरण को सरल करने पर: 400 = 16 × (15 + b)

दोनों पक्षों को 16 से विभाजित करने पर: 25 = 15 + b

b का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों से 15 घटाने पर: b = 25 - 15 = 10

घनाभ की चौड़ाई 10 सेमी है।

व्याख्या

किसी वस्तु का विक्रय मूल्य सूत्र SP = MP × (100 - D)/(100) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ MP अंकित मूल्य (marked price) है और D छूट प्रतिशत (discount percentage) है। चूँकि अंकित मूल्य स्थिर रहता है, इसलिए विक्रय मूल्य सीधे (100 - D) के समानुपाती होता है।

पहली स्थिति में, 20% की छूट के परिणामस्वरूप विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 80% होता है। MP का 80% = 2400 MP का 1% = ²⁴⁰⁰⁄₈₀ = 30

दूसरी स्थिति में, 32.5% की छूट के परिणामस्वरूप विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 100% - 32.5% = 67.5% होता है। हम इस प्रतिशत को अंकित मूल्य के 1% के मान से गुणा करके नया विक्रय मूल्य ज्ञात कर सकते हैं: नया SP = 67.5 × 30 नया SP = 2025

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b और c के चतुर्थानुपाती d की गणना समानुपात के गुण a:b = c:d का उपयोग करके की जाती है, जिससे सूत्र d = (b × c)/(a) प्राप्त होता है। दिए गए मानों a = 24, b = 120, और c = 22 को प्रतिस्थापित करने पर:

d = (120 × 22)/(24)

भिन्न को सरल करने पर, 120 को 24 से विभाजित करने पर 5 प्राप्त होता है। इसके बाद गणना इस प्रकार हो जाती है:

d = 5 × 22 = 110

व्याख्या

8 और 74 के बीच की वे संख्याएँ जो 7 से विभाज्य हैं, एक समांतर श्रेणी बनाती हैं। इस अनुक्रम में पहली संख्या 14 है, और अंतिम संख्या 70 है।

समांतर श्रेणी में संख्याओं के किसी भी समूह के लिए, औसत केवल पहले और अंतिम पदों का अंकगणितीय माध्य होता है, जिसकी गणना निम्नलिखित सूत्र द्वारा की जाती है: औसत = (a + l)/(2)

इस सूत्र में, a पहले पद (14) को दर्शाता है और l अंतिम पद (70) को दर्शाता है। सूत्र में इन मानों को रखने पर: औसत = (14 + 70)/(2) = ⁸⁴⁄₂ = 42

व्याख्या

मिश्रण के नियम (rule of alligation) को लागू करके, हम उस अनुपात को निर्धारित कर सकते हैं जिसमें चावल के दोनों हिस्सों को बेचा गया था। पहला हिस्सा 5% लाभ पर बेचा गया था, दूसरा हिस्सा 11% लाभ पर बेचा गया था, और कुल औसत लाभ 7% था।

5% लाभ पर बेची गई मात्रा का 11% लाभ पर बेची गई मात्रा से अनुपात है: (11 - 7) : (7 - 5) = 4 : 2 = 2 : 1

चावल का कुल वजन 1200 किलोग्राम है। 2:1 के अनुपात का उपयोग करने पर, कुल भाग 2 + 1 = 3 हैं। 5% लाभ पर बेची गई मात्रा 3 भागों में से 2 भागों के बराबर है: 5% लाभ पर मात्रा = ⅔ × 1200 = 800 किलोग्राम

व्याख्या

दी गई शर्त a का 20% = b को गणितीय रूप से b = 0.2a के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। वांछित व्यंजक 20 का b% है, जिसे ᵇ⁄₁₀₀ × 20 के रूप में परिभाषित किया गया है। इस व्यंजक में a के पदों में b का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

20 का b% = (0.2a)/(100) × 20 20 का b% = (0.2 × 20)/(100) × a 20 का b% = ⁴⁄₁₀₀ × a

यह परिणाम a के 4% के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, प्रतिशत सर्वसमिका (identity) 'y का x% = x का y%' का उपयोग करने पर, पद '20 का b%' वही है जो 'b का 20%' है। चूंकि b, a का 20% है, इसलिए यह व्यंजक (a के 20% का 20%) बन जाता है। दशमलव रूप में, यह 0.20 × 0.20 × a = 0.04a है, जो a के 4% को दर्शाता है।

व्याख्या

प्रति घंटे विरामों के कारण नष्ट हुए समय की गणना बिना विराम के चाल और विराम सहित चाल के बीच के अंतर को, बिना विराम के चाल के सापेक्ष ज्ञात करके की जाती है। इस स्थिति में, बस बिना रुके एक घंटे में 60 किमी की दूरी तय करती है, लेकिन विरामों को शामिल करने पर केवल 45 किमी की दूरी तय करती है। रुकने के कारण कम हुई दूरी = 60 - 45 = 15 किमी है।

60 किमी/घंटा की वास्तविक चाल से इस 15 किमी की दूरी को तय करने में जो समय लगता, वही प्रति घंटे कुल विराम का समय है। हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

प्रति घंटा विराम का समय = (बिना विराम के चाल - विराम सहित चाल)/(बिना विराम के चाल) × 60 मिनट

सूत्र में मान रखने पर: विराम का समय = (60 - 45)/(60) × 60 = ¹⁵⁄₆₀ × 60 = 15 मिनट

विरामों के कारण हर घंटे 15 किमी कम दूरी तय करके, बस वास्तव में उस घंटे के दौरान 15 मिनट के लिए स्थिर (रुकी) रहती है।

व्याख्या

दो वर्ष की अवधि के लिए ब्याज की दर r, जब साधारण ब्याज (SI) और चक्रवृद्धि ब्याज (CI) दोनों ज्ञात हों, निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: r = (2 × (CI - SI))/(SI) × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: r = (2 × (1040 - 1000))/(1000) × 100 r = (2 × 40)/(10) r = 8

वैकल्पिक रूप से, चूंकि साधारण ब्याज हर वर्ष समान रहता है, इसलिए पहले वर्ष का ब्याज 1000 / 2 = 500 है। दो वर्षों में CI और SI के बीच का अंतर, जो कि 1040 - 1000 = 40 है, पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज को दर्शाता है। इस प्रकार, r = (40 / 500) × 100 = 8%।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 5/2 - (6/5)(x - 15/2) = -x/5 है। सबसे पहले, भिन्न -6/5 को कोष्ठक के भीतर वितरित करें:

5/2 - 6x/5 + (6/5)(15/2) = -x/5

पदों को विभाजित करके गुणनफल (6/5)(15/2) को सरल करें:

5/2 - 6x/5 + 9 = -x/5

इसके बाद, समीकरण के बाईं ओर के अचर पदों को संयोजित करें। 5/2 और 9 को जोड़ने के लिए, 9 को हर 2 वाले भिन्न में बदलें:

5/2 + 18/2 - 6x/5 = -x/5 23/2 - 6x/5 = -x/5

अब, समीकरण के दोनों पक्षों में 6x/5 जोड़कर चर x को अलग करें:

23/2 = 6x/5 - x/5 23/2 = 5x/5 23/2 = x

व्याख्या

a³ - b³ का मान मानक बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। दिए गए मानों a - b = 2 और ab = 24 को सीधे सूत्र में रखने पर:

a³ - b³ = (2)³ + 3(24)(2) a³ - b³ = 8 + 144 a³ - b³ = 152

वैकल्पिक रूप से, समीकरणों a - b = 2 और ab = 24 के निरीक्षण द्वारा, हम यह पहचान सकते हैं कि संख्याएँ 6 और 4 हैं, क्योंकि 6 - 4 = 2 और 6 × 4 = 24 है। इसलिए, a³ - b³ = 6³ - 4³ = 216 - 64 = 152।

व्याख्या

दिए गए मानों के बीच के संबंध को बीजीय सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। इस सूत्र में ज्ञात मानों a + b = 4 और a³ + b³ = 28 को प्रतिस्थापित करने पर सीधा समाधान प्राप्त होता है।

4³ = 28 + 3ab(4)

64 = 28 + 12ab

दोनों पक्षों से 28 घटाने पर:

36 = 12ab

12 से भाग देने पर:

ab = 3

वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)((a + b)² - 3ab) का उपयोग करने पर:

28 = 4(4² - 3ab)

7 = 16 - 3ab

3ab = 16 - 7

3ab = 9

ab = 3

व्याख्या

माना कि भिन्न x है। प्रश्नानुसार, भिन्न के दोगुने और उसके व्युत्क्रम का योग ¹⁷⁄₆ है। इसे समीकरण 2x + ¹⁄ₓ = ¹⁷⁄₆ द्वारा व्यक्त किया जाता है।

हरों को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 6x से गुणा करने पर 12x² + 6 = 17x प्राप्त होता है। इसे एक मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर 12x² - 17x + 6 = 0 प्राप्त होता है। x का मान ज्ञात करने के लिए, हम मध्य पद को -9x और -8x में विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड करते हैं, क्योंकि उनका गुणनफल 72x² है (जो 12 × 6 के बराबर है)।

12x² - 9x - 8x + 6 = 0 3x(4x - 3) - 2(4x - 3) = 0 (3x - 2)(4x - 3) = 0

x का मान ज्ञात करने पर दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: x = ⅔ या x = ¾। दिए गए विकल्पों से इन परिणामों की तुलना करने पर, भिन्न ¾ है। मूल व्यंजक में ¾ का मान वापस रखने पर परिणाम सत्यापित होता है: 2(¾) + ⁴⁄₃ = ³⁄₂ + ⁴⁄₃ = (9 + 8)/(6) = ¹⁷⁄₆।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी में, nवां पद aₙ = a + (n-1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है।

दिया गया है a₃ = -9 और a₇ = 11, हम किन्हीं दो पदों aₘ और aₖ के बीच के अंतर के सूत्र का उपयोग करके सार्व अंतर d ज्ञात कर सकते हैं: d = (aₘ - aₖ)/(m - k)

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: d = (a₇ - a₃)/(7 - 3) = (11 - (-9))/(4) = ²⁰⁄₄ = 5

15वां पद (a₁₅) ज्ञात करने के लिए, हम 7वें पद से आगे बढ़ सकते हैं: a₁₅ = a₇ + (15 - 7)d a₁₅ = 11 + 8(5) a₁₅ = 11 + 40 = 51

व्याख्या

एक क्षैतिज रेखा y = k में किसी बिंदु (x, y) के प्रतिबिंब के परिणामस्वरूप एक बिंदु (x', y') प्राप्त होता है, जहाँ x-निर्देशांक समान रहता है (x' = x) और y-निर्देशांक सूत्र y' = 2k - y द्वारा निर्धारित होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि रेखा y = k मूल बिंदु और उसके प्रतिबिंब को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक होती है।

दिए गए बिंदु (4, 7) और रेखा y = -1 के लिए, हमारे पास x = 4, y = 7, और k = -1 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर: x' = 4 y' = 2(-1) - 7 = -2 - 7 = -9

प्रतिबिंबित बिंदु के निर्देशांक (4, -9) हैं।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता m को सूत्र m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस सूत्र में दी गई प्रवणता m = -2/3 और बिंदुओं A (x, -3) तथा B (5, 2) के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

-2/3 = (2 - (-3))/(5 - x)

दाहिनी ओर के अंश को सरल करने पर:

-2/3 = (5)/(5 - x)

x का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) करने पर:

-2(5 - x) = 3 × 5 -10 + 2x = 15

x वाले पद को अलग करने पर:

2x = 15 + 10 2x = 25 x = 25 / 2 = 12.5

व्याख्या

△ ABC में, चूंकि DE, BC के समांतर है, इसलिए AA समरूपता कसौटी के अनुसार छोटा त्रिभुज △ ADE, बड़े त्रिभुज △ ABC के समरूप है। दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

दिया गया अनुपात AD : DB = 2 : 3 है, बड़े त्रिभुज की भुजा AB की लंबाई इसके खंडों का योग है: AB = AD + DB = 2 + 3 = 5 इकाई

△ ADE और △ ABC की संगत भुजाओं का अनुपात है: (AD)/(AB) = 2/5

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म का उपयोग करने पर: (क्षेत्रफल(△ ADE))/(क्षेत्रफल(△ ABC)) = ((AD)/(AB))² = (2/5)² = 4/25

माना △ ADE का क्षेत्रफल 4 इकाई है और △ ABC का क्षेत्रफल 25 इकाई है। चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल बड़े त्रिभुज के क्षेत्रफल में से छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाकर निकाला जाता है: क्षेत्रफल(BDEC) = क्षेत्रफल(△ ABC) - क्षेत्रफल(△ ADE) = 25 - 4 = 21 इकाई

△ ADE के क्षेत्रफल का चतुर्भुज BDEC के क्षेत्रफल से अनुपात 4 : 21 है।

व्याख्या

दिए गए कोणों के लिए मानक त्रिकोणमितीय मान cot 60° = (1)/(√(3)) और cos 45° = (1)/(√(2)) हैं। इन मानों को व्यंजक cot 60° - cos 45° में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(1)/(√(3)) - (1)/(√(2))

इसे हल करने के लिए, हम दोनों हरों को गुणा करके एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं: √3 × √2 = √6। तदनुसार अंशों को समायोजित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(√2 - √3)/√6

व्याख्या

समकोण △ PQR में जहाँ ∠ Q = 90° है, भुजा RQ, ∠ R के सापेक्ष आधार (संलग्न भुजा) है, और PR कर्ण है। संलग्न भुजा और कर्ण के बीच के संबंध को कोसाइन (cosine) फलन द्वारा परिभाषित किया जाता है:

cos R = (RQ)/(PR)

यह दिया गया है कि m∠ R = 60° और RQ = 4√3 सेमी है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

cos 60° = 4√3/{PR}

मानक त्रिकोणमितीय मान cos 60° = ½ का उपयोग करने पर:

½ = 4√3/{PR}

PR की लंबाई ज्ञात करने के लिए तिर्यक-गुणन (cross-multiplying) करने पर:

PR = 2 × 4√3 = 8√3 सेमी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + tan² θ = sec² θ का उपयोग करके, हम सीधे sec θ का मान ज्ञात कर सकते हैं। यह दिया गया है कि tan θ = 9/40 है, इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

sec² θ = 1 + (9/40)² sec² θ = 1 + 81/1600 sec² θ = (1600 + 81)/1600 sec² θ = 1681/1600

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: sec θ = √(1681/1600) = 41/40

वैकल्पिक रूप से, एक समकोण त्रिभुज में, tan θ लंब और आधार का अनुपात (P/B) होता है। यहाँ, P = 9 और B = 40 है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण H = √(P² + B²) = √(9² + 40²) = √(81 + 1600) = √(1681) = 41 प्राप्त होता है। चूंकि sec θ कर्ण और आधार का अनुपात (H/B) होता है, इसलिए sec θ = 41/40 होगा।

व्याख्या

माना कि भिन्न x है। प्रश्न के अनुसार, संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: 6x - 7(1/x) = 11। x का मान ज्ञात करने के लिए, भिन्न को समाप्त करने हेतु पूरे समीकरण को x से गुणा करें, जिससे द्विघात समीकरण 6x² - 7 = 11x प्राप्त होता है।

पदों को मानक रूप ax² + bx + c = 0 में पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 6x² - 11x - 7 = 0

गुणनखंड विधि का उपयोग करते हुए, हम मध्य पद -11x को दो ऐसे पदों में विभाजित करते हैं जिनके गुणांकों का गुणनफल 6 × -7 = -42 हो और योग -11 हो। ये संख्याएँ -14 और 3 हैं: 6x² - 14x + 3x - 7 = 0 2x(3x - 7) + 1(3x - 7) = 0 (2x + 1)(3x - 7) = 0

x के लिए हल करने पर दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: x = -1/2 और x = 7/3। x = 7/3 को वापस मूल स्थिति में रखने पर, भिन्न का 6 गुना 6 × (7/3) = 14 है, और इसके व्युत्क्रम का 7 गुना 7 × (3/7) = 3 है। अंतर 14 - 3 = 11 है, जो दी गई स्थिति को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

किसी समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों के योग की गणना सूत्र Sₙ = ⁿ⁄₂(a + l) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ n पदों की संख्या है, a प्रथम पद है, और l अंतिम पद है। सूत्र में दिए गए मानों n = 11, a = -31, और l = 29 को रखने पर, हमें S₁₁ = ¹¹⁄₂(-31 + 29) प्राप्त होता है। कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को सरल करने पर S₁₁ = ¹¹⁄₂(-2) प्राप्त होता है। इन मानों को गुणा करने पर 11 × (-1) प्राप्त होता है, जो -11 के बराबर है।

व्याख्या

एक ऊर्ध्वाधर रेखा x = k में किसी बिंदु (x, y) के प्रतिबिंब के परिणामस्वरूप एक प्रतिबिंब (x', y') प्राप्त होता है, जहाँ y-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है और x-निर्देशांक इस प्रकार परिवर्तित होता है कि रेखा x = k, बिंदु और उसके प्रतिबिंब को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक होती है। नए x-निर्देशांक के लिए सूत्र x' = 2k - x है।

इसे परावर्तन रेखा x = 1 के साथ बिंदु (-1, 5) पर लागू करने पर: x' = 2(1) - (-1) = 2 + 1 = 3 y' = 5

प्रतिबिंब बिंदु के परिणामी निर्देशांक (3, 5) हैं।

व्याख्या

शीर्षों (x₁, y₁), (x₂, y₂), और (x₃, y₃) वाले एक त्रिभुज के केंद्रक (G) की गणना सूत्र G = ((x₁ + x₂ + x₃)/(3), (y₁ + y₂ + y₃)/(3)) का उपयोग करके की जाती है।

दिए गए शीर्षों A(1, -5), B(-4, 0), और C(3, -4) को सूत्र में रखने पर:

x-निर्देशांक = (1 + (-4) + 3)/(3) = ⁰⁄₃ = 0

y-निर्देशांक = (-5 + 0 + (-4))/(3) = ⁻⁹⁄₃ = -3

केंद्रक के निर्देशांक (0, -3) हैं।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाली रेखा की प्रवणता m को सूत्र m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस समीकरण में दी गई प्रवणता m = 4/3 और बिंदुओं A(x, -5) तथा B(2, -3) के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

⁴⁄₃ = (-3 - (-5))/(2 - x)

अंश में दिए गए व्यंजक को सरल करने पर:

⁴⁄₃ = (-3 + 5)/(2 - x) ⁴⁄₃ = (2)/(2 - x)

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम वज्र-गुणन (cross-multiplication) करते हैं:

4(2 - x) = 3 × 2 8 - 4x = 6 8 - 6 = 4x 2 = 4x x = ²⁄₄ x = ½

व्याख्या

Δ ABC में, चूँकि DE, BC के समानांतर है, इसलिए AA समरूपता कसौटी के अनुसार Δ ADE, Δ ABC के समरूप है। इन दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात AD/AB द्वारा दिया गया है। दिया गया अनुपात AD:DB = 1:4 है, कुल लंबाई AB, AD और DB का योग है, जिसके परिणामस्वरूप AD/AB = 1/(1+4) = 1/5 प्राप्त होता है।

समरूप त्रिभुजों का गुण यह बताता है कि उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस प्रकार, क्षेत्रफल(Δ ADE) / क्षेत्रफल(Δ ABC) का अनुपात = (AD/AB)² = (1/5)² = 1/25 है।

क्षेत्रफल(Δ ADE) को क्षेत्रफल की 1 इकाई मानकर, क्षेत्रफल(Δ ABC) 25 इकाई हो जाता है। चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल बड़े त्रिभुज के क्षेत्रफल में से छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है: क्षेत्रफल(BDEC) = क्षेत्रफल(Δ ABC) - क्षेत्रफल(Δ ADE) = 25 - 1 = 24 इकाई। इसलिए, Δ ADE के क्षेत्रफल और चतुर्भुज BDEC के क्षेत्रफल का अनुपात 1:24 है।

व्याख्या

दिए गए कोणों के लिए त्रिकोणमितीय मान cot 30° = √3 और csc 60° = (2)/(√(3)) हैं। इन मानों को व्यंजक में रखने पर:

(1)/(√(2)) cot 30° + (1)/(√(3)) csc 60° = (1)/(√(2)) (√3) + (1)/(√(3)) ( (2)/(√(3)) )

इसे सरल करने पर:

√3/√2 + 2/3

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात कीजिए, जो 3√2 है। पहले पद को 3/3 से और दूसरे पद को √2/√2 से गुणा करने पर:

3√3/(3√2) + 2√2/(3√2) = (3√3 + 2√2)/(3√2)

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में जहाँ ∠ B = 90° है, शेष कोणों A और C का योग 90° होना चाहिए। दिया गया है कि m∠ A = 60°, इसलिए m∠ C = 90° - 60° = 30° होगा।

हल किया जाने वाला व्यंजक 2 sec C × ½ sin A है। गुणांक 2 × ½ सरल होकर 1 हो जाते हैं, जिससे व्यंजक sec C × sin A बचता है। परिकलित कोणों के लिए त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर: sec 30° = (2)/(√(3)) sin 60° = √3/2

व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (2)/(√(3)) × √3/2 = 1

वैकल्पिक रूप से, चूंकि C = 90° - A है, हम सह-फलन सर्वसमिका sec(90° - A) = csc A का उपयोग कर सकते हैं। तब यह व्यंजक csc A × sin A हो जाता है। चूंकि csc A, sin A का व्युत्क्रम है, इसलिए किसी भी मान्य कोण A के लिए गुणनफल csc A × sin A का मान 1 के बराबर होता है।

व्याख्या

4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। इस सीमा के भीतर 81 का सबसे बड़ा गुणज ज्ञात करने के लिए, हम 9999 को 81 से विभाजित करते हैं और प्राप्त शेषफल को 9999 से घटाते हैं।

9999 को 81 से विभाजित करने पर: 99 ÷ 81 = 1, शेषफल 18 के साथ। अगला 9 नीचे लाने पर 189 प्राप्त होता है। 189 ÷ 81 = 2 (81 × 2 = 162), शेषफल 27 के साथ। अंतिम 9 नीचे लाने पर 279 प्राप्त होता है। 279 ÷ 81 = 3 (81 × 3 = 243), शेषफल 36 के साथ।

शेषफल 36 है। इसे 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या से घटाने पर: 9999 - 36 = 9963

वैकल्पिक रूप से, भाजक को विभाजन से प्राप्त पूर्णांक भागफल से गुणा करने पर परिणाम प्राप्त होता है: 81 × 123 = 9963

चूंकि एक और 81 जोड़ने पर 5 अंकों की संख्या (9963 + 81 = 10044) प्राप्त होगी, इसलिए 9963, 81 से पूर्णतः विभाज्य 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या है।

व्याख्या

दो लोगों द्वारा मिलकर कार्य करने में लिया गया समय उनके व्यक्तिगत समय से इस सूत्र द्वारा संबंधित होता है: 1/T_कुल = 1/T_A + 1/T_B। यह देखते हुए कि A और B मिलकर कार्य को 7.5 दिनों में पूरा करते हैं (T_कुल = 7.5) और A अकेले इसे 10 दिनों में पूरा करता है (T_A = 10), समीकरण इस प्रकार है:

1/7.5 = 1/10 + 1/T_B

B की दर ज्ञात करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर:

1/T_B = 1/7.5 - 1/10

7.5 को भिन्न 15/2 में बदलने से गणना सरल हो जाती है:

1/T_B = 2/15 - 1/10

30 को सामान्य हर (common denominator) के रूप में उपयोग करने पर:

1/T_B = 4/30 - 3/30 = 1/30

इससे T_B = 30 दिन प्राप्त होता है। कार्यक्षमता विधि (efficiency method) का उपयोग करते हुए, यदि कुल कार्य को 30 इकाई (7.5 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य - LCM) मान लिया जाए, तो A और B की संयुक्त कार्यक्षमता 30 / 7.5 = 4 इकाई प्रति दिन है। चूंकि A की कार्यक्षमता 30 / 10 = 3 इकाई प्रति दिन है, इसलिए B की कार्यक्षमता 4 - 3 = 1 इकाई प्रति दिन होगी। इसलिए, B को अकेले कार्य पूरा करने में 30 / 1 = 30 दिन लगेंगे।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, tan θ लंब (P) और आधार (B) का अनुपात होता है। दिया गया है कि tan θ = ⁷⁄₂₄, इसलिए हम P = 7 और B = 24 ले सकते हैं। पाइथागोरियन त्रिक (7, 24, 25) या पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण (H) की गणना H = √(P² + B²) = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √(625) = 25 के रूप में की जाती है। cosec θ का मान कर्ण और लंब का अनुपात होता है, जिसे cosec θ = (H)/(P) = ²⁵⁄₇ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

व्याख्या

एक आयत का परिमाप P, सूत्र P = 2(l + b) द्वारा दिया जाता है, जहाँ l लंबाई है और b चौड़ाई है।

दिया गया है कि परिमाप 48 सेमी है और चौड़ाई 10 सेमी है, लंबाई ज्ञात करने के लिए हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

48 = 2(l + 10) 24 = l + 10 l = 14 सेमी

एक आयत का क्षेत्रफल A, सूत्र A = l × b द्वारा निर्धारित किया जाता है। लंबाई और दी गई चौड़ाई का मान रखने पर:

A = 14 × 10 = 140 सेमी²

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) की गणना अंकित मूल्य (MP) पर छूट लागू करके इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: SP = MP × (1 - (छूट%)/(100))। यह देखते हुए कि विक्रय मूल्य 1000 है और छूट 20% है, समीकरण 1000 = MP × (1 - 0.20) हो जाता है, जो सरल होकर 1000 = MP × 0.80 हो जाता है। अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम विक्रय मूल्य को 0.8 से विभाजित करते हैं: MP = (1000)/(0.8) = 1250। यह गणना दर्शाती है कि 20% की कटौती से पहले वास्तविक मूल्य 1250 था।

व्याख्या

समीकरण A = 2B = 4C से अनुपात A : B : C ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक पद को संख्यात्मक गुणांकों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाजित करें। गुणांक 1, 2 और 4 हैं। उनका LCM 4 है। संपूर्ण समीकरण को 4 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

A/4 = 2B/4 = 4C/4

A/4 = B/2 = C/1

A/x = B/y = C/z के रूप में व्यक्त की गई समानता में, अनुपात A : B : C सीधे हरों x : y : z द्वारा दिया जाता है। सरलीकृत समीकरण से मानों को प्रतिस्थापित करने पर, अनुपात A : B : C, 4 : 2 : 1 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, संपूर्ण व्यंजक को LCM (4) के बराबर रखने पर A = 4, 2B = 4 (जिसका अर्थ है B = 2), और 4C = 4 (जिसका अर्थ है C = 1) प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रारंभिक 4 वस्तुओं की कुल लागत की गणना औसत लागत को वस्तुओं की संख्या से गुणा करके की जाती है: 4 × 1250 = 5000। जब 2000 रुपये की लागत वाली पांचवीं वस्तु जोड़ी जाती है, तो 5 वस्तुओं की नई कुल लागत 5000 + 2000 = 7000 हो जाती है। नया औसत इस कुल लागत को वस्तुओं की नई संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है: ⁷⁰⁰⁰⁄₅ = 1400। वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, नई वस्तु पिछले औसत से 2000 - 1250 = 750 की अतिरिक्त राशि लाती है। इस अतिरिक्त राशि को सभी 5 वस्तुओं में समान रूप से वितरित करने पर मूल औसत में ⁷⁵⁰⁄₅ = 150 की वृद्धि होती है, जिसके परिणामस्वरूप 1250 + 150 = 1400 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि क्रय मूल्य CP है। 20% की हानि का अर्थ है कि विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य का 100% - 20% = 80% है। सूत्र SP = CP × (1 - हानि%) का उपयोग करके, हम क्रय मूल्य ज्ञात करते हैं: 24 = CP × 0.80 CP = (24)/(0.8) = 30

जब विक्रय मूल्य 36 रुपये है, तो लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 36 - 30 = 6 लाभ प्रतिशत = (लाभ)/(CP) × 100 = ⁶⁄₃₀ × 100 = 20%

वैकल्पिक रूप से, विक्रय मूल्यों के उनके क्रय मूल्य के प्रतिशत गुणकों के सीधे अनुपात का उपयोग करके: SP₁/{100 - L₁} = SP₂/{100 + P₂} ²⁴⁄₈₀ = (36)/(100 + P₂) ³⁄₁₀ = (36)/(100 + P₂) 3 × (100 + P₂) = 360 100 + P₂ = 120 P₂ = 20%

व्याख्या

माना कि अज्ञात मान को x द्वारा दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार, x का 0.25%, 20 है, जिसे गणितीय समीकरण में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(0.25)/(100) × x = 20

x का मान ज्ञात करने के लिए, चर को अलग करने हेतु समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

x = (20 × 100)/(0.25)

चूंकि 0.25 भिन्न ¼ के बराबर है, इसलिए इस विभाजन को सरल बनाया जा सकता है:

x = (2000)/(1/4)

x = 2000 × 4

x = 8000

वैकल्पिक रूप से, प्रतिशत-आधारित शॉर्टकट का उपयोग करते हुए, यदि किसी संख्या का 0.25%, 20 है, तो उस संख्या का 1% इसका चार गुना होगा क्योंकि 0.25 × 4 = 1 होता है। इसलिए, 1% बराबर होगा 20 × 4 = 80। पूर्ण मान (100%) ज्ञात करने के लिए, 1% के मान को 100 से गुणा करें। इससे 80 × 100 = 8000 प्राप्त होता है। यह विधि प्रतिशत को आसानी से प्रबंधनीय भागों में विभाजित करके त्वरित मानसिक गणना की अनुमति देती है।

व्याख्या

जब दूरी स्थिर होती है, तो गति और समय एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं (v₁ t₁ = v₂ t₂)। दी गई प्रारंभिक गति v₁ = 40 किमी/घंटा और प्रारंभिक समय t₁ = 25 मिनट है, हम समीकरण का उपयोग करके नए समय t₂ = 20 मिनट के लिए आवश्यक गति v₂ ज्ञात कर सकते हैं:

40 × 25 = v₂ × 20

1000 = v₂ × 20

v₂ = ¹⁰⁰⁰⁄₂₀ = 50 किमी/घंटा

गति में आवश्यक वृद्धि ज्ञात करने के लिए, नई गति में से मूल गति को घटाएं:

गति में वृद्धि = v₂ - v₁ = 50 - 40 = 10 किमी/घंटा

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, किसी भी दिए गए वर्ष का ब्याज पिछले वर्ष के ब्याज और उस ब्याज पर निर्दिष्ट दर से अर्जित ब्याज के योग के बराबर होता है। दो क्रमागत वर्षों के चक्रवृद्धि ब्याज के बीच के संबंध को सूत्र CIₙ₊₁ = CIₙ(1 + ʳ⁄₁₀₀) द्वारा परिभाषित किया जाता है।

दिया गया है कि तीसरे वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज CI₃ = 1,240 रुपये है और ब्याज की दर r = 9% है, तो चौथे वर्ष के ब्याज की गणना निम्नानुसार की जाती है:

CI₄ = 1240 × (1 + ⁹⁄₁₀₀) CI₄ = 1240 × 1.09 CI₄ = 1240 + (1240 × 0.09) CI₄ = 1240 + 111.6 CI₄ = 1351.6