एसएससी सीजीएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कोई रेखा Y-अक्ष को उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है जहाँ उसका x-निर्देशांक शून्य होता है। समीकरण 2x - 3y = 6 के लिए इस बिंदु को ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण में x = 0 रखते हैं:

2(0) - 3y = 6 -3y = 6 y = ⁶⁄₋₃ y = -2

इसलिए, वह बिंदु जहाँ रेखा Y-अक्ष को काटती है, उसके निर्देशांक (0, -2) हैं।

व्याख्या

त्रिभुजों की समरूपता का गुण यह बताता है कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी किन्हीं दो संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस मामले में, Δ ABC ∼ Δ PQR के लिए, संबंध सूत्र (क्षेत्रफल(Δ ABC))/(क्षेत्रफल(Δ PQR)) = ((AB)/(PQ))² द्वारा दिया गया है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण ³⁶⁄₉ = ((AB)/(4))² हो जाता है, जो सरल होकर 4 = ((AB)/(4))² हो जाता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर 2 = (AB)/(4) प्राप्त होता है। भुजा की लंबाई के लिए हल करने पर, AB = 2 × 4 = 8 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान cot 45° = 1 और csc 60° = (1)/(sin 60°) = (2)/(√(3)) हैं। इन मानों को व्यंजक में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

cot 45° + csc 60° = 1 + (2)/(√(3))

व्यंजक को सरल करने के लिए पदों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, हमें प्राप्त होता है:

√3 + 2{√3}

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। दिए गए △ LMN के लिए, जो M पर समकोण है, कोण ∠ M = 90° है। यह दिया गया है कि ∠ N = 60° है, हम कोण योग गुणधर्म का उपयोग करके ∠ L का मान ज्ञात कर सकते हैं:

∠ L + ∠ M + ∠ N = 180° ∠ L + 90° + 60° = 180° ∠ L + 150° = 180° ∠ L = 180° - 150° = 30°

प्रश्न में tan L का मान पूछा गया है। ∠ L के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करने पर:

tan L = tan 30°

मानक त्रिकोणमितीय सारणी के अनुसार, tan 30° का मान 1/3 होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपात tan θ को लंब (P) और आधार (B) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि tan θ = 4/3, इसलिए हम P = 4 और B = 3 मान सकते हैं। कर्ण (H) ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: H = √(P² + B²)। मानों को प्रतिस्थापित करने पर H = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √(25) = 5 प्राप्त होता है। sin θ का मान लंब और कर्ण के अनुपात, P/H के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए, sin θ = 4/5, जो दशमलव रूप में 0.8 के बराबर है।

व्याख्या

कंपनी का व्यय विभिन्न श्रेणियों में विभाजित है, जिसमें सबसे बड़ा एकल खर्च कुल बजट का 30% है। बिजली कुल व्यय का 25% है। चूंकि प्रमुख व्यय श्रेणी के बाद दर्ज किया गया सबसे अधिक प्रतिशत 25% है, इसलिए बिजली को कंपनी के दूसरे सबसे बड़े खर्च के रूप में पहचाना जाता है।

व्याख्या

कंपनी के लिए व्यय वितरण कुल बजट का 30% कच्चे माल को और 15% परिवहन को आवंटित करता है। वेतन पर होने वाला व्यय 15% है। कच्चे माल और परिवहन पर संयुक्त व्यय उनके व्यक्तिगत हिस्सों का योग है:

संयुक्त व्यय = 30% + 15% = 45%

कच्चे माल और परिवहन पर संयुक्त व्यय का वेतन पर होने वाले व्यय से अनुपात निम्नलिखित गणना का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:

अनुपात = (संयुक्त व्यय)/(वेतन) = (45%)/(15%)

अंश और हर दोनों को 15 से विभाजित करने पर भिन्न सरल होकर 3 : 1 हो जाता है।

व्याख्या

2017 SSC CGL परीक्षा प्रश्नपत्र के संदर्भ में, संबंधित पाई चार्ट में दिए गए आंकड़े दर्शाते हैं कि ब्याज पर व्यय 10% है और किराए पर व्यय 5% है। यह ज्ञात करने के लिए कि ब्याज, किराए से कितना अधिक है, गणना ((10 - 5) / 5) x 100 है, जो 100% के बराबर है।

व्याख्या

कंपनी का कुल व्यय 50 करोड़ रुपये दिया गया है। कंपनी के लिए प्रदान किए गए व्यय वितरण के अनुसार, कुल लागत में परिवहन का हिस्सा 15% और बिजली का हिस्सा 25% है। इन दोनों मदों पर संयुक्त व्यय ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले उनका कुल प्रतिशत हिस्सा निर्धारित करते हैं:

संयुक्त प्रतिशत = 15% + 25% = 40%

परिवहन और बिजली पर कुल व्यय की गणना इस संयुक्त प्रतिशत को सूत्र का उपयोग करके कुल व्यय पर लागू करके की जाती है:

मान = (प्रतिशत)/(100) × कुल व्यय

मान = ⁴⁰⁄₁₀₀ × 50

मान = 0.4 × 50 = 20

गणना का परिणाम 20 करोड़ रुपये है।

व्याख्या

जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या निर्धारित करने के लिए, हम विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके 329 की 7 से विभाज्यता की जांच करते हैं:

329 ÷ 7

पहले दो अंकों को विभाजित करने पर: 32 = (7 × 4) + 4। शेषफल 4 है। इस शेषफल को अगले अंक के साथ मिलाने पर: 49 = 7 × 7। शेषफल 0 है।

चूंकि 329 = 7 × 47 है, इसलिए यह संख्या बिना किसी शेषफल के पहले से ही 7 से पूर्णतः विभाज्य है। जब कोई संख्या पहले से ही भाजक से विभाज्य होती है, तो विभाज्यता बनाए रखने के लिए उसमें जोड़ी जाने वाली न्यूनतम गैर-ऋणात्मक पूर्णांक संख्या 0 होती है।

व्याख्या

A और B के एक साथ मिलकर कार्य करने की संयुक्त दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग है। दर के सूत्र R = 1/T का उपयोग करने पर, A की दर 1/15 है और B की दर 1/30 है। उनकी संयुक्त दर 1/15 + 1/30 = (2 + 1)/30 = 3/30 = प्रति दिन कुल कार्य का 1/10 भाग है। परिणामस्वरूप, A और B मिलकर 100% कार्य को 10 दिनों में पूरा कर सकते हैं। कार्य का 50% भाग पूरा करने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम कुल समय को आवश्यक भिन्न से गुणा करते हैं: 10 × 0.5 = 5 दिन। वैकल्पिक रूप से, 30 इकाइयों के एक सामान्य गुणज के साथ कुल कार्य विधि का उपयोग करने पर, A प्रति दिन 2 इकाइयाँ पूरी करता है और B प्रति दिन 1 इकाई पूरी करता है। एक साथ वे प्रति दिन 3 इकाइयाँ पूरी करते हैं, और कार्य का 50% भाग (जो कि 15 इकाइयाँ है) पूरा करने में लिया गया समय 15 / 3 = 5 दिन है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = √3{4} a² द्वारा ज्ञात किया जाता है। दी गई भुजा की लंबाई a = 10 सेमी को सूत्र में रखने पर, हमें क्षेत्रफल = √3{4} × (10)² प्राप्त होता है। भुजा का वर्ग करने पर 100 प्राप्त होता है, इसलिए यह व्यंजक √3{4} × 100 हो जाता है। 100 को 4 से विभाजित करने पर 25 प्राप्त होता है, जिससे अंतिम क्षेत्रफल 25√3 वर्ग सेमी हो जाता है।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए प्रभावी छूट ज्ञात करने के लिए, सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करें। इस संबंध में दिए गए मान x = 15 और y = 50 रखने पर कुल छूट प्राप्त होती है:

15 + 50 - (15 × 50)/(100)

गणना करने पर 65 - ⁷⁵⁰⁄₁₀₀ प्राप्त होता है, जो कि 65 - 7.5 = 57.5 है।

वैकल्पिक रूप से, प्रारंभिक अंकित मूल्य को 100 मानने पर, 15% की छूट मूल्य को घटाकर 85 कर देती है। इसके बाद 85 पर 50% की छूट देने से मूल्य 42.5 (0.50 × 85) कम हो जाता है, जिससे अंतिम विक्रय मूल्य 42.5 रह जाता है। मूल मूल्य के सापेक्ष कुल छूट 100 - 42.5 = 57.5 है, जो 57.5% की प्रभावी छूट को दर्शाता है।

व्याख्या

42,500 रुपये के कुल लाभ को साझेदारों A, B और C के बीच 3:5:9 के अनुपात में विभाजित किया गया है। व्यक्तिगत हिस्से ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले अनुपात के पदों का योग ज्ञात करें: 3 + 5 + 9 = 17।

A के हिस्से की गणना कुल लाभ को अनुपात में A के हिस्से को दर्शाने वाले भिन्न से गुणा करके की जाती है:

A का हिस्सा = ³⁄₁₇ × 42500

42,500 को 17 से विभाजित करने पर 2,500 प्राप्त होता है। इस मान को A के अनुपात वाले भाग (3) से गुणा करने पर अंतिम राशि प्राप्त होती है:

3 × 2500 = 7500

व्याख्या

A, B और C का कुल वजन उनके औसत वजन को व्यक्तियों की संख्या से गुणा करके निकाला जाता है: 3 × 49 = 147 किग्रा। इसी प्रकार, A और B के वजन का योग 2 × 35 = 70 किग्रा है, और B और C के वजन का योग 2 × 62 = 124 किग्रा है।

B का वजन ज्ञात करने के लिए, हम दो-व्यक्तियों के योगों को जोड़ते हैं और तीन-व्यक्तियों के कुल योग को घटाते हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि (A + B) + (B + C) = A + 2B + C होता है। इस परिणाम में से (A + B + C) को घटाने पर केवल B का वजन बचता है:

B का वजन = (A + B) + (B + C) - (A + B + C) B का वजन = 70 + 124 - 147 B का वजन = 194 - 147 = 47 किग्रा

व्याख्या

विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य और लाभ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है: लाभ = कुल विक्रय मूल्य - कुल क्रय मूल्य। मान लीजिए कि एक वस्तु का विक्रय मूल्य (SP) x है। 6 वस्तुओं के लिए, कुल विक्रय मूल्य 6x है। प्रश्न के अनुसार, अर्जित लाभ एक वस्तु के विक्रय मूल्य के बराबर है, इसलिए लाभ = x।

6 वस्तुओं का क्रय मूल्य (CP) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं: कुल CP = कुल विक्रय मूल्य - लाभ। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: कुल CP = 6x - x = 5x।

लाभ प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य पर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = ((लाभ)/(कुल CP)) × 100

समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = (ˣ⁄₅ₓ) × 100 = ⅕ × 100 = 20

व्याख्या

औसत गति सूत्र V = (D)/(T) द्वारा निर्धारित की जाती है, जहाँ D दूरी है और T समय है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, V = (81 किमी)/(1.5 घंटा) = 54 किमी/घंटा। परिणाम को किलोमीटर प्रति घंटा से मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, परिवर्तन कारक ⁵⁄₁₈ से गुणा करें:

V = 54 × ⁵⁄₁₈ = 3 × 5 = 15 मीटर/सेकंड

वैकल्पिक रूप से, इकाइयों को व्यक्तिगत रूप से बदलने पर, दूरी 81 × 1000 = 81,000 मीटर है और समय 1.5 × 3600 = 5,400 सेकंड है। आवश्यक इकाइयों में सीधे गति की गणना करने पर:

V = (81,000 मीटर)/(5,400 सेकंड) = ⁸¹⁰⁄₅₄ = 15 मीटर/सेकंड

व्याख्या

साधारण ब्याज की दर की गणना मूलधन में हुई कुल प्रतिशत वृद्धि को समयावधि से विभाजित करके की जाती है। चूंकि मूलधन 4 वर्षों में 32% बढ़ता है, इसलिए वार्षिक ब्याज दर R = (32%)/(4) = 8% प्रति वर्ष है।

8% वार्षिक दर पर 3 वर्षों के लिए 24,000 रुपये पर चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करने के लिए, हम पहले 3 वर्षों के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर निर्धारित करते हैं। क्रमिक प्रतिशत सूत्र या प्रत्यक्ष सूत्र Rₑ_f_f = 3r + (3r²)/(100) + (r³)/(10000) का उपयोग करते हुए, जहाँ r = 8 है: Rₑ_f_f = 3(8) + ³⁽⁶⁴⁾⁄₁₀₀ + ⁵¹²⁄₁₀₀₀₀ Rₑ_f_f = 24 + 1.92 + 0.0512 = 25.9712%

अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज इस प्रभावी दर को मूलधन पर लागू करके प्राप्त किया जाता है: CI = 24000 × (25.9712)/(100) CI = 240 × 25.9712 CI = 6233.088

विकल्पों के अनुसार निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करने पर, अर्जित ब्याज 6,233 रुपये है। इसे इस बात पर ध्यान देकर भी सत्यापित किया जा सकता है कि 24,000 का 26% 6,240 होता है, और चूंकि प्रभावी दर 26% (25.97%) से थोड़ी कम है, इसलिए परिणाम 6,240 से थोड़ा कम होना चाहिए।

व्याख्या

कोष्ठक में ⁵⁄₂ को वितरित करके समीकरण का विस्तार करें: ⁵⁄₂ × ⁸ˣ⁄₃ - ⁵⁄₂ × ½ + ¹³⁄₂ = ²ˣ⁄₃ ²⁰ˣ⁄₃ - ⁵⁄₄ + ¹³⁄₂ = ²ˣ⁄₃

x वाले पदों को बाईं ओर और अचर (constant) पदों को दाईं ओर समूहित करें: ²⁰ˣ⁄₃ - ²ˣ⁄₃ = ⁵⁄₄ - ¹³⁄₂

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें। बाईं ओर, उभयनिष्ठ हर (common denominator) 3 है: ¹⁸ˣ⁄₃ = ⁵⁄₄ - ²⁶⁄₄ 6x = -²¹⁄₄

दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करके x का मान ज्ञात करें: x = -(21)/(4 × 6) x = -²¹⁄₂₄

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), 3 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है: x = -⅞

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) है। दिए गए मानों a³ + b³ = 72 और ab = 8 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, माना s = a + b:

72 = s³ - 3(8)(s) 72 = s³ - 24s s³ - 24s - 72 = 0

विकल्पों से मानों का परीक्षण करने पर, s = 6 के लिए: 6³ - 24(6) - 72 = 216 - 144 - 72 = 0

वैकल्पिक रूप से, निरीक्षण द्वारा, हम ऐसी दो संख्याएँ खोजते हैं जिनका गुणनफल 8 हो और उनके घनों का योग 72 हो। 8 के गुणनखंड 4 और 2 हैं। इन मानों की जाँच करने पर: 4³ + 2³ = 64 + 8 = 72 इसलिए, योग a + b = 4 + 2 = 6 है।

व्याख्या

माना भिन्न x है। प्रश्न के अनुसार समीकरण 4x + 7(¹⁄ₓ) = 16 प्राप्त होता है। इस समीकरण में 7/2 मान रखकर, हम इसकी सत्यता की सीधे पुष्टि कर सकते हैं:

4(⁷⁄₂) + 7(²⁄₇) = 16

2(7) + 2 = 16

14 + 2 = 16

16 = 16

बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है, जिससे पुष्टि होती है कि 7/2 सही भिन्न है। इसे द्विघात समीकरण 4x² - 16x + 7 = 0 बनाकर भी हल किया जा सकता है। द्विघात सूत्र x = -b ± √(b²⁾⁻⁴ᵃᶜ{2a} का उपयोग करने पर, जहाँ a = 4, b = -16, और c = 7 है:

x = 16 ± √(256 - 112){8}

x = 16 ± √(144){8} = (16 ± 12)/(8)

x के संभावित मान ²⁸⁄₈ = ⁷⁄₂ और ⁴⁄₈ = ½ हैं। दिए गए विकल्पों में से, 7/2 वह मान है जो शर्तों को पूरा करता है।

व्याख्या

जब एक बिंदु (x, y) को एक ऊर्ध्वाधर रेखा x = k में प्रतिबिंबित किया जाता है, तो y-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है क्योंकि रूपांतरण केवल क्षैतिज अक्ष के अनुदिश होता है। प्रतिबिंब का x-निर्देशांक, x', इस तथ्य से निर्धारित होता है कि परावर्तन रेखा x = k, मूल x-निर्देशांक और प्रतिबिंब के x-निर्देशांक के बीच का मध्यबिंदु है। इस संबंध को सूत्र x' = 2k - x द्वारा व्यक्त किया जाता है।

दिए गए बिंदु (-3, 2) और परावर्तन रेखा x = -2 के लिए, हम सूत्र में x = -3 और k = -2 प्रतिस्थापित करते हैं: x' = 2(-2) - (-3) x' = -4 + 3 = -1

चूंकि y-निर्देशांक 2 ही रहता है, इसलिए प्रतिबिंबित बिंदु (-1, 2) है।

व्याख्या

अंत्य बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) वाले एक रेखाखंड के मध्यबिंदु P(x, y) को मध्यबिंदु सूत्र x = x₁ + x₂{2} और y = y₁ + y₂{2} द्वारा निर्धारित किया जाता है। मध्यबिंदु P(1, 3) और एक अंत्य बिंदु A(-3, 8) के निर्देशांक दिए गए हैं, इन समीकरणों में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करके बिंदु B(x₂, y₂) के निर्देशांक ज्ञात किए जा सकते हैं।

x-निर्देशांक के लिए: 1 = -3 + x₂{2} 2 = -3 + x₂ x₂ = 2 + 3 = 5

y-निर्देशांक के लिए: 3 = 8 + y₂{2} 6 = 8 + y₂ y₂ = 6 - 8 = -2

इन रैखिक समीकरणों को हल करने पर, बिंदु B के निर्देशांक (5, -2) प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाली रेखा की प्रवणता m₁ की गणना सूत्र m₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) का उपयोग करके की जाती है। बिंदुओं (3, -2) और (4, 2) के लिए, प्रवणता m₁ = (2 - (-2))/(4 - 3) = ⁴⁄₁ = 4 है। दो रेखाएं परस्पर लंबवत होती हैं यदि उनकी प्रवणताओं का गुणनफल -1 हो, जिसे संबंध m₁ · m₂ = -1 द्वारा परिभाषित किया जाता है। ज्ञात प्रवणता का मान रखने पर, हमें 4 · m₂ = -1 प्राप्त होता है, जो सरल करने पर m₂ = -¼ हो जाता है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के लिए, परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है। दिया गया है कि Δ ABC ∼ Δ PQR, उनके परिमापों और भुजाओं के बीच का संबंध इस प्रकार परिभाषित है:

(Δ ABC का परिमाप)/(Δ PQR का परिमाप) = (AB)/(PQ)

प्रश्न में परिमापों का अनुपात 3:7 और भुजा PQ की लंबाई 21 सेमी दी गई है। समीकरण में इन मानों को रखने पर:

³⁄₇ = (AB)/(21)

AB का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 21 से गुणा करें:

AB = ³⁄₇ × 21

AB = 3 × 3

AB = 9 सेमी

चूंकि संगत भुजा PQ = 21 सेमी है और त्रिभुज 3:7 के अनुपात में हैं, इसलिए AB की लंबाई 9 सेमी होनी चाहिए।

व्याख्या

व्यंजक 2 sec 45° + tan 30° है। विशिष्ट कोणों के लिए मानक त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करने पर, हम जानते हैं कि sec 45° = √2 और tan 30° = (1)/(√(3)) होता है। इन मानों को सीधे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर 2(√2) + (1)/(√(3)) प्राप्त होता है। इसे विकल्पों में दिए गए अनुसार एक एकल भिन्न में सरल करने के लिए, हम √3 को सामान्य हर (common denominator) के रूप में लेते हैं। 2√2 को √3{√3} से गुणा करने पर 2√6{√3} प्राप्त होता है। इसे दूसरे पद में जोड़ने पर संयुक्त व्यंजक 2√6 + 1{√3} प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। चूंकि त्रिभुज B पर समकोण है, इसलिए कोण B का माप 90° है। प्रश्न के अनुसार, m∠ A = 60° है।

त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर: m∠ A + m∠ B + m∠ C = 180° 60° + 90° + m∠ C = 180° 150° + m∠ C = 180° m∠ C = 30°

हमें cot C का मान ज्ञात करना है, जो कि cot 30° है। मानक त्रिकोणमितीय अनुपातों के अनुसार, cot 30° = √3।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, csc θ = (कर्ण)/(लंब) होता है। यह दिया गया है कि csc θ = ²⁵⁄₇, इसलिए हम कर्ण (H) = 25 और लंब (P) = 7 मान सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, H² = P² + B², जहाँ B आधार (Base) है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

25² = 7² + B² 625 = 49 + B² B² = 625 - 49 = 576 B = √(576) = 24

कोसाइन (cosine) के त्रिकोणमितीय अनुपात को cos θ = (आधार)/(कर्ण) के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए, cos θ = ²⁴⁄₂₅। मानक पाइथागोरियन त्रिक (7, 24, 25) को पहचानकर इस गणना को सरल बनाया जा सकता है।

व्याख्या

6910 को 81 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम विभाजन एल्गोरिथ्म n = d × q + r लागू करते हैं, जहाँ n भाज्य है, d भाजक है, q भागफल है, और r शेषफल है, इस प्रकार कि 0 ≤ r < d।

6910 को 81 से चरण-दर-चरण विभाजित करने पर: हम सबसे पहले भाज्य के पहले तीन अंकों, 691 पर विचार करते हैं। 691 को 81 से विभाजित करने पर, हमें भागफल 8 प्राप्त होता है क्योंकि 81 × 8 = 648 है। आंशिक शेषफल 691 - 648 = 43 है। इसके बाद, हम संख्या को 430 बनाने के लिए अंतिम अंक 0 को नीचे लाते हैं। 430 को 81 से विभाजित करने पर, हमें भागफल 5 प्राप्त होता है क्योंकि 81 × 5 = 405 है। अंतिम शेषफल की गणना 430 में से 405 को घटाकर की जाती है, जिससे 25 प्राप्त होता है।

हम इस संबंध का उपयोग करके परिणाम को सत्यापित कर सकते हैं: 6910 = (81 × 85) + 25 6910 = 6885 + 25

यह गणना पुष्टि करती है कि जब पूर्णांक 6910 को 81 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 25 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दशमलव संख्या 99 को इसके बाइनरी (द्विआधारी) समतुल्य में बदलने के लिए, शेषफल को रिकॉर्ड करते हुए संख्या को बार-बार 2 से विभाजित किया जाता है। 99 को 2 से विभाजित करने पर भागफल 49 और शेषफल 1 प्राप्त होता है। 49 को 2 से विभाजित करने पर भागफल 24 और शेषफल 1 प्राप्त होता है। 24 को 2 से विभाजित करने पर भागफल 12 और शेषफल 0 प्राप्त होता है। 12 को 2 से विभाजित करने पर भागफल 6 और शेषफल 0 प्राप्त होता है। 6 को 2 से विभाजित करने पर भागफल 3 और शेषफल 0 प्राप्त होता है। 3 को 2 से विभाजित करने पर भागफल 1 और शेषफल 1 प्राप्त होता है। 1 को 2 से विभाजित करने पर भागफल 0 और शेषफल 1 प्राप्त होता है। शेषफलों को उल्टे क्रम में (अंतिम शेषफल से पहले शेषफल तक) पढ़ने पर, हमें 1100011 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, 2 की घातों के योग की विधि का उपयोग करते हुए, हम 99 से छोटी या उसके बराबर 2 की सबसे बड़ी घात ज्ञात करते हैं, जो कि 2⁶ = 64 है। इसे 99 में से घटाने पर 35 बचता है। 35 से छोटी या उसके बराबर 2 की सबसे बड़ी घात 2⁵ = 32 है। इसे घटाने पर 3 बचता है। 3 से छोटी या उसके बराबर 2 की सबसे बड़ी घात 2¹ = 2 है। इसे घटाने पर 1 बचता है, जो कि 2⁰ है। इसलिए, 99 = (1 × 2⁶) + (1 × 2⁵) + (0 × 2⁴) + (0 × 2³) + (0 × 2²) + (1 × 2¹) + (1 × 2⁰), जिसके परिणामस्वरूप बाइनरी अनुक्रम 1100011 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अनिल की कार्यक्षमता बिमल की तुलना में दोगुनी है, जो कार्यक्षमता अनुपात E_A : E_B = 2 : 1 को दर्शाती है। मान लीजिए बिमल की कार्य दर 1 इकाई प्रति दिन है और अनिल की कार्य दर 2 इकाई प्रति दिन है। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 2 + 1 = 3 इकाई प्रति दिन है। चूंकि वे मिलकर उस कार्य को 9 दिनों में पूरा करते हैं, इसलिए कुल कार्य की गणना इस प्रकार की जाती है: कुल कार्य = संयुक्त कार्यक्षमता × समय = 3 × 9 = 27 इकाई। अनिल द्वारा अकेले लिए जाने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, कुल कार्य को उसकी व्यक्तिगत कार्यक्षमता से विभाजित करें: समय = ²⁷⁄₂ = 13.5 दिन।

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि की गणना सूत्र C = 2π r का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या है। यह दिया गया है कि C = 22 सेमी है और π = ²²⁄₇ के मानक मान का उपयोग करके, हम त्रिज्या निम्नानुसार ज्ञात कर सकते हैं:

22 = 2 × ²²⁄₇ × r r = (22 × 7)/(2 × 22) = ⁷⁄₂ = 3.5 सेमी

एक वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = π r² द्वारा दिया जाता है। त्रिज्या के प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करने पर:

A = ²²⁄₇ × (⁷⁄₂)² A = ²²⁄₇ × ⁴⁹⁄₄ A = (11 × 7)/(2) = ⁷⁷⁄₂ = 38.5 वर्ग सेमी

व्याख्या

वस्तु का अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य x में 150% की वृद्धि जोड़कर निकाला जाता है, जिससे MP = x + 1.5x = 2.5x प्राप्त होता है। इसके बाद, अंकित मूल्य पर 40% की छूट देकर विक्रय मूल्य (SP) प्राप्त किया जाता है। सूत्र SP = MP × (1 - छूट%) का उपयोग करते हुए, दिए गए मानों को रखने पर:

600 = 2.5x × (1 - 0.40)

600 = 2.5x × 0.6

600 = 1.5x

x के लिए हल करने पर:

x = (600)/(1.5) = 400

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात 3:5:7 के आधार पर 2 रुपये, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्कों की संख्या क्रमशः 3x, 5x और 7x है। कुल मूल्य ज्ञात करने के लिए, सिक्कों की संख्या को रुपये में उनके संबंधित मूल्यों से गुणा करें:

3x(2) + 5x(0.50) + 7x(0.25) = 51.25

6x + 2.5x + 1.75x = 51.25

10.25x = 51.25

x = (51.25)/(10.25) = 5

50 पैसे के सिक्कों की संख्या को पद 5x द्वारा परिभाषित किया गया है। x का मान रखने पर:

50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 5 × 5 = 25

व्याख्या

पहले 40 ओवरों में बनाए गए कुल रनों की गणना ओवरों की संख्या को रन रेट से गुणा करके की जाती है: 40 × 4.8 = 192 रन

241 के लक्ष्य तक पहुँचने के लिए आवश्यक रनों की संख्या है: 241 - 192 = 49 रन

शेष ओवरों की संख्या है: 50 - 40 = 10 ओवर

शेष 10 ओवरों के लिए आवश्यक रन रेट, शेष रनों को शेष ओवरों से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: ⁴⁹⁄₁₀ = 4.9 रन प्रति ओवर

व्याख्या

लाभ प्रतिशत की गणना करने के लिए, मान लें कि दूधवाला 4 लीटर दूध खरीदता है। कुल क्रय मूल्य (CP) 4 × 25 = 100 रुपये है। वह इस मात्रा में 1/4 भाग पानी मिलाता है, जो कि 1/4 × 4 = 1 लीटर है। परिणामी मिश्रण की कुल मात्रा 4 + 1 = 5 लीटर है। वह इस मिश्रण को 26 रुपये प्रति लीटर की दर से बेचता है, इसलिए कुल विक्रय मूल्य (SP) 5 × 26 = 130 रुपये है। लाभ की गणना SP - CP = 130 - 100 = 30 रुपये के रूप में की जाती है। लाभ प्रतिशत सूत्र (लाभ / CP) × 100 द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप (30 / 100) × 100 = 30% प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना कि संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, संख्या में 120 की वृद्धि करने पर वह संख्या का 130% हो जाती है। इस संबंध को समीकरण x + 120 = 1.30x द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। समीकरण के दोनों पक्षों से x घटाने पर 120 = 0.30x प्राप्त होता है। x का मान ज्ञात करने पर, x = (120)/(0.3) = 400 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, चूंकि अंतिम मान मूल मान का 130% है, इसलिए 120 की वृद्धि ठीक संख्या के 30% को दर्शाती है (130% - 100% = 30%)। यदि संख्या का 30%, 120 है, तो संख्या का 1% = ¹²⁰⁄₃₀ = 4 होगा। इसलिए, संख्या का 100% = 4 × 100 = 400 है।

व्याख्या

यदि A कार्य का 75% भाग 18 दिनों में पूरा करता है, तो A को उस विशिष्ट भाग को पूरा करने के लिए आवश्यक समय T_A = 18 दिन है। चूंकि B कार्य का 25% भाग 12 दिनों में पूरा करता है, इसलिए B द्वारा कार्य का 75% भाग पूरा करने में लिया गया समय इसका तीन गुना होगा, अर्थात T_B = 12 × 3 = 36 दिन। A और B द्वारा मिलकर कार्य का 75% भाग पूरा करने में लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र T = (T_A × T_B)/(T_A + T_B) का उपयोग करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर T = (18 × 36)/(18 + 36) = (18 × 36)/(54) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर T = ³⁶⁄₃ = 12 दिन प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = 20 + 25 = 45 किमी/घंटा।

मिलने में लगा समय 56 मिनट है। इसे घंटों में बदलने पर: t = ⁵⁶⁄₆₀ घंटे।

दूरी के सूत्र (d = गति × समय) का उपयोग करने पर: d = 45 × ⁵⁶⁄₆₀

गणना को सरल करने पर: d = ⁴⁵⁄₆₀ × 56 = ¾ × 56 d = 3 × 14 = 42 किमी।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में मिश्रधन A, मूलधन P, ब्याज की दर r और समय n के बीच संबंध सूत्र A = P(1 + r/100)ⁿ द्वारा दिया गया है।

दिए गए मानों A = 5324, r = 10%, और n = 3 वर्ष को प्रतिस्थापित करने पर:

5324 = P(1 + 10/100)³ 5324 = P(11/10)³ 5324 = P(1331/1000)

मूलधन P ज्ञात करने के लिए, सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: P = (5324 × 1000) / 1331

5324 को 1331 से विभाजित करने पर ठीक 4 प्राप्त होता है। इसलिए: P = 4 × 1000 = 4000

अनुपात विधि का उपयोग करने पर, 10% ब्याज दर का अर्थ है कि राशि प्रत्येक वर्ष 10 से बढ़कर 11 हो जाती है। 3 वर्षों के लिए, मूलधन और मिश्रधन का अनुपात 10³ : 11³ है, जो कि 1000 : 1331 है। चूंकि 1331 इकाइयाँ 5324 रुपये के बराबर हैं, इसलिए एक इकाई 4 रुपये के बराबर होगी। अतः, 1000 इकाइयों का मूलधन 4000 रुपये के बराबर है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण 14/3 + (1/2)(x - 7/3) = -2x/3 के दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें, जो कि भिन्नों को हटाने के लिए हरों 2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है: 6 × ¹⁴⁄₃ + 6 × ½ (x - ⁷⁄₃) = 6 × (-²ˣ⁄₃) 28 + 3(x - ⁷⁄₃) = -4x

कोष्ठक के भीतर 3 का वितरण करें: 28 + 3x - 7 = -4x 21 + 3x = -4x

सभी चरों को एक तरफ और अचर को दूसरी तरफ ले जाकर समान पदों को संयोजित करें: 3x + 4x = -21 7x = -21 x = ⁻²¹⁄₇ = -3

व्याख्या

a³ + b³ का मान बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। इस सूत्र में दिए गए मानों a + b = 10 और ab = 24 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

a³ + b³ = (10)³ - 3(24)(10) a³ + b³ = 1000 - 720 a³ + b³ = 280

वैकल्पिक रूप से, निरीक्षण द्वारा, वे दो संख्याएँ जो a + b = 10 और ab = 24 की शर्तों को संतुष्ट करती हैं, 6 और 4 हैं। उनके घनों के योग की गणना करने पर 6³ + 4³ = 216 + 64 = 280 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि भिन्न x है। प्रश्न के अनुसार, भिन्न और उसके व्युत्क्रम के तीन गुने का योग 19/4 है। इस संबंध को बीजगणितीय समीकरण x + 3(1/x) = 19/4 द्वारा दर्शाया गया है। x का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को सरल करके x + 3/x = 19/4 लिखते हैं। हर (denominators) को हटाने के लिए सभी पदों को 4x से गुणा करने पर द्विघात समीकरण 4x² + 12 = 19x प्राप्त होता है, जिसे 4x² - 19x + 12 = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

इस द्विघात समीकरण के मूल (roots) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a का उपयोग करते हैं। a = 4, b = -19, और c = 12 प्रतिस्थापित करने पर, हम विविक्तकर (discriminant) की गणना 19² - 4(4)(12) = 361 - 192 = 169 के रूप में करते हैं। 169 का वर्गमूल 13 है। इसे सूत्र में लागू करने पर x = (19 ± 13) / 8 प्राप्त होता है। दो संभावित मान x = (19 + 13) / 8 = 32/8 = 4 और x = (19 - 13) / 8 = 6/8 = 3/4 हैं। दिए गए विकल्पों के साथ सत्यापन करने पर, भिन्न 3/4 इस शर्त को पूरा करता है क्योंकि 3/4 + 3(4/3) = 3/4 + 4 = (3 + 16)/4 = 19/4।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी का n-वां पद सूत्र aₙ = a + (n-1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर (common difference) है। दी गई जानकारी के आधार पर, हमारे पास दो समीकरण हैं: तीसरे पद के लिए a + 2d = 13 और छठे पद के लिए a + 5d = -5।

सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए, छठे पद के समीकरण में से तीसरे पद के समीकरण को घटाएं: (a + 5d) - (a + 2d) = -5 - 13, जो सरल होकर 3d = -18 हो जाता है, जिससे d = -6 प्राप्त होता है। तीसरे पद के समीकरण में d = -6 प्रतिस्थापित करने पर a + 2(-6) = 13 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप a - 12 = 13 होता है, इसलिए a = 25। 11वें पद की गणना इस प्रकार की जाती है: a₁₁ = a + 10d = 25 + 10(-6) = 25 - 60 = -35।

व्याख्या

जब किसी बिंदु (x, y) को एक क्षैतिज रेखा y = k के सापेक्ष प्रतिबिंबित किया जाता है, तो x-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है क्योंकि रेखा x-अक्ष के समानांतर होती है, जिससे प्रतिबिंब पूरी तरह से लंबवत हो जाता है। प्रतिबिंबित बिंदु y' के y-निर्देशांक की गणना इस गुण का उपयोग करके की जाती है कि परावर्तन रेखा, मूल बिंदु और उसके प्रतिबिंब के बीच का मध्य बिंदु होती है: k = (y + y') / 2। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर सूत्र y' = 2k - y प्राप्त होता है।

दिए गए बिंदु (6, -1) और रेखा y = 2 के लिए: x' = 6 y' = 2(2) - (-1) y' = 4 + 1 = 5

प्रतिबिंबित बिंदु के निर्देशांक (6, 5) हैं।

व्याख्या

अंत्य बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) वाले एक रेखाखंड के मध्य-बिंदु M(xₘ, yₘ) को सूत्र xₘ = (x₁ + x₂)/(2) और yₘ = (y₁ + y₂)/(2) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

x का मान ज्ञात करने के लिए, हमें केवल मध्य-बिंदु के x-निर्देशांक के सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है। दिए गए मध्य-बिंदु P(8, 5) के लिए, x-निर्देशांक xₘ, 8 है। अंत्य बिंदुओं A(5, y) और B(x, -3) के x-निर्देशांक क्रमशः 5 और x हैं।

इन मानों को मध्य-बिंदु सूत्र में रखने पर: 8 = (5 + x)/(2)

भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर: 16 = 5 + x

x को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 5 घटाने पर: x = 11

व्याख्या

ढाल-अंतःखंड (slope-intercept) रूप में एक रेखा का समीकरण y = mx + c होता है, जहाँ m प्रवणता (slope) है और c, y-अंतःखंड है।

दी गई प्रवणता m = 1/3 और y-अंतःखंड c = 5 है, इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

y = ⅓x + 5

इसे मानक रैखिक रूप Ax + By = C में व्यक्त करने के लिए, भिन्न को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 3 से गुणा करें:

3y = x + 15

दोनों पक्षों से 3y घटाने और दोनों पक्षों से 15 घटाने पर प्राप्त होता है:

x - 3y = -15

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज △ ABC में, जहाँ समकोण B से कर्ण AC पर शीर्षलंब BD खींचा गया है, भुजा के वर्ग के प्रमेय (Square of the Leg Theorem) के अनुसार, AB² = AD × AC होता है।

सबसे पहले, कर्ण AC की लंबाई की गणना करें: AC = AD + DC = 3 + 9 = 12 सेमी

अब, सूत्र में मान रखें: AB² = 3 × 12 AB² = 36 AB = √(36) = 6 सेमी

व्याख्या

एक घनाभ की चारों दीवारों का क्षेत्रफल उसके पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है, जिसे सूत्र 2h(l + b) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ l लंबाई को, b चौड़ाई को और h ऊंचाई को दर्शाता है। यह देखते हुए कि क्षेत्रफल 57 वर्ग मीटर है, लंबाई 5.5 मीटर है, और ऊंचाई 3 मीटर है, समीकरण 57 = 2 × 3 × (5.5 + b) बनता है। इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें 57 = 6 × (5.5 + b) प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करने पर 9.5 = 5.5 + b प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 5.5 घटाने पर, चौड़ाई b की गणना 9.5 - 5.5 = 4 मीटर के रूप में की जाती है।

व्याख्या

शामिल कोणों के लिए मानक त्रिकोणमितीय मान cot 60° = (1)/(√(3)) और sec 45° = √2 हैं। दिए गए व्यंजक cot 60° - sec 45° में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(1)/(√(3)) - √2

इस घटाव को सरल करने के लिए, एक सामान्य हर ज्ञात करें:

1 - √2 · √3{√3} = 1 - √6{√3}

विकल्पों के रूप से मिलान करने के लिए, अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करें:

(1 - √6) · √3{√3 · √3} = √3 - √(18){3}

गुणधर्म √(18) = √(9 × 2) = 3√2 का उपयोग करने पर, व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है:

√3 - 3√2{3}