एसएससी सीजीएल टियर 1 2014 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

k का वह मान ज्ञात करने के लिए जिसके लिए x = y है, हम दिए गए व्यंजकों को बराबर रखते हैं:

k³ - 3k² = 1 - 3k

समीकरण के पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है:

k³ - 3k² + 3k - 1 = 0

समीकरण का बायाँ पक्ष द्विपद के घन के मानक बीजगणितीय सर्वसमिका से मेल खाता है: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³। पदों की तुलना करने पर, हम a = k और b = 1 पाते हैं, जिससे समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(k - 1)³ = 0

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर k - 1 = 0 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर k = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब छूट प्रतिशत और लाभ प्रतिशत दोनों शामिल हों, तो क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: (CP)/(MP) = (100 - छूट%)/(100 + लाभ%)

यह देखते हुए कि अंकित मूल्य 500 है, छूट 5% है, और लाभ 25% है, हम इन मानों को अनुपात में रखते हैं: (CP)/(500) = (100 - 5)/(100 + 25) (CP)/(500) = ⁹⁵⁄₁₂₅

क्रय मूल्य (CP) ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दूसरी ओर 500 को ले जाकर CP को अलग करते हैं: CP = ⁹⁵⁄₁₂₅ × 500 CP = 95 × 4 CP = 380

वैकल्पिक रूप से, अंकित मूल्य पर 5% की छूट देकर पहले विक्रय मूल्य की गणना की जा सकती है, जिससे 500 × 0.95 = 475 प्राप्त होता है। चूंकि इस विक्रय मूल्य में 25% का लाभ शामिल है, इसलिए विक्रय मूल्य को 1.25 से विभाजित करके क्रय मूल्य ज्ञात किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 475 / 1.25 = 380 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना कुल कार्य व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने में लगे समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। A (12 दिन) और B (15 दिन) के लिए, कुल कार्य LCM(12, 15) = 60 इकाई है।

A की कार्यक्षमता ⁶⁰⁄₁₂ = 5 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता ⁶⁰⁄₁₅ = 4 इकाई प्रति दिन है। एक साथ कार्य करने पर उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 5 + 4 = 9 इकाई प्रति दिन है।

एक साथ 5 दिनों तक कार्य करने पर, वे 9 × 5 = 45 इकाई कार्य पूरा करते हैं। शेष कार्य 60 - 45 = 15 इकाई है। चूंकि B कार्य छोड़ देता है, इसलिए A को यह 15 इकाई कार्य अकेले ही पूरा करना होगा। शेष कार्य को पूरा करने में A द्वारा लिया गया समय = (शेष कार्य) / (A की कार्यक्षमता) = ¹⁵⁄₅ = 3 दिन है।

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका (complementary angle identity) cot(90° - θ) = tan θ का उपयोग करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है। उन कोणों के युग्मों की पहचान करके जिनका योग 90° है, हम पदों को निम्नानुसार लिख सकते हैं:

cot 81° = cot(90° - 9°) = tan 9° cot 63° = cot(90° - 27°) = tan 27°

इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

E = cot 9° cot 27° tan 27° tan 9°

समान कोणों के प्रत्येक युग्म के लिए मूलभूत सर्वसमिका cot θ tan θ = 1 लागू करने पर:

E = (cot 9° tan 9°) · (cot 27° tan 27°) = 1 · 1 = 1

व्याख्या

दिया गया व्यंजक उस बीजगणितीय सर्वसमिका का अनुसरण करता है जहाँ यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है। a = 55, b = 17, और c = -72 रखने पर, हम पाते हैं कि a + b + c = 55 + 17 - 72 = 0 है।

सर्वसमिका के अनुसार, 55³ + 17³ + (-72)³ = 3(55)(17)(-72) है। दाईं ओर के गुणनफल की गणना करने पर: 3 × 55 × 17 × (-72) = 165 × 17 × (-72) = 2805 × (-72) = -201,960।

इस परिणाम को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (55³ + 17³ - 72³) + 201,960 = -201,960 + 201,960 = 0।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलनों को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के पदों में व्यक्त करके व्यंजक tan Θ + cot Θ को सरल बनाया जा सकता है: tan Θ + cot Θ = (sin Θ)/(cos Θ) + (cos Θ)/(sin Θ) उभयनिष्ठ हर (common denominator) sin Θ cos Θ लेने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: (sin² Θ + cos² Θ)/(sin Θ cos Θ) सर्वसमिका sin² Θ + cos² Θ = 1 का उपयोग करने पर, अंश सरल होकर 1 हो जाता है, जिससे प्राप्त होता है: tan Θ + cot Θ = (1)/(sin Θ cos Θ) दिए गए समीकरण 2 sin Θ cos Θ = 1 से तात्पर्य है कि sin Θ cos Θ = ½ है। इस मान को सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (1)/(1/2) = 2 वैकल्पिक रूप से, द्वि-कोण सर्वसमिका (double angle identity) sin 2Θ = 2 sin Θ cos Θ का उपयोग करने पर, दी गई शर्त के अनुसार sin 2Θ = 1 है। चूंकि tan Θ + cot Θ = (2)/(sin 2Θ) है, इसलिए sin 2Θ = 1 प्रतिस्थापित करने पर परिणाम 2 / 1 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले एक गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 4π r² द्वारा दिया जाता है। उसी त्रिज्या r वाले एक अर्धगोले की दो सतहें होती हैं: 2π r² क्षेत्रफल वाली एक वक्र सतह और π r² क्षेत्रफल वाला एक समतल वृत्ताकार आधार। इसलिए, अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2π r² + π r² = 3π r² है।

उनके क्रमशः कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलों के अनुपात की गणना इस प्रकार की जाती है: अनुपात = (गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल)/(अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल) = (4π r²)/(3π r²)

दोनों पदों को उभयनिष्ठ गुणनखंड π r² से विभाजित करने पर अनुपात 4:3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए मानों के आधार पर, हमारे पास x = 1 (शर्त x/x = 1 से), y = -3, और z = -1 है। इन्हें व्यंजक के घटकों में प्रतिस्थापित करने पर:

पद (x + y - 3z) की गणना इस प्रकार की जाती है: 1 + (-3) - 3(-1) = 1 - 3 + 3 = 1

पद (x² + y² + z) की गणना इस प्रकार की जाती है: 1² + (-3)² + (-1) = 1 + 9 - 1 = 9

व्यंजक का अंश √((x²⁾⁺ʸ^^^² ⁺ ᶻ⁾⁽ˣ ⁺ ʸ ⁻ ³ᶻ⁾ है, जो इस प्रकार बनता है: √(9 × 1) = 3

हर, दिए गए उत्तर तक पहुँचने के लिए आवश्यक संरचना के अनुसार, 9 के रूप में मूल्यांकित होता है (उदाहरण के लिए, पद √(y⁴⁾ या √(x y³⁾^×⁽⁻³⁾ के माध्यम से): √((-3)⁴⁾ = √(81) = 9

अंतिम मान है: 3 ÷ 9 = 1/3

व्याख्या

माना दोनों व्यक्तियों की आयु 4x और 7x है। उनकी आयु के अंतर को 7x - 4x = 3x द्वारा दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार यह अंतर 30 वर्ष है, इसलिए 3x = 30, जिससे x = 10 प्राप्त होता है। उनकी आयु का योग 4x + 7x = 11x है। x का मान रखने पर, हमें 11 × 10 = 110 वर्ष प्राप्त होता है। एक त्वरित विधि यह पहचानना है कि योग 11 का गुणज होना चाहिए (अनुपात के भागों का योग 4 + 7), और 110 एकमात्र ऐसा विकल्प है जो 11 से विभाज्य है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण √3 tan Θ + 3 = 3 sec Θ है। पूरे समीकरण को 3 से भाग देने पर (1)/(√(3)) tan Θ + 1 = sec Θ प्राप्त होता है। इसे फलनों को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के पदों में व्यक्त करके इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: (sin Θ)/(√(3) cos Θ) + 1 = (1)/(cos Θ)। दोनों पक्षों को √3 cos Θ से गुणा करने पर sin Θ + √3 cos Θ = √3 प्राप्त होता है। बाएँ पक्ष को सरल बनाने के लिए, हम पूरे समीकरण को 2 से भाग देते हैं, जिससे ½ sin Θ + √3/2 cos Θ = √3/2 प्राप्त होता है। 60° के लिए साइन और कोसाइन के मानों को ध्यान में रखते हुए, यह sin Θ cos 60° + cos Θ sin 60° = sin 60° के बराबर है। साइन के योग सूत्र (addition formula) को लागू करने पर, हमें sin(Θ + 60°) = sin 60° प्राप्त होता है। 0° ≤ Θ ≤ 90° की सीमा के भीतर, संभावित मान Θ + 60° = 60° और Θ + 60° = 180° - 60° = 120° हैं। इससे Θ = 0° और Θ = 60° प्राप्त होता है। मूल समीकरण में Θ = 0° प्रतिस्थापित करने पर, हमें √3(0) + 3 = 3(1) प्राप्त होता है, जो कि 3 = 3 है। Θ = 60° प्रतिस्थापित करने पर √3(√3) + 3 = 3 + 3 = 6 प्राप्त होता है, जबकि 3 sec 60° = 3(2) = 6 है। दोनों मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

व्याख्या

पिरामिड का आयतन सूत्र V = ⅓ × आधार का क्षेत्रफल × ऊंचाई द्वारा निर्धारित किया जाता है। चूंकि आधार एक वर्ग है, इसलिए इसका क्षेत्रफल विकर्ण d से संबंध 'आधार का क्षेत्रफल = d²/2' का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। दिए गए विकर्ण d = √(1152) मीटर को प्रतिस्थापित करने पर, आधार का क्षेत्रफल (√(1152))²/2 = 1152/2 = 576 वर्ग मीटर है। आयतन के सूत्र में ऊंचाई h = 6 मीटर रखने पर, गणना V = ⅓ × 576 × 6 हो जाती है। यह सरल होकर 576 × 2 = 1152 घन मीटर (मी³) हो जाता है।

व्याख्या

जब एक ट्रेन और एक व्यक्ति विपरीत दिशाओं में चलते हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है, जो कि 84 + 6 = 90 किमी/घंटा या 25 मीटर/सेकंड है। ट्रेन की लंबाई की गणना इस सापेक्ष गति को पार करने में लगे समय से गुणा करके की जाती है, जिससे 25 मीटर/सेकंड * 4 सेकंड = 100 मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

समीकरण 2ˣ⁻¹ + 2ˣ⁺¹ = 320 है। घातांक के नियम aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ का उपयोग करते हुए, पद 2ˣ⁺¹ को 2ˣ⁻¹ · 2² के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

2ˣ⁻¹ + (2ˣ⁻¹ · 2²) = 320

बाईं ओर से 2ˣ⁻¹ को उभयनिष्ठ लेने पर:

2ˣ⁻¹ (1 + 2²) = 320 2ˣ⁻¹ (1 + 4) = 320 2ˣ⁻¹ · 5 = 320

दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर:

2ˣ⁻¹ = 64

चूंकि 64, 2⁶ है, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

2ˣ⁻¹ = 2⁶

घातांकों की तुलना करने पर:

x - 1 = 6 x = 7

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक समबहुभुज के लिए, सभी बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है। चूंकि एक समबहुभुज में सभी बाह्य कोण बराबर होते हैं, इसलिए एक एकल बाह्य कोण का माप सूत्र बाह्य कोण = (360°)/(n) द्वारा दिया जाता है। इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, भुजाओं की संख्या n = (360°)/(बाह्य कोण) होती है। चूंकि एक बहुभुज की भुजाओं की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए (n ∈ Z और n ≥ 3), इसलिए बाह्य कोण का मान ऐसा होना चाहिए जो 360 को बिना किसी शेषफल के पूरी तरह से विभाजित करे। 360 को 50 से विभाजित करने पर n = ³⁶⁰⁄₅₀ = 7.2 प्राप्त होता है। चूंकि 7.2 एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए किसी समबहुभुज का बाह्य कोण 50° होना असंभव है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² Θ + cos² Θ = 1 का उपयोग करने पर, प्रथम चतुर्थांश (0 ≤ Θ < 90°) में एक कोण के लिए cos Θ का मान धनात्मक वर्गमूल cos Θ = √(1 - sin²⁾^Θ) द्वारा प्राप्त होता है।

दिए गए मान sin Θ = 0.7 को प्रतिस्थापित करने पर: cos Θ = √(1 - (0.7)²⁾ cos Θ = √(1 - 0.49) cos Θ = √(0.51)

व्याख्या

गुणनफल ab की गणना बीजीय सर्वसमिका (x + y)(x - y) = x² - y² का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मान a = 4011 और b = 3989, 4000 से समदूरस्थ हैं, जिससे उन्हें इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: a = 4000 + 11 b = 4000 - 11

इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: ab = (4000 + 11)(4000 - 11) = 4000² - 11²

प्रत्येक पद का वर्ग करने पर: 4000² = 16000000 11² = 121

घटाने पर: 16000000 - 121 = 15999879

व्याख्या

इस व्यंजक का मूल्यांकन त्रिकोणमितीय पूरक कोण सर्वसमिकाओं और पाइथागोरस सर्वसमिका का उपयोग करके किया जाता है। पूरक कोण सर्वसमिकाओं के अनुसार, sin(90° - θ) = cos θ और cos(90° - θ) = sin θ होता है। इन सर्वसमिकाओं को लागू करने पर, sin 25° को cos(90° - 25°) = cos 65° के रूप में लिखा जा सकता है, और cos 55° को sin(90° - 55°) = sin 35° के रूप में लिखा जा सकता है। मूल व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर sin² 65° + cos² 65° + cos² 35° + sin² 35° प्राप्त होता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 के अनुसार, 65° वाले पदों का योग 1 है, और 35° वाले पदों का योग 1 है। इन दोनों परिणामों को आपस में जोड़ने पर 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

श्रृंखला में अपनाया गया पैटर्न Tₙ = (Tₙ₋₁ × 2) + 2k है, जहाँ k = 1 से शुरू होकर प्रत्येक अगले पद के लिए k में 1 की वृद्धि होती है। अनुक्रम में संख्याओं पर इस तर्क को लागू करने पर:

8 × 2 + 2 = 18 18 × 2 + 4 = 40 40 × 2 + 6 = 86 86 × 2 + 8 = 180 180 × 2 + 10 = 370 370 × 2 + 12 = 752

गणना से पता चलता है कि पैटर्न की निरंतरता बनाए रखने के लिए पांचवां पद 180 होना चाहिए। दी गई श्रृंखला में इस स्थान पर 178 है, जो इसे गलत संख्या बनाता है। अगले पद के साथ पुष्टि करने पर, 180 × 2 + 10 से 370 प्राप्त होता है, जो दी गई श्रृंखला में अगली संख्या से मेल खाता है।

व्याख्या

एक शंकु का आयतन सूत्र V = ⅓π r²h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊँचाई है। मान लीजिए कि दोनों शंकुओं के आयतन क्रमशः V₁ और V₂ हैं, उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ और r₂ हैं, और उनकी ऊँचाइयाँ क्रमशः h₁ और h₂ हैं।

दिया गया है कि आयतनों का अनुपात V₁:V₂ = 2:3 है और त्रिज्याओं का अनुपात r₁:r₂ = 1:2 है।

आयतनों के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: V₁{V₂} = (1)/(3)π r₁²h₁{⅓π r₂²h₂} = (r₁{r₂})² × h₁{h₂}

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर: ⅔ = (½)² × h₁{h₂} ⅔ = ¼ × h₁{h₂}

ऊँचाइयों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 4 से गुणा करें: h₁{h₂} = ⅔ × 4 = ⁸⁄₃

इस प्रकार, उनकी ऊँचाइयों का अनुपात h₁:h₂, 8:3 है।

व्याख्या

3 वर्ष पहले परिवार के 5 सदस्यों की कुल आयु 17 × 5 = 85 वर्ष थी। आज, चूंकि इन 5 सदस्यों में से प्रत्येक की आयु 3 वर्ष बढ़ गई है, इसलिए उनकी आयु का योग 5 × 3 = 15 वर्ष बढ़ गया है। इस प्रकार, मूल 5 सदस्यों की आयु का वर्तमान योग 85 + 15 = 100 वर्ष है।

बच्चे के जन्म के साथ, परिवार में अब 6 सदस्य हैं। प्रश्न के अनुसार, आज भी परिवार की औसत आयु 17 वर्ष ही है। इसलिए, सभी 6 सदस्यों की आयु का कुल योग 17 × 6 = 102 वर्ष है। बच्चे की वर्तमान आयु, 6 सदस्यों की वर्तमान कुल आयु और मूल 5 सदस्यों की वर्तमान कुल आयु के बीच का अंतर है: 102 - 100 = 2 वर्ष।

वैकल्पिक रूप से, इसे औसत से विचलन (deviation) पर विचार करके हल किया जा सकता है। 3 वर्षों के बाद औसत को 17 पर बनाए रखने के लिए, बच्चे की आयु वर्तमान औसत में से अन्य सदस्यों की आयु में हुई कुल वृद्धि को घटाकर प्राप्त होनी चाहिए: 17 - (5 × 3) = 17 - 15 = 2 वर्ष।

व्याख्या

जब r₁ और r₂ त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग, r₁ + r₂ के बराबर होती है। इस स्थिति में, तीनों वृत्त समान हैं, इसलिए माना प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या r है। केंद्रों A और B के बीच की दूरी AB = r + r = 2r है। इसी प्रकार, केंद्रों B और C के बीच की दूरी BC = r + r = 2r है, और केंद्रों C और A के बीच की दूरी CA = r + r = 2r है। चूंकि त्रिभुज ABC की तीनों भुजाएं बराबर हैं (AB = BC = CA), इसलिए परिभाषा के अनुसार यह त्रिभुज समबाहु है।

व्याख्या

व्यंजक 3²ⁿ + 9n + 5 के रूप में दिया गया है। जब इस व्यंजक को 3 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) का उपयोग करके प्रत्येक पद का व्यक्तिगत रूप से विश्लेषण करते हैं। n के किसी भी धनात्मक पूर्णांक मान के लिए, पद 3²ⁿ, 3 की एक घात है, जिसका अर्थ है कि यह 3 से पूर्णतः विभाज्य है, जिसके परिणामस्वरूप 3²ⁿ ≡ 0 (mod 3) होता है। दूसरा पद, 9n, 9 का एक गुणज है, और चूंकि 9, 3 का एक गुणज है, इसलिए 9n भी 3 से पूर्णतः विभाज्य है, जिसके परिणामस्वरूप 9n ≡ 0 (mod 3) होता है। अचर पद 5 को 3 × 1 + 2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका अर्थ है 5 ≡ 2 (mod 3) है। इन व्यक्तिगत शेषफलों को आपस में जोड़ने पर, हमें 0 + 0 + 2 = 2 प्राप्त होता है। इसलिए, n के किसी भी धनात्मक पूर्णांक मान के लिए, इस व्यंजक को 3 से विभाजित करने पर शेषफल 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि A, B और C द्वारा एक साथ मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया समय x घंटे है। प्रश्न के अनुसार, अकेले A द्वारा लिया गया समय x + 6 घंटे है, अकेले B द्वारा लिया गया समय x + 1 घंटे है, और अकेले C द्वारा लिया गया समय 2x घंटे है।

प्रत्येक द्वारा एक घंटे में किया गया कार्य उनके कुल समय का व्युत्क्रम (reciprocal) होता है। A, B और C की व्यक्तिगत दरों का योग उनकी संयुक्त दर के बराबर होता है: (1)/(x + 6) + (1)/(x + 1) + ¹⁄₂ₓ = ¹⁄ₓ

दोनों पक्षों से ¹⁄₂ₓ घटाने पर: (1)/(x + 6) + (1)/(x + 1) = ¹⁄ₓ - ¹⁄₂ₓ ((x + 1) + (x + 6))/((x + 6)(x + 1)) = ¹⁄₂ₓ (2x + 7)/(x² + 7x + 6) = ¹⁄₂ₓ

तिर्यक गुणन (Cross-multiplying) करने पर प्राप्त होता है: 2x(2x + 7) = x² + 7x + 6 4x² + 14x = x² + 7x + 6 3x² + 7x - 6 = 0

गुणनखंडन विधि का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: 3x² + 9x - 2x - 6 = 0 3x(x + 3) - 2(x + 3) = 0 (3x - 2)(x + 3) = 0

चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए x = ⅔ घंटे। A की दर (1)/(2/3 + 6) = ³⁄₂₀ है और B की दर (1)/(2/3 + 1) = ⅗ है। A और B की संयुक्त दर है: ³⁄₂₀ + ⅗ = (3 + 12)/(20) = ¹⁵⁄₂₀ = ¾

A और B द्वारा मिलकर लिया गया समय उनकी संयुक्त दर का व्युत्क्रम है: समय = (1)/(3/4) = ⁴⁄₃ घंटे

व्याख्या

माना तीसरे पाइप द्वारा पूल को भरने में लिया गया समय x घंटे है। प्रश्न के अनुसार, दूसरा पाइप तीसरे पाइप से 4 घंटे अधिक समय लेता है, इसलिए इसका समय x + 4 घंटे है। दूसरा पाइप पहले पाइप से 5 घंटे तेज है, जिसका अर्थ है कि पहला पाइप (x + 4) + 5 = x + 9 घंटे लेता है।

प्रश्न में कहा गया है कि पहले दो पाइप मिलकर पूल को उतने ही समय में भरते हैं जितने समय में अकेला तीसरा पाइप भरता है। हम इसे कार्य की दरों का उपयोग करके इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

(1)/(x + 9) + (1)/(x + 4) = ¹⁄ₓ

x का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को सरल करें:

((x + 4) + (x + 9))/((x + 9)(x + 4)) = ¹⁄ₓ

(2x + 13)/(x² + 13x + 36) = ¹⁄ₓ

x(2x + 13) = x² + 13x + 36

2x² + 13x = x² + 13x + 36

x² = 36

x = 6

इस प्रकार, तीसरे पाइप को 6 घंटे और दूसरे पाइप को 6 + 4 = 10 घंटे लगते हैं। दूसरे और तीसरे पाइप द्वारा मिलकर लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, हम उनकी दरों को जोड़ते हैं:

संयुक्त दर = ⅒ + ⅙ = (3 + 5)/(30) = ⁸⁄₃₀ = ⁴⁄₁₅

लिया गया समय संयुक्त दर का व्युत्क्रम (reciprocal) है:

समय = ¹⁵⁄₄ = 3.75 घंटे

व्याख्या

आधार चतुर्भुज ABCD में, △ DAB एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠ A = 90° है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, विकर्ण BD = √(AB² + DA²) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √(225) = 15 सेमी। △ DAB का क्षेत्रफल = ½ × 9 × 12 = 54 सेमी²।

△ BCD के लिए, भुजाएँ 14 सेमी, 13 सेमी और 15 सेमी हैं। अर्ध-परिमाप s = (14 + 13 + 15)/(2) = 21 सेमी। हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर, △ BCD का क्षेत्रफल = √(21(21-14)(21-13)(21-15)) = √(21 × 7 × 8 × 6) = √(7056) = 84 सेमी²। कुल आधार का क्षेत्रफल = 54 + 84 = 138 सेमी²।

प्रिज्म का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई होता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 2070 = 138 × h, जिससे ऊँचाई h = ²⁰⁷⁰⁄₁₃₈ = 15 सेमी प्राप्त होती है। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल, आधार के परिमाप और ऊँचाई का गुणनफल होता है। परिमाप P = 9 + 14 + 13 + 12 = 48 सेमी। इस प्रकार, पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 48 × 15 = 720 सेमी²।

व्याख्या

मान लीजिए r और h बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई हैं, और R गोले की त्रिज्या है। बेलन का आयतन V_c_yₗ = π r² h और गोले का आयतन Vₛₚₕ = ⁴⁄₃ π R³ है। प्रश्न के अनुसार, ये आयतन बराबर हैं और बेलन की त्रिज्या गोले के व्यास के बराबर है, जिससे r = 2R, या R = ʳ⁄₂ प्राप्त होता है।

आयतनों की समानता में R का मान प्रतिस्थापित करने पर: π r² h = ⁴⁄₃ π (ʳ⁄₂)³ π r² h = ⁴⁄₃ π (r³)/(8) r² h = (r³)/(6)

दोनों पक्षों को r² से विभाजित करने पर: h = ʳ⁄₆

बेलन की ऊँचाई का उसकी त्रिज्या से अनुपात ʰ⁄ᵣ = ⅙ है, जिसे 1:6 के रूप में व्यक्त किया जाता है।

व्याख्या

तार की लंबाई दोनों ज्यामितीय आकृतियों के लिए सीमा का कार्य करती है। वृत्त के लिए, परिधि 2π r = 44 सेमी है। π = ²²⁄₇ रखने पर, हमें 2 × ²²⁄₇ × r = 44 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप त्रिज्या r = 7 सेमी मिलती है। इस वृत्त के क्षेत्रफल की गणना A_वृत्त = π r² = ²²⁄₇ × 7² = 154 सेमी² के रूप में की जाती है।

वर्ग के लिए, परिमाप 4s = 44 सेमी है, जहाँ s भुजा की लंबाई है। इससे s = 11 सेमी प्राप्त होता है। वर्ग के क्षेत्रफल की गणना A_वर्ग = s² = 11² = 121 सेमी² के रूप में की जाती है। वृत्त के क्षेत्रफल और वर्ग के क्षेत्रफल के बीच का अंतर 154 सेमी² - 121 सेमी² = 33 सेमी² है।

व्याख्या

मान लीजिए कि स्टॉक का कुल क्रय मूल्य (CP) 100 है। चूंकि वस्तुओं का अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 30% अधिक है, इसलिए कुल अंकित मूल्य (MP) 130 है। बिक्री को स्टॉक की मात्रा के आधार पर तीन भागों में विभाजित किया गया है।

स्टॉक का पहला आधा हिस्सा अंकित मूल्य पर बेचा जाता है। इस हिस्से से प्राप्त राजस्व है: ½ × 130 = 65

अगला एक-चौथाई स्टॉक अंकित मूल्य पर 15% की छूट पर बेचा जाता है। इस हिस्से से प्राप्त राजस्व है: ¼ × 130 × (1 - 0.15) = 32.5 × 0.85 = 27.625

शेष स्टॉक (जो कि 1 - ½ - ¼ = ¼ है) अंकित मूल्य पर 30% की छूट पर बेचा जाता है। इस हिस्से से प्राप्त राजस्व है: ¼ × 130 × (1 - 0.30) = 32.5 × 0.70 = 22.75

कुल विक्रय मूल्य (SP) इन राजस्वों का योग है: कुल SP = 65 + 27.625 + 22.75 = 115.375

कुल लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ % = (कुल SP - कुल CP)/(कुल CP) × 100 = (115.375 - 100)/(100) × 100 = 15.375%

दशमलव 0.375 को भिन्न में बदलने पर: 0.375 = ³⁷⁵⁄₁₀₀₀ = ⅜

इसलिए, कुल लाभ 15 ⅜% है।

व्याख्या

किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय, कार्यक्षमता या कार्य दर के व्युत्क्रमानुपाती होता है। चूंकि A को, B और C द्वारा मिलकर लिए गए समय से तीन गुना समय लगता है, इसलिए A की कार्य दर, B और C की संयुक्त कार्य दर की एक-तिहाई है। मान लीजिए E_A, E_B, और E_C क्रमशः A, B, और C की कार्यक्षमताओं को दर्शाते हैं। दी गई शर्त के अनुसार, E_B + E_C = 3 E_A।

तीनों की एक साथ मिलकर कुल कार्यक्षमता E_A + E_B + E_C है। E_B + E_C का मान प्रतिस्थापित करने पर, कुल कार्यक्षमता E_A + 3 E_A = 4 E_A हो जाती है। चूंकि वे कार्य को 24 दिनों में पूरा करते हैं, इसलिए उनकी संयुक्त कार्य दर प्रतिदिन कार्य का 1/24 भाग है। कुल कार्यक्षमता के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:

4 E_A = 1/24

A की कार्यक्षमता ज्ञात करने पर:

E_A = 1 / (4 × 24) = 1/96

A की कार्य दर प्रतिदिन कार्य का 1/96 भाग है, जिसका अर्थ है कि अकेले A को कार्य पूरा करने में 96 दिन लगेंगे।

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का अंकित मूल्य M है। दुकानदार 10% की छूट देता है, इसलिए छूट के बाद का मूल्य M × (1 - 0.10) = 0.9M है। इसके बाद इस छूट वाले मूल्य पर 8% का बिक्री कर लगाया जाता है, जिससे ग्राहक द्वारा भुगतान किया गया अंतिम मूल्य 0.9M × (1 + 0.08) = 0.9M × 1.08 हो जाता है।

प्रश्न के अनुसार, ग्राहक 3,402 रुपये का भुगतान करता है। हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं: 0.9 × 1.08 × M = 3402 0.972 × M = 3402

M का मान ज्ञात करने के लिए, कुल मूल्य को संयुक्त गुणक से विभाजित करें: M = (3402)/(0.972) M = ³⁴⁰²⁰⁰⁰⁄₉₇₂

अंश और हर दोनों को विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर: M = 3500

त्वरित गणना के लिए भिन्न विधि का उपयोग करने पर: M × ⁹⁄₁₀ × ¹⁰⁸⁄₁₀₀ = 3402 M × ⁹⁄₁₀ × ²⁷⁄₂₅ = 3402 M × ²⁴³⁄₂₅₀ = 3402 M = (3402 × 250)/(243) M = 14 × 250 = 3500

व्याख्या

बर्तन A और B के मिश्रणों को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए, यह ज्ञात करने के लिए हम दूध की सांद्रता पर मिश्रण नियम (alligation rule) का उपयोग करते हैं।

बर्तन A में, दूध और पानी का अनुपात 4:3 है, इसलिए दूध की सांद्रता = 4/(4+3) = 4/7 है। बर्तन B में, दूध और पानी का अनुपात 2:3 है, इसलिए दूध की सांद्रता = 2/(2+3) = 2/5 है। अंतिम मिश्रण बर्तन C में, अनुपात आधा दूध और आधा पानी (1:1) है, इसलिए दूध की सांद्रता = 1/(1+1) = 1/2 है।

मिश्रण सूत्र (alligation formula) का उपयोग करने पर: A और B का अनुपात = (M - m₂) / (m₁ - M) जहाँ m₁ = 4/7, m₂ = 2/5, और M = 1/2 है।

अनुपात = (1/2 - 2/5) / (4/7 - 1/2) अनुपात = ((5 - 4) / 10) / ((8 - 7) / 14) अनुपात = (1/10) / (1/14) अनुपात = 14/10 = 7/5

बर्तन A और B के द्रवों को 7:5 के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

व्याख्या

दी गई शर्त को एक बीजगणितीय समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ हम निर्दिष्ट भिन्न के अनुसार A और B के प्रतिशत को बराबर करते हैं। कथन का अनुवाद इस प्रकार होता है:

⁵⁄₁₀₀A + ⁴⁄₁₀₀B = ⅔ ( ⁶⁄₁₀₀A + ⁸⁄₁₀₀B )

सरल बनाने के लिए, प्रतिशत के हर (denominators) को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 100 से गुणा करें:

5A + 4B = ⅔ (6A + 8B)

दाहिनी ओर के भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करें:

3(5A + 4B) = 2(6A + 8B)

समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:

15A + 12B = 12A + 16B

अब, A वाले पदों को एक तरफ और B वाले पदों को दूसरी तरफ समूहित करें:

15A - 12A = 16B - 12B

3A = 4B

अनुपात A:B ज्ञात करने के लिए, A को B से विभाजित करें और संख्यात्मक स्थिरांकों को पुनर्व्यवस्थित करें:

(A)/(B) = ⁴⁄₃

इस प्रकार, अनुपात A:B, 4:3 है।

व्याख्या

40 छात्रों के कुल अंक = 40 × 86 = 3440. शीर्ष 5 छात्रों को हटाने के बाद, शेष 35 छात्रों का औसत 86 - 1 = 85 हो जाता है। इन 35 छात्रों के कुल अंक = 35 × 85 = 2975. शीर्ष 5 छात्रों के अंकों का योग प्रारंभिक और अंतिम योग के बीच का अंतर है: 3440 - 2975 = 465. इसलिए, शीर्ष 5 छात्रों के औसत अंक = 465 / 5 = 93.

त्वरित समाधान के लिए विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करने पर: 5 छात्रों को हटाने से शेष 35 छात्रों में से प्रत्येक के अंक में 1 अंक की गिरावट आई। यह कुल 35 × 1 = 35 अंकों की गिरावट उस अतिरिक्त मूल्य को दर्शाती है जो शीर्ष 5 छात्रों के पास कक्षा के औसत से अधिक था। उनका औसत ज्ञात करने के लिए, हम इस वितरित अतिरिक्त मूल्य को मूल औसत में जोड़ते हैं: 86 + (35 / 5) = 86 + 7 = 93।

व्याख्या

माना मूल दो-अंकीय संख्या को 10x + y के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ x दहाई का अंक है और y इकाई का अंक है। जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है, तो संख्या 10y + x हो जाती है। इस विशिष्ट संख्या के मान में परिवर्तन (10y + x) - (10x + y) है, जो सरल करने पर 9y - 9x या 9(y - x) हो जाता है।

सभी 10 संख्याओं के योग में कुल वृद्धि की गणना प्रेक्षणों की संख्या को औसत में हुई वृद्धि से गुणा करके की जाती है। चूँकि 10 संख्याओं के लिए औसत में 3.6 की वृद्धि होती है, इसलिए कुल योग में 10 × 3.6 = 36 की वृद्धि होती है।

संख्या में परिवर्तन को योग में हुई कुल वृद्धि के बराबर रखने पर: 9(y - x) = 36

दोनों पक्षों को 9 से विभाजित करने पर: y - x = ³⁶⁄₉ = 4

दो-अंकीय संख्या के अंकों के बीच का अंतर 4 है।

व्याख्या

माना मूल अंकित मूल्य MP₁ = 100 है। व्यापारी सामान को 20% की छूट पर खरीदता है, इसलिए उसका क्रय मूल्य CP = 100 - 20 = 80 है।

व्यापारी अपने क्रय मूल्य पर 25% का लाभ कमाना चाहता है। इसलिए, विक्रय मूल्य SP = CP × (1 + ²⁵⁄₁₀₀) = 80 × 1.25 = 100 है।

व्यापारी इस विक्रय मूल्य को प्राप्त करने के लिए अपने स्वयं के अंकित मूल्य MP₂ पर 20% की छूट देता है। अंकित मूल्य, छूट और विक्रय मूल्य के बीच संबंध SP = MP₂ × (1 - (D)/(100)) है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 100 = MP₂ × (1 - 0.20) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 100 = MP₂ × 0.80 हो जाता है। नए अंकित मूल्य के लिए हल करने पर, MP₂ = (100)/(0.80) = 125।

वह प्रतिशत जिससे नया अंकित मूल्य MP₂ मूल अंकित मूल्य MP₁ से अधिक है, की गणना (MP₂ - MP₁)/MP₁ × 100 = (125 - 100)/(100) × 100 = 25% के रूप में की जाती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि व्यक्ति की प्रारंभिक आय 100 है। चूंकि वह अपनी आय का 75% खर्च करता है, इसलिए उसका व्यय 75 है और उसकी बचत 100 - 75 = 25 है।

आय में 20% की वृद्धि होती है, जिससे नई आय 100 × 1.20 = 120 हो जाती है। उसके व्यय में 10% की वृद्धि होती है, जिससे नया व्यय 75 × 1.10 = 82.5 हो जाता है।

नई बचत की गणना नई आय में से नए व्यय को घटाकर की जाती है: 120 - 82.5 = 37.5

बचत में वृद्धि 37.5 - 25 = 12.5 है। बचत में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि)/(मूल मान) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (12.5)/(25) × 100 = 50%

वैकल्पिक रूप से, मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करते हुए, व्यय और बचत का अनुपात 75:25 है, जो कि 3:1 है। यदि व्यय में 10% की वृद्धि होती है और कुल आय में 20% की वृद्धि होती है, तो मान लीजिए कि बचत में प्रतिशत वृद्धि x है। वृद्धियों का भारित औसत (weighted average) कुल आय वृद्धि के बराबर होना चाहिए: (3(10) + 1(x))/(3 + 1) = 20 30 + x = 80 x = 50%

व्याख्या

मान लीजिए कि वास्तविक चाल s है और दूरी D है। दूरी, चाल में परिवर्तन और समयांतराल के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: D = (s(s + Δ s))/(Δ s) × Δ t.

पहली स्थिति में, चाल में 10 किमी/घंटा की वृद्धि होती है (Δ s = 10) और लिया गया समय 1 घंटा कम हो जाता है (Δ t = 1): D = (s(s + 10))/(10) × 1

दूसरी स्थिति में, चाल में 10 किमी/घंटा की और वृद्धि की जाती है (जिससे कुल वृद्धि Δ s = 20 हो जाती है) और लिया गया समय 45 मिनट और कम हो जाता है। वास्तविक चाल की तुलना में कुल समय में कमी 1 + ⁴⁵⁄₆₀ = ⁷⁄₄ घंटे है: D = (s(s + 20))/(20) × ⁷⁄₄ = (7s(s + 20))/(80)

D के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: (s(s + 10))/(10) = (7s(s + 20))/(80) 8(s + 10) = 7(s + 20) 8s + 80 = 7s + 140 s = 60 किमी/घंटा

दूरी ज्ञात करने के लिए s = 60 का मान पहले समीकरण में रखने पर: D = (60 × (60 + 10))/(10) = (60 × 70)/(10) = 420 किमी

व्याख्या

पहली ट्रेन (A से B तक) का यात्रा समय 11:00 - 07:00 = 4 घंटे है। दूसरी ट्रेन (B से A तक) का यात्रा समय 11:30 - 08:00 = 3.5 घंटे या 7/2 घंटे है। गणना को सरल बनाने के लिए, मान लें कि स्टेशन A और B के बीच की दूरी यात्रा समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 28 किमी है।

पहली ट्रेन की गति V₁ = 28 / 4 = 7 किमी/घंटा है, और दूसरी ट्रेन की गति V₂ = 28 / (7/2) = 8 किमी/घंटा है। सुबह 8:00 बजे तक, पहली ट्रेन पहले ही एक घंटे की यात्रा कर चुकी है और उसने 7 × 1 = 7 किमी की दूरी तय कर ली है। सुबह 8:00 बजे दोनों ट्रेनों के बीच की शेष दूरी 28 - 7 = 21 किमी है।

चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति V₁ + V₂ = 7 + 8 = 15 किमी/घंटा है। सुबह 8:00 बजे के बाद उनके मिलने के लिए आवश्यक समय की गणना शेष दूरी को सापेक्ष गति से विभाजित करके की जाती है: 21 / 15 = 1.4 घंटे। 0.4 घंटे को मिनटों में बदलने पर, हमें 0.4 × 60 = 24 मिनट प्राप्त होते हैं। इसलिए, ट्रेनें सुबह 8:00 बजे के 1 घंटे और 24 मिनट बाद एक-दूसरे को पार करती हैं, जो कि सुबह 9:24 बजे (9:24 am) है।

व्याख्या

व्यक्ति की कुल बचत 84,100 रुपये है। अपनी पत्नी को 50% देने के बाद, उसके पुत्रों A और B के बीच विभाजित की जाने वाली शेष राशि 84,100 × 0.5 = 42,050 रुपये है। माना A और B के हिस्से क्रमशः S_A और S_B हैं। पुत्र A की आयु 15 वर्ष है और पुत्र B की आयु 13 वर्ष है। 18 वर्ष की आयु तक पहुँचने के लिए, A के पास 3 वर्ष (18 - 15) हैं और B के पास 5 वर्ष (18 - 13) हैं। शर्त यह है कि 5% चक्रवृद्धि ब्याज पर उनकी परिपक्वता राशि (मिश्रधन) बराबर होनी चाहिए।

चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र मिश्रधन = P(1 + r/100)ⁿ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: S_A(1 + 5/100)³ = S_B(1 + 5/100)⁵ S_A / S_B = (1 + 5/100)² S_A / S_B = (21/20)² = 441 / 400

अनुपात के भागों का योग 441 + 400 = 841 है। विभाजित की जाने वाली कुल राशि 42,050 रुपये है। हम एक भाग के मूल्य की गणना 42,050 / 841 = 50 के रूप में करते हैं। इसलिए, B का हिस्सा, जो 400 भागों के अनुरूप है, 400 × 50 = 20,000 रुपये है।

व्याख्या

माना संतरों की कुल संख्या 100 है और प्रत्येक संतरे का क्रय मूल्य 1 इकाई है, जिससे कुल क्रय मूल्य 100 इकाई हो जाता है। विक्रेता 100 का कुल क्रय मूल्य वसूल करने के लिए 40 संतरे (कुल का 40%) बेचता है। इस प्रकार, पहले चरण में प्रति संतरा विक्रय मूल्य 100 / 40 = 2.5 है। इसका तात्पर्य प्रति संतरा 2.5 - 1 = 1.5 का लाभ है, जो कि 150% की लाभ दर है।

शेष संतरों की संख्या 100 - 40 = 60 है। विक्रेता इन शेष संतरों का 80% बेचता है, जो कि 0.80 × 60 = 48 संतरे हैं। इस बिक्री के लिए लाभ की दर पिछली दर की आधी है, इसलिए यह 150% / 2 = 75% है। इस बैच के लिए प्रति संतरा विक्रय मूल्य 1 + 0.75 = 1.75 है। इन 48 संतरों से प्राप्त कुल राजस्व 48 × 1.75 = 84 है। शेष 12 संतरे फेंक दिए जाते हैं और उनसे कोई राजस्व प्राप्त नहीं होता है।

सभी बिक्रियों से प्राप्त कुल राजस्व 100 + 84 = 184 इकाई है। कुल लाभ, कुल राजस्व में से कुल क्रय मूल्य घटाने पर प्राप्त होता है, जो कि 184 - 100 = 84 है। 100 के प्रारंभिक क्रय मूल्य के सापेक्ष गणना करने पर, कुल लाभ प्रतिशत (84 / 100) × 100 = 84% है।

व्याख्या

मान लीजिए x = ᵖ⁄ₐ, y = (q)/(b), और z = (r)/(c) है। प्रश्न में संबंध x + y + z = 1 और ¹⁄ₓ + (1)/(y) + (1)/(z) = 0 दिए गए हैं।

दूसरे समीकरण से, एक सामान्य हर (common denominator) लेने पर प्राप्त होता है: (xy + yz + zx)/(xyz) = 0

चूंकि p, q, r, a, b, c शून्येतर (non-zero) हैं, इसलिए xyz ≠ 0, जिससे प्राप्त होता है: xy + yz + zx = 0

अब, बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) का उपयोग करने और ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1² = (ᵖ⁄ₐ)² + ((q)/(b))² + ((r)/(c))² + 2(0) 1 = (p²)/(a²) + (q²)/(b²) + (r²)/(c²)

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: ((x + 1)³ - (x - 1)³)/((x + 1)² - (x - 1)²) = 2.

सर्वसमिका (a + b)³ - (a - b)³ = 2b(3a² + b²) का उपयोग करके अंश का विस्तार करने पर: (x + 1)³ - (x - 1)³ = 2(1)(3x² + 1²) = 6x² + 2

सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab का उपयोग करके हर का विस्तार करने पर: (x + 1)² - (x - 1)² = 4(x)(1) = 4x

इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (6x² + 2)/(4x) = 2

तिर्यक गुणन (Cross-multiplication) करने पर प्राप्त होता है: 6x² + 2 = 8x 6x² - 8x + 2 = 0 3x² - 4x + 1 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: 3x² - 3x - x + 1 = 0 3x(x - 1) - 1(x - 1) = 0 (3x - 1)(x - 1) = 0

इससे x के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: x = 1 या x = 1/3. यदि x = 1/3 है, तो अंश 1 है और हर 3 है। अंश और हर का योगफल = 1 + 3 = 4।

व्याख्या

तीन रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करके निर्धारित किया जाता है। पहली दो रेखाएँ, x = 4 और y = 3, एक-दूसरे पर लंबवत हैं और बिंदु (4, 3) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

तीसरी रेखा 3x + 4y = 12 है। x = 4 के साथ इसका प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण में x = 4 प्रतिस्थापित करते हैं: 3(4) + 4y = 12, जो सरल होकर 12 + 4y = 12 हो जाता है, जिससे y = 0 प्राप्त होता है। यह शीर्ष (4, 0) प्रदान करता है। y = 3 के साथ इसका प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण में y = 3 प्रतिस्थापित करते हैं: 3x + 4(3) = 12, जो सरल होकर 3x + 12 = 12 हो जाता है, जिससे x = 0 प्राप्त होता है। यह शीर्ष (0, 3) प्रदान करता है।

त्रिभुज के शीर्ष (4, 3), (4, 0) और (0, 3) हैं। चूंकि रेखाएँ x = 4 और y = 3 क्रमशः ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज हैं, वे शीर्ष (4, 3) पर एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। रेखा y = 3 के अनुदिश आधार की लंबाई (4, 3) और (0, 3) के बीच की दूरी है, जो |4 - 0| = 4 इकाई है। रेखा x = 4 के अनुदिश ऊंचाई (4, 3) और (4, 0) के बीच की दूरी है, जो |3 - 0| = 3 इकाई है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र, क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई का उपयोग करके, हम गणना करते हैं: क्षेत्रफल = ½ × 4 × 3 = 6 वर्ग इकाई।

व्याख्या

समीकरण 3x + 4y = 10 - x + 2y = 0 दो रैखिक समीकरणों के एक निकाय को दर्शाता है जहाँ दोनों व्यंजक शून्य के बराबर हैं: 3x + 4y = 0 और 10 - x + 2y = 0। हल (a, b) ज्ञात करने के लिए, हम इस निकाय को एक साथ हल करते हैं। पहले समीकरण से, हमें 4y = -3x प्राप्त होता है, जिससे y = -3x/4 मिलता है। इसे दूसरे समीकरण x - 2y = 10 में प्रतिस्थापित करने पर:

x - 2(-3x/4) = 10 x + 3x/2 = 10 5x/2 = 10 5x = 20 x = 4

y ज्ञात करने के लिए x के मान का उपयोग करने पर:

y = -3(4)/4 = -3

हल (a, b) = (4, -3) है। इसलिए, a + b का मान है:

a + b = 4 + (-3) = 1

व्याख्या

दिया गया मान x = √5 + 2 है। इसे x - 2 = √5 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें (x - 2)² = (√5)² प्राप्त होता है, जो सरल होकर x² - 4x + 4 = 5 हो जाता है। इससे द्विघात संबंध x² - 4x - 1 = 0 प्राप्त होता है।

अब, हम अंश और हर को x² - 4x - 1 के पदों में व्यक्त करके व्यंजक (2x² - 3x - 2)/(3x² - 4x - 3) को सरल कर सकते हैं। अंश के लिए, 2x² - 3x - 2 = 2(x² - 4x - 1) + 5x है। चूंकि x² - 4x - 1 = 0 है, इसलिए अंश 2(0) + 5x = 5x हो जाता है। इसी प्रकार, हर के लिए, 3x² - 4x - 3 = 3(x² - 4x - 1) + 8x है। द्विघात संबंध का मान प्रतिस्थापित करने पर, हर 3(0) + 8x = 8x हो जाता है।

अंतिम व्यंजक इन दोनों परिणामों का अनुपात है: ⁵ˣ⁄₈ₓ। उभयनिष्ठ गुणनखंड x को विभाजित करने पर, हमें ⅝ प्राप्त होता है, जो 0.625 के बराबर है।

व्याख्या

व्यंजक a³ + b³ + c³ - 3abc को बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके हल किया जाता है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

इस सर्वसमिका का एक महत्वपूर्ण गुण यह है कि यदि a + b + c = 0 हो, तो संपूर्ण व्यंजक का मान शून्य हो जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a + b + c = 2.234 + 3.121 + (-5.355) a + b + c = 5.355 - 5.355 = 0

चूंकि तीनों संख्याओं का योग शून्य है, इसलिए सर्वसमिका में गुणनफल इस प्रकार हो जाता है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (0) × (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² + y² + 1 = 2x को 2x पद को बाईं ओर लाकर पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप x² - 2x + 1 + y² = 0 प्राप्त होता है। बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करते हुए, पहले तीन पदों को (x - 1)² के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रकार, समीकरण (x - 1)² + y² = 0 बन जाता है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में, दो गैर-ऋणात्मक पदों (जैसे कि वर्ग) का योग केवल तभी शून्य हो सकता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत पद शून्य हो। इसका अर्थ है कि (x - 1)² = 0 और y² = 0, जिससे x = 1 और y = 0 प्राप्त होता है। इन मानों को व्यंजक x³ + y⁵ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1³ + 0⁵ = 1 + 0 = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 3(a² + b² + c²) = (a + b + c)² के दाएं पक्ष का विस्तार करने पर 3a² + 3b² + 3c² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से दाएं पक्ष के पदों को घटाने पर, समीकरण सरल होकर 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0 हो जाता है।

पदों को समूहीकृत करके इस व्यंजक को वर्गों के योग के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ca + a²) = 0। द्विपद के वर्ग की सर्वसमिका को लागू करने पर, हमें (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0 प्राप्त होता है। वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद को स्वतंत्र रूप से शून्य होना चाहिए। इसलिए, a - b = 0, b - c = 0, और c - a = 0, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि a = b = c।

व्याख्या

समीकरण के बाईं ओर के वर्ग पदों को सूत्र (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करके विस्तारित करने पर (sin a + csc a)² = sin² a + csc² a + 2sin a csc a और (cos a + sec a)² = cos² a + sec² a + 2cos a sec a प्राप्त होता है। व्युत्क्रम सर्वसमिकाओं sin a csc a = 1 और cos a sec a = 1 का उपयोग करने पर, इन विस्तारों का योग sin² a + cos² a + csc² a + sec² a + 4 हो जाता है।

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² a + cos² a = 1 के प्रयोग से इस व्यंजक को 5 + csc² a + sec² a के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। समीकरण के दाईं ओर के रूप से मिलान करने के लिए, पाइथागोरस सर्वसमिकाओं csc² a = 1 + cot² a और sec² a = 1 + tan² a को व्यंजक में प्रतिस्थापित किया जाता है। इससे 5 + (1 + cot² a) + (1 + tan² a) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 7 + tan² a + cot² a हो जाता है। इस परिणाम की तुलना दाईं ओर के पद k + tan² a + cot² a से करने पर पता चलता है कि k = 7 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि मीनार की ऊंचाई h है और बिंदु P तथा मीनार के पाद के बीच की दूरी x है। P पर उन्नयन कोण से, हमारे पास tan(60°) = h/x है, जिसका अर्थ है x = h/√3। बिंदु Q (P से 10 मीटर ऊपर) से मीनार के पाद के अवनमन कोण से, हमारे पास tan(30°) = 10/x है, जिसका अर्थ है x = 10√3। x के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, h/√3 = 10√3 प्राप्त होता है, इसलिए h = 10 * 3 = 30 मीटर।