एसएससी सीजीएल टियर 1 2014 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² a - tan² a = 1 का उपयोग करते हैं, जिसे (sec a + tan a)(sec a - tan a) = 1 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। यह देखते हुए कि sec a + tan a = 2 है, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि sec a - tan a = 1 / 2 = 0.5 है।

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: (sec a + tan a) + (sec a - tan a) = 2 + 0.5 2 sec a = 2.5 sec a = 1.25

पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: (sec a + tan a) - (sec a - tan a) = 2 - 0.5 2 tan a = 1.5 tan a = 0.75

sin a का मान संबंध sin a = (tan a)/(sec a) द्वारा प्राप्त किया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin a = (0.75)/(1.25) = ⁷⁵⁄₁₂₅ = ⅗ = 0.6

व्याख्या

a sin Θ + b cos Θ = c और b sin Θ - a cos Θ = x के रूप के किसी भी व्यंजक के लिए, हम दोनों समीकरणों का वर्ग करने और उन्हें जोड़ने से प्राप्त सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं: (a sin Θ + b cos Θ)² + (b sin Θ - a cos Θ)² = a² (sin² Θ + cos² Θ) + b² (cos² Θ + sin² Θ) = a² + b²।

दिए गए मानों a = 3, b = 5, और c = 5 को संबंध c² + x² = a² + b² में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 5² + x² = 3² + 5² प्राप्त होता है। इस समीकरण को सरल करने पर 25 + x² = 9 + 25 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप x² = 9 होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x = ± 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण tan Θ + cot Θ = 2 है। चूंकि cot Θ, tan Θ का व्युत्क्रम है, इसे tan Θ + (1)/(tan Θ) = 2 के रूप में लिखा जा सकता है। tan Θ से गुणा करने पर द्विघात समीकरण tan² Θ - 2 tan Θ + 1 = 0 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर (tan Θ - 1)² = 0 प्राप्त होता है। इसे हल करने पर tan Θ = 1 प्राप्त होता है। एक न्यूनकोण Θ के लिए, यह Θ = 45° के संगत है। चूंकि tan 45° = 1 और cot 45° = 1 है, इसलिए किसी भी धन पूर्णांक n के लिए tanⁿ Θ + cotⁿ Θ के रूप में किसी भी व्यंजक का मान 1ⁿ + 1ⁿ = 2 होगा। इसलिए, tan⁵ Θ + cot⁵ Θ = 1⁵ + 1⁵ = 1 + 1 = 2।

व्याख्या

△ AOD में, E और F क्रमशः AO और DO के मध्य बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है। इसलिए, EF = ½ AD।

इसी प्रकार, △ DOC में, F और G क्रमशः DO और CO के मध्य बिंदु हैं, जिससे FG = ½ DC प्राप्त होता है। △ COB में, G और H क्रमशः CO और BO के मध्य बिंदु हैं, इसलिए GH = ½ CB। अंत में, △ BOA में, H और E क्रमशः BO और AO के मध्य बिंदु हैं, जिसका अर्थ है कि HE = ½ AB।

चतुर्भुज EFGH का परिमाप उसकी भुजाओं का योग है: परिमाप(EFGH) = EF + FG + GH + HE मध्य-बिंदु प्रमेय से प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर: परिमाप(EFGH) = ½ AD + ½ DC + ½ CB + ½ AB परिमाप(EFGH) = ½ (AD + DC + CB + AB) परिमाप(EFGH) = ½ × परिमाप(ABCD)

EFGH के परिमाप का ABCD के परिमाप से अनुपात ½ है, जो कि 1:2 है।

व्याख्या

यह व्यंजक tan 1° · tan 2° · tan 3° … tan 89° का गुणनफल है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot θ का उपयोग करके, हम देख सकते हैं कि tan 89° = tan(90° - 1°) = cot 1°, tan 88° = cot 2°, इत्यादि। इन्हें गुणनफल में प्रतिस्थापित करने पर, हम पदों को (tan 1° · cot 1°) · (tan 2° · cot 2°) … (tan 44° · cot 44°) · tan 45° के रूप में युग्मित कर सकते हैं। चूंकि किसी भी कोण θ के लिए गुणनफल tan θ · cot θ = 1 होता है, इसलिए प्रत्येक युग्म का मान सरल होकर 1 हो जाता है। मध्य पद tan 45° भी 1 के बराबर है। इसलिए, संपूर्ण गुणनफल सरल होकर 1 · 1 · … · 1 = 1 हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और P बाह्य बिंदु है। मान लीजिए T, बिंदु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा का स्पर्श बिंदु है। ज्यामिति में, वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के सदैव लंबवत होती है। इसलिए, त्रिभुज OTP एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण शीर्ष T पर है।

त्रिभुज OTP में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, केंद्र से दूरी OP का वर्ग, त्रिज्या OT के वर्ग और स्पर्श रेखा की लंबाई PT के वर्ग के योग के बराबर होता है। इस संबंध को OP² = OT² + PT² के रूप में व्यक्त किया जाता है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ त्रिज्या OT = 5 इकाई और स्पर्श रेखा की लंबाई PT = 5√3 इकाई है: OP² = 5² + (5√3)² OP² = 25 + 75 OP² = 100 OP = √(100) = 10 इकाई

वृत्त के केंद्र से बिंदु की दूरी 10 इकाई है।

व्याख्या

मान लीजिए कि Δ ABC के आंतरिक कोण A, B और C हैं। शीर्ष A पर बाह्य कोण 180° - A है। चूंकि AD इस बाह्य कोण का समद्विभाजक है, इसलिए कोण ∠ DAC = (180° - A)/(2) = 90° - (A)/(2) है। Δ ABD में, शीर्ष A पर कुल कोण ∠ DAB = ∠ DAC + ∠ CAB = (90° - (A)/(2)) + A = 90° + (A)/(2) है।

दिया गया है कि AB = AD है, इसलिए त्रिभुज ABD, आधार BD वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसका अर्थ है कि आधार कोण ∠ ABD और ∠ ADB बराबर हैं। चूंकि D, बढ़ाई गई BC पर स्थित है, इसलिए ∠ ABD, Δ ABC के आंतरिक कोण B के समान है। Δ ABD में कोणों का योग 180° है, इसलिए B + B + (90° + (A)/(2)) = 180°, जिसे सरल करने पर 4B + A = 180° प्राप्त होता है।

इसी प्रकार, शीर्ष B पर बाह्य कोण समद्विभाजक BE के लिए, जहाँ AB = BE है, Δ BAE में कोण ∠ EBA = 90° + (B)/(2) है। चूंकि AB = BE है, इसलिए आधार कोण ∠ BAE और ∠ BEA बराबर हैं, अतः ∠ BAE = A है। Δ BAE में कोणों का योग 180° है, जिससे A + A + (90° + (B)/(2)) = 180° प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 4A + B = 180° प्राप्त होता है।

समीकरण निकाय A + 4B = 180° और 4A + B = 180° को हल करने पर A = B = 36° प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, आंतरिक कोण ∠ ACB = 180° - (A + B) = 180° - 72° = 108° है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज ABC में, सभी आंतरिक कोण 60° के बराबर होते हैं, इसलिए ∠ ABC = 60°। परिकेंद्र O उस वृत्त का केंद्र है जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है। वृत्तों के ज्यामितीय गुण के अनुसार, किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। इस विन्यास में, चाप AC केंद्र O पर ∠ AOC और परिधि पर बिंदु B पर ∠ ABC अंतरित करता है। प्रमेय लागू करने पर, ∠ AOC = 2 × ∠ ABC। समबाहु त्रिभुज में कोण के ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर, ∠ AOC = 2 × 60° = 120°।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ BCD = 180° - ∠ BAD = 180° - 95° = 85° और ∠ ABC = 180° - ∠ ADC = 180° - 70° = 110°।

चूंकि ABE एक सरल रेखा है, इसलिए बाह्य कोण ∠ CBE = 180° - ∠ ABC = 180° - 110° = 70°। △ BCE में, यह दिया गया है कि BE = BC, जिसका अर्थ है कि यह त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें ∠ BCE = ∠ BEC है।

△ BCE में कोण योग गुणधर्म लागू करने पर: ∠ CBE + ∠ BCE + ∠ BEC = 180° 70° + 2 × ∠ BCE = 180° 2 × ∠ BCE = 110° ⟹ ∠ BCE = 55°

कुल कोण ∠ DCE, ∠ BCD और ∠ BCE का योग है: ∠ DCE = 85° + 55° = 140°

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक समबहुभुज के लिए, अंतःकोणों का योग सूत्र (n - 2) × 180° का उपयोग करके निकाला जाता है। किसी भी उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है। प्रश्न के अनुसार, अंतःकोणों का योग बाह्य कोणों के योग के दोगुने के बराबर है।

हम इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शा सकते हैं: (n - 2) × 180° = 2 × 360°

समीकरण के दोनों पक्षों को 180° से भाग देने पर व्यंजक सरल हो जाता है: n - 2 = 2 × 2 n - 2 = 4 n = 4 + 2 n = 6

व्याख्या

△ PST और △ PQR में, ∠ P दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है और यह दिया गया है कि ∠ PST = ∠ PQR है। AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार, △ PST ∼ △ PQR है।

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं: (PS)/(PQ) = (PT)/(PR)

भुजा PQ की लंबाई PT और TQ का योग है, इसलिए PQ = 5 + 3 = 8 सेमी। माना SR की लंबाई x है, इसलिए PR = PS + SR = 3 + x। अनुपात में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 3/8 = (5)/(3 + x)

x का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक-गुणन (cross-multiplying) करने पर: 3(3 + x) = 40 9 + 3x = 40 3x = 31 x = 31/3

अतः, SR की लंबाई 31/3 सेमी है।

व्याख्या

दो वृत्तों, जिनकी त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं तथा उनके केंद्रों के बीच की दूरी d है, की प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई सूत्र L = √(d² - (r₁ - r₂)²) द्वारा दी जाती है। इस प्रश्न में, त्रिज्याएँ r₁ = 7 सेमी और r₂ = 2 सेमी हैं, और केंद्रों के बीच की दूरी d = 13 सेमी है।

सूत्र में इन मानों को रखने पर: L = √(13² - (7 - 2)²) L = √(169 - 5²) L = √(169 - 25) L = √(144) L = 12 सेमी

व्याख्या

मिश्रण नियम (rule of alligation) का उपयोग करते हुए, वांछित औसत सांद्रता प्राप्त करने के लिए दो घटकों को जिस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए, वह औसत और व्यक्तिगत सांद्रता के बीच के अंतर की गणना करके ज्ञात किया जाता है। मान लीजिए कि C₁ = 25% निम्न सांद्रता है, C₂ = 50% उच्च सांद्रता है, और M = 40% लक्षित औसत सांद्रता है।

25% अल्कोहल की मात्रा (q₁) और 50% अल्कोहल की मात्रा (q₂) का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

q₁ / q₂ = (C₂ - M) / (M - C₁)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

q₁ / q₂ = (50 - 40) / (40 - 25) q₁ / q₂ = 10 / 15

दोनों पदों को 5 से विभाजित करके इस अनुपात को इसके सरलतम रूप में बदलने पर 2/3 प्राप्त होता है। इस प्रकार, अल्कोहल विलयनों को 2:3 के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

व्याख्या

यदि x और y, a और b के बीच दो मध्यमानुपाती हैं, तो अनुक्रम a, x, y, b एक गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) बनाता है। माना r सार्वअनुपात (common ratio) है। पदों को x = ar, y = ar², और b = ar³ के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इस प्रश्न में, a = 2 और b = 54 है। सार्वअनुपात r ज्ञात करने के लिए, हम श्रेणी के चौथे पद के सूत्र का उपयोग करते हैं: ar³ = 54 2 × r³ = 54 r³ = 27 r = 3

सार्वअनुपात r = 3 का उपयोग करके, हम दो मध्यमानुपाती की गणना करते हैं: पहला मध्यमानुपाती x = ar = 2 × 3 = 6 है। दूसरा मध्यमानुपाती y = ar² = 2 × 3² = 2 × 9 = 18 है।

मान 6 और 18 इस शर्त को पूरा करते हैं क्योंकि 2, 6, 18, 54 एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ प्रत्येक पद को अगला पद प्राप्त करने के लिए 3 से गुणा किया जाता है।

व्याख्या

7 बच्चों की कुल आयु बच्चों की संख्या को उनकी औसत आयु से गुणा करके प्राप्त की जाती है: 7 × 12 = 84 वर्ष। जब 6 वर्ष की आयु के बच्चे की मृत्यु हो जाती है, तो शेष बच्चों की आयु का कुल योग 84 - 6 = 78 वर्ष होता है। चूंकि अब 6 बच्चे शेष हैं, इसलिए उनकी औसत आयु की गणना नई कुल आयु को नई संख्या से विभाजित करके की जाती है: 78 / 6 = 13 वर्ष।

व्याख्या

सभी 22 उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त कुल अंकों की गणना सूत्र 'कुल = औसत × उम्मीदवारों की संख्या' का उपयोग करके की जाती है। इस प्रकार, सभी 22 उम्मीदवारों के अंकों का योग 22 × 45 = 990 है।

पहले 10 उम्मीदवारों के अंकों का योग 10 × 55 = 550 है, और अंतिम 11 उम्मीदवारों के अंकों का योग 11 × 40 = 440 है। 11वां उम्मीदवार अकेला ऐसा उम्मीदवार है जो इन दोनों समूहों में शामिल नहीं है। 11वें उम्मीदवार के अंक ज्ञात करने के लिए, इन 21 उम्मीदवारों के अंकों के योग को सभी 22 उम्मीदवारों के कुल अंकों में से घटाएं:

11वें उम्मीदवार के अंक = 990 - (550 + 440) 11वें उम्मीदवार के अंक = 990 - 990 = 0

व्याख्या

समान क्रय मूल्य पर विभिन्न लाभ/हानि प्रतिशत दिए जाने पर दो विक्रय मूल्यों के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: SPₙₑ_w = SPₒₗ_d × (100 ± Gain/Lossₙₑ_w%) / (100 ± Gain/Lossₒₗ_d%)।

इस मामले में, प्रारंभिक विक्रय मूल्य SP₁ 10% की हानि के साथ 1,080 है, और वांछित लाभ 10% है। अनुपात में मान रखने पर:

SP₂ = 1080 × (100 + 10)/(100 - 10)

SP₂ = 1080 × ¹¹⁰⁄₉₀

SP₂ = 1080 × ¹¹⁄₉

1,080 को 9 से विभाजित करने पर 120 प्राप्त होता है। 120 को 11 से गुणा करने पर 1,320 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, पहले क्रय मूल्य (CP) की गणना करने पर: CP = (1080)/(0.9) = 1200। 10% लाभ प्राप्त करने के लिए, दुकानदार को इसे 1200 × 1.1 = 1320 पर बेचना होगा।

व्याख्या

प्रतिफल प्रतिशत (Yield percentage) किए गए वास्तविक निवेश पर अर्जित वार्षिक आय है। इसकी गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिफल % = (लाभांश दर × अंकित मूल्य)/(बाजार मूल्य) × 100। 100 के मानक अंकित मूल्य के लिए, वार्षिक लाभांश 12½ या 12.5 है। यह देखते हुए कि स्टॉक को 108 के बाजार मूल्य पर खरीदा गया है, प्रतिफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

प्रतिफल % = (12.5)/(108) × 100

प्रतिफल % = ¹²⁵⁰⁄₁₀₈ = ⁶²⁵⁄₅₄

625 को 54 से विभाजित करने पर भागफल 11 और शेषफल 31 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप भिन्न 11³¹⁄₅₄ प्राप्त होती है। इस गणना के लिए 27,000 के कुल निवेश की आवश्यकता नहीं है क्योंकि खरीदे गए शेयरों की कुल संख्या के बावजूद प्रतिफल प्रतिशत स्थिर रहता है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक ही बिंदु से चलना शुरू करती हैं और विपरीत दिशाओं में गति करती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक घंटे वे एक-दूसरे से उतनी ही दूरी पर चले जाते हैं जितनी दूरी वे व्यक्तिगत रूप से तय करते हैं। सांता और जूली की सापेक्ष गति 2.5 किमी/घंटा + 2 किमी/घंटा = 4.5 किमी/घंटा है। एक निश्चित दूरी तक पहुँचने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र t = D / Vᵣₑₗ का उपयोग करते हैं, जहाँ D दूरी है और Vᵣₑₗ सापेक्ष गति है। दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर, हमें t = 18 / 4.5 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर, यह 180 / 45 हो जाता है, जो 4 घंटे के बराबर है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है। यहाँ, सापेक्ष गति 33 + 39 = 72 किमी/घंटा है। इस गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, हम इसे ⁵⁄₁₈ से गुणा करते हैं, जिससे 72 × ⁵⁄₁₈ = 20 मीटर/सेकंड प्राप्त होता है।

ट्रेनों द्वारा एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है। इस प्रकार, दूरी D = 125 + 115 = 240 मीटर है। एक-दूसरे को पार करने में लगने वाले समय की गणना सूत्र समय = (दूरी)/(सापेक्ष गति) का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें समय = ²⁴⁰⁄₂₀ = 12 सेकंड प्राप्त होता है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, क्रमिक वर्षों के अंत में प्राप्त मिश्रधन एक गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) बनाते हैं। इसका अर्थ है कि मूलधन P और पहले वर्ष के बाद के मिश्रधन A₁ के बीच का अनुपात, पहले वर्ष के बाद के मिश्रधन A₁ और दूसरे वर्ष के बाद के मिश्रधन A₂ के बीच के अनुपात के समान होता है।

P / A₁ = A₁ / A₂

मूलधन ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: P = A₁² / A₂

सूत्र में दिए गए मान A₁ = 650 और A₂ = 676 रखने पर: P = (650 × 650) / 676

गणना को सरल बनाने के लिए, ध्यान दें कि 676 = 26 × 26 और 650 = 26 × 25: P = (26 × 25 × 26 × 25) / (26 × 26) P = 25 × 25 P = 625

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम अलग-अलग पदों का गुणनखंड करते हैं और संक्रियाएँ करते हैं। यह मानते हुए कि संक्रियाएँ भाग (विभाजन) हैं, जो दिए गए उत्तर के अनुरूप है, व्यंजक (p² - p)/(2p³ + 6p²) ÷ (p² - 1)/(p² + 3p) ÷ (p²)/(p + 1) है।

सबसे पहले, प्रत्येक अंश और हर का गुणनखंड करें: (p² - p)/(2p³ + 6p²) = (p(p - 1))/(2p²(p + 3)) = (p - 1)/(2p(p + 3)) (p² - 1)/(p² + 3p) = ((p - 1)(p + 1))/(p(p + 3)) (p²)/(p + 1) वैसा ही रहता है।

अब, इन गुणनखंडित रूपों को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करें और व्युत्क्रम लेकर भाग की संक्रियाओं को गुणा में बदलें: (p - 1)/(2p(p + 3)) × (p(p + 3))/((p - 1)(p + 1)) × (p + 1)/(p²)

अंश और हर में उभयनिष्ठ पदों को निरस्त (cancel) करें: पद (p - 1) निरस्त हो जाता है। पद (p + 3) निरस्त हो जाता है। पद (p + 1) निरस्त हो जाता है। दूसरी भिन्न के अंश में मौजूद पद p, पहली भिन्न के हर में मौजूद p को निरस्त कर देता है।

निरस्तीकरण के बाद, हमारे पास बचता है: ½ × ¹⁄₁ × (1)/(p²) = (1)/(2p²)

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) का उपयोग करके, हम दिए गए मानों a + b + c = 4√3 और a² + b² + c² = 16 को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे हमें प्राप्त होता है:

(4√3)² = 16 + 2(ab + bc + ca) 48 = 16 + 2(ab + bc + ca) 32 = 2(ab + bc + ca) ab + bc + ca = 16

चूंकि a² + b² + c² = 16 और ab + bc + ca = 16 है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि a² + b² + c² = ab + bc + ca है। इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

a² + b² + c² - ab - bc - ca = 0

2 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:

2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0 (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में, वर्गों का योग शून्य केवल और केवल तभी होता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत पद शून्य हो। इसलिए, a - b = 0, b - c = 0, और c - a = 0, जिसका अर्थ है a = b = c। इस प्रकार अनुपात a:b:c, 1:1:1 है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण x + 1/x = 2 है। दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर x² + 1 = 2x प्राप्त होता है, जिसे x² - 2x + 1 = 0 के रूप में पुनः लिखा जा सकता है। यह सर्वसमिका (x - 1)² = 0 का विस्तार है, जिससे प्राप्त होता है कि x = 1।

वांछित व्यंजक के घटकों में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर: x² + 1/x² = 1² + 1/1² = 1 + 1 = 2 x³ + 1/x³ = 1³ + 1/1³ = 1 + 1 = 2

इसलिए, गुणनफल (x² + 1/x²)(x³ + 1/x³) का मान 2 × 2 = 4 है। इस परिणाम को बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके भी सत्यापित किया जा सकता है, जहाँ यदि x + 1/x = k हो, तो k = 2 होने पर सभी n के लिए xⁿ + 1/xⁿ = 2 होता है।

व्याख्या

व्यंजक a³ + b³ + c³ - 3abc को बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके इस प्रकार लिखा जा सकता है: a³ + b³ + c³ - 3abc = ½(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

चूँकि a, b, c धनात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए पद (a + b + c) हमेशा एक धनात्मक मान (कम से कम 1+1+1=3) होगा। व्यंजक का दूसरा भाग, [(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²], वर्गों के योग से बना है, जिसका अर्थ है कि इसका मान हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होता है।

इस व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम अंतरों के वर्गों के योग को न्यूनतम करते हैं। किसी वर्ग का न्यूनतम संभव मान शून्य होता है, जो तब प्राप्त होता है जब घटाए जाने वाले पद आपस में बराबर होते हैं। a = b = c रखने पर (उदाहरण के लिए, a = b = c = 1, जो धनात्मक पूर्णांक हैं), हमें प्राप्त होता है: (a - b)² = 0, (b - c)² = 0, और (c - a)² = 0

इन्हें सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: मान = ½(1 + 1 + 1)[0 + 0 + 0] = ½(3)[0] = 0

यदि a, b, c सभी आपस में बराबर नहीं हैं, तो वर्गों का योग कम से कम 2 हो जाता है (जैसे कि 1, 1, 2 के लिए), जिससे व्यंजक का कुल मान काफी अधिक हो जाता है। इसलिए, धनात्मक पूर्णांकों के लिए व्यंजक का न्यूनतम मान 0 हो सकता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों a + b = 1 और a - b = d/c को गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है: (a + b)(a - b) = 1 · (d/c) a² - b² = d/c

दूसरी दी गई स्थिति c + d = 1 से, हम 1/c को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: 1/c = (c + d)/c = 1 + d/c

अब, दोनों समीकरणों a + b = 1 और a - b = d/c को जोड़ने पर प्राप्त होता है: 2a = 1 + d/c इसमें संबंध 1 + d/c = 1/c प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2a = 1/c ⟹ c = 1/(2a)

दोनों दिए गए समीकरणों a + b = 1 और a - b = d/c को घटाने पर प्राप्त होता है: 2b = 1 - d/c = (c - d)/c इसका अर्थ है कि c - d = 2bc. इस व्यंजक में c = 1/(2a) का मान प्रतिस्थापित करने पर: c - d = 2b · 1/(2a) = b/a

चूंकि c + d = 1 है, इसलिए व्यंजक c² - d² का मान इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है: c² - d² = (c + d)(c - d) = 1 · (b/a) = b/a

व्याख्या

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार, जब एक बहुपद f(x) को एक रैखिक भाजक ax + b से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल f(-ᵇ⁄ₐ) द्वारा दिया जाता है। भाजक 3x + 2 = 0 रखने पर प्रतिस्थापन मान x = -⅔ प्राप्त होता है।

बहुपद f(x) = 12x³ - 13x² - 5x + 7 में x = -⅔ प्रतिस्थापित करने पर:

R = 12(-⅔)³ - 13(-⅔)² - 5(-⅔) + 7

R = 12(-⁸⁄₂₇) - 13(⁴⁄₉) + ¹⁰⁄₃ + 7

हर को 9 के रूप में समान करके पदों को सरल करने पर:

R = -³²⁄₉ - ⁵²⁄₉ + ³⁰⁄₉ + ⁶³⁄₉

R = (-32 - 52 + 30 + 63)/(9)

R = (-84 + 93)/(9) = ⁹⁄₉ = 1

व्याख्या

दिए गए समीकरणों x = 3t और y = ½(t + 1) के लिए, हम t का मान ज्ञात करने के लिए इन व्यंजकों को प्रतिबंध x = 2y में प्रतिस्थापित करते हैं।

समीकरण इस प्रकार हो जाता है: 3t = 2 · [ ½(t + 1) ]

दाहिने पक्ष को सरल करने पर, गुणनखंड 2 हर (denominator) से कट जाता है: 3t = t + 1

t को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों से t घटाएं: 3t - t = 1 2t = 1

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर t का मान प्राप्त होता है: t = ½

यह मान दिए गए प्राचलिक समीकरणों के लिए संबंध x = 2y को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

एक द्विघात व्यंजक x² + bx + c के एक पूर्ण वर्ग होने के लिए, इसे बीजीय सर्वसमिका (x + k)² = x² + 2kx + k² का पालन करना चाहिए। दिए गए व्यंजक x² + ⅕x + a² के गुणांकों की इस मानक रूप से तुलना करके, हम a का मान ज्ञात कर सकते हैं।

मध्य पद के गुणांक को बराबर करने पर: 2k = ⅕ k = ⅒

अचर पद को बराबर करने पर: a² = k² a² = (⅒)² a = ⅒

a = ⅒ के साथ, व्यंजक x² + ⅕x + ¹⁄₁₀₀ बन जाता है, जो कि बिल्कुल (x + ⅒)² है। इस प्रकार, व्यंजक को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए a का आवश्यक मान 1/10 है।

व्याख्या

n भुजाओं वाले किसी भी बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र (n - 2) × 180° द्वारा दिया जाता है। एक चतुर्भुज के लिए, चाहे वह चक्रीय हो या नहीं, भुजाओं की संख्या n, 4 के बराबर होती है। इस मान को सूत्र में रखने पर (4 - 2) × 180° = 2 × 180° = 360° प्राप्त होता है।

इसके अतिरिक्त, एक चक्रीय चतुर्भुज का एक विशिष्ट गुण यह है कि इसके सम्मुख कोण संपूरक होते हैं, जिसका अर्थ है m∠ A + m∠ C = 180° और m∠ B + m∠ D = 180°। इन दोनों समीकरणों को आपस में जोड़ने पर m∠ A + m∠ B + m∠ C + m∠ D = 180° + 180° = 360° प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, परिकेंद्र वह बिंदु होता है जो तीनों शीर्षों से समान दूरी (समदूरस्थ) पर होता है। थेल्स के प्रमेय (Thales' Theorem) के अनुसार, अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है। इस ज्यामितीय सिद्धांत का तात्पर्य है कि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण उसके परिवृत्त के व्यास के रूप में कार्य करता है। चूंकि किसी भी वृत्त का केंद्र उसके व्यास का मध्य-बिंदु होता है, इसलिए समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र अनिवार्य रूप से कर्ण के मध्य-बिंदु पर स्थित होता है। इस मध्य-बिंदु से तीनों शीर्षों में से प्रत्येक की दूरी परित्रिज्या R के बराबर होती है, जो कर्ण की लंबाई की आधी होती है।

व्याख्या

कोण योग गुणधर्म (angle sum property) के अनुसार, किसी त्रिभुज के अंतःकोणों का योग हमेशा 180° होता है। दिए गए दो कोण 21° और 38° हैं, तीसरे कोण की गणना इस प्रकार की जाती है:

180° - (21° + 38°) = 180° - 59° = 121°

यदि किसी त्रिभुज के अंतःकोणों में से किसी एक कोण का माप 90° से अधिक हो, तो उसे अधिककोण त्रिभुज के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। चूंकि इस त्रिभुज में तीसरा कोण 121° है, जो कि 90° से अधिक है, इसलिए यह एक अधिककोण त्रिभुज है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज के दो कोणों के आंतरिक समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन द्वारा बनने वाला कोण सूत्र 90° + (A)/(2) द्वारा दिया जाता है, जहाँ A त्रिभुज का तीसरा कोण है।

दिया गया है कि ∠ B और ∠ C के आंतरिक समद्विभाजकों के बीच का कोण 120° है, हम समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं:

120° = 90° + (∠ A)/(2)

दोनों पक्षों से 90° घटाने पर:

30° = (∠ A)/(2)

2 से गुणा करने पर:

∠ A = 60°

व्याख्या

Δ ABC में, चूंकि F और E क्रमशः AB और AC के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार रेखाखंड FE, आधार BC के समांतर है। मान लीजिए AD त्रिभुज की तीसरी माध्यिका है, जो केंद्रक G से होकर गुजरती है और BC को उसके मध्य-बिंदु D पर मिलती है। चूंकि FE ∥ BC और F, AB का मध्य-बिंदु है, इसलिए रेखा FE को A से BC तक खींचे गए किसी भी रेखाखंड को समद्विभाजित करना चाहिए। इस प्रकार, O माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है, जिसका अर्थ है AO = OD = ½ AD।

केंद्रक G, माध्यिका AD को शीर्ष से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है AG = ⅔ AD। OG की लंबाई AG और AO के बीच का अंतर है:

OG = AG - AO = ⅔ AD - ½ AD = ⅙ AD

दिया गया है OG = 2 सेमी, हम AD के लिए हल कर सकते हैं:

2 = ⅙ AD ⟹ AD = 12 सेमी

संबंध AO = ½ AD का उपयोग करने पर:

AO = ½ × 12 = 6 सेमी

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, तीनों भुजाओं की लंबाई समान होती है, जैसे कि AB = BC = CA = s। किसी त्रिभुज का शीर्षलंब किसी शीर्ष से सम्मुख भुजा तक की लंबवत दूरी होती है। एक समबाहु त्रिभुज के लिए, शीर्षलंब h की लंबाई सूत्र h = √3{2}s द्वारा दी जाती है। चूंकि तीनों भुजाएं बराबर हैं, इसलिए शीर्षों A, B, और C से उनकी संबंधित सम्मुख भुजाओं BC, AC, और AB पर खींचे गए शीर्षलंबों की लंबाई समान होती है। विशेष रूप से, शीर्षलंब AX = √3{2}BC, शीर्षलंब BY = √3{2}AC, और शीर्षलंब CZ = √3{2}AB है। चूंकि BC = AC = AB है, इसलिए इन तीनों शीर्षलंबों के मान गणितीय रूप से समान हैं, जिससे संबंध AX = BY = CZ प्राप्त होता है।

व्याख्या

Δ ABC में, अंतः कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ BAC = 85° और ∠ BCA = 55°, हम तीसरे कोण की गणना इस प्रकार करते हैं: ∠ ABC = 180° - (85° + 55°) = 40°। केंद्रीय कोण प्रमेय के अनुसार, किसी वृत्त के केंद्र पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। इसलिए, ∠ AOC = 2 × ∠ ABC = 2 × 40° = 80°।

चूंकि O परिकेंद्र है, इसलिए OA और OC परिवृत्त की त्रिज्याएँ हैं, जिसका अर्थ है OA = OC। इससे Δ OAC एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है जहाँ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ OAC = ∠ OCA। Δ OAC में, कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ OAC + ∠ OCA + ∠ AOC = 180°। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर 2 ∠ OAC + 80° = 180° प्राप्त होता है। इस समीकरण को हल करने पर 2 ∠ OAC = 100° प्राप्त होता है, जिससे ∠ OAC = 50° प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। दिया गया है कि कोणों का अनुपात 2:3:7 है, मान लीजिए कि कोणों के माप क्रमशः 2x, 3x और 7x हैं।

त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार: 2x + 3x + 7x = 180° 12x = 180° x = (180°)/(12) = 15°

सबसे छोटा कोण अनुपात के सबसे छोटे भाग के संगत होता है, जो कि 2x है। x का मान प्रतिस्थापित करने पर: सबसे छोटा कोण = 2 × 15° = 30°

व्याख्या

दिए गए कोणों पर त्रिकोणमितीय फलनों के मान निम्नलिखित हैं: sin 60° = √3{2} tan 30° = (1)/(√(3)) sec 60° = (1)/(cos 60°) = (1)/(1/2) = 2 cot 45° = (1)/(tan 45°) = ¹⁄₁ = 1

इन मानों को समीकरण x sin 60° tan 30° = sec 60° cot 45° में प्रतिस्थापित करने पर: x · (√3{2}) · ((1)/(√(3))) = 2 · 1

√3 को निरस्त करके बाएं पक्ष को सरल करने पर: x · ½ = 2

x के लिए हल करने पर: x = 2 · 2 x = 4

व्याख्या

सर्वसमिका 1 ± sin θ = cos²(θ/2) + sin²(θ/2) ± 2 sin(θ/2) cos(θ/2) = (cos(θ/2) ± sin(θ/2))² का उपयोग करके, व्यंजक में वर्गमूलों को सरल किया जा सकता है। दिया गया है कि θ = 60°, इसलिए θ/2 = 30° होगा। इस कोण पर, cos 30° = √3/2 और sin 30° = ½ है। चूंकि cos 30° > sin 30° है और दोनों मान धनात्मक हैं, इसलिए पदों को इस प्रकार सरल किया जा सकता है: √(1 + sin θ) = cos(θ/2) + sin(θ/2) √(1 - sin θ) = cos(θ/2) - sin(θ/2)

अब, इन्हें मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: ½(cos(θ/2) + sin(θ/2)) + ½(cos(θ/2) - sin(θ/2)) = ½ cos(θ/2) + ½ sin(θ/2) + ½ cos(θ/2) - ½ sin(θ/2) = cos(θ/2)

व्याख्या

श्रेणी 2² + 4² + 6² + … + 20² को प्रत्येक पद से 2² उभयनिष्ठ (common) लेकर सरल किया जा सकता है। बीजगणितीय गुणधर्म (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ का उपयोग करते हुए, श्रेणी का प्रत्येक पद (2n)² बराबर है 2² × n² के, जो कि 4n² है।

2² + 4² + 6² + … + 20² = (2 × 1)² + (2 × 2)² + (2 × 3)² + … + (2 × 10)² = 2²(1²) + 2²(2²) + 2²(3²) + … + 2²(10²) = 2²(1² + 2² + 3² + … + 10²)

व्यंजक में दिए गए मान 1² + 2² + 3² + … + 10² = 385 को प्रतिस्थापित करने पर: = 4 × 385 = 1540

व्याख्या

अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए, BODMAS नियम (कोष्ठक, घात/क्रम, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का पालन करें।

सबसे पहले, कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को सरल करें: 10 + ³⁄₁ - ⅕ = 13 - ⅕ = (65 - 1)/(5) = ⁶⁴⁄₅

इसके बाद, मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें: 5 ⅓ = ¹⁶⁄₃ 1 ²⁄₉ = ¹¹⁄₉

अब, इन मानों को मुख्य व्यंजक में रखें और गुणा करें: ¹⁶⁄₃ + ¹¹⁄₉ × ¼ × ⁶⁴⁄₅ = ¹⁶⁄₃ + (¹¹⁄₉ × ¹⁶⁄₅) = ¹⁶⁄₃ + ¹⁷⁶⁄₄₅

भिन्नों को जोड़ने के लिए, हरों (3 और 45) के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का उपयोग करें, जो कि 45 है: (16 × 15)/(45) + ¹⁷⁶⁄₄₅ = (240 + 176)/(45) = ⁴¹⁶⁄₄₅

दशमलव मान की गणना करने पर: ⁴¹⁶⁄₄₅ ≈ 9.244

दिए गए विकल्पों में से, 10, 9.244 का निकटतम अनुमानित पूर्णांक मान है।

व्याख्या

कार्यक्षमता विधि का उपयोग करते हुए, मान लीजिए कि किया जाने वाला कुल कार्य दी गई समय अवधियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 12 और 28 का LCM 84 इकाई है।

A और B की संयुक्त कार्यक्षमता 84 / 12 = 7 इकाई प्रति दिन है। अकेले A की कार्यक्षमता 84 / 28 = 3 इकाई प्रति दिन है। B की कार्यक्षमता की गणना संयुक्त कार्यक्षमता में से A की कार्यक्षमता को घटाकर की जाती है: 7 - 3 = 4 इकाई प्रति दिन।

B द्वारा अकेले खाई खोदने में लिया गया समय कुल कार्य को B की दैनिक कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 84 / 4 = 21 दिन।

व्याख्या

भरने वाले पाइप की दर प्रति घंटे टंकी का 1/9 भाग है। जब पाइप के साथ रिसाव भी काम कर रहा हो, तो भरने की शुद्ध दर प्रति घंटे टंकी का 1/10 भाग होती है। जिस दर से रिसाव टंकी को खाली करता है, वह बिना रिसाव के भरने की दर और रिसाव के साथ शुद्ध भरने की दर के बीच का अंतर है।

प्रति घंटे रिसाव की दर = ⅑ - ⅒

इस घटाव को हल करने के लिए, एक सामान्य हर ज्ञात करें: प्रति घंटे रिसाव की दर = (10 - 9)/(90) = ¹⁄₉₀

इसका अर्थ है कि रिसाव एक घंटे में टंकी का 1/90 भाग खाली करता है। पूरी टंकी को खाली करने के लिए आवश्यक कुल समय T ज्ञात करने के लिए, प्रति घंटे रिसाव की दर के व्युत्क्रम (reciprocal) की गणना करें: T = (1)/(1/90) = 90 घंटे

इस संबंध के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हुए, जहाँ x भरने का समय है और y रिसाव के साथ लगने वाला समय है: खाली करने में लगा समय = (xy)/(y - x) = (9 × 10)/(10 - 9) = 90 घंटे

व्याख्या

कुशल, अर्ध-कुशल और अकुशल श्रमिकों के दैनिक कार्य का अनुपात 1/3 : 1/4 : 1/6 दिया गया है। इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, प्रत्येक पद को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 12 है। इसके परिणामस्वरूप दैनिक मजदूरी का अनुपात 4 : 3 : 2 प्राप्त होता है।

कुल कमाई प्रत्येक श्रेणी के लिए कार्य किए गए दिनों की संख्या से दैनिक मजदूरी को गुणा करके निर्धारित की जाती है। कुशल श्रमिक की कमाई ∝ 4 × 7 = 28 अर्ध-कुशल श्रमिक की कमाई ∝ 3 × 8 = 24 अकुशल श्रमिक की कमाई ∝ 2 × 10 = 20

उनकी कुल कमाई का अनुपात 28 : 24 : 20 है, जो सरल होकर 7 : 6 : 5 हो जाता है। अनुपात के भागों का योग 7 + 6 + 5 = 18 है। चूंकि कुल सामूहिक कमाई 369 है, इसलिए कुशल (प्रशिक्षित) श्रमिक के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है: कमाई = ⁷⁄₁₈ × 369 कमाई = 7 × 20.5 = 143.50

व्याख्या

एक घन का आयतन सूत्र V = a³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ a भुजा की लंबाई को दर्शाता है। यह दिया गया है कि दो घनों के आयतनों का अनुपात 27:64 है, इसलिए उनकी भुजाओं की लंबाई का अनुपात, आयतन के अनुपात का घनमूल लेकर ज्ञात किया जाता है: a₁/a₂ = ³√(V₁/V₂) = ³√(27/64) = 3/4

एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 6a² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। चूंकि अनुपात में अचर गुणांक 6 कट जाता है, इसलिए दो घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी भुजाओं की लंबाई के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है: A₁/A₂ = (a₁/a₂)² = (3/4)² = 9/16

व्याख्या

शंक्वाकार तंबू की तिर्यक ऊँचाई l की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है क्योंकि ऊर्ध्वाधर ऊँचाई h और त्रिज्या r, तिर्यक ऊँचाई के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। l = √(r² + h²) = √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √(225) = 15 मीटर।

तंबू बनाने के लिए आवश्यक कैनवास की मात्रा शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होती है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र π r l है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3.14 × 12 × 15 = 3.14 × 180 = 565.2 वर्ग मीटर।

कैनवास की कुल लागत कुल क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर की लागत से गुणा करके निर्धारित की जाती है: कुल लागत = 565.2 × 120 = 67824।

व्याख्या

एक वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = π r² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। माना बड़े वृत्त की त्रिज्या R है और छोटे वृत्त की त्रिज्या r है। प्रश्न के अनुसार, हमारे पास दो शर्तें हैं: त्रिज्याओं के बीच का अंतर R - r = 14 सेमी है, और उनके क्षेत्रफलों के बीच का अंतर π R² - π r² = 1056 सेमी² है।

वर्गों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका, a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करते हुए, क्षेत्रफल के समीकरण को π (R - r)(R + r) = 1056 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। R - r = 14 का मान रखने पर और π = 22/7 लेने पर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

(22/7) × 14 × (R + r) = 1056 44 × (R + r) = 1056 R + r = 1056 / 44 = 24

अब हमारे पास दो सरल रैखिक समीकरण हैं: R + r = 24 और R - r = 14। छोटे वृत्त की त्रिज्या r ज्ञात करने के लिए, पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाएं:

(R + r) - (R - r) = 24 - 14 2r = 10 r = 5 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि अंकित मूल्य (MP) 100 इकाई है। छूट अंकित मूल्य का एक-पांचवां हिस्सा है, इसलिए छूट (D) = 100 / 5 = 20 इकाई। विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य में से छूट घटाने पर प्राप्त होता है, जो कि 100 - 20 = 80 इकाई है।

हानि छूट की आधी है, इसलिए हानि (L) = 20 / 2 = 10 इकाई। क्रय मूल्य (CP) विक्रय मूल्य और हानि का योग है, जिसके परिणामस्वरूप CP = 80 + 10 = 90 इकाई प्राप्त होता है।

हानि प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य पर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: हानि प्रतिशत = (L / CP) × 100 हानि प्रतिशत = (10 / 90) × 100 = 100 / 9 = 11 ⅑%

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद देय शुद्ध राशि की गणना शेष राशि पर प्रत्येक छूट प्रतिशत को क्रमिक रूप से लागू करके की जाती है। 110 के प्रारंभिक बिल के लिए, 10% की पहली छूट मूल्य को उसके मूल मूल्य के 90% तक कम कर देती है।

110 × (1 - 10/100) = 110 × 0.9 = 99

इसके बाद 99 की इस नई शेष राशि पर 5% की दूसरी छूट लागू की जाती है।

99 × (1 - 5/100) = 99 × 0.95 = 94.05

94.05 के अंतिम मान को निकटतम रुपये में पूर्णांकित करने पर 94 प्राप्त होता है।

व्याख्या

वर्तमान मूल्य (PW) वह मान है, जो दिए गए समय के लिए दी गई दर पर अपने ब्याज के साथ, मिश्रधन (A) के बराबर होता है। इसकी गणना PW = A - TD के रूप में की जाती है। दिया गया मिश्रधन A = 1860 और वास्तविक बट्टा TD = 60 है, इसलिए वर्तमान मूल्य PW = 1860 - 60 = 1800 है।

वास्तविक बट्टा निर्दिष्ट अवधि के लिए वर्तमान मूल्य पर साधारण ब्याज होता है। साधारण ब्याज के सूत्र TD = (PW × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ R = 5% है, हम वर्षों में समय T ज्ञात करने के लिए ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

60 = (1800 × 5 × T)/(100) 60 = 90 × T T = ⁶⁰⁄₉₀ = ⅔ वर्ष

समय को वर्ष से महीने में बदलने के लिए, परिणाम को 12 से गुणा करें: T = ⅔ × 12 = 8 महीने