एसएससी सीजीएल टियर 1 2014 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बिल्कुल बराबर होती है, जिसे d = r₁ + r₂ के रूप में दर्शाया जाता है। इस विशिष्ट ज्यामितीय विन्यास में, ठीक तीन उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं। इनमें से दो बाह्य उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं हैं, जो वृत्तों के विपरीत पक्षों पर स्थित होती हैं और वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाले रेखाखंड को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। तीसरी एक एकल आंतरिक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है जो उस अद्वितीय स्पर्श बिंदु से होकर गुजरती है जहां दोनों वृत्त मिलते हैं। यह आंतरिक स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु पर वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के लंबवत होती है। इस प्रकार, उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की कुल संख्या तीन है।

व्याख्या

समूह की औसत आयु की गणना आयु के भारित माध्य (weighted mean) की गणना करके की जाती है। भारित औसत का सूत्र x = (Σ (fᵢ × xᵢ))/(Σ fᵢ) है, जहाँ fᵢ प्रत्येक आयु की आवृत्ति को दर्शाता है और xᵢ स्वयं आयु को दर्शाता है।

सभी छात्रों की आयु का योग = (3 × 20) + (4 × 21) + (3 × 22) आयु का योग = 60 + 84 + 66 = 210 वर्ष

समूह में छात्रों की कुल संख्या 3 + 4 + 3 = 10 है।

औसत आयु = ²¹⁰⁄₁₀ = 21 वर्ष

इस परिणाम को डेटा की समरूपता (symmetry) के माध्यम से भी देखा जा सकता है। चूंकि केंद्रीय आयु 21 से समान दूरी (1 वर्ष) पर छात्रों की संख्या समान (प्रत्येक में 3) है, इसलिए माध्य से विचलन (deviations) एक-दूसरे को समाप्त कर देते हैं, जिससे अंकगणितीय माध्य 21 प्राप्त होता है।

व्याख्या

नल द्वारा टंकी को भरने की दर प्रति घंटे टंकी का 1/10 भाग है। रिसाव होने के कारण, टंकी को भरने में लगने वाला समय बढ़कर 10 + 2 = 12 घंटे हो जाता है, जिसका अर्थ है कि शुद्ध भरने की दर प्रति घंटे टंकी का 1/12 भाग है। जिस दर से रिसाव टंकी को खाली करता है, वह नल के भरने की दर और शुद्ध भरने की दर के बीच का अंतर है:

रिसाव की दर = 1/10 - 1/12

इसे हल करने के लिए, 60 के सामान्य हर का उपयोग करें:

रिसाव की दर = 6/60 - 5/60 = 1/60

रिसाव द्वारा पूरी भरी हुई टंकी को खाली करने में लगने वाला समय इसकी खाली करने की दर का व्युत्क्रम (reciprocal) है। अतः, रिसाव पूरी भरी हुई टंकी को 60 घंटों में खाली कर देगा।

व्याख्या

माना टंकी की क्षमता C लीटर है। प्रवेशिका पाइप A टंकी को 8000 लीटर प्रति घंटे की दर से भरता है। निकास (आउटलेट) पाइप B पूरी टंकी को 3 घंटे में खाली करता है, जिसका अर्थ है कि इसके खाली करने की दर C/3 लीटर प्रति घंटा है। इस प्रकार की समस्याओं में जहाँ टंकी को भरने का कुल समय निकास पाइप के खाली करने के समय के बराबर होता है, दोनों पाइप खुले होने पर शुद्ध भरने की दर 8000 - C/3 लीटर प्रति घंटा होती है।

कार्य-दर सूत्र लागू करने पर, जहाँ कुल क्षमता शुद्ध दर और लिए गए समय का गुणनफल होती है: C = (8000 - C/3) × 3 C = 24000 - C 2C = 24000 C = 12000

अतः, टंकी की क्षमता 12000 लीटर है। यह पुष्टि करता है कि प्रवेशिका पाइप A 3 घंटे में 24000 लीटर भरता है, जबकि निकास पाइप B उसी अवधि में 12000 लीटर बाहर निकालता है, जिसके परिणामस्वरूप 12000 लीटर की भरी हुई टंकी प्राप्त होती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि विद्यालय की दूरी d किमी है। जब 4 किमी/घंटा की चाल से चलते हैं, तो लिया गया समय d/4 घंटे होता है। जब 5 किमी/घंटा की चाल से चलते हैं, तो लिया गया समय d/5 घंटे होता है। पहुँचने के समय में अंतर 5 मिनट देरी और 10 मिनट जल्दी का है, जो कि कुल 15 मिनट का समयांतराल है। इसे घंटों में बदलने पर, हमें 15/60 = 1/4 घंटा प्राप्त होता है।

दूरी की गणना चाल और समय के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: d/4 - d/5 = 1/4

d का मान ज्ञात करने के लिए, भिन्नों का एक सामान्य हर (denominator) ज्ञात करें: (5d - 4d)/(20) = 1/4 d/20 = 1/4 d = 20/4 d = 5 किमी

वैकल्पिक रूप से, प्रत्यक्ष सूत्र d = (s₁ × s₂)/(s₂ - s₁) × Δ t का उपयोग करके: d = (4 × 5)/(5 - 4) × ¹⁵⁄₆₀ d = 20 × ¼ = 5 किमी

व्याख्या

विषम पदों वाली एक समांतर श्रेणी में, औसत हमेशा मध्य पद के बराबर होता है। पांच क्रमागत विषम संख्याओं a, b, c, d, e के लिए, मध्य पद c है। चूंकि क्रमागत विषम संख्याओं में सार्व अंतर 2 होता है, इसलिए इन पदों को पहली संख्या a के संदर्भ में b = a + 2, c = a + 4, d = a + 6, और e = a + 8 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार, औसत a + 4 है।

इसकी गणना औसत के मानक सूत्र का उपयोग करके भी की जा सकती है। पांचों संख्याओं का योग a + (a + 2) + (a + 4) + (a + 6) + (a + 8) = 5a + 20 है। इस योग को कुल संख्या 5 से विभाजित करने पर औसत प्राप्त होता है: (5a + 20)/(5) = a + 4।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, अंश और हर दोनों को x से विभाजित करें:

अंश: (x⁴ - 1)/(x²){x} = x³ - (1)/(x³)

हर: (3x² + 5x - 3)/(x) = 3x + 5 - ³⁄ₓ = 3(x - ¹⁄ₓ) + 5

यह दिया गया है कि x - ¹⁄ₓ = 1, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके x³ - (1)/(x³) के मान की गणना कर सकते हैं: (x - ¹⁄ₓ)³ = x³ - (1)/(x³) - 3(x)(¹⁄ₓ)(x - ¹⁄ₓ)

सर्वसमिका में x - ¹⁄ₓ = 1 प्रतिस्थापित करने पर: (1)³ = x³ - (1)/(x³) - 3(1) 1 = x³ - (1)/(x³) - 3 x³ - (1)/(x³) = 4

अब, सरलीकृत व्यंजक में मान प्रतिस्थापित करें: (x³ - 1)/(x³){3(x - ¹⁄ₓ) + 5} = (4)/(3(1) + 5) = ⁴⁄₈ = ½

व्याख्या

दिया गया समीकरण sin(π x / 2) = x² - 2x + 2 है। हम वर्ग पूर्ण करके दाईं ओर के द्विघात व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं: x² - 2x + 2 = (x - 1)² + 1। चूंकि सभी वास्तविक x के लिए (x - 1)² ≥ 0 है, इसलिए दाईं ओर का न्यूनतम मान 1 है, जो x = 1 पर प्राप्त होता है।

बाईं ओर, साइन फलन का अधिकतम मान 1 होता है, जिसका अर्थ है sin(π x / 2) ≤ 1। समीकरण के संतुष्ट होने के लिए, दोनों पक्षों का एक साथ 1 के बराबर होना आवश्यक है। (x - 1)² + 1 = 1 को हल करने पर x = 1 प्राप्त होता है। साइन फलन में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर sin(π(1) / 2) = sin(π / 2) = 1 प्राप्त होता है, जो इस स्थिति को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

इस व्यंजक का मान पूरक कोण सर्वसमिकाओं और मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके निकाला जाता है।

सर्वसमिका sin θ = cos(90° - θ) के अनुसार, चूंकि 43° + 47° = 90° है, इसलिए पद sin 43° का मान cos 47° के बराबर है, जिससे अनुपात sin 43° / cos 47° = 1 हो जाता है।

इसी प्रकार, चूंकि 19° + 71° = 90° है, सर्वसमिका cos θ = sin(90° - θ) से यह प्राप्त होता है कि cos 19° का मान sin 71° के बराबर है, जिससे अनुपात cos 19° / sin 71° = 1 हो जाता है।

अंतिम पद के लिए, cos 60° का मानक मान 1/2 है। इसे पद 8cos ²⁶⁰° में प्रतिस्थापित करने पर 8 × (1/2)² = 8 × 1/4 = 2 प्राप्त होता है।

इन परिणामों को मिलाने पर, सरलीकृत व्यंजक 1 + 1 - 2 = 0 हो जाता है।

व्याख्या

सबसे बड़ी भिन्न का निर्धारण करने के लिए, हम उनके दशमलव मानों की तुलना करते हैं या तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) विधि का उपयोग करते हैं। 8 / 11 का दशमलव समतुल्य लगभग 0.727 है, जो समूह की अन्य भिन्नों के मानों: 0.4, 0.6 और लगभग 0.647 से अधिक है। तिर्यक-गुणन नियम का उपयोग करते हुए, जिसके अनुसार एक भिन्न a / b, c / d से बड़ी होती है यदि गुणनफल ad, bc से बड़ा हो, हम 8 / 11 की स्थिति को सत्यापित कर सकते हैं। जब 8 / 11 की तुलना 11 / 17 से की जाती है, तो गुणनफल 8 × 17 = 136, 11 × 11 = 121 से अधिक होता है। इसी प्रकार, जब 8 / 11 की तुलना 3 / 5 से की जाती है, तो गुणनफल 8 × 5 = 40, 11 × 3 = 33 से अधिक होता है। चूंकि 8 / 11 लगातार उच्च गुणनफल और सबसे बड़ा दशमलव मान प्रदान करता है, इसलिए यह दी गई भिन्नों में सबसे बड़ी भिन्न है।

व्याख्या

माना क्रय मूल्य (CP) x है। दुकानदार वस्तुओं पर क्रय मूल्य से 40% अधिक मूल्य अंकित करता है, इसलिए अंकित मूल्य (MP) 1.40x है। इसके बाद विक्रय मूल्य (SP) ज्ञात करने के लिए इस अंकित मूल्य पर 5% की छूट दी जाती है।

संबंध SP = MP × (1 - छूट दर) का उपयोग करने पर: 1064 = 1.40x × (1 - 0.05) 1064 = 1.40x × 0.95 1064 = 1.33x

x का मान ज्ञात करने पर: x = (1064)/(1.33) = 800

वस्तुओं का क्रय मूल्य 800 है। लाभ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = SP - CP लाभ = 1064 - 800 = 264

व्याख्या

माना O केंद्र और r त्रिज्या वाला एक वृत्त है। माना AB वह जीवा है जो केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है, जिससे ∠ AOB = 60° है। △ OAB में, रेखाखंड OA और OB दोनों वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए OA = OB = r। चूंकि दो भुजाएं बराबर हैं, इसलिए △ OAB एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसका अर्थ है कि उन भुजाओं के सम्मुख आधार कोण बराबर हैं: ∠ OAB = ∠ OBA। त्रिभुज के कोणों का योग 180° होने के गुण का उपयोग करते हुए, हम गणना करते हैं: 60° + ∠ OAB + ∠ OBA = 180°। यह सरल होकर 2 × ∠ OAB = 120° हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप ∠ OAB = 60° और ∠ OBA = 60° प्राप्त होता है। चूंकि सभी तीन आंतरिक कोण 60° हैं, इसलिए △ OAB एक समबाहु त्रिभुज है। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी भुजाओं की लंबाई बराबर होती है, इसलिए जीवा AB त्रिज्या r के बराबर है। जीवा और त्रिज्या के बीच का अनुपात r : r है, जो सरल होकर 1 : 1 हो जाता है।

व्याख्या

माना a = x - 10 और b = y - 5 है। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह a³ + b³ है। सबसे पहले, a और b का योग ज्ञात कीजिए:

a + b = (x - 10) + (y - 5) a + b = x + y - 15

प्रश्न में दिया गया है कि x + y = 15 है। योग के समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करने पर:

a + b = 15 - 15 = 0

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि a + b = 0 है, तो a = -b होगा। दोनों पक्षों का घन करने पर a³ = (-b)³ प्राप्त होता है, जो सरल होकर a³ = -b³ हो जाता है। इसलिए, a³ + b³ = 0।

वैकल्पिक रूप से, विस्तार सूत्र a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का उपयोग करने पर, चूंकि गुणनखंड (a + b) का मान 0 है, इसलिए संपूर्ण गुणनफल और परिणामी व्यंजक का मान 0 के बराबर होगा।

व्याख्या

शेष वस्तुओं पर आवश्यक लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम भारित औसत विधि (weighted average method) का उपयोग करते हैं। मान लीजिए कि वस्तुओं की कुल मात्रा 3 इकाई है। लक्ष्य पूरे लेनदेन पर 20% लाभ प्राप्त करना है, जिसका अर्थ है कि कुल लाभ 3 × 20 = 60 इकाई होना चाहिए।

वस्तुओं का एक-तिहाई (1 इकाई) 10% की हानि पर बेचा जाता है, जो कुल लाभ में 1 × (-10) = -10 का योगदान देता है। मान लीजिए कि शेष दो-तिहाई (2 इकाई) पर आवश्यक लाभ प्रतिशत x है। व्यक्तिगत भागों पर होने वाले लाभ और हानि का योग कुल वांछित लाभ के बराबर होना चाहिए:

-10 + 2x = 60 2x = 70 x = 35%

वैकल्पिक रूप से, 450 रुपये के कुल क्रय मूल्य का उपयोग करते हुए, 20% लाभ के लिए वांछित कुल विक्रय मूल्य 450 × 1.20 = 540 है। पहले एक-तिहाई भाग का क्रय मूल्य 450 / 3 = 150 है, और इसे 10% की हानि पर बेचा जाता है, जिससे विक्रय मूल्य 150 × 0.90 = 135 प्राप्त होता है। शेष भाग के लिए आवश्यक विक्रय मूल्य 540 - 135 = 405 है। चूंकि शेष भाग का क्रय मूल्य 450 - 150 = 300 है, इसलिए आवश्यक लाभ 405 - 300 = 105 है। शेष भाग पर लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: (105 / 300) × 100 = 35%।

व्याख्या

व्यर्थ बहने वाले पानी की कुल मात्रा की गणना दिए गए समय में बूंदों की कुल संख्या ज्ञात करके और उस मात्रा को लीटर में परिवर्तित करके की जाती है। सबसे पहले, 300 दिनों में कुल सेकंडों की संख्या की गणना करें: कुल सेकंड = 300 × 24 × 60 × 60 = 25,920,000 सेकंड

चूंकि नल से प्रति सेकंड एक बूंद की दर से पानी टपकता है, इसलिए बूंदों की कुल संख्या 25,920,000 है। प्रश्न के अनुसार, 600 बूंदें मिलकर 100 मिलीलीटर बनाती हैं, जिसका अर्थ है कि एक बूंद का आयतन 100 / 600 = 1/6 मिलीलीटर है।

मिलीलीटर में कुल आयतन है: Vₘₗ = 25,920,000 × ⅙ = 4,320,000 मिलीलीटर

इस आयतन को लीटर में बदलने के लिए, 1000 से विभाजित करें: Vₗᵢₜᵣₑₛ = (4,320,000)/(1000) = 4320 लीटर

एक सरल इकाई रूपांतरण दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए: V = (300 दिन × 24 घंटे/दिन × 3600 सेकंड/घंटा × 1 बूंद/सेकंड × 100 मिलीलीटर)/(600 बूंदें × 1000 मिलीलीटर/लीटर) V = (300 × 24 × 36 × 100)/(6 × 1000) = (50 × 24 × 36)/(10) = 5 × 24 × 36 = 120 × 36 = 4320

व्याख्या

मध्यबिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी लंबाई के आधे के बराबर होता है। त्रिभुज ABC में, जहाँ P, Q, और R क्रमशः भुजाओं AB, BC, और CA के मध्य बिंदु हैं, त्रिभुज PQR की भुजाओं की लंबाई त्रिभुज ABC की भुजाओं की लंबाई द्वारा निर्धारित होती है। विशेष रूप से, PQ = ½ AC, QR = ½ AB, और PR = ½ BC। चूँकि ABC एक समबाहु त्रिभुज है, इसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं, अर्थात AB = BC = CA। इसे मध्यबिंदु संबंधों में प्रतिस्थापित करने पर PQ = QR = PR = ½ AB प्राप्त होता है। चूँकि त्रिभुज PQR की तीनों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए परिभाषा के अनुसार यह एक समबाहु त्रिभुज है।

व्याख्या

25 की बचत वस्तु के अंकित मूल्य पर दी गई 20% की छूट के निरपेक्ष मान को दर्शाती है। माना अंकित मूल्य M है। यह संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: छूट = छूट की दर × M। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 25 = 0.20 × M प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर M = (25)/(0.20) = 125 प्राप्त होता है। व्यक्ति द्वारा भुगतान की गई राशि अंकित मूल्य में से छूट को घटाकर प्राप्त होती है, जिसकी गणना 125 - 25 = 100 के रूप में की जाती है। वैकल्पिक रूप से, चूंकि छूट 20% है, इसलिए व्यक्ति अंकित मूल्य का 80% भुगतान करता है। यदि 20%, 25 के संगत है, तो 80%, 25 × 4 = 100 के संगत होगा।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक घनाकार कमरे में, फर्श एक वर्ग होता है जिसका क्षेत्रफल A = a² है। प्रश्न के अनुसार फर्श का क्षेत्रफल 48 वर्ग मीटर है, इसलिए a² = 48 है। एक घनाकार कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई उसके विकर्ण (diagonal) की लंबाई के बराबर होती है। एक घन के विकर्ण d का सूत्र d = √(a² + a² + a²) = √(3a²) है। सूत्र में a² का ज्ञात मान रखने पर, हमें d = √(3 × 48) = √(144) = 12 मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

मकान का क्रय मूल्य X लाख है। मालकिन ने मकान को क्रय मूल्य से 25% अधिक पर बेचा, जिसका अर्थ है कि लाभ प्रारंभिक मूल्य का 25% है। प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हुए, लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ = ²⁵⁄₁₀₀ × X = (X)/(4) लाख

कर (tax) इस लाभ का 50% निर्दिष्ट है। कर की राशि ज्ञात करने के लिए, हम लाभ पर कर की दर लागू करते हैं: कर = ⁵⁰⁄₁₀₀ × लाभ कर = ½ × (X)/(4) कर = (X)/(8) लाख

यह परिणाम पहले प्रतिशत वृद्धि से वास्तविक लाभ निर्धारित करके और फिर उस लाभ का आधा कर देयता के रूप में लेकर प्राप्त किया जाता है।

व्याख्या

मध्यबिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है। त्रिभुज ABC में, बिंदु B', C', और A' क्रमशः भुजाओं AB, BC, और AC के मध्य बिंदु दिए गए हैं। परिणामस्वरूप, मध्य त्रिभुज A'B'C' की भुजाएँ A'B' = ½ BC, B'C' = ½ AC, और A'C' = ½ AB के संबंधों को संतुष्ट करती हैं।

चूंकि Δ A'B'C' की प्रत्येक भुजा Δ ABC की संगत भुजा की लंबाई की ठीक आधी है, इसलिए दोनों त्रिभुज 1:2 के भुजा अनुपात के साथ समरूप हैं। ज्यामिति का एक मूलभूत नियम यह बताता है कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए, Δ A'B'C' के क्षेत्रफल का Δ ABC के क्षेत्रफल से अनुपात (1/2)² है, जो सरल होकर 1/4 हो जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने पर वह समान क्षेत्रफल वाले चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है, जिससे केंद्रीय त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का ठीक एक-चौथाई हो जाता है।

व्याख्या

जब संख्याओं को a:b:c के अनुपात में व्यक्त किया जाता है, तो उन्हें ax, bx और cx के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ x उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) है, बशर्ते कि a, b और c का 1 के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) न हो। इस मामले में, अनुपात 1:2:3 है। चूँकि 1, 2 और 3 का महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 है, इसलिए दिया गया महत्तम समापवर्तक (HCF) 12 ही उभयनिष्ठ गुणक x होना चाहिए। अनुपात के प्रत्येक पद को महत्तम समापवर्तक (HCF) से गुणा करने पर, हमें वास्तविक संख्याएँ प्राप्त होती हैं: 1 × 12 = 12, 2 × 12 = 24, और 3 × 12 = 36।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे आंतरिक कोष्ठक से शुरू करते हुए क्रमिक व्यंजकों को सरल करें।

पहले पद में, कोष्ठक के भीतर के मान की गणना करें: -4(-a) = 4a -2(4a) = -8a इसलिए, पहला पद x(-8a) = -8ax हो जाता है।

दूसरे पद में, कोष्ठक के भीतर के मान की गणना करें: -2(-a) = 2a -2(2a) = -4a इसलिए, दूसरा पद 5(-4a) = -20a हो जाता है।

इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: -8ax - 20a = 4a

संपूर्ण समीकरण को a से विभाजित करने पर: -8x - 20 = 4 -8x = 24 x = ²⁴⁄₋₈ x = -3

व्याख्या

दो व्यक्तियों द्वारा मिलकर काम करने में लगने वाले समय की गणना उनकी कार्य दरों का उपयोग करके की जा सकती है। यदि A कार्य को m दिनों में पूरा कर सकता है, तो A की कार्य दर प्रति दिन कार्य का 1/m भाग है। इसी प्रकार, यदि B कार्य को n दिनों में पूरा कर सकता है, तो B की कार्य दर प्रति दिन कार्य का 1/n भाग है।

जब दोनों मिलकर कार्य करते हैं, तो प्रति दिन उनकी संयुक्त कार्य दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग होती है: संयुक्त दर = ¹⁄ₘ + ¹⁄ₙ

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हम एक सामान्य हर (common denominator) ज्ञात करते हैं, जो कि mn है: संयुक्त दर = (n + m)/(mn)

कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय संयुक्त दर का व्युत्क्रम (reciprocal) होता है: कुल दिन = (1)/(संयुक्त दर) = (1)/((m + n) / mn) = (mn)/(m + n)

व्याख्या

मान लीजिए कि बिंदु P और इमारत के आधार के बीच की दूरी x है और ध्वजदंड की लंबाई L है। बिंदु P और इमारत द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, संबंध tan(30°) = ¹⁰⁄ₓ द्वारा दिया गया है। चूंकि tan(30°) = (1)/(√(3)) है, इसलिए हमें x = 10√3 मीटर प्राप्त होता है।

बिंदु P और ध्वजदंड के शिखर द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, कुल ऊंचाई 10 + L है। संबंध tan(45°) = (10 + L)/(x) द्वारा दिया गया है। चूंकि tan(45°) = 1 है, इसलिए समीकरण 1 = (10 + L)/(10√(3)) हो जाता है, जिससे 10√3 = 10 + L प्राप्त होता है।

L के लिए हल करने पर, हमें L = 10√3 - 10 = 10(√3 - 1) प्राप्त होता है। दिए गए मान √3 = 1.732 को प्रतिस्थापित करने पर, ध्वजदंड की लंबाई L = 10(1.732 - 1) = 10(0.732) = 7.32 मीटर है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करें: sin (π)/(6) = ½, cos (π)/(4) = (1)/(√(2)), cot (π)/(3) = (1)/(√(3)), sec (π)/(6) = (2)/(√(3)), tan (π)/(4) = 1, और sin (π)/(2) = 1।

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (1)/(√(2)) · ½ · (1)/(√(2)) - (1)/(√(3)) · (2)/(√(3)) + (5 · 1)/(12 · 1)

प्रत्येक पद को अलग-अलग सरल करने पर: पहला पद (1)/(√(2) · 2) · ½ = ½ · ½ = ¼ है। दूसरा पद (1 · 2)/(√(3) · 3) = ⅔ है। तीसरा पद ⁵⁄₁₂ है।

अब, सरल किए गए पदों को संयोजित करें: ¼ - ⅔ + ⁵⁄₁₂

घटाव और जोड़ करने के लिए, भिन्नों को समान हर 12 में बदलें: ³⁄₁₂ - ⁸⁄₁₂ + ⁵⁄₁₂ = (3 - 8 + 5)/(12) = ⁰⁄₁₂ = 0

व्याख्या

दिया गया है कि sin Θ = 3/5, यहाँ सम्मुख भुजा (लंब) 3 है और कर्ण 5 है। पाइथागोरस प्रमेय a² + b² = c² का उपयोग करने पर, संलग्न भुजा (आधार) = √(5² - 3²) = 4 प्राप्त होती है। इन मानों से, हम आवश्यक त्रिकोणमितीय अनुपात निर्धारित करते हैं: cos Θ = 4/5, tan Θ = 3/4, cot Θ = 4/3, और csc Θ = 5/3।

इन मानों को व्यंजक (tan Θ + cos Θ)/(cot Θ + csc Θ) में प्रतिस्थापित करने पर:

अंश = ¾ + ⅘ = (15 + 16)/(20) = ³¹⁄₂₀ है। हर = ⁴⁄₃ + ⁵⁄₃ = ⁹⁄₃ = 3 है।

अंतिम मान = (31/20)/(3) = ³¹⁄₆₀ है।

व्याख्या

a, b, p और q के बीच संबंध निर्धारित करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय पदों को समाप्त करने के लिए दोनों दिए गए समीकरणों का वर्ग करते हैं और उन्हें एक साथ जोड़ते हैं। पहले समीकरण a cos Θ + b sin Θ = p का वर्ग करने पर a² cos² Θ + b² sin² Θ + 2ab sin Θ cos Θ = p² प्राप्त होता है। दूसरे समीकरण a sin Θ - b cos Θ = q का वर्ग करने पर a² sin² Θ + b² cos² Θ - 2ab sin Θ cos Θ = q² प्राप्त होता है।

जब इन दोनों वर्ग किए गए समीकरणों को जोड़ा जाता है, तो पहले समीकरण का पद +2ab sin Θ cos Θ और दूसरे समीकरण का पद -2ab sin Θ cos Θ एक-दूसरे को निरस्त (cancel) कर देते हैं। इस जोड़ के परिणामस्वरूप व्यंजक a² (cos² Θ + sin² Θ) + b² (sin² Θ + cos² Θ) = p² + q² प्राप्त होता है।

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² Θ + cos² Θ = 1 को लागू करने पर, कोष्ठक के भीतर के पद सरल होकर 1 हो जाते हैं। समीकरण में इस मान को प्रतिस्थापित करने पर a²(1) + b²(1) = p² + q² प्राप्त होता है, जो संबंध a² + b² = p² + q² स्थापित करता है।

व्याख्या

एक पाई चार्ट में, किसी विशिष्ट श्रेणी के लिए केंद्रीय कोण की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: केंद्रीय कोण = (श्रेणी की बारंबारता) / (कुल बारंबारता) × 360°

छात्रों की कुल संख्या 60 दी गई है। फुटबॉल को अपने पसंदीदा खेल के रूप में चुनने वाले छात्रों की संख्या 15 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर: फुटबॉल के लिए कोण = ¹⁵⁄₆₀ × 360°

चूंकि ¹⁵⁄₆₀ सरल होकर ¼ हो जाता है, इसलिए गणना इस प्रकार होगी: फुटबॉल के लिए कोण = ¼ × 360° = 90°

व्याख्या

△ ABC में, चूंकि AB = AC है, इसलिए इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे, जिसका अर्थ है ∠ ABC = ∠ ACB। बाह्य कोण ∠ ACD और अंतः कोण ∠ ACB रेखा BD पर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए ∠ ACB = 180° - ∠ ACD = 180° - 120° = 60°।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोणों की समानता के कारण, ∠ ABC = ∠ ACB = 60°। किसी भी त्रिभुज में अंतः कोणों का योग 180° होता है, जिसे ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180° के रूप में व्यक्त किया जाता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠ A + 60° + 60° = 180° प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर ∠ A = 180° - 120° = 60° प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, बाह्य कोण प्रमेय का उपयोग करते हुए, ∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC। 120° = ∠ A + 60° प्रतिस्थापित करने पर भी ∠ A = 60° प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल पारिश्रमिक प्रत्येक व्यक्ति द्वारा किए गए कार्य के अनुपात में वितरित किया जाता है। चूंकि A, B और C ने 6 दिनों की समान अवधि के लिए एक साथ कार्य किया है, इसलिए उनका हिस्सा उनकी कार्यक्षमताओं के सीधे आनुपातिक है।

मान लीजिए कि कुल कार्य प्रत्येक द्वारा लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(16, 24, 6) = 48 इकाई है। A की कार्यक्षमता 48 / 16 = 3 इकाई प्रति दिन है। B की कार्यक्षमता 48 / 24 = 2 इकाई प्रति दिन है। A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता 48 / 6 = 8 इकाई प्रति दिन है। इसलिए, C की कार्यक्षमता 8 - (3 + 2) = 3 इकाई प्रति दिन है।

A, B और C की कार्यक्षमताओं का अनुपात 3 : 2 : 3 है। अनुपात के भागों का योग 3 + 2 + 3 = 8 है। कुल पारिश्रमिक को कुल अनुपात भागों से विभाजित करने पर 400 / 8 = 50 रुपये प्रति भाग प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, A का हिस्सा 3 × 50 = 150 रुपये है, B का हिस्सा 2 × 50 = 100 रुपये है, और C का हिस्सा 3 × 50 = 150 रुपये है। यह वितरण A:150, B:100, और C:150 के मानों के अनुरूप है।

व्याख्या

माना संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, x के 75% में 75 जोड़ने पर परिणाम स्वयं x प्राप्त होता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: 0.75x + 75 = x

x को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम देखते हैं कि 75 संख्या के शेष 25% को दर्शाता है: x - 0.75x = 75 0.25x = 75 x = (75)/(0.25) = 300

इस संख्या का 40% ज्ञात करने के लिए, परिणाम को 0.40 से गुणा करें: 300 का 40% = 0.40 × 300 = 120

व्याख्या

जब कोई ट्रेन किसी प्लेटफॉर्म को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है। कुल दूरी का सूत्र D = Lₜᵣₐᵢₙ + Lₚₗₐₜ_fₒᵣₘ है। यह दिया गया है कि ट्रेन की लंबाई 50 मीटर है और प्लेटफॉर्म की लंबाई 100 मीटर है, इसलिए कुल दूरी D = 50 + 100 = 150 मीटर है। गति v को सूत्र v = (D)/(t) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ t लिया गया समय है। सूत्र में मान रखने पर v = ¹⁵⁰⁄₁₀ = 15 मीटर/सेकंड प्राप्त होता है।

व्याख्या

यह श्रृंखला गणितीय पैटर्न Tₙ = Tₙ₋₁ × k + k का अनुसरण करती है, जहाँ k की शुरुआत 2 से होती है और प्रत्येक अगले पद के लिए इसमें 1 की वृद्धि होती है।

पहले पद से शुरू करते हुए: 3 × 2 + 2 = 8 8 × 3 + 3 = 27 27 × 4 + 4 = 112

अनुक्रम में लुप्त पद ज्ञात करने के लिए, हम पैटर्न में अगले गुणक और वृद्धि को लागू करते हैं, जो कि 5 है: 112 × 5 + 5 = 560 + 5 = 565

अगली वृद्धि, 6 का उपयोग करके श्रृंखला के अंतिम पद की गणना करके इस तर्क की पुष्टि की जाती है: 565 × 6 + 6 = 3390 + 6 = 3396

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर सूत्र D = P(r/100)² द्वारा दिया जाता है, जहाँ D अंतर है, P मूलधन है, और r वार्षिक ब्याज दर है।

दिया गया है कि अंतर D = 300 और दर r = 10% है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

300 = P(10/100)²

300 = P(1/10)²

300 = P(1/100)

P = 300 × 100

P = 30,000

व्याख्या

मान लीजिए कि अनुपात 11:15 के दोनों पदों में से घटाई जाने वाली संख्या x है ताकि अनुपात 2:3 प्राप्त हो सके। इसे निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है:

(11 - x)/(15 - x) = 2/3

x का मान ज्ञात करने के लिए, पदों का वज्र-गुणन (cross-multiply) करें: 3(11 - x) = 2(15 - x) 33 - 3x = 30 - 2x

x को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: 33 - 30 = 3x - 2x x = 3

वैकल्पिक रूप से, ध्यान दें कि अनुपात 11:15 के पदों के बीच का अंतर 4 है, जबकि 2:3 में अंतर 1 है। अंतर को समान करने के लिए लक्षित अनुपात 2:3 को 4 से गुणा करने पर 8:12 प्राप्त होता है। मूल अनुपात 11:15 की तुलना समायोजित अनुपात 8:12 से करने पर पता चलता है कि प्रत्येक पद से 11 - 8 = 3 और 15 - 12 = 3 घटाया जाना चाहिए।

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिकाओं (complementary angle identities) sin(90° - θ) = cos θ और tan(90° - θ) = cot θ का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जा सकता है। चूंकि 7.5° और 82.5° का योग 90° होता है, इसलिए हम sin² 82.5° को cos² 7.5° से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे मानक पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का पालन करते हुए, व्यंजक के पहले भाग का मान sin² 7.5° + cos² 7.5° = 1 प्राप्त होता है। इसी प्रकार, 2° और 88° पूरक कोण हैं, इसलिए tan 88° = cot 2° होगा। पद tan² 2° tan² 88° बदलकर tan² 2° cot² 2° हो जाता है। व्युत्क्रम सर्वसमिका (reciprocal identity) tan θ · cot θ = 1 का उपयोग करने पर, यह भाग सरल होकर 1 हो जाता है। दोनों सरलीकृत भागों को जोड़ने पर परिणाम 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

छूट दिए जाने और लाभ अर्जित किए जाने पर क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच के संबंध को इस सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: (CP)/(MP) = (100 - छूट%)/(100 + लाभ%).

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर, जहाँ अंकित मूल्य (MP) 850 है, छूट 4% है, और लाभ 20% है: (CP)/(850) = (100 - 4)/(100 + 20) (CP)/(850) = ⁹⁶⁄₁₂₀

भिन्न ⁹⁶⁄₁₂₀ के अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 24 से विभाजित करके सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: (CP)/(850) = ⅘

क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 850 से गुणा करें: CP = ⅘ × 850 CP = 4 × 170 CP = 680

व्याख्या

वस्तु का क्रय मूल्य (CP), विक्रय मूल्य में से लाभ को घटाकर निर्धारित किया जाता है: CP = 1800 - 200 = 1600.

1800 का विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य (MP) पर 10% की छूट के बाद प्राप्त हुआ था। इसलिए, 1800 = MP × (1 - 0.10), जिसे सरल करने पर 1800 = 0.9 × MP प्राप्त होता है। अंकित मूल्य (MP) का मान निकालने पर: MP = (1800)/(0.9) = 2000.

यदि वस्तु को बिना किसी छूट के बेचा जाता है, तो विक्रय मूल्य ही अंकित मूल्य बन जाता है। इस स्थिति में, लाभ 2000 - 1600 = 400 होगा। लाभ प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य पर की जाती है: ⁴⁰⁰⁄₁₆₀₀ × 100 = ¼ × 100 = 25%।

व्याख्या

छूट की दर की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: छूट की दर = (अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य)/(अंकित मूल्य) × 100

दिया गया है कि अंकित मूल्य 1200 है और विक्रय मूल्य 1100 है, तो दी गई वास्तविक छूट है: 1200 - 1100 = 100

सूत्र में मान रखने पर: छूट की दर = ¹⁰⁰⁄₁₂₀₀ × 100 छूट की दर = ¹⁰⁰⁄₁₂ छूट की दर = ²⁵⁄₃ छूट की दर = 8 ⅓%

यह मान विकल्पों में 8 1/3% के रूप में दर्शाया गया है।

व्याख्या

माना दोनों वृत्तों की त्रिज्या r है। चूंकि केंद्र A वाला वृत्त B से होकर गुजरता है, इसलिए दूरी AB = r होगी। इसी प्रकार, चूंकि केंद्र B वाला वृत्त A से होकर गुजरता है, इसलिए BA = r होगी। प्रतिच्छेदन बिंदु C और D दोनों वृत्तों पर स्थित हैं, जिसका अर्थ है कि AC = BC = r और AD = BD = r।

△ ABC में, तीनों भुजाएं AB, BC और AC, r के बराबर हैं, जिससे यह एक समबाहु त्रिभुज बनता है। इसलिए, ∠ ABC = 60°। △ ABD में, तीनों भुजाएं AB, BD और AD भी r के बराबर हैं, जिससे यह भी एक समबाहु त्रिभुज बनता है। इसलिए, ∠ ABD = 60°। कोण ∠ DBC इन दोनों कोणों का योग है, ∠ ABC + ∠ ABD = 60° + 60° = 120°।

व्याख्या

कुल कार्य दर पुरुष, महिला और लड़के की व्यक्तिगत कार्य दरों का योग है। मान लीजिए कि Tₘ, T_w, और T_b क्रमशः पुरुष, महिला और लड़के द्वारा लिया गया समय है, और Tₜ मिलकर लिया गया समय है। संबंध इस प्रकार परिभाषित है:

1/Tₘ + 1/T_w + 1/T_b = 1/Tₜ

दिया गया है Tₜ = 6, Tₘ = 10, और T_w = 24, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

1/10 + 1/24 + 1/T_b = 1/6

लड़के की कार्य दर ज्ञात करने के लिए, कुल दर में से पुरुष और महिला की दरों को घटाएं:

1/T_b = 1/6 - 1/10 - 1/24

6, 10 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 120 है। भिन्नों को बदलने पर:

1/T_b = 20/120 - 12/120 - 5/120 1/T_b = (20 - 12 - 5) / 120 1/T_b = 3/120 1/T_b = 1/40

व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर, T_b = 40। लड़का अकेले काम पूरा करने में 40 दिन लेता है।

व्याख्या

छठी संख्या छह संख्याओं के पहले समूह और छह संख्याओं के अंतिम समूह दोनों में उभयनिष्ठ (common) है। इसलिए, पहली छह संख्याओं और अंतिम छह संख्याओं का योग, 11 संख्याओं के कुल योग से इस छठी संख्या के मान के बराबर अधिक होगा।

11 संख्याओं का कुल योग = 11 × 63 = 693 पहली 6 संख्याओं का योग = 6 × 60 = 360 अंतिम 6 संख्याओं का योग = 6 × 65 = 390

छठी संख्या ज्ञात करने के लिए, दो अतिव्यापी (overlapping) समूहों के संयुक्त योग से 11 संख्याओं के कुल योग को घटाएं: छठी संख्या = (360 + 390) - 693 = 750 - 693 = 57

वैकल्पिक रूप से, कुल औसत 63 से विचलन (deviation) विधि का उपयोग करके: पहली 6 संख्याओं का विचलन = 6 × (60 - 63) = 6 × (-3) = -18 अंतिम 6 संख्याओं का विचलन = 6 × (65 - 63) = 6 × (+2) = +12 शुद्ध विचलन = -18 + 12 = -6 छठी संख्या = 63 + (-6) = 57

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² + (1)/(x²) = 66 से, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) - 2 का उपयोग करके x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात कर सकते हैं। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x - ¹⁄ₓ)² = 66 - 2 = 64 प्राप्त होता है, जिससे x - ¹⁄ₓ = ± √(64) = ± 8 प्राप्त होता है।

मूल्यांकन किए जाने वाले व्यंजक, (x² - 1 + 2x)/(x) को अंश के प्रत्येक पद को x से विभाजित करके सरल किया जा सकता है। इससे (x²)/(x) - ¹⁄ₓ + ²ˣ⁄ₓ = x - ¹⁄ₓ + 2 प्राप्त होता है। इस व्यंजक में x - ¹⁄ₓ के दो संभावित मानों को प्रतिस्थापित करने पर: यदि x - ¹⁄ₓ = 8 है, तो 8 + 2 = 10 होगा। यदि x - ¹⁄ₓ = -8 है, तो -8 + 2 = -6 होगा। इस प्रकार, संभावित मान 10 और -6 हैं।

व्याख्या

एक त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है। Δ ABC में, ∠ A के मान की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ A = 180° - (∠ B + ∠ C) = 180° - (70° + 50°) = 60°। अंतःकेंद्र I वह बिंदु है जहाँ त्रिभुज के आंतरिक कोण समद्विभाजक एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। किसी भी त्रिभुज के लिए, किसी भुजा द्वारा अंतःकेंद्र पर अंतरित कोण का सूत्र ∠ BIC = 90° + (∠ A)/(2) होता है। इस व्यंजक में ∠ A के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠ BIC = 90° + (60°)/(2) = 90° + 30° = 120° प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, चूँकि I अंतःकेंद्र है, इसलिए BI और CI क्रमशः ∠ B और ∠ C के समद्विभाजक हैं। Δ BIC में, आधार पर कोण ∠ IBC = (70°)/(2) = 35° और ∠ ICB = (50°)/(2) = 25° हैं। Δ BIC के लिए कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर, अभीष्ट कोण ∠ BIC = 180° - (35° + 25°) = 180° - 60° = 120° है।

व्याख्या

ज्यामिति में मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने पर मूल त्रिभुज चार छोटे त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है जो एक-दूसरे के सर्वांगसम होते हैं। परिणामस्वरूप, इन चारों त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के ठीक एक-चौथाई के बराबर होता है। Δ ABC में, यदि D, E, और F भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, तो मध्यवर्ती त्रिभुज Δ DEF का क्षेत्रफल, संबंध क्षेत्रफल(Δ DEF) = ¼ × क्षेत्रफल(Δ ABC) द्वारा दिया जाता है। Δ ABC के क्षेत्रफल के लिए दिए गए मान 24 वर्ग इकाई को प्रतिस्थापित करने पर, गणना ¼ × 24 = 6 वर्ग इकाई हो जाती है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण a² + a + 1 = 0 है। समीकरण के दोनों पक्षों को (a - 1) से गुणा करने पर, हमें (a - 1)(a² + a + 1) = 0 प्राप्त होता है। घनों के अंतर (difference of cubes) के बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर, जहाँ x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) होता है, यह व्यंजक सरल होकर a³ - 1³ = 0 हो जाता है। इससे a³ = 1 प्राप्त होता है। a⁹ का मान ज्ञात करने के लिए, हम घातांक के नियमों का उपयोग करके इसे (a³)³ के रूप में लिखते हैं। इस व्यंजक में a³ का मान प्रतिस्थापित करने पर 1³ = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, परिकेंद्र कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। यह थेल्स के प्रमेय (Thales's Theorem) का प्रत्यक्ष परिणाम है, जो बताता है कि वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा अंतरित कोण एक समकोण (90°) होता है। इस ज्यामिति में, त्रिभुज का कर्ण उसके परिवृत्त के व्यास के रूप में कार्य करता है। चूंकि किसी भी त्रिभुज का परिकेंद्र उसके परिवृत्त का केंद्र होता है, और व्यास का केंद्र स्वयं व्यास पर स्थित होता है, इसलिए परिकेंद्र त्रिभुज की उस भुजा पर स्थित होना चाहिए जो कर्ण बनाती है। यह विशेषता केवल समकोण त्रिभुजों के लिए अद्वितीय है, क्योंकि न्यूनकोण त्रिभुजों में परिकेंद्र अंदर और अधिककोण त्रिभुजों में बाहर स्थित होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + 2/x = 1 से, हम x से गुणा करते हैं जिससे हमें x² + 2 = x, या x² - x + 2 = 0 प्राप्त होता है। व्यंजक (x² + x + 2) के अंश में x² + 2 = x प्रतिस्थापित करने पर, हमें x + x = 2x प्राप्त होता है। x² - x + 2 = 0 से, हम x(1 - x) = 2 प्राप्त कर सकते हैं, इसलिए हर x²(1 - x) का मान x * [x(1 - x)] = x * 2 = 2x हो जाता है। इस प्रकार, मान 2x / 2x = 1 है।

व्याख्या

△ PQR में, शीर्ष P, △ PQS और △ PSR दोनों के लिए उभयनिष्ठ है। चूंकि इन त्रिभुजों के आधार QS और SR एक ही सीधी रेखा QR पर स्थित हैं, इसलिए दोनों त्रिभुज शीर्ष P से आधार QR तक समान लंबवत ऊंचाई h साझा करते हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र, क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई द्वारा दिया जाता है।

QS की लंबाई कुल लंबाई QR से SR को घटाकर ज्ञात की जाती है: QS = QR - SR = 4.5 सेमी - 1.5 सेमी = 3.0 सेमी

△ PQS और △ PSR के क्षेत्रफलों का अनुपात है: (क्षेत्रफल(△ PQS))/(क्षेत्रफल(△ PSR)) = (1)/(2) × QS × h / {½ × SR × h} = (QS)/(SR)

मान रखने पर: अनुपात = (3.0)/(1.5) = ²⁄₁ = 2:1

व्याख्या

अंतर्लिखित कोण प्रमेय (Inscribed Angle Theorem) के अनुसार, किसी वृत्त के केंद्र पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण, उसी चाप द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। अर्धवृत्त के मामले में, चाप एक व्यास होता है, जो वृत्त के केंद्र पर 180° का ऋजु कोण (straight angle) अंतरित करता है। इसलिए, वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर अर्धवृत्त द्वारा अंतरित कोण, केंद्रीय कोण का आधा होता है: (180°)/(2) = 90°। इस विशिष्ट ज्यामितीय गुण को थेल्स प्रमेय (Thales' Theorem) के रूप में जाना जाता है, जो यह स्थापित करता है कि अर्धवृत्त में अंतर्लिखित कोई भी त्रिभुज, जिसकी एक भुजा व्यास हो, एक समकोण त्रिभुज होना चाहिए, जिससे अंतर्लिखित कोण एक समकोण बन जाता है।