एसएससी सीजीएल टियर 1 2014 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

किसी भी समकोण त्रिभुज में, लंबकेंद्र (orthocentre) वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि त्रिभुज की दो भुजाएँ एक-दूसरे के लिए शीर्षलंब (altitudes) का कार्य करती हैं। △ PQR के लिए, समकोण शीर्ष P पर निर्दिष्ट है। निर्देशांकों की जाँच करने पर, हम देखते हैं कि PQ एक क्षैतिज रेखा खंड है क्योंकि P(3, 4) और Q(7, 4) का y-निर्देशांक समान है, और PR एक ऊर्ध्वाधर रेखा खंड है क्योंकि P(3, 4) और R(3, 8) का x-निर्देशांक समान है। इन दोनों लंबवत खंडों का प्रतिच्छेदन बिंदु शीर्ष P(3, 4) है, जो अनिवार्य रूप से त्रिभुज के लंबकेंद्र के रूप में कार्य करता है।

व्याख्या

दिए गए कोण Θ = 45° के लिए, त्रिकोणमितीय फलनों के मान sec 45° = √2 और csc 45° = √2 हैं।

इन मानों को व्यंजक sec Θ + csc Θ में प्रतिस्थापित करने पर:

sec 45° + csc 45° = √2 + √2 = 2√2

व्याख्या

x⁶ + 1/x⁶ का मान पहले x³ + 1/x³ ज्ञात करके और फिर परिणाम का वर्ग करके निकाला जा सकता है। इस मानक सर्वसमिका का उपयोग करते हुए कि यदि x + 1/x = k, तो x³ + 1/x³ = k³ - 3k, हम k = 5 प्रतिस्थापित करते हैं जिससे हमें x³ + 1/x³ = 5³ - 3(5) = 125 - 15 = 110 प्राप्त होता है।

x⁶ + 1/x⁶ ज्ञात करने के लिए, हम a = x³ मानकर सर्वसमिका (a + 1/a)² = a² + 1/a² + 2 का उपयोग करते हैं। पहले से ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x³ + 1/x³)² = x⁶ + 1/x⁶ + 2 प्राप्त होता है। समीकरण में 110 रखने पर 110² = x⁶ + 1/x⁶ + 2 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 12100 = x⁶ + 1/x⁶ + 2 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 2 घटाने पर x⁶ + 1/x⁶ = 12098 प्राप्त होता है।

दूसरी विधि में पहले मूल पद का वर्ग करके x² + 1/x² = 5² - 2 = 23 प्राप्त करना और फिर उस परिणाम का घन (cube) करना शामिल है। संबंध (x² + 1/x²)³ = x⁶ + 1/x⁶ + 3(x² + 1/x²) का उपयोग करते हुए, हम 23 प्रतिस्थापित करते हैं जिससे हमें 23³ = x⁶ + 1/x⁶ + 3(23) प्राप्त होता है। इससे 12167 = x⁶ + 1/x⁶ + 69 प्राप्त होता है, जिससे भी मान 12098 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक (tan² Θ)/(sec Θ + 1) - sec Θ का मान ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan² Θ = sec² Θ - 1 का उपयोग किया जाता है। अंश में इस सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(sec² Θ - 1)/(sec Θ + 1) - sec Θ

अंश sec² Θ - 1 का गुणनखंड बीजीय वर्गों के अंतर के सूत्र, a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके किया जा सकता है, जिससे (sec Θ - 1)(sec Θ + 1) प्राप्त होता है। इसे वापस भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

((sec Θ - 1)(sec Θ + 1))/(sec Θ + 1) - sec Θ

अंश और हर से उभयनिष्ठ गुणनखंड (sec Θ + 1) को निरस्त करने पर व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

(sec Θ - 1) - sec Θ

sec Θ को घटाने पर परिणाम -1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक रेखा आलेख (लाइन ग्राफ) डेटा का एक आलेखी प्रतिनिधित्व है जो यह दर्शाने के लिए बिंदुओं की एक श्रृंखला को जोड़ता है कि चर कैसे बदलते हैं। इसका मौलिक विश्लेषणात्मक उद्देश्य एक सतत पैमाने पर या डेटा के विभिन्न सेटों के बीच संख्यात्मक मानों की तुलना करना है। एक एकल निर्देशांक प्रणाली पर डेटा श्रृंखला को आलेखित करके, रेखा आलेख सापेक्ष अंतरों, समानताओं और प्रतिच्छेदों की पहचान को सुगम बनाता है। यह दृश्य प्रारूप स्वतंत्र और आश्रित चरों के बीच संबंध को समझने में मदद करता है, जिससे यह एक ही दृश्य ढांचे के भीतर विभिन्न डेटा समूहों के व्यवहार और प्रदर्शन की तुलना करने का एक प्राथमिक उपकरण बन जाता है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, किन्हीं दो संगत रैखिक विमाओं, जैसे कि भुजाओं, ऊँचाइयों, या माध्यिकाओं का अनुपात स्थिर होता है। इसलिए, संगत भुजाओं LM और OP का अनुपात उनकी संबंधित ऊँचाइयों के अनुपात के बराबर होता है।

Δ LMN ∼ Δ OPQ के लिए समरूपता के गुणधर्म का उपयोग करने पर:

(LM)/(OP) = (Δ LMN की ऊँचाई)/(Δ OPQ की ऊँचाई)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

(LM)/(12) = ⁴⁸⁄₃₆

LM का मान ज्ञात करने के लिए, ऊँचाइयों के अनुपात को सरल करें:

⁴⁸⁄₃₆ = ⁴⁄₃

अब, OP की लंबाई से गुणा करें:

LM = 12 × ⁴⁄₃ = 4 × 4 = 16 सेमी

व्याख्या

ओजाइव (Ogive) सांख्यिकी में उपयोग किया जाने वाला एक विशिष्ट आरेख है जो संचयी बारंबारता वितरण को प्रदर्शित करता है। इसका निर्माण प्रत्येक वर्ग अंतराल की संचयी बारंबारता को उसकी संगत वर्ग सीमा के सापेक्ष आलेखित करके किया जाता है। विशेष रूप से, 'से कम' ओजाइव का निर्माण संचयी बारंबारताओं को उच्च वर्ग सीमाओं के सापेक्ष आलेखित करके किया जाता है, जबकि 'से अधिक' ओजाइव में निम्न वर्ग सीमाओं का उपयोग किया जाता है। इसके परिणामस्वरूप प्राप्त वक्र किसी डेटासेट के भीतर विशिष्ट मानों से नीचे या ऊपर आने वाले प्रेक्षणों की कुल संख्या को दर्शाता है। चूंकि यह बारंबारताओं के संचयी योग को ट्रैक करता है, इसलिए ओजाइव आलेखित आंकड़ों से सीधे माध्यिका, चतुर्थक और शतमक जैसे स्थितिजन्य औसतों को निर्धारित करने की प्राथमिक आलेखीय विधि है।

व्याख्या

a का मान ज्ञात करने के लिए, घातांक के नियमों: xᵐ × xⁿ = xᵐ⁺ⁿ और xᵐ ÷ xⁿ = xᵐ⁻ⁿ का उपयोग करके समीकरण के प्रत्येक पद को 5 की घात के रूप में व्यक्त करें।

पहले पद 5√5 को 5 के पांचवें मूल (fifth root) के रूप में व्याख्यायित किया गया है (दिए गए उत्तर के आधार पर), जो कि 5¹/⁵ या 5⁰.² है। दूसरा पद 5³ है। तीसरा पद 5³/² यानी 5¹.⁵ है।

इन्हें समीकरण के बाएं पक्ष (LHS) में प्रतिस्थापित करने पर: LHS = 5⁰.² × 5³ ÷ 5¹.⁵ LHS = 5⁽⁰.²⁺³⁻¹.⁵⁾ LHS = 5⁽³.²⁻¹.⁵⁾ LHS = 5¹.⁷

बाएं पक्ष (LHS) की तुलना दाएं पक्ष (RHS) से करने पर: 5¹.⁷ = 5ᵃ⁺²

चूंकि आधार समान हैं, इसलिए हम घातांकों की तुलना करते हैं: 1.7 = a + 2 a = 1.7 - 2 a = -0.3

दशमलव को भिन्न में बदलने पर: a = -3/10

व्याख्या

दिया गया समीकरण x² - 3x + 1 = 0 है। संपूर्ण समीकरण को x से विभाजित करने पर, हमें x - 3 + 1/x = 0 प्राप्त होता है, जिससे प्राप्त होता है x + 1/x = 3। वह व्यंजक जिसका मान ज्ञात करना है, (x⁶ + x⁴ + x² + 1)/(x³) है। अंश के प्रत्येक पद को x³ से विभाजित करने पर, व्यंजक सरल होकर x³ + x + 1/x + 1/x³ हो जाता है।

इसे (x³ + 1/x³) + (x + 1/x) के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके, हम पहले भाग का मान ज्ञात कर सकते हैं: x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x)(1/x)(x + 1/x)। x + 1/x = 3 प्रतिस्थापित करने पर, हम गणना करते हैं: 3³ - 3(3) = 27 - 9 = 18। अंत में, इस परिणाम में शेष भाग (x + 1/x = 3) जोड़ने पर, कुल मान 18 + 3 = 21 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में नाव की चाल u किमी/घंटा है और धारा की चाल v किमी/घंटा है। धारा के प्रतिकूल चाल x = u - v है और धारा के अनुकूल चाल y = u + v है। दी गई शर्तों के आधार पर, हम सूत्र समय = दूरी / चाल का उपयोग करके निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

स्थिति 1: ²⁴⁄ₓ + (28)/(y) = 6 स्थिति 2: ³⁰⁄ₓ + (21)/(y) = 6.5

इसे सरल बनाने के लिए, मान लीजिए a = ¹⁄ₓ और b = (1)/(y)। समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:

1. 24a + 28b = 6 ⟹ 12a + 14b = 3
2. 30a + 21b = 6.5

b को विलुप्त करने के लिए पहले सरलीकृत समीकरण को 3 से और दूसरे को 2 से गुणा करने पर: 36a + 42b = 9 60a + 42b = 13

दूसरे परिणाम में से पहले को घटाने पर प्राप्त होता है: 24a = 4 ⟹ a = ⅙ इस प्रकार, x = 6 किमी/घंटा।

12a + 14b = 3 में a = ⅙ प्रतिस्थापित करने पर: 12(⅙) + 14b = 3 ⟹ 2 + 14b = 3 ⟹ 14b = 1 ⟹ b = ¹⁄₁₄ इस प्रकार, y = 14 किमी/घंटा।

शांत जल में नाव की चाल, धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल चालों का औसत है: u = (x + y)/(2) = (6 + 14)/(2) = ²⁰⁄₂ = 10 किमी/घंटा।

व्याख्या

दो वर्ष की अवधि के लिए, समान मूलधन पर r दर से चक्रवृद्धि ब्याज (CI) और साधारण ब्याज (SI) के बीच का संबंध सूत्र CI = SI(1 + ʳ⁄₂₀₀) द्वारा दिया जाता है। यह संबंध चक्रवृद्धि की स्थिति में पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित अतिरिक्त ब्याज को दर्शाता है। दिए गए मानों CI = 410 और r = 5 को समीकरण में रखने पर, हमें 410 = SI(1 + ⁵⁄₂₀₀) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 410 = SI(⁴¹⁄₄₀) हो जाता है। SI के लिए हल करने पर, हमें SI = (410 × 40)/(41) = 400 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, प्रभावी प्रतिशत दरों का उपयोग करते हुए, 5% वार्षिक दर से 2 वर्षों में साधारण ब्याज की दर 2 × 5% = 10% है। चक्रवृद्धि ब्याज की दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है, जिससे 5 + 5 + (5 × 5)/(100) = 10.25% प्राप्त होता है। यदि मूलधन का 10.25%, 410 के बराबर है, तो 10% साधारण ब्याज की गणना ((410)/(10.25)) × 10 = 400 के रूप में की जाती है।

व्याख्या

समीकरण x = a, y-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है, जहाँ रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक a होता है। इसी प्रकार, समीकरण y = b, x-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा को दर्शाता है, जहाँ रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक b होता है। ऐसी दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करना चाहिए। इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु का x-निर्देशांक a होना चाहिए और y-निर्देशांक b होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप निर्देशांक (a, b) प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूंकि OM ⊥ AB और AB = 20 सेमी है, इसलिए रेखाखंड AM की लंबाई जीवा की लंबाई की आधी होगी, जिससे AM = ²⁰⁄₂ = 10 सेमी प्राप्त होता है।

समकोण त्रिभुज OMA में, त्रिज्या OA (जिसे r के रूप में दर्शाया गया है) कर्ण के रूप में कार्य करती है, जबकि OM = 2√(11) सेमी और AM = 10 सेमी अन्य दो भुजाएँ हैं। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

r² = OM² + AM² r² = (2√(11))² + 10² r² = (4 × 11) + 100 r² = 44 + 100 r² = 144 r = √(144) = 12 सेमी

व्याख्या

एक त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। दिया गया है कि कोण ∠ A, ∠ B, और ∠ C का अनुपात 2:3:1 है, हम उन्हें क्रमशः 2x, 3x, और x के रूप में निरूपित कर सकते हैं, जहाँ x एक सामान्य स्थिरांक है।

कोण योग गुणधर्म के अनुसार: 2x + 3x + x = 180° 6x = 180° x = (180°)/(6) = 30°

कोणों के व्यंजकों में x का मान वापस रखने पर: ∠ A = 2x = 2 × 30° = 60° ∠ B = 3x = 3 × 30° = 90° ∠ C = 1x = 1 × 30° = 30°

व्याख्या

किसी त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों के प्रतिच्छेद बिंदु को परिकेंद्र (circumcenter) के रूप में जाना जाता है। परिकेंद्र O का एक मूलभूत गुण यह है कि इसके द्वारा केंद्र पर किसी भी भुजा के साथ बनाया गया कोण, त्रिभुज के विपरीत शीर्ष पर बने कोण का दोगुना होता है। विशेष रूप से, ∠ BOC = 2 ∠ BAC।

Δ ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ ABC = 70° और ∠ BCA = 40°, तीसरे कोण की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ BAC = 180° - (∠ ABC + ∠ BCA) ∠ BAC = 180° - (70° + 40°) = 70°

परिकेंद्र के गुण को लागू करने पर: ∠ BOC = 2 × ∠ BAC = 2 × 70° = 140°

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, a, b और c भुजाओं वाले किसी त्रिभुज के समकोण होने के लिए, दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी भुजा के वर्ग के बराबर होना चाहिए। दी गई भुजाएँ a = x² - 1, b = 2x, और c = x² + 1 हैं, हम गणना द्वारा इस संबंध को सत्यापित कर सकते हैं।

पहली दो भुजाओं के वर्गों के योग की गणना करने पर: a² + b² = (x² - 1)² + (2x)² द्विपद और वर्ग का विस्तार करने पर: a² + b² = (x⁴ - 2x² + 1) + 4x² व्यंजक को सरल करने पर: a² + b² = x⁴ + 2x² + 1

अब, तीसरी भुजा के वर्ग की गणना करने पर: c² = (x² + 1)² द्विपद का विस्तार करने पर: c² = x⁴ + 2x² + 1

चूंकि a² + b² = c² सत्य है, इसलिए भुजाओं के माप पाइथागोरस सर्वसमिका को संतुष्ट करते हैं। यह विशिष्ट बीजगणितीय रूप पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triples) के लिए एक मानक जनक (generator) है, जहाँ सबसे लंबी भुजा x² + 1 कर्ण के रूप में कार्य करती है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2ˣ = 4ʸ = 8ᶻ को सभी आधारों को 2 की घात के रूप में व्यक्त करके पुनः लिखा जा सकता है: 2ˣ = (2²)ʸ = (2³)ᶻ, जिससे 2ˣ = 2²ʸ = 2³ᶻ प्राप्त होता है। घातों की तुलना करने पर, हमें संबंध x = 2y = 3z प्राप्त होता है। इसका अर्थ है y = x/2 और z = x/3।

इन्हें दूसरे दिए गए समीकरण xyz = 288 में प्रतिस्थापित करने पर: x · ˣ⁄₂ · ˣ⁄₃ = 288 (x³)/(6) = 288 x³ = 1728 x = ³√(1728) = 12

व्यंजक ¹⁄₂ₓ + (1)/(4y) + (1)/(8z) का मान ज्ञात करने के लिए, हम संबंधों 4y = 2(2y) = 2x और 8z = 8(x/3) = ⁸ˣ⁄₃ का उपयोग करते हैं: ¹⁄₂ₓ + ¹⁄₂ₓ + ³⁄₈ₓ = ¹⁄ₓ + ³⁄₈ₓ = (8 + 3)/(8x) = ¹¹⁄₈ₓ

x = 12 प्रतिस्थापित करने पर: (11)/(8 · 12) = ¹¹⁄₉₆

व्याख्या

दिए गए समीकरण x⁴ + (1)/(x⁴) = 119 में, हम सबसे पहले समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़कर x² + (1)/(x²) ज्ञात करने के लिए इसे रूपांतरित करते हैं: x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 = 119 + 2। यह सरल होकर (x² + (1)/(x²))² = 121 हो जाता है। धनात्मक वर्गमूल लेने पर, हमें x² + (1)/(x²) = 11 प्राप्त होता है।

x³ - (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हमें x - ¹⁄ₓ का मान निर्धारित करना होगा। हम ऐसा समीकरण x² + (1)/(x²) = 11 के दोनों पक्षों से 2 घटाकर करते हैं, जिससे x² + (1)/(x²) - 2 = 11 - 2, या (x - ¹⁄ₓ)² = 9 प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर x - ¹⁄ₓ = ± 3 प्राप्त होता है।

घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका x³ - (1)/(x³) = (x - ¹⁄ₓ)(x² + (1)/(x²) + 1) है। हमारे द्वारा ज्ञात किए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें x³ - (1)/(x³) = (± 3)(11 + 1) = ± 3(12) = ± 36 प्राप्त होता है। प्रश्न में विशेष रूप से व्यंजक का धनात्मक मान पूछा गया है, इसलिए हम 36 चुनते हैं। शर्त x < 1, x = 3 - √(13){2} ≈ -0.302 जैसे मानों द्वारा संतुष्ट होती है, जिसके परिणामस्वरूप आवश्यक व्यंजक के लिए धनात्मक मान प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना x = 3 + 2√2 और y = 3 - 2√2। सबसे पहले, इन संयुग्मी पदों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: xy = (3 + 2√2)(3 - 2√2) = 3² - (2√2)² = 9 - 8 = 1

चूंकि xy = 1, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि x⁻¹ = y और y⁻¹ = x। अतः, दिए गए व्यंजक (x)⁻³ + (y)⁻³ को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: y³ + x³

बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y) का उपयोग करके, हम योग की गणना करते हैं: x + y = (3 + 2√2) + (3 - 2√2) = 6

सर्वसमिका में (x + y) और xy के मान रखने पर: x³ + y³ = 6³ - 3(1)(6) x³ + y³ = 216 - 18 = 198

व्याख्या

व्यंजक cos⁴Θ - sin⁴Θ को वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है: cos⁴Θ - sin⁴Θ = (cos²Θ + sin²Θ)(cos²Θ - sin²Θ)

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, किसी भी कोण Θ के लिए cos²Θ + sin²Θ = 1 होता है। इस सर्वसमिका और दिए गए मान cos²Θ - sin²Θ = 1/3 को गुणनखंडित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: cos⁴Θ - sin⁴Θ = (1) × (1/3) = 1/3

व्याख्या

दिया गया है कि 0 < θ < π/2 के लिए tan θ = 1/√(11) है, प्रश्न में व्यंजक csc² θ - sec² θ{csc² θ + sec² θ} का मान ज्ञात करना है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, व्यंजक को निम्नानुसार सरल किया जा सकता है: csc² θ - sec² θ{csc² θ + sec² θ} = (1)/(sin²⁾^θ - (1)/(cos²⁾^θ{(1)/(sin²⁾^θ + (1)/(cos²⁾^θ} = cos² θ - sin² θ{cos² θ + sin² θ}

चूंकि cos² θ + sin² θ = 1 है, इसलिए व्यंजक घटकर cos² θ - sin² θ हो जाता है, जो cos 2θ की सर्वसमिका है। tan θ के पदों में cos 2θ का सूत्र है: cos 2θ = 1 - tan² θ{1 + tan² θ}

दिए गए मान tan θ = 1/√(11) को प्रतिस्थापित करने पर: tan² θ = (1/√(11))² = 1/11 cos 2θ = (1 - 1/11)/(1 + 1/11) = (10/11)/(12/11) = ¹⁰⁄₁₂ = ⅚

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज के कोण का आंतरिक समद्विभाजक सम्मुख भुजा को ऐसे खंडों में विभाजित करता है जिनकी लंबाई का अनुपात त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के अनुपात के समान होता है। एक त्रिभुज ABC में, मान लीजिए कि ∠ A का समद्विभाजक सम्मुख भुजा BC को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करता है। यह प्रमेय संबंध AB/AC = BD/DC स्थापित करता है। प्रश्न में कहा गया है कि कोण समद्विभाजक सम्मुख भुजा को भी समद्विभाजित करता है, जिसका अर्थ है BD = DC। इस समानता को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर AB/AC = 1 प्राप्त होता है, जो सरल होकर AB = AC हो जाता है। परिभाषा के अनुसार, कम से कम दो समान भुजाओं वाला त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।

व्याख्या

एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा के वर्ग के समानुपाती होता है, जिसे A = s² के रूप में व्यक्त किया जाता है। जब वर्ग की भुजा को 50% कम कर दिया जाता है, तो नई भुजा की लंबाई 0.5s हो जाती है। परिणामस्वरूप, नया क्षेत्रफल A_new = (0.5s)² = 0.25s² हो जाता है। क्षेत्रफल में कमी की गणना मूल क्षेत्रफल में से नए क्षेत्रफल को घटाकर की जाती है: s² - 0.25s² = 0.75s²। इसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम गणना करते हैं: (0.75s²{s²}) × 100 = 75%। वैकल्पिक रूप से, दो चरों के गुणनफल के लिए शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करने पर, जहाँ x = -50 और y = -50 है, परिणाम -50 - 50 + ⁽⁻⁵⁰⁾⁽⁻⁵⁰⁾⁄₁₀₀ = -100 + 25 = -75% प्राप्त होता है। ऋणात्मक चिह्न कुल क्षेत्रफल में 75% की कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

परिभाषा के अनुसार, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि वे आकार और माप दोनों में बिल्कुल समान हों। जब Δ ABC ≅ Δ PQR होता है, तो सभी संगत भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कि त्रिभुजों को एक दूसरे के ऊपर पूरी तरह से अध्यारोपित किया जा सकता है। चूंकि सर्वांगसम त्रिभुजों के भौतिक आयाम और अनुपात बिल्कुल समान होते हैं, इसलिए वे समान स्थान घेरते हैं। इसलिए, Δ ABC का क्षेत्रफल Δ PQR के क्षेत्रफल के बराबर होता है। चूंकि Δ ABC का क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी दिया गया है, इसलिए Δ PQR का क्षेत्रफल भी 60 वर्ग सेमी होगा।

व्याख्या

1728 को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसमें जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 1728 से ठीक बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या की पहचान करते हैं। इस मान के निकटतम पूर्णांकों के वर्गों की गणना करने पर, हम पाते हैं कि 41² = 1681 और 42² = 1764 है। चूंकि 1728, 1681 से बड़ा है लेकिन 1764 से छोटा है, इसलिए अगला पूर्ण वर्ग 1764 है। जोड़ी जाने वाली आवश्यक संख्या इस वर्ग और दी गई संख्या के बीच का अंतर है, जिसकी गणना 1764 - 1728 = 36 के रूप में की जाती है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, बिंदु D और E भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि AD = ¼ AB और AE = ¼ AC है। इससे यह स्थापित होता है कि संगत भुजाओं के अनुपात बराबर हैं: (AD)/(AB) = (AE)/(AC) = ¼। चूंकि दोनों त्रिभुज ADE और ABC शीर्ष A पर एक उभयनिष्ठ कोण साझा करते हैं, इसलिए वे SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता मानदंड द्वारा समरूप हैं।

समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार, सभी संगत भुजाओं का अनुपात स्थिर होता है। इसलिए, भुजा DE का आधार BC से अनुपात अन्य भुजाओं के अनुपात के बराबर होना चाहिए: (DE)/(BC) = (AD)/(AB) = ¼

यह देखते हुए कि BC = 12 सेमी है, हम इस मान को आनुपातिकता समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: DE = ¼ × BC DE = ¼ × 12 DE = 3 सेमी

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण tan Θ + cot Θ = 2 में, हम cot Θ = (1)/(tan Θ) प्रतिस्थापित कर सकते हैं जिससे tan Θ + (1)/(tan Θ) = 2 प्राप्त होता है। माना x = tan Θ, जिससे समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 में परिवर्तित हो जाता है। x से गुणा करने पर x² + 1 = 2x, या x² - 2x + 1 = 0 प्राप्त होता है। यह एक पूर्ण वर्ग है जो (x - 1)² = 0 के समतुल्य है, जिससे x = 1 प्राप्त होता है। इसलिए, tan Θ = 1, जो प्रथम चतुर्थांश में Θ = 45° के संगत है। वैकल्पिक रूप से, मूल व्यंजक में 45° प्रतिस्थापित करने पर tan 45° + cot 45° = 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है, जो इस शर्त को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

व्यंजक 121a² + 64b² को दो वर्गों के योग के रूप में पहचाना जा सकता है, जहाँ 121a² = (11a)² और 64b² = (8b)² है। इसे (x + y)² = x² + 2xy + y² के रूप में एक पूर्ण वर्ग त्रिपद में बदलने के लिए, हमें मध्य पद 2xy जोड़ना होगा। इस सूत्र में x = 11a और y = 8b रखने पर, आवश्यक पद 2 × (11a) × (8b) = 176ab है। इसके परिणामस्वरूप पूर्ण वर्ग (11a + 8b)² प्राप्त होता है।

व्याख्या

A, B और C के प्रति दिन के कार्य की संयुक्त दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग है: ⅙ + ⅒ + ¹⁄₁₅। 30 का एक सामान्य हर (common denominator) ज्ञात करने पर, यह (5 + 3 + 2)/(30) = ¹⁰⁄₃₀ = प्रति दिन कार्य का ⅓ भाग हो जाता है। चूंकि पूरा कार्य कुल 300 के भुगतान के लिए 3 दिनों में पूरा हो जाता है, इसलिए तीनों व्यक्तियों की संयुक्त दैनिक मजदूरी ³⁰⁰⁄₃ = 100 है। परिणामस्वरूप, 2 दिनों के लिए उनकी मजदूरी का योग 100 × 2 = 200 है।

व्याख्या

माना C का हिस्सा x है। प्रश्न के अनुसार, B को C से 6 अधिक मिलते हैं, इसलिए B का हिस्सा x + 6 है। A को B से 7 अधिक मिलते हैं, इसलिए A का हिस्सा (x + 6) + 7 = x + 13 है। कुल राशि 76 रुपये है, जिससे निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

A + B + C = 76 (x + 13) + (x + 6) + x = 76 3x + 19 = 76 3x = 57 x = 19

x के मान का उपयोग करते हुए, प्रत्येक व्यक्ति के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है: C = 19 B = 19 + 6 = 25 A = 25 + 7 = 32

हिस्सों का अनुपात A : B : C = 32 : 25 : 19 है।

व्याख्या

सम्मुख भुजाओं के बराबर होने वाला चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है। मान लीजिए कि चतुर्भुज ABCD है जहाँ AB = CD और AD = BC है। यदि विकर्ण भी बराबर हैं, जैसे कि AC = BD, तो समांतर चतुर्भुज एक आयत होना चाहिए। इसे त्रिभुज ABC और DCB को देखकर सिद्ध किया जा सकता है। इन त्रिभुजों में, AB = DC, BC एक उभयनिष्ठ भुजा है, और AC = DB है। भुजा-भुजा-भुजा (SSS) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार, △ ABC ≅ △ DCB है। परिणामस्वरूप, संगत कोण ∠ ABC और ∠ DCB बराबर हैं। चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए आसन्न कोणों का योग 180° होता है, जिसका अर्थ है ∠ ABC + ∠ DCB = 180°। इन्हें बराबर रखने पर 2∠ ABC = 180° प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप ∠ ABC = 90° होता है। एक समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण बराबर होते हैं और क्रमागत कोण संपूरक होते हैं, इसलिए चतुर्भुज के चारों कोण 90° होने चाहिए।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, अंतः कोणों का योग 180° होता है। यदि हम तीनों कोणों को A, B और C के रूप में दर्शाते हैं, तो A + B + C = 180° होगा। दी गई शर्त के अनुसार, प्रत्येक कोण अन्य दो कोणों के योग से कम है। पहले कोण A को लेने पर, इस शर्त को A < B + C के रूप में व्यक्त किया जाता है। कोण योग गुणधर्म से, हम जानते हैं कि B + C = 180° - A होता है। इसे असमिका में प्रतिस्थापित करने पर A < 180° - A प्राप्त होता है। A के लिए हल करने पर, हम दोनों पक्षों में A जोड़ते हैं जिससे 2A < 180° प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है A < 90°। सममिति से, यही गणना अन्य कोणों पर भी लागू होती है, जिससे B < 90° और C < 90° प्राप्त होता है। चूंकि त्रिभुज का प्रत्येक कोण 90° से कम है, इसलिए यह त्रिभुज एक न्यूनकोण त्रिभुज होना चाहिए।

व्याख्या

दिया गया समीकरण cos π x = x² - x + ⁵⁄₄ है। दाहिनी ओर के द्विघात व्यंजक का वर्ग पूर्ण करने पर, हमें प्राप्त होता है: x² - x + ⁵⁄₄ = (x² - x + ¼) + 1 = (x - ½)² + 1। चूंकि x के किसी भी वास्तविक मान के लिए पद (x - ½)² हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होता है, इसलिए दाहिनी ओर का न्यूनतम संभव मान 1 है, जो तब प्राप्त होता है जब x = ½ हो। बाईं ओर, कोसाइन फलन cos π x का परिसर (range) [-1, 1] है, जिसका अर्थ है कि इसका अधिकतम संभव मान 1 है। समीकरण का हल होने के लिए, दोनों पक्षों का एक साथ 1 के बराबर होना आवश्यक है। इसके लिए दाहिनी ओर का मान 1 होने के लिए x = ½ होना आवश्यक है। हालाँकि, बाईं ओर x = ½ रखने पर cos (π)/(2) = 0 प्राप्त होता है। चूंकि 0 ≠ 1 है, इसलिए x का ऐसा कोई वास्तविक मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करता हो।

व्याख्या

टैंक से निकाली गई मिट्टी के आयतन की गणना एक आयताकार प्रिज्म (घनाभ) के आयतन के सूत्र, V = l × b × d का उपयोग करके की जाती है। टैंक के दिए गए आयामों को प्रतिस्थापित करने पर, आयतन 40 मीटर × 30 मीटर × 12 मीटर = 14400 घन मीटर (m³) है। इस मिट्टी को मैदान के शेष क्षेत्र पर फैलाया जाता है। मैदान का कुल क्षेत्रफल 1000 मीटर × 30 मीटर = 30000 वर्ग मीटर (m²) है। चूंकि टैंक मैदान के अंदर खोदा गया है, इसलिए उस सतह को खोजने के लिए जहां वास्तव में मिट्टी फैलाई गई है, कुल क्षेत्रफल में से टैंक द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल को घटाया जाना चाहिए। टैंक के ऊपरी भाग का क्षेत्रफल 40 मीटर × 30 मीटर = 1200 वर्ग मीटर (m²) है।

मिट्टी फैलाने के लिए प्रभावी क्षेत्रफल 30000 वर्ग मीटर - 1200 वर्ग मीटर = 28800 वर्ग मीटर (m²) है। मैदान के स्तर में वृद्धि (h) को निकाली गई मिट्टी के आयतन को इस प्रभावी क्षेत्रफल से विभाजित करके ज्ञात किया जाता है: h = (14400 m³)/(28800 m²)। यह सरल होकर h = ½ मीटर हो जाता है, जो कि 0.5 मीटर है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, आकृति की सममिति यह सुनिश्चित करती है कि शीर्षों से विपरीत भुजाओं पर खींची गई सभी आंतरिक रेखाएं एक साथ कई भूमिकाएं निभाती हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक माध्यिका विपरीत भुजा का एक शीर्षलंब, एक कोण समद्विभाजक और एक लंब समद्विभाजक भी होती है। केंद्रक को माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में, लंबकेंद्र को शीर्षलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में, अंतःकेंद्र को कोण समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में, और परिकेंद्र को लंब समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि एक समबाहु त्रिभुज में रेखाओं के ये चारों समूह समान होते हैं, इसलिए उनके संबंधित संगामी बिंदु बिल्कुल एक ही ज्यामितीय केंद्र पर संपाती होने चाहिए। सभी चारों केंद्रों के संपाती होने की यह स्थिति एक परिभाषित विशेषता के रूप में कार्य करती है जो समबाहु त्रिभुज को अन्य सभी प्रकार के त्रिभुजों से अलग करती है।

व्याख्या

दिया गया है a = 2 + √3, हम सबसे पहले हर का परिमेयकरण करके व्युत्क्रम ¹⁄ₐ ज्ञात करते हैं। अंश और हर को संयुग्मी 2 - √3 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: ¹⁄ₐ = (1)/(2 + √(3)) × 2 - √3{2 - √3} = 2 - √3{2² - (√3)²} = 2 - √3{4 - 3} = 2 - √3

a और इसके व्युत्क्रम को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है: a + ¹⁄ₐ = (2 + √3) + (2 - √3) = 4

a² + (1)/(a²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजीय सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) + 2 का उपयोग करते हैं। वांछित पद के लिए इस सर्वसमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर: a² + (1)/(a²) = (a + ¹⁄ₐ)² - 2

परिकलित योग a + ¹⁄ₐ = 4 का मान रखने पर: a² + (1)/(a²) = 4² - 2 = 16 - 2 = 14

व्याख्या

Ax² + Bx + C के रूप में एक व्यंजक एक पूर्ण वर्ग होता है यदि इसका विविक्तकर (discriminant) D = B² - 4AC शून्य के बराबर हो। माना x = √p, जिससे व्यंजक x² + ¼x + k² बन जाता है। यहाँ, A = 1, B = 1/4, और C = k² है। विविक्तकर को शून्य के बराबर रखने पर:

(1/4)² - 4(1)(k²) = 0 1/16 - 4k² = 0 4k² = 1/16 k² = 1/64 k = ± √(1/64) k = ± 1/8

वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका (identity) (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए, हम माना a = √p और a² = p लेते हैं। मध्य पद 2ab का मान ¼√p के बराबर होना चाहिए। 2(√p)b = ¼√p को हल करने पर 2b = 1/4 प्राप्त होता है, इसलिए b = 1/8। अचर पद k² का मान b² के संगत होना चाहिए, जिसका अर्थ है k² = (1/8)², जिससे k = ± 1/8 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दी गई शर्त है कि x का 15% = y का 20%। गणितीय रूप में, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: ¹⁵⁄₁₀₀ · x = ²⁰⁄₁₀₀ · y दोनों पक्षों से समान हर 100 को काटने पर प्राप्त होता है: 15x = 20y अनुपात x:y ज्ञात करने के लिए, हम (x)/(y) का मान निकालने हेतु समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: (x)/(y) = ²⁰⁄₁₅ अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (जो कि 5 है) से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है: (x)/(y) = ⁴⁄₃ अतः, अनुपात x:y, 4:3 है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण: ᵇ⁻ᶜ⁄ₐ + (a+c)/(b) + (a-b)/(c) = 1

हर a और c वाले पदों को एक तरफ और हर b वाले पद को दूसरी तरफ समूहित करके समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: ᵇ⁻ᶜ⁄ₐ + (a-b)/(c) = 1 - (a+c)/(b)

दाहिने पक्ष के व्यंजक को सरल करने पर: ᵇ⁻ᶜ⁄ₐ + (a-b)/(c) = (b - (a+c))/(b) = (b-a-c)/(b) = -(a-b+c)/(b)

अब, बाएं पक्ष के लिए एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करने पर: (c(b-c) + a(a-b))/(ac) = -(a-b+c)/(b) (bc - c² + a² - ab)/(ac) = -(a-b+c)/(b)

पदों को समूहित करके बाएं पक्ष के अंश (numerator) का गुणनखंड करने पर: ((a² - c²) - (ab - bc))/(ac) = -(a-b+c)/(b) ((a-c)(a+c) - b(a-c))/(ac) = -(a-b+c)/(b) ((a-c)(a+c-b))/(ac) = -(a-b+c)/(b)

चूंकि a - b + c ≠ 0 है, हम दोनों पक्षों को (a-b+c) से विभाजित कर सकते हैं: (a-c)/(ac) = -(1)/(b)

बाएं पक्ष के भिन्न को अलग करने पर: (a)/(ac) - (c)/(ac) = -(1)/(b) (1)/(c) - ¹⁄ₐ = -(1)/(b)

1/b को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: (1)/(b) = ¹⁄ₐ - (1)/(c)

व्याख्या

एक प्लेटफॉर्म को पार करते समय ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी, ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है। सूत्र दूरी = चाल × समय का उपयोग करते हुए, हम सबसे पहले चाल को 5/18 के गुणक से गुणा करके किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलते हैं: चाल = 60 × ⁵⁄₁₈ = ⁵⁰⁄₃ मीटर/सेकंड

दिए गए मानों को दूरी के समीकरण में रखने पर, जहाँ Lₚ प्लेटफॉर्म की लंबाई को दर्शाता है: ट्रेन की लंबाई + Lₚ = चाल × समय 200 + Lₚ = ⁵⁰⁄₃ × 30 200 + Lₚ = 50 × 10 200 + Lₚ = 500 Lₚ = 500 - 200 = 300 मीटर

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार, किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए। मान लीजिए कि Δ FGH की भुजाएँ FG, GH और FH हैं। हमें दिया गया है कि FG < 3 सेमी और GH = 8 सेमी है। चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है, इसलिए कम से कम दो भुजाएं बराबर होनी चाहिए।

यदि हम मानते हैं कि FG = GH, तो FG = 8 सेमी होगा, जो दी गई शर्त FG < 3 सेमी का खंडन करता है। यदि हम मानते हैं कि FG = FH, तो FH < 3 सेमी होगा। इस स्थिति में, दो छोटी भुजाओं का योग FG + FH, 3 + 3 = 6 सेमी से कम होगा। हालाँकि, किसी त्रिभुज के अस्तित्व के लिए, FG + FH का मान तीसरी भुजा GH से अधिक होना चाहिए। चूँकि 6 < 8 है, इसलिए असमानता FG + FH > 8 संतुष्ट नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि यह विन्यास असंभव है।

त्रिभुज के समद्विबाहु होने की एकमात्र शेष संभावना GH = FH है। FH = 8 सेमी रखने पर त्रिभुज असमानता संतुष्ट होती है क्योंकि 8 + 8 > FG (जहाँ FG < 3) और 8 + FG > 8 दोनों सत्य हैं। इसलिए, संबंध GH = FH अवश्य होना चाहिए।

व्याख्या

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं (reciprocal trigonometric identities) का उपयोग करके, हम जानते हैं कि 1 / cot² 63° = tan² 63° और 1 / sin² 63° = csc² 63° है। इन्हें दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 + tan² 63° - sec² 27° + csc² 63° - csc² 27°

हम मूलभूत सर्वसमिका sec² θ = 1 + tan² θ का उपयोग करते हैं। इसे पहले दो पदों पर लागू करने पर: sec² 63° - sec² 27° + csc² 63° - csc² 27°

चूंकि 63° और 27° पूरक कोण हैं (63° + 27° = 90°), हम सह-फलन सर्वसमिकाओं (co-function identities) को लागू कर सकते हैं: sec 63° = csc (90° - 63°) = csc 27° csc 63° = sec (90° - 63°) = sec 27°

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (csc² 27° - csc² 27°) + (sec² 27° - sec² 27°) 0 + 0 = 0

व्याख्या

किसी भी वृत्त में, व्यास द्वारा परिधि के किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण 90° होता है। चूंकि ∠ BAC = 90° दिया गया है और बिंदु A, B, C परिधि पर स्थित हैं, इसलिए भुजा BC वृत्त का व्यास होनी चाहिए। समकोण त्रिभुज ABC के लिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, व्यास BC की लंबाई की गणना BC = √(AB² + AC²) के रूप में की जाती है। दिए गए मानों AB = AC = 5√2 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें BC = √((5√2)² + (5√2)²) = √(50 + 50) = √(100) = 10 सेमी प्राप्त होता है। वृत्त की त्रिज्या व्यास की आधी होती है, इसलिए R = (BC)/(2) = ¹⁰⁄₂ = 5 सेमी।

व्याख्या

कार्यक्षमता का संबंध इस प्रकार दिया गया है: 10 पुरुष = 20 महिलाएँ = 40 बच्चे, जिसे सरल करने पर 1 पुरुष = 4 बच्चे और 1 महिला = 2 बच्चे प्राप्त होता है। इस कार्य को 7 महीनों में पूरा करने के लिए आवश्यक कुल कार्य क्षमता, उस अवधि के लिए कार्य करने वाले 40 बच्चों के बराबर है।

गणना को मानकीकृत करने के लिए 5 पुरुषों, 5 महिलाओं और 5 बच्चों के संयुक्त समूह को बच्चों की समकक्ष संख्या में परिवर्तित किया जाता है: 5 पुरुष + 5 महिलाएँ + 5 बच्चे = 5(4) + 5(2) + 5 = 20 + 10 + 5 = 35 बच्चे।

कार्य समतुल्यता सूत्र M₁ D₁/W₁ = M₂ D₂/W₂ का उपयोग करने पर, जहाँ M बच्चों की संख्या है, D महीनों में समय है, और W कार्य की इकाइयाँ हैं: (40 × 7)/(1) = (35 × T)/(1/2) 280 = 70T T = ²⁸⁰⁄₇₀ = 4 महीने।

व्याख्या

दिया गया है x = √3 + √2, हम सबसे पहले हर का परिमेयकरण करके 1/x का मान ज्ञात करते हैं: 1/x = 1 / (√3 + √2) = (√3 - √2) / ((√3 + √2)(√3 - √2)) = (√3 - √2) / (3 - 2) = √3 - √2.

अब, अंतर ज्ञात करते हैं: x - 1/x = (√3 + √2) - (√3 - √2) = 2√2.

x³ - 1/x³ के लिए बीजीय सर्वसमिका है: x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3(x - 1/x).

सर्वसमिका में x - 1/x = 2√2 का मान रखने पर: x³ - 1/x³ = (2√2)³ + 3(2√2) x³ - 1/x³ = (8 × 2√2) + 6√2 x³ - 1/x³ = 16√2 + 6√2 = 22√2.

व्याख्या

मानक रूप ax² + bx + c = 0 में एक द्विघात समीकरण के लिए, विएटा के सूत्र (Vieta's formulas) बताते हैं कि मूलों का गुणनफल अनुपात ᶜ⁄ₐ द्वारा दिया जाता है। दिए गए समीकरण x² - √3 = 0 में, x² पद का गुणांक, a, 1 है। अचर पद, c, -√3 है। सूत्र लागू करने पर, मूलों का गुणनफल है:

मूलों का गुणनफल = ᶜ⁄ₐ = -√3/1 = -√3

वैकल्पिक रूप से, सीधे x के लिए हल करने पर दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने से मूल प्राप्त होते हैं। x² = √3 से शुरू करते हुए, दो मूल x₁ = √(3) और x₂ = -√(3) हैं। इन दोनों मूलों को आपस में गुणा करने पर परिणाम (√(3)) × (-√(3)) = -(√(3))² = -√3 प्राप्त होता है। गुणांकों के बीजगणितीय गुण और प्रत्यक्ष गणना दोनों ही इस गुणनफल की पुष्टि करते हैं।

व्याख्या

दिए गए पदों के बीच का संबंध मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ + sin² θ = 1 से प्राप्त होता है, जिसे cos² θ = 1 - sin² θ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके दाएं पक्ष का गुणनखंड करने पर, हमें cos² θ = (1 - sin θ)(1 + sin θ) प्राप्त होता है। गुणनखंडों को अलग करने के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(cos θ)/(1 - sin θ) = (1 + sin θ)/(cos θ)

यह देखते हुए कि x = (cos θ)/(1 - sin θ) है, प्रतिस्थापन द्वारा यह प्राप्त होता है कि x = (1 + sin θ)/(cos θ) है। वांछित व्यंजक (cos θ)/(1 + sin θ) का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस समीकरण के दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेते हैं:

¹⁄ₓ = (cos θ)/(1 + sin θ)

वैकल्पिक रूप से, दिए गए व्यंजक x को लक्षित व्यंजक से गुणा करने पर (cos² θ)/(1 - sin² θ) प्राप्त होता है। चूंकि पाइथागोरस सर्वसमिका के आधार पर अंश और हर समान हैं, इसलिए गुणनफल 1 है, जो यह सिद्ध करता है कि दोनों व्यंजक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (C.I.) और साधारण ब्याज (S.I.) के बीच के अंतर की गणना सीधे सूत्र D = P × ((R)/(100))² का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ D अंतर है, P मूलधन है, और R वार्षिक ब्याज दर है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 25 = P × (⁵⁄₁₀₀)²

कोष्ठक के भीतर के पद को सरल करने पर: 25 = P × (¹⁄₂₀)² 25 = P × ¹⁄₄₀₀

मूलधन P ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 400 से गुणा करें: P = 25 × 400 P = 10,000

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠ B = 90° है, मान लीजिए कि अनुपात AB:BC = 2:1 के आधार पर भुजाओं की लंबाई AB = 2k और BC = k है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण AC की गणना इस प्रकार की जाती है: AC = √(AB² + BC²) = √((2k)² + k²) = √(5k²) = k√5

sin A + cot C का मान ज्ञात करने के लिए, हम अलग-अलग त्रिकोणमितीय अनुपातों को निर्धारित करते हैं: sin A = (सम्मुख भुजा)/(कर्ण) = (BC)/(AC) = (k)/(k√(5)) = (1)/(√(5)) cot C = (संलग्न भुजा)/(सम्मुख भुजा) = (BC)/(AB) = k/2k = 1/2

इन मानों को आपस में जोड़ने पर: sin A + cot C = (1)/(√(5)) + 1/2 = (2 + √5) / (2√5)

व्याख्या

मान लीजिए आनंद के लिए वस्तु का मूल क्रय मूल्य (CP) 100x है। आनंद मूल्य को 50% अधिक अंकित करता है, इसलिए अंकित मूल्य 150x है। फिर वह इस अंकित मूल्य पर 20% की छूट देता है। इसलिए, आनंद का विक्रय मूल्य (SP), जो कि बालाजी का क्रय मूल्य है, की गणना इस प्रकार की जाती है: CP_बालाजी = 150x × (1 - 0.20) = 150x × 0.80 = 120x

यह दिया गया है कि बालाजी का विक्रय मूल्य मूल क्रय मूल्य से 30% अधिक है। अतः: SP_बालाजी = 100x × (1 + 0.30) = 130x

निरपेक्ष रूप में बालाजी का लाभ SP_बालाजी - CP_बालाजी = 130x - 120x = 10x है। बालाजी का लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं: लाभ % = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100 लाभ % = ¹⁰ˣ⁄₁₂₀ₓ × 100 = ¹⁄₁₂ × 100 = 8.33%