एसएससी सीजीएल टियर 1 2014 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिया गया त्रिकोणमितीय व्यंजक (2 tan² 30°)/(1 - tan² 30°) + sec² 45° - sec² 0° = x sec 60° है।

x का मान ज्ञात करने के लिए, त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों को प्रतिस्थापित करें: tan 30° = (1)/(√(3)), sec 45° = √2, sec 0° = 1, और sec 60° = 2।

सबसे पहले, tan² 30° के मान की गणना करें: tan² 30° = ((1)/(√(3)))² = ⅓

इन मानों को समीकरण के बाएं पक्ष (LHS) में प्रतिस्थापित करें: LHS = (2(1)/(3)){1 - ⅓} + (√2)² - (1)² LHS = (2)/(3){⅔} + 2 - 1 LHS = 1 + 2 - 1 = 2

अब, दाएं पक्ष (RHS) में sec 60° का मान प्रतिस्थापित करें: RHS = x(2) = 2x

LHS और RHS को बराबर करने पर: 2 = 2x x = 1

व्याख्या

sine और cosine फलनों के योग और अंतर के बीच का संबंध सर्वसमिका (sin a + cos a)² + (sin a - cos a)² = 2(sin² a + cos² a) द्वारा दिया जाता है। चूंकि sin² a + cos² a = 1, इसलिए यह सरल होकर (sin a + cos a)² + (sin a - cos a)² = 2 हो जाता है।

दिए गए व्यंजक tan Θ = (sin a - cos a)/(sin a + cos a) में, माना S = sin a + cos a और D = sin a - cos a है। हम D = S tan Θ लिख सकते हैं। इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

S² + (S tan Θ)² = 2 S² (1 + tan² Θ) = 2

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + tan² Θ = sec² Θ का उपयोग करने पर:

S² sec² Θ = 2 S² = (2)/(sec² Θ) = 2 cos² Θ

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

S = ± √2 cos Θ

अतः, sin a + cos a = ± √2 cos Θ।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 7sin²Θ + 3cos²Θ = 4 है। पहले पद को विभाजित करके, हम समीकरण को 4sin²Θ + 3sin²Θ + 3cos²Θ = 4 के रूप में फिर से लिख सकते हैं। अंतिम दो पदों से गुणांक 3 को बाहर निकालने पर 4sin²Θ + 3(sin²Θ + cos²Θ) = 4 प्राप्त होता है।

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²Θ + cos²Θ = 1 का उपयोग करने पर, समीकरण सरल होकर 4sin²Θ + 3(1) = 4 हो जाता है, जो आगे घटकर 4sin²Θ = 1 हो जाता है। 0° < Θ < 90° की सीमा में sinΘ के लिए हल करने पर, हमें sinΘ = √(1/4) = 1/2 प्राप्त होता है। यह Θ = 30° के संगत है। परिणामस्वरूप, tanΘ का मान tan 30° = 1 / √3 है। वैकल्पिक रूप से, 4sin²Θ + 3cos²Θ = 4(sin²Θ + cos²Θ) को पुनर्व्यवस्थित करने पर सीधे 3sin²Θ = cos²Θ प्राप्त होता है, जिससे tan²Θ = 1/3 और tanΘ = 1/√3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक sec² 81° / (1 + cot² 81°) है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + cot² θ = csc² θ का उपयोग करके, हर को प्रतिस्थापित करने पर sec² 81° / csc² 81° प्राप्त होता है। इन्हें साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के पदों में व्यक्त करने पर (1/cos² 81°) / (1/sin² 81°) प्राप्त होता है, जो सरल होकर sin² 81° / cos² 81° = tan² 81° हो जाता है।

चूंकि tan(90° - θ) = cot θ है, इसलिए tan 81° = tan(90° - 9°) = cot 9° प्राप्त होता है। यह दिया गया है कि tan 9° = (p)/(q) है, इसलिए इसका व्युत्क्रम cot 9° = (q)/(p) होगा। अतः, tan² 81° = (cot 9°)² = ((q)/(p))² = q² / p² है।

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन V सूत्र V = ⅓ π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊंचाई है। यदि त्रिज्या को दोगुना (r_नया = 2r) और ऊंचाई को दोगुना (h_नया = 2h) कर दिया जाए, तो नए आयतन V_नया की गणना इस प्रकार की जाती है:

V_नया = ⅓ π (2r)² (2h) V_नया = ⅓ π (4r²) (2h) V_नया = 8 × (⅓ π r² h) V_नया = 8V

गणितीय रूप से, आयतन त्रिज्या के वर्ग और ऊंचाई की पहली घात के समानुपाती होता है (V ∝ r²h)। दोनों मापदंडों को दोगुना करने से, आयतन 2² × 2¹ = 4 × 2 = 8 के गुणक से बढ़ जाता है।

व्याख्या

किसी गोले का भार W उसके आयतन V और उसके घनत्व ρ (प्रति इकाई आयतन भार) के गुणनफल द्वारा दिया जाता है। त्रिज्या r वाले गोले का आयतन V = ⁴⁄₃ π r³ होता है। इसलिए, भार त्रिज्या के घन और घनत्व के गुणनफल के समानुपाती होता है, जिसे W ∝ r³ · ρ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

मान लीजिए कि दोनों गोलों के भार W₁, W₂ हैं, घनत्व ₁, ₂ हैं, और त्रिज्याएँ r₁, r₂ हैं। दिए गए अनुपातों के आधार पर: (W₁)/(W₂) = ⁸⁄₁₇ (₁)/(₂) = ²⁸⁹⁄₆₄

संबंध (W₁)/(W₂) = (r₁³ · ₁)/(r₂³ · ₂) का उपयोग करके, हम त्रिज्याओं के अनुपात को हल कर सकते हैं: ⁸⁄₁₇ = ((r₁)/(r₂))³ · ²⁸⁹⁄₆₄ ((r₁)/(r₂))³ = ⁸⁄₁₇ · ⁶⁴⁄₂₈₉ ((r₁)/(r₂))³ = (8 · 64)/(17 · 289) = ⁵¹²⁄₄₉₁₃

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: (r₁)/(r₂) = ³√((8³)/(17³)) = ⁸⁄₁₇

अतः, दोनों गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 8:17 है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत और छूट प्रतिशत दिए जाने पर अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच के संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: MP / CP = (100 + लाभ%) / (100 - छूट%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ CP = 360, लाभ = 25%, और छूट = 10% है, हमें प्राप्त होता है: MP / 360 = (100 + 25) / (100 - 10) MP / 360 = 125 / 90

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 360 से गुणा करें: MP = (125 / 90) × 360 MP = 125 × 4 MP = 500

वैकल्पिक रूप से, 360 रुपये के क्रय मूल्य पर 25% लाभ प्राप्त करने के लिए आवश्यक विक्रय मूल्य (SP) की गणना इस प्रकार की जाती है: SP = 360 × (1 + 25/100) = 360 × 1.25 = 450

यह विक्रय मूल्य अंकित मूल्य पर 10% की छूट लागू करने के बाद के मूल्य को दर्शाता है। इसलिए: SP = MP × (1 - 10/100) 450 = MP × 0.9 MP = 450 / 0.9 = 500

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज दर (r) पर n वर्षों में देय भविष्य की राशि (A) के वर्तमान मूल्य (PV) की गणना सूत्र PV = A / (1 + r)ⁿ का उपयोग करके की जाती है। यहाँ, भविष्य की राशि A = 600 है, ब्याज दर r = 10 प्रतिशत या 0.10 है, और समय n = 4 वर्ष है।

सूत्र में इन मानों को रखने पर: PV = 600 / (1 + 0.10)⁴ PV = 600 / (1.1)⁴ PV = 600 / 1.4641 PV = 409.808

B द्वारा A को दी जाने वाली छूट भविष्य के मूल्य और वर्तमान मूल्य के बीच का अंतर है: छूट (Discount) = 600 - 409.808 = 190.192

छूट प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम भविष्य के मूल्य से प्रतिशत कमी की गणना करते हैं: छूट प्रतिशत = (छूट / भविष्य का मूल्य) * 100 छूट प्रतिशत = (190.192 / 600) * 100 छूट प्रतिशत = 31.6986

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, छूट प्रतिशत 31.69 है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) को विक्रय मूल्य (SP) और छूट प्रतिशत के बीच संबंध SP = MP × (100 - छूट%) / 100 का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। दिया गया है SP = 1510 और छूट 24 ½% या 24.5% है, समीकरण 1510 = MP × (100 - 24.5) / 100 है, जो सरल होकर 1510 = MP × 0.755 हो जाता है। MP के लिए हल करने पर MP = 1510 / 0.755 = 2000 प्राप्त होता है।

क्रय मूल्य (CP) की गणना हानि प्रतिशत का उपयोग करके की जाती है: SP = CP × (100 - हानि%) / 100। 10% की हानि के साथ, हमारे पास 1510 = CP × (90 / 100) है, जिसके परिणामस्वरूप CP = 15100 / 9 प्राप्त होता है।

यदि वस्तु को बिना किसी छूट के बेचा जाता है, तो नया विक्रय मूल्य 2000 का अंकित मूल्य होगा। शुद्ध लाभ इस मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = 2000 - 15100 / 9। इसकी गणना करने पर लाभ = (18000 - 15100) / 9 = 2900 / 9 प्राप्त होता है। 2900 / 9 को मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम 2900 को 9 से विभाजित करते हैं जिससे भागफल 322 और शेषफल 2 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 322 ²⁄₉ प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल राशि T = 3000 है। प्रश्न के अनुसार, A को B और C को मिलाकर मिलने वाली राशि का 1/3 भाग प्राप्त होता है, जिसे A = ⅓(B + C) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इससे अनुपात A : (B + C) = 1 : 3 प्राप्त होता है। A के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है: ¹⁄₁₊₃ × 3000 = ¼ × 3000 = 750। इसी प्रकार, यह दिया गया है कि B को A और C को मिलाकर मिलने वाली राशि का 2/3 भाग प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है B = ⅔(A + C), जिससे अनुपात B : (A + C) = 2 : 3 प्राप्त होता है। B के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है: ²⁄₂₊₃ × 3000 = ⅖ × 3000 = 1200। C का हिस्सा कुल राशि में से A और B के हिस्सों को घटाकर ज्ञात किया जाता है: C = T - (A + B) = 3000 - (750 + 1200) = 3000 - 1950 = 1050।

व्याख्या

व्यंजक 4⁶¹ + 4⁶² + 4⁶³ + 4⁶⁴ की विभाज्यता निर्धारित करने के लिए, हम 4 की सबसे छोटी घात, जो कि 4⁶¹ है, को उभयनिष्ठ लेते हैं: 4⁶¹(4⁰ + 4¹ + 4² + 4³) कोष्ठक के भीतर के योग की गणना करने पर: 1 + 4 + 16 + 64 = 85 व्यंजक को इस प्रकार सरलीकृत किया जाता है: 4⁶¹ × 85 अभाज्य गुणनखंडन द्वारा, 85 को 5 × 17 के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रकार, मूल व्यंजक है: 4⁶¹ × 5 × 17 चूंकि 17 इस गुणनफल का एक गुणनखंड है, इसलिए संपूर्ण व्यंजक 17 से विभाज्य है।

व्याख्या

4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। 9999 में जोड़ी जाने वाली वह न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे यह 307 से पूर्णतः विभाज्य हो जाए, हम 9999 को 307 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल की गणना करते हैं। संबंध N = (d × q) + r का उपयोग करने पर: 9999 = (307 × 32) + 175 यहाँ शेषफल r, 175 है। N को d का गुणज बनाने के लिए उसमें जोड़ी जाने वाली सबसे छोटी संख्या सूत्र (d - r) द्वारा दी जाती है। भाजक और शेषफल का मान रखने पर: 307 - 175 = 132 इस मान को 9999 में जोड़ने पर 10131 प्राप्त होता है, जो 307 × 33 के बराबर है।

व्याख्या

मान लीजिए कि टंकी की क्षमता 20 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है। भरने वाले पाइप A की कार्यक्षमता 60 / 20 = 3 इकाई प्रति मिनट है, और खाली करने वाले पाइप B की कार्यक्षमता 60 / 30 = -2 इकाई प्रति मिनट है।

2 मिनट के एक चक्र में (जहाँ पहले मिनट के लिए A खुला है और दूसरे मिनट के लिए B), किया गया कुल कार्य 3 - 2 = 1 इकाई है। एक बार टंकी पूरी भर जाने के बाद समय की अतिरिक्त गणना से बचने के लिए, हम कुल क्षमता में से पाइप A के अंतिम भराव चक्र के कार्य को घटाते हैं: 60 - 3 = 57 इकाई।

प्रति 2 मिनट में 1 इकाई की चक्र दर से इन 57 इकाइयों को भरने में लगने वाला समय 57 × 2 = 114 मिनट है। 114वें मिनट के अंत में, टंकी में ठीक 57 इकाई पानी है। 115वें मिनट में, कार्य करने की बारी पाइप A की है। चूंकि पाइप A प्रति मिनट 3 इकाई भरता है, इसलिए यह शेष 60 - 57 = 3 इकाई को ठीक 1 मिनट में भर देगा। लिया गया कुल समय 114 + 1 = 115 मिनट है।

व्याख्या

एक एकल मशीन के लिए विद्युत खपत की दर, खपत की गई मात्रा को लिए गए समय से विभाजित करके निर्धारित की जाती है, जो कि (k/5)/(t) = ᵏ⁄₅ₜ इकाई प्रति घंटा है। एक निश्चित अवधि में कई मशीनों के लिए कुल खपत, एक मशीन की दर, मशीनों की कुल संख्या और बीते हुए समय का गुणनफल होती है।

सूत्र का उपयोग करने पर: कुल खपत = दर × मशीनों की संख्या × समय

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल खपत = ᵏ⁄₅ₜ × 3 × 10 कुल खपत = ³⁰ᵏ⁄₅ₜ कुल खपत = ⁶ᵏ⁄ₜ

भिन्न को सरल करने पर, अचर गुणांक 30 को 5 से विभाजित करने पर 6 प्राप्त होता है, जिससे अंतिम व्यंजक 6k/t बचता है।

व्याख्या

जब एक नया घन बनाने के लिए कई घनों को पिघलाया जाता है, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है। तीनों घनों के आयतन क्रमशः 6³ = 216 घन सेमी, 8³ = 512 घन सेमी और 1³ = 1 घन सेमी हैं। इन मानों को जोड़ने पर नए घन का आयतन 216 + 512 + 1 = 729 घन सेमी प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि नए घन की भुजा की लंबाई s है। चूंकि एक घन का आयतन s³ होता है, इसलिए हमारे पास s³ = 729 है, जिससे s = ³√(729) = 9 सेमी प्राप्त होता है। एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 6s² द्वारा दिया जाता है। नए घन की भुजा की लंबाई का मान रखने पर, पृष्ठीय क्षेत्रफल 6 × 9² = 6 × 81 = 486 वर्ग सेमी है।

व्याख्या

मान लीजिए कि एक तरफ पैदल चलने में लगा समय W है और एक तरफ सवारी से जाने में लगा समय R है। प्रश्न के अनुसार, एक तरफ पैदल जाने और वापस सवारी से आने में लगा समय W + R = 37 मिनट है। दोनों तरफ पैदल चलने में लगा समय 2W = 55 मिनट है।

दोनों तरफ सवारी से जाने में लगने वाले समय (2R) को ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग कर सकते हैं: 2 × (W + R) = 2W + 2R ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2 × 37 = 55 + 2R 74 = 55 + 2R 2R = 74 - 55 2R = 19

वैकल्पिक रूप से, चूंकि दोनों तरफ पैदल चलने में 55 मिनट लगते हैं, इसलिए एक तरफ पैदल चलने में 55 / 2 = 27.5 मिनट लगते हैं। इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, 27.5 + R = 37, जिससे R = 9.5 मिनट प्राप्त होता है। इस प्रकार दोनों तरफ सवारी से जाने में 9.5 × 2 = 19 मिनट का समय लगेगा।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) प्रत्येक वर्ष के लिए समान होता है। दिया गया है कि 3 वर्षों का साधारण ब्याज 3,000 है, इसलिए 1 वर्ष का साधारण ब्याज = 3,000 / 3 = 1,000 होगा। इसलिए, 2 वर्षों का साधारण ब्याज = 1,000 × 2 = 2,000 है।

2 वर्षों का चक्रवृद्धि ब्याज (CI) 2,050 है। दो वर्षों के चक्रवृद्धि ब्याज (CI) और साधारण ब्याज (SI) के बीच का अंतर पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज को दर्शाता है। यह अंतर = 2,050 - 2,000 = 50 है।

ब्याज की दर (R) ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं कि 50, पहले वर्ष के ब्याज (1,000) का कितना प्रतिशत है: R = (50)/(1,000) × 100 = 5% वार्षिक।

अब, साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करने पर, जहाँ एक वर्ष का साधारण ब्याज (SI) 1,000 है और T = 1 है: 1,000 = (P × 5 × 1)/(100) 1,000 = (5P)/(100) P = (1,000 × 100)/(5) = 20,000।

व्याख्या

दी गई शर्त ab + bc + ca = 0 के अनुसार, हम हर (denominators) के पदों को निम्नानुसार व्यक्त कर सकते हैं: चूंकि -bc = ab + ca, इसलिए पहला हर a² - bc = a² + ab + ca = a(a + b + c) हो जाता है। इसी प्रकार, चूंकि -ca = ab + bc, दूसरा हर b² - ac = b² + ab + bc = b(a + b + c) हो जाता है। और चूंकि -ab = bc + ca, तीसरा हर c² - ab = c² + bc + ca = c(a + b + c) हो जाता है।

इन्हें दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (1)/(a(a + b + c)) + (1)/(b(a + b + c)) + (1)/(c(a + b + c))

(1)/(a + b + c) को उभयनिष्ठ (common) लेने पर: (1)/(a + b + c) ( ¹⁄ₐ + (1)/(b) + (1)/(c) )

कोष्ठक के भीतर लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर: (1)/(a + b + c) ( (bc + ac + ab)/(abc) )

दी गई शर्त ab + bc + ca = 0 का उपयोग करने पर, कोष्ठक वाले पद का अंश (numerator) 0 हो जाता है: (1)/(a + b + c) × (0)/(abc) = 0

व्याख्या

द्विघात समीकरण 2x² - 7x + 12 = 0 के लिए, मूलों का योग α + β = -b/a = -(-7)/2 = 7/2 और मूलों का गुणनफल α β = c/a = 12/2 = 6 है। वांछित व्यंजक α/β + β/α को उभयनिष्ठ हर लेकर (α² + β²) / α β के रूप में सरल किया जाता है। बीजीय सर्वसमिका α² + β² = (α + β)² - 2α β का उपयोग करके, हम अंश की गणना करते हैं: (7/2)² - 2(6) = 49/4 - 12 = 1/4। इस अंश को मूलों के गुणनफल से विभाजित करने पर (1/4) / 6 = 1/24 प्राप्त होता है।

व्याख्या

f(x) = ax² + bx + c के रूप वाले एक द्विघात व्यंजक के लिए, अधिकतम या न्यूनतम मान परवलय (parabola) के शीर्ष (vertex) पर प्राप्त होता है। यदि वर्ग पद का गुणांक a ऋणात्मक है, तो परवलय नीचे की ओर खुलता है, और शीर्ष व्यंजक के अधिकतम मान को दर्शाता है।

दिए गए व्यंजक 2 - 3x - 4x² में, हम गुणांकों को a = -4, b = -3, और c = 2 के रूप में पहचान सकते हैं। चूंकि a < 0 है, इसलिए व्यंजक x = -b / (2a) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

सूत्र में मान रखने पर: x = -(-3) / (2 × -4) x = 3 / -8 x = -3/8

व्याख्या

व्यंजक x⁴ - 2x² + k को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, इसे बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² के अनुरूप होना चाहिए। दिए गए व्यंजक की इस सर्वसमिका से तुलना करने पर, हम a² = x⁴ रख सकते हैं, जिससे a = x² प्राप्त होता है। सर्वसमिका का मध्य पद -2ab है, जो दिए गए व्यंजक में पद -2x² के संगत है। मध्य पद के समीकरण में a = x² प्रतिस्थापित करने पर, हमें -2(x²)b = -2x² प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को -2x² से विभाजित करके b के लिए हल करने पर b = 1 प्राप्त होता है। व्यंजक को एक पूर्ण वर्ग होने के लिए अचर पद k का मान b² के बराबर होना चाहिए। इसलिए, k = 1² = 1। जब k = 1 होता है, तो व्यंजक x⁴ - 2x² + 1 हो जाता है, जो (x² - 1)² के समतुल्य है।

व्याख्या

यदि (x - 1) और (x + 3) द्विघात व्यंजक x² + k₁x + k₂ के गुणनखंड हैं, तो यह व्यंजक इन गुणनखंडों के गुणनफल के समान होना चाहिए।

दिए गए गुणनखंडों के गुणनफल का विस्तार करने पर:

(x - 1)(x + 3) = x(x + 3) - 1(x + 3) = x² + 3x - x - 3 = x² + 2x - 3

विस्तारित रूप x² + 2x - 3 के गुणांकों की तुलना दिए गए व्यंजक x² + k₁x + k₂ से करने पर, हम पाते हैं कि x का गुणांक k₁ = 2 के संगत है और अचर पद k₂ = -3 के संगत है।

इसे गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) का उपयोग करके भी सत्यापित किया जा सकता है। यदि (x - 1) और (x + 3) गुणनखंड हैं, तो x = 1 और x = -3 बहुपद के शून्यक हैं। इन मानों को x² + k₁x + k₂ = 0 में प्रतिस्थापित करने पर दो समीकरण प्राप्त होते हैं: 1 + k₁ + k₂ = 0 और 9 - 3k₁ + k₂ = 0। पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर 4k₁ - 8 = 0 प्राप्त होता है, जिससे k₁ = 2 प्राप्त होता है। k₁ = 2 को वापस 1 + k₁ + k₂ = 0 में प्रतिस्थापित करने पर 1 + 2 + k₂ = 0 प्राप्त होता है, जिससे k₂ = -3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए लड़कों की संख्या 200 और लड़कियों की संख्या 300 है, जिससे विद्यार्थियों की कुल संख्या 500 हो जाती है। यदि 25% लड़कों को छात्रवृत्ति मिलती है, तो 75% को नहीं मिलती है। इसी प्रकार, यदि 30% लड़कियों को छात्रवृत्ति मिलती है, तो 70% को नहीं मिलती है।

छात्रवृत्ति न पाने वाले लड़कों की संख्या = 200 × ⁷⁵⁄₁₀₀ = 150 छात्रवृत्ति न पाने वाली लड़कियों की संख्या = 300 × ⁷⁰⁄₁₀₀ = 210

छात्रवृत्ति न पाने वाले विद्यार्थियों की कुल संख्या 150 + 210 = 360 है। प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम इसे विद्यार्थियों की कुल संख्या से विभाजित करते हैं और 100 से गुणा करते हैं:

प्रतिशत = ³⁶⁰⁄₅₀₀ × 100 = 72%

व्याख्या

मूल 20 वस्तुओं का योग सूत्र योग = माध्य × वस्तुओं की संख्या का उपयोग करके निकाला जाता है, जिससे 55 × 20 = 1100 प्राप्त होता है। हटाए जाने वाले दो वस्तुओं का कुल मान 45 + 30 = 75 है। इन वस्तुओं को हटाने के बाद, शेष 18 वस्तुओं का योग 1100 - 75 = 1025 है। नया माध्य शेष योग को शेष वस्तुओं की संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है: नया माध्य = ¹⁰²⁵⁄₁₈। विभाजन करने पर, 1025 ÷ 18 ≈ 56.944 प्राप्त होता है, जो लगभग 56.9 है।

व्याख्या

माना क्रय मूल्य (CP) 100 है। चूंकि लाभ क्रय मूल्य का 20% है, इसलिए लाभ 20 है। विक्रय मूल्य (SP) क्रय मूल्य और लाभ का योग है, इसलिए SP = 100 + 20 = 120। विक्रय मूल्य पर लाभ का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र 'SP पर लाभ % = (लाभ / SP) × 100' का उपयोग करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (20 / 120) × 100 = (1 / 6) × 100 = 50 / 3 = 16 ⅔%।

व्याख्या

समीकरण के बाएं पक्ष और दाएं पक्ष का मूल्यांकन करके इस व्यंजक की गणना की जाती है। सबसे पहले, 120 का 25%, ¼ × 120 के बराबर है, जो 30 के बराबर होता है। इसके बाद, 380 के 40% की गणना 0.4 × 380 के रूप में की जाती है, जो 152 के बराबर होता है। इन दोनों मानों को जोड़ने पर 30 + 152 = 182 प्राप्त होता है।

पूर्ण समीकरण स्थापित करने पर, जहाँ x अज्ञात मान को दर्शाता है, हमें 182 = x × 637 प्राप्त होता है। x के लिए हल करने पर भिन्न ¹⁸²⁄₆₃₇ प्राप्त होती है। अंश और हर दोनों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 91 से विभाजित करके, हम भिन्न को सरल करते हैं: 182 ÷ 91 = 2 और 637 ÷ 91 = 7। अतः, मान ²⁄₇ है।

व्याख्या

चोरी का पता चलने से पहले चोर 30 मिनट (दोपहर 1:30 बजे से दोपहर 2:00 बजे तक) यात्रा करता है। इस शुरुआती समय के दौरान चोर द्वारा तय की गई दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है: दूरी = चाल × समय = 40 किमी/घंटा × 0.5 घंटा = 20 किमी

मालिक दोपहर 2:00 बजे 50 किमी/घंटा की चाल से पीछा करना शुरू करता है। चूंकि चोर और मालिक दोनों एक ही दिशा में जा रहे हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष चाल है: सापेक्ष चाल = 50 किमी/घंटा - 40 किमी/घंटा = 10 किमी/घंटा

मालिक द्वारा 20 किमी की दूरी को पाटने और चोर को पकड़ने में लिया गया समय है: समय = (दूरी)/(सापेक्ष चाल) = (20 किमी)/(10 किमी/घंटा) = 2 घंटे

मालिक के चलने के समय (दोपहर 2:00 बजे) में इन 2 घंटों को जोड़ने पर, मालिक शाम 4:00 बजे चोर को पकड़ लेगा।

व्याख्या

Δ ABC में, प्रतिबंध AB = BC यह दर्शाता है कि त्रिभुज समद्विबाहु है। समद्विबाहु त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होने चाहिए, इसलिए ∠ A = ∠ C। दिया गया है कि ∠ A = (2x - 20)°, इसलिए ∠ C = (2x - 20)° भी होगा।

एक त्रिभुज के अंतः कोणों का योग हमेशा 180° होता है। इस गुणधर्म को लागू करने पर: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° (2x - 20) + x + (2x - 20) = 180 5x - 40 = 180 5x = 220 x = ²²⁰⁄₅ x = 44

चूंकि ∠ B को x° के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए ∠ B का माप 44° है।

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, जहाँ D, AC पर एक ऐसा बिंदु है कि BD = DC हो, ∠ ABD = 45° एक वैध परिणाम होने के लिए, त्रिभुज को B पर समकोण वाला एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज होना चाहिए।

△ ABC में, यदि हम मान लें कि AB = BC और ∠ ABC = 90° है: आधार कोण ∠ BAC = ∠ BCA = 45° होंगे। बिंदु D, AC पर इस प्रकार स्थित है कि BD = DC है। एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर खींची गई माध्यिका कर्ण की आधी होती है (BD = AD = DC)। इससे यह पुष्टि होती है कि D, AC का मध्य-बिंदु है। एक समद्विबाहु त्रिभुज (AB = BC) में, शीर्ष (B) से आधार (AC) पर खींची गई माध्यिका शीर्ष कोण के समद्विभाजक के रूप में भी कार्य करती है। इसलिए, ∠ ABD = ½ ∠ ABC = 90°/2 = 45°।

यह विन्यास इस शर्त को संतुष्ट करता है कि त्रिभुज समद्विबाहु है और BD = DC है, जिससे विकल्पों में दिया गया मान प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब r₁ और r₂ त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं का योग, r₁ + r₂ होती है। बाह्य रूप से एक-दूसरे को स्पर्श करने वाले r₁, r₂ और r₃ त्रिज्या वाले तीन वृत्तों के लिए, उनके केंद्रों को मिलाने से बने त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई d₁₂ = r₁ + r₂, d₂₃ = r₂ + r₃ और d₃₁ = r₃ + r₁ होती है। इस त्रिभुज का परिमाप P इन तीनों भुजाओं का योग है:

P = (r₁ + r₂) + (r₂ + r₃) + (r₃ + r₁) = 2(r₁ + r₂ + r₃)

दी गई त्रिज्याओं r₁ = 3.5 सेमी, r₂ = 4.5 सेमी और r₃ = 5.5 सेमी को सूत्र में रखने पर:

P = 2(3.5 + 4.5 + 5.5) P = 2(13.5) P = 27 सेमी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² Θ - tan² Θ = 1 का उपयोग करके, हम इसे (sec Θ + tan Θ)(sec Θ - tan Θ) = 1 के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं। दिया गया है कि sec Θ + tan Θ = 5, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर हमें sec Θ - tan Θ = 1/5 प्राप्त होता है।

tan Θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाते हैं: (sec Θ + tan Θ) - (sec Θ - tan Θ) = 5 - 1/5 2 tan Θ = 24/5 tan Θ = 12/5

अब, हम tan Θ के मान को अभीष्ट व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: (tan Θ + 1)/(tan Θ - 1) = (12/5 + 1)/(12/5 - 1) ((12 + 5)/5)/((12 - 5)/5) = (17/5)/(7/5) = 17/7

व्याख्या

दिया गया व्यंजक E = sec Θ + tan³ Θ csc Θ है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके दूसरे पद को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

E = sec Θ + (sin³ Θ)/(cos³ Θ) · (1)/(sin Θ) E = sec Θ + (sin² Θ)/(cos³ Θ) E = sec Θ + (sin² Θ)/(cos² Θ) · (1)/(cos Θ) E = sec Θ + tan² Θ sec Θ

sec Θ को उभयनिष्ठ लेने और मूलभूत सर्वसमिका 1 + tan² Θ = sec² Θ का उपयोग करने पर:

E = sec Θ (1 + tan² Θ) E = sec Θ · sec² Θ = sec³ Θ E = (sec² Θ)³^/²

सर्वसमिका sec² Θ = 1 + tan² Θ का उपयोग करने और दिए गए मान tan² Θ = 1 - e² को प्रतिस्थापित करने पर:

sec² Θ = 1 + (1 - e²) = 2 - e²

इसे वापस E के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

E = (2 - e²)³^/²

व्याख्या

अंतराल 0° < Θ < 90° के लिए, cos Θ का मान पूर्णतः 0 और 1 के बीच होता है, जिसका अर्थ है 0 < cos Θ < 1 है। 0 < x < 1 के अंतराल में किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, संख्या का वर्ग हमेशा स्वयं उस संख्या से छोटा होता है (x² < x)। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि असमिका x < 1 को धनात्मक मान x से गुणा करने पर x² < x प्राप्त होता है। इस संबंध में x = cos Θ प्रतिस्थापित करने पर, हमें cos² Θ < cos Θ प्राप्त होता है, जो cos Θ > cos² Θ के समतुल्य है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण में त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों को प्रतिस्थापित करें: x(sin 60°)tan² 30° - tan 45° = csc 60°cot 30° - sec² 45°।

मान इस प्रकार हैं: sin 60° = √3/2 tan 30° = 1/1/√3 ⟹ tan² 30° = ⅓ tan 45° = 1 csc 60° = 2/√3 cot 30° = √3 sec 45° = √2 ⟹ sec² 45° = 2

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x · √3/2 · ⅓ - 1 = 2/√3 · √3 - 2

दाएं पक्ष (RHS) को सरल करने पर: RHS = 2 - 2 = 0

बाएं पक्ष (LHS) को सरल करने पर: LHS = x√3/6 - 1

LHS और RHS को बराबर करने पर: x√3/6 - 1 = 0 x√3/6 = 1 x = 6/√3

हर का परिमेयकरण करने पर: x = 6√3/3 = 2√3

व्याख्या

समीकरण (5x)/(2x² + 5x + 1) = ⅓ से x + ¹⁄₂ₓ का मान ज्ञात करने के लिए, भिन्नों को समाप्त करने के लिए तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) से शुरू करें:

3(5x) = 1(2x² + 5x + 1)

15x = 2x² + 5x + 1

द्विघात (quadratic) और अचर (constant) पदों को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों से 5x घटाएं:

10x = 2x² + 1

वांछित व्यंजक x + ¹⁄₂ₓ प्राप्त करने के लिए, सरलीकृत समीकरण के प्रत्येक पद को 2x से विभाजित करें:

¹⁰ˣ⁄₂ₓ = (2x²)/(2x) + ¹⁄₂ₓ

5 = x + ¹⁄₂ₓ

व्याख्या

a² - b² का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले a और b के व्यंजकों को सरल बनाने के लिए दिए गए समीकरणों को जोड़ते और घटाते हैं।

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: (x³ + ³⁄ₓ) + (3x + (1)/(x³)) = 4(a³ + b³) + 4(a³ - b³) x³ + 3x + ³⁄ₓ + (1)/(x³) = 8a³ (x + ¹⁄ₓ)³ = x³ + 3x²(¹⁄ₓ) + 3x((1)/(x²)) + (1)/(x³) के विस्तार को पहचानते हुए, हमें प्राप्त होता है: (x + ¹⁄ₓ)³ = 8a³ दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: x + ¹⁄ₓ = 2a

पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: (x³ + ³⁄ₓ) - (3x + (1)/(x³)) = 4(a³ + b³) - 4(a³ - b³) x³ - 3x + ³⁄ₓ - (1)/(x³) = 8b³ (x - ¹⁄ₓ)³ = x³ - 3x²(¹⁄ₓ) + 3x((1)/(x²)) - (1)/(x³) के विस्तार को पहचानते हुए, हमें प्राप्त होता है: (x - ¹⁄ₓ)³ = 8b³ दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: x - ¹⁄ₓ = 2b

अब हमारे पास a = ½(x + ¹⁄ₓ) और b = ½(x - ¹⁄ₓ) हैं। a² - b² ज्ञात करने के लिए दोनों पदों का वर्ग करने पर: a² - b² = [½(x + ¹⁄ₓ)]² - [½(x - ¹⁄ₓ)]² a² - b² = ¼ [(x + ¹⁄ₓ)² - (x - ¹⁄ₓ)²] बीजगणितीय सर्वसमिका (m + n)² - (m - n)² = 4mn का उपयोग करने पर: a² - b² = ¼ [4 · x · ¹⁄ₓ] a² - b² = ¼ [4] a² - b² = 1

व्याख्या

इस मान की गणना संबंध x - ¹⁄ₓ = 6 से शुरू करके बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके की जाती है। इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (x - ¹⁄ₓ)² = 6² प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x² + (1)/(x²) - 2 = 36, या x² + (1)/(x²) = 38 प्राप्त होता है।

x⁴ + (1)/(x⁴) का मान ज्ञात करने के लिए, इस परिणाम का पुनः वर्ग करें: (x² + (1)/(x²))² = 38², जिससे x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 = 1444 प्राप्त होता है। अभीष्ट व्यंजक के लिए हल करने पर, हमें x⁴ + (1)/(x⁴) = 1444 - 2 = 1442 प्राप्त होता है।

यह सामान्य शॉर्टकट सूत्र का अनुसरण करता है: यदि x - ¹⁄ₓ = k, तो x⁴ + (1)/(x⁴) = (k² + 2)² - 2। k = 6 प्रतिस्थापित करने पर (6² + 2)² - 2 = 38² - 2 = 1444 - 2 = 1442 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, केंद्रक G वह बिंदु होता है जहाँ तीनों माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। केंद्रक का एक मूलभूत गुण यह है कि यह प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य बिंदु की ओर 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। चूंकि AD, शीर्ष A से भुजा BC पर माध्यिका है, इसलिए केंद्रक G, AD पर इस प्रकार स्थित होता है कि AG:GD = 2:1 हो। AG:AD का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम माध्यिका की कुल लंबाई को AD = AG + GD के रूप में व्यक्त करते हैं। किसी स्थिरांक k के लिए AG = 2k और GD = k मानने पर, कुल लंबाई AD = 2k + k = 3k हो जाती है। इसलिए, AG:AD का अनुपात 2k:3k है, जो सरल होने पर 2:3 हो जाता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, परिकेंद्र हमेशा कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। इसका तात्पर्य यह है कि त्रिभुज का कर्ण उसके परिवृत्त का व्यास होता है। इसलिए, परिवृत्त की त्रिज्या R कर्ण की लंबाई के आधे के बराबर होती है।

Δ PQR में, चूंकि ∠ RPQ = 90° है, इसलिए भुजा QR कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

QR = √(PR² + PQ²)

दिए गए मानों PR = 6 सेमी और PQ = 8 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

QR = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √(100) = 10 सेमी

परिवृत्त की त्रिज्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है:

R = (कर्ण)/(2) = (QR)/(2)

R = ¹⁰⁄₂ = 5 सेमी

व्याख्या

दो कोणों को संपूरक कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि उनके मापों का योग 180° के बराबर हो। दिया गया है कि कोण 2:3 के अनुपात में हैं, मान लीजिए पहला कोण 2x और दूसरा कोण 3x है। संपूरक कोणों की परिभाषा के अनुसार:

2x + 3x = 180° 5x = 180° x = (180°)/(5) = 36°

कोणों के व्यंजकों में x का मान प्रतिस्थापित करने पर, पहला कोण 2 × 36° = 72° और दूसरा कोण 3 × 36° = 108° प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, केंद्रक O माध्यिका AD को शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य बिंदु की ओर 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इस गणितीय गुण का तात्पर्य है कि रेखाखंड AO की लंबाई, रेखाखंड OD की लंबाई की दोगुनी है। यह देखते हुए कि AO की लंबाई 10 सेमी है, हम अनुपात AO : OD = 2 : 1 स्थापित कर सकते हैं, जो समीकरण AO = 2 × OD में परिवर्तित होता है। ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 10 = 2 × OD। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर OD = 5 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। चूँकि Δ ABC का क्षेत्रफल 12 सेमी² दिया गया है, इसलिए समांतर चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल = 2 × 12 = 24 सेमी²।

मान लीजिए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल S = 24 है। समांतर चतुर्भुज में मध्य-बिंदुओं के गुणों का उपयोग करने पर:

Δ ABP का क्षेत्रफल: चूँकि P, BC का मध्य-बिंदु है, इसलिए Δ ABP का क्षेत्रफल = ½ × AB × BP sin(∠ B) = ½ × AB × ½ BC sin(∠ B) = ¼ S. क्षेत्रफल(Δ ABP) = ¼ × 24 = 6 सेमी²।

Δ ADQ का क्षेत्रफल: चूँकि Q, CD का मध्य-बिंदु है, इसलिए Δ ADQ का क्षेत्रफल = ½ × AD × DQ sin(∠ D) = ½ × AD × ½ CD sin(∠ D) = ¼ S. क्षेत्रफल(Δ ADQ) = ¼ × 24 = 6 सेमी²।

Δ PCQ का क्षेत्रफल: चूँकि P और Q क्रमशः BC और CD के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए Δ PCQ का क्षेत्रफल = ½ × PC × CQ sin(∠ C) = ½ × ½ BC × ½ CD sin(∠ C) = ⅛ S. क्षेत्रफल(Δ PCQ) = ⅛ × 24 = 3 सेमी²।

Δ APQ का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के कुल क्षेत्रफल में से इन तीनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है: क्षेत्रफल(Δ APQ) = क्षेत्रफल(ABCD) - [क्षेत्रफल(Δ ABP) + क्षेत्रफल(Δ ADQ) + क्षेत्रफल(Δ PCQ)] क्षेत्रफल(Δ APQ) = 24 - [6 + 6 + 3] = 24 - 15 = 9 सेमी²।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x = a sec α cos β, y = b sec α sin β, और z = c tan α हैं, जिन्हें हम इस प्रकार लिख सकते हैं: ˣ⁄ₐ = sec α cos β, (y)/(b) = sec α sin β, और (z)/(c) = tan α। इन्हें अभीष्ट व्यंजक (x²)/(a²) + (y²)/(b²) - (z²)/(c²) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:

(sec α cos β)² + (sec α sin β)² - (tan α)² sec² α cos² β + sec² α sin² β - tan² α

पहले दो पदों से sec² α को उभयनिष्ठ (common) लेने पर, हमें प्राप्त होता है: sec² α (cos² β + sin² β) - tan² α

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ + sin² θ = 1 का उपयोग करने पर, यह व्यंजक सरल होकर निम्नलिखित हो जाता है: sec² α (1) - tan² α = sec² α - tan² α

सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का उपयोग करने पर, हमें अंतिम मान 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए प्रतिबंध त्रिकोणमितीय संबंध (cos² α)/(a²) + (sin² α)/(b²) = 1 और अनुपात (sin α)/(sin β) = b पर आधारित हैं। दूसरे समीकरण से, हम sin α को sin β के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: sin α = b sin β

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: sin² α = b² sin² β

इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, और सर्वसमिका cos² α = 1 - sin² α का उपयोग करने पर: (1 - sin² α)/(a²) + (sin² α)/(b²) = 1

अब, समीकरण में sin² α = b² sin² β प्रतिस्थापित करने पर: (1 - b² sin² β)/(a²) + (b² sin² β)/(b²) = 1 (1 - b² sin² β)/(a²) + sin² β = 1

sin² β का मान ज्ञात करने के लिए, पूरे समीकरण को a² से गुणा करने पर: 1 - b² sin² β + a² sin² β = a² sin² β (a² - b²) = a² - 1

(a² - b²) से भाग देने पर, हमें मान प्राप्त होता है: sin² β = (a² - 1)/(a² - b²)

व्याख्या

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर, हर sin² 30° + cos² 30° सीधे सरल होकर 1 हो जाता है।

अब, अंश में त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों को प्रतिस्थापित करने पर: cos 60° = 1/2, sec 30° = 2/√3, और tan 45° = 1।

व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: (1/2)² + 4(2/√3)² - (1)²{1} = 1/4 + 4(4/3) - 1 = 1/4 + 16/3 - 1

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए, जो कि 12 है: = (3/12) + (64/12) - (12/12) = (3 + 64 - 12) / 12 = 55/12

व्याख्या

समीकरण 3ˣ - 3ˣ⁻¹ = 486 को बाएं पक्ष का गुणनखंड करके हल किया जा सकता है। घातांक के गुण aᵐ - aᵐ⁻ⁿ = aᵐ⁻ⁿ(aⁿ - 1) का उपयोग करके, हम इस व्यंजक को निम्नानुसार लिख सकते हैं:

3ˣ⁻¹(3¹ - 1) = 486

3ˣ⁻¹(3 - 1) = 486

3ˣ⁻¹(2) = 486

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है:

3ˣ⁻¹ = 243

चूंकि 243 को 3 की घात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, विशेष रूप से 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243, इसलिए हम घातांकों को एक दूसरे के बराबर रख सकते हैं:

3ˣ⁻¹ = 3⁵

x - 1 = 5

x = 6

व्याख्या

जब दो व्यक्ति A और B किसी कार्य को क्रमशः x और y दिनों में पूरा कर सकते हैं, तो उनके द्वारा मिलकर कार्य को समाप्त करने में लिया गया समय निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: समय = (x × y)/(x + y)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ x = 4 दिन और y = 12 दिन है: समय = (4 × 12)/(4 + 12) समय = ⁴⁸⁄₁₆ समय = 3 दिन

वैकल्पिक रूप से, कार्यक्षमता विधि का उपयोग करते हुए, माना कुल कार्य 4 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 12 इकाई है। A की दैनिक कार्यक्षमता 12 / 4 = 3 इकाई है, और B की दैनिक कार्यक्षमता 12 / 12 = 1 इकाई है। एक साथ कार्य करने पर उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 3 + 1 = 4 इकाई प्रति दिन है। 4 इकाई प्रति दिन की दर से 12 इकाई के कुल कार्य को पूरा करने के लिए, वे 12 / 4 = 3 दिन का समय लेंगे।

व्याख्या

A द्वारा पूरे कार्य को समाप्त करने में लिया गया समय 10 × 4 = 40 दिन है। इसी प्रकार, B द्वारा पूरे कार्य को समाप्त करने में लिया गया समय 20 × 3 = 60 दिन है। A और B दोनों द्वारा मिलकर कार्य करने में लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त कार्य सूत्र T = (xy)/(x+y) का उपयोग करते हैं, जहाँ x और y प्रत्येक व्यक्ति द्वारा आवश्यक दिनों को दर्शाते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें T = (40 × 60)/(40 + 60) = ²⁴⁰⁰⁄₁₀₀ = 24 दिन प्राप्त होता है। इसे उनके संयुक्त एक दिन के कार्य की दक्षता की गणना करके भी हल किया जा सकता है, जो कि ¹⁄₄₀ + ¹⁄₆₀ = ³⁺²⁄₁₂₀ = ⁵⁄₁₂₀ = ¹⁄₂₄ है, जिसका अर्थ है कि वे कार्य को 24 दिनों में पूरा करते हैं।

व्याख्या

माना कुल कार्य 1 इकाई है। चूंकि A और B मिलकर कार्य को 30 दिनों में पूरा कर सकते हैं, इसलिए उनकी संयुक्त कार्य दर प्रतिदिन कार्य का 1/30 भाग है। 20 दिनों में, उन्होंने कुल कार्य का 20 × (1/30) = 2/3 भाग पूरा किया। पूरा किया जाने वाला शेष कार्य 1 - 2/3 = 1/3 है। प्रश्न के अनुसार, A ने इस शेष 1/3 कार्य को 20 दिनों में पूरा किया। A द्वारा अकेले पूरे कार्य को समाप्त करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम कुल कार्य को A की दैनिक कार्य दर से विभाजित करते हैं। यदि A 20 दिनों में कार्य का 1/3 भाग पूरा करता है, तो A की एक दिन की कार्य दर (1/3) / 20 = 1/60 है। इसलिए, A अकेला पूरे कार्य को 1 / (1/60) = 60 दिनों में पूरा कर सकता है।

व्याख्या

वृत्ताकार तार की परिधि की गणना सूत्र C = π d का उपयोग करके की जाती है। दिया गया व्यास d = 112 सेमी है और π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर, परिधि C = ²²⁄₇ × 112 = 22 × 16 = 352 सेमी है। जब तार को एक आयत के रूप में मोड़ा जाता है, तो उसका परिमाप मूल वृत्त की परिधि के बराबर रहता है। दिए गए अनुपात के आधार पर मान लीजिए कि आयत की भुजाएँ 9x और 7x हैं। आयत का परिमाप P = 2(लंबाई + चौड़ाई) = 2(9x + 7x) = 32x है। परिमाप को परिधि के बराबर रखने पर, हमें 32x = 352 प्राप्त होता है, जिससे सरल करने पर x = 11 प्राप्त होता है। छोटी भुजा की लंबाई 7x = 7 × 11 = 77 सेमी है।