एसएससी सीजीएल टियर 1 2014 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद विक्रय मूल्य (SP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध सूत्र SP = MP × (1 - d₁) × (1 - d₂) द्वारा दिया गया है। दिए गए छूट प्रतिशतों को भिन्नों में बदलने से गणना सरल हो जाती है: 12½% = ⅛ और 10% = ⅒।

छूट के लिए गुणक (1 - ⅛) = ⅞ और (1 - ⅒) = ⁹⁄₁₀ हैं। समीकरण में दिए गए विक्रय मूल्य 6,300 रुपये को प्रतिस्थापित करने पर:

6,300 = MP × ⅞ × ⁹⁄₁₀

6,300 = MP × ⁶³⁄₈₀

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

MP = (6,300 × 80)/(63)

MP = 100 × 80 = 8,000

व्याख्या

कुल बिक्री (राजस्व) टिकट की कीमत और आगंतुकों की संख्या का गुणनफल होती है। प्रतिशत परिवर्तनों के बीच का संबंध क्रमिक परिवर्तनों के सूत्र द्वारा दिया गया है: कुल % परिवर्तन = x + y + ˣʸ⁄₁₀₀, जहाँ x मूल्य में प्रतिशत परिवर्तन है और y आगंतुकों की संख्या में प्रतिशत परिवर्तन है।

चूंकि छूट 20% है, इसलिए हमारे पास x = -20 है। बिक्री में कुल वृद्धि 28% है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

28 = -20 + y + (-20 × y)/(100)

28 + 20 = y - 0.2y

48 = 0.8y

y = (48)/(0.8) = 60

इसलिए, आगंतुकों की संख्या में प्रतिशत वृद्धि 60% है।

व्याख्या

दो अनुपातों a:b और c:d के बीच एक समानुपात तब होता है जब वे बराबर होते हैं, जिसे गणितीय रूप से (a)/(b) = (c)/(d) या ad = bc के रूप में व्यक्त किया जाता है। 12:9 = 16:12 के मामले में, हम दोनों अनुपातों को उनके सरलतम रूप में सरल कर सकते हैं। पहले अनुपात के पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, 3 से विभाजित करने पर, हमें ¹²⁄₉ = ⁴⁄₃ प्राप्त होता है। इसी प्रकार, दूसरे अनुपात के पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, 4 से विभाजित करने पर, हमें ¹⁶⁄₁₂ = ⁴⁄₃ प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, बाह्य पदों (extremes) और मध्य पदों (means) के गुणनफल का उपयोग करने पर, 12 × 12 = 144 और 9 × 16 = 144 प्राप्त होता है। चूंकि गुणनफल बराबर हैं, इसलिए ये अनुपात एक सही समानुपात बनाते हैं।

व्याख्या

एक अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन सूत्र V_bowl = ⅔ π R³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ R गोले की त्रिज्या है। एक शंक्वाकार बर्तन का आयतन V_cone = ⅓ π r² h का उपयोग करके निकाला जाता है, जहाँ r = 6 सेमी और h = 12 सेमी है। प्रश्न के अनुसार, शंक्वाकार बर्तन को भरने के लिए 8 कटोरे की आवश्यकता होती है, जिससे संबंध 8 × V_bowl = V_cone प्राप्त होता है।

समीकरण में ज्ञात मानों को रखने पर: 8 × ⅔ π R³ = ⅓ π (6)² (12) ¹⁶⁄₃ π R³ = ⅓ π × 36 × 12

दोनों पक्षों से (π)/(3) को काटने पर, समीकरण सरल हो जाता है: 16 R³ = 36 × 12 16 R³ = 432 R³ = ⁴³²⁄₁₆ R³ = 27

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, हमें R = 3 सेमी प्राप्त होता है। इसलिए, गोले की त्रिज्या 3 सेमी है।

व्याख्या

मान लीजिए कि तीनों आकृतियों का उभयनिष्ठ परिमाप P है। एक दिए गए परिमाप के लिए, भुजाओं की संख्या बढ़ने पर एक सम बहुभुज का क्षेत्रफल बढ़ता है, और वृत्त (जिसे अनंत भुजाओं वाला बहुभुज माना जा सकता है) अधिकतम संभव क्षेत्रफल प्रदान करता है।

परिधि P वाले एक वृत्त के लिए, 2π r = P, इसलिए r = (P)/(2π)। क्षेत्रफल C = π r² = π ((P)/(2π))² = (P²)/(4π) ≈ (P²)/(12.57)।

परिमाप P वाले एक वर्ग के लिए, भुजा s = (P)/(4)। क्षेत्रफल S = s² = ((P)/(4))² = (P²)/(16)।

परिमाप P वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, भुजा a = (P)/(3)। क्षेत्रफल T = √3{4} a² = √3{4} ((P)/(3))² = √3 P²{36} ≈ (1.732 P²)/(36) ≈ (P²)/(20.78)।

हरों की तुलना करने पर, 12.57 < 16 < 20.78। चूंकि अंश समान हैं, इसलिए छोटा हर एक बड़ा मान देता है। अतः, C > S > T सही संबंध है।

व्याख्या

छूट की राशि, अंकित मूल्य और ग्राहक द्वारा भुगतान की गई राशि के बीच का अंतर है: छूट = 440 - 396 = 44 छूट की दर की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: छूट की दर = (छूट)/(अंकित मूल्य) × 100 सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: छूट की दर = ⁴⁴⁄₄₄₀ × 100 = ⅒ × 100 = 10%

व्याख्या

माना निशा प्रत्येक प्रकार के n संतरे खरीदती है। पहली किस्म का क्रय मूल्य ½ रुपये प्रति संतरा है, और दूसरी किस्म का क्रय मूल्य ⅓ रुपये प्रति संतरा है। कुल 2n संतरों के लिए, कुल क्रय मूल्य n · ½ + n · ⅓ = ⁵ⁿ⁄₆ रुपये है।

एक दर्जन (12 संतरे) का क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम 2n = 12 रखते हैं, जिससे n = 6 प्राप्त होता है। इसे कुल क्रय मूल्य के सूत्र में रखने पर, 12 संतरों का क्रय मूल्य (5 · 6)/(6) = 5 रुपये है।

20% का लाभ प्राप्त करने के लिए, विक्रय मूल्य (SP) की गणना सूत्र SP = CP × (1 + (लाभ%)/(100)) का उपयोग करके की जाती है। 5 रुपये के क्रय मूल्य (CP) और 20% के लाभ मार्जिन को प्रतिस्थापित करने पर, हमें SP = 5 × (1 + ²⁰⁄₁₀₀) = 5 × 1.2 = 6 रुपये प्राप्त होता है।

व्याख्या

यदि कोई मान दूसरे मान से R% अधिक है, तो दूसरा मान पहले मान से कितने प्रतिशत कम है, इसकी गणना सूत्र [R / (100 + R)] × 100% का उपयोग करके की जाती है। यह देखते हुए कि A का वेतन B के वेतन से 50% अधिक है, हम सूत्र में R = 50 रखते हैं। इसके परिणामस्वरूप [50 / (100 + 50)] × 100 = (50 / 150) × 100 प्राप्त होता है। भिन्न को सरल करने पर (1 / 3) × 100 प्राप्त होता है, जो 33 1/3% के बराबर है।

वैकल्पिक रूप से, यदि हम मान लें कि B का वेतन 100 इकाई है, तो A का वेतन 150 इकाई होगा (क्योंकि यह 50% अधिक है)। उनके वेतनों के बीच का अंतर 50 इकाई है। B का वेतन A के वेतन से कितने प्रतिशत कम है, यह ज्ञात करने के लिए हम इस अंतर की तुलना A के वेतन से करते हैं: (50 / 150) × 100। यह सरल होकर 100 / 3 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 33 1/3% प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो व्यक्ति दो अलग-अलग बिंदुओं से एक-दूसरे की ओर चलते हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है। इस मामले में, सापेक्ष गति 4 किमी/घंटा + 6 किमी/घंटा = 10 किमी/घंटा है।

मिलने में लगने वाले समय की गणना उनके बीच की कुल दूरी को उनकी सापेक्ष गति से विभाजित करके की जाती है। समय = दूरी / सापेक्ष गति = 20 किमी / 10 किमी/घंटा = 2 घंटे।

चूंकि A और B दोनों सुबह 7:00 बजे एक-दूसरे की ओर चलना शुरू करते हैं, इसलिए वे 2 घंटे बाद मिलेंगे। मिलने का समय = सुबह 7:00 बजे + 2 घंटे = सुबह 9:00 बजे।

व्याख्या

किसी व्यक्ति की चाल, दिए गए समय में तय किए गए कदमों की संख्या और प्रत्येक कदम में तय की गई दूरी का गुणनफल होती है। मान लीजिए कि पुलिसकर्मी के एक कदम की दूरी Lₚ है और चोर के एक कदम की दूरी Lₜ है। प्रश्न के अनुसार, 5 Lₚ = 7 Lₜ, जिसका अर्थ है कि उनके कदमों की लंबाई का अनुपात Lₚ / Lₜ = 7/5 है।

जितने समय में चोर 10 कदम चलता है, पुलिसकर्मी 8 कदम चलता है। मान लीजिए nₚ = 8 और nₜ = 10 है। उनकी चाल का अनुपात इस प्रकार निकाला जाता है:

पुलिसकर्मी की चाल / चोर की चाल = (nₚ × Lₚ)/(nₜ × Lₜ) = ⁸⁄₁₀ × ⁷⁄₅

पुलिसकर्मी की चाल / चोर की चाल = ⁵⁶⁄₅₀ = ²⁸⁄₂₅

अतः, पुलिसकर्मी और चोर की चाल का अनुपात 28:25 है।

व्याख्या

शंकु की तिर्यक ऊंचाई l की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है क्योंकि ऊंचाई, त्रिज्या और तिर्यक ऊंचाई एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जहाँ l = √(r² + h²) है। दिए गए आधार की त्रिज्या r = 7 सेमी और ऊंचाई h = 24 सेमी का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: l = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √(625) = 25 सेमी। शंकु को तैयार करने के लिए आवश्यक लोहे की चादर का क्षेत्रफल इसके कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है, जिसमें वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार का क्षेत्रफल शामिल है, जिसे सूत्र A = π r(l + r) द्वारा दिया जाता है। सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर प्राप्त होता है: A = ²²⁄₇ × 7 × (25 + 7) = 22 × 32 = 704 सेमी²।

व्याख्या

एक अभाज्य संख्या को 1 से बड़ी एक ऐसी प्राकृतिक संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके केवल दो भिन्न धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और वह स्वयं। अभाज्य संख्याओं का क्रम 2 से शुरू होता है, जिसके बाद 3, 5, 7, 11 आदि आते हैं। चूंकि 2 ठीक दो भाजक होने और 1 से बड़ा होने के मानदंड को पूरा करने वाली पहली प्राकृतिक संख्या है, इसलिए यह सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। यह सभी अभाज्य संख्याओं के समूह में एकमात्र सम अभाज्य संख्या भी है।

व्याख्या

ऐसे प्रश्नों में जहाँ प्रत्येक भाजक और उसके संगत शेषफल के बीच का अंतर समान (स्थिर) होता है, अभीष्ट संख्या सूत्र LCM(भाजक) - k का उपयोग करके ज्ञात की जाती है, जहाँ k वह समान अंतर है। दिए गए समूहों के लिए अंतर की गणना करने पर: 12 - 8 = 4, 18 - 14 = 4, 36 - 32 = 4, और 45 - 41 = 4। समान अंतर k = 4 है।

भाजकों 12, 18, 36, और 45 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) उनके अभाज्य गुणनखंडों द्वारा निर्धारित किया जाता है। अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार हैं: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 36 = 2² × 3², और 45 = 3² × 5। इन संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेने पर, LCM = 2² × 3² × 5, जो सरल करने पर 4 × 9 × 5 = 180 होता है।

अंतिम उत्तर परिकलित LCM में से समान अंतर को घटाकर प्राप्त किया जाता है: 180 - 4 = 176। यह संख्या दिए गए प्रत्येक भाजक से विभाजित होने पर निर्दिष्ट शेषफल छोड़ने की शर्त को पूरा करती है।

व्याख्या

चूंकि भरने की दर समान है, इसलिए लिया गया समय भरे जाने वाले पूल के आयतन के अनुक्रमानुपाती होता है। पूल का भरा जाने वाला शेष भाग 1 - ⅗ = ⅖ है।

ऐकिक नियम या सीधे अनुपात का उपयोग करते हुए, यदि क्षमता के ⅗ भाग को भरने में 8 घंटे लगते हैं, तो शेष ⅖ क्षमता को भरने के लिए आवश्यक समय x की गणना इस प्रकार की जाती है: x = 8 × (2/5)/(3/5) = 8 × ⅔ = ¹⁶⁄₃ घंटे

¹⁶⁄₃ घंटे को घंटे और मिनट में बदलने के लिए, हम विभाजन करते हैं: ¹⁶⁄₃ = 5 ⅓ घंटे चूंकि 1 घंटा 60 मिनट के बराबर होता है, इसलिए भिन्नात्मक भाग है: ⅓ × 60 = 20 मिनट

पूल को पूरा भरने के लिए आवश्यक अतिरिक्त समय 5 घंटे 20 मिनट है।

व्याख्या

कार्यकुशलता और कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है। मान लीजिए P की कार्यकुशलता 100% है। चूंकि Q, P से 50% अधिक कुशल है, इसलिए Q की कार्यकुशलता 150% है। P और Q की कार्यकुशलता का अनुपात 100:150 है, जो सरल होकर 2:3 हो जाता है।

चूंकि कार्यकुशलता और समय व्युत्क्रमानुपाती होते हैं (E₁ × T₁ = E₂ × T₂), इसलिए P द्वारा लिए गए समय और Q द्वारा लिए गए समय का अनुपात उनकी कार्यकुशलता के अनुपात का व्युत्क्रम होगा, जो कि 3:2 है। यह देखते हुए कि P कार्य को पूरा करने में 9 दिन लेता है, हम अनुपात स्थापित कर सकते हैं जहाँ समय की 3 इकाइयाँ 9 दिनों के बराबर हैं। इसका अर्थ है कि 1 इकाई 3 दिनों के बराबर है। इसलिए, Q द्वारा लिया गया समय, जिसे 2 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है, 2 × 3 = 6 दिन है।

व्याख्या

कुल कार्य को श्रमिकों की संख्या और लिए गए समय के गुणनफल का उपयोग करके बराबर किया जाता है: 16M × 15 = 24C × 20, जहाँ M एक पुरुष की कार्यक्षमता है और C एक बच्चे की कार्यक्षमता है। इससे 240M = 480C प्राप्त होता है, जो सरल होकर 1M = 2C हो जाता है, जिसका अर्थ है कि एक पुरुष की कार्यक्षमता दो बच्चों के बराबर है। कुल कार्य को 480 इकाइयों (बाल-दिनों के संदर्भ में) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। 8 पुरुषों और 8 बच्चों के आवश्यक समूह की कार्यक्षमता की गणना पुरुषों को बच्चों में बदलकर की जाती है: 8M + 8C = 8(2C) + 8C = 16C + 8C = 24C। कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय = (कुल कार्य)/(संयुक्त कार्यक्षमता) = (480C)/(24C) = 20 दिन है। चूँकि प्रश्न में परिभाषित किया गया है कि 24 बच्चे 20 दिन लेते हैं, इसलिए 8 पुरुषों और 8 बच्चों का समतुल्य समूह भी ठीक 20 दिन लेगा।

व्याख्या

बेहतर निवेश ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक के लिए प्रतिफल (yield) की गणना करें: पहला स्टॉक 4/120 = 1/30 या लगभग 3.33% का प्रतिफल देता है, जबकि दूसरा स्टॉक 3/80 = 0.0375 या 3.75% का प्रतिफल देता है। चूंकि दूसरा स्टॉक निवेश पर उच्च रिटर्न (प्रतिफल की दर) प्रदान करता है, इसलिए यह बेहतर विकल्प है।

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का प्रारंभिक मूल्य 100 है। 20% की वृद्धि से मूल्य में 0.20 × 100 = 20 की वृद्धि होती है, जिससे नया मूल्य 120 हो जाता है। बढ़ी हुई राशि विशेष रूप से मूल मूल्य में जोड़ी गई 20 इकाइयाँ है। इसके बाद केवल इस बढ़ी हुई राशि पर 25% की छूट दी जाती है, जिसकी गणना 0.25 × 20 = 5 के रूप में की जाती है। वस्तु का अंतिम मूल्य, वृद्धि के बाद के मूल्य में से इस छूट को घटाने पर प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 120 - 5 = 115 प्राप्त होता है। इस अंतिम मूल्य की तुलना 100 के प्रारंभिक मूल्य से करने पर, शुद्ध प्रभाव 15 की वृद्धि है, जो कि 15% की वृद्धि है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दोनों भाइयों की वर्तमान आयु का योग S है। 10 वर्षों में, उनकी आयु का योग 20 बढ़ जाएगा क्योंकि प्रत्येक भाई की आयु 10 वर्ष बढ़ जाती है। प्रश्न के अनुसार, यह भविष्य का योग वर्तमान योग का दोगुना है, जिससे संबंध S + 20 = 2S प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर S = 20 प्राप्त होता है।

उनकी आयु के बीच का अंतर D = 8 दिया गया है। दो व्यक्तियों की आयु योग और अंतर के सूत्रों का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है, जहाँ छोटे भाई की आयु (S - D)/(2) है और बड़े भाई की आयु (S + D)/(2) है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, छोटे भाई की आयु (20 - 8)/(2) = 6 वर्ष है और बड़े भाई की आयु (20 + 8)/(2) = 14 वर्ष है। छोटे भाई की आयु का बड़े भाई की आयु से अनुपात 6:14 है, जिसे सरल करने पर 3:7 प्राप्त होता है।

व्याख्या

n क्रमागत विषम पूर्णांकों की एक श्रृंखला के लिए, समांतर माध्य मध्य पद के बराबर होता है। पांच अंकों का औसत 185 / 5 = 37 है। 5 क्रमागत विषम पूर्णांकों के एक समूह में, तीसरा पद मध्य मान को दर्शाता है। चूंकि क्रमागत विषम पूर्णांकों के बीच का सार्व अंतर 2 होता है, इसलिए उच्चतम पद, जो कि 5वां पद है, की गणना मध्य पद में 2 की दो वृद्धियाँ जोड़कर की जाती है। 37 + (2 × 2) की गणना करने पर 41 प्राप्त होता है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई s वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A, सूत्र A = √3/4 s² द्वारा दिया जाता है। यदि भुजा को 2 सेमी कम कर दिया जाए, तो नई भुजा की लंबाई s - 2 होगी, और नया क्षेत्रफल A' = √3/4 (s - 2)² होगा।

प्रश्न के अनुसार, क्षेत्रफल में कमी 4√3 सेमी² है। समीकरण स्थापित करने पर: √3/4 s² - √3/4 (s - 2)² = 4√3

दोनों पक्षों को √3/4 से भाग देने पर समीकरण सरल हो जाता है: s² - (s - 2)² = 16

पद (s - 2)² का विस्तार करने पर: s² - (s² - 4s + 4) = 16 s² - s² + 4s - 4 = 16 4s = 20 s = 5

त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई 5 सेमी है।

व्याख्या

जब एक आयताकार चादर को उसकी लंबाई के अनुदिश मोड़कर एक बेलन बनाया जाता है, तो चादर की लंबाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है, और चादर की चौड़ाई बेलन की ऊंचाई बन जाती है।

दिया गया है, लंबाई L = 12 सेमी और चौड़ाई B = 5 सेमी। परिधि 2π r = 12 ⟹ r = (12)/(2π) = (6)/(π) सेमी। ऊंचाई h = 5 सेमी।

बेलन का आयतन सूत्र V = π r² h द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर: V = π × ((6)/(π))² × 5 V = π × (36)/(π²) × 5 V = (180)/(π) सेमी³

व्याख्या

कुल खरीद राशि की गणना ग्राहक द्वारा खरीदी गई सभी वस्तुओं की व्यक्तिगत कीमतों को जोड़कर की जाती है। कुल राशि = 650 + 500 + 65 = 1215 व्यापारी दुकान की वस्तुओं पर 10% की एकसमान छूट प्रदान करता है। ग्राहक द्वारा प्राप्त कुल छूट ज्ञात करने के लिए, हम इस प्रतिशत को खरीद की कुल राशि पर लागू करते हैं। कुल छूट = कुल राशि × ¹⁰⁄₁₀₀ कुल छूट = 1215 × 0.10 = 121.50

व्याख्या

8x³ + 27y³ का मान ज्ञात करने के लिए, घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करें: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

माना a = 2x और b = 3y है। मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक है: 8x³ + 27y³ = (2x)³ + (3y)³

सर्वसमिका में a और b का मान रखने पर: 8x³ + 27y³ = (2x + 3y)³ - 3(2x)(3y)(2x + 3y) 8x³ + 27y³ = (2x + 3y)³ - 18xy(2x + 3y)

2x + 3y = 11/2 और xy = 5/6 मानों का उपयोग करते हुए, उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 8x³ + 27y³ = (11/2)³ - 18(5/6)(11/2)

पहले पद के घन की गणना करें: (11/2)³ = 1331 / 8

दूसरे पद की गणना करें: 18 × (5/6) × (11/2) = 15 × (11/2) = 165 / 2

पदों को घटाने के लिए, उन्हें 8 के समान हर में बदलें: 165/2 = (165 × 4) / (2 × 4) = 660 / 8

घटाव करें: 8x³ + 27y³ = 1331/8 - 660/8 = 671 / 8

व्याख्या

x⁴ + 1/x⁴ = 119 से, हमें x² + 1/x² = 11 प्राप्त होता है, जिससे (x - 1/x)² = 9 प्राप्त होता है, इसलिए x - 1/x = ±3 है। सर्वसमिका x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3(x - 1/x) का उपयोग करने पर, 3 प्रतिस्थापित करने पर 36 प्राप्त होता है और -3 प्रतिस्थापित करने पर -36 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप ±36 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना दो संख्याएँ 3x और 4x हैं, जहाँ x उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) को दर्शाता है। अनुपात a:b के रूप में व्यक्त दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), अनुपात के पदों और उनके HCF का गुणनफल होता है, जैसे कि LCM = a × b × x। इस सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर, हमें 3 × 4 × x = 180 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 12x = 180 हो जाता है। दोनों पक्षों को 12 से विभाजित करने पर, हमें x = 15 प्राप्त होता है। अनुपात में दूसरी संख्या 4x है, इसलिए इसका मान 4 × 15 = 60 है।

व्याख्या

औसत आयु में परिवर्तन, सभी आयु के योग में हुए शुद्ध परिवर्तन को शिक्षकों की कुल संख्या से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है। जब 60 वर्ष की आयु वाले एक शिक्षक के स्थान पर 30 वर्ष की आयु वाले एक अन्य शिक्षक को नियुक्त किया जाता है, तो आयु का कुल योग 60 - 30 = 30 वर्ष कम हो जाता है। शिक्षकों की कुल संख्या 30 पर स्थिर रहने के कारण, औसत आयु में परिवर्तन की गणना -30/30 = -1 वर्ष के रूप में की जाती है। कुल योग में इस कमी के परिणामस्वरूप समूह की औसत आयु ठीक 1 वर्ष कम हो जाती है।

व्याख्या

A, B और C की आयु का योग 3 × 84 = 252 वर्ष है। जब D समूह में शामिल होता है, तो A, B, C और D की आयु का कुल योग 4 × 80 = 320 वर्ष हो जाता है। D की आयु इन दोनों योगों के बीच का अंतर निकालकर ज्ञात की जाती है, जो कि 320 - 252 = 68 वर्ष है। E की आयु D से 4 वर्ष अधिक है, इसलिए E की आयु 68 + 4 = 72 वर्ष है। B, C, D और E वाले समूह की आयु का योग 4 × 78 = 312 वर्ष है। दोनों चार-सदस्यीय समूहों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि (A + B + C + D) - (B + C + D + E) = 320 - 312, जो सरल होकर A - E = 8 हो जाता है। समीकरण में E का मान रखने पर, A - 72 = 8, हमें प्राप्त होता है कि A की आयु 80 वर्ष है।

व्याख्या

वस्तु का क्रय मूल्य (CP) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है: CP = (SP × 100)/(100 - हानि%)। यह देखते हुए कि विक्रय मूल्य (SP) 450 है और हानि 10% है, गणना इस प्रकार है:

CP = (450 × 100)/(100 - 10) = (450 × 100)/(90) = 500

अब, यदि वस्तु को 540 में बेचा जाता है, तो नया विक्रय मूल्य 540 है। चूंकि विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए लाभ होगा। लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ% = (नया SP - CP)/(CP) × 100

मान रखने पर:

लाभ% = (540 - 500)/(500) × 100 = ⁴⁰⁄₅₀₀ × 100 = 8%

व्याख्या

माना आरंभिक धन x है। हानि 20 ½% है, जो 20.5% के बराबर है। इस हानि के बाद बचा हुआ धन x का 100% - 20.5% = 79.5% है।

इसके बाद वह व्यक्ति इस शेष धन का 80% खर्च करता है, जिससे उसके पास उस विशिष्ट राशि का 20% बचता है। यह देखते हुए कि अंत में बची हुई राशि 159 है, हम इस स्थिति को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त कर सकते हैं: x × (79.5)/(100) × ²⁰⁄₁₀₀ = 159

गणना को सरल बनाने के लिए, 79.5% को एक भिन्न के रूप में और 20% को ⅕ के रूप में व्यक्त करें: x × ¹⁵⁹⁄₂₀₀ × ⅕ = 159 x × ¹⁵⁹⁄₁₀₀₀ = 159

x का मान ज्ञात करने पर: x = (159 × 1000)/(159) x = 1000

व्याख्या

औसत उत्तीर्ण दर की गणना दोनों वर्षों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की कुल संख्या को परीक्षा में सम्मिलित होने वाले छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

परीक्षा में सम्मिलित होने वाले छात्रों की कुल संख्या = 80 + 60 = 140

प्रथम वर्ष में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या = 80 × 60% = 80 × ⁶⁰⁄₁₀₀ = 48

द्वितीय वर्ष में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या = 60 × 80% = 60 × ⁸⁰⁄₁₀₀ = 48

उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की कुल संख्या = 48 + 48 = 96

औसत उत्तीर्ण प्रतिशत निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है: औसत उत्तीर्ण दर = (कुल उत्तीर्ण)/(कुल सम्मिलित) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: औसत उत्तीर्ण दर = ⁹⁶⁄₁₄₀ × 100 = ²⁴⁄₃₅ × 100 = ⁴⁸⁰⁄₇% = 68 ⁴⁄₇%

व्याख्या

ध्वनि की चाल सूत्र v = ᵈ⁄ₜ द्वारा निर्धारित की जाती है, जहाँ d दूरी है और t समयांतराल है। सबसे पहले, विकल्पों की इकाइयों से मिलान करने के लिए दूरी को किलोमीटर से मीटर में परिवर्तित किया जाना चाहिए: 1.34 किमी = 1.34 × 1000 = 1340 मीटर। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर, हमें v = (1340 मीटर)/(4 सेकंड) प्राप्त होता है। 1340 को 4 से विभाजित करने पर 335 मीटर/सेकंड की चाल प्राप्त होती है।

व्याख्या

घर और स्टेशन के बीच की दूरी d की गणना चाल, दूरी और समय के अंतर के बीच के संबंध का उपयोग करके की जा सकती है। जब v₁ = 5 किमी/घंटा की चाल से चलते हैं, तो व्यक्ति को 7 मिनट की देरी होती है, और v₂ = 6 किमी/घंटा की चाल से चलने पर, व्यक्ति 5 मिनट पहले पहुँच जाता है। इन दोनों स्थितियों के बीच कुल समय का अंतर Δ t = 7 + 5 = 12 मिनट है। इकाइयों में एकरूपता बनाए रखने के लिए, इस समय को घंटों में परिवर्तित किया जाता है: Δ t = 12/60 = 1/5 घंटा।

जब दो अलग-अलग चालों के कारण एक ज्ञात समय अंतराल होता है, तब दूरी के मानक सूत्र का उपयोग करने पर: d = (v₁ × v₂)/(v₂ - v₁) × Δ t

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: d = (5 × 6)/(6 - 5) × ¹²⁄₆₀ d = ³⁰⁄₁ × ⅕ d = 6 किमी

इसे समय समीकरण t = d/v का उपयोग करके भी सत्यापित किया जा सकता है। दोनों चालों पर लिए गए समय का अंतर ᵈ⁄₅ - ᵈ⁄₆ = ¹²⁄₆₀ है। d के लिए हल करने पर (6d - 5d)/(30) = ⅕ प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप ᵈ⁄₃₀ = ⅕ होता है, जिससे d = 6 किमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के बाद कुल मिश्रधन A की गणना A = P + CI के रूप में की जाती है, जहाँ P मूलधन है और CI चक्रवृद्धि ब्याज है। यहाँ, A = 1800 + 378 = 2178 है। चक्रवृद्धि ब्याज के तहत मिश्रधन का सूत्र A = P(1 + r/100)ⁿ है, जहाँ r वार्षिक ब्याज दर है और n वर्षों में समय है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 2178 = 1800(1 + 10/100)ⁿ 2178 / 1800 = (1.1)ⁿ 1.21 = (1.1)ⁿ

यह देखते हुए कि 1.21 = 1.1² है, समीकरण (1.1)² = (1.1)ⁿ बन जाता है। दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर, n = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस गुणनफल की गणना बीजगणितीय सर्वसमिका (x + a)(x - b) = x² + x(a - b) - ab का उपयोग करके कुशलतापूर्वक की जा सकती है। 200 को आधार मानकर, इस व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

204 × 197 = (200 + 4)(200 - 3)

सर्वसमिका को लागू करने पर जहाँ x = 200, a = 4, और b = 3 है:

= 200² + 200(4 - 3) - (4 × 3) = 40000 + 200(1) - 12 = 40000 + 200 - 12 = 40200 - 12 = 40188

इसे वितरण नियम (distributive property) का उपयोग करके भी सत्यापित किया जा सकता है: 200 × 197 + 4 × 197 = 39400 + 788 = 40188।

व्याख्या

इस व्यंजक को 'घात की घात के नियम' (power of a power rule) का उपयोग करके सरल किया गया है, जो यह बताता है कि (aᵐ)ⁿ = aᵐ^·ⁿ होता है। किसी मान के n-वें मूल, ⁿ√a, को भिन्नात्मक घातांक a^¹^⁄^ₙ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इन गुणों को ((ⁿ√(x²))^ⁿ^⁄^₂)² पर लागू करने पर, व्यंजक (((x²)^¹^⁄^ₙ)^ⁿ^⁄^₂)² बन जाता है। घातांकों को क्रमिक रूप से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 2 · ¹⁄ₙ · ⁿ⁄₂ · 2 पहले तीन पदों, 2 · ¹⁄ₙ · ⁿ⁄₂, का गुणनफल सरल होकर 1 हो जाता है। इससे सबसे बाहरी कोष्ठक के अंदर पद के रूप में x¹ बचता है। अंत में, x¹ की घात 2 करने पर x² प्राप्त होता है।

व्याख्या

n का मान ज्ञात करने के लिए, घातांक के नियमों aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ और (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ का उपयोग करके समीकरण के सभी पदों को आधार 3 की घात के रूप में व्यक्त करें। समीकरण को (√3)⁵ × 9² = 3ⁿ × 3√3 के रूप में समझा गया है।

पद (√3)⁵ को (3¹^/²)⁵ = 3⁵^/² के रूप में फिर से लिखा गया है। पद 9² को (3²)² = 3⁴ के रूप में फिर से लिखा गया है। दायीं ओर, पद 3√3 को 3¹ × 3¹^/² = 3³^/² के रूप में फिर से लिखा गया है।

इन मानों को समीकरण में रखने पर: 3⁵^/² × 3⁴ = 3ⁿ × 3³^/²

प्रत्येक पक्ष के पदों को संयोजित करने के लिए गुणन नियम लागू करने पर: 3⁽⁵^/²⁺⁴⁾ = 3⁽ⁿ⁺³^/²⁾ 3¹³^/² = 3ⁿ⁺³^/²

चूंकि आधार समान हैं, इसलिए घातांकों की तुलना करने पर: 13/2 = n + 3/2 n = 13/2 - 3/2 n = 10/2 n = 5

व्याख्या

दिया गया व्यंजक p(p² + 3p + 3) है। कोष्ठक के भीतर के पदों में p को गुणा करने पर, हमें p³ + 3p² + 3p प्राप्त होता है। यह व्यंजक (p + 1)³ के द्विपद प्रसार (binomial expansion) के बहुत समान है, जो कि p³ + 3p² + 3p + 1 होता है।

1 जोड़ने और घटाने पर, इस व्यंजक को (p³ + 3p² + 3p + 1) - 1 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो सरल होकर (p + 1)³ - 1 हो जाता है।

यह दिया गया है कि p = 99, हम इस मान को सरलीकृत सूत्र में रखते हैं: (99 + 1)³ - 1 = 100³ - 1 1,000,000 - 1 = 999,999

व्याख्या

व्यंजक sin² θ + cos² θ एक मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है जो किसी भी कोण θ के लिए हमेशा 1 के बराबर होती है। चूंकि विकल्प A के रूप में 1 दिया गया है, इसलिए यह पूछे गए प्रश्न के लिए गणितीय रूप से सही उत्तर है। जबकि विकल्प B, sin⁶ θ + cos⁶ θ के विस्तार से संबंधित है, प्रश्न के मूल पाठ के आधार पर, A सही है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय समीकरण tan θ + cot θ = 2 में एक फलन और उसका व्युत्क्रम शामिल है। cot θ = (1)/(tan θ) प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण tan θ + (1)/(tan θ) = 2 हो जाता है। किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या x के लिए, समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 का केवल एक ही हल है, जो कि x = 1 है। इसे समीकरण को द्विघात रूप x² - 2x + 1 = 0 में पुनर्व्यवस्थित करके दर्शाया जा सकता है, जो सरल होकर (x - 1)² = 0 हो जाता है। इस प्रकार, tan θ = 1 है। निर्दिष्ट सीमा 0 < θ < 90° के भीतर, टैनजेंट (tangent) फलन केवल तभी 1 के बराबर होता है जब θ = 45° हो। इस मान को वापस मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर यह पुष्टि होती है कि tan 45° + cot 45° = 1 + 1 = 2।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² A = 1 - sin² A का उपयोग करके व्यंजक 1 - (cos² A)/(1 - sin A) को सरल किया गया है। अंश में इस सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक निम्न बन जाता है: 1 - (1 - sin² A)/(1 - sin A)

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) को लागू करने पर, अंश 1 - sin² A को (1 - sin A)(1 + sin A) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इस प्रतिस्थापन से प्राप्त होता है: 1 - ((1 - sin A)(1 + sin A))/(1 - sin A)

अंश और हर से उभयनिष्ठ गुणनखंड (1 - sin A) को निरस्त करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है: 1 - (1 + sin A)

कोष्ठक के भीतर ऋणात्मक चिह्न को वितरित करने पर प्राप्त होता है: 1 - 1 - sin A

अंतिम घटाव करने पर परिणाम प्राप्त होता है: -sin A

व्याख्या

यह व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) पर आधारित है। माना a = 941 और b = 149 है। दिए गए गणितीय व्यंजक को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

((a + b)² + (a - b)²)/(a² + b²)

अंश में सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(2(a² + b²))/(a² + b²)

अंश में पद (a² + b²) हर में पद (a² + b²) से कट जाता है:

(2(941² + 149²))/(941² + 149²) = 2

यह परिणाम a और b के विशिष्ट संख्यात्मक मानों से स्वतंत्र है, जब तक कि हर शून्य न हो। इस सरलीकरण को लागू करने से, जटिल गणना सीधे पूर्णांक 2 में बदल जाती है।

व्याख्या

मान लीजिए मीनार की ऊँचाई h है। जब सूर्य का उन्नतांश (उन्नयन कोण) θ₁ से θ₂ में परिवर्तित होता है, तो छाया की लंबाई में परिवर्तन d, सूत्र d = h(cotθ₂ - cotθ₁) द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मानों d = 40 मीटर, θ₂ = 30°, और θ₁ = 60° को सूत्र में रखने पर:

40 = h(cot 30° - cot 60°)

40 = h(√3 - (1)/(√(3)))

40 = h((3 - 1)/(√(3)))

40 = (2h)/(√(3))

h का मान ज्ञात करने के लिए व्यवस्थित करने पर:

2h = 40√3

h = 20√3 मीटर

व्याख्या

मीनार की ऊंचाई h, उसकी छाया की लंबाई s और सूर्य के उन्नतांश θ से त्रिकोणमितीय संबंध tan θ = h/s के माध्यम से संबंधित है। दिए गए छाया की लंबाई 9 मीटर और सूर्य के उन्नतांश 30° को सूत्र में रखने पर:

tan 30° = ʰ⁄₉

त्रिकोणमितीय स्थिरांक tan 30° = 1/√3 का उपयोग करने पर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

(1)/(√(3)) = ʰ⁄₉

दोनों पक्षों को 9 से गुणा करके h का मान ज्ञात करने पर:

h = (9)/(√(3))

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण किया जाता है:

h = 9 × √3{√3 × √3} = 9√3{3} = 3√3 मीटर।

व्याख्या

दिए गए समीकरण (½(a - b))² + ab = p(a + b)² के बाएं पक्ष का विस्तार करने पर, हमें ¼(a - b)² + ab प्राप्त होता है। बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करके, इस व्यंजक को ¼(a² - 2ab + b²) + ab के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

सरल करने के लिए, हम बाईं ओर के पदों के लिए एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं: (a² - 2ab + b² + 4ab)/(4) = (a² + 2ab + b²)/(4)

यह पहचानते हुए कि a² + 2ab + b² = (a + b)², समीकरण इस प्रकार हो जाता है: ((a + b)²)/(4) = p(a + b)²

चूंकि यह दिया गया है कि a ≠ -b, इसलिए पद (a + b)² गैर-शून्य (non-zero) है। समीकरण के दोनों पक्षों को (a + b)² से विभाजित करने पर, हमें p = ¼ प्राप्त होता है।

व्याख्या

x² - y² का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका x² - y² = (x + y)(x - y) का उपयोग करते हैं।

सबसे पहले, दिए गए दोनों समीकरणों को जोड़कर (x + y) का मान ज्ञात कीजिए: (999x + 888y) + (888x + 999y) = 1332 + 555 1887x + 1887y = 1887 पूरे समीकरण को 1887 से विभाजित करने पर x + y = 1 प्राप्त होता है।

इसके बाद, पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाकर (x - y) का मान ज्ञात कीजिए: (999x + 888y) - (888x + 999y) = 1332 - 555 111x - 111y = 777 पूरे समीकरण को 111 से विभाजित करने पर x - y = 7 प्राप्त होता है।

इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर: x² - y² = (x + y)(x - y) = 1 × 7 = 7

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों में, संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं। दिए गए कोणों की समानता m∠ ACB = m∠ MNP और m∠ ABC = m∠ MPN के आधार पर, शीर्षों की संगति A ↔ M, B ↔ P, और C ↔ N है। इससे समरूपता △ ABC ∼ △ MPN स्थापित होती है।

संगत भुजाओं का अनुपात इस प्रकार निर्धारित होता है: (AB)/(MP) = (BC)/(PN)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: (2.25)/(4.5) = (BC)/(7.5)

बाईं ओर के अनुपात को सरल करने पर: ½ = (BC)/(7.5)

BC के लिए हल करने पर: BC = (7.5)/(2) = 3.75 सेमी

व्याख्या

भुजा की लंबाई s वाले एक समबाहु त्रिभुज ABC में, भुजाओं AB, BC और AC के मध्य-बिंदु D, E और F क्रमशः s/2 लंबाई के खंड बनाते हैं। विशेष रूप से, BD = ½AB = s/2 और BE = ½BC = s/2। मध्य-बिंदु प्रमेय (Mid-point Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी लंबाई का आधा होता है। इसलिए, DF ∥ BC और DF = ½BC = s/2, जबकि EF ∥ AB और EF = ½AB = s/2। चतुर्भुज BEFD में, सम्मुख भुजाएँ समानांतर हैं (DF ∥ BE और EF ∥ BD), जो एक समांतर चतुर्भुज को परिभाषित करता है। चूंकि चारों भुजाओं की लंबाई समान है (BD = BE = EF = DF = s/2), इसलिए यह चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है। चूंकि आंतरिक कोण ∠ B 60° है (90° नहीं), इसलिए यह एक वर्ग या आयत नहीं हो सकता।

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠A = ∠C। एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠A + ∠C = 180°। पहले गुणधर्म को दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠A + ∠A = 180° प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2∠A = 180° हो जाता है। इसलिए, ∠A = 90°। इस परिणाम से यह निष्कर्ष निकलता है कि कोई भी चक्रीय समांतर चतुर्भुज एक आयत होना चाहिए।

व्याख्या

△ OAC में, भुजाएँ OA और OC बराबर हैं क्योंकि वे एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। इससे △ OAC एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है, जहाँ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं, इसलिए ∠ OAC = ∠ OCA = 20°। त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करते हुए, केंद्रीय कोण ∠ AOC = 180° - (∠ OAC + ∠ OCA) = 180° - (20° + 20°) = 140° है।

लघु चाप AC पर स्थित एक बिंदु B के लिए, ∠ ABC दीर्घ चाप AC को अंतरित करता है। वृत्त ज्यामिति के प्रमेयों के अनुसार, किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, परिधि के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। इसलिए, ∠ ABC, प्रतिवर्ती कोण ∠ AOC का आधा है। प्रतिवर्ती कोण की गणना करने पर, हमें 360° - 140° = 220° प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, ∠ ABC का माप = ½ × 220° = 110° है।