एसएससी सीजीएल टियर 1 2014 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कपड़े की वास्तविक लंबाई मापने वाले उपकरण की वास्तविक लंबाई को उसके उपयोग किए जाने की संख्या से गुणा करके निर्धारित की जाती है। एक मानक मीटर की छड़ी 100 सेमी लंबी होती है, लेकिन चूंकि यह विशिष्ट छड़ी एक सेमी छोटी है, इसलिए इसकी वास्तविक लंबाई 100 सेमी - 1 सेमी = 99 सेमी है। 100 मीटर का दर्ज किया गया माप यह दर्शाता है कि छड़ी का उपयोग ठीक 100 बार किया गया था, क्योंकि 100 मीटर / 1 मीटर प्रति छड़ी = 100 बार उपयोग। सेंटीमीटर में कुल वास्तविक लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं:

वास्तविक लंबाई = उपयोग की संख्या × प्रति उपयोग वास्तविक लंबाई

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

वास्तविक लंबाई = 100 × 99 सेमी = 9,900 सेमी

यह गणना दर्ज किए गए कपड़े के प्रत्येक मीटर के लिए उपकरण में 1 सेमी की कमी को ध्यान में रखकर माप की त्रुटि को ठीक करती है।

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। दिए गए समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ a = 60 मीटर और b = 40 मीटर हैं, और एक विकर्ण d = 80 मीटर है, ये तीनों लंबाइयाँ ऐसे ही एक त्रिभुज की भुजाएँ बनाती हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम हीरोन के सूत्र (Heron's formula) का उपयोग करते हैं।

सबसे पहले, त्रिभुज के अर्ध-परिमाप s की गणना करें: s = (a + b + d)/(2) = (60 + 40 + 80)/(2) = ¹⁸⁰⁄₂ = 90 मीटर

अब, हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल Δ ज्ञात करें: Δ = √(s(s - a)(s - b)(s - d)) Δ = √(90(90 - 60)(90 - 40)(90 - 80)) Δ = √(90 × 30 × 50 × 10) Δ = √(1350000) Δ = √(90000 × 15) Δ = 300√(15) वर्ग मीटर

चूंकि समांतर चतुर्भुज में ऐसे दो सर्वांगसम त्रिभुज होते हैं, इसलिए कुल क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = 2 × Δ = 2 × 300√(15) = 600√(15) वर्ग मीटर

व्याख्या

जब लाभ प्रतिशत और छूट प्रतिशत दोनों दिए गए हों, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा परिभाषित होता है: MP = CP × (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ CP = 3,200, लाभ = 25%, और छूट = 20%:

MP = 3200 × (100 + 25)/(100 - 20)

MP = 3200 × ¹²⁵⁄₈₀

3,200 को 80 से विभाजित करने पर 40 प्राप्त होता है। इसलिए:

MP = 40 × 125 = 5,000

वैकल्पिक रूप से, 3,200 पर 25% लाभ के लिए आवश्यक विक्रय मूल्य 3200 + 800 = 4,000 है। चूंकि अंकित मूल्य पर 20% की छूट दी जाती है, इसलिए विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 80% दर्शाता है। 0.8 × MP = 4000 को हल करने पर MP = 5,000 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: (MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)

समीकरण में दिए गए मानों CP = 210, लाभ% = 20, और छूट% = 12.5 को रखने पर: (MP)/(210) = (100 + 20)/(100 - 12.5) (MP)/(210) = (120)/(87.5)

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए: MP = 210 × (120)/(87.5) MP = 210 × ¹²⁰⁰⁄₈₇₅

1200 और 875 दोनों को 25 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर: MP = 210 × ⁴⁸⁄₃₅ MP = 6 × 48 = 288

वैकल्पिक रूप से, क्रय मूल्य में 20% लाभ जोड़कर विक्रय मूल्य (SP) ज्ञात किया जा सकता है: SP = 210 + (210 का 20%) = 210 + 42 = 252। चूंकि अंकित मूल्य पर 12.5% (जो कि भिन्न 1/8 के बराबर है) की छूट दी जाती है, इसलिए विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 1 - 1/8 = 7/8 है: ⅞ × MP = 252 MP = (252 × 8)/(7) MP = 36 × 8 = 288

व्याख्या

जब छूट प्रतिशत (d) और लाभ प्रतिशत (p) दिए गए हों, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(MP)/(CP) = (100 + p)/(100 - d)

यह देखते हुए कि व्यवसायी 17% का लाभ (p = 17) चाहता है और 10% की छूट (d = 10) देता है, इन मानों को अनुपात में रखें:

(MP)/(CP) = (100 + 17)/(100 - 10) = ¹¹⁷⁄₉₀

दोनों पदों को 9 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:

(MP)/(CP) = ¹³⁄₁₀

मूल्यवृद्धि प्रतिशत (Markup%) यह दर्शाता है कि अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP) से कितना अधिक है। इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

मूल्यवृद्धि% (Markup%) = (MP - CP)/(CP) × 100 = ((MP)/(CP) - 1) × 100

मूल्यवृद्धि% (Markup%) = (¹³⁄₁₀ - 1) × 100 = ³⁄₁₀ × 100 = 30%

वैकल्पिक रूप से, प्रत्यक्ष मूल्यवृद्धि सूत्र का उपयोग किया जा सकता है:

मूल्यवृद्धि% (Markup%) = (लाभ% + छूट%)/(100 - छूट%) × 100 = (17 + 10)/(100 - 10) × 100 = ²⁷⁄₉₀ × 100 = 30%

व्याख्या

बिना किसी खाली स्थान के एक ढेर में ईंटों की कुल संख्या, ढेर के कुल आयतन और एक ईंट के आयतन का अनुपात होती है।

सबसे पहले, ढेर के कुल आयतन को घन सेंटीमीटर में बदलें। चूंकि 1 m³ = 1,000,000 cm³ है, इसलिए कुल आयतन है: Vₚᵢₗₑ = 20 × 1,000,000 = 20,000,000 cm³

इसके बाद, दिए गए आयामों का उपयोग करके एक ईंट के आयतन की गणना करें: V_bᵣᵢ_cₖ = 25 cm × 12.5 cm × 8 cm चूंकि 12.5 × 8 = 100 है, इसलिए गणना इस प्रकार होगी: V_bᵣᵢ_cₖ = 25 × 100 = 2,500 cm³

ईंटों की संख्या n निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है: n = Vₚᵢₗₑ / V_bᵣᵢ_cₖ n = (20,000,000)/(2,500) n = (200,000)/(25) n = 8,000

व्याख्या

माना संस्थान में कर्मचारियों की कुल संख्या N है। अधिकारियों को छोड़कर कर्मचारियों की संख्या N - 12 है। सभी कर्मचारियों के वेतन का योग दोनों उप-समूहों के वेतन के योग के बराबर होना चाहिए।

60 × N = (12 × 400) + (N - 12) × 56 60N = 4800 + 56N - 672 60N - 56N = 4128 4N = 4128 N = 1032

मिश्रण (alligation) की विधि का उपयोग करते हुए, अधिकारियों की संख्या और शेष कर्मचारियों की संख्या का अनुपात उनके व्यक्तिगत औसत और समग्र औसत के बीच के अंतर से निर्धारित होता है: अनुपात (अधिकारी : शेष) = (60 - 56) : (400 - 60) अनुपात = 4 : 340 = 1 : 85

चूंकि 1 भाग के संगत अधिकारियों की संख्या 12 है, इसलिए 85 भागों के संगत शेष कर्मचारियों की संख्या 85 × 12 = 1020 है। संस्थान में कर्मचारियों की कुल संख्या इन दोनों समूहों का योग है: 12 + 1020 = 1032।

व्याख्या

उत्पादन लागत (CP) की गणना अंकित मूल्य (MP) पर लागू 30% मूल्य वृद्धि को उलट कर की जाती है। CP = (MP)/(1 + 30){100} = (286)/(1.3) = 220

प्रभावी लाभ प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ x = 30 (मूल्य वृद्धि) और y = -10 (छूट) है। प्रभावी लाभ % = 30 - 10 - (30 × 10)/(100) = 17%

कुल लाभ उत्पादन लागत का 17% है। लाभ = ¹⁷⁄₁₀₀ × 220 = 37.40

व्याख्या

दो उम्मीदवारों वाले एक चुनाव में, यदि विजेता को कुल मतों का 84% प्राप्त होता है, तो शेष मत प्रतिद्वंद्वी को मिलते हैं। हारने वाले का हिस्सा = 100% - 84% = 16% है। बहुमत या जीत का अंतर विजेता के प्रतिशत और हारने वाले के प्रतिशत के बीच का अंतर है।

बहुमत प्रतिशत = 84% - 16% = 68%

हमें दिया गया है कि यह 68% बहुमत 476 मतों के बराबर है। माना डाले गए मतों की कुल संख्या x है।

x का 68% = 476

⁶⁸⁄₁₀₀ × x = 476

x = (476 × 100)/(68)

x = 7 × 100

x = 700

व्याख्या

एक ही समय और स्थान पर वस्तुओं द्वारा बनने वाली छाया की लंबाई उनकी संबंधित ऊंचाई के समानुपाती होती है क्योंकि सूर्य का उन्नयन कोण समान होता है। इससे समरूप समकोण त्रिभुज बनते हैं जहाँ ऊंचाई और छाया की लंबाई का अनुपात स्थिर रहता है:

(व्यक्ति की ऊंचाई)/(व्यक्ति की छाया) = (खंभे की ऊंचाई)/(खंभे की छाया)

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

¹⁶⁹⁄₁₃₀ = (खंभे की ऊंचाई)/(420)

व्यक्ति के लिए भिन्न को सरल करने पर:

¹⁶⁹⁄₁₃₀ = ¹³⁄₁₀ = 1.3

खंभे की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, इसकी छाया की लंबाई को इस अनुपात से गुणा करें:

खंभे की ऊंचाई = 1.3 × 420 = 546 सेमी

व्याख्या

राशि को विभाजित करने का अभीष्ट अनुपात 1/4 : 1/5 : 1/6 है। इसे सरल बनाने के लिए, प्रत्येक पद को हरों 4, 5 और 6 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 60 है। अनुपात 15 : 12 : 10 हो जाता है। इस अनुपात में कुल भाग 15 + 12 + 10 = 37 हैं। C का अभीष्ट हिस्सा (10 / 37) × 555 है। चूंकि 555 / 37 = 15 है, इसलिए C का अभीष्ट हिस्सा 10 × 15 = 150 है।

गलती से उपयोग किया गया अनुपात 4 : 5 : 6 है। इस अनुपात में कुल भाग 4 + 5 + 6 = 15 हैं। गलत अनुपात के तहत C का वास्तविक हिस्सा (6 / 15) × 555 है। चूंकि 555 / 15 = 37 है, इसलिए C का वास्तविक हिस्सा 6 × 37 = 222 है।

C द्वारा प्राप्त अतिरिक्त राशि वास्तविक हिस्से और अभीष्ट हिस्से के बीच का अंतर है, जिसकी गणना 222 - 150 = 72 के रूप में की जाती है।

व्याख्या

मूल 50 संख्याओं का योग, कुल संख्या को औसत से गुणा करके निकाला जाता है: 50 × 38 = 1900। जब दो संख्याओं 45 और 55 को हटा दिया जाता है, तो उनके कुल मान 45 + 55 = 100 को योग में से घटा दिया जाता है। शेष 50 - 2 = 48 संख्याओं का नया योग 1900 - 100 = 1800 है। नया औसत ज्ञात करने के लिए, शेष योग को शेष संख्या से विभाजित करें:

नया औसत = ¹⁸⁰⁰⁄₄₈

अंश और हर दोनों को 12 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर ¹⁵⁰⁄₄ प्राप्त होता है, जो 37.5 के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, हटाई गई संख्याओं का मूल औसत से कुल विचलन (45 - 38) + (55 - 38) = 7 + 17 = 24 अधिक है। इस अतिरिक्त मान को हटाने से शेष 48 संख्याओं का औसत ²⁴⁄₄₈ = 0.5 कम हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 38 - 0.5 = 37.5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

प्रश्न के अनुसार, अज्ञात समय T के लिए 3% की दर से 8,000 रुपये पर अर्जित ब्याज, 5 वर्षों के लिए 4% की दर से 6,000 रुपये पर अर्जित ब्याज के बराबर है।

दोनों ब्याजों को बराबर रखने पर: (8000 × 3 × T)/(100) = (6000 × 4 × 5)/(100)

उभयनिष्ठ हर 100 को हटाने और समीकरण को सरल बनाने पर: 8000 × 3 × T = 6000 × 4 × 5 24000 × T = 120000

T का मान ज्ञात करने के लिए, कुल ब्याज मान को पहले मूलधन और दर के गुणनफल से विभाजित करें: T = ¹²⁰⁰⁰⁰⁄₂₄₀₀₀ T = 5

व्याख्या

व्यंजक x + ¹⁄ₓ का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दिए गए व्यंजक को एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) पर पदों को मिलाकर सरल करें:

x + ¹⁄ₓ = (x² + 1)/(x)

किसी गणितीय व्यंजक के व्युत्क्रम को उसके गुणात्मक प्रतिलोम (multiplicative inverse), या 1 को उस व्यंजक से भाग देने के रूप में परिभाषित किया जाता है। किसी भी भिन्न (a)/(b) के लिए, व्युत्क्रम ᵇ⁄ₐ होता है। इस परिभाषा को सरलीकृत व्यंजक (x² + 1)/(x) पर लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(1)/(x² + 1){x} = (x)/(x² + 1)

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (a³ - b³)/(a² + ab + b²) का अनुसरण करता है। माना a = 2.75 और b = 2.25 है। अंश a³ - b³ के रूप में है, जिसे सूत्र a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है।

इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

((a - b)(a² + ab + b²))/(a² + ab + b²)

अंश और हर में पद (a² + ab + b²) निरस्त हो जाते हैं, जिससे केवल (a - b) बचता है। a और b के मान प्रतिस्थापित करने पर:

2.75 - 2.25 = 0.50

दशमलव 0.50 को भिन्न में बदलने पर, हमें ½ प्राप्त होता है।

व्याख्या

सबसे आंतरिक भाग से बाहर की ओर क्रमिक रूप से भिन्नों को हल करके व्यंजक को सरल बनाएं। सबसे आंतरिक हर 1 + (a)/(1 - a) है, जो सरल होकर (1 - a + a)/(1 - a) = 1/(1 - a) हो जाता है।

इसके बाद, इसे मध्य पद में प्रतिस्थापित करें: 1/(1/(1 - a)) = 1 - a।

इस परिणाम को मुख्य हर में प्रतिस्थापित करने पर 1 - (1 - a) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 1 - 1 + a = a हो जाता है।

अब पूरा व्यंजक 1 - a/a हो जाता है। चूंकि किसी भी गैर-शून्य मान को स्वयं से विभाजित करने पर 1 प्राप्त होता है, इसलिए व्यंजक घटकर 1 - 1 = 0 हो जाता है।

व्याख्या

व्यंजक को हल करने के लिए, सभी पदों को 3 के एक समान आधार के रूप में व्यक्त करें। यह देखते हुए कि 243 = 3⁵ और 9 = 3², इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

((3⁵)^ᶠʳᵃᶜ^ⁿ^⁾^^^/^⁽^⁵^⁾ ^× ³^²^ⁿ^⁺^¹{(3²)ⁿ × 3ⁿ⁻¹}

अंश के पहले पद और हर के पहले पद को सरल करने के लिए घात के घात नियम (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ को लागू करें:

3ⁿ × 3²ⁿ⁺¹{3²ⁿ × 3ⁿ⁻¹}

घातांक के नियमों के अनुसार, समान आधार वाले पदों का गुणा करते समय, उनके घातांकों को जोड़ दिया जाता है (aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ)।

अंश: 3ⁿ⁺²ⁿ⁺¹ = 3³ⁿ⁺¹ हर: 3²ⁿ⁺ⁿ⁻¹ = 3³ⁿ⁻¹

अब व्यंजक इस प्रकार है:

3³ⁿ⁺¹{3³ⁿ⁻¹}

समान आधार वाले पदों को विभाजित करते समय, अंश के घातांक में से हर के घातांक को घटाएं ((aᵐ)/(aⁿ) = aᵐ⁻ⁿ):

3⁽³ⁿ⁺¹⁾⁻⁽³ⁿ⁻¹⁾ = 3³ⁿ⁺¹⁻³ⁿ⁺¹ = 3²

अंतिम मान की गणना करने पर:

3² = 9

व्याख्या

चाल को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मीटर/सेकंड) में बदलने के लिए, मान को परिवर्तन कारक 5/18 से गुणा किया जाता है। यह कारक इस संबंध से प्राप्त होता है कि 1 किलोमीटर = 1000 मीटर और 1 घंटा = 3600 सेकंड, जिससे 1 किमी/घंटा = 1000/3600 मीटर/सेकंड = 5/18 मीटर/सेकंड होता है।

दी गई चाल के लिए इस सूत्र का उपयोग करने पर: मीटर/सेकंड में चाल = 45 × ⁵⁄₁₈

भिन्न को सरल करने पर: मीटर/सेकंड में चाल = (45 × 5)/(18) = (5 × 5)/(2) = ²⁵⁄₂ = 12.5

व्याख्या

किसी यात्रा में लगने वाला समय T, सूत्र T = (दूरी)/(चाल) द्वारा निर्धारित किया जाता है। प्रश्न के मापदंडों के आधार पर, यह मानते हुए कि स्थान X और स्थान Y के बीच की दूरी 110 किमी है, 55 किमी/घंटा की चाल से लगने वाला प्रारंभिक समय है: T₁ = (110 किमी)/(55 किमी/घंटा) = 2 घंटे = 120 मिनट

यदि ट्रेन की चाल में 11 किमी/घंटा की वृद्धि की जाती है, तो नई चाल हो जाती है: V₂ = 55 किमी/घंटा + 11 किमी/घंटा = 66 किमी/घंटा

इस बढ़ी हुई चाल पर लगने वाला समय है: T₂ = (110 किमी)/(66 किमी/घंटा) = ⁵⁄₃ घंटे = 100 मिनट

यात्रा के समय में हुई कमी, प्रारंभिक समय और नए समय का अंतर है: कमी = 120 मिनट - 100 मिनट = 20 मिनट

व्याख्या

धनात्मक वास्तविक संख्याओं a, b, c के लिए समांतर माध्य - हरात्मक माध्य (AM-HM) असमिका यह बताती है कि (a + b + c)/(3) ≥ (3)/(1){a + (1)/(b) + (1)/(c)}। यह संबंध यह दर्शाता है कि संख्याओं का औसत हमेशा उनके हरात्मक औसत से बड़ा या उसके बराबर होता है।

दिए गए प्रतिबंध a + b + c = 1 के अंतर्गत, हम इस मान को सीधे AM-HM असमिका में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

⅓ ≥ (3)/(1){a + (1)/(b) + (1)/(c)}

व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 3 और (¹⁄ₐ + (1)/(b) + (1)/(c)) से गुणा करके असमिका को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

¹⁄ₐ + (1)/(b) + (1)/(c) ≥ 3 × 3

¹⁄ₐ + (1)/(b) + (1)/(c) ≥ 9

समता तब लागू होती है, और इस प्रकार न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है, जब चर समान होते हैं। a = b = c = ⅓ के लिए, योग (1)/(1/3) + (1)/(1/3) + (1)/(1/3) = 3 + 3 + 3 = 9 है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, अंतः कोणों का योग हमेशा ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° होता है। हमें दो समीकरण दिए गए हैं: ∠ A + ∠ B = 118° और ∠ A + ∠ C = 96°। इन दोनों समीकरणों को आपस में जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:

(∠ A + ∠ B) + (∠ A + ∠ C) = 118° + 96° 2∠ A + ∠ B + ∠ C = 214°

इस व्यंजक को ∠ A + (∠ A + ∠ B + ∠ C) = 214° के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। त्रिभुज के कोणों का योग 180° होने के गुण को प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

∠ A + 180° = 214° ∠ A = 214° - 180° ∠ A = 34°

व्याख्या

Δ ABC में, चूंकि AD ⊥ BC है, इसलिए शीर्षलंब AD दो समकोण त्रिभुज, Δ ABD और Δ ACD बनाता है, जिसमें दोनों त्रिभुज शीर्ष D पर समकोण साझा करते हैं। Δ ABD में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, कर्ण AB के वर्ग को AB² = AD² + BD² के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसी प्रकार, Δ ACD में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, कर्ण AC के वर्ग को AC² = AD² + CD² के रूप में व्यक्त किया जाता है।

AB² + CD² का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले त्रिभुज से AB² के व्यंजक को इस योग में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: AB² + CD² = (AD² + BD²) + CD²

योग के साहचर्य नियम (associative property) का उपयोग करके पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम दूसरे समकोण त्रिभुज से संबंधित पदों को समूहित करते हैं: AB² + CD² = BD² + (AD² + CD²)

Δ ACD से ज्ञात संबंध AD² + CD² = AC² को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम अंतिम परिणाम पर पहुँचते हैं: AB² + CD² = BD² + AC²

व्याख्या

समबाहु त्रिभुज ABC में, प्रत्येक आंतरिक कोण 60° होता है, इसलिए ∠ ACB = 60°। चूंकि CD, ∠ C का आंतरिक समद्विभाजक है, इसलिए ∠ ACD = (60°)/(2) = 30° होगा। चूंकि DC को E तक बढ़ाया गया है, इसलिए बिंदु D, C और E एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, जिसका अर्थ है कि ∠ ACD और ∠ ACE संपूरक कोण हैं। इसलिए, ∠ ACE = 180° - ∠ ACD = 180° - 30° = 150°।

त्रिभुज ACE में, यह दिया गया है कि AC = CE है, जिससे यह एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है जहाँ ∠ CAE = ∠ CEA है। त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार, △ ACE में कोणों का योग 180° होता है। इस प्रकार, ∠ ACE + ∠ CAE + ∠ CEA = 180°। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 150° + 2∠ CAE = 180° प्राप्त होता है। ∠ CAE के लिए हल करने पर 2∠ CAE = 30° प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप ∠ CAE = 15° होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x(x - 3) = -1 को हम x² - 3x = -1 के रूप में विस्तारित कर सकते हैं। संपूर्ण समीकरण को x से विभाजित करने पर, हमें x - 3 = -1/x प्राप्त होता है, जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर x + 1/x = 3 लिखा जा सकता है।

व्यंजक x³(x³ - 18) का मान ज्ञात करने के लिए, हम योग के घन के बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)। इसे x + 1/x = 3 पर लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: (x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3(x)(1/x)(x + 1/x) 3³ = x³ + 1/x³ + 3(3) 27 = x³ + 1/x³ + 9 x³ + 1/x³ = 18

इस परिणाम को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि x³ - 18 = -1/x³। दोनों पक्षों को x³ से गुणा करने पर, हम अभीष्ट मान पर पहुँचते हैं: x³(x³ - 18) = -1

व्याख्या

इस मान की गणना द्विपद योग के घन की बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके की जाती है: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³।

a = 1000 और b = 1 रखने पर, व्यंजक (1001)³ को (1000 + 1)³ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (1000 + 1)³ = (1000)³ + 3(1000)²(1) + 3(1000)(1)² + (1)³

प्रत्येक पद की अलग-अलग गणना करने पर: (1000)³ = 1,000,000,000 3(1000)² = 3,000,000 3(1000) = 3,000 1³ = 1

इन भागों को जोड़ने पर प्राप्त परिणाम: 1,000,000,000 + 3,000,000 + 3,000 + 1 = 1,003,003,001

यह विधि आधार को दस की घात और एक छोटे पूर्णांक में विभाजित करके समस्या को हल करने का एक सीधा तरीका प्रदान करती है, जो लंबी गुणा की तुलना में अंकगणित को काफी सरल बनाती है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण a(2 + √3) = b(2 - √3) है। हम जानते हैं कि (2 + √3)(2 - √3) = 2² - (√3)² = 4 - 3 = 1 है। इसका तात्पर्य यह है कि 2 + √3 और 2 - √3 एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

गुणनफल a(2 + √3) = b(2 - √3) = 1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है कि a = (1)/(2 + √(3)) = 2 - √3 और b = (1)/(2 - √(3)) = 2 + √3। परिणामस्वरूप, उनका गुणनफल ab = (2 - √3)(2 + √3) = 1 है, जिसका अर्थ है b² = (1)/(a²)।

वांछित व्यंजक में b² = (1)/(a²) का मान रखने पर: (1)/(a² + 1) + (1)/(b² + 1) = (1)/(a² + 1) + (1)/((1/a²) + 1) = (1)/(a² + 1) + (a²)/(1 + a²) = (1 + a²)/(a² + 1) = 1

व्याख्या

इसमें शामिल त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान sin 60° = √3/2, sec 60° = 2, tan 30° = (1)/(√(3)), sin 45° = (1)/(√(2)), और tan 60° = √3 हैं। इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर:

x (√3/2)² - ³⁄₂ (2) ((1)/(√(3)))² + ⅘ ((1)/(√(2)))² (√3)² = 0

प्रत्येक पद को सरल करने पर:

x (¾) - ³⁄₂ (2) (⅓) + ⅘ (½) (3) = 0

³ˣ⁄₄ - 1 + ⁶⁄₅ = 0

एक समान हर (common denominator) का उपयोग करके अचर पदों को जोड़ने पर:

³ˣ⁄₄ + (-5 + 6)/(5) = 0

³ˣ⁄₄ + ⅕ = 0

³ˣ⁄₄ = -⅕

x = -⅕ · ⁴⁄₃ = -⁴⁄₁₅

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, भुजा AB, ∠ C के सम्मुख लंब को दर्शाती है, और AC कर्ण को दर्शाती है। ज्या (sine) के त्रिकोणमितीय अनुपात के अनुसार, sin C = (AB)/(AC) होता है। यह दिया गया है कि ∠ C = 30° और AB = 6 इकाई है, सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर sin 30° = (6)/(AC) प्राप्त होता है। मानक त्रिकोणमितीय मान sin 30° = ½ का उपयोग करने पर, समीकरण ½ = (6)/(AC) हो जाता है। AC के लिए हल करने पर, हमें AC = 6 × 2 = 12 इकाई प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक अर्धवृत्त में, व्यास द्वारा परिधि पर अंतरित कोई भी कोण समकोण होता है। इसलिए, ∠ ACB = 90°, जो △ ABC को एक समकोण त्रिभुज बनाता है जिसमें व्यास AB इसका कर्ण है। दिया गया अनुपात AC:BC = 3:4 है, माना AC = 3x और BC = 4x। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

AC² + BC² = AB² (3x)² + (4x)² = 5² 9x² + 16x² = 25 25x² = 25 x = 1

दोनों भुजाओं की लंबाई AC = 3 सेमी और BC = 4 सेमी है। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई क्षेत्रफल = ½ × 3 × 4 = 6 वर्ग सेमी।

व्याख्या

चूंकि OA, OB, और OC एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए OA = OB = OC होगा। यह समानता △ OAB और △ OAC को समद्विबाहु त्रिभुज बनाती है। △ OAB में, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ OAB = ∠ OBA। त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करने पर: ∠ OAB = (180° - ∠ AOB)/(2) = (180° - 90°)/(2) = 45°

इसी प्रकार, △ OAC में, चूंकि OA = OC है, इसलिए ∠ OAC = ∠ OCA होगा: ∠ OAC = (180° - ∠ AOC)/(2) = (180° - 110°)/(2) = 35°

प्रश्न में निर्दिष्ट है कि केंद्र O, ∠ BAC के अभ्यंतर में स्थित है। इस ज्यामितीय विन्यास का अर्थ है कि किरण AO, किरणों AB और AC के बीच स्थित है। इसलिए, कुल कोण ∠ BAC, कोणों ∠ OAB और ∠ OAC का योग है: ∠ BAC = ∠ OAB + ∠ OAC = 45° + 35° = 80°

व्याख्या

एक पाई चार्ट एक वृत्ताकार सांख्यिकीय आरेख है जिसका उपयोग वृत्त को त्रिज्यखंडों (सेक्टरों) में विभाजित करके संख्यात्मक अनुपातों को दर्शाने के लिए किया जाता है। इस निरूपण में, पूरा वृत्त डेटा के कुल योग को दर्शाता है, जबकि प्रत्येक व्यक्तिगत त्रिज्यखंड एक विशिष्ट श्रेणी या घटक का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक त्रिज्यखंड के केंद्रीय कोण की गणना सूत्र θ = (घटक मान)/(कुल मान) × 360° का उपयोग करके की जाती है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई संपूर्ण के सापेक्ष उसके द्वारा दर्शाई जाने वाली मात्रा के सीधे आनुपातिक हो। यह प्रारूप किसी डेटासेट की संरचना को देखने और विभिन्न भागों के सापेक्ष आकारों की तुलना करने के लिए प्रभावी है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरण में मानक त्रिकोणमितीय अनुपातों का मान रखते हैं: csc 30° = 2, sin 60° = √3/2, और tan 30° = 1/√3।

इन मानों को समीकरण 2 csc² 30° + x sin² 60° - ¾ tan² 30° = 10 में रखने पर:

2(2)² + x(√3/2)² - ¾((1)/(√(3)))² = 10

2(4) + x(¾) - ¾(⅓) = 10

8 + ³ˣ⁄₄ - ¼ = 10

दोनों पक्षों से 8 घटाने पर:

(3x - 1)/(4) = 2

4 से गुणा करने पर:

3x - 1 = 8

3x = 9

x = 3

व्याख्या

व्यंजक tan² Θ - sec² Θ का मान सीधे मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + tan² Θ = sec² Θ से प्राप्त होता है। इस सर्वसमिका के पदों को पुनर्व्यवस्थित करके, हम दोनों पक्षों से sec² Θ घटाते हैं और अचर 1 को दाईं ओर ले जाते हैं, जिससे tan² Θ - sec² Θ = -1 प्राप्त होता है।

यह सर्वसमिका Θ के उन सभी मानों के लिए सत्य है जिनके लिए ये फलन परिभाषित हैं, जिससे अंतिम गणना के लिए विशिष्ट शर्त 2 sin Θ + cos Θ = 7/3 अप्रासंगिक हो जाती है। व्यंजक का मान एक अचर है और समीकरण में दिए गए Θ के विशिष्ट मान पर निर्भर नहीं करता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 29 tan Θ = 31 है, जिससे प्राप्त होता है tan Θ = ³¹⁄₂₉। हल किया जाने वाला व्यंजक है:

(1 + 2 sin Θ cos Θ)/(1 - 2 sin Θ cos Θ)

सर्वसमिका sin² Θ + cos² Θ = 1 का उपयोग करने पर, व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

sin² Θ + cos² Θ + 2 sin Θ cos Θ{sin² Θ + cos² Θ - 2 sin Θ cos Θ} = (sin Θ + cos Θ)²{(sin Θ - cos Θ)²}

इसे tan Θ के पदों में सरल करने के लिए, अंश और हर दोनों को cos² Θ से विभाजित करें:

((sin Θ)/(cos Θ) + (cos Θ)/(cos Θ))²{((sin Θ)/(cos Θ) - (cos Θ)/(cos Θ))²} = ( (tan Θ + 1)/(tan Θ - 1) )²

tan Θ = ³¹⁄₂₉ प्रतिस्थापित करने पर:

( (31)/(29) + 1{³¹⁄₂₉ - 1} )² = ( (31 + 29)/(29){(31 - 29)/(29)} )² = ( ⁶⁰⁄₂ )² = 30² = 900

व्याख्या

वर्णनात्मक सांख्यिकी में, गुणात्मक या श्रेणीबद्ध चरों के वितरण को दर्शाने के लिए एक दंड आरेख (bar chart) का उपयोग किया जाता है। श्रेणियों को क्षैतिज अक्ष पर रखा जाता है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष प्रत्येक श्रेणी के परिमाण को मापता है। प्रत्येक दंड की ऊंचाई वर्ग आवृत्ति को दर्शा सकती है, जो उस श्रेणी के भीतर प्रेक्षणों की मूल संख्या होती है। यह वर्ग सापेक्ष आवृत्ति को भी दर्शा सकती है, जिसे सूत्र 'सापेक्ष आवृत्ति = f/n' द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ f वर्ग की आवृत्ति है और n प्रेक्षणों की कुल संख्या है। इसके अतिरिक्त, ऊंचाई वर्ग प्रतिशत को भी दर्शा सकती है, जो कि केवल प्रतिशत के रूप में व्यक्त की गई सापेक्ष आवृत्ति (सापेक्ष आवृत्ति × 100) है। चूंकि ये तीनों माप डेटा श्रेणियों का एक वैध आनुपातिक प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं, इसलिए इन सभी का उपयोग आमतौर पर दंड की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए किया जाता है।