आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2026 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

X का क्रय मूल्य = ₹1,000 X का विक्रय मूल्य = 1,000 + 337 = ₹1,337

15% और 30% की दो क्रमिक छूट के बाद, अंकित मूल्य (MP) के संदर्भ में X का विक्रय मूल्य है: X का SP = MP × (1 − 0.15) × (1 − 0.30) = MP × 0.85 × 0.70 = MP × 0.595

49% की एकल छूट के बाद, Y का विक्रय मूल्य है: Y का SP = MP × (1 − 0.49) = MP × 0.51

Y के SP और X के SP का अनुपात लेने पर: Y का SP / X का SP = 0.51 / 0.595 = 6 / 7

Y का SP = 1,337 × (6 / 7) = 191 × 6 = ₹1,146

Y के CP = ₹1,000 के साथ: Y पर लाभ = 1,146 − 1,000 = ₹146 Y पर लाभ प्रतिशत = (146 / 1,000) × 100 = 14.6%

व्याख्या

दो संख्याओं का गुणनफल उनके म.स.प. और ल.स.प. के गुणनफल के बराबर होता है। ab = म.स.प. × ल.स.प. = 3 × 1350 = 4050

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (b - a)² = (a + b)² - 4ab (b - a)² = 129² - 4 × 4050 (b - a)² = 16641 - 16200 = 441

चूंकि a < b, इसलिए b - a = √441 = 21।

अब, 1/a - 1/b की गणना करें: 1/a - 1/b = (b - a) / ab = 21 / 4050 = 7 / 1350

व्याख्या

वर्ग की भुजा = √3969 = 63 सेमी।

वर्ग का परिमाप = 4 × 63 = 252 सेमी।

चूंकि वर्ग का परिमाप सम षट्भुज के परिमाप के बराबर है: सम षट्भुज की भुजा = 252 / 6 = 42 सेमी।

सम षट्भुज का क्षेत्रफल = (3√3 / 2) × भुजा² = (3√3 / 2) × 42² = (3√3 / 2) × 1764 = 3√3 × 882 = 2646√3 सेमी²

व्याख्या

प्रति पंक्ति शब्दों की संख्या = 36 / 4 = 9 शब्द।

93 पंक्तियों में शब्दों की कुल संख्या = 93 × 9 = 837 शब्द।

व्याख्या

जब कोई यात्रा समान दूरियों को v₁ और v₂ गति से तय करती है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति हार्मोनिक माध्य सूत्र द्वारा दी जाती है:

v_avg = (2 × v₁ × v₂) / (v₁ + v₂)

सूत्र में v₁ = 144 किमी/घंटा और v_avg = 126 किमी/घंटा प्रतिस्थापित करने पर:

126 = (2 × 144 × v₂) / (144 + v₂)

दोनों पक्षों को 18 से विभाजित करके सरल बनाने पर:

7 = (16 × v₂) / (144 + v₂)

7 × (144 + v₂) = 16 × v₂

1008 + 7 × v₂ = 16 × v₂

9 × v₂ = 1008

v₂ = 112 किमी/घंटा

व्याख्या

2 वर्ष बाद जनसंख्या = प्रारंभिक जनसंख्या × (1 + r₁/100) × (1 + r₂/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: जनसंख्या = 2,90,000 × (105/100) × (130/100) = 2,90,000 × 1.05 × 1.3 = 2,90,000 × 1.365 = 3,95,850

व्याख्या

समूहीकृत आवृत्ति वितरण का बहुलक सूत्र द्वारा दिया जाता है:

बहुलक = L + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h

बहुलकी वर्ग 20-30 है क्योंकि इसकी आवृत्ति (36) सर्वाधिक है।

बहुलकी वर्ग की निम्न सीमा (L) = 20 बहुलकी वर्ग की आवृत्ति (f₁) = 36 पूर्ववर्ती वर्ग की आवृत्ति (f₀) = 16 अनुवर्ती वर्ग की आवृत्ति (f₂) = 34 वर्ग अंतराल की चौड़ाई (h) = 10

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

बहुलक = 20 + [(36 - 16) / (2 × 36 - 16 - 34)] × 10 बहुलक = 20 + [20 / (72 - 50)] × 10 बहुलक = 20 + (20 / 22) × 10 बहुलक = 20 + 9.0909 = 29.09

व्याख्या

धारा के साथ गति = दूरी / समय = 120 / 6 = 20 किमी/ घंटा धारा के विपरीत गति = दूरी / समय = 120 / 10 = 12 किमी/ घंटा

शांत जल में नाव की गति = ½ × (धारा के साथ गति + धारा के विपरीत गति) = ½ × (20 + 12) = 16 किमी/ घंटा

व्याख्या

जब दो समानांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा द्वारा काटा जाता है, तो एकांतर अंतः कोण माप में बराबर होते हैं। इसलिए, यदि एक एकांतर अंतः कोण का माप 65° है, तो संगत एकांतर अंतः कोण का माप भी 65° होगा।

व्याख्या

जब दो समानांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करती है, तो एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं। इस विन्यास में, ∠AMN और ∠MND तिर्यक रेखा PQ के विपरीत दिशाओं में AB और CD के बीच स्थित एकांतर अंतः कोण हैं। इसलिए, ∠AMN = ∠MND = 47°।

व्याख्या

अंकुर की गति = 5/3 मी/से महिमा की गति = 25/12 मी/से ट्रैक X और ट्रैक Y की कुल लंबाई = 0.325 किमी = 325 मी

चूंकि समय = दूरी / गति, अंकुर द्वारा ट्रैक X के 9 चक्कर लगाने में लिया गया समय और महिमा द्वारा ट्रैक Y के 5 चक्कर लगाने में लिया गया समय बराबर है: (9 × Lx) / (5/3) = (5 × Ly) / (25/12) 27 Lx / 5 = 12 Ly / 5 27 Lx = 12 Ly Lx / Ly = 4 / 9

Lx + Ly = 325 मी का उपयोग करके: Lx = 325 × 4 / 13 = 100 मी

ट्रैक X का एक चक्कर पूरा करने में महिमा द्वारा लिया गया समय: समय = Lx / महिमा की गति = 100 / (25/12) = 100 × 12 / 25 = 48 सेकंड।

व्याख्या

सर्वाधिक बारंबारता 40 है, जो वर्ग अंतराल 65-75 में आती है। अतः, बहुलक वर्ग 65-75 है।

समूहबद्ध आँकड़ों के लिए बहुलक सूत्र का प्रयोग करने पर: बहुलक = L + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h

जहाँ: L = बहुलक वर्ग की निम्न सीमा = 65 f₁ = बहुलक वर्ग की बारंबारता = 40 f₀ = बहुलक वर्ग से पूर्ववर्ती वर्ग की बारंबारता = 30 f₂ = बहुलक वर्ग से अनुगामी वर्ग की बारंबारता = 34 h = वर्ग चौड़ाई = 10

बहुलक = 65 + [(40 - 30) / (2 × 40 - 30 - 34)] × 10 बहुलक = 65 + [10 / (80 - 64)] × 10 बहुलक = 65 + (10 / 16) × 10 बहुलक = 65 + 6.25 = 71.25

व्याख्या

मान लीजिए ₹5, ₹2 और ₹1 के सिक्कों की संख्या क्रमशः x, y और z है।

दी गई शर्तों से: x + y + z = 112 5x + 2y + z = 212 y = x + 50

कुल सिक्के और कुल मूल्य समीकरणों में y = x + 50 प्रतिस्थापित करने पर: 2x + z = 62 7x + z = 112

दूसरे समीकरण से पहला समीकरण घटाने पर: 5x = 50 x = 10

x = 10 को 2x + z = 62 में प्रतिस्थापित करने पर: 2(10) + z = 62 z = 42

व्याख्या

मान लीजिए टंकी की कुल क्षमता 24 इकाई है (4, 24 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य)।

पहले पाइप की भरने की दर = 24 ÷ 4 = 6 इकाई/घंटा दूसरे पाइप की भरने की दर = 24 ÷ 24 = 1 इकाई/घंटा तीसरे पाइप की खाली करने की दर = 24 ÷ 6 = 4 इकाई/घंटा

तीनों पाइपों के एक साथ खुले होने पर शुद्ध दर = 6 + 1 - 4 = 3 इकाई/घंटा

टंकी की आधी क्षमता = 24 ÷ 2 = 12 इकाई

आधी टंकी भरने के लिए आवश्यक समय = 12 ÷ 3 = 4 घंटे।

व्याख्या

चूंकि तिर्यक ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर है, शंकु का ऊर्ध्वाधर अनुप्रस्थ काट एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई व्यास के बराबर है, a = 2 × 42√3 = 84√3 सेमी।

ऐसे शंकु में उत्कीर्ण सबसे बड़े गोले की त्रिज्या इस समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या के बराबर होती है: अंतःत्रिज्या rₛ = a / (2√3) = (84√3) / (2√3) = 42 सेमी।

उत्कीर्ण गोले का आयतन = (4/3) × π × (rₛ)³ = (4/3) × (22/7) × 42 × 42 × 42 = 4 × 22 × 2 × 42 × 42 = 310464 सेमी³

व्याख्या

एक अंकगणितीय श्रेणी में क्रमागत संख्याओं का औसत सूत्र (प्रथम पद + अंतिम पद) / 2 द्वारा दिया जाता है। 1 से 60 तक की प्राकृतिक संख्याओं के लिए, प्रथम पद 1 है और अंतिम पद 60 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर औसत = (1 + 60) / 2 = 61 / 2 = 30.5 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, पहली n प्राकृतिक संख्याओं के औसत के सूत्र का उपयोग करके, औसत = (n + 1) / 2 = (60 + 1) / 2 = 30.5।

व्याख्या

प्रति सदस्य खर्च की गई समग्र औसत राशि की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

समग्र औसत = (n₁A₁ + n₂A₂ + n₃A₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

दिया गया है: n₁ = 39, A₁ = ₹377 n₂ = 33, A₂ = ₹401 n₃ = 52, A₃ = ₹233

कुल व्यय = (39 × 377) + (33 × 401) + (52 × 233) = 14,703 + 13,233 + 12,116 = ₹40,052

सदस्यों की कुल संख्या = 39 + 33 + 52 = 124

प्रति सदस्य खर्च की गई समग्र औसत = 40,052 / 124 = ₹323

व्याख्या

बायां पक्ष के सभी पदों को 5 की घात में बदलें: (125)¹.3 = (5³)¹.3 = 5³.9 (25)¹.8 = (5²)¹.8 = 5³.6

इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: 5³.9 × 5³.6 ÷ 5².5 = 5ˣ

घातांक के नियमों को लागू करें: 5⁽3.9 + 3.6 - 2.5) = 5ˣ 5⁵ = 5ˣ

घातांकों को बराबर करने पर x = 5 प्राप्त होता है।

अब, 18x - 5 का मान ज्ञात करें: 18(5) - 5 = 90 - 5 = 85

व्याख्या

अनुपातों a : b = 1 : 3, b : c = 5 : 7, और c : d = 9 : 5 को संयोजित करने के लिए, सामान्य पदों को बराबर करें:

सबसे पहले, a : b और b : c के बीच b को बराबर करें, (1 : 3) को 5 से और (5 : 7) को 3 से गुणा करके: a : b : c = 5 : 15 : 21

इसके बाद, a : b : c और c : d के बीच c को बराबर करें, 21 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 63 ज्ञात करके। (5 : 15 : 21) को 3 से और (9 : 5) को 7 से गुणा करें: a : b = 15 : 45 b : c = 45 : 63 c : d = 63 : 35

इनको संयोजित करने पर a : b : c : d = 15 : 45 : 63 : 35 प्राप्त होता है।

व्याख्या

गोले का आयतन सूत्र V = (4/3) × π × r³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है।

व्यास d = 37.8 सेमी दिया गया है, इसलिए त्रिज्या r = 37.8 / 2 = 18.9 सेमी है।

π = 22/7 के साथ सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = (4/3) × (22/7) × (18.9)³ V = (4 / 21) × 22 × 6751.269 V = (88 / 21) × 6751.269 V = 88 × 321.489 V = 28291.032 सेमी³

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 28291.03 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए क्रय मूल्य (CP) ₹100 है।

अंकित मूल्य (MP) = 100 + 100 का 150% = ₹250।

60% लाभ प्राप्त करने के लिए, विक्रय मूल्य (SP) = 100 + 100 का 60% = ₹160।

दी गई छूट = MP - SP = 250 - 160 = ₹90।

छूट प्रतिशत = (छूट / MP) × 100 = (90 / 250) × 100 = 36%।

व्याख्या

माना f₁(p) = p² - 2p + 4 = (p - 1)² + 3 और f₂(p) = -p² + 2p - 4 = -((p - 1)² + 3).

अंतराल 0 ≤ p ≤ 1 में किसी भी p के लिए, (p - 1)² ≥ 0, जिसका अर्थ है f₁(p) ≥ 3 > 0, जबकि f₂(p) ≤ -3 < 0.

चूंकि f₁(p) पूरे रेंज में f₂(p) से सख्ती से बड़ा है, अधिकतम फलन सरल हो जाता है: max {p² - 2p + 4, -p² + 2p - 4} = p² - 2p + 4 = (p - 1)² + 3

0 ≤ p ≤ 1 के लिए (p - 1)² + 3 का न्यूनतम मान ज्ञात करने हेतु, पद (p - 1)² को p = 1 पर न्यूनतम किया जाता है: न्यूनतम मान = (1 - 1)² + 3 = 3

व्याख्या

साधारण ब्याज पर T वर्षों में कोई मूलधन P, n गुना होने के लिए अर्जित ब्याज (n - 1) × P होता है।

दर सूत्र का उपयोग करके: R = [(n - 1) × 100] / T

दिया गया है n = 5 और T = 12 वर्ष: R = [(5 - 1) × 100] / 12 = (4 × 100) / 12 = 400 / 12 = 33.33%

व्याख्या

चेतन की सामान्य मासिक बचत = ₹18000 - ₹5000 - ₹2000 = ₹11000।

चूंकि वह अपने जन्मदिन के महीने में अपनी पूरी मासिक बचत खर्च कर देता है, इसलिए वह वर्ष में केवल 11 महीनों के लिए पैसे बचाता है।

कुल वार्षिक बचत = 11 × ₹11000 = ₹121000।

व्याख्या

बीजीय एकपदों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) को ज्ञात करने के लिए, दिए गए व्यंजकों में उपस्थित प्रत्येक चर की उच्चतम घात लें।

पहला पद = x³.⁵ × y¹.⁵ दूसरा पद = y².⁵ / x⁻⁴.⁵ = x⁴.⁵ × y².⁵ तीसरा पद = x / y⁻³ = x × y³

x की उच्चतम घात = max(3.5, 4.5, 1) = 4.5 y की उच्चतम घात = max(1.5, 2.5, 3) = 3

LCM = x⁴.⁵ × y³ = x³ × x¹⁵ × y³ = (xy)³ × x³⁾² = (xy)³ √(x³)

व्याख्या

मान लीजिए यौगिक A, B, और C की प्रारंभिक लागत क्रमशः 3, 5, और 7 इकाई है। कुल प्रारंभिक लागत 3 + 5 + 7 = 15 इकाई है।

यौगिक D मिलाने से कुल लागत में 40% की वृद्धि होती है, जिसका अर्थ है कि यौगिक D की लागत 15 का 40% = 6 इकाई है।

चूंकि A, B, और C का सापेक्ष अनुपात 3:5:7 बना रहता है, इसलिए संयुक्त अनुपात 3:5:7:x में D के हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वाले x का मान 6 है।

व्याख्या

B:G के लड़के-लड़कियों के अनुपात वाले वर्ग में लड़कों का अनुपात B / (B + G) द्वारा दिया जाता है।

पहला वर्ग (4:5): 4 / (4 + 5) = 4/9 ≈ 44.44% दूसरा वर्ग (3:2): 3 / (3 + 2) = 3/5 = 60% तीसरा वर्ग (6:5): 6 / (6 + 5) = 6/11 ≈ 54.55% चौथा वर्ग (5:6): 5 / (5 + 6) = 5/11 ≈ 45.45%

भिन्नों की तुलना करने पर, 3/5 (60%) , 6/11 (54.55%), 5/11 (45.45%) और 4/9 (44.44%) से अधिक है।

व्याख्या

मूल्यांकन करने पर: ∛2197 = 13, क्योंकि 13³ = 2197 ⁴√10000 = 10, क्योंकि 10⁴ = 10000

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (13 / 10) × (5 / 39) × 48

भिन्नों को समूहित और सरल करने पर: = (13 / 39) × (5 / 10) × 48 = (1 / 3) × (1 / 2) × 48 = 48 / 6 = 8

व्याख्या

चूंकि सभी कैलकुलेटरों का क्रय मूल्य समान है, इसलिए कुल लाभ या हानि प्रतिशत की गणना बेची गई मात्राओं के अनुपात के आधार पर भारित औसत विधि का उपयोग करके सीधे की जा सकती है।

लाभ पर बेचे गए कैलकुलेटरों का हानि पर बेचे गए कैलकुलेटरों से अनुपात = 30 : 15 = 2 : 1

कुल प्रतिशत = [2 × (+25%) + 1 × (-20%)] / (2 + 1) = (50% - 20%) / 3 = 30% / 3 = +10%

सकारात्मक परिणाम कुल 10% लाभ दर्शाता है।

व्याख्या

∠B = 90° वाले समकोण त्रिभुज ABC में, कोण A और C पूरक होते हैं, जिसका अर्थ है कि A + C = 90°, या C = 90° - A।

पूरक कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के अनुसार, cot C = cot(90° - A) = tan A।

इसलिए, tan A - cot C = tan A - tan A = 0।

व्याख्या

माना कि 1 ग्राम माल का क्रय मूल्य ₹1 है, जिससे 1 किलोग्राम (1000 ग्राम) का क्रय मूल्य ₹1000 हो जाता है।

चूंकि दुकानदार 20% हानि पर बेचने का दावा करता है, इसलिए 1 किलोग्राम का विक्रय मूल्य है: विक्रय मूल्य = ₹1000 × (1 - 0.20) = ₹800

माना कि ग्राहक को दी जाने वाली वास्तविक मात्रा x ग्राम है। x ग्राम का क्रय मूल्य ₹x है। चूंकि वह कुल 40% का लाभ कमाता है: विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (1 + लाभ%) 800 = x × 1.40 x = 800 / 1.40 = 4000 / 7 ≈ 571.4 ग्राम

व्याख्या

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

445A0208 के अंकों का योग = 4 + 4 + 5 + A + 0 + 2 + 0 + 8 = 23 + A

(23 + A) के 3 से विभाज्य होने के लिए, A के एकल-अंकीय मान 1, 4, और 7 हो सकते हैं (क्योंकि 24, 27, और 30, 3 से विभाज्य हैं)।

A का अधिकतम संभव मान 7 है।

व्याख्या

मान लीजिए टंकी की कुल क्षमता C इकाई है।

पहले नल की भरने की दर = C/4 इकाई/घंटा दूसरे नल की भरने की दर = C/32 इकाई/घंटा तीसरे नल की खाली करने की दर = C/32 इकाई/घंटा

जब तीनों नल एक साथ खोले जाते हैं तो शुद्ध भरने की दर: शुद्ध दर = C/4 + C/32 - C/32 = C/4 इकाई/घंटा

टंकी का 1/4 भाग भरने के लिए आवश्यक समय: समय = (C/4) / (C/4) = 1 घंटा

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर सूत्र D = P × (R / 100)² द्वारा दिया जाता है, जहाँ D ब्याज अंतर है, P निवेश की गई मूल राशि है, और R प्रति वर्ष ब्याज दर है।

दिया गया है D = ₹53 और R = 4%: 53 = P × (4 / 100)² 53 = P × (1 / 25)² 53 = P / 625 P = 53 × 625 = ₹33,125

व्याख्या

मान लीजिए क्रय मूल्य (CP) ₹100 है।

चूंकि अंकित मूल्य (MP) CP से 100% अधिक निर्धारित किया गया है: MP = 100 + 100 = ₹200

88% लाभ के लिए, विक्रय मूल्य (SP) होना चाहिए: SP = 100 + 88 = ₹188

दी गई छूट = MP - SP = 200 - 188 = ₹12

छूट प्रतिशत = (छूट / MP) × 100 = (12 / 200) × 100 = 6%

व्याख्या

माध्य 0 वाले 7 क्रमागत पूर्णांकों के लिए, संख्याओं का समुच्चय शून्य पर केंद्रित होता है: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3।

माध्य से वर्ग विचलनों का योग (-3)² + (-2)² + (-1)² + 0² + 1² + 2² + 3² = 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 28 है।

प्रसरण = 28 / 7 = 4।

मानक विचलन = √4 = 2।

व्याख्या

एक मिश्रित आवर्ती दशमलव 0.26̄ को एक सामान्य भिन्न में बदलने के लिए, सूत्र का प्रयोग करें:

भिन्न = (दशमलव अंकों द्वारा बनी कुल संख्या - अनावर्ती भाग) / (प्रत्येक आवर्ती अंक के लिए 9 और प्रत्येक अनावर्ती अंक के लिए 0)

अंश = 26 - 2 = 24 हर = 90

24/90 को अंश और हर दोनों को 6 से विभाजित करके सरल करने पर 4/15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠B = 90° और ∠ACB = 30° है:

sin 30° = AB / AC ½ = 5 / AC AC = 10 सेमी

tan 30° = AB / BC 1 / √3 = 5 / BC BC = 5√3 सेमी

AC + BC = 10 + 5√3 सेमी

व्याख्या

जब यात्रा के प्रत्येक चरण के दौरान समान समय व्यतीत किया जाता है, तो समग्र औसत गति सभी चरणों में गतियों का अंकगणितीय माध्य होती है।

चरण 1 में गति, v₁ = x किमी/घंटा चरण 2 में गति, v₂ = x + 0.5x = 1.5x किमी/घंटा चरण 3 में गति, v₃ = 1.5x × 0.8 = 1.2x किमी/घंटा

औसत गति = (v₁ + v₂ + v₃) / 3 48 = (x + 1.5x + 1.2x) / 3 48 = 3.7x / 3 3.7x = 144 x = 1440 / 37 ≈ 38.9 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए B का वेतन 100 है। चूँकि A का वेतन B से 130% अधिक है, A का वेतन = 100 + 130 = 230 है।

जिस प्रतिशत से B का वेतन A के वेतन से कम है, वह सूत्र द्वारा दिया गया है: प्रतिशत = [(A - B) / A] × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत = [(230 - 100) / 230] × 100 = (130 / 230) × 100 = 1300 / 23 = 56.52%

व्याख्या

गोपाल कृष्ण गोखले ने 12 जून, 1905 को पुणे, महाराष्ट्र में सर्वेंट्स ऑफ इंडिया सोसाइटी की स्थापना की थी। सोसाइटी का प्राथमिक उद्देश्य राष्ट्र की सेवा के लिए भारतीयों को एकजुट करना और प्रशिक्षित करना, धर्मनिरपेक्ष शिक्षा को बढ़ावा देना, स्वच्छता और स्वास्थ्य देखभाल में सुधार करना, और पूरे देश में सामाजिक और आर्थिक सुधारों को आगे बढ़ाना था।

व्याख्या

तीसरे समीकरण, x + y - z = 0 से, z को x और y के पदों में व्यक्त करने पर z = x + y प्राप्त होता है।

z = x + y को दूसरे समीकरण, 2x - y + z = 3 में प्रतिस्थापित करने पर 2x - y + (x + y) = 3 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 3x = 3 हो जाता है, जिससे x = 1 प्राप्त होता है।

z = x + y को पहले समीकरण, x + 4y + 2z = 12 में प्रतिस्थापित करने पर x + 4y + 2(x + y) = 12 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 3x + 6y = 12 हो जाता है।

x = 1 को 3x + 6y = 12 में प्रतिस्थापित करने पर 3(1) + 6y = 12 प्राप्त होता है, इसलिए 6y = 9, जो सरल होकर y = 3/2 हो जाता है।

अंत में, x = 1 और y = 3/2 के साथ z = x + y का उपयोग करने पर z = 1 + 3/2 = 5/2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दी गई शर्तों के आधार पर सात बक्सों को ऊपर से नीचे की ओर व्यवस्थित करना: चूंकि केवल A को E के ऊपर रखा गया है, A पहले स्थान पर है और E दूसरे स्थान पर है। चूंकि केवल S को E और T के बीच रखा गया है, S तीसरे स्थान पर है और T चौथे स्थान पर है। चूंकि केवल K को R के नीचे रखा गया है, R छठे स्थान पर है और K सातवें स्थान पर है। इससे शेष बक्से, M, को पांचवें स्थान पर रखा गया है।

ऊपर से नीचे की ओर अंतिम व्यवस्था है: A, E, S, T, M, R, K। बक्से M (5वें स्थान) और बक्से K (7वें स्थान) के बीच केवल 1 बक्सा (R) है।

व्याख्या

समूहिक बारंबारता बंटन का बहुलक इस प्रकार दिया जाता है:

बहुलक = L + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h

चूँकि बहुलक 36 है, बहुलक वर्ग 30-40 है।

बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (L) = 30 वर्ग चौड़ाई (h) = 10 बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 9 पूर्ववर्ती वर्ग 20-30 की बारंबारता (f₀) = x उत्तरवर्ती वर्ग 40-50 की बारंबारता (f₂) = 5

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

36 = 30 + [(9 - x) / (18 - x - 5)] × 10 6 = [(9 - x) / (13 - x)] × 10 6(13 - x) = 10(9 - x) 78 - 6x = 90 - 10x 4x = 12 x = 3

व्याख्या

भारत के संविधान का अनुच्छेद 226 उच्च न्यायालयों को मौलिक अधिकारों के प्रवर्तन के लिए ही नहीं, बल्कि "किसी अन्य उद्देश्य के लिए" भी किसी व्यक्ति, प्राधिकारी या सरकार को रिट, निर्देश या आदेश जारी करने का अधिकार देता है। "किसी अन्य उद्देश्य" वाक्यांश उच्च न्यायालय के रिट क्षेत्राधिकार को सामान्य कानूनी और वैधानिक अधिकारों के प्रवर्तन तक विस्तारित करता है, जिससे विषय वस्तु के मामले में सर्वोच्च न्यायालय की तुलना में उच्च न्यायालयों का रिट क्षेत्राधिकार व्यापक हो जाता है।

व्याख्या

लघु चाप AB द्वारा केंद्र O पर बनाया गया कोण ∠AOB = 120° है। दीर्घ चाप AB द्वारा केंद्र पर बनाया गया प्रतिवर्ती कोण 360° - 120° = 240° है।

चूंकि S, लघु चाप AB पर एक बिंदु है, इसलिए ∠ASB कोण दीर्घ चाप AB द्वारा परिधि पर बनाया गया कोण है। अंतःखंडित कोण प्रमेय के अनुसार, किसी चाप द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण उसी चाप द्वारा बनाए गए केंद्रीय कोण का आधा होता है।

∠ASB = ½ × प्रतिवर्ती ∠AOB = ½ × 240° = 120°।

वैकल्पिक रूप से, दीर्घ चाप पर कोई बिंदु P चुनने पर ∠APB = ½ × 120° = 60° प्राप्त होता है। चूंकि ASBP एक चक्रीय चतुर्भुज बनाता है, विपरीत कोणों का योग 180° होता है, जिससे ∠ASB = 180° - 60° = 120° प्राप्त होता है।

व्याख्या

इन्फ्लूएंजा इन्फ्लूएंजा वायरस के कारण होने वाला एक तीव्र श्वसन संक्रमण है, जिसकी विशेषता प्रणालीगत और ऊपरी श्वसन लक्षणों की अचानक शुरुआत है। क्लासिक क्लिनिकल प्रस्तुति में बुखार, खांसी और गंभीर बदन दर्द या मायल्जिया शामिल हैं, साथ ही सिरदर्द, थकान और गले में खराश भी होती है। उच्च बुखार और व्यापक बदन दर्द वायरल संक्रमण के प्रति मेजबान की सूजन साइटोकिन प्रतिक्रिया से उत्पन्न होते हैं, जबकि खांसी श्वसन पथ की परत में वायरल जलन और सूजन के कारण होती है।

व्याख्या

प्रति मिनट शुद्ध भरने की दर = 1/24 + 1/36 - 1/18

24, 36 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, जो कि 72 है:

शुद्ध भरने की दर = (3 + 2 - 4) / 72 = 1/72 टंकी प्रति मिनट

टंकी को भरने में लगा कुल समय = 1 / (1/72) = 72 मिनट।

व्याख्या

मान लीजिए P और Q की वर्तमान आयु क्रमशः 3x और 4x वर्ष है।

6 वर्ष बाद, उनकी आयु (3x + 6) और (4x + 6) वर्ष होगी।

प्रश्न के अनुसार: (3x + 6) / (4x + 6) = 4 / 5

तिरछा गुणा करने पर: 5 × (3x + 6) = 4 × (4x + 6) 15x + 30 = 16x + 24 x = 6

P की वर्तमान आयु = 3x = 3 × 6 = 18 वर्ष।

शॉर्टकट विधि: अनुपात 3 : 4 से 4 : 5 में बदल जाता है, जो P और Q दोनों के लिए 6 वर्षों में 1 अनुपात इकाई की वृद्धि दर्शाता है। 1 इकाई = 6 वर्ष P की वर्तमान आयु = 3 इकाई = 3 × 6 = 18 वर्ष।

व्याख्या

माना √m = x (जहाँ x ≥ 0)। तब m = x², और दिया गया समीकरण बन जाता है: 2x² = 5x - 2 2x² - 5x + 2 = 0

इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: (2x - 1)(x - 2) = 0 x = ½ या x = 2

चूंकि m = x²: m₁ = (½)² = ¼ m₂ = 2² = 4

m के दो मानों के बीच का अंतर है: 4 - ¼ = 15/4