आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

पहली मेज के लिए: विक्रय मूल्य = ₹400, 25% लाभ पर। क्रय मूल्य = 400 ÷ 1.25 = ₹320। पहली मेज पर लाभ = 400 - 320 = ₹80।

चूंकि कुल मिलाकर कोई शुद्ध लाभ या हानि नहीं है, इसलिए पहली मेज से हुआ लाभ दूसरी मेज से हुई हानि के बराबर है।

दूसरी मेज पर हानि = उसके क्रय मूल्य का 10% = ₹80। दूसरी मेज का क्रय मूल्य = 80 ÷ 0.10 = ₹800।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत राशि A = P + (P × R × T / 100) = P(1 + RT / 100) द्वारा दी जाती है।

दिया गया है A₁ = ₹2,613, R = 5%, और T₁ = 6 वर्ष: 2,613 = P(1 + (5 × 6) / 100) = 1.3P P = 2,613 / 1.3 = ₹2,010

उसी दर पर राशि A₂ = ₹3,015 तक पहुँचने के लिए: आवश्यक साधारण ब्याज = A₂ - P = 3,015 - 2,010 = ₹1,005

T₂ = (SI × 100) / (P × R) का उपयोग करके: T₂ = (1,005 × 100) / (2,010 × 5) = 1,00,500 / 10,050 = 10 वर्ष।

व्याख्या

कुल राशि T मान लीजिए। चूँकि A को कुल राशि का एक-तिहाई हिस्सा मिलता है, T = 3A।

चूँकि कुल राशि T = A + B + C है, T = 3A प्रतिस्थापित करने पर: 2A = B + C

यह देखते हुए कि B = 3C और C = A - 1200: 2A = 3C + C 2A = 4C A = 2C

C = A - 1200 को A = 2C में प्रतिस्थापित करने पर: A = 2(A - 1200) A = 2A - 2400 A = 2400

व्याख्या

व्यंजक को BODMAS नियमों का पालन करते हुए सरलीकृत घटकों में तोड़ें:

पहला भिन्न: (5 + 5 × 5) / (5 × 5 + 5) = (5 + 25) / (25 + 5) = 30 / 30 = 1

दूसरा भिन्न: अंश = (1/5) ÷ (1/25) = (1/5) × 25 = 5 हर = (1/25) ÷ (1/5) = (1/25) × 5 = 1/5 दूसरा भिन्न = 5 / (1/5) = 25

घटाने वाला भाग: (5 - 1/5) × (10 / 2) = (24/5) × 5 = 24

सरलीकृत भागों को संयोजित करना: (1 × 25) - 24 = 25 - 24 = 1

व्याख्या

जॉन, जॉनी और जनार्दन द्वारा एक दिन में किया गया संयुक्त कार्य = 1/6 + 1/12 + 1/24 = (4 + 2 + 1) / 24 = 7/24

एक साथ काम करते हुए कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय = 24/7 = 3 3/7 दिन।

व्याख्या

संयुक्त कार्य सूत्र का उपयोग करके, समय = (a × b) / (a + b), जहाँ a = 10 दिन और b = 12 दिन:

कुल दिन = (10 × 12) / (10 + 12) = 120 / 22 = 60 / 11 = 5 5/11 दिन।

व्याख्या

अनुपातों के एक समूह का मिश्रित अनुपात, नए पूर्ववर्ती (पहले पद) को बनाने के लिए सभी पूर्ववर्ती (पहले पदों) को एक साथ गुणा करके और नए अनुगामी (दूसरे पद) को बनाने के लिए सभी अनुगामी (दूसरे पदों) को एक साथ गुणा करके पाया जाता है।

प्रत्येक दिए गए अनुपात को सरल बनाना: 45 : 75 = 3 : 5 3 : 5 = 3 : 5 51 : 68 = 3 : 4 256 : 81 = 256 : 81

सरलीकृत भिन्नों को गुणा करना: (3 / 5) × (3 / 5) × (3 / 4) × (256 / 81) = (27 / 100) × (256 / 81) = 256 / 300 = 64 / 75

यह 64 : 75 तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

चूंकि व्यंजक (5a - 3b)/(7a + 2b), a और b में समांगी (homogeneous) है, हम सीधे दिए गए व्यंजक में a = 3 और b = 4 प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

अंश = 5a - 3b = 5(3) - 3(4) = 15 - 12 = 3 हर = 7a + 2b = 7(3) + 2(4) = 21 + 8 = 29

वांछित मान = 3/29

व्याख्या

भुजा x वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, अंकित वृत्त की अंतःत्रिज्या r निम्न द्वारा दी जाती है: r = x / (2√3)

इस वृत्त का व्यास है: d = 2r = x / √3

एक वृत्त में अंकित वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है। इसलिए, वर्ग का विकर्ण x / √3 है।

इसके विकर्ण d के पदों में वर्ग के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके: क्षेत्रफल = d² / 2 = (x / √3)² / 2 = (x² / 3) / 2 = (1/6)x²

व्याख्या

टॉवर, दृष्टि रेखा और जमीन द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में:

tan θ = ऊँचाई / दूरी

दिया गया है θ = 45° और ऊँचाई = 150 मीटर:

tan 45° = 150 / दूरी 1 = 150 / दूरी दूरी = 150 मीटर

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करते हुए, पहले कोष्ठकों के अंदर के संक्रियाओं को हल करें, फिर भाग और गुणा करें, और अंत में घटाव करें:

(6 + 3) = 9 (4 + 5) = 9

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(9 ÷ 3) - 5 × 9 = 3 - 45 = -42

व्याख्या

उच्चतम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक गुणनफल को उसके अभाज्य गुणनखंडों के रूप में व्यक्त करें:

12 × 15 = (2² × 3) × (3 × 5) = 2² × 3² × 5 15 × 21 = (3 × 5) × (3 × 7) = 3² × 5 × 7 21 × 12 = (3 × 7) × (2² × 3) = 2² × 3² × 7

तीनों संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 3 है, जिसकी न्यूनतम घात प्रत्येक स्थिति में 2 है।

HCF = 3² = 9

व्याख्या

जीतने वाले उम्मीदवार द्वारा प्राप्त मतों का प्रतिशत = 100% - 37% = 63%।

जीतने वाले और हारने वाले उम्मीदवार के बीच मत प्रतिशत का अंतर = 63% - 37% = 26%।

चूंकि मतों का अंतर 5,20,000 है: कुल मतों का 26% = 5,20,000

डाले गए मतों की कुल संख्या = (5,20,000 / 26) × 100 = 20,000 × 100 = 20,00,000।

व्याख्या

हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी (√2 - 1) से गुणा करें:

(4 + √2) / (√2 + 1) = [(4 + √2)(√2 - 1)] / [(√2 + 1)(√2 - 1)]

अंश का विस्तार करने पर: (4 + √2)(√2 - 1) = 4√2 - 4 + 2 - √2 = 3√2 - 2

सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके हर का विस्तार करने पर: (√2 + 1)(√2 - 1) = (√2)² - 1² = 2 - 1 = 1

अंश को हर से विभाजित करने पर 3√2 - 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है (A ∝ r²), जबकि उसका आयतन उसकी त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है (V ∝ r³)।

पृष्ठीय क्षेत्रफलों का दिया गया अनुपात A₁/A₂ = 1/4 है, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात है: r₁/r₂ = √(A₁/A₂) = √(1/4) = 1/2

आयतन संबंध में त्रिज्या अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: V₁/V₂ = (r₁/r₂)³ = (1/2)³ = 1/8

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2

सर्वसमिका में x + 1/x = 2 का मान रखने पर: 2² = x² + 1/x² + 2 4 = x² + 1/x² + 2 x² + 1/x² = 4 - 2 = 2

वैकल्पिक रूप से, x + 1/x = 2 से सीधे x = 1 प्राप्त होता है। x² + 1/x² में x = 1 का मान रखने पर 1² + 1/1² = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

√2916 = 54 का उपयोग करते हुए, दशमलव संख्या का वर्गमूल मूल संख्या से आधी दशमलव स्थानों की संख्या रखता है:

√29.16 = 5.4 √0.2916 = 0.54 √0.002916 = 0.054 √0.0002916 = 0.0054

इन मानों को एक साथ जोड़ने पर:

5.4 + 0.54 + 0.054 + 0.0054 = 5.9994

व्याख्या

मान लीजिए क्रय मूल्य (CP) ₹100 है।

10% का लाभ कमाने के लिए, विक्रय मूल्य (SP) है: SP = 100 + 10 = ₹110

चूंकि अंकित मूल्य (MP) पर 5% की छूट दी जाती है: SP = MP × (1 - 5/100) = MP × (19/20) 110 = MP × (19/20) MP = (110 × 20) / 19 = 2200 / 19 = 115 15/19

अंकित मूल्य क्रय मूल्य से जितने प्रतिशत अधिक है, वह है: मार्कअप % = MP - CP = 115 15/19 - 100 = 15 15/19%

व्याख्या

जब दो व्यक्ति स्वतंत्र रूप से किसी कार्य को पूरा करने में क्रमशः A और B दिन लेते हैं, तो एक साथ कार्य पूरा करने में लगने वाला कुल समय निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

एक साथ लिया गया समय = (A × B) / (A + B)

A = 20 और B = 30 रखने पर:

एक साथ लिया गया समय = (20 × 30) / (20 + 30) = 600 / 50 = 12 दिन।

व्याख्या

सभी 5 छात्रों के अंकों का योग = 5 × 39.20 = 196 3 छात्रों के अंकों का योग = 3 × 41 = 123 शेष 2 छात्रों के अंकों का योग = 196 - 123 = 73

शेष 2 छात्रों का औसत = 73 / 2 = 36.5

व्याख्या

साधारण ब्याज सूत्र SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके:

राशि A = (8/5)P ब्याज SI = A - P = (8/5)P - P = (3/5)P

सूत्र में SI = (3/5)P और T = 5 को प्रतिस्थापित करने पर: (3/5)P = (P × R × 5) / 100 3/5 = R / 20 R = (3 × 20) / 5 = 12% प्रति वर्ष

व्याख्या

सचिन तेंदुलकर ने अपना ऐतिहासिक 100वां अंतरराष्ट्रीय शतक 16 मार्च 2012 को बांग्लादेश के खिलाफ एशिया कप मैच के दौरान मीरपुर, ढाका के शेर-ए-बांग्ला नेशनल स्टेडियम में बनाया। उन्होंने 147 गेंदों पर 114 रन बनाए, जिससे वह अंतरराष्ट्रीय क्रिकेट में 100 शतक बनाने वाले इतिहास के पहले क्रिकेटर बन गए, जिसमें 51 टेस्ट शतक और 49 एक दिवसीय अंतरराष्ट्रीय (वनडे) शतक शामिल हैं।

व्याख्या

कंप्यूटर इंटरफ़ेस में, मेनू एक ग्राफिकल नियंत्रण तत्व है जो उपयोगकर्ता को निष्पादन योग्य कमांड्स, फ़ंक्शंस या विकल्पों की सूची प्रदर्शित करता है। मेनू आइटम का चयन सॉफ़्टवेयर एप्लिकेशन के भीतर एक विशिष्ट क्रिया या कमांड को ट्रिगर करता है, जैसे फ़ाइल सहेजना, टेक्स्ट संपादित करना, या दस्तावेज़ प्रिंट करना।

व्याख्या

N = 2² × 3¹ × 5² × 7¹ के उन गुणनखंडों को खोजने के लिए जो 50 (2¹ × 5²) से विभाज्य हैं लेकिन 100 (2² × 5²) से विभाज्य नहीं हैं, हम प्रत्येक गुणनखंड को अभाज्य गुणनखंडन रूप 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × 7ᵈ में व्यक्त करते हैं।

किसी गुणनखंड के 50 से विभाज्य होने के लिए, 5 का घातांक कम से कम 2 (c = 2) होना चाहिए और 2 का घातांक कम से कम 1 होना चाहिए। यह सुनिश्चित करने के लिए कि गुणनखंड 100 से विभाज्य नहीं है, 2 का घातांक 2 या उससे अधिक नहीं हो सकता, जो a = 1 को मजबूर करता है।

प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के घातांक के लिए उपलब्ध विकल्प हैं: अभाज्य 2 के लिए: a = 1 (1 संभावना) अभाज्य 3 के लिए: b = 0 या 1 (2 संभावनाएँ) अभाज्य 5 के लिए: c = 2 (1 संभावना) अभाज्य 7 के लिए: d = 0 या 1 (2 संभावनाएँ)

कुल आवश्यक गुणनखंड = 1 × 2 × 1 × 2 = 4।

व्याख्या

लंबाई L और चौड़ाई B वाले एक आयताकार क्षेत्र की आंतरिक सीमा के चारों ओर x चौड़ाई वाले पथ का क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है: पथ का क्षेत्रफल = 2x(L + B - 2x)

दिया गया है L = 37 मीटर, B = 30 मीटर, और क्षेत्रफल = 570 वर्ग मीटर: 570 = 2x(37 + 30 - 2x) 570 = 2x(67 - 2x) 285 = x(67 - 2x) 2x² - 67x + 285 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (x - 5)(2x - 57) = 0

चूंकि x = 57/2 = 28.5 मीटर आंतरिक आयामों को शून्य से कम कर देगा, इसलिए पथ की चौड़ाई x = 5 मीटर है।

व्याख्या

मान लीजिए नरेंद्र की वर्तमान आयु x वर्ष है, जिससे उसकी माँ की वर्तमान आयु 4x वर्ष हो जाती है।

चार साल पहले, नरेंद्र (x - 4) वर्ष का था और उसकी माँ (4x - 4) वर्ष की थी।

दी गई शर्त के अनुसार: 4x - 4 = 6(x - 4) 4x - 4 = 6x - 24 2x = 20 x = 10

नरेंद्र की वर्तमान आयु 10 वर्ष है, और उसकी माँ की वर्तमान आयु 40 वर्ष है (4 × 10)।

व्याख्या

120 का अभाज्य गुणनखंडन 2³ × 3¹ × 5¹ है।

विषम भाजकों की संख्या विषम अभाज्य गुणनखंडों 3¹ और 5¹ की घातों को लेकर ज्ञात की जाती है: विषम भाजक = (1 + 1) × (1 + 1) = 4

सभी अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके भाजकों की कुल संख्या की गणना की जाती है: कुल भाजक = (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 16

कुल भाजकों में से विषम भाजकों को घटाने पर सम भाजक प्राप्त होते हैं: सम भाजक = 16 − 4 = 12

व्याख्या

चूंकि ABC एक समबाहु त्रिभुज है, इसके प्रत्येक आंतरिक कोण का मान 60° होता है, इसलिए ∠ABC = 60°। एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ABC + ∠CDA = 180°, जिससे ∠CDA = 180° - 60° = 120° प्राप्त होता है।

व्याख्या

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = a + b + (a × b)/100

यहाँ, अंकित मूल्य प्रतिशत a = +20 और छूट प्रतिशत b = -20 है।

शुद्ध परिवर्तन = 20 - 20 + (20 × -20)/100 = -400/100 = -4%

ऋणात्मक परिणाम 4% की हानि को दर्शाता है।

व्याख्या

क्रय मूल्य = (विक्रय मूल्य × 100) / (100 + लाभ%)

क्रय मूल्य = (390 × 100) / (100 + 20) = (390 × 100) / 120 = ₹325

व्याख्या

BODMAS नियम (कोष्ठक, घात, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का उपयोग करके, अंदर से बाहर की ओर नेस्टेड कोष्ठकों का मूल्यांकन करें:

सबसे अंदर के गोल कोष्ठक: 8 - 6 + 3 = 2 + 3 = 5

कर्ली ब्रेसिज़: 4 - 5 = -1

स्क्वायर ब्रैकेट्स: 15 - (-1) = 15 + 1 = 16

बाहरी व्यंजक: 20 - 16 = 4

व्याख्या

किसी वस्तु की ऊँचाई h जब उससे d दूरी की ओर बढ़ते हुए, उन्नयन कोण α से β में बदल जाता है, सूत्र द्वारा दी जाती है:

h = d / (cot α - cot β)

दिया गया है d = 30 m, α = 30°, और β = 60°:

cot 30° = √3 cot 60° = 1/√3

cot 30° - cot 60° = √3 - 1/√3 = 2/√3

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

h = 30 / (2/√3) = (30 × √3) / 2 = 15√3 m

व्याख्या

दी गई वास्तविक संख्याओं को सबसे छोटी से सबसे बड़ी तक बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करना:

ऋणात्मक संख्याएँ धनात्मक संख्याओं से छोटी होती हैं, और ऋणात्मक संख्याओं में, बड़ी निरपेक्ष मान वाली संख्या छोटी होती है। इसलिए, -0.96, -0.64 से छोटा है।

धनात्मक संख्याओं को उनके परिमाण के अनुसार क्रमबद्ध करने पर 0.24 < 0.58 < 0.83 प्राप्त होता है।

सभी संख्याओं को आरोही क्रम में संयोजित करना: -0.96 (1) < -0.64 (4) < 0.24 (3) < 0.58 (5) < 0.83 (2)

इससे अनुक्रम 1, 4, 3, 5, 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए पुत्री की वर्तमान आयु d वर्ष है। माँ की वर्तमान आयु = 3d वर्ष।

पाँच वर्ष पूर्व: माँ की आयु = 3d - 5 पुत्री की आयु = d - 5

प्रश्न के अनुसार: 3d - 5 = 4(d - 5) 3d - 5 = 4d - 20 4d - 3d = 20 - 5 d = 15

व्याख्या

माना कुल राशि ₹x है।

(60/100) × (40/100) × (32/100) × x = 432

भिन्नों को सरलतम रूप में बदलना: (3/5) × (2/5) × (8/25) × x = 432 (48 / 625) × x = 432

x के लिए हल करना: x = (432 × 625) / 48 x = 9 × 625 x = 5,625

व्याख्या

मान लीजिए y = √(x/(1 - x))। दिया गया समीकरण सरल हो जाता है:

y + 1/y = 25/12 (y² + 1)/y = 25/12 12y² - 25y + 12 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (4y - 3)(3y - 4) = 0 y = 3/4 या y = 4/3

स्थिति 1: जब y = 3/4 √(x/(1 - x)) = 3/4 x/(1 - x) = 9/16 16x = 9 - 9x 25x = 9 x = 9/25

स्थिति 2: जब y = 4/3 √(x/(1 - x)) = 4/3 x/(1 - x) = 16/9 9x = 16 - 16x 25x = 16 x = 16/25

व्याख्या

सामान्य हर xyz लेने पर, दिया गया व्यंजक सरल हो जाता है:

(x² / yz) + (y² / zx) + (z² / xy) = (x³ + y³ + z³) / xyz

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)।

चूंकि x + y + z = 0 है, तो दायां पक्ष 0 हो जाता है, जिससे x³ + y³ + z³ = 3xyz प्राप्त होता है।

इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

3xyz / xyz = 3

व्याख्या

माना आयत की दो आसन्न भुजाएँ 3x और 4x हैं।

परिमाप = 2 × (3x + 4x) = 14x 14x = 42 सेमी x = 3 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, विकर्ण की लंबाई है: विकर्ण = √((3x)² + (4x)²) = √(25x²) = 5x

x = 3 सेमी रखने पर: विकर्ण = 5 × 3 = 15 सेमी

व्याख्या

2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर सूत्र द्वारा दिया जाता है:

अंतर = P × (R / 100)²

P = 16,000 और अंतर = 1,000 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1,000 = 16,000 × (R / 100)² (R / 100)² = 1,000 / 16,000 (R / 100)² = 1 / 16

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

R / 100 = 1 / 4 R = 25%

व्याख्या

दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर: (1 + tan A)(1 + tan B) = 2 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 tan A + tan B = 1 - tan A tan B

दोनों पक्षों को (1 - tan A tan B) से विभाजित करने पर: (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B) = 1

संयुक्त कोण सर्वसमिका tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B) का उपयोग करने पर: tan(A + B) = 1

व्याख्या

एक सममित वितरण में, डेटा मान केंद्र के चारों ओर समान रूप से और संतुलित रूप से वितरित होते हैं। परिणामस्वरूप, सबसे ऊँची चोटी जो सबसे लगातार मान (बहुलक) का प्रतिनिधित्व करती है, केंद्रीय मान जो डेटासेट को दो समान हिस्सों (माध्यिका) में विभाजित करता है, और अंकगणितीय औसत (माध्य) सभी एक ही केंद्रीय बिंदु पर मेल खाते हैं। इसलिए, माध्य = माध्यिका = बहुलक।

व्याख्या

वह समय जिसके बाद तीनों शुरुआती बिंदु पर फिर से मिलेंगे, उनकी व्यक्तिगत परिक्रमा के समय के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के बराबर है: LCM(42, 63, 84)।

दिए गए समय का अभाज्य गुणनखंडन: 42 = 2 × 3 × 7 63 = 3² × 7 84 = 2² × 3 × 7

LCM(42, 63, 84) = 2² × 3² × 7 = 4 × 9 × 7 = 252 सेकंड।

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)

माना k = x + 1/x। सर्वसमिका में x³ + 1/x³ = 18 को प्रतिस्थापित करने पर: k³ - 3k = 18 k³ - 3k - 18 = 0

समीकरण में k = 3 को प्रतिस्थापित करने पर: 3³ - 3(3) = 27 - 9 = 18

व्याख्या

मान लीजिए दी गई छूट D है। विक्रय मूल्य (SP) = 3D अंकित मूल्य (MP) = SP + छूट = 3D + D = 4D

छूट प्रतिशत = (छूट / MP) × 100 = (D / 4D) × 100 = 25%

चूंकि लाभ प्रतिशत छूट प्रतिशत के बराबर है, लाभ = 25%। क्रय मूल्य (CP) = SP / (1 + लाभ/100) = 3D / 1.25 = 12D / 5

दी गई छूट और क्रय मूल्य का अनुपात = D : (12D / 5) = 5 : 12

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का प्रयोग करके, मान लीजिए a = 5.4 और b = 0.4 (चूंकि 0.4³ = 0.064)।

दिया गया व्यंजक इस रूप में है: [(5.4)³ - (0.4)³] / [(5.4)² + (5.4 × 0.4) + (0.4)²]

अंश और हर से उभयनिष्ठ पद (a² + ab + b²) को रद्द करने पर बचता है: a - b = 5.4 - 0.4 = 5

व्याख्या

गुणनफल में प्रत्येक गुणनखंड को सरल करने पर:

1 + 1/x = (x + 1)/x 1 + 1/(x + 1) = (x + 2)/(x + 1) 1 + 1/(x + 2) = (x + 3)/(x + 2) 1 + 1/(x + 3) = (x + 4)/(x + 3)

इन पदों को एक साथ गुणा करने पर:

[(x + 1)/x] × [(x + 2)/(x + 1)] × [(x + 3)/(x + 2)] × [(x + 4)/(x + 3)]

सभी मध्यवर्ती अंश और हर एक टेलीस्कोपिक तरीके से रद्द हो जाते हैं, जिससे बचता है:

(x + 4) / x

व्याख्या

वर्गाकार मैदान की भुजा = 28 मीटर प्रत्येक बंधी हुई चतुर्थांश की त्रिज्या, r = 28 ÷ 2 = 14 मीटर

चराई योग्य क्षेत्र = 4 × (¼ × π × r²) = π × r² = (22/7) × 14 × 14 = 616 वर्ग मीटर

वर्गाकार मैदान का कुल क्षेत्रफल = 28 × 28 = 784 वर्ग मीटर

पहुँच से बाहर का क्षेत्र = कुल क्षेत्रफल - चराई योग्य क्षेत्र = 784 - 616 = 168 वर्ग मीटर

दैनिक उपभोग दर = चराई योग्य क्षेत्र ÷ दिन = 616 ÷ 22 = 28 वर्ग मीटर/दिन

शेष घास के लिए दिन = अचरणीय क्षेत्र ÷ दैनिक उपभोग दर = 168 ÷ 28 = 6 दिन

व्याख्या

यौगिक कोण सूत्र tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B) का प्रयोग करके:

A = 45° और B = 30° रखने पर, दिया गया व्यंजक tan(45° - 30°) = tan 15° हो जाता है।

व्यंजक में tan 45° = 1 और tan 30° = 1/√3 रखने पर: tan 15° = (1 - 1/√3) / (1 + 1/√3) = (√3 - 1) / (√3 + 1)

हर को परिमेय बनाने के लिए अंश और हर को (√3 - 1) से गुणा करने पर: tan 15° = (√3 - 1)² / ((√3 + 1)(√3 - 1)) = (3 + 1 - 2√3) / (3 - 1) = (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3

व्याख्या

जब तय की गई दूरी स्थिर होती है तो समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है (समय = दूरी / गति)।

तीन ट्रेनों की गति का अनुपात 2 : 3 : 5 दिया गया है, तो समान दूरी तय करने में लगने वाले समय का अनुपात है: 1/2 : 1/3 : 1/5

व्याख्या

कुल क्रय मूल्य = खरीद मूल्य + मरम्मत लागत कुल क्रय मूल्य = ₹4,000 + ₹400 = ₹4,400

लाभ = विक्रय मूल्य - कुल क्रय मूल्य लाभ = ₹5,000 - ₹4,400 = ₹600

लाभ % = (लाभ / कुल क्रय मूल्य) × 100 लाभ % = (600 / 4,400) × 100 = 150 / 11 = 13 7/11%