आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

क्रमागत विषम (या सम) संख्याओं के किसी भी अनुक्रम के लिए, अनुक्रम में k अतिरिक्त क्रमागत संख्याएँ जोड़ने से समुच्चय का औसत k बढ़ जाता है। चूँकि 2 अतिरिक्त क्रमागत विषम संख्याएँ जोड़ी जाती हैं, नया औसत 2 बढ़ जाता है और p + 2 हो जाता है।

बीजगणितीय रूप से, पाँच क्रमागत विषम संख्याएँ p - 4, p - 2, p, p + 2, और p + 4 मान लीजिए, जिनका औसत p है। अगली दो क्रमागत विषम संख्याएँ p + 6 और p + 8 हैं। सभी सात संख्याओं का योग 5p + (p + 6) + (p + 8) = 7p + 14 है। नया औसत (7p + 14) / 7 = p + 2 है।

व्याख्या

किसी कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल सूत्र A = 2(L + B) × H द्वारा दिया जाता है।

माना प्रारंभिक लंबाई L = 4x, चौड़ाई B = 3x, और ऊँचाई H = 2x है। प्रारंभिक दीवार का क्षेत्रफल A₁ = 2(4x + 3x) × 2x = 28x²।

आयामों को बदलने के बाद: नई लंबाई L' = 2x नई चौड़ाई B' = 6x नई ऊँचाई H' = x

नई दीवार का क्षेत्रफल A₂ = 2(2x + 6x) × x = 16x²।

प्रतिशत कमी = [(A₁ - A₂) / A₁] × 100 = [(28x² - 16x²) / 28x²] × 100 = (12 / 28) × 100 = (3 / 7) × 100 ≈ 42.86%।

व्याख्या

विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार: भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 12401 = (भाजक × 76) + 13 12401 - 13 = भाजक × 76 12388 = भाजक × 76 भाजक = 12388 / 76 = 163

व्याख्या

त्रिज्या r = 3.5 सेमी वाले तीन परस्पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के केंद्र एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं जिसकी भुजा की लंबाई s = 2r = 7 सेमी है।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × s² = (1.732/4) × 7² = 21.217 सेमी²

त्रिभुज के अंदर के तीन त्रिज्यखंडों में से प्रत्येक 60° का कोण बनाता है। 3 त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल = 3 × (60°/360°) × π × r² = ½ × (22/7) × (3.5)² = 19.25 सेमी²

घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल - 3 त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल = 21.217 - 19.25 = 1.967 सेमी²

व्याख्या

प्लास्टर किए जाने वाले क्षेत्र = 4 दीवारों का क्षेत्रफल + तल का क्षेत्रफल = 2h(l + b) + lb = 2 × 6 × (25 + 12) + (25 × 12) = 12 × 37 + 300 = 444 + 300 = 744 वर्ग मीटर

प्लास्टर करने की दर = 75 पैसे = ₹0.75 प्रति वर्ग मीटर

कुल लागत = 744 × 0.75 = ₹558

व्याख्या

दूध की प्रारंभिक मात्रा = (27 ÷ 34) × 85 = 67.5 लीटर पानी की प्रारंभिक मात्रा = (7 ÷ 34) × 85 = 17.5 लीटर

चूंकि केवल पानी मिलाया जाता है, इसलिए नए मिश्रण में दूध की मात्रा 67.5 लीटर अपरिवर्तित रहती है।

नए दूध-से-पानी के अनुपात 3 : 1 में, 3 भाग 67.5 लीटर का प्रतिनिधित्व करते हैं। नए मिश्रण में पानी का 1 भाग = 67.5 ÷ 3 = 22.5 लीटर

मिलाया जाने वाला पानी = 22.5 - 17.5 = 5 लीटर

व्याख्या

वन जैव विविधता संस्थान (IFB) हैदराबाद, तेलंगाना के दुलापल्ली में स्थित है। यह पर्यावरण, वन और जलवायु परिवर्तन मंत्रालय के भारतीय वानिकी अनुसंधान और शिक्षा परिषद (ICFRE) के तहत एक घटक अनुसंधान संस्थान के रूप में कार्य करता है, जिसकी स्थापना दिसंबर 2012 में पूर्व वन अनुसंधान केंद्र को उन्नत करके की गई थी। यह संस्थान पूर्वी घाट और तटीय पारिस्थितिक तंत्र पर विशेष जोर देने के साथ, वन जैव विविधता संरक्षण, वृक्ष सुधार और पारिस्थितिक-पुनर्स्थापन के संबंध में वैज्ञानिक अनुसंधान पर ध्यान केंद्रित करता है।

व्याख्या

कुल कार्य 60 इकाई (12 और 10 का LCM) मान लीजिए।

A की दक्षता = 60 / 12 = 5 इकाई/दिन B की दक्षता = 60 / 10 = 6 इकाई/दिन

2 एकांतर दिनों के 1 चक्र में (दिन 1 पर A, दिन 2 पर B), पूरा हुआ कार्य = 5 + 6 = 11 इकाई। 5 चक्रों (10 दिनों) में, पूरा हुआ कार्य = 5 × 11 = 55 इकाई। शेष कार्य = 60 - 55 = 5 इकाई।

11वें दिन, A काम करता है और शेष 5 इकाई को 5 / 5 = 1 दिन में पूरा करता है। कुल लिया गया समय = 10 + 1 = 11 दिन।

व्याख्या

मिश्रण का क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य ÷ (1 + लाभ %) मिश्रण का क्रय मूल्य = 8 ÷ (1 + 0.375) = 8 ÷ (11/8) = ₹ 64/11 प्रति लीटर

चूंकि पानी की लागत ₹ 0 है, इसलिए मिश्रण की कुल लागत केवल दूध के कारण है। मिश्रण में दूध के अंश को M मानते हुए: M × 6.40 = 64/11 M × (32/5) = 64/11 M = 10/11

पानी का अंश = 1 - 10/11 = 1/11

पानी और दूध का अनुपात = (1/11) : (10/11) = 1 : 10

व्याख्या

राष्ट्र संघ को 'युद्ध की संतान' कहा जाता है क्योंकि इसका निर्माण प्रथम विश्व युद्ध के विनाशकारी प्रकोप का सीधा परिणाम था। अमेरिकी राष्ट्रपति वुडरो विल्सन के चौदह सूत्रीय कार्यक्रम के हिस्से के रूप में प्रस्तावित और औपचारिक रूप से 1919 में वर्साय की संधि के तहत स्थापित, इस संगठन का जन्म सामूहिक सुरक्षा, कूटनीति और अंतर्राष्ट्रीय सहयोग के माध्यम से भविष्य के संघर्षों को रोकने के लिए एक तत्काल वैश्विक प्रतिबद्धता से हुआ था।

व्याख्या

भारतीय सांविधिक आयोग, जिसे लोकप्रिय रूप से साइमन कमीशन के नाम से जाना जाता है, की नियुक्ति 1927 में ब्रिटिश सरकार द्वारा सर जॉन साइमन के अधीन भारत में संवैधानिक प्रणाली के कामकाज की समीक्षा करने और आगे के सुधारों का सुझाव देने के लिए की गई थी। इस आयोग का लगभग सभी प्रमुख भारतीय राजनीतिक दलों, जिनमें भारतीय राष्ट्रीय कांग्रेस और मुस्लिम लीग शामिल थे, द्वारा बहिष्कार किया गया था, क्योंकि इसके सभी सात सदस्य श्वेत ब्रिटिश सांसद थे, जिन्होंने भारतीयों को अपने राष्ट्र के संवैधानिक भविष्य का निर्णय लेने से पूरी तरह बाहर रखा था।

व्याख्या

चूंकि cot θ = 1/tan θ है, इसलिए cot θ = 2 / (√3 + 1) होगा।

दिए गए व्यंजक में cot θ का मान रखने पर: 2√3 cot θ + 1 = 2√3 × [2 / (√3 + 1)] + 1 = [4√3 / (√3 + 1)] + 1 = [4√3 + (√3 + 1)] / (√3 + 1) = (5√3 + 1) / (√3 + 1)

व्याख्या

मान लीजिए एक तरफ पैदल जाने में लगा समय W है और एक तरफ सवारी करके जाने में लगा समय R है।

दिया गया है कि W + R = 5 घंटे 45 मिनट।

दोनों तरफ सवारी करके जाने पर 2 घंटे बचते हैं, इसलिए 2R = 5 घंटे 45 मिनट - 2 घंटे = 3 घंटे 45 मिनट।

पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर: 2W + 2R = 2 × (5 घंटे 45 मिनट) = 11 घंटे 30 मिनट

इस समीकरण में 2R का मान रखने पर: 2W + 3 घंटे 45 मिनट = 11 घंटे 30 मिनट 2W = 11 घंटे 30 मिनट - 3 घंटे 45 मिनट = 7 घंटे 45 मिनट

इस प्रकार, दोनों तरफ पैदल जाने में 7 घंटे 45 मिनट का समय लगेगा।

व्याख्या

भारत की पहली इलेक्ट्रिक ट्रेन 3 फरवरी 1925 को बॉम्बे वीटी (अब छत्रपति शिवाजी महाराज टर्मिनस) और कुर्ला के बीच हार्बर लाइन पर रवाना हुई थी। ग्रेट इंडियन पेनिनसुला रेलवे (GIPR) द्वारा संचालित, यह 1500 V DC ओवरहेड इलेक्ट्रिक ट्रैक्शन सिस्टम पर चली, जिसने भारत में रेल विद्युतीकरण की शुरुआत को चिह्नित किया।

व्याख्या

ISRO ने 22 मई, 2019 को सतीश धवन अंतरिक्ष केंद्र, श्रीहरिकोटा से PSLV-C46 मिशन के तहत रडार इमेजिंग पृथ्वी अवलोकन उपग्रह RISAT-2B को सफलतापूर्वक लॉन्च किया। सॉलिड स्ट्रैप-ऑन मोटर्स के बिना अपने कोर-अलोन कॉन्फ़िगरेशन में उड़े, PSLV-C46 ने 615 किलोग्राम के उपग्रह को 555 किमी की ऊंचाई पर 37 डिग्री के झुकाव वाले निम्न पृथ्वी कक्षा में स्थापित किया। एक्स-बैंड सिंथेटिक एपर्चर रडार और 3.6 मीटर रेडियल रिब एंटीना से लैस, RISAT श्रृंखला कृषि, वानिकी और आपदा प्रबंधन अनुप्रयोगों के लिए हर मौसम में, दिन-रात उच्च-रिज़ॉल्यूशन इमेजिंग प्रदान करती है।

व्याख्या

समावेशन-अपवर्जन के सिद्धांत के अनुसार, कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत है: P(E ∪ M) = P(E) + P(M) - P(E ∩ M) = 80% + 85% - 75% = 90%

दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत 100% - 90% = 10% है।

यह देखते हुए कि कुल छात्रों का 10% 40 के बराबर है, छात्रों की कुल संख्या (40 ÷ 10) × 100 = 400 है।

व्याख्या

मान लीजिए मीनार की ऊँचाई h है और बिंदु P तथा मीनार के आधार के बीच की दूरी x है।

मीनार के करीब दूसरी स्थिति में बने समकोण त्रिभुज में, 20 मीटर करीब: tan 45° = h / (x - 20) 1 = h / (x - 20) h = x - 20

बिंदु P पर बने समकोण त्रिभुज में: tan 30° = h / x 1 / √3 = (x - 20) / x x = √3(x - 20) x = x√3 - 20√3 x(√3 - 1) = 20√3

x के लिए हल करने पर: x = 20√3 / (√3 - 1) x = [20√3(√3 + 1)] / [(√3 - 1)(√3 + 1)] x = [20(3 + √3)] / 2 x = 10(3 + √3) x = 30 + 10√3

√3 = 1.732 रखने पर: x = 30 + 10(1.732) x = 30 + 17.32 = 47.32 मी

व्याख्या

आँकड़ा समुच्चय में n = 10 प्रेक्षण हैं, जो एक सम संख्या है। प्रेक्षणों की सम संख्या के लिए, माध्यक (n/2)वें प्रेक्षण और (n/2 + 1)वें प्रेक्षण का औसत होता है, जो कि 5वाँ और 6वाँ पद हैं।

5वाँ पद = x 6वाँ पद = x + 2

माध्यक = (x + x + 2) / 2 = x + 1

माध्यक को 17 के बराबर रखने पर: x + 1 = 17 x = 16

व्याख्या

दीवार, जमीन और सीढ़ी द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में, सीढ़ी के पाद से दीवार तक की दूरी आधार का प्रतिनिधित्व करती है, और सीढ़ी कर्ण का प्रतिनिधित्व करती है।

cos(θ) = आधार / कर्ण

दिया गया है θ = 60° और आधार = 15 मीटर:

cos(60°) = 15 / सीढ़ी की लंबाई

½ = 15 / सीढ़ी की लंबाई

सीढ़ी की लंबाई = 15 × 2 = 30 मीटर

व्याख्या

प्रत्येक भाजक और उसके संगत शेषफल के बीच का अंतर स्थिर है: 20 - 15 = 5, 25 - 20 = 5, 35 - 30 = 5, और 40 - 35 = 5।

वांछित छोटी से छोटी संख्या LCM(20, 25, 35, 40) - 5 द्वारा दी जाती है।

भाजकों का अभाज्य गुणनखंडन: 20 = 2² × 5 25 = 5² 35 = 5 × 7 40 = 2³ × 5

LCM(20, 25, 35, 40) = 2³ × 5² × 7 = 1400

वांछित संख्या = 1400 - 5 = 1395

व्याख्या

दशमलव संख्याओं 10.8, 28.8 और 36 का HCF ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक संख्या को 10 से गुणा करके उन्हें पूर्णांकों में बदलें:

10.8 × 10 = 108 28.8 × 10 = 288 36 × 10 = 360

अब, इन पूर्णांकों का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें: 108 = 2² × 3³ 288 = 2⁵ × 3² 360 = 2³ × 3² × 5

सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों का गुणनफल देता है: HCF(108, 288, 360) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

प्रारंभिक स्केलिंग को ध्यान में रखने के लिए इस परिणाम को 10 से विभाजित करें: HCF(10.8, 28.8, 36) = 36 / 10 = 3.6

व्याख्या

मानक विचलन (σ) प्रसरण का धनात्मक वर्गमूल होता है:

σ = √(प्रसरण)

दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

σ = √0.64 = 0.8

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a + b)(a - b) का प्रयोग करके:

अंश के लिए: 54.542² - 45.458² = (54.542 + 45.458) × (54.542 - 45.458) = 100 × 9.084

हर के लिए: 61.738 - 52.654 = 9.084

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: मान = (100 × 9.084) / 9.084 = 100

व्याख्या

जब एक विक्रय मूल्य पर अर्जित लाभ दूसरे विक्रय मूल्य पर हुई हानि के बराबर होता है, तो क्रय मूल्य (CP) दोनों विक्रय मूल्यों का मध्य बिंदु होता है:

CP = (832 + 448) ÷ 2 = 1280 ÷ 2 = ₹640

50% लाभ कमाने के लिए, आवश्यक विक्रय मूल्य है:

विक्रय मूल्य = CP × 1.5 = 640 × 1.5 = ₹960

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत, यदि कोई धनराशि 't' वर्षों में 'k' गुना हो जाती है, तो यह 'n × t' वर्षों में 'kⁿ' गुना हो जाएगी।

यहां, धनराशि 15 वर्षों में दोगुनी (2¹ गुना) हो जाती है। 8 गुना होने के लिए, हम 8 को 2 की घात के रूप में व्यक्त करते हैं: 8 = 2³

इस प्रकार, n = 3।

आवश्यक समय = 3 × 15 = 45 वर्ष।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) = विक्रय मूल्य (SP) × 100 / (100 + लाभ%)

SP = ₹40.60 और लाभ% = 16 रखने पर: CP = 40.60 × 100 / (100 + 16) CP = 4060 / 116 = ₹35

व्याख्या

मान लीजिए अरुण की प्रारंभिक राशि A है और शेखर की प्रारंभिक राशि S है।

पहली शर्त से, जब अरुण शेखर को ₹30 देता है: S + 30 = 2(A - 30) 2A - S = 90 --- (1)

दूसरी शर्त से, जब शेखर अरुण को ₹10 देता है: A + 10 = 3(S - 10) A = 3S - 40 --- (2)

(2) को (1) में प्रतिस्थापित करने पर: 2(3S - 40) - S = 90 6S - 80 - S = 90 5S = 170 S = 34

S = 34 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर A = 3(34) - 40 = 62 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए अल्फ्रेड का जन्म वर्ष B है। 1944 में उसकी आयु 1944 - B थी।

प्रश्न के अनुसार: 1944 - B = B / 80 81B = 80 × 1944 B = 155520 / 81 = 1920

अल्फ्रेड का जन्म 1920 में हुआ था।

1952 में उसकी आयु = 1952 - 1920 = 32 वर्ष।

व्याख्या

17 और 520 के बीच की वे संख्याएँ जो 6 से विभाज्य हैं, एक समांतर श्रेणी बनाती हैं जहाँ: पहला पद (a) = 18 अंतिम पद (l) = 516 सार्व अंतर (d) = 6

पदों की संख्या (n) = ((l - a) / d) + 1 = ((516 - 18) / 6) + 1 = 83 + 1 = 84

समांतर श्रेणी का योग (S) = (n / 2) × (a + l) S = (84 / 2) × (18 + 516) = 42 × 534 = 22428

व्याख्या

√(8/5) को √40 के पदों में व्यक्त करने के लिए, वर्गमूल के अंदर अंश और हर को 5 से गुणा करें:

√(8/5) = √[(8 × 5) / (5 × 5)] = √(40/25) = √40 / 5

समीकरण में √40 ≈ 6.325 प्रतिस्थापित करने पर:

6.325 / 5 = 1.265

व्याख्या

तरंग गति, आवृत्ति और तरंग दैर्ध्य के बीच संबंध सूत्र v = f × λ द्वारा दिया जाता है, जहाँ v तरंग गति है, f आवृत्ति है, और λ तरंग दैर्ध्य है।

तरंग दैर्ध्य के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर λ = v / f प्राप्त होता है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: λ = 36 / 50 = 0.72 मीटर।

व्याख्या

मुख्य भिन्न का अंश: 3¼ - (4/5 × 5/6) = 13/4 - 2/3 = (39 - 8)/12 = 31/12

मुख्य भिन्न का हर: 4⅓ ÷ 1/5 - (3/10 + 21⅕) = 13/3 × 5 - (3/10 + 106/5) = 65/3 - 215/10 = 65/3 - 43/2 = (130 - 129)/6 = 1/6

मुख्य भिन्न का मान: (31/12) ÷ (1/6) = (31/12) × 6 = 31/2

घटाने के लिए दूसरा व्यंजक: 1⅔ × 1½ = 5/3 × 3/2 = 5/2

मुख्य भिन्न से दूसरा व्यंजक घटाना: 31/2 - 5/2 = 26/2 = 13

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 10² = a² + b² + c² + 2(31) 100 = a² + b² + c² + 62 a² + b² + c² = 100 - 62 = 38

व्याख्या

जब x वस्तुओं का क्रय मूल्य y वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर होता है, तो प्रतिशत लाभ की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ % = [(x - y) / y] × 100

x = 15 और y = 12 रखने पर:

लाभ % = [(15 - 12) / 12] × 100 = (3 / 12) × 100 = 25%

व्याख्या

एक त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।

कोणों का अनुपात 2 : 3 : 4 दिया गया है, कुल अनुपात भाग 2 + 3 + 4 = 9 भाग के बराबर हैं।

सबसे बड़े कोण (4 भाग) और सबसे छोटे कोण (2 भाग) के बीच का अंतर 4 - 2 = 2 भाग है।

अंतर = (2 ÷ 9) × 180° = 40°

व्याख्या

सड़क का क्षेत्रफल = बाहरी क्षेत्रफल - आंतरिक क्षेत्रफल

आंतरिक वर्ग की लंबाई = 18 मीटर आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल = 18² = 324 m²

चूंकि पार्क के चारों ओर बाहर की तरफ 3 मीटर चौड़ी सड़क बनाई गई है, इसलिए दोनों विपरीत दिशाओं में भुजा की लंबाई 3 मीटर बढ़ जाती है: बाहरी वर्ग की लंबाई = 18 + (2 × 3) = 24 मीटर बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल = 24² = 576 m²

सड़क का क्षेत्रफल = 576 - 324 = 252 m²

व्याख्या

तय की जाने वाली कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई = 450 मीटर + 150 मीटर = 600 मीटर।

ट्रेन की गति = 80 किमी/घंटा = 80 × (5/18) मी/से = 200/9 मी/से।

लिया गया समय = दूरी ÷ गति = 600 ÷ (200/9) = (600 × 9) ÷ 200 = 27 सेकंड।

व्याख्या

प्रति घंटे भरने की शुद्ध दर = 1/4 - 1/6 = टंकी का 1/12।

पूरी टंकी भरने के लिए आवश्यक समय = 1 / (1/12) = 12 घंटे।

टंकी को आधा भरने के लिए आवश्यक समय = 12 × ½ = 6 घंटे।

व्याख्या

मान प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके, मान लीजिए a = 1, b = 1, और c = -2 ताकि a + b + c = 0 हो।

अंश: (a² + b² + c²)² = (1² + 1² + (-2)²)² = (1 + 1 + 4)² = 6² = 36

हर: a²b² + b²c² + c²a² = (1² × 1²) + (1² × (-2)²) + ((-2)² × 1²) = 1 + 4 + 4 = 9

व्यंजक का मूल्यांकन: 36 / 9 = 4

वैकल्पिक रूप से, (a + b + c)² = 0 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca) प्राप्त होता है। पुनः वर्ग करने पर (a² + b² + c²)² = 4(ab + bc + ca)² = 4(a²b² + b²c² + c²a² + 2abc(a + b + c)) प्राप्त होता है। चूँकि a + b + c = 0 है, (a² + b² + c²)² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) प्राप्त होता है, जिससे 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब भुजा 'a' वाले 3 समान घन एक पंक्ति में अगल-बगल जोड़े जाते हैं, तो 2 आंतरिक जोड़ बनते हैं, जो कुल मिलाकर 4 घन फलकों को ढकते हैं। परिणामी घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इसलिए 3 अलग-अलग घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफल में से 4 छिपे हुए फलकों के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × 6a² - 4a² = 14a²

दिया गया है भुजा a = 16 सेमी: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 14 × 16² = 14 × 256 = 3584 सेमी²

व्याख्या

दी गई लंबाइयों को ठीक-ठीक मापने वाली सबसे बड़ी लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम तीनों लंबाइयों को सेंटीमीटर में व्यक्त करके उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करते हैं।

सभी लंबाइयों को सेंटीमीटर में बदलना: 7 मीटर = 700 सेमी 3 मीटर 85 सेंटीमीटर = 385 सेमी 12 मीटर 95 सेंटीमीटर = 1295 सेमी

प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन: 700 = 2² × 5² × 7 385 = 5 × 7 × 11 1295 = 5 × 7 × 37

सामान्य अभाज्य गुणनखंड 5 और 7 हैं। HCF(700, 385, 1295) = 5 × 7 = 35 सेमी

व्याख्या

11 की विभाज्यता नियम के अनुसार, कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर स्थित अंकों के योग और सम स्थानों पर स्थित अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज हो।

सात अंकों की संख्या 67843A2 के लिए: विषम स्थानों पर अंकों का योग = 6 + 8 + 3 + 2 = 19 सम स्थानों पर अंकों का योग = 7 + 4 + A = 11 + A

अंतर = 19 - (11 + A) = 8 - A

चूंकि A एक एकल अंक वाली पूर्ण संख्या है, इसलिए अंतर को 11 से विभाज्य होने के लिए 8 - A = 0 होना चाहिए। 8 - A = 0 A = 8

व्याख्या

1000 से बड़ी 7 की सबसे छोटी गुणज 1001 (143 × 7) है और 3000 से छोटी 7 की सबसे बड़ी गुणज 2996 (428 × 7) है।

समांतर श्रेणी सूत्र l = a + (n - 1)d का उपयोग करते हुए, जहाँ पहला पद a = 1001, अंतिम पद l = 2996, और सार्व अंतर d = 7 है:

2996 = 1001 + (n - 1) × 7 1995 = (n - 1) × 7 n - 1 = 285 n = 286

वैकल्पिक रूप से, फ्लोर विभाजन का उपयोग करते हुए, गणना ⌊2999/7⌋ - ⌊1000/7⌋ = 428 - 142 = 286 है।

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot θ और गुणन सर्वसमिका tan θ × cot θ = 1 का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को बाहरी पदों से अंदर की ओर जोड़ा जा सकता है:

(tan 1° × tan 89°) × (tan 2° × tan 88°) × ... × (tan 44° × tan 46°) × tan 45°

चूंकि tan(90° - θ) = cot θ, tan 89° = cot 1°, tan 88° = cot 2°, और इसी तरह tan 46° = cot 44° तक।

प्रत्येक जोड़ा tan θ × cot θ = 1 तक सरल हो जाता है। मध्य पद tan 45° भी 1 के बराबर है।

इस प्रकार, संपूर्ण गुणनफल 1 × 1 × ... × 1 = 1 के बराबर होता है।

व्याख्या

यहाँ DDD तीन अंकों की एक संख्या को दर्शाता है जहाँ प्रत्येक अंक D है, जिसे 100D + 10D + D = 111D के रूप में लिखा जा सकता है।

DDD के 8 से विभाज्य होने के लिए, 111D को 8 से विभाज्य होना चाहिए। चूँकि 111 और 8 सह-अभाज्य हैं (gcd(111, 8) = 1), 8 को एकल अंक D को विभाजित करना चाहिए।

8 का एकमात्र गैर-शून्य एकल-अंकीय पूर्णांक गुणज 8 है। D = 8 प्रतिस्थापित करने पर तीन अंकों की संख्या 888 प्राप्त होती है, जो 8 से विभाज्य है (888 ÷ 8 = 111)।

व्याख्या

हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को (2√2 + √7) से गुणा करें:

(2√2 + √7) / (2√2 - √7) = (2√2 + √7)² / ((2√2)² - (√7)²)

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके अंश का विस्तार करें: (2√2 + √7)² = (2√2)² + (√7)² + 2(2√2)(√7) = 8 + 7 + 4√14 = 15 + 4√14

(a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके हर को सरल करें: (2√2)² - (√7)² = 8 - 7 = 1

इस प्रकार, व्यंजक 15 + 4√14 तक सरल हो जाता है।

15 + 4√14 की तुलना x + y√14 से करने पर x = 15 और y = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का प्रयोग करके, कोष्ठक में दिए गए पद को सरल करें: 75² - 55² = (75 - 55) × (75 + 55) = 20 × 130 = 2600

इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: (4/11) × (121/16) × 24 × 2600 × (1/100)

चरण-दर-चरण सरल करें: (4/11) × (121/16) = 11/4 (11/4) × 24 = 66 2600 × (1/100) = 26

शेष पदों को गुणा करें: 66 × 26 = 1716

व्याख्या

व्यंजक को अंश में प्रत्येक दशमलव को हर में उसके संगत पद के साथ जोड़कर पुनर्व्यवस्थित करें:

व्यंजक = 9 × (0.9 / 0.3) × (0.09 / 0.03) × (0.009 / 0.003)

कोष्ठकों में प्रत्येक पद को सरल करें: 0.9 / 0.3 = 3 0.09 / 0.03 = 3 0.009 / 0.003 = 3

इन मानों को वापस प्रतिस्थापित करने पर: व्यंजक = 9 × 3 × 3 × 3 = 9 × 27 = 243

व्याख्या

पतंग की जमीन से ऊंचाई का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: कुल ऊंचाई = L × sin(θ) + h

जहाँ L धागे की लंबाई (296 मीटर) है, θ उन्नयन कोण (30°) है, और h जमीन से व्यक्ति के हाथ की ऊंचाई (2 मीटर) है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल ऊंचाई = 296 × sin(30°) + 2 कुल ऊंचाई = 296 × ½ + 2 कुल ऊंचाई = 148 + 2 = 150 मीटर

व्याख्या

3500 में जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, पहले 42, 49, 56 और 63 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें:

42 = 2 × 3 × 7 49 = 7² 56 = 2³ × 7 63 = 3² × 7

LCM(42, 49, 56, 63) = 2³ × 3² × 7² = 8 × 9 × 49 = 3528

3500 से बड़ी 3528 का सबसे छोटा गुणज स्वयं 3528 है।

जोड़ी जाने वाली संख्या = 3528 - 3500 = 28