आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2016 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करने पर, sec² x - 1 = tan² x।

दिया गया है sin x = 4/5, तो cos x का मान है: cos x = √(1 - sin² x) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5

अब, tan x = sin x / cos x = (4/5) / (3/5) = 4/3।

इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: sec² x - 1 = tan² x = (4/3)² = 16/9

व्याख्या

उच्चतम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करना:

2259 = 1757 × 1 + 502 1757 = 502 × 3 + 251 502 = 251 × 2 + 0

चूंकि 251 से विभाजित करने पर शेषफल शून्य हो जाता है, इसलिए 1757 और 2259 का HCF 251 है।

व्याख्या

दिए गए मानों को व्यंजक w² √(z² + y²) में रखने पर:

w² = (-2)² = 4 z² = (-½)² = ¼ y² = 0² = 0

वर्गमूल पद की गणना: √(z² + y²) = √(¼ + 0) = √(¼) = ½

परिणामों को गुणा करना: w² √(z² + y²) = 4 × ½ = 2

व्याख्या

रैखिक समीकरण x - 3 = 3x + 7 को चर पदों को एक तरफ और अचर पदों को दूसरी तरफ समूहित करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

3x - x = -3 - 7 2x = -10 x = -10 / 2 x = -5

x = -5 को मूल समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर बायां पक्ष -5 - 3 = -8 और दायां पक्ष 3(-5) + 7 = -8 प्राप्त होता है, जो हल की पुष्टि करता है।

व्याख्या

अनुक्रमिक विभाजन के लिए मानक बाएँ से दाएँ संचालन क्रम का पालन करते हुए:

33800 / 520 / 5 = (33800 / 520) / 5

पहले, 33800 को 520 से विभाजित करें: 33800 / 520 = 65

अगला, 65 को 5 से विभाजित करें: 65 / 5 = 13

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लंबाई l और चौड़ाई w वाले एक आयत के विकर्ण d की लंबाई d = √(l² + w²) द्वारा दी जाती है।

l = 5 सेमी और w = 3 सेमी रखने पर:

d = √(5² + 3²) = √(25 + 9) = √34 सेमी

चूंकि दूरी हमेशा एक गैर-ऋणात्मक ज्यामितीय मात्रा होती है, विकर्ण की लंबाई सख्ती से धनात्मक होती है।

व्याख्या

किसी सम बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है। भुजाओं की संख्या n निम्न द्वारा दी जाती है:

n = 360° / बाह्य कोण

दिए गए बाह्य कोण 72° को प्रतिस्थापित करने पर:

n = 360° / 72° = 5

व्याख्या

₹P मूलधन पर r% की दर से 2 वर्षों के लिए वार्षिक रूप से संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज की प्रभावी दर 2r + r²/100 % है।

यहाँ, r = 5%, इसलिए प्रभावी ब्याज दर = 2(5) + 5²/100 = 10.25%।

चक्रवृद्धि ब्याज = 7500 × 10.25% = 7500 × (10.25 / 100) = 75 × 10.25 = 768.75।

व्याख्या

रक्षांथ और वर्मा की कार्यक्षमता का अनुपात = 2 : 1। संयुक्त कार्यक्षमता = 2 + 1 = 3 इकाई/दिन।

कुल कार्य = संयुक्त कार्यक्षमता × साथ मिलकर लिए गए दिन = 3 × 19 = 57 इकाई।

वर्मा द्वारा अकेले लिया गया समय = कुल कार्य / वर्मा की कार्यक्षमता = 57 / 1 = 57 दिन।

व्याख्या

a:b (जहाँ a और b सह-अभाज्य हैं) के अनुपात में दो संख्याओं के लिए, जिनका HCF H है, उनका LCM निम्न द्वारा दिया जाता है:

LCM = a × b × H

दिए गए मानों (a = 2, b = 5, और H = 18) को प्रतिस्थापित करने पर:

LCM = 2 × 5 × 18 = 180

व्याख्या

किसी भी सम बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है। भुजाओं की संख्या n का सूत्र n = 360° / बाह्य कोण द्वारा दिया जाता है।

दिए गए बाह्य कोण 40° को प्रतिस्थापित करने पर: n = 360° / 40° = 9

व्याख्या

घातांक नियम (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ का प्रयोग करके:

(25)⁽3/2) = (5²)⁽3/2) = 5⁽2 × 3/2) = 5³ = 125।

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लंबाई l और चौड़ाई w वाले एक आयत के विकर्ण d की लंबाई सूत्र d = √(l² + w²) द्वारा दी जाती है। दिए गए मान l = 9 सेमी और w = 5 सेमी रखने पर d = √(9² + 5²) = √(81 + 25) = √106 सेमी प्राप्त होता है। चूँकि ज्यामितीय लंबाई हमेशा एक धनात्मक राशि होती है, विकर्ण की लंबाई √106 सेमी है।

व्याख्या

मनोज और अनुराग की दक्षता का अनुपात = 2 : 1.

प्रति दिन संयुक्त दक्षता = 2 + 1 = 3 इकाई।

कुल कार्य = संयुक्त दक्षता × एक साथ लिया गया समय = 3 × 22 = 66 इकाई।

अनुराग द्वारा अकेले कार्य पूरा करने में लिया गया समय = कुल कार्य ÷ अनुराग की दक्षता = 66 ÷ 1 = 66 दिन।

व्याख्या

a:b (जहाँ a और b सह-अभाज्य हैं) के अनुपात में दो संख्याओं और HCF h के लिए, उनका LCM सूत्र द्वारा दिया जाता है:

LCM = h × a × b

h = 13, a = 4, और b = 5 को प्रतिस्थापित करने पर:

LCM = 13 × 4 × 5 = 260

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल करने के लिए, भाग के प्रत्येक संक्रिया को भाजक भिन्न का व्युत्क्रम लेकर गुणन में बदलें:

5/28 ÷ 28/35 ÷ 20/112 = (5/28) × (35/28) × (112/20)

जहाँ संभव हो भिन्नों को सरल करें: 35/28 को अंश और हर को 7 से विभाजित करके 5/4 तक सरल किया जाता है। 112/20 को अंश और हर को 4 से विभाजित करके 28/5 तक सरल किया जाता है।

इन्हें व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: (5/28) × (5/4) × (28/5)

अंश और हर से उभयनिष्ठ पदों 28 और 5 को रद्द करें: = 5/4

व्याख्या

इकाई विधि का उपयोग करके, समय को सेकंड में बदलें: कुल समय = 19 मिनट = 19 × 60 = 1140 सेकंड दिया गया समय = 15 मिनट 50 सेकंड = (15 × 60) + 50 = 950 सेकंड

950 सेकंड की लागत = 13 × (950 / 1140) = 13 × (5 / 6) = 65 / 6 = 10.833... ≈ 10.8 रुपये।

व्याख्या

पहले, 4082 को 157 से विभाजित करें: 4082 ÷ 157 = 26

फिर, घटाव करें: 26 - 23 = 3

व्याख्या

x के लिए रैखिक समीकरण को हल करने के लिए:

1000x - 5 = -6

दोनों पक्षों में 5 जोड़ें: 1000x = -6 + 5 1000x = -1

दोनों पक्षों को 1000 से विभाजित करें: x = -1/1000

व्याख्या

किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए, उनके गुणनफल, महत्तम समापवर्तक (HCF), और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के बीच मौलिक संबंध इस प्रकार दिया गया है:

दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 2522 = HCF × 97

HCF = 2522 ÷ 97 = 26

व्याख्या

मान लीजिए एक तरफ चलकर जाने में लगा समय W है और एक तरफ सवारी करके आने में लगा समय R है।

दिया गया है कि W + R = 9 घंटे 20 मिनट, इसका दोगुना करने पर 2(W + R) = 18 घंटे 40 मिनट प्राप्त होता है, जो दोनों तरफ चलकर जाने और दोनों तरफ सवारी करके आने में लगा कुल समय दर्शाता है।

दोनों तरफ चलकर जाने में लगा समय 2W = 11 घंटे 15 मिनट है।

2(W + R) में से 2W घटाने पर दोनों तरफ सवारी करके वापस आने में लगा कुल समय (2R) प्राप्त होता है: 2R = 18 घंटे 40 मिनट - 11 घंटे 15 मिनट = 7 घंटे 25 मिनट।

व्याख्या

अंकगणितीय माध्य की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: माध्य = (सभी प्रेक्षणों का योग) / (प्रेक्षणों की कुल संख्या)

प्रेक्षणों का योग = 2 + 9 + 9 + 3 + 6 + 9 + 4 = 42 प्रेक्षणों की कुल संख्या = 7

माध्य = 42 / 7 = 6

व्याख्या

सीधे विक्रय मूल्य सूत्र का उपयोग करके:

नया विक्रय मूल्य = दिया गया विक्रय मूल्य × (100 + लाभ%) / (100 - हानि%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना:

नया विक्रय मूल्य = 20,400 × (100 + 15) / (100 - 15) = 20,400 × 115 / 85 = 20,400 × 23 / 17 = 1,200 × 23 = 27,600 रुपये

व्याख्या

2 वर्षों के लिए 4% प्रति वर्ष की प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर = 4 + 4 + (4 × 4) / 100 = 8.16%।

चक्रवृद्धि ब्याज = मूलधन × प्रभावी दर = 4500 × 8.16 / 100 = 45 × 8.16 = ₹ 367.2

व्याख्या

अनुपात पदों का योग = 1 + 3 + 6 + 7 = 17 भाग।

प्रति अनुपात भाग का मान = 221 / 17 = 13।

अनुपात के प्रत्येक पद को 13 से गुणा करने पर संबंधित राशि प्राप्त होती है: 1 × 13 = 13 3 × 13 = 39 6 × 13 = 78 7 × 13 = 91

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A × tan B)

सूत्र में tan A = 15/8 और tan B = 7/24 का मान रखें:

tan A - tan B = 15/8 - 7/24 = 45/24 - 7/24 = 38/24

1 + tan A × tan B = 1 + (15/8 × 7/24) = 1 + 105/192 = 297/192

tan(A - B) = (38/24) ÷ (297/192) = (38/24) × (192/297) = 38 × 8 / 297 = 304/297

व्याख्या

2.31 और 0.34 के गुणनफल को ज्ञात करने के लिए, पहले दशमलव बिंदुओं को अनदेखा करते हुए संख्याओं को गुणा करें:

231 × 34 = 7854

दोनों गुणनखंडों में दशमलव स्थानों की कुल संख्या गिनें: 2.31 में दो दशमलव स्थान हैं और 0.34 में दो दशमलव स्थान हैं, जिससे कुल चार दशमलव स्थान होते हैं। दशमलव बिंदु को दाईं ओर से चार स्थान रखने पर 0.7854 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी दशमलव संख्या को भिन्न में बदलने के लिए, दशमलव बिंदु के बाद के अंकों को 10 की घात के ऊपर रखें जो दशमलव अंकों की संख्या के अनुरूप हो। चूँकि 0.018 में तीन दशमलव स्थान हैं, हर 10³ = 1000 होगा, जिससे 18/1000 प्राप्त होगा।

व्याख्या

प्रत्येक भिन्न को उसके दशमलव रूप में परिवर्तित करने पर:

1/5 = 0.20 1/3 = 0.33... 2/5 = 0.40

इन दशमलव मानों को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करने पर 0.20 < 0.33 < 0.40 प्राप्त होता है, जो 1/5, 1/3, 2/5 के संगत है।

व्याख्या

वितरण नियम का उपयोग करके दिए गए बीजीय व्यंजक का विस्तार करने पर: 5x - 2x(x - 1) = 5x - 2x² + 2x

समान पदों को संयोजित करने पर: (5x + 2x) - 2x² = 7x - 2x²

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में जहाँ sin x = 4/5 है, सम्मुख भुजा 4 है और कर्ण 5 है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आसन्न भुजा √(5² - 4²) = 3 है।

इसलिए, cos x = 3/5, जिससे sec x = 1/cos x = 5/3 प्राप्त होता है।

दिए गए व्यंजक का मूल्यांकन करने पर: sec x / sin x = (5/3) / (4/5) = (5/3) × (5/4) = 25/12

व्याख्या

साधारण ब्याज SI = (P × R × T) / 100 कुल राशि = मूलधन + SI

दिया गया है मूलधन P = रु. 650, दर R = 6%, और समय T = 4 वर्ष: SI = (650 × 6 × 4) / 100 = रु. 156

कुल राशि = 650 + 156 = रु. 806

व्याख्या

घूर्णी समरूपता (Rotational symmetry) का तात्पर्य उस संख्या से है जितनी बार एक ज्यामितीय आकृति 360° के पूर्ण घूर्णन के दौरान अपने मूल अभिविन्यास से मेल खाती है। एक समलम्ब चतुर्भुज 360° का पूरा चक्कर लगाने के बाद ही अपने मूल आकार से मेल खाता है। परिणामस्वरूप, एक समलम्ब चतुर्भुज की घूर्णी समरूपता का क्रम 1 होता है।

व्याख्या

माध्यिका ज्ञात करने के लिए, दिए गए 10 प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: -5, -3, -2, 0, 1, 4, 4, 5, 7, 10

चूंकि प्रेक्षणों की कुल संख्या n = 10 सम है, माध्यिका (n/2)वें और ((n/2) + 1)वें पदों का माध्य है, जो क्रमबद्ध सूची में 5वें और 6वें मानों के अनुरूप हैं।

5वां पद = 1 6वां पद = 4

माध्यिका = (1 + 4) / 2 = 5 / 2 = 2.5

व्याख्या

मान लीजिए प्रत्येक समान दूरी d किमी है। तय की गई कुल दूरी 3d किमी है।

समय = दूरी / गति

कुल समय घंटे में = d/3 + d/4 + d/8 = d × (8 + 6 + 3) / 24 = 17d/24 घंटे

कुल समय को मिनट से घंटे में बदलना: 42.5 मिनट = 42.5 / 60 = 17 / 24 घंटे

दोनों को बराबर करने पर: 17d/24 = 17/24 d = 1 किमी

कुल दूरी = 3 × 1 = 3 किमी

व्याख्या

कार्य-समकक्षता सूत्र M₁ × D₁ = M₂ × D₂ का उपयोग करके:

4 × 12 = 6 × D₂ 48 = 6 × D₂ D₂ = 48 / 6 = 8 दिन

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य 100 इकाई है।

2% लाभ पर पहला विक्रय मूल्य = 100 + 2 = 102 इकाई 12% लाभ पर दूसरा विक्रय मूल्य = 100 + 12 = 112 इकाई

दोनों विक्रय मूल्यों का अनुपात = 102 : 112 = 51 : 56

व्याख्या

जब कोई व्यापारी खराब वजन का उपयोग करके खरीदते समय x% और बेचते समय y% की बेईमानी करता है, तो शुद्ध प्रतिशत लाभ की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

शुद्ध लाभ % = x + y + (x × y)/100

दिया गया है x = 8% और y = 8%:

शुद्ध लाभ % = 8 + 8 + (8 × 8)/100 = 16 + 64/100 = 16 + 0.64 = 16.64%

व्याख्या

दिए गए मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: z/w + x = (-½) / (-2) + 3

-½ को -2 से विभाजित करने पर ¼ प्राप्त होता है।

¼ में 3 जोड़ने पर: ¼ + 3 = 3¼

व्याख्या

क्रमिक विभाजन के लिए संक्रियाओं के मानक क्रम का उपयोग करते हुए, संक्रियाओं का मूल्यांकन बाएं से दाएं किया जाता है:

28854 ÷ 458 ÷ 9 = (28854 ÷ 458) ÷ 9 = 28854 ÷ (458 × 9)

भाजकों को गुणा करना: 458 × 9 = 4122

भाज्य को 4122 से विभाजित करना: 28854 ÷ 4122 = 7

व्याख्या

साझेदारी में लाभ का अनुपात उनके संबंधित निवेश और समय अवधि के गुणनफल के अनुपात के बराबर होता है: लाभ अनुपात = (पूंजी₁ × समय₁) / (पूंजी₂ × समय₂)

मान लीजिए मोहन का समय 12 महीने है और व्यवसाय में सोहन का समय t महीने है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

3 / 1 = (100000 × 12) / (40000 × t) 3 / 1 = 30 / t 3t = 30 t = 10 महीने

सोहन व्यवसाय में 10 महीने सक्रिय रहा, जिसका अर्थ है कि वह 12 - 10 = 2 महीने बाद शामिल हुआ।

व्याख्या

पूरक कोणों का योग 90° होता है। 4:5 के अनुपात में दो कोणों के लिए, भागों की कुल संख्या 4 + 5 = 9 है।

एक भाग का मान = 90° / 9 = 10°

बड़ा कोण 5 भागों के संगत है = 5 × 10° = 50°।

व्याख्या

औसत = (चौथे महीने में छापे गए कुल पृष्ठ) ÷ (प्रिंटरों की संख्या)

चौथे महीने में प्रिंटर P, Q, R, S, T, और U द्वारा छापे गए पृष्ठों का योग: = 256 + 563 + 347 + 651 + 412 + 321 = 2550

औसत = 2550 ÷ 6 = 425

व्याख्या

सभी 5 महीनों में प्रिंटर S द्वारा छापे गए पृष्ठों की कुल संख्या उसके मासिक उत्पादन को जोड़कर निकाली जाती है: 552 + 438 + 527 + 651 + 582 = 2750 पृष्ठ। इसी अवधि में अन्य प्रिंटरों द्वारा छापे गए कुल पृष्ठों (P = 2646, Q = 2665, R = 2595, T = 2731, U = 2712) से इसकी तुलना करने पर, प्रिंटर S का कुल योग सबसे अधिक है।

व्याख्या

दूसरे महीने में प्रिंटर Q द्वारा छापे गए पृष्ठों की संख्या = 441 पांचवें महीने में प्रिंटर U द्वारा छापे गए पृष्ठों की संख्या = 693

वांछित अनुपात = 441 : 693

दोनों पदों को 63 से विभाजित करने पर: 441 ÷ 63 = 7 693 ÷ 63 = 11

सरलीकृत अनुपात 7:11 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण को दो पूर्ण वर्गों के योग के रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर: 10x² - 6xy + y² - 4x + 4 = 0 (9x² - 6xy + y²) + (x² - 4x + 4) = 0 (3x - y)² + (x - 2)² = 0

चूंकि दो वर्गित वास्तविक पदों का योग शून्य है, इसलिए प्रत्येक पद व्यक्तिगत रूप से शून्य के बराबर होना चाहिए: x - 2 = 0 ⇒ x = 2 3x - y = 0 ⇒ y = 3x = 6

x = 2 और y = 6 को (x + 2y) में प्रतिस्थापित करने पर: x + 2y = 2 + 2(6) = 2 + 12 = 14

व्याख्या

विचरण गुणांक (CV) डेटासेट की सापेक्ष परिवर्तनशीलता को मापता है और इसे सूत्र द्वारा दिया जाता है:

विचरण गुणांक = (मानक विचलन / माध्य) × 100%

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: विचरण गुणांक = (4 / 20) × 100% = 0.20 × 100% = 20%

व्याख्या

किसी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है।

अनुपात पदों का योग = 2 + 5 + 8 = 15

सबसे छोटा कोण = (2 / 15) × 180° = 2 × 12° = 24°

व्याख्या

विक्रय मूल्य में कमी 360 - 345 = रु. 15 है। चूँकि इस मूल्य गिरावट के कारण क्रय मूल्य (CP) का 4% हानि बढ़ जाती है, इसलिए CP का 4% = 15। अतः, CP = (15 × 100) / 4 = रु. 375।

व्याख्या

किसी संख्या k के पहले n गुणजों का औसत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

औसत = k × (n + 1) / 2

k = 9 और n = 30 रखने पर:

औसत = 9 × (30 + 1) / 2 = 9 × 31 / 2 = 279 / 2 = 139.5

वैकल्पिक रूप से, चूँकि गुणज एक समांतर श्रेणी बनाते हैं, औसत पहले पद (9) और अंतिम पद (270) का मध्य बिंदु होता है:

औसत = (9 + 270) / 2 = 139.5