आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2016 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए त्रिभुज के तीन कोण 2x, 3x और 7x हैं। इनमें से सबसे बड़ा कोण 7x है और सबसे छोटा कोण 2x है। सबसे बड़े कोण और सबसे छोटे कोण का अनुपात 7x : 2x = 7:2 द्वारा दिया गया है।

व्याख्या

माना कोण x है। इसका पूरक (90° - x) है।

दी गई शर्त के अनुसार: x = ½(90° - x) + 30° x = 45° - ½x + 30° 1.5x = 75° x = 50°

पूरक कोण 90° - 50° = 40° है।

बड़े और छोटे कोणों के बीच का अंतर 50° - 40° = 10° है।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार, एक बहुपद P(x) का एक रैखिक व्यंजक (x - a) गुणनखंड होता है यदि और केवल यदि P(a) = 0 हो।

समान पदों को मिलाकर दिए गए बहुपद को सरल बनाने पर: P(x) = x⁶ - x⁵ - 2x⁴ + x² - 4

यह जांचने के लिए कि (x - 1) एक गुणनखंड है या नहीं, x = 1 प्रतिस्थापित करें: P(1) = 1⁶ - 1⁵ - 2(1)⁴ + 1² - 4 = 1 - 1 - 2 + 1 - 4 = -5 ≠ 0

यह जांचने के लिए कि (x + 1) एक गुणनखंड है या नहीं, x = -1 प्रतिस्थापित करें: P(-1) = (-1)⁶ - (-1)⁵ - 2(-1)⁴ + (-1)² - 4 = 1 + 1 - 2 + 1 - 4 = -3 ≠ 0

चूंकि न तो P(1) और न ही P(-1) शून्य के बराबर है, इसलिए न तो (x - 1) और न ही (x + 1) एक गुणनखंड है।

व्याख्या

1 रुपये पर 1 महीने का ब्याज = 10 पैसे = रु. 0.10

साधारण ब्याज = मूलधन × प्रति रुपया प्रति माह दर × समय (महीनों में) = 50 × 0.10 × 6 = रु. 30

व्याख्या

मान लीजिए मूल संख्याएँ 5:6 के अनुपात में हैं, इसलिए वे 5x और 6x हैं।

प्रत्येक संख्या में 6 जोड़ने से अनुपात के पद 5 से 7 और 6 से 8 तक बढ़ जाते हैं, जो 2 अनुपात इकाइयों की समान वृद्धि का प्रतिनिधित्व करते हैं।

2 अनुपात इकाइयाँ = 6 1 अनुपात इकाई = 3

इसलिए, मूल संख्याएँ 5 × 3 = 15 और 6 × 3 = 18 हैं।

व्याख्या

दूसरी बस की गति = दूरी ÷ समय = 270 ÷ 15 = 18 किमी/घंटा।

दो बसों की गति का अनुपात 11:9 दिया गया है।

पहली बस की गति = (11/9) × 18 = 22 किमी/घंटा।

व्याख्या

मान लीजिए स्वाति और अपर्णा की आयु क्रमशः S और A है।

दी गई शर्तों से: S × A = 120 3A - S = 2

दूसरे समीकरण में A = 120 / S प्रतिस्थापित करने पर: 3(120 / S) - S = 2 360 - S² = 2S S² + 2S - 360 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (S + 20)(S - 18) = 0

चूंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, S = 18।

व्याख्या

मान लीजिए जल शोधक का क्रय मूल्य CP है।

40% हानि पर प्रारंभिक विक्रय मूल्य = CP का 60% 10% लाभ पर नया विक्रय मूल्य = CP का 110%

विक्रय मूल्य में रु. 125 की वृद्धि 40% हानि से 10% लाभ तक के कुल प्रतिशत परिवर्तन को दर्शाती है:

(110% - 60%) of CP = रु. 125 CP का 50% = 125 CP = 125 × 2 = रु. 250

व्याख्या

माना 1 पेन का विक्रय मूल्य (SP) ₹1 है।

12 पेन का विक्रय मूल्य = ₹12 लाभ = 2 पेन का विक्रय मूल्य = ₹2 क्रय मूल्य (CP) = SP - लाभ = ₹12 - ₹2 = ₹10

लाभ % = (लाभ / CP) × 100 = (2 / 10) × 100 = 20%

व्याख्या

समष्टि प्रसरण, समष्टि मानक विचलन के वर्ग के बराबर होता है।

प्रसरण = σ² = 7² = 49

व्याख्या

nवें वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज इस प्रकार दिया जाता है: nवें वर्ष में ब्याज = P × (1 + r/100)ⁿ⁻¹ × (r/100)

दिया गया है P = 2000, r = 40%, और n = 3:

तीसरे वर्ष का ब्याज = 2000 × (1 + 40/100)² × (40/100) = 2000 × (1.4)² × 0.4 = 2000 × 1.96 × 0.4 = 1568

व्याख्या

दो रैखिक समीकरणों a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के संपाती रेखाएँ निरूपित करने के लिए, उनके संगत गुणांकों का अनुपात बराबर होना चाहिए:

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

6x + 2y = 2 और 3x + y = C₂ से मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

6/3 = 2/1 = 2/C₂

2 = 2/C₂

C₂ = 1

व्याख्या

विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार:

भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल

14528 = (भाजक × 83) + 3 14525 = भाजक × 83 भाजक = 14525 ÷ 83 = 175

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों +20% और -20% के लिए शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके:

शुद्ध परिवर्तन = a + b + (a × b)/100 = 20 - 20 + (20 × -20)/100 = -4%

2012 में बिक्री = 80 × (1 - 0.04) = 80 × 0.96 = 76.8 लाख

व्याख्या

भंडार T के लिए 2011 से 2012 तक बिक्री में प्रतिशत परिवर्तन -8% है।

2012 में बिक्री = 2011 में बिक्री × (1 - 0.08) = 0.92 × 2011 में बिक्री

2011 की बिक्री को 2012 की बिक्री के प्रतिशत के रूप में ज्ञात करने के लिए: प्रतिशत = (2011 में बिक्री / 2012 में बिक्री) × 100 प्रतिशत = (1 / 0.92) × 100 = 108.69% ≈ 109%

व्याख्या

लाभ वितरण का अनुपात सीधे निवेश राशि और समय अवधि के गुणनफल के समानुपाती होता है।

सुनील का प्रभावी निवेश = 20,000 × 9 = 1,80,000 गोपाल का प्रभावी निवेश = 30,000 × 12 = 3,60,000

लाभ वितरण का अनुपात (सुनील : गोपाल) = 1,80,000 : 3,60,000 = 1 : 2

सुनील का हिस्सा = (1 / 3) × 60,000 = ₹ 20,000

व्याख्या

विचरण गुणांक (CV) डेटासेट की सापेक्ष परिवर्तनशीलता को मापता है और इसकी गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

विचरण गुणांक = (मानक विचलन / माध्य) × 100

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

CV = (5 / 11) × 100 = 45.45%

व्याख्या

प्रेक्षणों का योग = माध्य × प्रेक्षणों की संख्या

प्रारंभिक 14 प्रेक्षणों का योग = 14 × 11 = 154 सभी 15 प्रेक्षणों का योग = 15 × 12 = 180

15वां प्रेक्षण = 15 प्रेक्षणों का योग − 14 प्रेक्षणों का योग 15वां प्रेक्षण = 180 − 154 = 26

व्याख्या

एक पुरुष और एक महिला की दैनिक क्षमता क्रमशः 3 इकाई और 1 इकाई मान लीजिए।

कुल कार्य = 5 महिलाएँ × 36 दिन = 5 × 1 × 36 = 180 इकाई

5 पुरुषों द्वारा प्रतिदिन किया गया कार्य = 5 × 3 = 15 इकाई

आवश्यक दिनों की संख्या = कुल कार्य / 5 पुरुषों द्वारा प्रतिदिन किया गया कार्य = 180 / 15 = 12 दिन

व्याख्या

दिए गए समीकरण पर योगांतरापात (componendo and dividendo) लागू करने पर:

(sin A + cos A + sin A - cos A) / (sin A + cos A - sin A + cos A) = (5 + 4) / (5 - 4)

2 sin A / 2 cos A = 9 / 1 tan A = 9

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: tan² A = 9² = 81

अपेक्षित व्यंजक में tan² A = 81 का मान रखने पर:

(tan² A + 1) / (tan² A - 1) = (81 + 1) / (81 - 1) = 82 / 80 = 41 / 40

व्याख्या

संबंध कार्य = व्यक्ति × दक्षता × दिन का उपयोग करके:

प्रारंभिक कुल कार्य = 15 × 1 × 30 = 450 इकाई

दोगुनी दक्षता (दक्षता = 2) वाले 30 व्यक्तियों के लिए, आवश्यक दिनों की संख्या D मान लीजिए:

30 × 2 × D = 450 60 × D = 450 D = 450 / 60 = 7.5 दिन

व्याख्या

दो कोणों का अनुपात 2:3 दिया गया है। माना छोटा कोण 2x है और बड़ा कोण 3x है।

छोटे कोण के वर्ग और बड़े कोण के वर्ग का अनुपात इस प्रकार गणना की जाती है: (2x)² : (3x)² = 4x² : 9x² = 4 : 9

व्याख्या

प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग सूत्र योग = n² द्वारा दिया जाता है।

72 से छोटी विषम प्राकृत संख्याएँ 1 से लेकर 71 तक एक अनुक्रम बनाती हैं। पदों की संख्या n = (71 + 1) / 2 = 36 द्वारा दी जाती है।

सूत्र में n = 36 रखने पर योग = 36² = 1296 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए मानों को व्यंजक 2x(w - z) में प्रतिस्थापित करें:

2x = 2 × 3 = 6 w - z = -2 - (-½) = -2 + ½ = -3/2

अब, इन परिणामों को गुणा करें: 2x(w - z) = 6 × (-3/2) = -9

व्याख्या

सह-अभाज्य अनुपात a : b में दो संख्याओं के लिए, उनका ल.स.प. सूत्र द्वारा दिया जाता है:

ल.स.प. = म.स.प. × a × b

यहाँ, अनुपात पद a = 4 और b = 9 सह-अभाज्य हैं, और म.स.प. 11 है।

ल.स.प. = 11 × 4 × 9 = 396

व्याख्या

संयुक्त कार्य सूत्र का उपयोग करके, एक साथ लिया गया समय T = (t₁ × t₂) / (t₁ + t₂), जहाँ t₁ = 15 मिनट और t₂ = 20 मिनट: T = (15 × 20) / (15 + 20) = 300 / 35 = 60 / 7 = 8 4/7 मिनट।

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लंबाई l और चौड़ाई w वाले आयत के विकर्ण d की लंबाई d = √(l² + w²) द्वारा दी जाती है।

l = 9 सेमी और w = 6 सेमी रखने पर: d = √(9² + 6²) = √(81 + 36) = √117 = √(9 × 13) = 3√13 सेमी

चूंकि ज्यामितीय लंबाई हमेशा एक धनात्मक मात्रा होती है, इसलिए विकर्ण की लंबाई 3√13 सेमी है।

व्याख्या

समय अवधि को सेकंड में बदलें: 3 मिनट 30 सेकंड = (3 × 60) + 30 = 210 सेकंड 4 मिनट 10 सेकंड = (4 × 60) + 10 = 250 सेकंड

एकिक विधि का उपयोग करके: 210 सेकंड की लागत = ₹10 250 सेकंड की लागत = (10 / 210) × 250 = 250 / 21 = 11.904... रुपये

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर 11.9 रुपये प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

विभाजन संक्रियाओं की एक श्रृंखला के लिए, बाएं से दाएं क्रम में विभाजन करें:

35968 ÷ 562 ÷ 8 = (35968 ÷ 562) ÷ 8

35968 को 562 से विभाजित करने पर 64 प्राप्त होता है।

64 को 8 से विभाजित करने पर 8 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, भाजकों को संयोजित करके: 35968 ÷ (562 × 8) = 35968 ÷ 4496 = 8

व्याख्या

मान लीजिए एक तरफ चलने में लगा समय W है और एक तरफ सवारी करने में लगा समय R है।

चलने और सवारी करने का समय (W + R) = 9 घंटे 15 मिनट दोनों तरफ चलने का समय (2W) = 11 घंटे 12 मिनट

दोनों तरफ सवारी करने में लगा समय (2R) निम्न प्रकार दिया गया है:

2R = 2 × (W + R) − 2W 2R = 2 × (9 घंटे 15 मिनट) − (11 घंटे 12 मिनट) 2R = 18 घंटे 30 मिनट − 11 घंटे 12 मिनट = 7 घंटे 18 मिनट

व्याख्या

औसत गति = कुल दूरी ÷ कुल समय

तालिका से, शुक्रवार को ट्रक Q द्वारा तय की गई दूरी 302 किमी है। दिया गया समय = 8 घंटे।

औसत गति = 302 ÷ 8 = 37.75 किमी/घंटा

व्याख्या

औसत दूरी = तय की गई कुल दूरी / दिनों की कुल संख्या

ट्रक S द्वारा 6 दिनों में तय की गई कुल दूरी: 325 + 314 + 312 + 278 + 292 + 274 = 1795 किमी

दिनों की संख्या = 6

औसत दूरी = 1795/6 किमी

व्याख्या

शनिवार को सभी छह ट्रकों द्वारा तय की गई कुल दूरी की गणना उस दिन ट्रकों P, Q, R, S, T, और U द्वारा तय की गई दूरियों को जोड़कर की जाती है:

कुल दूरी = 292 + 284 + 260 + 274 + 280 + 242 = 1632 किमी।

व्याख्या

लक्ष्य विक्रय मूल्य = दिया गया विक्रय मूल्य × (100 + वांछित लाभ %) ÷ (100 - दी गई हानि %)

लक्ष्य विक्रय मूल्य = 3400 × (100 + 15) ÷ (100 - 15) = 3400 × (115 ÷ 85) = 3400 × (23 ÷ 17) = 200 × 23 = 4600

व्याख्या

अनुपात पदों का योग = 1 + 2 + 4 + 5 = 12 भाग।

प्रत्येक अनुपात भाग का मान = 156 / 12 = 13।

अनुपात के प्रत्येक पद को 13 से गुणा करने पर संबंधित हिस्से प्राप्त होते हैं: 1 × 13 = 13 2 × 13 = 26 4 × 13 = 52 5 × 13 = 65

व्याख्या

भिन्नों को दशमलव मानों में बदलने पर:

2/7 ≈ 0.286 0.3 = 0.300 3/7 ≈ 0.429

दशमलव मानों की तुलना सबसे छोटे से सबसे बड़े तक करने पर 0.286 < 0.300 < 0.429 प्राप्त होता है, जो आरोही क्रम 2/7, 0.3, 3/7 के अनुरूप है।

व्याख्या

4% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्षों के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रभावी दर = R + R + (R × R)/100 = 4 + 4 + (4 × 4)/100 = 8.16%

चक्रवृद्धि ब्याज = मूलधन × प्रभावी दर / 100 = 3500 × 8.16 / 100 = 35 × 8.16 = रु. 285.6

वैकल्पिक रूप से, मानक सूत्र का उपयोग करके: राशि = P(1 + R/100)ⁿ = 3500(1 + 4/100)² = 3500 × (1.04)² = 3500 × 1.0816 = रु. 3785.6

चक्रवृद्धि ब्याज = राशि - मूलधन = 3785.6 - 3500 = रु. 285.6

व्याख्या

जब ब्याज तिमाही चक्रवृद्धि होता है तो चक्रवृद्धि राशि का सूत्र A = P(1 + r/100)ⁿ है, जहाँ P मूलधन है, r ब्याज की तिमाही दर है, और n तिमाहियों की संख्या है।

दिया गया है: मूलधन (P) = ₹10,000 तिमाही दर (r) = 20% / 4 = 5% तिमाहियों की संख्या (n) = 6 महीने / 3 महीने = 2

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A = 10000 × (1 + 5/100)² A = 10000 × (1.05)² A = 10000 × 1.1025 = ₹11,025

व्याख्या

मानक विचलन को प्रसरण के धनात्मक वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है:

मानक विचलन = √(प्रसरण)

दिए गए प्रसरण को प्रतिस्थापित करने पर:

मानक विचलन = √144 = 12

चूंकि मानक विचलन प्रकीर्णन और माध्य से दूरी का एक माप है, यह हमेशा एक गैर-ऋणात्मक मात्रा होती है।

व्याख्या

जब कोई व्यापारी मिलावटी वजन का उपयोग करके खरीदते समय x% और बेचते समय x% की बेईमानी करता है, तो कुल प्रतिशत लाभ क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध लाभ % = x + x + (x × x)/100

x = 9 रखने पर:

शुद्ध लाभ % = 9 + 9 + (9 × 9)/100 = 18 + 0.81 = 18.81%

व्याख्या

tan x / cot x = tan x / (1 / tan x) = tan² x

दिया गया है कि sin x = 4/5, तो सम्मुख भुजा 4 है और कर्ण 5 है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आसन्न भुजा √(5² - 4²) = 3 है।

इसलिए, tan x = 4/3।

tan x को प्रतिस्थापित करने पर tan² x = (4/3)² = 16/9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी भी उत्तल बहुभुज (convex polygon) के सभी बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है। n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के लिए, सभी बाह्य कोण बराबर होते हैं, इसलिए प्रत्येक बाह्य कोण का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

बाह्य कोण = 360° / n

दिए गए बाह्य कोण 45° को प्रतिस्थापित करने पर:

45° = 360° / n n = 360° / 45° = 8

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य C है।

2% लाभ पर पहला विक्रय मूल्य (SP₁) = C का 102% 14% लाभ पर दूसरा विक्रय मूल्य (SP₂) = C का 114%

दोनों विक्रय मूल्यों का अनुपात = SP₁ : SP₂ = 102 : 114

दोनों पदों को 6 से विभाजित करने पर 17 : 19 प्राप्त होता है। Rs. 3 का दिया गया नकद अंतर अतिरिक्त जानकारी है और अनुपात की गणना के लिए आवश्यक नहीं है।

व्याख्या

घातांकों के भागफल नियम का उपयोग करते हुए, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ:

2⁴ ÷ 2⁻¹ = 2⁴⁻⁽⁻¹⁾ = 2⁴⁺¹ = 2⁵ = 32

व्याख्या

एक मिश्रित आवर्ती दशमलव के लिए जहाँ 36 अंतहीन रूप से दोहराता है (0.023636...):

अंश = (पूरी संख्या) - (अनावर्ती भाग) = 236 - 2 = 234 हर = आवर्ती अंकों के बराबर 9 की संख्या, जिसके बाद दशमलव के अनावर्ती अंकों के बराबर 0 की संख्या आती है = 9900

सरलतम भिन्न रूप में परिवर्तित करना: 234 / 9900 = 13 / 550

व्याख्या

किसी आँकड़ा समुच्चय का बहुलक वह मान होता है जो सबसे अधिक बार आता है। दिए गए आँकड़ों के समुच्चय (-5, -3, -2, 0, 1, 4, 4, 5, 7, 10) में, संख्या 4 दो बार आती है, जबकि अन्य सभी संख्याएँ केवल एक बार आती हैं। चूँकि 4 की आवृत्ति सबसे अधिक है, इसलिए यह आँकड़ा समुच्चय का बहुलक है।

व्याख्या

किसी संख्या को 9999 से गुणा करने के लिए, सर्वसमिका 9999 = (10000 - 1) का प्रयोग करें:

54367 × 9999 = 54367 × (10000 - 1) = 543670000 - 54367 = 543615633

व्याख्या

वितरण गुण का उपयोग करके दिए गए व्यंजक का विस्तार करें: 7x + 3x(x - 4) = 7x + 3x² - 12x

समान पदों (7x और -12x) को समूहित करें और संयोजित करें: 3x² + (7x - 12x) = 3x² - 5x

व्याख्या

किन्हीं भी दो संख्याओं के लिए, उनके गुणनफल, HCF और LCM के बीच संबंध है:

दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: 3192 = HCF × 56 HCF = 3192 ÷ 56 = 57

व्याख्या

प्रशांत और तरुण की दक्षता का अनुपात = 2 : 1.

संयुक्त दक्षता = 2 + 1 = 3 इकाई प्रति दिन।

कुल कार्य = संयुक्त दक्षता × एक साथ लिया गया समय = 3 × 21 = 63 इकाई।

तरुण द्वारा अकेले लिया गया समय = कुल कार्य / तरुण की दक्षता = 63 / 1 = 63 दिन।